2014年高考杭二中5月压轴理科数学试卷(含详细解答)
浙江省杭州二中2014届高三数学上学期第二次月考试题 理
杭州二中2013学年第一学期高三年级期中考试数学试卷注意事项：考试时间：120分钟；满分：150分。
本场考试不得使用计算器，请考生用水笔或钢笔将所有试题的答案填写在答题纸上，答在试卷上的无效。
一．选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）1. 设b a、为向量，则“a b a b ⋅=”是“b a //”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 33. 已知函数12()log 1f x x =-，则下列结论正确的是（ ）Ａ. 1()(0)(3)2f f f -<< Ｂ. 1(0)()(3)2f f f <-< Ｃ. 1(3)()(0)2f f f <-< Ｄ.1(3)(0)()2f f f <<-4．将函数x x f y sin )('=的图象向左平移4π个单位，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 是（ ） A ．2cos x B ．x sin 2 C ．sin x D ．cos x5．若4sin()sin cos()cos 5αββαββ---=，且α为第二象限角，则tan()4πα+=（ ）A ．7B ．17C ．7-D ．17-6.若数列{}{},n n a b 的通项公式分别是20132012(1)(1),2,n n n n a a b n++-=-=+且n n a b <对任意n N *∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-12⎡⎫⎪⎢⎭⎣，B ．1-22⎡⎫⎪⎢⎭⎣，C ．3-22⎡⎫⎪⎢⎭⎣，D ．3-12⎡⎫⎪⎢⎭⎣，7．设函数f(x)=x 2－23x+60, g(x)=f(x)+|f(x)|，则g(1)+g(2)+…+g (20)=（ ） A ．0 B ．38 C ． 56 D ．1128．设函数()()3402f x x x a a =-+<<有三个零点123,,x x x ，且123,x x x <<则下列结论正确的是（ ）A ．11x >-B ．20x <C ．201x <<D ．32x >9.已知()log (1),()2log (2)(1)a a f x x g x x t a =+=+>,若[0,1),[4,6)x t ∈∈时，)()()F x g x f x =-（有最小值4，则a 的最小值为（ ）A.1B.2C.1或2D. 2或410．已知定义在[1,)+∞上的函数4812(12)()1()(2)22x x f x x f x --≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则 ( )A.在[1,6）上，方程1()06f x x -=有5个零点 B.关于x 的方程1()02nf x -=（n N *∈）有24n +个不同的零点 C.当1[2,2]n n x -∈（n N *∈）时，函数()f x 的图象与x 轴围成的面积为4D.对于实数[1,)x ∈+∞，不等式()6xf x ≤恒成立 二．填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分） 11.已知4cos(),25πθ+=则cos2θ的值是 . 12.平面向量a b 与的夹角为060，(2,0),223,a a b b =+==则 .13.函数()sin (),()2,()0,f x x x x R f f ωωαβ=+∈=-=又且-αβ的最小值等于2π，则正数ω的值为 .14.已知正实数a b 、满足21a b +=，则2214a b ab++的最小值为 . 15.记数列{}n a 的前n 和为n s ，若n n s a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为d 的等差数列，则{}n a 为等差数列时,d 的值为 . 16.设实数1x 、2x 、、n x 中的最大值为{}12max n x x x ，，，，最小值{}12min n x x x ，，，，设ABC ∆的三边长分别为a b c 、、，且a b c ≤≤，设ABC ∆的倾斜度为t =max min a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，，设2=a ，则t 的取值范围是 .17.已知向量αβγ、、满足1α=，αββ-=，()()0αγβγ-⋅-=.若对每一确定的β，γ的最大值和最小值分别是m n 、，则对任意β，m n -的最小值是 . 三．解答题（本大题有5小题，共72分） 18. （本题满分14分）已知集合{}2=320A x x x -+≤，集合{}2B=2y y x x a =-+，集合{}2C=40x x ax --≤.命题:p A B ≠∅，命题:q A C ⊆(Ⅰ)若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若命题p q ∧为真命题，求实数a 的取值范围.19. （本题满分14分）在数列{}n a 中，点1(,)(1,2,,)i i P a a i n +=在直线2y x k =+上，数列{}n b 满足条件：112,().n n n b b a a n N *+==-∈(Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式； (Ⅱ)若2121log ,,n n n n nc b s c c c b ==+++求12602n n s n +->+成立的正整数n 的最小值.20.（本题满分14分）已知函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2. (Ⅰ)当]125,12[ππ-∈x 时，求函数)(x f 的最小值和最大值(Ⅱ)设△ABC 的对边分别为c b a ,,，且3=c ，0)(=C f ,若A B sin 2sin =，求b a ,的值.21．（本小题满分15分） 已知函数()1ln(02)2xf x x x=+<<-. (Ⅰ)是否存在点(,)M a b ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数 ()y f x =的图像上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(Ⅱ)定义2111221()()()()n n i i n S f f f f n n n n-=-==++⋅⋅⋅+∑，其中*n ∈N ，求2013S ； （Ⅲ）在（2）的条件下，令12n n S a +=，若不等式2()1n amn a ⋅>对*n ∀∈N ，且2n ≥恒成立，求实数m 的取值范围. 22．（本小题满分15分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”； 若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的 集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω.(Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围；(Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，求证：(24)0d d t ⋅+->；(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的 最小值；若不存在，说明理由.杭州二中2013学年第一学期高三年年级期中考试数学答案一、选择题二、填空题 11.725-12.1 13.1 14.217 15.1或12 16. 17.12三、解答题18.解;{}222(1)11,1y x x a x a a B y y a =-+=-+-≥-∴=≥-,{}{}232012A x x x x x =-+≤=≤≤, {}240C x x ax =--≤(Ⅰ)由命题p 是假命题，可得=A B ∅，即得12,3a a ->∴>. (Ⅱ) p q ∧为真命题，∴p q 、 都为真命题， 即AB ≠∅，且A C ⊆ ∴有121404240a a a -≤⎧⎪--≤⎨⎪--≤⎩，解得03a ≤≤.19.解: (Ⅰ)依题意1112,222()2n n n n n n n n n n n a a k b a k a a kb a k a k k a k b +++=+∴=+-=+∴=+=++=+=又12,b = 而12n nbb +=，∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列.即得1222n nn b -==，为数列{}n b 的通项公式. -------6分(Ⅱ)由2211log 2log 2.2n n n n n n c b n b ==⋅=-⋅ 2312()1222322n n n s c c c n -=-+++=⨯+⨯+⨯++⨯23412122232(1)22n n n s n n +∴-=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯上两式相减得 23112(12)22222212n nn n n s n n ++-=++++-⨯=-⨯-11222n n n ++=-⨯- 由12602n n s n +->+，即得11260,260n n n n ++⋅>∴>，又当4n ≤时，15223260n +≤=<，当5n ≥时，16226460.n +≥=>故使12602n n s n +->+成立的正整数的最小值为5. -------14分20.解: (Ⅰ)211+cos21()2cos 222x f x x x x =--=--1)62sin(--=πx 由]125,12[ππ-∈x ，∴26x π-∈2[,]33ππ-()f x ∴的最小值为.0,231最大值---------7分 (Ⅱ)由0)(=C f 即得()sin(2)106f C C π=--=，而又(0,)C π∈，则112(,),266662C C πππππ-∈-∴-=，∴3C π=，则由22222222cos 3b a b a c a b ab C a b ab==⎧⎧⎨⎨=+-=+-⎩⎩即 解得1,2a b ==. ----------14分21.（1）假设存在点(,)M a b ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上，则函数()y f x =图像的对称中心为(,)M a b . 由()(2)2f x f a x b +-=，得21ln1ln 2222x a xb x a x-+++=--+， 即22222ln 0244x axb x ax a -+-+=-++-对(0,2)x ∀∈恒成立，所以220,440,b a -=⎧⎨-=⎩解得1,1.a b =⎧⎨=⎩ 所以存在点(1,1)M ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上. -------5分（Ⅱ）由（1）得()(2)2(02)f x f x x +-=<<.令i x n =，则()(2)2i if f n n+-=(1,2,,21)i n =⋅⋅⋅-. 因为1221()()(2)(2)n S f f f f n n n n =++⋅⋅⋅+-+-①，所以1221(2)(2)()()n S f f f f n n n n=-+-+⋅⋅⋅++②，由①+②得22(21)n S n =-，所以*21()n S n n =-∈N .所以20132201314025S =⨯-=.-------10分（Ⅲ）由（2）得*21()n S n n =-∈N ，所以*1()2n n S a n n +==∈N . 因为当*n ∈N 且2n ≥时，2()121ln ln 2n a m n m n n m a n n ⋅>⇔⋅>⇔>-.所以当*n ∈N 且2n ≥时，不等式ln ln 2n m n >-恒成立minln ln 2n m n ⎛⎫⇔>- ⎪⎝⎭. 设()(0)ln xg x x x=>，则2ln 1()(ln )x g x x -'=. 当0x e <<时，()0g x '<，()g x 在(0,)e 上单调递减； 当x e >时，()0g x '>，()g x 在(,)e +∞上单调递增. 因为23ln 9ln8(2)(3)0ln 2ln 3ln 2ln 3g g --=-=>⋅，所以(2)(3)g g >， 所以当*n ∈N 且2n ≥时，[]min 3()(3)ln 3g n g ==. 由[]min ()ln 2m g n >-，得3ln 3ln 2m >-，解得3ln 2ln 3m >-. 所以实数m 的取值范围是3ln 2(,)ln 3-+∞.-------15分22.解：(Ⅰ)1(),f x ∈Ω且2(),f x ∉Ω即2()()2f x g x x hx h x==--在(0,)+∞上是增函数，∴0h ≤2分 而2()()2f x h h x x h x x==--在(0,)+∞不是增函数，而'2()1,h h x x =+当()h x 是增函数时0h ≥，∴ ()h x 不是增函数时，0h <，综上0h <4分.(Ⅱ)1(),f x ∈Ω且0a b c <<<a b c <++，则()()4,f a f a b c a a b c a b c++<=++++4()a f a d a b c ∴=<++，同理44(),()b cf b d f c t a b c a b c=<=<++++，则有 4()()()()24a b c f a f b f c d t a b c ++++=+<=++，240d t ∴+-<，又(),0d d d b a a b ab-<∴<，而00b a d >>∴<，0d ∴<，(24)0d d t ∴+->8分.(Ⅲ){}2()(),,(0,),()f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取∴对任意()f x ∈ψ,存在常数k ，使得()f x k <，对(0,)x ∈+∞成立.先证明()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立，假设存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x >，记020()0f x m x =>. ()f x 是二阶比增函数，即2()f x x是增函数，0x x ∴>时，0220()()f x f x m x x >=，2()f x mx ∴>， ∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与对(0,)x ∈+∞，()f x k <矛盾.11分∴()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立. 即任意()f x ∈ψ，()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立.下面证明()0f x =在(0,)x ∈+∞上无解:假设存在20x >，使得2()0f x =，一定存在320x x >>，3232()()0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾，()0f x ∴=在(0,)x ∈+∞上无解. 综上，对任意()f x ∈ψ，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，存在0,(0,)M x ≥∈+∞使，任意()f x ∈ψ， 有()f x M <成立，min 0M ∴=. 15.。
2014年浙江省高考数学试卷(理科)(附参考答案+详细解析Word打印版)
2014年浙江省普通高等学校招生统一考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁U A=（）A．∅B．{2}C．{5}D．{2，5}2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm24．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位5．（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f （3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A．45 B．60 C．120 D．2106．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞97．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．8．（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（）A．min{|+|，|﹣|}≤min{||，||} B．min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C．max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2 D．max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||2 9．（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m ≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i=1，2）．则（）A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）10．（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）A．I1＜I2＜I3B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2D．I3＜I2＜I1二、填空题11．（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是．12．（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=．13．（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是．14．（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）．15．（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是．16．（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．17．（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）三、解答题18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求△ABC的面积．19．（14分）已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．20．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．21．（15分）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a ﹣b．22．（14分）已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M （a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．2014年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁U A=（）A．∅B．{2}C．{5}D．{2，5}【分析】先化简集合A，结合全集，求得∁U A．【解答】解：∵全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3}，则∁U A={2}，故选：B．【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题．2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”⇒“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”⇐“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．【解答】解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选：A．【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．3．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．4．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，得到y==的图象．【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查．5．（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f （3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A．45 B．60 C．120 D．210【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可．【解答】解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：=20．f（3，0）=20；含x2y1的系数是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系数是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系数是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．故选：C．【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．6．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞9【分析】由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）列出方程组求出a，b，代入0＜f（﹣1）≤3，即可求出c的范围．【解答】解：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）得，解得，则f（x）=x3+6x2+11x+c，由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3，故选：C．【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题．7．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象，比照后可得答案．【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：此时答案D满足要求，当a＞1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：无满足要求的答案，综上：故选D，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．8．（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（）A．min{|+|，|﹣|}≤min{||，||} B．min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C．max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2 D．max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||2【分析】将，平移到同一起点，根据向量加减法的几何意义可知，+和﹣分别表示以，为邻边所做平行四边形的两条对角线，再根据选项内容逐一判断．【解答】解：对于选项A，取⊥，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边min{|+|，|﹣|}=0，显然，不等式不成立；对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边max{|+|2，|﹣|2}=|+|2=4，而不等式右边=||2+||2=2，故C不成立，D选项正确．故选：D．【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将，，，放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有效的方法．9．（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m ≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i=1，2）．则（）A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）【分析】首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当ξ=1时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；ξ=2时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出P1，P2和E（ξ1），E（ξ2）进行比较即可．【解答】解析：，，，所以P1＞P2；由已知ξ1的取值为1、2，ξ2的取值为1、2、3，所以，==，E（ξ1）﹣E（ξ2）=．故选：A．【点评】正确理解ξi（i=1，2）的含义是解决本题的关键．此题也可以采用特殊值法，不妨令m=n=3，也可以很快求解．10．（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）A．I1＜I2＜I3B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2D．I3＜I2＜I1【分析】根据记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k （a98）|，分别求出I1，I2，I3与1的关系，继而得到答案【解答】解：由，故==1，由，故×=×＜1，+=，故I2＜I1＜I3，故选：B．【点评】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．二、填空题11．（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是6．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件S＞50，跳出循环体，确定输出的i的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1，i=2；第二次循环S=2×1+2=4，i=3；第三次循环S=2×4+3=11，i=4；第四次循环S=2×11+4=26，i=5；第五次循环S=2×26+5=57，i=6，满足条件S＞50，跳出循环体，输出i=6．故答案为：6．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．12．（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=．【分析】结合方差的计算公式可知，应先求出P（ξ=1），P（ξ=2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得．【解答】解析：设P（ξ=1）=p，P（ξ=2）=q，则由已知得p+q=，，解得，，所以．故答案为：【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．13．（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是[] ．【分析】由约束条件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得C（1，）．联立，解得B（2，1）．在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．要使1≤ax+y≤4恒成立，则，解得：1．∴实数a的取值范围是．解法二：令z=ax+y，当a＞0时，y=﹣ax+z，在B点取得最大值，A点取得最小值，可得，即1≤a≤；当a＜0时，y=﹣ax+z，在C点取得最大值，①a＜﹣1时，在B点取得最小值，可得，解得0≤a≤（不符合条件，舍去）②﹣1＜a＜0时，在A点取得最小值，可得，解得1≤a≤（不符合条件，舍去）综上所述即：1≤a≤；故答案为：．【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题．14．（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有60种（用数字作答）．【分析】分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张．【解答】解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有=24种；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有=36种，共有24+36=60种．故答案为：60．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．15．（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是（﹣∞，] ．【分析】画出函数f（x）的图象，由f（f（a））≤2，可得f（a）≥﹣2，数形结合求得实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=，它的图象如图所示：由f（f（a））≤2，可得f（a）≥﹣2．当a＜0时，f（a）=a2+a=（a+）2﹣≥﹣2恒成立；当a≥0时，f（a）=﹣a2≥﹣2，即a2≤2，解得0≤a≤，则实数a的取值范围是a≤，故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．16．（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴=b，∴e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）【分析】过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，求出PP′，AP′，利用函数的性质，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：∵AB=15m，AC=25m，∠ABC=90°，∴BC=20m，过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，设B P′=x，则CP′=20﹣x，由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°=（20﹣x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=•，令y=，则函数在x∈[0，20]单调递减，∴x=0时，取得最大值为=．若P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan30°=（20+x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=•，令y=，则y′=0可得x=时，函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求△ABC的面积．【分析】（1）利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得，由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π），可得，即可得出．（2）利用正弦定理可得a，利用两角和差的正弦公式可得sinB，再利用三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）由题意得，，∴，化为，由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π），得，即，∴；（2）由，利用正弦定理可得，得，由a＜c，得A＜C，从而，故，∴．【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．【分析】（Ⅰ）先利用前n项积与前（n﹣1）项积的关系，得到等比数列{a n}的第三项的值，结合首项的值，求出通项a n，然后现利用条件求出通项b n；（Ⅱ）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明．【解答】解：（Ⅰ）∵a1a2a3…a n=（n∈N*）①，当n≥2，n∈N*时，②，由①②知：，令n=3，则有．∵b3=6+b2，∴a3=8．∵{a n}为等比数列，且a1=2，∴{a n}的公比为q，则=4，，∴q＞0，∴q=2．由题意知a n＞0∴（n∈N*）．又由a1a2a3…a n=（n∈N*）得：，，∴b n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅱ）（i）∵c n===．∴S n=c1+c2+c3+…+c n====；（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，，而=＞0，得，所以，当n≥5时，c n＜0，综上，对任意n∈N*恒有S4≥S n，故k=4．【点评】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题．20．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．【分析】（Ⅰ）依题意，易证AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，利用题中的数据，解三角形，可求得BF=，AF=AD，从而GF=，cos∠BFG==，从而可求得答案．【解答】证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=，由AC=，AB=2得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD．在Rt△ACD中，由DC=2，AC=，得AD=；在Rt△AED中，由ED=1，AD=得AE=；在Rt△ABD中，由BD=，AB=2，AD=得BF=，AF=AD，从而GF=，在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE=，BG=．在△BFG中，cos∠BFG==，所以，∠BFG=，二面角B﹣AD﹣E的大小为．【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．21．（15分）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a ﹣b．【分析】（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去y得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0，利用△=0，可求得在第一象限中点P的坐标；（Ⅱ）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，设直线l1的方程为x+ky=0，利用点到直线间的距离公式，可求得点P到直线l1的距离d=，整理即可证得点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b．．【解答】解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去y得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故△=0，即b2﹣m2+a2k2=0，此时点P的横坐标为﹣，代入y=kx+m得点P的纵坐标为﹣k•+m=，∴点P的坐标为（﹣，），又点P在第一象限，故m＞0，故m=，故点P的坐标为P（，）．（Ⅱ）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，故直线l1的方程为x+ky=0，所以点P到直线l1的距离d=，整理得：d=，因为a2k2+≥2ab，所以≤=a﹣b，当且仅当k2=时等号成立．所以，点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力．22．（14分）已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M （a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用分段函数，结合[﹣1，1]，分类讨论，即可求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h′（x）=，则[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，转化为﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，分类讨论，即可求3a+b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x3+3|x﹣a|=，∴f′（x）=，①a≤﹣1时，∵﹣1≤x≤1，∴x≥a，f（x）在（﹣1，1）上是增函数，∴M（a）=f（1）=4﹣3a，m（a）=f（﹣1）=﹣4﹣3a，∴M（a）﹣m（a）=8；②﹣1＜a＜1时，x∈（a，1），f（x）=x3+3x﹣3a，在（a，1）上是增函数；x∈（﹣1，a），f（x）=x3﹣3x+3a，在（﹣1，a）上是减函数，∴M（a）=max{f（1），f（﹣1）}，m（a）=f（a）=a3，∵f（1）﹣f（﹣1）=﹣6a+2，∴﹣1＜a≤时，M（a）﹣m（a）=﹣a3﹣3a+4；＜a＜1时，M（a）﹣m（a）=﹣a3+3a+2；③a≥1时，有x≤a，f（x）在（﹣1，1）上是减函数，∴M（a）=f（﹣1）=2+3a，m（a）=f（1）=﹣2+3a，∴M（a）﹣m（a）=4；（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h′（x）=，∵[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，∴﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，由（Ⅰ）知，①a≤﹣1时，h（x）在（﹣1，1）上是增函数，最大值h（1）=4﹣3a+b，最小值h（﹣1）=﹣4﹣3a+b，则﹣4﹣3a+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2矛盾；②﹣1＜a≤时，最小值h（a）=a3+b，最大值h（1）=4﹣3a+b，∴a3+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2，令t（a）=﹣2﹣a3+3a，则t′（a）=3﹣3a2＞0，t（a）在（0，）上是增函数，∴t（a）＞t（0）=﹣2，∴﹣2≤3a+b≤0；③＜a＜1时，最小值h（a）=a3+b，最大值h（﹣1）=3a+b+2，则a3+b≥﹣2且3a+b+2≤2，∴﹣＜3a+b≤0；④a≥1时，最大值h（﹣1）=3a+b+2，最小值h（1）=3a+b﹣2，则3a+b﹣2≥﹣2且3a+b+2≤2，∴3a+b=0．综上，3a+b的取值范围是﹣2≤3a+b≤0．【点评】本题考查导数的综合运用，考查函数的最值，考查分类讨论、化归与转化的数学思想，难度大．。
2014年全国高考浙江省高中数学理科试卷和答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c 7.在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设a,b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2i i ξ=； （b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =.则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则( )A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D.123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________.13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不 同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______15.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________ 17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值 。
2014年高考浙江理科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年浙江，理1，5分】设全集{|2}U x N x =∈≥，集合2{|5}A x N x =∈≥，则U A =( ）(A ）∅ （B ）{2} （C){5} (D){2,5} 【答案】B【解析】2{|5}{|5}A x N x x N x =∈≥=∈≥，{|25}{2}U C A x N x =∈≤<=，故选B ． 【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题． （2）【2014年浙江，理2，5分】已知i 是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==”是“2(i)2i a b +="的（ ）(A ）充分不必要条件 (B ）必要不充分条件 (C ）充分必要条件 （D)既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当1a b ==时,22(i)(1i)2i a b +=+=，反之，2(i)2i a b +=，即222i 2i a b ab -+=,则22022a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩ 或11a b =-⎧⎨=-⎩，故选A ．【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题． （3）【2014年浙江，理3，5分】某几何体的三视图(单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是（ ） （A ）902cm （B)1292cm （C ）1322cm （D)1382cm【答案】D【解析】由三视图可知直观图左边一个横放的三棱柱右侧一个长方体，故几何体的表面积为:1246234363334352341382S =⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=，故选D ．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（4）【2014年浙江，理4，5分】为了得到函数sin3cos3y x x =+的图像,可以将函数2cos3y x =的图像（ )（A ）向右平移4π个单位 (B ）向左平移4π个单位 (C ）向右平移12π个单位 （D ）向左平移12π个单位【答案】C【解析】sin3cos32sin(3)2sin[3()]412y x x x x ππ=+=+=+，而2cos32sin(3)2y x x π==+=2sin[3()]6x π+，由3()3()612x x ππ+→+,即12x x π→-，故只需将2cos3y x =的图象向右平移12π个单位，故选C ．【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用,基本知识的考查． （5）【2014年浙江，理5，5分】在64(1)(1)x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数(,)f m n ，则(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++=( ） （A ）45 （B ）60 （C)120 （D ）210 【答案】C 【解析】令x y =，由题意知(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++即为10(1)x +展开式中3x 的系数，故(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++=710120C =，故选C ． 【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用,考查计算能力． （6）【2014年浙江，理6,5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++ ，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤（ ) （A ）3c ≤ (B ）36c <≤ （C ）69c <≤ （D ）9c >【答案】C【解析】由(1)(2)(3)f f f -=-=-得184212793a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩，解得611a b =⎧⎨=⎩,所以32()611f x x x x c =+++，由0(1)3f <-≤，得016113c <-+-+≤，即69c <≤，故选C ．【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法,属于基础题． （7）【2014年浙江，理7，5分】在同一直角坐标系中，函数()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =的图像可能是（ )（A ） （B ） (C ） （D ）【答案】D【解析】函数()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =分别的幂函数与对数函数答案A 中没有幂函数的图像, 不符合；答案B 中，()(0)a f x x x =≥中1a >，()log a g x x =中01a <<，不符合；答案C 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中1a >,不符合;答案D 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中01a <<,符合,故选D ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．（8）【2014年浙江，理8,5分】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，y,min{,}x,x yx y x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量,则（ ）（A)min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤ （B ）min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥ （C ）2222max{||,||}||||a b a b a b +-≤+ （D ）2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+【答案】D【解析】由向量运算的平行四边形法可知min{||,||}a b a b +-与min{||,||}a b 的大小不确定，平行四边形法可知max{||,||}a b a b +-所对的角大于或等于90︒ ,由余弦定理知2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+, （或22222222||||2(||||)max{||,||}||||22a b a b a b a b a b a b ++-++-≥==+),故选D ．【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将a ，b ,a b +，a b -放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法,也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点,有时“排除法"，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有效的方法．（9)【2014年浙江，理9,5分】已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球(3,3)m n ≥≥，从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放入甲盒中．（a ）放入i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=； （b ）放入i 个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =．则（ ）（A)1212,()()p p E E ξξ><(B)1212,()()p p E E ξξ<>（C ）1212,()()p p E E ξξ>>（D ）1212,()()p p E E ξξ<< 【答案】A【解析】解法一:11222()m n m np m n m n m n +=+⨯=+++ ，211222221233n m n m m n m n m nC C C C p C C C +++=++=223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++-, ∴1222()m n p p m n +-=+－223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++-=5(1)06()(1)mn n n m n m n +->++-，故12p p >．又∵1(1)n P m n ξ==+,1(2)m P m n ξ==+，∴12()12n m m nE m n m n m nξ+=⨯+⨯=+++,又222(1)(1)()(1)n m n C n n P C m n m n ξ+-===++-,11222(2)()(1)n m m n C C mnP C m n m n ξ+===++-,222(m 1)(3)()(1)m m n C m P C m n m n ξ+-===++- ∴2(1)2(1)()123()(1)()(1)()(1)n n mn m m E m n m n m n m n m n m n ξ--=⨯+⨯+⨯++-++-++-=22334()(1)m n m n mn m n m n +--+++- 21()()E E ξξ-=22334()(1)m n m n mn m n m n +--+++-－2m n m n ++=(1)0()(1)m m mnm n m n -+>++-，所以21()()E E ξξ>，故选A ．解法二：在解法一中取3m n ==，计算后再比较，故选A ．【点评】正确理解()1,2i i ξ=的含义是解决本题的关键．此题也可以采用特殊值法,不妨令3m n ==,也可以很快求解．（10）【2014年浙江，理10，5分】设函数21()f x x =，22()2()f x x x =-,31()|sin 2|3f x x π=,99i i a =，0,1,2i =，,99，记10219998|()()||()()||()()|k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-，1,2,3k =，则（ ） （A ）123I I I << （B ）213I I I << （C)132I I I << (D ）321I I I << 【答案】B【解析】解法一：由22112199999999i i i --⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2111352991199()199999999999999I ⨯-=++++==,由2211199(21)22||999999999999i i i i i ----⎛⎫⎛⎫--+=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故2150(980)98100221992999999I +=⨯⨯⨯=<⨯， 3110219998(|sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)|)3999999999999I ππππππ=-+-++-=12574[2sin(2)2sin(2)]139999ππ->，故213I I I <<，故选B ． 解法二：估算法:k I 的几何意义为将区间[0,1]等分为99个小区间，每个小区间的端点的函数值之差的绝对值之和．如图为将函数21()f x x =的区间[0,1]等分为4个小区间的情形，因1()f x 在[0,1]上递增,此时110213243|()()||()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a f a f a =-+-+-+- =11223344A H A H A H A H +++(1)(0)f f =-1=，同理对题中给出的1I ,同样有11I =；而2I 略小于1212⨯=，3I 略小于14433⨯=，所以估算得213I I I <<，故选B ．【点评】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．（11）【2014年浙江,理11，5分】若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是 ． 【答案】6【解析】第一次运行结果1,2S i ==;第二次运行结果4,3S i ==；第三次运行结果11,4S i ==;第四次运行结果26,5S i ==；第五次运行结果57,6S i ==；此时5750S =>，∴输出6i =．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．（12）【2014年浙江，理12,5分】随机变量ξ的取值为0,1，2，若1(0)5P ξ==，()1E ξ=,则()D ξ= ．【答案】25 【解析】设1ξ=时的概率为p ，ξ的分布列为： 由11()012(1)155E p p ξ=⨯+⨯+⨯--= ,解得35p =ξ的分布列为即为故2221312()(01)(11)(21)5555E ξ=-⨯+-⨯+-⨯=．【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．(13)【2014年浙江，理13,5分】当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时,14ax y ≤+≤恒成立,则实数a 的取值范围是__．【答案】3[1,]2【解析】解法一：作出不等式组240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示的区域如图,由14ax y ≤+≤恒成立，故3(1,0),(2,1),(1,)2A B C ，三点坐标代入14ax y ≤+≤，均成立得1412143142a a a ⎧⎪≤≤⎪≤+≤⎨⎪⎪≤+≤⎩解得312a ≤≤ ，∴实数a 的取值范围是3[1,]2．解法二：作出不等式组240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示的区域如图，由14ax y ≤+≤得，由图分析可知，0a ≥且在(1,0)A 点取得最小值，在(2,1)B 取得最大值，故1214a a ≥⎧⎨+≤⎩,得312a ≤≤，故实数a 的取值范围是3[1,]2．【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法,训练了不等式组得解法，是中档题．（14)【2014年浙江，理14，5分】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 种（用数字作答）． 【答案】60【解析】解法一：不同的获奖分两种，一是有一人获两张奖券，一人获一张奖券,共有223436C A =, 二是有三人各获得一张奖券，共有3424A =,因此不同的获奖情况共有362460+=种． 解法二:ξ 0 1 2 P 15p 115p -- ξ 0 1 2P 15 35 15将一、二、三等奖各1张分给4个人有3464=种分法,其中三张奖券都分给一个人的有4种分法, 因此不同的获奖情况共有64460-=种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．（15）【2014年浙江，理15，5分】设函数22,0(),0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若(())2f f a ≤,则实数a 的取值范围是 ．【答案】(,2]-∞．【解析】由题意2()0()()2f a f a f a <⎧⎨+≤⎩或2()0()2f a f a ≥⎧⎨-≤⎩，解得()2f a ≥-∴当202a a a <⎧⎨+≥-⎩或202a a ≥⎧⎨-≥-⎩，解得2a ≤．【点评】本题主要考查分段函数的应用,其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．(16)【2014年浙江，理16，5分】设直线30x y m -+=（0m ≠） 与双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>）两条渐近线分别交于点A ，B ．若点(,0)P m 满足||||PA PB =,则该双曲线的离心率是 ．【答案】52【解析】解法一：由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为b y x a =和by x a =-，分别与直线l ： 30x y m -+= 联立方程组，解得，(,)33am bm A a b a b ----，(,)33am bmB a b a b -++,设AB 中点为Q ，由||||PA PB = 得，则3333(,)22am am bm bma b a b a b a b Q ---++-+-+，即2222223(,)99a m b m Q a b a b ----，PQ 与已知直线垂直，∴1PQ lk k =-,即222222319139b m a b a m m a b --=----， 即得2228a b =，即22228()a c a =-，即2254c a =，所以52c e a ==．解法二:不妨设1a =，渐近线方程为222201x y b -=即2220b x y -=，由222030b x y x y m ⎧-=⎨-+=⎩消去x ，得2222(91)60b y b my b m --+=，设AB 中点为00(,)Q x y ,由韦达定理得：202391b m y b =-……① ，又003x y m =-，由1PQ l k k =-得00113y x m =--，即得0011323y y m =--得035y m =代入①得2233915b m m b =-，得214b =,所以22215144c a b =+=+=,所以52c =，得52c e c a ===．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． (17)【2014年浙江，理17,5分】如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ,需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若15AB m =，25AC m =,30BCM ∠=︒，则tan θ的最大值是 （仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)．【答案】539【解析】解法一：∵15cm AB =，25cm AC =,90ABC ∠=︒，∴20cm BC =，过P 作PP BC '⊥，交BC 于P '，1︒当P 在线段BC 上时,连接AP '，则'tan 'PP AP θ=，设BP x '=，则20CP x '=-，（020x ≤<）由30BCM ∠=︒，得3''tan 30(20)3PP CP x =︒=-． 在直角ABP ∆'中,2'225AP x =+ ∴2'320tan '3225PP x AP x θ-==+，令220225xy x -=+,则函数在[]0,20x ∈单调递减,∴0x =时,tan θ取得最大值为232002034334592250-==+ 2︒当P 在线段CB 的延长线上时,连接AP '，则'tan 'PP AP θ=，设BP x '=, 则20CP x '=+，(0x >)由30BCM ∠=︒,得3''tan 30(20)3PP CP x =︒=+，在直角ABP ∆'中,2'225AP x =+，∴2'320tan '3225PP xAP x θ+==+， 令220225x y x +=+，则2222520'(225x )225xy x -=++，∴当225450204x <<=时'0y >;当454x >时'0y <， 所以当454x =时max 2452054345225()4y +==+，此时454x =时，tan θ取得最大值为3553339=， 综合1︒,2︒可知tan θ取得最大值为539． 解法二：如图以B 为原点，BA 、BC 所在的直线分别为x ，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵15cm AB =，25cm AC =，90ABC ∠=︒,∴20cm BC =，由30BCM ∠=︒，可设3(0,,(20))3P x x -（其中20x ≤),'(0,,0)P x ，(15,0,0)A ，所以2223(20)'3203tan '315225x PP x AP x x θ--===++， 设2320(x)tan 3225x f x θ-==+（20x ≤),22322520'(x)3(225)225xf x x +=-++，所以，当22545204x <-=- 时'0y >；当45204x -<≤时'0y <,所以当454x =-时max 24520453534()()43945225()4f x f +=-==+,所以tan θ取得最大值为539． 解法三： 分析知，当tan θ取得最大时，即θ最大，最大值即为平面ACM 与地面ABC 所成的锐二面角的度量值，如图，过B 在面BCM 内作BD BC ⊥交CM 于D ， 过B 作BH AC ⊥于H ，连DH ，则BHD ∠即为平面ACM 与地面ABC 所成 的二面角的平面角，tan θ的最大值即为tan BHD ∠,在Rt ABC ∆中,由等面积法可得15201225AB BC BH AC ===，203tan303DB BC =︒=， 所以max 203533(tan )tan 129DB BHD BH θ=∠===．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力,属于中档题． 三、解答题：本大题共5题，共72分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（18）【2014年浙江，理18,14分】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知,3a b c ≠=，22cos cos 3sin cos 3sin cos A B A A B B -=-．（1)求角C 的大小;（2）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积． 解:（1）由题得1cos21cos233sin 2sin 22222A B A B ++-=-，即3131sin 2cos2sin 2cos22222A AB B -=-, sin(2)sin(2B )66A ππ-=-，由a b ≠得A B ≠，又(0,)A B π+∈ ,得22B 66A πππ-+-=, 即23A B π+=，所以3C π=．（2)3c =,4sin 5A =，sin sinC a c A =，得85a =,由a c < 得A C <，从而3cos 5A =， 故sin sin()B AC =+=433sinAcosC cosAsinC 10++=,所以，ABC ∆的面积为18318sin 225S ac B +==．【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．（19)【2014年浙江，理19，14分】已知数列{}n a 和{}n b 满足123(2)(*)n b n a a a a n N =∈．若{}n a 为等比数列，且1322,6a b b ==+．（1）求n a 与n b ;（2）设11(*)n n n c n N a b =-∈．记数列{}n c 的前n 项和为n S ．（ⅰ）求n S ;（ⅱ）求正整数k ，使得对任意*n N ∈均有k n S S ≥．解：（1）∵123(2)(*)n b n a a a a n N =∈ ①，当2n ≥，*n N ∈时,11231(2)n b n a a a a --=②，由①÷②知：当2n ≥时,1(2)n n b b n a --=，令3n =，则有323(2)b b a -=，∵326b b =+，∴38a =．∵{}n a 为等比数列，且12a =，∴{}n a 的公比为q ,则2324aq a ==，由题意知0n a >，∴0q >，∴2q =．∴*2nn a n N ∈＝（）．又由123(2)(*)n b n a a a a n N =∈，得：1232222(2)n b n ⨯⨯⨯⨯=,即(1)22(2)n n n b +=，∴*1n b n n n N =+∈（）（）． （2）（ⅰ）∵1111111()2(1)21n n n n n c a b n n n n =-=-=--++， ∴123n n S c c c c =++++=2111111111()()()21222321n n n --+--++--+ =21111(1)2221n n +++--+ =111121n n --++=1112n n -+． (ⅱ)因为10c =,20c >,30c >,40c >；当5n ≥时，1(1)[1](1)2n nn n c n n +=-+，而11(1)(1)(2)(n 1)(n 2)0222n n n n n n n ++++++--=>，得5(1)5(51)122n n n ++≤<， 所以，当5n ≥时，0n c <,综上，对任意*n N ∈恒有4n S S ≥，故4k =．【点评】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想,证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大,思维层次高,要求学生有较高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题．（20）【2014年浙江，理20，15分】如图,在四棱锥A BCDE -中，平面ABC ⊥平面BCDE ，90CDE BED ∠=∠=︒，2AB CD ==，1DE BE ==，2AC =．（1）证明：DE ⊥平面ACD ； (2）求二面角B AD E --的大小．解:（1）在直角梯形BCDE 中，由1DE BE ==,2CD =，得2BD BC ==,由2AC =，2AB =得222AB AC BC =+，即AC BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCDE ,从而AC ⊥平面BCDE ， 所以AC DE ⊥，又DE DC ⊥,从而DE ⊥平面ACD ． （2）解法一：作BF AD ⊥，与AD 交于点F ，过点F 作//FG DE ,与AB 交于点G ，连接BG ， 由(1)知DE AD ⊥,则FG AD ⊥，所以BFG ∠就是二面角B AD E --的平面角， 在直角梯形BCDE 中，由222CD BC BD =+，得BD BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCDE ， 得BD ⊥平面ABC ，从而BD AB ⊥，由于AC ⊥平面BCDE ，得AC CD ⊥．在Rt ACD ∆中,由2DC =，2AC =，得6AD =；在Rt AED ∆中，由1ED =，6AD =得7AE =；在Rt ABD ∆中，由2BD =，2AB =，6AD =，得233BF =，23AF AD =，从而23GF =，在ABE ∆，ABG ∆中，利用余弦定理分别可得57cos 14BAE ∠=，23BC =．在BFG ∆中,2223cos 22GF BF BG BFG BF GF +-∠==，所以,6BFG π∠=,即二面角B AD E --的大小为6π． 解法二:以D 的原点,分别以射线DE ，DC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -，如图 所示．由题意知各点坐标如下：(0,0,0)D ，(1,0,0)E ，(0,2,0)C ，(0,2,2)A ，(1,1,0)B ． 设平面ADE 的法向量为111(,,)m x y z =，平面ABD 的法向量为222(,,)n x y z =, 可算得：(0,2,2)AD =--，(1,2,2)AE =--，(1,1,0)DB =，由0m AD m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即11111220220y z x y z ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，可取(0,1,2)m =-，由00n AD n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即22222200y z x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩可取(0,1,2)n =-，于是||33|cos ,|2||||32m n m n m n ⋅<>===⋅⋅．由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B AD E --的大小为6π． 【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识,同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．（21）【2014年浙江,理21，15分】如图，设椭圆C：22221(0)x y a b a b+=>>动直线l 与椭圆C只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．(1）已知直线l 的斜率为k ，用,,a b k 表示点P 的坐标；（2）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为a b -． 解:(1)解法一：设l 方程为(0)y kx m k =+<,22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得：222222222()20b a k x a kmx a m a b +++-=,由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，故0∆=,即22220b m a k -+=，解得点P 的坐标为22222222(,)a km b mP b a k b a k -++，又点P 在第一象限，故点P 的坐标为22222222(,)a k b P b a k b a k-++． 解法二:''1P l k =-,得222,b b a k （2几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力．(22)【2014年浙江,理22，14分】已知函数()33()f x x x a a R =+-∈．（1）若()f x 在[]1,1-上的最大值和最小值分别记为(),()M a m a ，求()()M a m a -; (2）设若()24f x b +≤⎡⎤对[]1,1x ∈-恒成立，求3a b +的取值范围．解：（（2。
【VIP专享】14年高考真题——理科数学(浙江卷)
2014 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（浙江卷）
一．选择题：每小题 5 分，共 50 分。
1．设全集U x N | x 2，集合 A x N | x2 5，则 CU A （ ）
（A）
（B） 2
（C） 5
2．已知 i 是虚数单位， a,b R ，则“ a b 1 ”是“ ）充分必要条件
3．某几何体的三视图（单位： cm ）如图所示，
则此几何体的表面积是（ ）
（A）90 cm2
（C）132 cm2 （D）138 cm2
（B）129 cm2
4．为了得到函数 y sin 3x cos 3x 的图像，可
以将函数 y 2 cos 3x 的图像（
单位
210
6．已知函数 f x x3 ax2 bx c ，且 0 f 1 f 2 f 3 3 ，则（
） （A） c 3 （B） 3 c 6
1/8
7．在同一直角坐标系中，函数 f x xa x 0， g x loga x 的图像可能是（
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅 六蛔寄.内列察读 、虫生出蚯材 让标容生3根常蚓料 学本教活.了 据见身： 生，师的2、解 问的体巩鸟 总看活形作 用蛔 题线的固类 结雌动态业 手虫 自形练与 本雄学、三： 摸对 学动状习人 节蛔生结4、、收 一人 后物和同类 课虫活构请一蚯集 摸体 回并颜步关 重的动、学、蚓鸟 蚯的 答归色学系 点形教生生让在类 蚓危 问纳。习从 并状学理列学平的害 题线蚯四线人 归、意特出四生面体以形蚓、形类 纳大图点常、五观玻存 表及动的鸟请动文 本小引以见引、察璃现 ，预物身类 3学物明 节有言及的、导巩蚯上状 是防的体之生和历 课什根蚯环怎学固蚓和， 干感主是所列环史 学么据蚓节二样生练引牛鸟 燥染要否以举节揭 到不上适动、区回习导皮类 还的特分分蚯动晓 的同节于物让分答。学纸减 是方征节布蚓物起 一，课穴并学蚯课生上少 湿法。?广的教， 些体所居归在生蚓前回运的 润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原 的4蛔，处目类 习和活环.近在成前题蚯的因 ？了虫以。标就 生体的节身其实端并蚓快及 触解寄上知同 物表内特动体结验和总利的慢我 摸蚯生适识人 学有容点物前构并后结用生一国 蚯蚓在于与类 的什，的端中思端线问活样的 蚓人飞技有 基么引进主的的考?形题环吗十 体生行能着 本特出要几变以动，境？大 节活的1密 方征本“特节化下物.让并为珍 近习会形理切 法。课生征有以问的小学引什稀 腹性态解的 。2课物。什游题主.结生出么鸟 面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类 处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等 ，于些特适。蛔章形殊形征板，这资 是穴疾点于可虫我态结式。书生种料 光居病是寄的们结构，五小物典， 滑生？重生鸟内学构，学、结的型以 还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱 是如原活生结了功颜消固类构线鸟 粗形何因的存构腔能色化练适特形护 糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟 ？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。
[精品]2014年全国高考浙江省高中数学理科试卷和答案
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2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 （3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是A. 902cmB. 1292cmC. 1322cmD. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位C.向右平移12π个单位D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（ ）A.45B.60C.120D. 210 6.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A.3≤c B.63≤<c C.96≤<c D.9>c7.在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设a,b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2i i ξ=； （b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<< 10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则( )A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D.123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________.13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不 同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______15.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________EA17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值 。
2014年高考理科数学浙江卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共39页） 数学试卷 第2页（共39页） 数学试卷 第3页（共39页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学(理科)本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页,选择题部分1至3页,非选择题部分4至6页.满分150分,考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上作答一律无效. 参考公式：球的表面积公式 柱体的体积公式24πS R =V Sh =球的体积公式其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 33π4V R =台体的体积公式其中R 表示球的半径121(S )3V h S =锥体的体积公式其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积,13V Sh =h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积,如果事件A ,B 互斥,那么 h 表示锥体的高()()()P A B P A P B +=+选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集{|2}U x x =∈Ν≥,集合2{|5}A x x =∈N ≥,则=U A ð( )A .∅B .{2}C .{5}D .{2,5}2.已知i 是虚数单位a ,b ∈R ,则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件3.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示,则此几何体的表面积是( )A .290cmB .2129cmC .2132cmD .2138cm4.为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象,可以将函数y x 的图象( )A .向右平移π4个单位 B .向左平移π4个单位 C .向右平移π12个单位D .向左平移π12个单位5.在64(1)(1)x y ++的展开式中,记mnx y 项的系数为(,)f m n ,则(3,0)(2,1)(1,2)f f f ++(0,3)f +=( )A .45B .60C .120D .2106.已知函数32()f x x ax bx c =+++,且0(1)(2)(3)3f f f -=-=-＜≤,则( )A .3c ≤B .36c ＜≤C .69c ＜≤D .9c ＞7.在同一直角坐标系中,函数()(0)a f x x x =>,()log a g x x =的图象可能是( )A.B.C. D.8.记,,max{,},,x x y x y y x y ⎧=⎨⎩≥＜,,min{,},,y x y x y x x y ⎧=⎨⎩≥＜设a ,b 为平面向量,则 ( )A .min{|a +b |,|a -b |}min{≤|a |，|b |}B .min{|a +b |,|a -b |}min{≥|a |,|b |}C .max{|a +b |2,|a -b |2}≤|a |2+|b |2D .max{|a +b |2,|a -b |2}≥|a |2+|b |29.已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(3,3)m n ≥≥,从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=； （b ）放入i 个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =. 则( )A .12p p >,12()()E E ξξ<B .12p p <,12()()E E ξξ>C .12p p >,12()()E E ξξ>D .12p p <,12()()E E ξξ<10.设函数21()f x x =,22()2()f x x x =-,31()|sin 2π|3f x x =,99i ia =,0,1,2,,99i =⋅⋅⋅.记10219998|()()||()()||()()|k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-+⋅⋅⋅+-,1,2,3k =,则 ( )A .123I I I <<B .213I I I <<C .132I I I <<D .321I I I <<-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共39页） 数学试卷 第5页（共39页） 数学试卷 第6页（共39页）非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.若某程序框图如图所示,当输入50时,则该程序运行后输出的结果是 .12.随机变量ξ的取值为0,1,2.若1(0)5P ξ==,()1E ξ=,则()D ξ= .13.若实数x ,y 满足240,10,1,x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥时,14ax y +≤≤恒成立,则实数a 的取值范围是 .14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有 种（用数字作答）. 15.设函数22, 0,(), 0,x x x f x x x ⎧+⎪=⎨-⎪⎩＜≥若(())2f f a ≤,则实数a 的取值范围是 . 16.设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ,B .若点(,0)P m 满足||||PA PB =,则该双曲线的离心率是 .17.如图,某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB ,某目标点P 沿墙面的射线CM 移动,此人为了准确瞄准目标点P ,需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若15m AB =,25m AC =,30BCM ∠=,则tan θ的最大值是 （仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）.三、解答题：本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分14分）在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a b ≠,c,22cos cos cos cos A B A A B B -=.（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若4sin 5A =,求ABC △的面积.19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b满足*123()n b n a a a a n ⋅⋅⋅=∈Ν.若{}n a 为等比数列,且12a =,326b b =+.（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）设*11()n n nc n a b =-∈Ν.记数列{}n c 的前n 项和n S .（ⅰ）求n S ；（ⅱ）求正整数k ,使得对任意*()n ∈Ν均有k n S S ≥.20.（本小题满分15分）如图,在四棱锥A BCDE -中,平面ABC ⊥平面B C D E ,90CDE BED ∠=∠=,2AB CD ==,1DE BE ==,AC =（Ⅰ）证明：DE ⊥平面ACD ； （Ⅱ）求二面角B AD E --的大小.21.（本小题满分15分）如图,设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>,动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ,且点P在第一象限.（Ⅰ）已知直线l 的斜率为k ,用a ,b ,k 表示点P 的坐标；（Ⅱ）若过原点O 的直线1l 与l 垂直,证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为a b -.22.（本小题满分14分）已知函数3()3||()f x x x a a =+-∈R .（Ⅰ）若()f x 在[1,1]-上的最大值和最小值分别记为()M a ,()m a ,求()()M a m a -； （Ⅱ）设b ∈R .若2[()]4f x b +≤对[1,1]x ∈-恒成立,求3a b +的取值范围.[5,)）+∞，结合全集，求得3 / 13数学试卷 第11页（共39页） 数学试卷 第12页（共39页），当0a =，0b ≠时，不等式不成立；，当0a b =≠时，不等式不成立；，设a b =，构造平行四边形根据平行四边形法则，与至少有一个大于或等于22max{||,||}||||a b a b a b +-≥+成立.选【提示】给出新定义，根据条件判断正误.5 / 13数学试卷 第16页（共39页） 数学试卷 第17页（共39页） 数学试卷 第18页（共39页）跳出循环，所以i 6=2⎩7 / 139数学试卷第22页（共39页）数学试卷第23页（共39页）数学试卷第24页（共39页）9 / 132(2)k a =（2q =-舍去）(232n n n a =）由（1）知，数学试卷 第28页（共39页） 数学试卷 第29页（共39页） 数学试卷 第30页（共39页）BF GF =6.11 / 13的法向量为(,m x y=的法向量为(,,n x y =可算得(0,AD =-，(1,1,0)DB =，(1,2,AE =-00m AD m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩得，120z -=，可取(0,1,m =-00n AD n BD ⎧=⎪⎨=⎪⎩得，，可取(1,1,n =-于是||3cos ,2||m n m n m n 〈〉==，由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角数学试卷第34页（共39页）数学试卷第35页（共39页）数学试卷第36页（共39页）13 / 13。
2014年高考浙江理科数学试题及标准答案(精校版)
2０1４年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷)数 学（理科）一. 选择题:本大题共１0小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设全集{|2}U x N x =∈≥，集合2{|5}A x N x =∈≥,则U C A =（ ）A ． ∅ Ｂ. {2} C. {5} D. {2,5}２. 已知i 是虚数单位，,a b R ∈,则“1a b ==”是“2()2a bi i +=”的（ )A. 充分不必要条件 Ｂ. 必要不充分条件Ｃ. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3． 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示,则此几何体的表面积是（ )A. 902cm B ． 1２92cmC. 1322cm D ． 13８2cm4. 为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图像，可以将函数2cos 3y x =的图像( ）Ａ． 向右平移4π 个单位 B. 向左平移4π个单位C. 向右平移12π个单位 D ． 向左平移12π个单位5.在64(1)(1)x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数(,)f m n ,则(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++= （ )A. 45B. ６0C. 120D ． 2１０6. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ ，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤( ）A ．3c ≤ Ｂ.36c <≤ C ．69c <≤ D. 9c >７. 在同一直角坐标系中,函数()(0)a f x x x =≥，()log a g x x = 的图像可能是( )8． 记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，y,min{,}x,x y x y x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则( ） A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤Ｂ． min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥Ｃ． 2222max{||,||}||||a b a b a b +-≤+D. 2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+９. 已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m 个红球和n 个篮球(3,3)m n ≥≥,从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放入甲盒中.（ａ)放入i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=;（b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.则 ( )A.1212,()()p p E E ξξ><B. 1212,()()p p E E ξξ<>C. 1212,()()p p E E ξξ>>D. 1212,()()p p E E ξξ<<10. 设函数21()f x x =,22()2()f x x x =-，31()|sin 2|3f x x π=，99i a i =，,2,1,0=i 99, ,记10219998|()()||()()||()()|k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-,1,2,3k = 则( )A.123I I I <<B. 213I I I <<C. 132I I I << Ｄ. 321I I I <<二. 填空题:本大题共７小题，每小题4分，共28分.11. 若某程序框图如图所示，当输入50时,则该程序运算后输出的结果是_______＿.1２. 随机变量ξ的取值为0，1,2,若1(0)5P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ＝＿_____＿_. 13．当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时,14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是_＿_＿__＿_.14. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给４个人，每人2张,不同的获奖情况有＿____种（用数字作答）．1５.设函数22,0(),0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若(())2f f a ≤,则实数a 的取值范围是___＿_＿16.设直线30x y m -+=(0m ≠) 与双曲线。
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绝密★考试结束前2014年普通高等学校招生适应性考试数 学（理科）姓名 准考证号本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分 (共50分)注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式：球的表面积公式 柱体的体积公式S =4πR 2V =Sh 球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高V =34πR 3 台体的体积公式 其中R 表示球的半径V =31h (S 1+21S S +S 2) 锥体的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积，V =31Sh h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高如果事件A ，B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B ) 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）如图，在正方形ABCD 中，点E 为CD 的中点，点F 为BC 上靠近点B 的一个三等分点，则=（ ）． C ﹣ D ． ﹣2．（5分）“复数（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限”是“a＜﹣1”的（）3．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 9894．（5分）一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（）5．（5分）已知（3﹣）n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7项的系数是（）6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m的取值范围是（）7．（5分）如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）．C D．8．（5分）已知直线l：Ax+By+C=0（A，B不全为0），两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），若（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）9．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为（）．C．10．（5分）已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f（f（x））+1的零点个数的判断正确的是（）二、填空题（共6小题，满分25分）．根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为_________．12．（5分）已知α∈[，]，点A在角α的终边上，且|OA|=4cosα，则点A的纵坐标y的取值范围是_________．13．（5分）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为_________．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知三点A（a，b），B（b，c），C（c，a），且直线AB的倾斜角与AC的倾斜角互补，则直线AB的斜率为_________．（结果中不含字母a，b，c）15．（5分）如图，P为圆O外一点，由P引圆O的切线PA与圆O切于A点，引圆O的割线PB与圆O交于C点．已知AB⊥AC，PA=2，PC=1，则圆O的面积为_________．16．（选做题）在极坐标系下，已知直线l的方程为ρcos（θ﹣）=，则点M（1，）到直线l的距离为_________．三、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=60°．（Ⅰ）若cos（B+C）=﹣，求cosC的值；（Ⅱ）若a=5，=5，求△ABC的面积．18．（12分在等差数列{a n}中，满足3a5=5a8，S n是数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）若a1＞0，当S n取得最大值时，求n的值；（Ⅱ）若a1=﹣46，记b n=，求b n的最小值．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20．（12分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示．（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）再根据频率分布直方图20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．21．（13分）如图，已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的一个动点，满足|F1Q|=2a．点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点M在线段F2Q上，且满足•=0，||≠0．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线l与轨迹C交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）求解的结果，试对椭圆Γ写出类似的命题．（只需写出类似的命题，不必说明理由）22．（14分）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ax在x=﹣处的切线的斜率为1．（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；（Ⅱ）证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）；（Ⅲ）设g（x）=b（e x﹣x），若f（x）≤g（x）恒成立，求实数b的取值范围．一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，点F为BC上靠近点B的一个三等分点，则=（）．C﹣D．﹣+==﹣+==﹣，2．（5分）“复数（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限”是“a＜﹣1”的（）解：复数=，因为复数，解得a，复数（3．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 9894．（5分）一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（）=4×=×= 5．（5分）已知（3﹣）n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7项的系数是（）==252，从而求得展开式中﹣﹣，=252，6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m的取值范围是（）7．（5分）如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）．C D．×=1+ln=1+ln2P=8．（5分）已知直线l：Ax+By+C=0（A，B不全为0），两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），若（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）9．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为（）．C．，（≤，即的最大值为．10．（5分）已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f（f（x））+1的零点个数的判断正确的是（），此时的零点为二、填空题（共6小题，满分25分）．根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为50．=40+的线性回归方程为=6.5x+17.540+=6.540+=50∴12．（5分）已知α∈[，]，点A在角α的终边上，且|OA|=4cosα，则点A的纵坐标y的取值范围是[1，2]．[，][，][13．（5分）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为．，SA=AC=SB=BC=2ABO==故答案为：14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知三点A（a，b），B（b，c），C（c，a），且直线AB的倾斜角与AC的倾斜角互补，则直线AB的斜率为．（结果中不含字母a，b，c），=====0+K15．（5分）如图，P为圆O外一点，由P引圆O的切线PA与圆O切于A点，引圆O的割线PB与圆O交于C点．已知AB⊥AC，PA=2，PC=1，则圆O的面积为．所以圆的半径为：．故答案为：16．（选做题）在极坐标系下，已知直线l的方程为ρcos（θ﹣）=，则点M（1，）到直线l的距离为．）cos+=x+，故答案为：三、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=60°．（Ⅰ）若cos（B+C）=﹣，求cosC的值；（Ⅱ）若a=5，=5，求△ABC的面积．）利用平面向量的数量积运算化简bsinC=6，得==×+×；•=5|||由正弦定理=，得=∴，bcosC+bsinC=5bsinC=6S=absinC=×=15．18．（12分）在等差数列{a n}中，满足3a5=5a8，S n是数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）若a1＞0，当S n取得最大值时，求n的值；（Ⅱ）若a1=﹣46，记b n=，求b n的最小值．﹣×46n+×﹣×a﹣a+﹣46n+==2n+2n=，即19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．=，=，，a的法向量=的一个法向量为，﹣，aa=a的法向量为，则，的一个法向量为，﹣，＞=．的余弦值是﹣20．（12分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示．（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）再根据频率分布直方图20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．，小正方形的高是，，==21．（13分）如图，已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的一个动点，满足|F1Q|=2a．点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点M在线段F2Q上，且满足•=0，||≠0．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线l与轨迹C交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）求解的结果，试对椭圆Γ写出类似的命题．（只需写出类似的命题，不必说明理由）||||时，由=0⊥，|||时，由•，得⊥||=||||=|F，=∴==k=||m|=a，22．（14分）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ax在x=﹣处的切线的斜率为1．（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；（Ⅱ）证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）；（Ⅲ）设g（x）=b（e x﹣x），若f（x）≤g（x）恒成立，求实数b的取值范围．﹣（从而可得x=﹣处的切线的斜率为（﹣，即﹣1=（，则1+＞ln∴++1++++++++＞+，则＞）=ln，＞+ln1+++＞21。