第24讲数的整除性
小学奥数 数的整除性 知识点+例题+练习 (分类全面)
拓展、一位采购员买了72个微波炉，在记账本上记下这笔账。
由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。
账本是这样写的：72个微波炉，共用去□679□元（□为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。
应是__________元。
（注：微波炉单价为整数元）。
36792
例4、五位数能被12整除，这个五位数是____________。
42972
拓展、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。
713625
拓展、一个五位数98
3ab能被11和9整除，这个五位数是。
39798
例5、五位数
能同时被2,3,5整除，则A=______，B=______。
48
A1
B
5/2/8 0
拓展、要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？0 1 5
拓展、已知7位自然数427
62xy是99的倍数，则x= ,y=
2 4
2、若9位数2008□2008能够被3整除，则□里的数是
3、173□是个四位数。
数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的 3个四位数，依次可以被9，11，6整除。
”问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少？
4、判断306371能否被7整除？能否被13整除？
5、判断能否被3，7，11，13整除．
6、试说明形式的6位数一定能被11整除．。
数的整除
精锐教育1对3辅导讲义知识概念抢答：1．____________和_________称为自然数；______、______、_____统称整数．2．最小的自然数是_____，最小的正整数是_______，最大的负整数是______．3．能被2整除的数的特征是：个位数字是_________________________．4．能被5整除的数的特征是：个位数字是_____________________．5．能同时被2、5整除的数的特征是：个位数字是_______________．6．能被3整除的数的特征是：_________________________________．7．奇数＋奇数＝_________；奇数＋偶数＝_____；偶数＋偶数＝_____．8．奇数×奇数＝______；奇数×偶数＝_______；偶数×偶数＝_________．9．一个正整数，如果只有________和________两个因数，这样的数叫做素数，也叫做_____；如果_______ ___________，这样的数叫做合数．10．几个数公有的因数，叫做这几个数的________；其中最大的一个叫做这几个数的________．、能同时被2、5整除的数的特征是：个位数字是0．、能被3整除的数的特征是：各个数位上的数字之和能被3整除．【例题精讲】例1、用0、5、6、8按下列要求排成一个没有重复数字的四位数。
（1）既能被2整除，又能被5整除的最大的四位数_______；（2）不能被2整除，但能被5整除的最小的四位数________；（3）能被2整除，但不能被5整除的最大的四位数________．例2、在五位数5487口中，口表示它在个位上的数．如果这个五位数分别满足下列条件，那么个位上的数为哪些数字？（1）这个数是偶数时，口内可填入（）；（2）这个数能被5整除时，口内可填入（）；（3）这个数为3的倍数时，口内可填入（）；（4）这个数能被9整除时，口内可填入（）。
整数的整除性
整数的整除性整除是整数的一个重要内容，这里仅介绍其中的几个方面：整数的整除性、最大公约数、最小公倍数、方幂问题.Ⅰ. 整数的整除性初等数论的基本研究对象是自然数集合及整数集合. 我们知道，整数集合中可以作加、减、乘法运算，并且这些运算满足一些规律（即加法和乘法的结合律和交换律，加法与乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如b a ,是整除，0≠b ，则ba 不一定是整数. 由此引出初等数论中第一个基本概念：整数的整除性.定义一：（带余除法）对于任一整数a 和任一整数b ，必有惟一的一对整数q ，r 使得r bq a +=，b r <≤0，并且整数q 和r 由上述条件惟一确定，则q 称为b 除a 的不完全商，r 称为b 除a 的余数.若0=r ，则称b 整除a ，或a 被b 整除，或称b a 是的倍数，或称a b 是的约数（又叫因子），记为a b |.否则，b | a .任何a 的非1,±±a 的约数，叫做a 的真约数. 0是任何整数的倍数，1是任何整数的约数.任一非零的整数是其本身的约数，也是其本身的倍数. 由整除的定义，不难得出整除的如下性质： （1）若.|,|,|c a c b b a 则（2）若.,,2,1,,|,|1n i Z c b c a b a i ni i i i =∈∑=其中则（3）若c a |，则.|cb ab 反之，亦成立.（4）若||||,|b a b a ≤则.因此，若b a a b b a ±=则又,|,|. （5）a 、b 互质，若.|,|,|c ab c b c a 则（6）p 为质数，若,|21n a a a p ⋅⋅⋅ 则p 必能整除n a a a ,,,21 中的某一个. 特别地，若p 为质数，.|,|a p a p n则（7）如在等式∑∑===mk kni i ba 11中除开某一项外，其余各项都是c 的倍数，则这一项也是c 的倍数.（8）n 个连续整数中有且只有一个是n 的倍数.（9）任何n 个连续整数之积一定是n 的倍数.本讲开始在整除的定义同时给出了约数的概念，又由上一讲的算术基本定理，我们就可以讨论整数的约数的个数了.Ⅱ. 最大公约数和最小公倍数定义二：设a 、b 是两个不全为0的整数.若整数c 满足：b c a c |,|，则称b a c ,为的公约数，b a 与的所有公约数中的最大者称为b a 与的最大公约数，记为),(b a .如果),(b a =1，则称b a 与互质或互素.定义三：如果a d 是、b 的倍数，则称a d 是、b 的公倍数. b a 与的公倍数中最小的正数称为b a 与的最小公倍数，记为],[b a .最大公约数和最小公倍数的概念可以推广到有限多个整数的情形，并用),,,(21n a a a 表示n a a a ,,,21 的最大公约数，],,,[21n a a a 表示n a a a ,,,21 的最小公倍数.若1),,,(21=n a a a ，则称n a a a a ,,,,321 互质，若n a a a ,,,21 中任何两个都互质，则称它们是两两互质的.注意，n 个整数互质与n 个整数两两互质是不同的概念，前者成立时后者不一定成立（例如，3，15，8互质，但不两两互质）；显然后者成立时，前者必成立.因为任何正数都不是0的倍数，所以在讨论最小公倍数时，一般都假定这些整数不为0.同时，由于|||,|,b a b a 与有相同的公约数，且|)||,(|),(b a b a =（有限多个亦成立），因此，我们总限于在自然数集合内来讨论数的最大公约数和最小公倍数.Ⅲ.方幂问题一个正整数n 能否表成m 个整数的k 次方和的问题称为方幂和问题.特别地，当1=m 时称为k 次方问题，当2=k 时，称为平方和问题.能表为某整数的平方的数称为完全平方数.简称平方数，关于平方数，明显有如下一些简单的性质和结论： （1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9. （2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只能是0或1. （3）奇数平方的十位数字是偶数.（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6. （5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除.因而，平方数被9除的余数为0，1，4，7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能为0，1，4，7. （6）平方数的约数的个数为奇数.（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数.例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x ，y ，z 均为整数，若11｜（7x+2y-5z ），求证：11｜（3x-7y+12z ）。
数的整除性与最大公约数知识点总结
数的整除性与最大公约数知识点总结在数学中，数的整除性与最大公约数是一个重要的概念。
了解和掌握这些知识点对于学习和解决数学问题至关重要。
本文将对数的整除性和最大公约数进行总结和讲解。
一、数的整除性数的整除性是指一个数能够被另一个数整除。
在数学中，我们常用符号“|”来表示整除。
例如，如果一个整数 a 能够被一个整数 b 整除，我们可以写作 a | b。
下面是数的整除性的一些基本性质：1. 如果 a | b 且 b | c，则 a | c。
这意味着如果一个数能整除另外两个数，那么它也能整除这两个数的和、差、积和商。
2. 如果 a | b 且 a | c，则 a | (xb + yc)。
这意味着如果一个数能整除另外两个数，那么它也能整除这两个数的任意整数线性组合。
3. 如果 a | b，则 -a | b。
这意味着如果一个数能整除另一个数，那么它的负数也能整除同样的数。
4. 0 | a，其中 a 是任意整数。
这意味着 0 能整除任意整数。
但要注意，0 不能被任何数整除，因为除以 0 是没有意义的。
二、最大公约数最大公约数，简称为最大公因数，是指两个或者多个数中最大的能够同时整除这些数的正整数。
最大公约数有多种求解方法，下面简单介绍两种常用的方法：1. 穷举法：列举出两个数的所有因数，然后找出它们的公共因数中的最大值。
这种方法适用于较小的数。
例如，求解 24 和 36 的最大公约数，列举它们的因数如下：24 的因数为 1、2、3、4、6、8、12、24；36 的因数为 1、2、3、4、6、9、12、18、36。
我们发现它们的公共因数有 1、2、3、4、6 和 12，其中最大的是12，因此最大公约数是 12。
2. 辗转相除法：辗转相除法是一种快速求解最大公约数的方法。
它的基本思想是利用两个数的除法运算，将较大数除以较小数，然后再将余数除以除数，一直重复这个过程，直到余数为 0。
最后一个非零余数即为最大公约数。
数的整除
第三讲数的整除第一课时教学内容：整除的概念与能被2、5；4、25、8、125；3、9整除的数的特点教学目的：通过教学使学生进一步掌握数的整除的概念，并能掌握能被2、5；4、8；3、9整除的数的特点。
教学重点：整除的概念教学难点：抓住特征进行判断。
教学过程：一、复习引新1、把下面的算式分类：24÷4 16÷5 3.5÷7 36÷9 20÷32.4÷1.2 132÷11 10÷6 7.8÷3.9 34÷0.72、分类小结你是怎能样进行分类的？你为什么这样分？二、探究新知（一）整除的的概念定义：如果整数a除以非零整数b，商是整数且没有余数，则称a能被b整除，或b能整除a，记作b|a。
其中a叫做b的倍数，b叫做a的约数。
0是任何数的倍数；1是任何数的约数。
复习题中哪些是整除？并说出谁整除谁，谁被谁整除。
（二）一些常见的数的整除特征1、能被2、5、4、25、8、125整除的数的特征。
（末位判断）个位是偶数的整数一定能被2整除；如2|2456个位数字是0或5的整数一定能被整除；如5|2435末两位数字是4或25的倍数的整数一定能被4或整除；如4|1248 25|23475末三位数字是8或125的倍数的整数一定能被8或125整除。
如8|24464 125|456252、能被3、9整除的数的特征。
（数字和判断）各位数字之和能被3整除的整数，可以被3整除；如3|3465各位数字之和能被9整除的整数，可以被9整除。
如9|65421（三）运用例1在□内填入适当的数，使六位数35267□能被4（或25）整除。
分析：六位数35267□的个位数字现在不知道是几，先设它为x，那么该六位数的末两位为7x。
根据能被4整除数的特征，如果7x能被4整除，则该六位数能被4整除；如果7x能被25整除，则该六位数能被25整除。
解（1）7x能被4整除，x只能是2和6，因为72和76是4的倍数，所以，六位数352672和325676能被4整除。
小升初小学数学(数的整除性)知识点汇总(三)
小升初小学数学(数的整除性)知识点汇总153.为什么要学习“数的整除性”这部分知识？“数的整除性”在小学数学教学中是一个重要的基础知识。
说它重要是因为这部分知识所涉及的基本数学概念不仅多，而且相对集中，如果不能明确、清晰地掌握这些基本数学概念的区别和联系，就会引起混淆，而混淆也必然给以后的数学知识的学习，带来严重的后遗症。
例如：约数与倍数、质数与合数、奇数与偶数、公约数与公倍数……这些概念在教学中几乎同时出现，但又有相反的内涵，因此，这些概念必须牢固而又明确地建立起来。
还必须看到：“数的整除性”是学习分数的前提和准备。
在分数的四则运算中，约分和通分是一定要掌握的基础知识，而构成这些基础知识，是离不开“数的整除性”这部分内容的。
例如：不掌握求最大公约数的方法，就不可能进行正确、迅速的约分；不掌握求最小公倍数的方法，也无法进行正确、迅速的通分。
从这个意义上讲，学习“数的整除性”是进一步学习数学的需要。
除此之外，学生在过去的学习中，已经知道整数与整数的和、差、积都是整数，但整数除整数时，商不一定是整数，有时会是小数，到底在什么情况下，整数与整数相除，商仍然是整数呢？这就需要根据“数的整除性”的知识来进行正确的判断了。
在未学习“数的整除性”前，学生是很难准确、迅速地判断出下列各式的商是不是整数。
87459÷3 65246÷732846÷11 96375÷2574321÷9 79432÷8由于数字较大，一时难于做出正确的判断，一旦掌握了“数的整除性”这部分知识，这些问题就不难解决了。
154.整除和除尽有什么不同？整除和除尽是两个既有区别又有联系的概念，也是两个易于混淆的概念。
可以通过下面两道题的计算过程，来加以说明。
这两道题相同的地方是都没有余数，都可以说成是“除尽”。
但这两道题又有不同的地方，（1）题中的被除数、除数和商都是整数，这种情况称作“整除”。
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小学五年级奥数全册讲义第1讲数字迷(一)第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一)第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。
例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。
数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。
当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。
（5÷13-7）×（17+9）。
当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。
当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。
数的整除及其应用——全面剖析教学案例
数的整除及其应用——全面剖析教学案例。
一、整除的定义与性质整除是指一个整数x能够被另一个整数y整除，也就是x可以被y整除，这时我们将y称为x的因子或除数，将x称为y的倍数或被除数，并用符号y|x表示y整除x。
例如10整除50，我们可以表示为10|50。
接下来我们来看一下整除的一些特性和性质。
1.如果a|b且b|c，则a|c。
2.如果a|b且a|c，则a|(bx+cy)。
3.负整数也可以整除，例如-2可以整除4，我们可以表示为-2|4。
4.如果a|b且a|c，则a|mx+ny，其中m,n为任意整数。
5.如果a,b都是非零整数，则它们的公因数的绝对值的最大值定义为它们的最大公因数gcd(a,b)，它们的公倍数的绝对值的最小值定义为它们的最小公倍数lcm(a,b)。
6.如果a,b都是非零整数，则有gcd(a,b)×lcm(a,b)=|ab|。
需要注意的是，如果一个数能够整除a和b，它不一定就是a和b 的最大公因数，因为最大公因数的值是它们所有公约数中的最大值。
例如，2是6和8的公因数，但6和8的最大公因数是2。
二、整除的应用1.素数分解素数分解是将一个正整数分解成一些素数的积的过程。
对于一个整数n，我们可以将它不断地除以小于等于它的平方根的素数，直到不再能整除为止，那么所得的所有素数就是n的素因子。
例如，将18分解为素数可得18=2×3×3。
素数分解的重要性在于它可以帮助我们求出数的因数、最大公因数、最小公倍数等。
例如，如果我们需要求16和24的最大公因数，可以先分解它们为16=2×2×2×2，24=2×2×2×3，然后找到它们的共有的素因子2，再找到2的最高幂次，得出它们的最大公因数为8。
2.算术基本定理算术基本定理（又称质因数分解定理）是一个重要的定理，它代表着任何一个自然数都可以唯一地表示成若干个质数的乘积。
能被整除的数的特征
个性化教学辅导教案如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。
到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的特征。
根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。
例如，判断一个数能否被6整除，因为6＝2×3，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除。
同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等。
例3从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。
根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。
例4五位数能被72整除，问：A与B各代表什么数字？分析与解：已知能被72整除。
因为72＝8×9，8和9是互质数，所以既能被8整除，又能被9整除。
根据能被8整除的数的特征，要求能被8整除，由此可确定B＝6。
再根据能被9整除的数的特征，的各位数字之和为A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。
在这个范围内只有27能被9整除，所以A＝7。
解答例4的关键是把72分解成8×9，再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B 和A所代表的数字。
在解题顺序上，应先确定B所代表的数字，因为B代表的数字不受A 的取值大小的影响，一旦B代表的数字确定下来，A所代表的数字就容易确定了。
例5 六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？分析与解：因为6＝2×3，且2与3互质，所以这个整数既能被2整除又能被3整除。
六年级第24讲 中国剩余定理(一)(学生版)
中国剩余定理（一）知识纵横中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。
中国剩余定理在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
常用方法有：逐级满足法、中国剩余定理法、余同取余、和同加和、差同减差等方法。
例1一个自然数除以3的余数是2，除以5的余数是1，则这个数除以15的余数是多少？试一试1一个大于200，小于1000的自然数，被7除余6，被11除余1，这样的自然数有多少个？例2一个大于500且小于600正整数除以5余4，除以7余5，除以3余2，求满足条件的数是多少。
试一试2一个正整数除以11余10，除以5余4，除以7余5，求满足条件的最小正整数。
例3有一个正整数除以7余3，除以8余5，除以9余6，那么这个数最小是多少？试一试3民间流传着一则故事——韩信点兵。
秦朝末年，楚汉相争。
一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。
苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也阵亡五百多人。
忽有后军来报，说有楚军骑兵追来，韩信便急速点兵迎敌。
他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出4名，韩信马上向将士们宣布：我军勇士众多，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。
根据故事中的条件，你能算出韩信还有多少名将士吗？例4在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？试一试4有连续的三个自然数a、a+1、a+2它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？小练习1、有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？2、一个自然数，且被3除余1，被4除余2，被7除余3，求符合条件的数最小是多少？3、一个正整数除以3余2，除以5余3，除以7余6，求满足条件的最小正整数。
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第二十四讲 数的整除性
例1、 在五位数15□8□的方框内填上什么数字，才能使它既能被3整除，又
含有因数5？
例2、 六位数3——A ——B ——A ——B ——
A 是6的倍数，这样的六位数共有多少个？（A 、B
可以相同）
例3、 在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整
除。
符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？
例4、 五位数A ——3——2——9——B ——
能被72整除。
问：A 和B 各代表什么数字？
例5、 六位数1——2——A ——3——4——
B 是 88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？
（A 、B 可以相同）
思考与练习
1、
有一个四位数3——A ——A ——1——
，它能被9整除。
A 所代表的数字是少？
2、 在2008后面补上三个 数字，组成一个七位数，使它分别能被
3、
4、
5整除，这个七位数最大是多少？
3、173□是一个四位数，王老师说：“我在这个数的□内分别填入3个数字，所得到的3个四位数依次能被7、11、6整除。
”王老师填入的3个数字的和是多少？
4、87654321□□这个十位数能被36整除，那么这个数个位上的数最小是多少？
5、用0、1、3、5、7这五个数字中的四个，可以组成许多能被11整除的四位数，其中最小的一个四位数是多少？
6、小敏在一张纸上写了一个五位数3——A ——6——B ——5——
，其中第2个数码和 第4个数码看不清了，只知道这个五位数既是3的倍数，又是25的 倍数。
请你写出满足上述条件的五位数中最大的和最小的。
7、如果41位数20个｛555……55｝□20个｛999……99｝能被7整除，那么，中间的方框内□的数字是多少？
8、在97538□□的方框内填上什么数字，就能使这个数：（1）能被15整除？
（2）能被45整除？（3）能被21整除？
9、有六个数：987654、987653、987652、987651、987650、987649，从中挑出两个数，使这两个数的乘积能被6整除，有多少种不同的挑法？请把每种挑法都写出来。
10、商店有三种油漆，每种漆的牌子和颜色都不同，红色的每桶1.5千克，黄色的每桶2千克，白色的每桶2.5千克。
为了方便顾客，商店把这三种油漆分装成每桶0.5千克油漆的小桶。
结果“球光牌”装了280桶，“红海牌”装了255桶，“前进牌”装了292桶。
请问：每种牌子的油漆各是什么颜色？。