16.1.1二次根式全章导学案
2019八年级数学下册16二次根式16.1《二次根式(I)》导学案(新版)新人教版
2021-2021 年八年级数学下册16 二次根式 16.1 ?二次根式 (I) ?导教学设计〔新版〕新人教版课型 :新授课上课时间：课时：2学习内容：1． a 〔a≥0〕是一个非负数； 2 ．〔 a 〕2=a〔a≥0〕．学习目标：1、理解 a 〔a≥0〕是一个非负数和〔 a 〕2=a〔a≥0〕，并利用它进行计算和化简．2、经过复习二次根式的看法，用逻辑推理的方法推出 a 〔a≥0〕是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出〔授课过程一、自主学习〔一〕复习引入1．什么叫二次根式？2a 〕=a〔a≥0〕；最后运用结论慎重解题．2．当 a≥ 0 时， a 叫什么？当a<0 时， a 有意义吗？〔二〕学生学习课本知识〔三〕、研究新知1、 a 〔a≥0〕是一个数。
〔正数、负数、零〕因为。
2、重点： a 〔a≥0〕是一个非负数．3、依照算术平方根的意义填空：〔 4 〕2=_______；〔 2 〕2=_______；〔9 〕2=______；〔 3 〕2=_______；同理可得：〔2〕2，〔9〕2=9，〔3〕2，〔 1 〕2=1 ，〔〕2，=2=333=0所以〔 a 〕2=a〔a≥0〕(4)例1 计算1 、〔3〕2= 2、〔3 5〕2=3、〔5〕2= 4、〔7 〕2= 262(5) 注意： 1、 a 〔a≥0〕是一个非负数；〔 a 〕2=a〔 a≥ 0〕及其运用．2、用分类思想的方法导出a〔a≥0〕是一个非负数；?用研究的方法导出〔a 〕2=a 〔a ≥ 0〕．二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展例 2 计算 1 ．〔 x 1〕 2〔 x ≥0〕 2 ．〔a 2 〕 2 3 ．〔 a 2 2a 1 〕 2例 3在实数范围内分解以下因式:〔 1〕 x 2-3〔 2〕 x 4-4(3) 2x2-3三、坚固练习〔一〕计算以下各式的值：〔 18 〕2=〔2 〕2= 〔9 〕2= 〔0 〕2= 〔 4 7 〕2=(3 5)2(5 3)2348〔二〕 课本 P7、 1 四、课堂检测〔一〕、选择题1 ．以下各式中 15 、 3a 、b 2 1 、 a 2 b 2 、 m 2 20 、144 ，二次根式的个数是〔〕．A ．4B ．3C ．2D ． 1〔二〕、填空题1 ．〔 -3 〕 2=________ ．2 ．x 1 有意义，那么是一个 _______数．〔三〕、综合提高题1 ．计算〔 〕〔9 〕 2 〔 〕 -- 〔 3 〕 2 〔 〕〔 -3 2 〕 2(23 32)(2332)123 3(4)= = = =====2 ．把以下非负数写成一个数的平方的形式:〔1〕 5=〔2〕 3.4=〔3〕1〔 4〕x 〔 x ≥ 0〕=63．xy 1 + x 3 =0，求 x y 的值．4 ．在实数范围内分解以下因式:〔 1〕 x 2-2 〔 2〕x 4-93x2-5。
二次根式全章导学案
武汉市张家湾中学2014—2015学年度第二学期八年级数学导学案16.1二次根式（1）班级： 姓名:【学习目标】1．理解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式； 2. 掌握二次根式有意义的条件；3. 掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a ， 【学习重点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 【学习难点】灵活运用性质)0(0≥≥a a 解题， 【学习过程】一、课前导学：学生自学课本2-3页内容，并完成下列问题 1. 温故而知新：（1）如果一个数x 的平方等于a ，即2x =a ，那么x 叫做a 的 ，记为x = ，（2）如果一个非负数x 的平方等于a ，即2x =a （0≥x ），那么非负数x 叫做a 的 ，记为x = ， （3）计算下列各式的值：= ，= ，= ，= ，= ，2)9(= ，2．一般地我们把形如 （ ）叫做二次根式，a 叫做_____________， 3. 试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3， 16-，34，)0(3≥a a， 12+x4．根据算术平方根意义计算 ：(1) 2)4( (2)（3）2)5.0( （4）2)31(根据计算结果，你能得出结论： （0≥a ），5.计算：(1)2)23( (2)2)52(- 二、合作、交流、展示： 1.理解二次根式概念（1）二次根式a 中，字母a 必须满足 ； （2）二次根式与算术平方根有何关系呢？ （3）当0≥a 时，a 是什么数？【归纳】二次根式的双重非负性： 2．当x 取何值时，下列各二次根式有意义（1）43-x ； （2）x 322- （3）2)2(-x（4）x--213. 若20a -=，则 2a b -= ， 4．已知，求xy的值．【收获感悟】： ， 三、巩固与应用1. 若x -在实数范围内有意义，则x 为（ ），2)3(________)(2=aA.正数B.负数C.非负数D.非正数2．当x 时，二次根式x 35-有意义，3. 在式子xx +-121中，x 的取值范围是____________.4．在实数范围内因式分解：①72-x ② 4a 2-115a 的值为___________． 6．已知42-x +y x +2＝0，则=-y x _____________.7．已知+3，求yx 的值．8.拓展提高：已知a 、b =b +4，求a 、b 的值．四、小结：1．二次根式的概念： ；2.二次根式的性质： ， ； 3．巧用非负数解题，武汉市张家湾中学2014—2015学年度第二学期初二数学导学案16.1二次根式（2）班级： 姓名:【学习目标】1．掌握二次根式的基本性质：⎩⎨⎧〈-≥==)0()0(2a a a a a a2. 综合运用二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 、)0()(2≥=a a a 、a a =2解题. 【学习重点】掌握二次根式的基本性质：a a =2【学习难点】灵活运用性质a a =2解题. 【学习过程】一、课前导学：学生自学课本第4页内容，并完成下列问题1. 计算：24= =20观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=≥2,0a a 时2．计算：-2)4(==观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时 3.【归纳】二次根式的性质：=2a = 4．化简下列各式：（1）=22.0 （2）=-2)3.0( （3）=-2)4( （4）()22a = （0<a ）5．代数式：用基本运算符号把 连接起来的式子叫做代数式. 二、合作、交流、展示：1.理解二次根式三条基本性质：（1）双重非负性：（ ） （2）()=2a （ ） （3）=2a2．【讨论】二次根式的性质：)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系？3．化简下列各式（1）)0(42≥x x (2) 4x （3）)3()3(2≥-a a4．已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x5．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简b b c c a a ---++-22)(.三、巩固与应用 1. 课本第4页练习2； 2．2)4(-π= ；3．a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2)(________； 4.你能运用公式a a =2比较53与34的大小吗?5．当x = ； 6．拓展提高：（1）已知0＜x ＜1，化简：4)1(2+-xx －4)1(2-+xx（2）已知实数a 满足a a a =-+-2014)2013(2，求22013-a 的值.四、小结：1.二次根式的性质： ， ， ； 2．灵活运用二次根式的性质解题.武汉市张家湾中学2014—2015学年度第二学期初二数学导学案16.2二次根式的乘除（1）班级： 姓名:【学习目标】1．探究发现二次根式的乘法法则，并能利用法则进行乘法运算； 2. 掌握积的算术平方根的性质，并利用性质对二次根式进行化简； 3. 综合运用乘法法则和性质进行乘法运算。
最新人教版八年级数学下册16.1二次根式(2课时)word导学案教学设计
第十六章二次根式16.1 二次根式第1课时二次根式的概念学习目标：1.理解二次根式的概念；2.掌握二次根式有意义的条件；3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.重点：理解二次根式的概念及有意义的条件.难点：利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题.一、知识链接1.什么叫做平方根？2.什么叫做算术平方根？什么数有算术平方根？二、新知预习1. 用带根号的式子填空:(1)如图①的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为m______ m．(2)如图②的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：（单位：m）满足关系h =5t2，如果用含有h 的式子表示2.自主归纳：（1）二次根式的概念：一般地，我们把形如()0a a____的式子叫作二次根式称为二次根号.（2）二次根式的双重非负性：二次根式的被开方数为_________________数.自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分图①【变式题】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？方法总结:被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.1.下列各式)1x≥一定是二次根式的有( )A.3个B.4个C.5个D.6个2.(1)x的取值范围是___________;(2)若式子12x+-x的取值范围是___________.探究点2：二次根式的双重非负性问题1：当x问题2：a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？要点归纳：二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a____0；例3 若22(4)0a c--=，求a-b+c的值.方法总结:多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.例4 已知y8+,求3x+2y的算术平方根.【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足4 b=，求此三角形的周长．已知|3x-y-1|和x+4y的平方根．1.下列式子中，不属于二次根式的是（）CA.B.2.（）A.x＞2B.x≥2C.x＜2D.x≤23.当x=____取最小值，其最小值为______．第十六章二次根式16.1 二次根式第2课时二次根式的性质学习目标：1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.重点：掌握二次根式的两个性质：()()220,a a a a a=≥=.难点：会利用二次根式的性质解题.一、知识回顾1.二次根式的概念是什么？我们上节课学了它的哪些性质？2.使式子()2a有意义的条件是_______________.二、要点探究探究点1：()()2a a≥的性质活动1如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？a(a≥0) 算术平方根a平方运算2a观察两者有什么关系？要点归纳：一般地，2a a=(a____0),即一个非负数的算术平方根的平方等于_________.课堂探究教学备注学生在课前完成自主学习部分配套PPT讲授1.情景引入（见幻灯片3-4）2.探究点1新知讲授（见幻灯片5-11）例1(教材P3例2变式题)计算：22(1);(2).⎛ ⎝例2 在实数范围内分解因式：242(1)3;(2)4 4.x y y --+方法总结:本题逆用了()20a a =≥在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.计算：22(1)()(2)(). ；探究点2议一议:下面根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？1.计算：=24 ;=22.0 ;=2)54( ; =220 .观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=>2,0a a 时 .2.计算：=-2)4( ;=-2)2.0( ;=-2)54( ;=-2)20( .观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时 . 3.计算：=20 ;当==2,0a a 时 .要点归纳：将上面得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：()()()2____0____=0____0.aa a aa⎧⎪==⎨⎪⎩＞，，＜即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.典例精析例3 (教材P4例3变式题)化简：2(1)10;-2(2)(3.14).-π方法总结:利用2a a=化简求值时，先应确定a的正负，再化简.例4 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:()222.a b a b-+-【变式题】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：2244a ab b a b+++-.方法总结:利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号. 例5已知a、b、c是△AB C()()()222.a b c b c a c b a+++---分析：针对训练1.计算：22(1)(-2)(2)(-1.2).；2.请同学们快速分辨下列各题的对错：()()()()()()()()2222(1)22(2)22(3)22(4)22-=--=--=---=-探究点3：代数式的定义用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把_______或____________连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.典例精析例6 （1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.方法总结:列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算顺序；③牢记一些概念和公式．针对训练1.在下列各式中，不是代数式的是（）A.7B.3＞2C.2xD.2223x y+2.如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为__________.二、课堂小结二次根式的性质内容性质1 一个非负数的算术平方根的平方等于它_______.即()()20.a a a=≥性质2 一个数的平方的算术平方根等于它的______.即()()20.a aa aa a≥⎧⎪==⎨-⎪⎩，＜1.16得（）A. ±4B. ±2C. 4D.-4当堂检测2.当1<x <3时，2(3)x -的值为（ ）A.3B.-3C.1D.-1 3.下列式子是代数式的有 ( )①a 2+b 2; ②ab ; ③13; ④x =2; ⑤3×（4－5）;⑥x －1≤0; ⑦10x +5y =15 ; ⑧.ac b+ A .3个 B .4个 C .5个 D .6个 4.化简：（1）9＝_______ ; （2）2(4)-＝_______; （3）()27______-=; （4）()281______=.5. 实数a 在数轴上的位置如图所示，化简22(1)a a -+-的结果是_________.6.利用a ＝2()a （a ≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：(1) 9；(2)5；(3)2.5；(4)0.25；(5)12；(6)0 . 能力提升7.(1)已知a 为实数，求代数式2242a a a +---+的值. (2)已知a 为实数，求代数式249a a a +--+-的值.八年级数学下册期中综合检测卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.3x -x 的取值范围是（ ） A.x ≥3 B.x ≤3 C.x >3 D.x <32.下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）A.4，5，6B.1，12C.6，8，11D.5，12，23 3.下列各式是最简二次根式的是（ ） 9 7 20 0.34.下列运算正确的是（ ） A.5－3=2 B.149=213C.8－2=2D.2(25)-=2－5 5.方程｜4x －8｜+x y m --=0,当y>0时,m 的取值范围是（ ）A.0<m <1B.m ≥2C.m ≤2D.m <26.若一个三角形的三边长为6,8，x ，则此三角形是直角三角形时，x 的值是（ ）A.8B.10C.27D.10或277.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（ ）A.可能是锐角三角形B.不可能是直角三角形C.仍然是直角三角形D.可能是钝角三角形8.能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ）A.AB ∥CD ，AD=BCB.AB=CD ，AD=BCC.∠A=∠B ，∠C=∠DD.AB=AD ，CB=CD9.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A.当AB=BC 时，它是菱形B.当AC ⊥BD 时，它是菱形C.当∠ABC=90°时,它是矩形D.当AC=BD 时，它是正方形第9题图 第10题图 第13题图 第15题图10.如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE=DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论：（1）AE=BF ；（2）AE ⊥BF ；（3）AO=OE ；（4）S △AOB =S 四边形DEOF 中正确的有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题（每小题3分，共24分）11.43a b +126b a b +-+可以合并，则ab = .12.若直角三角形的两直角边长为a 、b 269a a -+｜b －4｜=0,则该直角三角形的斜边长为 .13.如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S 1=25π，S2=2π，则S3= .14.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD,且OB=OD,请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD成为菱形（只需添加一个即可）.15.如图，△ABC在正方形网格中，若小方格边长为1，则△ABC的形状是.16.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,∠BAD=120°,AC=4，则该菱形的面积是.17.△ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是.18.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P为线段BC上的点.小明同学写出了一个以OD为腰的等腰三角形ODP的顶点P的坐标（3，4），请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标.三、解答题（共66分）19.（8分）计算下列各题：（1）48－18－13－0.5；（2）(23)2015·3)2016－2×|3|－(3)0.20.（8分）如图是一块地，已知AD＝4 m,CD＝3 m,AB＝13 m,BC＝12 m，且CD⊥AD,求这块地的面积.21.(8分)已知9+11与9－11的小数部分分别为a,b，试求ab－3a+4b－7的值.22.(10分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D 点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长.23.（10分）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC的中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF＝BC.求证：（1）DF＝AE；（2）DF⊥AC.24.（10分）如图，四边形ABCD是一个菱形绿地，其周长为402 m,∠ABC=120°,在其内部有一个四边形花坛EFGH，其四个顶点恰好在菱形ABCD各边的中点，现在准备在花坛中种植茉莉花，其单价为10元/m2,请问需投资金多少元？（结果保留整数）25.（12分）（1）如图①，已知△ABC,以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,连接BE,CD,请你完成图形，并证明：BE=CD;(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）如图②，已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接BE,CD,BE和CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图③，要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离，已经测得∠ABC=45°,∠CAE=90°,AB=BC=100米，AC=AE,求BE的长.八年级数学下期末综合检测卷一、选择题（每小题3分，共30分）1. ）A.1个B.2个C.3个D.4个2.x 的取值范围为（ ） A.x ≥4 B.x ≠3 C.x ≥4或x ≠3 D.x ≥4且x ≠33.下列计算正确的是（ ）=22 D.－154.在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，则点C 到AB 的距离是（ ）A.365B.1225C.945.平行四边形ABCD 中,∠B=4∠A,则∠C=（ ）A.18°B.36°C.72°D.144°6.如图,菱形ABCD 的两条对角线相交于O,菱形的周长是20 cm ，AC ∶BD=4∶3，则菱形的面积是（ ）A.12 cm 2B.24 cm 2C.48 cm 2D.96 cm 2第6题图第8题图第10题图7.若方程组的解是.则直线y=－2x+b与y=x－a的交点坐标是（）A.(－1，3)B.(1，－3)C.(3，－1)D.(3，1)8.甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（m）与赛跑时间t（s）的关系如图所示，则下列说法正确的是（）A.甲、乙两人的速度相同B.甲先到达终点C.乙用的时间短D.乙比甲跑的路程多9.在我市举行的中学生春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（）A.1.70，1.65B.1.70，1.70C.1.65，1.70D.3，410.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF ⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A.54B.52C.53D.65二、填空题（每小题3分，共24分）11.当x= 时，二次根式x+1有最小值，最小值为.12.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系式222c a b--a－b|=0,则△ABC的形状为.13.平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=13，AC=10，DB=24，则四边形ABCD的周长为.14.如图,一次函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2的图象相交于A（3，2），则不等式（k2－k1）x+b2－b1＞0的解集为.第14题图第16题图第18题图15.在数据－1，0，3，5，8中插入一个数据x,使得该组数据的中位数为3，则x的值为.16.如图，□ABCD中，E、F分别在CD和BC的延长线上，∠ECF=60°，AE∥BD，EF ⊥BC，EF=23，则AB的长是.17.（山东临沂中考）某中学随机抽查了50名学生，了解他们一周的课外阅读时间，结果如下表所示：则这50名学生一周的平均课外阅读时间是小时.18.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF，②∠AEB＝75°，③BE+DF＝EF，④S正方形ABCD＝3其中正确的序号是.（把你认为正确的都填上）三、解答题（共66分）19.（8分）计算下列各题：（1）2－3|－212-⎛⎫-⎪⎝⎭18（2）先化简，再求值：a b+÷(－a－22ab b+)，其中a3+1，b3－1.20.（8分）如图，折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE.若BC=10 cm,AB=8 cm.求EF的长.21.（9分）已知一次函数的图象经过点A（2,2）和点B（－2，－4）.（1）求直线AB的解析式;（2）求图象与x轴的交点C的坐标；（3）如果点M(a,－12)和点N（－4，b）在直线AB上，求a,b的值.22.（9分）（湖北黄冈中考）为了倡导“节约用水，从我做起”，黄冈市政府决定对市直机关500户家庭的用水情况做一次调查，市政府调查小组随机抽查了其中的100户家庭一年的月平均用水量（单位：吨），并将调查结果制成了如图所示的条形统计图.（1）请将条形统计图补充完整；（2）求这100个样本数据的平均数，众数和中位数；（3）根据样本数据，估计黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户？23.（10分）（山东德州中考）目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：（1）如何进货，进货款恰好为46000元？（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，此时利润为多少元？24.（10分）如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2.（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME.25.（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于A、B 两点，且△ABO的面积为12.（1）求k的值；（2）若点P为直线AB上的一动点,P点运动到什么位置时，△PAO是以OA为底的等腰三角形？求出此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接PO,△PBO是等腰三角形吗？如果是，试说明理由；如果不是，请在线段AB上求一点C,使得△CBO是等腰三角形.更多全套优质教学课件、教案、习题、试卷，请关注本人主页！0 2 4 ____________________ ... 教学备注 配套PPT 讲授 三边长均为正数，a+b+c ＞0 利用三角形三边关系 两边之和大于第三边，b +c -a ＞0，c -b -a ＜0 教学备注 配套PPT 讲授 6.当堂检测。
二次根式导学案
第十六章 二次根式16．1 二次根式【学习目标】：1、理解二次根式的概念；2、理解中 的取值范围；a a 3、掌握二次根式的基本性质，并能利用二次根式的性质进行简单的化简。
【重点】：二次根式的概念和基本性质【难点】：二次根式的基本性质的灵活运用。
【教学过程】一、温故而知新1、完成下列填空（1）正方形喷泉池的面积为30,那么正方形的边长是；2m m （2）圆形花坛的面积为S , 那么这个圆的半径是 ；（3）+81的算术平方根是。
2a 2、根据第1题中的式子，总结二次根式的概念 形如的式子叫做二次根式。
3、下列各式哪些是二次根式。
21234561二、合作探究: ____________练习一、为何值时，下列式子在实数范围内有意义？x 2、思考：请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式的认识。
3、导入新课，完成思考：（1）面积为3的正方形的边长为，面积为S 的正方形的边长为（2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130，则它的宽是 m 。
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t （单位：s ），与开始落下时离地面的高度h （单位：m ），满足关系式 。
如果用含有h 的式子表示t ，则t 为三、小组合作探究1、式子它们有什么共同特点？2、二次根式的定义：3、二次根式有什么特点？6535h例题1、说一说，下列各式是二次根式吗?4、跟踪训练：判断，下列各式中那些是二次根式？5、思考：二次根式根号内字母的取值范围应具备什么条件？例题2、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？总结：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：四、拓展训练1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？2、已知二次根式 有意义,那A(a, )在第 象限。
3、的最小值为＿＿，此时x 的值为＿＿。
五、课堂作业。
1、判断下列哪些式子是二次根式。
（C 组做）2、课本P5，A 、B 组做第1、7题，C 组做第1题。
3、选做题（1）若 ，则 （2）实数a,b 满足 ，求a 和a+b 的值。
人教版八年级数学下册教案：16.1.1二次根式
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的概念。二次根式是形如√a的表达式，其中a是非负实数。它在数学运算和现实生活中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算正方形田地的面积，展示二次根式在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次根式的性质和化简方法这两个重点。对于难点部分，如性质中的非负性和化简中的分解因式，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
-实际问题中的二次根式计算。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理能力，通过探究二次根式的性质与运算规则，提升数学推理和论证能力；
2.增强学生数学抽象思维，能从具体实例中抽象出二次根式的概念，理解其内涵与外延；
3.发展学生数学建模能力，学会将现实问题转化为二次根式的数学模型，并解决问题；
4.提高学生数学运算能力，熟练掌握二次根式的化简、乘除运算，并能应用于实际问题；
5.培养学生数学应用意识，能够运用所学二次根式知识解决生活及科学中的问题，体会数学的价值。
核心素养目标与课本紧密关联，旨在全面提升学生在二次根式领域的数学素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次根式的定义与性质：理解二次根式的概念，掌握其性质，如非负性、乘除运算法则等，这是学习后续知识的基础。
-化简二次根式：掌握化简二次根式的步骤与方法，如分解因式、约分等，以便于解决更复杂的数学问题。
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，Байду номын сангаас助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
(完整)16章 二次根式全章导学案
16。
1二次根式(1)学习目标:1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式，掌握二次根式有意义的条件。
2、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a· ·预 习 案（一）复习回顾:(1）已知a x =2，那么a 是x 的_ ____；x 是a 的___ _， 记为_ ___,a 一定是__ __数。
(2）4的算术平方根为2,用式子表示为 =______；正数a 的算术平方根为_____，0的算术平方根为____；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
思考：16 ,πs,3-b 等式子.说一说他们的共同特征.定义： 一般地我们把形如a (0≥a ）叫做二次根式，a 叫做______。
“”称为 。
1、判断下列各式，哪些是二次根式在后面“√",哪些不是在后面“×”？为什么？3（ ），16-（ ）,34（ ），)0(3≥a a ( ),12+x ( ) 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ,负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。
3、根据算术平方根意义计算 ：（1） 2)4( = （2） = (3)2)5.0( = （4)2)31(= 根据计算结果,你能得出结论： （0≥a ）4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2)(a ，利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
如（5)2=5或5=(5）2.练习：(1）把下列非负数写成一个数的平方的形式：6= 0.35=合 作 探 究例1:当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？________)(2=a 42)3(练习1:x 取何值时，下列各二次根式有意义?①② ③例2：在式子xx+-121中，x 的取值范围是什么?练习2：x 取何值时,下列各二次根式有意义？① ② ③训练案1、计算： 2)3(= 2)5.0(= 2= 2= 2、二次根式1-a 中，字母a 的取值范围是（ ）A 、 a ＜lB 、a ≤1C 、a ≥1D 、a ＞1 3、已知03=+x 则x 的值为（ )A 、 x >—3B 、x 〈-3C 、x =—3D 、 x 的值不能确定4有意义,则a 的值为_______．若xx+-121有意义，x 的取值范围是________。
八年级数学下册16二次根式161二次根式第1课时导学案新人教版
16.1二次根式（第一课时）学习目标1.了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式.2.掌握二次根式有意义的条件.3.掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 学习重点和难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a .一.预习内容（1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
二.数学概念及性质1.式子a 表示什么意义?2.什么叫做二次根式？3.式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？4.)0()(2≥=a a a 的意义是什么？5.如何确定一个二次根式有无意义？三.自主学习自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：1.试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34，5-，)0(3≥a a，12+x2.计算 ：(1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)31(2)3(4根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a ,)0()(2≥=a a a 的意义是 。
3. 当a 为正数时指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式中，字母a 必须满足 , 才有意义。
四.例题讲解1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ：x 取何值时，下列各二次根式有意义？①43-x ②223x + ③ 2、（1）若33a a ---有意义，则a 的值为___________．（2）若 在实数范围内有意义，则x 为（ ）。
A.正数B.负数C.非负数D.非正数五.总结反思1.说说你的收获2.你还有什么问题？六.能力提高 1.(1)在式子xx +-121中，x 的取值范围是____________. (2)已知42-x +y x +2＝0，则x-y ＝ ____________.(3)已知y ＝x -3+23--x ,则x y = _____________。
第16章二次根式全章导学案
第16章二次根式全章导学案学习目标：了解二次根式的概念，明白得二次根式有意义的条件，并会求二次根式中所含字母的取值范畴。
明白得二次根式的非负性学习重难点：二次根式有意义的条件和非负性的明白得和应用 学法指导：小组合作交流 一对一检查过关 导：看书后填空：二次根式应满足两个条件：（1）形式上必须是a 的形式。
（2）被开方数必须是 数。
判定下列格式哪些是二次根式?⑴ 3.0 ⑵ 3- ⑶ 2)21(- ⑷ ()223≥-a a⑸ 12+a ⑹ 3+a ⑺ a ⑻()02〈-x x学：代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。
（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 当x 是如何样实数时，下列各式在实数范畴内有意义？2-x ⑵x-21 ⑶13-+-x x ⑷2x ⑸3x （6）()01-a（1）常见的非负数有：a a a ,,2（2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 已知：0242=-++b a ，求a,b 的值。
巩固练习：已知(),03122=-++b a 求a,b 的值2.已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为 练：1.下列各式中：①52+-x ②2009 ③33 ④π ⑤22a - ⑥3+-x 其中是二次根式的有 。
2.若1213-+-x x 有意义，则x 的取值范畴是 。
3.已知122+-+-=x x y ，则=yx 4.函数x y +=2中，自变量x 的取值范畴是（）（A ） X>2 (B) X ≥2 (C) X>-2 (D) X ≥-2 5.若式子aba 1+-有意义，则P （a,b ）在第（ ）象限（A ）一 (B)二 (C)三 (D)四 6.若,011=-++b a 则=+20112011b a7.方程084=--+-m y x x ，当y>0时，m 的取值范畴是 8.已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值展：小组展现成果，提出质疑 评:1. 组内互助，解决质疑并进行小组评判。
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1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
【学习重点】二次根式有意义的条件． 【学习过程】【活动一】知识（5分钟）这些知识你还记得吗？（先独立完成1分钟，后同桌互查1分钟。
）1、如果对于任意数x ,有x 2= a ，那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 是x 的______;所以a 一定是_______数。
2、如果对于一个正数x ,有x 2= a ，那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 仍是x 的______;所以a 一定是_______数。
3、正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________； 【活动二】自主交流 探究新知（25分钟） 1、二次根式定义的学习：（12分钟）完成P2—思考中的容，阅读例1以上的容，尝试完成下面的问题： 1） 思考：如何判定一个式子是否是二次根式？23，16-，34，12+x 3）已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是 。
4）下列各式一定是二次根式的是（ ）A 、12+xB 、12-xC 、1--xD 、x总结：二次根式应满足的条件： 。
2、 二次根式有意义的条件的学习：（13分钟）自学课本P--2页例1后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： 1）x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x ③x--21（2）若在实数围有意义，则x 为（ ）。
B.负数C.非负数D.非正数总结：二次根式有意义的条件是： 【活动三】课小结 (学生归纳总结) （3分钟）1．非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式.二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值围有限制：被开方数a 必须是非负数。
20a ≥⎧⎪≥。
【活动四】拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟） 1、在式子xx+-121中，x 的取值围是____________.2、已知42-x +y x +2＝0，则x-y ＝ _____________.3、已知y ＝x -3+23--x ,则xy = _____________。
【活动五】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组互查2分钟。
） 1、下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？2，33，x1，x （x ＞0），0，42，y x +1，y x +（x ≥0,y ≥0）2、当x 是怎样的实数时，13-x 在实数围有意义？3、若20a -+=，则 2a b -= 。
【补充练习】1、式子112-+x x 有意义的x 的取值围是 。
2、已知：yxx x y 求,522+-+-=的值。
40)a ≥§16.1 《二次根式的性质》导学案【学习目标】1、理解二次根式的性质，能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简； 22=a （a ≥0）的过程，培养分类的数学思想。
【活动一】知识（1＇理解记忆，1＇组交流）1、当a ≥0二次根式，又是非负数a 的算术平方根，具≥0（a ≥0） 2、a取何值时下列各式有意义，;【活动二】自主交流 探究新知（3＇自主完成，2＇组交流，2＇大组展示） 1、探究二次根式性质根据算术平方根的意义填空⑴=；=________ ；=_______⑵2=；2=_______；2=________；2=_______=；=___________=_________根据（2）算式其结果与根号被开方数的关系，归纳得到：2=_______（其中，a 的取值围是___________）根据（3）算式其结果与根号幂的底数关系，归纳得到： （其中，a 的取值围是___________）2、代数式：阅读教材4页练习上面的容，理解代数式定义 代数式：【活动三】自主应用巩固新知（3＇自主完成，2＇组间互查）1、化简：（1）2 （2）2 （3）2（4）2(-2、求下列各式的值。
（122 ⑶2)21(-【活动四】拓展提升（3＇自主完成，2＇组交流，2＇大组展示）例1实数a 、b 在数轴上的位置如图： 化简2、若代数式22)4()2(-+-a a 的值是一个常数2，则a 的取值围是 。
3、已知10361216822=+-+++x x x x ，化简：|6|2)82(2-++x x 。
【活动五】当堂检测（5＇自主完成,2＇组互批）1、2(-=_____2=_____2=_____=_________ 2、如果2)2(2-=-x x ，那么x 的取值围是 。
3、若1<x<2，则2)1(|3|-+-x x 的值为. . . 0 a b _____________________⎧⎪⎨⎪⎩(0)a <(0)a >(0)a =§16.2.1《二次根式的乘除（1）》导学案【学习目标】1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。
【学习重点】掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
【学习过程】【活动一】知识（5分钟）（先独立完成1分钟，后同桌互查1分钟。
）2=_______。
计算：2(-=_____2=_____2=_____=________【活动二】自主交流 探究新知（25分钟） 一、探究二次根式的乘法法则：（12分钟） 1、计算：（1）4×9=______ 94⨯=_______ （2）16 ×25 =_______ 2516⨯=_______ （3）100 ×36 =_______ 36100⨯=_______ 2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：（1）4×9_____94⨯ （2）16×25____2516⨯ （3） 100×36__36100⨯总结：用符号表示二次根式的乘法法则： 。
二、二次根式的乘法法则的应用：（13分钟） 1、自学P6--例1后，依照例题进行计算：（1（2）25×32（3）a 5（4）5·a 3·b 31 2、自学P7—例2、例3后，完成下列问题：（1）用式子表示积的算术平方根的性质：ab = · （其中b a ,的取值围是：a ；b 。
）（2）化简：①4925⨯=②2212b a （其中a ＞0，b ＞0）= ③64100⨯= ④1560⨯=（3）思考：对于9×27的运算中不必把它变成243后再进行计算，你有什么好办法？【活动三】课堂小结 (学生归纳总结) （3分钟）1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数进行因数或因式分解。
（2）分解后把能开尽方的开出来。
【活动四】拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟） 1、判断下列各式是否正确并说明理由。
（1）)9()4(-⨯-＝94-⨯- （2）323b a =ab b 3 （3）×（）=68)2(6⨯-⨯=4812-（4）161694⨯ =161694⨯⨯＝34⨯＝12 2、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号。
(1) -332 (2) aa212- 【活动五】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组互查2分钟。
） 1、化简：（1）360= ；（2）432x = 2、计算：（1）3018⨯= ；（2）7523⨯= 。
16.2《二次根式的乘除（2）》导学案【学习目标】1、理解二次根式的除法法则，二次根式的除法运算和二次根式的化简，理解最简二次根式的概念。
2、通过二次根式的计算和化简，培养学生对根式的运算兴趣，并掌握运算的技巧 【活动一】知识（1＇理解记忆，1＇组交流）问题1：二次根式乘法法则是什么？完成下列填空：=-⨯-)25.0()09.0( ；=⨯2332 。
问题2：已知一个三角形的面积为21521cm ，一条边长为5cm ，求这条边上的高？【活动二】自主交流 探究新知 1、 二次根式的除法法则：（3＇自主完成，2＇组交流，1＇大组展示） 要求：自学课本8页容，完成下列问题：（1）二次根式的除法法则_____________________ 思考：①你能用文字语言叙述这一法则吗？②二次根式的乘法与除法法则中b 的取值围不同，你知道为什么吗？ （2）商的算术平方根的运算法则_________________________ 思考：该法则与二次根式的除法法则有什么关系？跟踪演练：模仿例4、例5的解答过程完成练习 ：（3＇自主完成，2＇组间互查） 计算（1（2（3（4化简：（1（2a>0，b ≥0 ） （32、 最简二次根式（5＇自主完成，2＇组交流，3＇大组展示）要求：自学课本9页容，完成下列问题： （1）、最简二次根式必须满足：①_____________ ②__________________________ （2）、判断下列二次根式，哪些是最简二次根式？为什么？①8；②a 1；③5.2；④22y x +；⑤22b a -；⑥342；⑦23跟踪演练：模仿例6的解答过程完成（3＇自主完成，2＇组间互查）计算 ①②③④总结：化最简二次根式的方法：【活动三】自主应用，拓展提升（3＇自主完成，2＇组交流，2＇大组展示） 1．等式2121++=++a a a a 成立的条件是( )A ．a ＞-1B ．a ＞-2C ．a ≥-1D ．a ≥-22、=324___；=232a ___（a>0）；=220x y _____(x<0) 活动四：快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组互查2分钟。
）1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A ．51 B ．5.0 C ．5 D ．502、计算与化简 （1）aa 62 （2）a28 （3）2724 （4）81816.3二次根式的加减（1）【学习目标】1、能进行二次根式的加减运算，掌握其运算步骤。
2、通过实际实际问题理解并掌握二次根式的加减法法则，通过与整式的加减法进行比较及动手练习掌握二次根式的加减法的运算技巧。
【活动一】知识（1＇理解记忆，1＇组交流）问题1:计算下列各式．（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3问题2：有一个三角形，它的两边长分别为cm20和cm80，如果该三角形的周长为cm59，你能求出第三边长吗？【活动二】自主交流探究新知1、二次根式的加减运算：（3＇自主完成，2＇组交流，1＇大组展示）要求：自学课本12页容，完成下列问题：归纳：二次根式的加减运算步骤：跟踪演练：（5＇自主完成，2＇组交流，2＇大组展示）1、下列运算错在哪里？如何改正？（1）325=-⑵3223=-⑶5353=+（4）3963==+⑸653332=+2、计算下列各式．（1）=___________ （2）（3 =_________ （4）=__________3、把下列二次根式化简，根据化简结果说明哪些二次根式可以合并。