圆的几何知识在物理解题中的应用

“圆”的几何知识在物理解题中的应用

圆是一个很重要的模型，物理中很多物体的运动轨迹都是圆，人造卫星绕地球的运动可近似看作圆周运动，带电粒子在匀强磁场中的运动是匀速圆周运动，绕轴旋转的物体上的每一点都做圆周运动等等，解决这类问题常常涉及到有关圆的一些知识。以下从几个方面说明它在物理解题中的应用.

1、弧长等于半径乘以圆心角，即θ·r s

=

例1 已知一颗人造卫星在某行星表面上空绕行星做匀速圆周运动，经过时间t ，卫星的行程为s ，卫星与行星的中心连线扫过的角度是rad 1，那么卫星的环绕周期T 等于 ，该行星的质量M 等于 .

【分析与解答】卫星在一个同期的时间内半径要转过2π，由

π

21

T t

=

得

t T π2=;由2

324GT r M π=

，关键求出卫星的半径，再根据弧长等于半径乘以圆心角

得s r

=，代入得2

3

Gt s

M =

2、直径所对的圆周角为直角

例2 如图2

ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点，每一根杆上都套着一个小滑环（图中末画出），三个滑环分别从a 、

b 、

c 处释放（初速度为0），用1t 、2t 、3t 依次表示各滑环到达

d 所用的时间，则（ ）

A 、321t t t <<

B 、321t t t >>

C 、213

t t t >>

D 、321

t t t ==

【分析与解答】如图2连结ac ,过d 作圆的切线。设圆的半径为R ，由直径所对的圆周角为直角，则三角形acd 为直角三角形，环沿cd 下滑就像沿倾角为θ的光滑斜面下滑.加速度θ

sin g a

=，

θsin 2R cd =，时间g

R

g R a cd

t 2sin 222=?==

θ与倾角无关，故选D

3、所有的几何图形，周长一定时圆的面积最大

例3 如图3所示正方形的导线框与磁场垂直，现将正方形整成圆形，则导线框中应有 （顺、逆）时针的感应电流.

【分析与解答】由正方形到圆形，周长一定时圆的面积最大，导线框中磁通量向下增大，由楞次定律得线圈中感应电流为逆时针方向

4、直径为最长的弦，弦越长对应的圆心角越大 例4 在真空中有半径2100.3-?=r

m 的圆形区域内，有一匀强磁

场，磁场的磁感应强度T B 2.0=，方向如图4，一带负电的粒子初以速度60

100.1?=v m/s ，从磁场边

界上直径的一端a 向着各个方向射入磁场，且速度方向与磁场方向垂直.已知粒子比荷为q/m=1.0×108

C/kg

，

d

图2

图3

图1

不计重力，求：（1）轨道半径；（2）粒子在磁场中运动的最长时间.

【分析与解答】（1）设带电粒子在磁场中运动的轨道半径为

R

，由

m R B qv qB mv R

mv 20105,0

2

0-?===

（2）根据粒子运动时间T t π

θ

2=

，周期T 一定，t 与θ成正比，要时间最长则圆心角θ最大，由圆的知识，即要求弦最长，而最长的弦应为磁场圆的直径，也就是要带电粒子从

a

点射入,从

b

点射出.如图三角形

1

aoo 为直角三角形，

,

37,6.0sin o R

r ===

αα带电粒子在磁场中运动的最长时间为

s t Bq

m

82360372105.60

-??==π

5、弦切角等于所夹弧所对的圆心角的一半 例5 如图5在

0

并指向纸外，磁感应强度为B ，一带正电的粒子以速度v ，从O 点射入磁场，入射方向在xy 平面内，与x 轴正向的夹角为θ，若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为l ，

求该粒子的电荷量与质量之比

m

q

？

【分析与解答】粒子在磁场中作匀速圆周运动，运动半径Bq

mv R =

，如图x N

O ⊥1，N O 1是圆心角的平分线，由弦切

角等于所夹弦所对的圆心角的一半，所以θ＝O NO 1∠，

R

l 2

sin =

θ，所以

lB

v m

q θsin 2=

圆还有一些几何性质，如弦切角等于所夹弧所对的圆周角（在例1中即有应用）；垂直于弦的直径必平分弦（例5中的x N

O ⊥1轴，所以N 点平分弦，2l

ON ＝）；圆的切线垂直于过切点的半径（例4，例

5中轨迹圆圆心的确定，粒子的速度与圆弧相切，两速度垂线的交点即是圆心）；两圆相交时连心线必垂直平分弦（例4中的1OO 垂直平分ab ），等在解题中也是经常用到的。只有熟练的掌握和应用这些性质才能使我们解题轻车熟路，如虎添翼.

图4

图5