第二章 方差分析
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第二章 方差分析方法(第二节)资料
• 同时方差分析还能指出试验误差的大小。 • 所以方差分析法更优于极差分析法。
2.有交互作用的正交试验的方差分析
• （1）原则
• 当任意两因素之间(如A与B）存在交互作用而且显 著时，则不论因素A、B本身的影响是否显著，A和B 的最佳因素都应从A与B的搭配中去选择。
•
例2－2某分析试验，起测定值受A、B、C三种因
素的影响，每因素去两个水平，由于因素间存在交互
作用，在设计试验方案时，可选用L8(27)表，试验安排 结果如表（试验指标要求越小越好）
（2）正交试验结果计算表
试验号因素
A 1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
2
6
2
7
2
8
2
K1
-5
K2
0
Qi
6.25
Si
3.1
B 1
1 1 2 2 1 1 2 2 +10 -15 81.25 78.1
• 因此，Se不一定通过ST-SA-SB-SC来计算，而可 以通过没有安排因素的列直接计算。
（2）计算规格化
在正交设计中每个因素的计算步骤完全一样，而且 每一个因素都和某一列相对应。如果某一列表现为误 差，相应平方和的计算和因素的完全一样。这样既便 于计算，又便于编制计算机程序。
由于上面两个性质，方差分析的基本计算可以化 到每一列上。
三.正交试验的方差分析
1.无交互作用情况（以例1－1为例）
列号 试验号
A温度（℃）1
1
1(80℃)
2
1(80℃)
3
1(80℃)
4
2(85℃)
5
2(85℃)
2.有交互作用的正交试验的方差分析
• （1）原则
• 当任意两因素之间(如A与B）存在交互作用而且显 著时，则不论因素A、B本身的影响是否显著，A和B 的最佳因素都应从A与B的搭配中去选择。
•
例2－2某分析试验，起测定值受A、B、C三种因
素的影响，每因素去两个水平，由于因素间存在交互
作用，在设计试验方案时，可选用L8(27)表，试验安排 结果如表（试验指标要求越小越好）
（2）正交试验结果计算表
试验号因素
A 1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
2
6
2
7
2
8
2
K1
-5
K2
0
Qi
6.25
Si
3.1
B 1
1 1 2 2 1 1 2 2 +10 -15 81.25 78.1
• 因此，Se不一定通过ST-SA-SB-SC来计算，而可 以通过没有安排因素的列直接计算。
（2）计算规格化
在正交设计中每个因素的计算步骤完全一样，而且 每一个因素都和某一列相对应。如果某一列表现为误 差，相应平方和的计算和因素的完全一样。这样既便 于计算，又便于编制计算机程序。
由于上面两个性质，方差分析的基本计算可以化 到每一列上。
三.正交试验的方差分析
1.无交互作用情况（以例1－1为例）
列号 试验号
A温度（℃）1
1
1(80℃)
2
1(80℃)
3
1(80℃)
4
2(85℃)
5
2(85℃)
第二章 试验的方差分析
方差来源
F值
组间(因素影响) 组内(误差) 总和
SSA SSE SST
k-1 n-k n-1
MSA MSA/ MSE MSE
例2.1中：F=25.6152/2.4428=10.486, 取 α＝0.05，查表 F α （k-1,n-k）＝ F 0.05 （3,16）＝3.23887
由于F ＞F α ，故可以认为在显著性水平α ＝0.05或可因度为1- α＝95％情况下，不 同Cr含量对金属硬度有显著影响。
● 为检验因素A的影响是否显著，采用下面的
统计量
MSA FA ~ F k 1, (k 1)( r 1) MSE
● 为检验因素B的影响是否显著，采用下面的
统计量
MSB FB ~ F r 1, (k 1)( r 1) MSE
例2.2：某商品有五种包装（因素A），在五个不同地 区销售（因素B），每个地区物种包装方式的销售资 料见下表。问包装方式和地区是否对销售量产生影响。
ij
ni
(i 1,2,, k )
例2.1中：
x1 =(26.5+28.7+…+27.2)/5=27.32
2.总平均值
x
x
i 1 j 1
k
ni
ij
n n 式中：n n1 n2 nk
=(26.5+28.7+…+32.8)/25=28.695
n x
i 1 i
和SSB) 、误差项离差平方和(SSE) 之间的关系
x
k r i 1 j 1 k r i 1 j 1
ij
x
2
xi. x x. j x xij xi. x. j x
方差分析IIppt课件
方差分析
第2页
§1 数据的变换
如果在方差分析前发现有某些异常的观测值、处 理或单位组，只要不属于研究对象本身的原因，在不 影响分析正确性的条件下应加以删除。
有些资料就其性质来说就不符合方差分析的基本 假定。其中最常见的一种情况是处理平均数和均方有
一 定 关 系 ( 如 二 项 分 布 资 料 ， 平 均 数ˆ npˆ ， 方
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方差分析
第12页
（3）混合模型（mixed model） 在多因素试验中，若既包括固定效应的试验因
素，又包括随机效应的试验因素，则该试验对应于 混合模型。混合模型在试验研究中是经常采用的。
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方差分析
第13页
固定模型与随机模型的区别
目的
固定模型
随机模型
研究特定处理，即
i 1
rs
误差平方和： SSe
(xij xi x j x)2
i1 j1
fe r 1s 1
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方差分析
相应的均方差为：
MS
A
SS A r 1
MS
B
SS B s1
MS
பைடு நூலகம்
E
SS e ( r 1 )( s 1 )
第23页
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12/28/2019
方差分析
第16页
多因素方差分析
单因素方差分析研究的是总体的均值受一个 因素不同水平的影响。但在一些实际问题中， 影响总体均值的因素不止一个，这些因素间 还可能存在交互作用，这就要考虑两个或多 个因素的问题。 为简单起见，仅考虑两个因素的情况．
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第2页
§1 数据的变换
如果在方差分析前发现有某些异常的观测值、处 理或单位组，只要不属于研究对象本身的原因，在不 影响分析正确性的条件下应加以删除。
有些资料就其性质来说就不符合方差分析的基本 假定。其中最常见的一种情况是处理平均数和均方有
一 定 关 系 ( 如 二 项 分 布 资 料 ， 平 均 数ˆ npˆ ， 方
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方差分析
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（3）混合模型（mixed model） 在多因素试验中，若既包括固定效应的试验因
素，又包括随机效应的试验因素，则该试验对应于 混合模型。混合模型在试验研究中是经常采用的。
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固定模型与随机模型的区别
目的
固定模型
随机模型
研究特定处理，即
i 1
rs
误差平方和： SSe
(xij xi x j x)2
i1 j1
fe r 1s 1
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方差分析
相应的均方差为：
MS
A
SS A r 1
MS
B
SS B s1
MS
பைடு நூலகம்
E
SS e ( r 1 )( s 1 )
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方差分析
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多因素方差分析
单因素方差分析研究的是总体的均值受一个 因素不同水平的影响。但在一些实际问题中， 影响总体均值的因素不止一个，这些因素间 还可能存在交互作用，这就要考虑两个或多 个因素的问题。 为简单起见，仅考虑两个因素的情况．
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第二章方差分析与相关分析
第二章方差分析与相关分析在统计学中，方差分析和相关分析是两种常用的数据分析方法。
方差分析用于比较两个或多个组之间的差异，而相关分析用于探究变量之间的关系。
本章将详细介绍方差分析和相关分析的概念、原理和应用。
1.方差分析方差分析是一种用于比较不同组之间差异的统计方法。
它基于一种基本假设，即不同组之间的差异是由于随机误差造成的。
方差分析以方差作为度量不同组之间差异的指标，通过计算组内方差和组间方差来评估不同组之间的差异程度。
方差分析通常包括三个步骤：建立假设、计算方差和进行显著性检验。
首先，建立假设，即空假设和备择假设。
空假设认为不同组之间的差异是由于随机误差造成的，而备择假设则认为不同组之间存在显著差异。
接下来，计算组内方差和组间方差，通过比较两者的大小来评估不同组之间的差异程度。
最后，进行显著性检验，判断不同组之间的差异是否显著。
方差分析广泛应用于实验设计和数据分析中。
例如，在医学研究中，可以用方差分析比较不同治疗方法的疗效差异；在市场调研中，可以用方差分析比较不同广告策略的效果差异。
2.相关分析相关分析用于探究两个变量之间的关系。
它通过计算两个变量之间的相关系数来评估它们之间的相关性。
相关系数的取值范围为-1到1，负值表示负相关，正值表示正相关，而0表示无相关。
相关分析通常包括两个步骤：计算相关系数和进行显著性检验。
首先，计算两个变量之间的相关系数。
常用的相关系数包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于连续变量之间的相关性分析，而斯皮尔曼相关系数适用于有序变量之间的相关性分析。
接下来，进行显著性检验，判断两个变量之间的相关性是否显著。
相关分析广泛应用于各个领域的数据分析中。
例如，在经济学中，可以用相关分析研究两个经济指标之间的相关性；在社会学中，可以用相关分析探究两个社会变量之间的关系。
3.应用案例方差分析和相关分析在实际应用中的案例非常丰富。
以方差分析为例，假设我们研究了三种不同的农药对作物产量的影响。
第二章 方差分析课件
误差
DFAB a 1b 1 6
SSe SST SSt 1170
当 p 3 时，
0.05 水平上不显著 0.05 水平上不显著 0.05 水平上不显著
yC yA 8 0.05 水平上显著 yD yB 6 0.05 水平上不显著 当 p 4 时， yD yA 9 0.05 水平上显著
3、新复极差法（SSR法） 同 q 法，其中：LSR SSR;df , p SE 例2.4 接例2.1数据
地块A
B1 化学控制
田间管理B
B2 集成虫害管理
合计TA
B3 改良集成虫害管理
平均yi
A1 A2 A3 A4 A5 A6
合计TB 平均y j
71 90 59 75 65 82
442 73.67
73 90 70 80 60 86
459 76.50
77 92 80 82 67 85
483 80.50
T
2 j
.
C
a
MS B
a 1 b 1 SSe SST SSA SSB MSe
ab 1
SST y2 C
F F
MS A MS e MS B MS e
多重比较：
A因素
SE MSe b
B因素
SE MSe a
例2.5 为了研究不同的田间管理方法对草莓产 量的影响，选择了6个不同的地块，每个地块分 成3个小区，随机安排3种田间管理方法，数据 入下表。进行方差分析。
221
73.67
272
90.67
209
69.67
237
79.00
192
64.00
253 84.33
T 1384
解：由题可知 a 6,b 3
DFAB a 1b 1 6
SSe SST SSt 1170
当 p 3 时，
0.05 水平上不显著 0.05 水平上不显著 0.05 水平上不显著
yC yA 8 0.05 水平上显著 yD yB 6 0.05 水平上不显著 当 p 4 时， yD yA 9 0.05 水平上显著
3、新复极差法（SSR法） 同 q 法，其中：LSR SSR;df , p SE 例2.4 接例2.1数据
地块A
B1 化学控制
田间管理B
B2 集成虫害管理
合计TA
B3 改良集成虫害管理
平均yi
A1 A2 A3 A4 A5 A6
合计TB 平均y j
71 90 59 75 65 82
442 73.67
73 90 70 80 60 86
459 76.50
77 92 80 82 67 85
483 80.50
T
2 j
.
C
a
MS B
a 1 b 1 SSe SST SSA SSB MSe
ab 1
SST y2 C
F F
MS A MS e MS B MS e
多重比较：
A因素
SE MSe b
B因素
SE MSe a
例2.5 为了研究不同的田间管理方法对草莓产 量的影响，选择了6个不同的地块，每个地块分 成3个小区，随机安排3种田间管理方法，数据 入下表。进行方差分析。
221
73.67
272
90.67
209
69.67
237
79.00
192
64.00
253 84.33
T 1384
解：由题可知 a 6,b 3
高级篇 第二章 正交试验设计及统计分析-方差分析
0.415
（2）显著性检验
根据以上计算，进行显著性检验，列出方差分析表，结果见表10-24
变异来源
A B C△ 误差e 误差e△ 总和
平方和 45.40 6.49 0.31 0.83 1.14 53.03
自由度 2 2 2 2 4
表10-24 方差分析表
均方 F值
Fa
22.70 79.6 F0.05(2,4) =6.94
油温℃A 1 1 2 2 3 3 4 4
1.8 4.5 9.8 6.8 3.24 20.25 96.04 46.24
表10-27 试验方案及结果分析
含水量％B 油炸时间s C
1
1
空列 1
2Hale Waihona Puke 2211
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2 11.4
1 10.2
1 12.1
11.5
12.7
10.8
空列 1 2 2 1 2 1 1 2
3.24 11.4 F0.01(2,4)=18.0
0.16
0.41
0.285
显著水平 ** *
因素A高度显著，因素B显著，因素C不显著。 因素主次顺序A-B-C。
（3）优化工艺条件的确定
本试验指标越大越好。对因素A、B分析，确定优 水平为A3、B1；因素C的水平改变对试验结果几乎无影
响，从经济角度考虑，选C1。优水平组合为A3B1C1。 即温度为58℃，pH值为6.5，加酶量为2.0%。
K2k2 SST＝QT CT
…
Kmk2 SSk
Q
＝
j
1 r
第2章多因素方差分析
Error
2.685
16
.168
Total
775.984
24
Corrected Total
6 .611 (Adjusted R Squared = .441)
F 3.591 4582.977 .012 .459 4.763 11.346 .311 7.954 .290
例：A、B两药治疗缺铁性贫血24例，试验结果如下：
四种疗法治疗缺铁性贫血后红细胞增加数（1012/L）
疗法 号
一般疗法 一般疗法加A药 一般疗法加B药 一般疗法加A药加B药
红细胞增加数
0.8 0.9 0.7 1.3 1.2 1.1 0.9 1.1 1.0 2.1 2.2 2.0
总体均数记
7
研究目的
27
因子A
对照组
围产期 窒息组
因子B
出生时 出生后20分钟
6.20 5.80 8.25 23.06 21.46 11.43
11.50 13.37 24.10 25.56 30.40 18.19
出生后30分钟
14.53 11.40 12.37 10.52 13.66 18.20
28
用混合效应作方差分析时，离均差平方和与自由度的计算与固定效应相同， 但无效假设与F统计量不同。它们的计算公式为：
Sig. .
.947
.824
.803
a. Cannot compute the error degrees of freedom using Satterthwaite's method.
b. MS(A * B)
c. MS(Error)
26
方差分析的混合效应模型
例题：设某人研究围产期窒息对新生儿中血中次黄 嘌呤浓度是否有影响，同时还了解新生出生一小时 内次黄嘌呤浓度是否有变化。他随机抽取围产期窒 息9名，不窒息的正常新生儿9名（作为对照）对每 组的9名新生儿随机安排三个不同时间，测定血中 次黄嘌呤浓度如下：
第2章单因素方差分析
第12章方差分析（Analysis of V ariance）方差分析是鉴别各因素效应的一种有效统计方法，它是通过实验观察某一种或多种因素的变化对实验结果是否带来显著影响，从而选取最优方案的一种统计方法。
在科学实验和生产实践中，影响一件事物的因素往往很多，每一个因素的改变都有可能影响产品产量和质量特征。
有的影响大些，有的影响小些。
为了使生产过程稳定，保证优质高产，就有必要找出对产品质量有显著影响的那些因素及因素所处等级。
方差分析就是处理这类问题，从中找出最佳方案。
方差分析开始于本世纪20年代。
1923年英国统计学家R.A. Fisher 首先提出这个概念，（ANOV A）。
因当时他在Rothamsted农业实验场工作，所以首先把方差分析应用于农业实验上，通过分析提高农作物产量的主要因素。
Fisher1926年在澳大利亚去世。
现在方差分析方法已广泛应用于科学实验，医学，化工，管理学等各个领域，范围广阔。
在方差分析中，把可控制的条件称为“因素”（factor），把因素变化的各个等级称为“水平”或“处理”（treatment）。
若是试验中只有一个可控因素在变化，其它可控因素不变，称之为单因素试验，否则是多因素试验。
下面分别介绍单因素和双因素试验结果的方差分析。
1.1 单因素方差分析（One Way Analysis of Variance）1.一般表达形式2.方差分析的假定前提3.数学模形4.统计假设5.方差分析：（1）总平方和的分解；（2）自由度分解；（3）F检验6.举例7.多重比较1.1.1 一般表达形式首先通过一个例子引出单因素方差分析方法。
某农业科研所新培养了四种水稻品种，分别用A1，A2，A3，A4表示。
每个品种随机选种在四块试验田中，共16块试验田。
除水稻品种之外，尽量保持其它条件相同（如面积，水分，日照，肥量等），收获后计算各试验田中产量如下表：通过这些数据要考察四个不同品种的单位产量，是否有显著性差异。
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Σ
方差分析表
方差 来源 离差 平方和 自由度 平均离差 平方和 4 20 F值 F临界值 显著性 **
0.05
2.87
0.01
4.43
A 142639.03 误差 8918.41 总和
35659.76 79.97 445.92
差数三角形表（S检验）
水平 A1 A2 A3 A4 A5 平均值 A5 16.33 6.00 0.75 0.50 15.83 5.50 0.25 与下列位级的平均指标值之差 A4 15.58 5.25 A3 10.33 A2 A1
例2.3 一种火箭使用了四种燃料，三种推进 器做射程试验。每种燃料和每种推进器的组 合各做一次试验，得火箭射程如下表所示。 试问不同燃料、不同的推进器分别对射程有 无显著影响？如若显著差异存在于那些水平 对？
推进器B 燃料A A1 A2 A3 A4 B1 58.2 49.1 60.1 75.8 B2 56.2 54.1 70.9 58.2 B3 65.3 51.6 39.2 48.7
方差分析表
方差 来源 离差 平方和 自由度 平均离差 平方和 3 2 6 87.2250 185.4904 294.7821 F值 F临界值 0.05 0.01 4.42 9.39 14.90 3.49 5.95 3.89 6.93 3.00 4.82 * ** ** 显著性
A 261.6750 B 370.9808 A×B 1768.6925
误差
236.9500
12
23
19.7458
总和 2638.2983
方差分析表
方差 来源 A B 误差 离差 平方和 15759.0 22384.7 73198.0 自由度 平均离差 平方和 3 2 6 11 5253 11192.4 12199.7 F值 F临界 显著性 值 α=0.05 4.76 5.14 不显著 不显著
0.43 0.92
总和 111341.7
30
50
90.3 95.8 84.2 89.7
84.8 96.2 87.6 75.5
考虑交互作用试验方差分析的数据表
B A A1 A2 · · · Ar
B1
B2
· · · · · · · · ·
· · · · · ·
Bs
y1s1,y1s2,· · · ,y1sl y2s1,y2s2,· · · ,y2sl · · · yrs1,yrs2,· · · ,yrsl
为什么不显著？误差平均离差平方和有多大？ 什么原因？
例2.4 某化工厂为了掌握不同的催化剂用 量，不同的聚合时间和不同的聚合温度对 合成橡胶生产中转化率的影响规律，做了 两批试验，其结果分别如下面两表所示。 （单位：%）
聚合时间/h 聚合温度/℃
0.5
催化剂用量/ml 4 2
1
催化剂用量/ml 4 2
3
A1
9486.76
15901.21
A2 A3
A4
8445.61
14018.56 21697.29
2550.25
5026.81 5358.24 3387.24
10941.16
20764.81 11924.64
2342.56
1536.64 1656.49 2371.69
10000.00
6384.01 8118.01
火箭射程试验数据表(简单计算表)
B A A1 A2 A3 A4
4 2
B1
B2 97.4
B3 65.3 60.8 126.1 79.9 90.1
y y i ..
j 1 k 1 ijk
3
2
58.2 52.6 110.8 56.2 41.2 49.1 42.8 91.9
334.3 296.5 342.4 346.6 T=1319.8
5.99
5.59 5.32 5.12 4.96
5.14
4.74 4.46 4.26 4.10
4.76
4.35 4.07 3.86 3.71
4.53
4.12 3.84 3.63 3.48
4.39
3.97 3.69 3.48 3.33
4.28
3.87 3.58 3.37 3.22
4.21
3.79 3.50 3.29 3.14
183.33 182.83** 182.53** 177.33** 167**
S检验临界值表（D值表）
j
i A1 A2 A3 A5 A4 A3 A2 A1
46.18 46.18 43.32 41.31
A4 A5
57.38 46.18 57.38 48.00 59.63 50.59 62.83
57.38 53.83 51.52 46.18 43.32 57.38 53.83 48.00 59.63
55.72 49.42 57.07 57.77
54.1 50.5 140.6 51.6 48.4 100.0
60.1 58.3 118.4 70.9 73.2 144.1 39.2 40.7 75.8 71.5 147.3 58.2 51.0 109.2 48.7 41.4
ijk
y
i 1 k 1
y111,y112,· · · ,y11l y121,y122,· · · ,y12l y211,y212,· · · ,y21l y221,y222,· · · ,y22l · · · · · · yr11,yr12,· · · ,yr1l yr21,yr22,· · · ,yr2l
方差分析表
方差 离差 来源 平方和 A B A×B SA2 SB2 SA×B2 自由度 平均离差 平方和 F值 F临界值 显著性
n2
1 2
3
4 5
10.1
7.71 6.61
9.55
6.94 5.79
9.286.59 5.源自19.126.39 5.19
9.01
6.26 5.05
8.94
6.16 4.95
8.89
6.09 4.88
8.85
6.04 4.82
8.81
6.00 4.77
8.79
5.96 4.74
3
4 5
6
7 8 9 10
A3
A4 A5
1
30 0
1
8 1
1
10 0
0
10 1
计算表
…….
A1 A2 A3 A4 A5 Σ
……. ……. ……. ……. …….
yi Σ2 （Σ）2/ni 1100 20166.67 210000 183.33 30 180.00 200 6.00 3 2.25 3 0.75 98 1600.67 2164 16.33 2 1.00 2 0.50 1233 203450.59 212369 49.21
fA=r-1 SA2/fA fB=s-1 SB2/fB fA×B=(r-1)(s-1) SA×B2/fA×B
FA FB FA×B
Fα(fA,fe) Fα(fB,fe) Fα(fA×B,fe)
误差
总和
Se2
fe=rs(l-1)
SeA2/feA
例2.5 设在例2.3中，对于燃料和推进器的每一组合，各发射 火箭两枚，得火箭射程如下表所示。试问燃料之间，推进器 之间有无显著差异，燃料与推进器那种搭配较好？
y2·
… yi· … yr· y
yj ·
方差分析表
方差 来源 A 离差 平方和 SA
2
自由度 平均离差 平方和 r-1 SA
2/(r-1)
FA
F值
2 SA /( r 1) 2 Se /( r 1)( s 1)
F临界 值
显著性
B
误差 总和
SB2
s-1
SB2/(s-1)
FB
2 SB /( r 1) 2 Se /( r 1)( s 1)
4.15
3.73 3.44 3.23 3.07
4.10
3.68 3.39 3.18 3.02
4.06
3.64 3.35 3.14 2.98
6
7 8 9 10
方差分析表
方差来源 离差平方和 自由度 因素 误差 总和 SA
2
平均离差平方和 SA
2/(r-1)
F值
S /( r 1) FA A2 Se /( n r )
ST2
rs-1
数据计算表
B1 B2 B3 A1 A2 A3 A4 ……. ……. ……. ……. Σ Σ Σ2 -110 93572 Σ 51 -198 -44 81 -110 （Σ）2 2601 39204 1936 6561 50302 yij2 ……. ……. ……. ……. Σ2 5441 14318 52590 40001 112350
2
显著性 *或**或 不显著
r-1 n-r n-1
Se2 ST2
Se2/(n-r)
例2.2 从某地五组碳酸盐地层化学分析结果 中，取一种化学成分A进行考察，其数据如下 表，试问这五组碳酸盐地层的化学成分有无 显著差异；如果有显著差异，那么差异又存 在于哪些组对之间。
重复 水平 A1 A2 1 100 10 2 200 5 3 200 5 4 200 5 5 200 5 10 10 6 200
468.4 58.55
455.3 56.91
396.1 49.51
y. j.
y =
54.99
数据计算表
BA
3387.24
2766.76 2410.81 1831.84 12276.64
B1
3458.44 1697.44 2926.81
B2