2013年湖南省高考数学学科(理科)考生水平评价及教学建议
注： 得分率与其他 比率 的单位均采用 百分制（ ％） ； 鉴别指数和 区分度的取值范 围处于一 １ 一 ＋ １ ； 所有小数值均保 留两位有效小数位． 以下同
执笔 人 ： 陈国军／ 长沙市望城 区第一 中学教师 ， 中学 高级教 师 ； 卢谢峰／ 湖南师 范大学教育科 学学 院副教授 ； 杜超雄／ 邵 阳学院理学 系副教授 ； 袁 拥军， 长沙县 实验 中学教 师 ， 中学特 级教师 ．
空 间想 象能 力、 抽 象概括 能 力和数 据 处理 能 力较 强 ， 应 用意 识和 创 新 意识 则相 对 薄弱 ． 示 范性 中学 考生在 数
学知识 结构 和数 学思 维能 力上 均优 于非 示 范性 中学 考生． 从典 型 试题 分 析 来看 ， 本报 告 分 别从题 型 、 知 识点 、 能 力要 求及 试 题 综合程 度 等 方 面考虑 ， 选择 了四道 典型试 题 （ 第６ 、 １ ７ 、 １ ８ 、 ２ １ 题） ， 择要 分 析 了考 生答题 的 不足 ， 从 中发 现 了理 科数 学教 学 中存在 的 某些 问题 ． 基 于 以上 分析 ， 本报 告 对 中学数 学教 学提 出 了四点建 议 ： 加 强课 标研 究 ， 把 握教 学方 向 ； 夯 实数 学基 础 ，
渗 透 思想 方法 ； 注重教 学过程 ， 培养 学科 能 力 ； 深 化素 质教 育 ， 提 高数 学素养 ． 【 关键词 】高考数 学学科 ； 考生水平评价； 教学建议
【 中图分类号】 Ｇ ４ ０ — ０ ５ ８ ． １
【 文献标识码】Ａ 【 文章编号】１ ６ ７ ４ — １ ５ ３ ６ （ ２ ０ １ ３ ） １ １ — ０ ０ ０ ４ — １ ８
率可以表示试题 的难度系数 ， 选拔性测验 的难度
系数最好接 近录取率 ； 鉴别指 数则采 用高 、 低分
组的得分率之差． 由表 １ 可见 ， ２ ０ １ ３ 年湖南省高考理科考生数
学成绩 的最高分为 １ ４ ７ 分， 平均分为 ７ ５ ． ８ ７分 ， 得 分率为 ５ ０ ． ５ ８ ％． ２ ０ １ ３ 年湖南省高考理科数学试卷
评
价 ２ ０ １ ３ 年 湖 南 省 高 考 数 学 学 科 （ 理 科 ） 考 生 水 平 评 价 及 教 学 建 议 ①
湖 南省 教 育 考试 院 高 考 评 价 课 题 组
【 摘 要】２ ０ １ ３ 年， 湖南省共有高考理科考生１ ８ ０ ５ ７ ８ 名， 从平均分和得分率两项指标分析 ， 大部分考生对“ 双 基” 的 掌握 程 度 较好 ， 数 学 思维 能 力及 应 用意 识较 强 ． 理 科 考 生 的整体 水 平 和教 师的教 学质 量达 到 了《 普 通
一
、
对 考 生 水 平及 教 学质 量 的 总体 评 价
此外 ， 我们对得分率在 ９ ０ ％以上 、 ８ ０ ％～ ９ ０ ％、 ６ ０ ％～ ８ ０ ％及 ６ ０ ％以下 四个分数段 的考生 比率 分 别进行 了统计 ， 结果 显示 ： 全省理科考生 中 ， 数 学
成绩 在 ９ ０分 （ 含 ９ ０分 ） 以上 的 占 ３ ６ ． ５ ３ ％； ９ ０分
表１ ２ ０ １ ２ 、 ２ ０ １ ３年 湖南省高考理 科数学成绩 数据对 比
年份
２ Ｏｌ ３ ２ ０ １ ２
人 数
１ ８ ０５ ７８ １ ７ ２ ７１ ４ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
最高分 平均分 得分率 标 准差 差异系数 鉴别 指数 优秀率 良好率 及格率 低分率
１ ４ ７ １ ４ ２ ７５ ． ８ ７ ７８ ． ５ Ｏ ５ ０ ． ５ ８ ５ ２ ． ３ ３ ２６ ． ４１ ２ ７． ３ ４ ０ ． ３ ５ ０ ． ３ ５ ０－ ３ ５ Ｏ＿ ３ ７ Ｏ ． Ｏ ５ Ｏ ． ０ ２ １ ． １ ６ １ ． ５ ５ ３ ５ ＿ ３ ３ ４２ ． ６ｌ ６ ３ ． ４ ７ ５ ５ ＿ ８ ２
看， 考 生对 “ 三 角函数 与 平面 向量 ” “ 复数 、 数 列与 算 法初 步 ” “ 立体 几何 ” “ 统 计 与概 率” 等 知识 组 块 的掌握 较 好， 对“ 解析 几 何 ” “ 函数 、 导 数及 不 等 式” “ 集合 与常 用逻 辑 用语 ” 的掌握 不 太理 想 ． 从 能 力结 构 来看 ， 考 生 的
的区分度达 到 Ｏ ． ３ ５ ， 说明考生的数学成绩能够较
好地 反 映 其 高考 水平 ．
中数 ８ １ ． ｏ ｏ ＜ ￣ ｔ ９ １ ． ２ ５ ， 偏度为一 ０ ． ５ ４ ， 峰度为一 ０ ． ５ ０ ， 理科考生 的数学成绩总体上呈负偏态分布． 从曲
线 的形 态来 看 ， 处 于平 均分 右 侧 的考 生 居多 ．
１ ． 学科 水 平描 述
课题组对参加 ２ ０ １ ３ 年湖南省高考的 １ ８ ０ ５ ７ ８
名 理科 考 生 数据 进 行 了统 计 分 析 ． 本报告 中， 得 分
以下 的 占 ６ ３ ． ４ ７ ％； １ ２ ０ ～ １ ３ ５分 之 间 的考 生 占 １ ． １ ６ ％； １ ３ ５ 分及 以上 的考生比率仅为 ０ ． ０ ５ ％． 根据 表 ２所列 的理科数 学成绩分 数段分 布 情况 ， 以“ 数学分数 ” 为横 坐标 ， 以得 分“ 人数 ” 和 “ 比率 ” 为纵坐标 ， 绘制 出的全省考生“ 理科数学 成绩 分布 曲线” 如图 １ 、 图２ 所示 ： 平均分 ７ ５ ． ８ ７ ＜
2013年湖南省高考数学试卷理科教师版
2013年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013?湖南）复数z=i?（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．【解答】解：z=i?（1+i）=﹣1+i，故复数z对应的点为（﹣1，1），在复平面的第二象限，故选：B．2．（5分）（2013?湖南）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．故选：D．3．（5分）（2013?湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）B．C．DA．．【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，，2sinAsinB=sinB得：∴由正弦定理==2R∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选：A．，则x+湖南）若变量x，y满足约束条件2y的最大值2013?4．（5分）（是（）A．B．0C．D．及其内部，再将目ABC【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，x+2y取得最大值为．表示的平面区域，解：作出不等式组【解答】得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1）设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z=F（，）=最大值故选：C．2的图象5﹣4x+=2lnx）的图象与函数g（x）=xf分）5．（5（2013?湖南）函数（x）的交点个数为（0D．2．C．13A．B的图象与=2lnxx）f【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数（2的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形54x）（函数gx=x﹣+结合思想，易得到答案．2=x）（x）=2lnx的图象与函数g【解答】解：在同一坐标系下，画出函数f（x﹣4x+5的图象如图：由图可知，两个函数图象共有2个交点故选：B．，若向量满足是单位向量，6．（5分）（2013?湖南）已知，），则的取值范围为（，，，C B．A．．，D．，，作出图象，根据图象可求，，【分析】令的最大值、最小值．出，，，解：令【解答】，，如图所示：则的圆上，1在以点，所以点CD为圆心、半径为又，﹣1达到最值，最大值为+，最小值为1D共线时、与易知点CO．的取值范围为[1+]1﹣，所以．故选：A的正方的正方体的俯视图是一个面积为12013?湖南）已知棱长为17．（5分）（）形，则该正方体的正视图的面积不可能是（．D C．A．1B．，即可得出．【分析】求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为；当正1【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为．视图为对角面时，其面积最大为则该正方体的正的正方形，的正方体的俯视图是一个面积为1因此满足棱长为1，．视图的面积的范围为不可能．，故CD皆有可能，而＜1因此可知：A，B，．故选：C边AB，点P是边中，分）（2013?湖南）在等腰直角三角形ABCAB=AC=4．8（5，（如图）CA反射后又回到点P的一点，光线从点P出发，经BC，AB上异于）等于（QR经过△ABC的重心，则AP若光线．C．D．A2B．1的坐标，的对称点P关于直线【分析】建立坐标系，设点P的坐标，可得PBC1四点共线可得直线的方程，，PR，的坐标，关于Py轴的对称点P由PQ，和212的坐标，进而可a的重心，代入可得关于的方程，解之可得PABC由于过△的值．AP 得解：建立如图所示的坐标系：【解答】可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，，），设P（a，0），其中0＜a＜4，△ABC的重心为（，满足x，y）则点P关于直线BC的对称点P（，1解得，即P（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P（﹣a，0），21由光的反射原理可知P，Q，R，P四点共线，21直线QR的斜率为k==，故直线QR的方程为y=（x+a），2﹣4a=03a，的重心（，），代入化简可得由于直线QR过△ABC解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP=故选：D．（一）分．5分，共35二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题三题中任选两题作答、如果全做，则按前两11，10，选做题（请考生在第9题）1612～题记分）（二）必做题（为参数）（t中，若直线l：，（9．2013?湖南）在平面直角坐标系xOy ．3（：θ为参数）的右顶点，则常数a的值为过椭圆C求出椭圆的右【分析】直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，的值．a顶点，代入直线方程即可求得，﹣，得：y=xal【解答】解：由直线，再由椭圆C：，得22．得，②①+所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．故答案为3．222的最小值9c，则a++4b，c∈R，a+2b+3c=6分）10．（5（2013?湖南）已知a，b为12．22222）+1+1+1×3c）1≤（根据柯西不等式，得（a+2b+3c）×=（1a+1×2b【分析】222222222≥12，由此可得当且仅当+9c9c），化简得+4ba+9c）=3（a4b+4b++a（222的最小值为12．+，c=时，a9c+4ba=2，b=1【解答】解：∵a+2b+3c=6，222222+a1）+1×2b+1×3c）[≤（1++∴根据柯西不等式，得（a2b+3c）1=（×a+122]）（（2b）3c+2222222）++4b9c），即36≤3（化简得6≤3（aa+4b+9c222≥12，+∴a9c+4b当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=时等成立222的最小值为9c+4b12+由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=时，a故答案为：1211．（5分）（2013?湖南）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，．CDPD=1PA=PB=2，，则圆心O到弦的距离为CD到弦再利用勾股定理求出圆心CD【分析】首先利用相交弦定理求出的长，O的距离，注意计算的正确率．【解答】解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，∴2×2=CP?1，解得：CP=4，又PD=1，∴CD=5，又⊙O的半径为，．==CD的距离为d=则圆心O到弦．故答案为：2dx=9，则常数T的值为3．（5分）（2013?湖南）若x．12【分析】利用微积分基本定理即可求得．=9【解答】解：，解得T=3=，．故答案为：3，则输分）13．（5（2013?湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入，b=2a=1．32出的a的值为时，满足条的值，当a=32【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a．32，退出循环，输出31a的值为件a＞解：模拟执行程序，可得【解答】b=2，a=1a=231＞，不满足条件aa=431，不满足条件a＞a=8，＞31a不满足条件a=16，＞不满足条件a31a=3231a不满足条件＞，满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32．故答案为：32．（a＞0，b＞0）的：14．（5分）（2013?湖南）设F，F是双曲线C21两个焦点，P是C上一点，若|PF|+|PF|=6a，且△PFF的最小内角为30°，2211则C的离心率为．【分析】利用双曲线的定义求出|PF|，|FF|，|PF|，然后利用最小内角为30°2112结合余弦定理，求出双曲线的离心率．【解答】解：因为F、F是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足21|PF|+|PF|=6a，21不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF|﹣|PF|=2a21所以|FF|=2c，|PF|=4a，|PF|=2a，2211∵△PFF的最小内角∠PFF=30°，由余弦定理，2211222﹣2|FF||PF||cos∠PFF∴|PF||=|FF，+|PF211121221222，×4a×+16a﹣2×2c=4c即4a22，=0﹣2ca+3a∴c∴c=a．所以e==故答案为：．n，﹣n（﹣1）a为数列S{a}的前n项和，S=．15（5分）（2013?湖南）设nnnn *，则∈N；1）a=﹣（3．S=+）（2S+S+ (10012)【分析】（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2对此关系式再分n为偶数和奇数．时的关系式分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a可求；3*，则利用∈，nN）中求出的数列的通项公式代入）把（（21数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．*，【解答】解：由n∈N，．当n=1时，有，得．2时，当n≥．即．为偶数，则若n为正奇数）（所以n；为奇数，则若=．n ．（n所以为正偶数）．所以（1）故答案为﹣；，为正奇数）（2）因为，所以﹣（n．，所以（n为正偶数）又．则．，．则…．所以，S+S+S+S+…+S+S100992341===．=．故答案为xxx，其中c＞a＞0，c＞b＞（2013?湖南）设函数f（x）=a0+b．﹣c16．（5分）（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为 {x|0＜x≤1} ．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是①②③．（写出所有正确结论的序）①?x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；xxx不能构成一个三角形的三条边长；c，使a，，bx②?∈R③若△ABC为钝角三角形，则?x∈（1，2），使f（x）=0．的范围，，求得+b=2a中的元素满足的条件，得到c≥a【分析】（1）由集合M xxx的取值集合；的零点，利用不等式可得零点﹣c解出函数f（x）=ax+b xxx c﹣xf（）=a变形为+b（2）对于①，把函数式，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；对于②，利用取特值法说明命题是正确的；对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．【解答】解：（1）因为c＞a，由a，b，c不能构成一个三角形的三条边长得c≥＞．，则，所以a+b=2axxx．=﹣）=a+bc令f（x．，所以得，＞0x=，则ln＞0，所以又∵＞1所以0＜x≤1．故答案为{x|0＜x≤1}；，（2）①因为＜，＜，又＞＞．1），x所以对?∈（﹣∞，所以命题①正确；xxx．不能构成一个三角形的三条==，cc=5．则a=，b②令x=﹣1，a=2，b=4，边长．所以命题②正确；222＜0﹣ac+b．③若三角形为钝角三角形，则222＜0c+b．﹣，b﹣c＞0f（2）=af（1）=a+所以?x∈（1，2），使f（x）=0．所以命题③正确．故答案为①②③．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．2．=2sinx）cos（x﹣），g（+（17．12分）（2013?湖南）已知函数f（x）=sin （x﹣））的值；α）=，求g（α（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（的取值集合．）成立的x）≥g（x（Ⅱ）求使f（x）（αx）的解析式，可得f【分析】（1）利用两角和差的三角公式化简函数f（2=1α（）=2sin的解析式，再根据f（α）=，求得cosα的值，从而求得g的值．﹣cosα，zk∈+ 2kπ+≤x≤2kπ+，+（2）由不等式可得sin（x）≥，解不等式的取值集合．求得x，sinxsinx1）∵f（x）=﹣cosx+cosx+sinx=（【解答】解：．，所以sinα=）f（α=sinα=所以，cosα=），所以，又α∈（02．﹣=1cosα=）所以g（α=2sin（2）由f（x）≥g（x）得sinx≥1﹣cosx，所以sinx+cosx=sin（x+）≥．解2kπ+≤x+≤2k π+，k∈z，求得2kπ≤x≤2kπ+，k∈z，所以x的取值范围为[2kπ，2kπ+]k∈z．18．（12分）（2013?湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X12344251Y4845这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的（I【分析】的概率；相近”个数，即可求它们恰好“）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期（II 望．，其中三角形地块内部的作5=15+4+）所种作物总株数N=1+2+3【解答】解：（I，从三角形地块的内部和边界上分别随123，边界上的作物株数为物株数为=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结机选取一株的不同结果有果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率=；（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列=P）Y=42（P，）X=3（=P）Y=45（P，）X=2（=P）48（P，）X=1（=P）Y=51（P∵．（X=4）∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可记n为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n=2，n=4，n=6，3k12n=34得P（X=1==）=（（X=3）X=k由P（）===，PX=4），P（X=2）=，P=4642×45×+）Y=51×+48×+数学期望为E（19．（12分）（2013?湖南）如图，在直棱柱ABCD﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，1111AC⊥BD，BC=1，AD=AA=3．1（Ⅰ）证明：AC⊥BD；1（Ⅱ）求直线BC与平面ACD所成的角的正弦值．111∩BBBB，结合ABCD，从而AC⊥）根据直棱柱性质，得【分析】（IBB⊥平面111；BDD，从而得到AC⊥ACBD=B，证出⊥平面BB11与ADACDC与平面所成的角即为直线AD∥BC，可得直线B）（II根据题意得11111AD⊥平面AD，利用线面垂直的性质与判定证出平面ACD所成的角．连接111ABD，从而可得AD⊥BD．由AC⊥BD，可得BD⊥平面ACD，从而得到∠1111111ADB与AD与平面ACD所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC11∽Rt△DAB，算出AB=，最后在Rt△ABD中算出BD=，可得cos∠11ADB=，由此即可得出直线BC与平面ACD所成的角的正弦值．1111【解答】解：（I）∵BB⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥BB，11又∵AC⊥BD，BB、BD是平面BBD内的相交直线11∴AC⊥平面BBD，1∵BD?平面BBD，∴AC ⊥BD；111（II）∵AD∥BC，BC∥BC，∴AD∥BC，1111由此可得：直线BC与平面ACD所成的角等于直线AD与平面ACD所成1111的角（记为θ），连接AD，1∵直棱柱ABCD﹣ABCD中，∠BAD=∠BAD=90°，1111111?平面ADDA，得BA⊥DA∴BA⊥平面AD，结合ADAD1111111111又∵AD=AA=3，∴四边形ADDA是正方形，可得AD⊥AD11111∵BA、AD是平面ABD内的相交直线，∴AD⊥平面ABD，可得AD ⊥BD，1111111111由（I）知AC⊥BD，结合AD∩AC=A可得BD⊥平面ACD，从而得到∠ADB=90°11111﹣θ，∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB ，可得AB=因此，=连接AB，可得△ABD是直角三角形，11222222=21，B+BDBD=BBD=+AB∴BDB=B+ 1111，==中，ABDcos∠ADB=在Rt△11．C与平面所成的角的正弦值为ACD（90°﹣=sinθ=θ），可得直线B即cos111出发沿纵、横MxOy中，将从点13（分）（2013?湖南）在平面直角坐标系20．．如图所示的路径”“LN的一条路径M方向到达点N的任一路径称为到．某地有三个新建居民区，”路径“L的MNNMMMM与路径N到M都是N1321．分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．长度最小值；”的“L路径路径”的定义，可得点P到居民区A【分析】（I）根据“L到三个居P路径”长度之和的最小值为点由题意知，点P到三个居民区的“L（II））的最小值，分类讨论，利用绝对值d路径”长度最小值之和（记为民区的“L的坐标．P的几何意义，即可求得点，则），y【解答】解：设点P的坐标为（x；∞），+y∈[0，|x﹣3|+|y﹣20|到居民区（I）点PA的“L路径”长度最小值为到三个居P”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径（II）由题意知，点）的最小值d”长度最小值之和（记为民区的“L路径|﹣20|y|+|y﹣14|+|x﹣3|+2y①当≥1时，d=|x+10|+|x24|≥x﹣14|≥|x+10|+|）x=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3∵d（124的最小值为﹣3||+|x ﹣14|+|x（∴当且仅当x=3时，dx）=|x+10121≥20|﹣=2|y|+|y∵d（y）221的最小值为20||y|+|y﹣∴当且仅当y=1时，d（y）=22长度之和的最小，且路径”P1）时，点到三个居民区的“L∴点P的坐标为（3，；最小值为45﹣|+|xx﹣14不能进入保护区，∴d=|x+10|+|时，由于②当0≤y≤1“L路径”|20|+|y﹣+|1﹣y|+|y3|+1y﹣20|=22y﹣y|+||+|y﹣1y，xxxx此时d（）=|+10|+|﹣14|+|﹣3|d（）=1+|2121≥，当且仅45）≥+x（，∴≥3x14x10x=x（由①知d）|+|+|﹣|+|﹣|24d）dy（211．当x=3，y=1时等成立综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．2=2py（p＞0E：x）的焦点F作斜率率分别21．（13分）（2013?湖南）过抛物线为k，k的两条不同直线l，l，且k+k=2．l与E交于点A，B，l与E交于21112122C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．＜；，证明：（Ⅰ）若k＞0，k＞021（Ⅱ）若点M到直线E的方程．l的距离的最小值为，求抛物线（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由【分析】两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求的表达式，利用基k的坐标，求出数量积后转化为关于k和出向量和21本不等式放缩后可证得结论；和MM和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆（Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方N圆转化为含=2k+kl程，由点到直线的距离公式求出点M到直线的距离，利用21的值，有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于求出p的方程可求．则抛物线E，直线l，．的焦点为的方程为【解答】解：（I）由题意，抛物线E1．，得由设A，B两点的坐标分别为（x，y），（x，y），则x，x是上述方程的两个实212121数根．．x=2pk，x从而+112．，，，M的坐标为所以点．，，，的坐标为同理可得点N．于是．＜＜，=2，k＞0，k＞0k≠k，所以0k由题设+k211212＜．故，，（Ⅱ）由抛物线的定义得．，从而圆M的半径所以，M的方程为故圆．化简得的方程为同理可得圆N．的方程为的公共弦所在的直线l于是圆M，圆N又k﹣k≠0，k+k=2，则l的方程为x+2y=0．2121因为p＞0，所以点M到直线l的距离为．=，解得p=8．由题设时，d取最小值．故当2=16y．的方程为x故所求抛物线E．＞0，函数．（13分）（2013?湖南）已知a22（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；（II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论．【解答】解：（I）当0≤x≤a时，；当x＞a时，＜，f（x）在（ax0∴当≤≤时，0，a）上单调递减；＞，f（x）在（a，+∞）上单调递增．当x＞a时，①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增∴g（a）=max{f（0），f（4）}==4）（0）﹣f（∵f，=0）a）=f（；当1＜a＜4时，g（1∴当0＜a≤时，g（a）=f（4）=＜，=）综上所述，g（a；＞，）上单调递减，故不满足要求；4）在（0，时，）知，当a≥4f（x（II）由（I当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x，x∈（0，4）（x＜x），使曲线y=f（x）在2121两点处的切线互相垂直，则x∈（0，a），x∈（a，4），且f′（x）f′（x）=﹣12112∴?=﹣1①∴∵x∈（0，a），x∈（a，4），21∴x+2a∈（2a，3a），∈（，1）1∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（，1）的交集非空＜＜＜时，A∩B≠?2a∵，∴当且仅当0＜＜1，即综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是（0，）．。
2013年湖南省高考数学试题分析与评价报告
2013年湖南省高考数学试题分析与评价报告2013 年高考是湖南实施新课改实验之后的第四次高考。
今年的高考数学试卷，借鉴了我省历年高考数学命题的经验，以《考试大纲》、《考试说明》为基础，从“继承经验、稳定发展、改革创新、突出选拔”等方面来体现课程标准的内涵、要求与理念。
试卷在整体上体现了“知能并重、深化能力立意；突出对创新意识和作为数学核心的思维能力的考查；注重对数学应用意识的考查；充分区别文、理科考生不同的学习要求”的基本风格和特色。
由市教科院组织教学一线名特优教师，充分分析历年湖南高考数学命题特点和趋势，全国各省新课程高考试题的特点和启示，以及湖南高考说明的一些新的变化，结合我市高三复习备考现状，按照“遵循新课改精神，体现新课改理念，适应新课改变化，贴近新课改实践”的要求，精心命制了四套高考数学模拟试卷，供学校模拟检测。
实践证明，我市高三数学复习备考指导工作是卓有成效的，文、理科平均分分别76.43为和82.65分，分别超出省平均6.86线和6.78分，理科全省第一，文科全省第二。
下面对2013年湖南数学卷进行分析，目的在于力求2014年全市的高考数学复习应考更高效，更具有针对性，期待2014年取得更大的辉煌.1．试题评价1.1 题型稳定试题所考主体内容稳定2013年的文、理试卷都基本保持了新课标下湖南卷一贯的考查风格，考查基础知识在平淡中见深刻，力求试题设计的创新而不刻意追求知识点的覆盖面。
在题型的分值分布中基本沿用2012年的思想。
在理科填空题中依然设置了选做题。
近四年题型、题量和分值分布如表1.1。
近四年试题主要考查的内容载体所占分值情况如表1.2。
形式来处理，在几何证明选讲、不等式选讲、坐标系与参数方程中各命一题，考生三选二解答；文科在坐标系与参数方程中命一题，作为必答。
2013年数学高考试题，在解答题的排序上，理科卷完全回到了前几年解答题命制所形成的模式上；文科卷只将概率统计题与立体几何题换了位置放在17题（排在第三）位置上。
2013届高三第三次教学质量监测理科数学试卷分析报告
2013届高三第三次教学质量监测理科数学试卷分析报告一、试卷的整体分析本次理科数学质监试题为引进试题，基本体现了2013年《普通高等学校招生全国统一考试湖南卷考试说明》的考试要求。
考卷着眼考查高中数学的主干知识，考题所涉及的主要知识点有集合，函数与导数，三角函数，数列，不等式，计数原理、概率与统计，复数与算法初步，立体几何，解析几何，等等;试卷的结构为湖南模式，即8道选择题，8道填空题（选做题为三选二）及6道解答题. 试卷体现“以能力立意”指导思想，坚持了对传统主干知识的考查，对课时较少学生易忽视的知识点（如复数）也有考查；本卷较有特色的试题有第7题，第8题，第15题，第18题，第20题，难度设置上为多题把关，如选择题第7题，第8题，填空题第15题，16题，解答题第21题，第22题。
特别是，填空题中有两题设计为两空，这与往年高考有区别。
总的来说，选择题把关题难度较合理，填空题把关题难度偏大，解答题最后两题深度、难度不如2012年湖南高考卷。
二、考试成绩统计与排名(市平76.4)（Ⅰ）省示范性高中数学平均分一览表（全市平均 79.5 分）（II ）市示范性高中数学平均分一览表（全市平均 57.9 分）三、考题分析和阅卷启示1.选择题：综合考查主干知识，考点涉及集合运算，复数运算，逻辑，三视图，程序框图，考查了转化与化归、数形结合思想，等等。
阅卷中发现，典型错误集中在T2和T6，T7。
评析： T2，学生对复数的虚部含不含i 不清楚；T6，对图形面积变化率缺少直观认识；T7，有效考查了数形结合、转化与化归，部分中等学生最终无功而返，是不能发现其中a 、b 、c 的关系（本题用直角三角形的射影定理可确定()()22222a c a a =-⨯，从而可求离心率e ）。
2.填空题：综合考查了考生对主干基础知识的考查．选做题部分，考点涉及极坐标方程，圆的有关性质，柯西不等式应用；必做题部分，考点涉及频率分布直方图的识图，等差、等比数列的性质，排列与组合，平面向量基本定理，归纳推理，等等．填空题特点，有两题（15题与16题）有两空，增大了学生的思维量，同时，也降低了失分点。
2013年湖南省数学高考考纲解读-吴科峰
二、2013年命ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ趋势分析
（二）几个具体问题： 5. 关于解析几何板块：
解析几何是必考知识板块，《考试说明》中提 出的几大数学思想中就有一条“数形结合思想”， 这种思想备受数学界的推尊，用代数方法解决几何 问题是其核心，《考试说明》明确指出：“解答题 中对数形结合思想的考查以由形到数转化为主”， 因此，解析几何将担当此任。
注：以节约型社会等有关内容为背景出题。
二、2013年命题趋势分析
（二）几个具体问题： 3. 关于客观题的压轴题：
选择题第8题是常规试题（只是有点难度而 已），填空题最后一题一定是具有创新背景的试题， 主要是新概念、新情境、新形式、新方法等，主要 考察学生阅读理解，分析创新，数学素养，学习潜 能，每年的这道题都是整套试卷中的亮点之一；在 解答这种题时，命题者鼓励考试创造性的解答问题， 尽量避免陷入严谨的逻辑推理之中，一般两问，无 固定模式可循。
2 3 4 5 分析近三年的湖南高考高考试题。 了解自己的学生。 改进课堂教学模式，少讲精练。 精心命制好模拟试题。
三、下阶段教学策略与建议
（二）实施的几个基本阶段 2月底至4月下旬：专题讲座，分大的 块综合联系，相对集中；（二轮复习） 4月下旬至5月初：基础知识再加强，小 题训练，解答题前4题； 5月初至5月底：特殊专题训练，综合模 拟训练，回归教材； 6月初：信息处理，自主调整。
二、2013年命题趋势分析
（一）总体趋势： 1. 命题首先保持：命题重点不变，命题思 想不变，命题特色不变，命题组成成员 不变。 2. 2013年的试题结构，难度保持不变。 3. 2013年试题难度趋势：
2012年全省理科考生（有效试卷）172714人， 平均分78.5分，最高分142分，难度0.52，优秀率 （指135分以上）0.02%，良好率（指120-135分之 间）1.55%，及格率（90分以上）42.61%，低分率 55.82%。
2013高考各科试卷分析与专家点评（新课标卷2）
2013高考各科试卷分析与专家点评（新课标卷2）今年的新课标卷Ⅱ与近三年的新课标卷相比，有一些细微的变化，但总体上说体现了高考命题保持稳定，稳中求变的原则。
一、稳定仍是最大的特点今年的试卷结构和试题设置完全按照近三年全国普通高等院校招生考试新课标卷的体式命制，整体试卷分为第Ⅰ卷阅读题，第Ⅱ卷表达题。
阅读题由必考题和选考题两部分构成，包括一至四大题；表达题包括五、六两个大题。
全卷共六个大题，18个小题，共计150分，考试时间150分钟。
考生实际完成五个大题，17个小题。
试卷的能力考查及考点的涉及体现了新课标考试大纲精神。
考前对考试范围争议颇大的“名篇名句默写”，今年所考的《三峡》（初中篇目）《劝学》《琵琶行》（高中篇目）均在考纲所给定的参考篇目范围内，也符合“诸子”“诗歌”“散文”，“初中少量考，高中侧重考”的内容及数量原则。
作文仍然采取了给材料作文，延续了材料作文这一命题形式。
二、细微变化体现了新课标教学的可发展性据学生反映，今年的高考语文试卷与我们的复习方向、诊断试题、模拟试卷在命题思路及命题形式上吻合度颇高，当然试题也有一些很有意思的变化。
（1）选考题部分的实用文本出现了“知识链接”部分，这是以往的试卷从未出现过的，如果估计不错，对学生答最后一道8分试题会有一定的借鉴意义。
但也正因为如此，大量学生反映今年高考的文学类读本（小说）与实用类文本（人物评传）在文本及试题命制的难度分布及区分度设置上仍出现了“一边倒”现象，显然实用文本的试题更易上手。
（2）从宁海卷到全国新课标卷一直没有缺席的“仿写”题今年终于“变脸”了。
今年的16、17小题分别是缺句填充与图文转换，这意味着这块“试验田”将进入两道试题同时交叉变化的命题阶段。
（3）作文虽然仍是材料作文，但是不再是“故事性材料”，而是一则“现象表述材料”与一则“数据性材料”的组合材料。
今年高考所给材料只有现象与数据，不再被给予明显的褒贬判定，也不流露任何是与非的倾向——这其实是非常好的材料提供方式，但对于今年“故事性材料”练习偏多的学生来说会觉得“切入材料”的角度难以定夺。
2013年湖南省高考数学试卷(理科)附送答案
2013年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0 C．D．5．（5分）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．06．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．7．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B．C．D．8．（5分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2 B．1 C．D．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为．10．（5分）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为．11．（5分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．12．（5分）若x2dx=9，则常数T的值为．13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为．14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．15．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，S n=（﹣1）n a n﹣，n∈N*，则（1）a3=；（2）S1+S2+…+S100=．16．（5分）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．18．（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．19．（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．21．（13分）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．22．（13分）已知a＞0，函数．（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．2013年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•湖南）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．【解答】解：z=i•（1+i）=﹣1+i，故复数z对应的点为（﹣1，1），在复平面的第二象限，故选B．2．（5分）（2013•湖南）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．故选：D．3．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选D．4．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0 C．D．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，x+2y取得最大值为．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1）设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z=F（，）=最大值故选：C5．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．【解答】解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象如图：由图可知，两个函数图象共有2个交点故选B．6．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】令，，，作出图象，根据图象可求出的最大值、最小值．【解答】解：令，，，如图所示：则，又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为﹣1，所以的取值范围为[﹣1，+1]．故选A．7．（5分）（2013•湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B．C．D．【分析】求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出．【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．因此可知：A，B，D皆有可能，而＜1，故C不可能．故选C．8．（5分）（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2 B．1 C．D．【分析】建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．【解答】解：建立如图所示的坐标系：可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，△ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0＜a＜4，则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，解得，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线QR的斜率为k==，故直线QR的方程为y=（x+a），由于直线QR过△ABC的重心（，），代入化简可得3a2﹣4a=0，解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP=故选D二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为3．【分析】直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．【解答】解：由直线l：，得y=x﹣a，再由椭圆C：，得，①2+②2得，．所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．故答案为3．10．（5分）（2013•湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为12．【分析】根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）（a2+4b2+9c2）=3（a2+4b2+9c2），化简得a2+4b2+9c2≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12．【解答】解：∵a+2b+3c=6，∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）∴a2+4b2+9c2≥12，当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=时等号成立由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12故答案为：1211．（5分）（2013•湖南）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．【分析】首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD 的距离，注意计算的正确率．【解答】解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，∴2×2=CP•1，解得：CP=4，又PD=1，∴CD=5，又⊙O的半径为，则圆心O到弦CD的距离为d===．故答案为：．12．（5分）（2013•湖南）若x2dx=9，则常数T的值为3．【分析】利用微积分基本定理即可求得．【解答】解：==9，解得T=3，故答案为：3．13．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为9．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加a值，并判断满足a＞8时输出a的值．【解答】解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：是否继续循环 a b循环前/1 2第一圈是 3 2第二圈是 5 2第三圈是7 2第四圈是9 2第五圈否故最终输出的a值为9．故答案为：9．14．（5分）（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C 的离心率为．【分析】利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．【解答】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2=4c2+16a2﹣2×2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2=0，∴c=a所以e==．故答案为：．15．（5分）（2013•湖南）设S n为数列{a n}的前n项和，S n=（﹣1）n a n﹣，n ∈N*，则（1）a3=﹣；（2）S1+S2+…+S100=．【分析】（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入，n∈N*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．【解答】解：由，n∈N*，当n=1时，有，得．当n≥2时，．即．若n为偶数，则．所以（n为正奇数）；若n为奇数，则=．所以（n为正偶数）．所以（1）．故答案为﹣；（2）因为（n为正奇数），所以﹣，又（n为正偶数），所以．则．，．则．…．所以，S1+S2+S3+S4+…+S99+S100====．故答案为．16．（5分）（2013•湖南）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为{x|0＜x≤1} ．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是①②③．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．【分析】（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得的范围，解出函数f（x）=a x+b x﹣c x的零点，利用不等式可得零点x的取值集合；（2）对于①，把函数式f（x）=a x+b x﹣c x变形为，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；对于②，利用取特值法说明命题是正确的；对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．【解答】解：（1）因为c＞a，由a，b，c不能构成一个三角形的三条边长得c≥a+b=2a，所以，则．令f（x）=a x+b x﹣c x=．得，所以．又∵＞1，则ln＞0，所以x=＞0，所以0＜x≤1．故答案为{x|0＜x≤1}；（2）①因为，又，所以对∀x∈（﹣∞，1），．所以命题①正确；②令x=﹣1，a=2，b=4，c=5．则a x=，b x=，c x=．不能构成一个三角形的三条边长．所以命题②正确；③若三角形为钝角三角形，则a2+b2﹣c2＜0．f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0．所以∃x∈（1，2），使f（x）=0．所以命题③正确．故答案为①②③．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•湖南）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．【分析】（1）利用两角和差的三角公式化简函数f（x）的解析式，可得f（α）的解析式，再根据f（α）=，求得cosα的值，从而求得g（α）=2sin2=1﹣cosα的值．（2）由不等式可得sin（x+）≥，解不等式2kπ+≤x+≤2kπ+，k ∈z，求得x的取值集合．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣cosx+cosx+sinx=sinx，所以f（α）=sinα=，所以sinα=．又α∈（0，），所以cosα=，所以g（α）=2sin2=1﹣cosα=．（2）由f（x）≥g（x）得sinx≥1﹣cosx，所以sinx+cosx=sin（x+）≥．解2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得2kπ≤x≤2kπ+，k∈z，所以x的取值范围为〔2kπ，2kπ+〕k∈z．18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．【分析】（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．【解答】解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为=；（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P （X=4）∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可记n k为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==∴所求的分布列为Y51484542P数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=4619．（12分）（2013•湖南）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．【分析】（I）根据直棱柱性质，得BB1⊥平面ABCD，从而AC⊥BB1，结合BB1∩BD=B，证出AC⊥平面BB1D，从而得到AC⊥B1D；（II）根据题意得AD∥B1C1，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角．连接A1D，利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥B1D．由AC⊥B1D，可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB=，最后在Rt△AB1D中算出B1D=，可得cos∠ADB1=，由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．【解答】解：（I）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D内的相交直线∴AC⊥平面BB1D，∵B1D⊂平面BB1D，∴AC⊥B1D；（II）∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1，由此可得：直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角（记为θ），连接A1D，∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°，∴B1A1⊥平面A1D1DA，结合AD1⊂平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1又∵AD=AA1=3，∴四边形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D，由（I）知AC⊥B1D，结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1=90°﹣θ，∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB 因此，，可得AB==连接AB1，可得△AB1D是直角三角形，∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=在Rt△AB1D中，cos∠ADB1===，即cos（90°﹣θ）=sinθ=，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为．20．（13分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x 轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．【分析】（I）根据“L路径”的定义，可得点P到居民区A的“L路径”长度最小值；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P的坐标．【解答】解：设点P的坐标为（x，y），则（I）点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x﹣3|+|y﹣20|，y∈[0，+∞）；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值①当y≥1时，d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20|∵d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24∴当且仅当x=3时，d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值为24∵d2（y）=2|y|+|y﹣20|≥21∴当且仅当y=1时，d2（y）=2|y|+|y﹣20|的最小值为21∴点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小，且最小值为45；②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，∴d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|此时d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|，d2（y）=1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|=22﹣y ≥21由①知d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24，∴d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．21．（13分）（2013•湖南）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量和的坐标，求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；（Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于求出p的值，则抛物线E的方程可求．【解答】解：（I）由题意，抛物线E的焦点为，直线l1的方程为．由，得．设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1+x2=2pk1，．所以点M的坐标为，．同理可得点N的坐标为，．于是．由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜．故．（Ⅱ）由抛物线的定义得，，所以，从而圆M的半径．故圆M的方程为，化简得．同理可得圆N的方程为于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为．又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0．因为p＞0，所以点M到直线l的距离为=．故当时，d取最小值．由题设，解得p=8．故所求抛物线E的方程为x2=16y．22．（13分）（2013•湖南）已知a＞0，函数．（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；（II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论．【解答】解：（I）当0≤x≤a时，；当x＞a时，∴当0≤x≤a时，，f（x）在（0，a）上单调递减；当x＞a时，，f（x）在（a，+∞）上单调递增．①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增∴g（a）=max{f（0），f（4）}∵f（0）﹣f（4）==∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=，综上所述，g（a）=；（II）由（I）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求；当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，则x1∈（0，a），x2∈（a，4），且f′（x1）f′（x2）=﹣1∴•=﹣1∴①∵x1∈（0，a），x2∈（a，4），∴x1+2a∈（2a，3a），∈（，1）∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（，1）的交集非空∵，∴当且仅当0＜2a＜1，即时，A∩B≠∅综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是（0，）．。
2013湖南理科高考试题(含解析与答案)
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖南卷)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖南，理1)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B解析：z＝i＋i2＝－1＋i，对应点为(－1,1)，故在第二象限，选B．2．(2013湖南，理2)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是()．A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法答案：D解析：看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异，应当分层抽取，故宜采用分层抽样．3．(2013湖南，理3)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B，则角A等于()．A．π12B．π6C．π4D．π3答案：D解析：由2a sin B得2sin A sin BB，故sin A，故A＝π3或2π3.又△ABC为锐角三角形，故A＝π3 .4．(2013湖南，理4)若变量x，y满足约束条件2,1,1.y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则x＋2y的最大值是()．A．52-B．0 C．53D．52答案：C解析：约束条件表示的可行域为如图阴影部分．令x＋2y＝d，即122dy x=-+，由线性规划知识可得最优点为12,33⎛⎫⎪⎝⎭，所以d max ＝145333+=. 5．(2013湖南，理5)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )．A ．3B ．2C ．1D ．0 答案：B解析：设f (x )与g (x )图象的交点坐标为(x ，y )，则y ＝2ln x ，y ＝x 2－4x ＋5，联立得2ln x ＝x 2－4x ＋5，令h (x )＝x 2－4x ＋5－2ln x (x ＞0)，由h ′(x )＝2x －4－2x＝0得x 1＝1x 2＝1舍)．当h ′(x )＜0时，即x ∈(0,1时，h (x )单调递减；当h ′(x )＞0，即x ∈(1+∞)时，h (x )单调递增．又∵h (1)＝2＞0，h (2)＝1－2ln 2＜0，h (4)＝5－2ln 4＞0， ∴h (x )与x 轴必有两个交点，故答案为B ．6．(2013湖南，理6)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )．A ．11]B ．12]C ．[11]D ．[12] 答案：A解析：由题意，不妨令a ＝(0,1)，b ＝(1,0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |可看做(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．如图所示，当点(x ，y )在位置P 时到原点的距离最近，在位置P ′时最远，而PO 1，P ′O 1，故选A ．7．(2013湖南，理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )．A ．1BCD 答案：C解析：θ，如图所示．故正视图的面积为S θ(0≤θ≤π4)，∴1≤S而1<12，故面积不可能等于12. 8．(2013湖南，理8)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 为边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P .若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )．A ．2B ．1C ．83 D ．43答案：D解析：以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示．则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)．设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭. 设P 点坐标为(m,0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m,0)，因为直线BC 方程为x ＋y－4＝0，所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4,4－m )，根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上，∴12PD P D k k =， 即4443344433m m -+=+-， 解得，m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去． ∴m ＝43. 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分) 9．(2013湖南，理9)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：,x t y t a=⎧⎨=-⎩(t 为参数)过椭圆C ：3cos ,2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为__________．答案：3解析：由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为22194x y +=，所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，解得a ＝3.10．(2013湖南，理10)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为__________．答案：12解析：由柯西不等式得(12＋12＋12)(a 2＋4b 2＋9c 2)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12，当a ＝2b ＝3c ＝2时等号成立，所以a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12. 11．(2013湖南，理11)如图，在半径为7的 O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，P A ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为__________．解析：如图所示，取CD 中点E ，连结OE ，OC ．由圆内相交弦定理知PD ·PC ＝P A ·PB ，所以PC ＝4，CD ＝5，则CE ＝52，OC所以O 到CD 距离为OE =(二)必做题(12～16题) 12．(2013湖南，理12)若0T⎰x 2d x ＝9，则常数T 的值为__________．答案：3 解析：∵313x '⎛⎫⎪⎝⎭＝x 2， ∴T ⎰x 2d x ＝13x 30|T ＝13T 3－0＝9，∴T ＝3.13．(2013湖南，理13)执行如图所示的程序框图，如果输入a ＝1，b ＝2，则输出的a 的值为__________．答案：9解析：输入a ＝1，b ＝2，不满足a ＞8，故a ＝3； a ＝3不满足a ＞8，故a ＝5； a ＝5不满足a ＞8，故a ＝7；a ＝7不满足a ＞8，故a ＝9，满足a ＞8，终止循环．输出a ＝9.14．(2013湖南，理14)设F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为__________．解析：不妨设|PF 1|＞|PF 2|，由1212||||6,||||2PF PF a PF PF a +=⎧⎨-=⎩可得12||4,||2.PF a PF a =⎧⎨=⎩∵2a ＜2c ，∴∠PF 1F 2＝30°，∴cos 30°＝222242224c a a a()+()-()⨯⨯，整理得，c 2＋3a 2－＝0，即e 2－＋3＝0，∴e =15．(2013湖南，理15)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则 (1)a 3＝__________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝__________. 答案：(1)116-(2)10011132⎛⎫- ⎪⎝⎭16．(2013湖南，理16)设函数f (x )＝a x ＋b x －c x ，其中c ＞a ＞0，c ＞b ＞0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为__________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是__________．(写出所有正确结论的序号)①∀x ∈(－∞，1)，f (x )＞0；②∃x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1,2)，使f (x )＝0. 答案：(1){x |0＜x ≤1} (2)①②③三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2013湖南，理17)(本小题满分12分)已知函数ππ()sin cos 63f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，g (x )＝22sin2x.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝5，求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合． 解：ππ()sin cos 63f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x －12cos x ＋12cos x xx ，g (x )＝22sin 2x ＝1－cos x .(1)由f (α)＝5得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α＞0.从而g (α)＝1－cos α＝1 ＝41155-=.(2)f (x )≥g (x )x ≥1－cos x x ＋cos x ≥1.于是π1sin 62x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为2π|2π2π,3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z .18．(2013湖南，理18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：米．(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．解：(1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有11312C C ＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为82369=. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列． 因为P (Y ＝51)＝P (X ＝1)，P (Y ＝48)＝P (X ＝2)，P (Y ＝45)＝P (X ＝3)，P (Y ＝42)＝P (X ＝4)， 所以只需求出P (X ＝k )(k ＝1,2,3,4)即可．记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k ＝1,2,3,4)，则 n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3. 由P (X ＝k )＝kn N得 P (X ＝1)＝215，P (X ＝2)＝415，P (X ＝3)＝62155=，P (X ＝4)＝31155=. 故所求的分布列为所求的数学期望为 E (Y )＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝346490425+++＝46. 19．(2013湖南，理19)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．解法1：(1)如图，因为BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥BB 1. 又AC ⊥BD ，所以AC ⊥平面BB 1D ． 而B 1D ⊂平面BB 1D ，所以AC ⊥B 1D ．(2)因为B 1C 1∥AD ，所以直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角等于直线AD 与平面ACD 1所成的角(记为θ)．如图，连结A 1D ，因为棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是直棱柱，且∠B 1A 1D 1＝∠BAD ＝90°，所以A 1B 1⊥平面ADD 1A 1.从而A 1B 1⊥AD 1.又AD ＝AA 1＝3，所以四边形ADD 1A 1是正方形，于是A 1D ⊥AD 1. 故AD 1⊥平面A 1B 1D ，于是AD 1⊥B 1D ．由(1)知，AC ⊥B 1D ，所以B 1D ⊥平面ACD 1.故∠ADB 1＝90°－θ.在直角梯形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以∠BAC ＝∠ADB ．从而Rt △ABC ∽Rt △DAB ，故AB BCDA AB=.即AB=连结AB 1，易知△AB 1D 是直角三角形，且B 1D 2＝BB 12＋BD 2＝BB 12＋AB 2＋AD 2＝21， 即B 1D在Rt △AB 1D 中，cos ∠ADB 1＝17AD B D ==，即cos(90°－θ)＝7. 从而sin θ＝7. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为7. 解法2：(1)易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而1B D＝(－t,3，－3)，AC ＝(t,1,0)，BD ＝(－t,3,0)．因为AC ⊥BD ，所以AC ·BD＝－t 2＋3＋0＝0.解得t =t =舍去)． 于是1B D＝(3，－3)，AC ＝1,0)．因为AC ·1B D ＝－3＋3＋0＝0，所以AC ⊥1B D ，即AC ⊥B 1D ．(2)由(1)知，1AD ＝(0,3,3)，AC ＝1,0)，11B C＝(0,1,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则10,0,AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,330.y y z +=+=⎪⎩ 令x ＝1，则n ＝(1，．设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，11B C 〉|＝1111B C B C ⋅⋅n n7=. 即直线B 1C 1与平面ACD 1. 20．(2013湖南，理20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”．如图所示的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N 都是M 到N 的“L 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点A (3,20)，B (－10,0)，C (14,0)处．现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心．(1)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明)：(2)若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．解：设点P 的坐标为(x ，y )．(1)点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为 |x －3|＋|y －20|，x ∈R ，y ∈[0，＋∞)． (2)由题意知，点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为d )的最小值．①当y ≥1时，d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋2|y |＋|y －20|， 因为d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|≥|x ＋10|＋|x －14|，(*) 当且仅当x ＝3时，不等式(*)中的等号成立， 又因为|x ＋10|＋|x －14|≥24，(**)当且仅当x ∈[－10,14]时，不等式(**)中的等号成立． 所以d 1(x )≥24，当且仅当x ＝3时，等号成立．d 2(y )＝2y ＋|y －20|≥21，当且仅当y ＝1时，等号成立．故点P 的坐标为(3,1)时，P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小，且最小值为45. ②当0≤y ≤1时，由于“L 路径”不能进入保护区，所以d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|， 此时，d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|， d 2(y )＝1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|＝22－y ≥21.由①知，d 1(x )≥24，故d 1(x )＋d 2(y )≥45，当且仅当x ＝3，y ＝1时等号成立．综上所述，在点P (3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．21．(2013湖南，理21)(本小题满分13分)过抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1＞0，k 2＞0，证明：FM ·FN＜2p 2；(2)若点M 到直线l的距离的最小值为5，求抛物线E 的方程．解：(1)由题意，抛物线E 的焦点为F 0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋2p ，由12,22p y k x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1，x 2是上述方程的两个实数根． 从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 12＋p .所以点M 的坐标为211,2p pk pk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，FM ＝(pk 1，pk 12)．同理可得点N 的坐标为222,2p pk pk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，FN ＝(pk 2，pk 22)．于是FM ·FN＝p 2(k 1k 2＋k 12k 22)．由题设，k 1＋k 2＝2，k 1＞0，k 2＞0，k 1≠k 2，所以0＜k 1k 2＜2122k k +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1.故FM ·FN＜p 2(1＋12)＝2p 2.(2)由抛物线的定义得|F A |＝y 1＋2p ，|FB |＝y 2＋2p， 所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 12＋2p .从而圆M 的半径r 1＝pk 12＋p ， 故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋2212p y pk ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝(pk 12＋p )2.化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 12＋1)y －34p 2＝0.同理可得圆N 的方程为 x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0. 于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 12)y ＝0. 又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0. 因为p ＞0，所以点M 到直线l 的距离2d =22117248p k ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭故当k 1＝14-时，d.=p ＝8. 故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y . 22．(2013湖南，理22)(本小题满分13分)已知a ＞0，函数f (x )＝2x a x a -+. (1)记f (x )在区间[0,4]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式；(2)是否存在a ，使函数y ＝f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)当0≤x ≤a 时，f (x )＝2a x x a -+； 当x ＞a 时，f (x )＝2x a x a-+. 因此，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝232a x a -(+)＜0，f (x )在(0，a )上单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝232a x a (+)＞0，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增． ①若a ≥4，则f (x )在(0,4)上单调递减，g (a )＝f (0)＝12. ②若0＜a ＜4，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．所以g (a )＝max{f (0)，f (4)}．而f (0)－f (4)＝1412422a a a a---=++， 故当0＜a ≤1时，g (a )＝f (4)＝442a a-+； 当1＜a ＜4时，g (a )＝f (0)＝12. 综上所述，g (a )＝4,01,421, 1.2a a a a -⎧<≤⎪⎪+⎨⎪>⎪⎩(2)由(1)知，当a ≥4时，f (x )在(0,4)上单调递减，故不满足要求．当0＜a ＜4时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．若存在x 1，x 2∈(0,4)(x 1＜x 2)，使曲线y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))两点处的切线互相垂直，则x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)，且f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1， 即221233122a a x a x a -⋅=-(+)(+). 亦即x 1＋2a ＝232a x a +.(*)由x1∈(0，a)，x2∈(a,4)得x1＋2a∈(2a,3a)，23 2 ax a +∈3,142aa⎛⎫ ⎪+⎝⎭.故(*)成立等价于集合A＝{x|2a＜x＜3a}与集合B＝3142ax xa⎧⎫<<⎨⎪+⎩⎭的交集非空．因为342aa+＜3a，所以当且仅当0＜2a＜1，即0＜a＜12时，A∩B≠∅.综上所述，存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是1 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
2013年湖南高考理科数学试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()i 1i z =+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【测量目标】复数乘法的运算法则,复数集与复平面上的点对应关系. 【考查方式】利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】i (1i)1i z =+=-+∴复数z 对应复平面上的点是(1,1),-该点位于第二象限.2.某学校有男、女学生各500名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 （ ） A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法 【测量目标】分层抽样.【考查方式】给出实际案例，判断其解决问题的方法属于四种抽样方法的哪一种. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法. 3.在锐角中ABC △，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin 3,a B b =则角A 等于（ ）A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π3【测量目标】正弦定理.【考查方式】给出三角形中的边角关系，运用正弦定理求解未知角. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】在ABC △中，2sin ,2sin a R A b R B ==(R 为ABC △的外接圆半径).（步骤1）2sin 3,2sin sin 3.a B b A B B =∴=3sin A ∴=（步骤2）又ABC △为锐角三角形，π3A ∴=.（步骤3）4.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，则2x y +的最大值是（ ）A ．52-B ．0C ．53D ．52【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】利用线性规划知识求目标函数的最值问题. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】根据不等式组作出其平面区域，令2,z x y =+结合2z x y =+的特征求解.不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，（步骤1）平行移动11,22y x z =-+可知该直线经过2y x =与1x y +=的交点12(,)33A 时，z 有最大值为145=333+.（步骤2）第4题图5.函数()2ln f x x =的图象与函数()245g x x x =-+的图象的交点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 【测量目标】函数图象的应用.【考查方式】先作出常见函数图象再确定其图象交点个数. 【难易程度】中等 【参考答案】B 【试题解析】22()45(2)1,g x x x x =-+=-+又当2x =时，()2ln 2ln 41,f x ==>（步骤1）在同一直角坐标系内画出函数()2ln f x x =与2()45g x x x =-+的图象，如图所示，可知()f x 与()g x 有2个不同的交点.（步骤2）第5题图6. 已知,a b 是单位向量，0=a b .若向量c 满足1,--=c a b 则c 的取值范围是（ ）A ．22+1⎡⎤⎣⎦B ．22+2⎡⎤⎣⎦C ．2+1⎡⎤⎣⎦D ．2+2⎡⎤⎣⎦【测量目标】向量数量积的运算及定义、向量加法的几何意义.【考查方式】将所给向量式两边平方后利用向量数量积的运算律以及向量数量积定义的求解. 【难易程度】较难 【参考答案】A3 / 13【试题解析】由题意，不妨令(0,1),(1,0),(,)x y ===a b c ，由1--=c a b 得22(1)(1)1x y -+-=，（步骤1）22x y =+c 可看做(,)x y 到原点的距离，而点(,)x y 在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．（步骤2）如图所示，当点(,)x y 在位置P 时到原点的距离最近，在位置P '时最远，而21PO =-,21P O '=+，故选A ．（步骤3）第6题图 7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（ ） A ．1 B ．2 C ．212- D ．2+12【测量目标】空间几何体三视图.【考查方式】根据正方体的正视图的形状来求解其面积值. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】根据三视图中正视图与俯视图等长，故正视图中的长为2cos θ，如图所示．故正视图的面积为π2cos (0)4S θθ=，∴12S ，而21<12-，故面积不可能等于212-.第7题图8.在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到点P （如图）.若光线QR 经过ABC △的重心，则AP 等于（ ）第8题图A ．2B ．1C ．83D ．43【测量目标】直线的斜率，直线的方程.【考查方式】已知一个三角形的边长关系，建立平面直角坐标系求解未知边的值. 【难易程度】中等 【参考答案】D 【试题解析】以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示．则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)．（步骤1）设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭.设P 点坐标为(m,0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m,0)，（步骤2）因为直线BC 方程为x ＋y －4＝0，所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4,4－m )，根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上，∴12P D P D k k =，即4443344433mm -+=+-，（步骤3）解得，m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去．∴43m =.（步骤4）第8题图二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系xOy 中，若:x t l y t a =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，过椭圆C 3cos :2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点，则常数a 的值为 .【测量目标】参数方程的转化，椭圆的简单几何性质.【考查方式】先将参数方程化为普通方程后求解，再运用椭圆的简单几何性质求出未知参数. 【难易程度】容易 【参考答案】3【试题解析】由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为22194x y +=，（步骤1）所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，解得a ＝3. （步骤2） 10.已知,,,236,a b c a b c ∈++=R 则22249a b c ++的最小值为 . 【测量目标】柯西不等式，最值问题.【考查方式】使用柯西不等式化简式子求其最值. 【难易程度】中等 【参考答案】12【试题解析】由柯西不等式得2222222(111)(49)(23)a b c a b c ++++++，即22241912a b c++，（步骤1）当232a b c ===时等号成立，所以222419a b c ++的最小值为12. （步骤2） 11.7的O 中,弦,AB CD 相交于点,2P PA PB ==，1PD =，则圆心O 到弦CD 的距离为 .5 /13第11题图【测量目标】圆的相交弦定理及圆的弦的性质，解三角形.【考查方式】由相交弦定理求出圆内线段的长再根据弦的性质求解三角形中未知数. 【难易程度】中等【参考答案】32【试题解析】如图所示，取CD 中点E ，连结OE ，OC ．由圆内相交弦定理知PD PC PA PB =，（步骤1）所以PC ＝4，CD ＝5，则CE ＝52，OC ＝7.（步骤2）所以O 到CD 距离为2253722OE ⎛⎫=()-= ⎪⎝⎭.（步骤3）第11题图必做题（12-16题）12.若20d 9,Tx x =⎰则常数T 的值为 .【测量目标】微积分基本定理.【考查方式】利用微积分基本定理建立方程求解. 【难易程度】中等 【参考答案】3 【试题解析】∵321=3x 'x ⎛⎫⎪⎝⎭，∴2330011d 0933T T x x x T ==-=⎰，∴3T =. 13.执行如图所示的程序框图，如果输入1,2,a b a ==则输出的的值为 .第13题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】阅读程序框图，运行程序得出结果. 【难易程度】中等 【参考答案】9【试题解析】输入1,2,a b ==不满足8,a >故a ＝3；a ＝3不满足a ＞8，故a ＝5；a ＝5不满足a ＞8，故a ＝7；a ＝7不满足a ＞8，故a ＝9，满足a ＞8，终止循环．输出a ＝9.14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126,PF PF a +=且12PF F △的最小内角为30，则C 的离心率为___.【测量目标】双曲线的定义，余弦定理.【考查方式】根据双曲线的定义及已知条件，利用余弦定理建立关于,a c 的方程求解. 【难易程度】较难 【参考答案】3【试题解析】不妨设|PF 1|＞|PF 2|，由1212||||6,||||2PF PF a PF PF a +=⎧⎨-=⎩可得12||4,||2.PF a PF a =⎧⎨=⎩（步骤1）∵2a ＜2c ，∴∠PF 1F 2＝30°，∴222242cos30224c a a c a︒()+()-()=⨯⨯，（步骤2）整理得，223230c a ac +-=，即22330,3e e e -+=∴=.（步骤3）15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2n n n n S a n *=--∈N 则（1）3a =_____； （2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.【测量目标】已知递推关系求通项，数列的前n 项和. 【考查方式】根据1(2)n n n a S S n -=-建立关于n a 的关系式，根据n a 的关系式归纳寻找其规律后求解.【难易程度】中等 【参考答案】116- 10011(1)32- 【试题解析】111111(1)(1),22n n n n n n n n n a S S a a ----=-=----+111(1)(1)2n n n n n na a a --∴=---+（步骤1）当n 为偶数时，11,2n n a -=-当n 为奇数时，1122n n n a a -+=,（步骤2）∴当4n =时3411216a =-=-.（步骤3）根据以上{}n a 的关系式及递推式可求：135724681111,,,,2222a a a a =-=-=-=-246824681111,,,.2222a a a a ====（步骤4）21436535111,,,,222a a a a a a ∴-=-=-= (12100214310099231001111)()()()()2222S S S a a a a a a ∴+++=-+-++--++++ (399210010011111111)()()(1)22222232=+++-+++=-……（步骤6） 16．设函数(),0,0.xxxf x a b c c a c b =+->>>>其中（1）记集合M ={(,,),,a b c a b c 不能构成一个三角形的三条边长，且a b =}，则(,,)a b c M ∈所对应7 / 13的()f x 的零点的取值集合为____.（2）若,,a b c 是ABC △的三条边长，则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）①()(),1,0;x f x ∀∈-∞>②,x ∃∈R 使,,xxxa b c 不能构成一个三角形的三条边长； ③若ABC △为钝角三角形，则()1,2,x ∃∈，使()0.f x =【测量目标】对数的运算，对数、指数函数的性质，余弦定理，函数零点存在性定理.【考查方式】由三角形的构成条件与函数的零点存在性求解未知参数的范围，以及举反例验证. 【难易程度】较难 【参考答案】{}01x x < ①②③【试题解析】(1)0,0,c a c b a b >>>>=且,,a b c 不能构成三角形三边，02, 2.c ac a∴<∴（步骤1）令()0f x =得2xxa c =，即2xc a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（步骤2）21log 2log 1c ac x x a ∴=∴=01x∴<（步骤3）（2）①,,a b c 是三角形的三条边长，0,0,01,01a ba b c c a c b c c∴+>>>>>∴<<<<∴当(,1)x ∈-∞时， ()()()1(1)0x x x x x x x xa b a b a b c f x a b c c c c c c c c c +-⎡⎤=+-=+->+-=>⎢⎥⎣⎦（步骤4）(,1),()0x f x ∴∀∈-∞>故①正确（步骤5）；②令2,3,4,a b c ===，则,,a b c 可以构成三角形.但2224,9,16a b c ===却不能构成三角形，故②正确；（步骤6）③,c a c b >>且ABC △为钝角三角形，2220a b c ∴+-<又222(1)0,(2)0f a b c f a b c =+->=+-<∴（步骤7）函数()f x 在()1,2上存在零点，故③正确. （步骤8）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数2ππ()sin()cos(),()2sin632x f x x x g x =-+-=. （I ）若α是第一象限角，且33()f α=.求()g α的值； （II ）求使()()f x g x 成立的x 的取值集合.【测量目标】两角和与差的正、余弦公式，二倍角的余弦公式以及三角函数不等式的解法. 【考查方式】运用三角恒等变换公式化简函数求解. 【难易程度】容易 【试题解析】（I ）533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f .（步骤1）23π41sin ,(0,)cos ,()2sin 1cos 52525g αααααα⇒=∈⇒===-=且（步骤2） （II ）31π1()()3sin 1cos sin cos sin()2262f xg x x x x x x ⇒-⇒+=+（步骤3） ππ5π2π[2π,2π][2π,2π],6663x k k x k k k ⇒+∈++⇒∈+∈Z （步骤4）18．（本小题满分12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y （单位：kg ）与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4 Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.（I ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； （II ）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.第18题图【测量目标】古典概型，分布列数学期望.【考查方式】利用古典概型求概率，根据所求概率列出分布列，结合期望公式求解. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ) 由图知，三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(1,2),8对格点恰好“相近”.所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率821239P ==⨯.（步骤1） （Ⅱ）三角形共有15个格点.与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4).所以2(51)15P Y ==（步骤2），与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1).所以4(48)15P Y ==（步骤3），与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0，1) ,(0，2),(0，3).所以6(45)15P Y ==（步骤4）与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1), (1,2), (2,1).所以3(42)15P Y ==（步骤5）如下表所示：X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 频数 2463概率P152 154 156 1539 / 132463102192270126690()5148454246151515151515E Y +++=⨯+⨯+⨯+⨯===46)(=∴Y E . （步骤6）19．（本小题满分12分）如图，在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，，90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥=，13AD AA ==.（I ）证明：1AC B D ⊥； （II ）求直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值.第19题图【测量目标】线面垂直的判定与性质，线面角.【考查方式】利用空间线面垂直的性质证明线线垂直，建立空间直角坐标系用向量法证明，再求直线与平面所成角的正弦值 【难易程度】中等 【试题解析】(Ⅰ)1111ABCD A B C D -是直棱柱1AC ∴⊥面ABCD ，且面BD ⊂面1ABCD BB AC⇒⊥（步骤1）又AC BD ⊥，且1BDBB B =，AC ∴⊥面1BDB ，1B D ⊂面1BDB ，1AC B D ∴⊥.（步骤2） （Ⅱ）11////,B C BC AD ∴直线11B C 与平面1ACD 的夹角即直线AD 与平面1ACD 的夹角θ.（步骤3）建立直角坐标系，用向量解题.设原点在A 点，AB 为y 轴正半轴，AD 为x 轴正半轴，1AA 为z 的正半轴. 设()10,00,(3,0,0),(3,0,3),(0,,0),(1,,0)A D D B y C y ，，11(0,,3),(1,,3)B y C y 则(1,,0),(3,,0),AC y BD y AC BD ==-⊥210300,0 3.(1,3,0),(3,0,3).AC BD y y y AC AD =⇒-+=>⇒=∴==（步骤4）设平面1ACD 的法向量为(,,)x y z n ，则10AC AD ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩n n 平面1ACD 的一个法向量11313,100BC ==（-，，）（，，）n （步骤5） 所以平面1ACD 的一个法向量1111321313,100sin |cos ,|77B C B C θ==⇒=<>==（-，，）（，，）n n所以11B C 与平面1ACD 夹角的正弦值为217.（步骤6）第19题（Ⅱ）图20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”.如图所示的路径123MM M M N 与路径1MN N 都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处.现计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P 处修建一个文化中心.（I ）写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II ）若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小.第20题图【测量目标】绝对值函数最值.【考查方式】将实际案例中的关系先列出式子再将其转化为含绝对值的和的形式，进行分类讨论求解. 【难易程度】较难【试题解析】（I ）设点(,)P x y ，且0.y点P 到点A （3，20）的“L 路径”的最短距离d 等于水平距离加上垂直距离，即320d x y =-+-，其中0,.yx ∈R （步骤1）（Ⅱ）点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v （且h 和v 互不影响）.显然当y =1时，v = 20+1=21；显然当[10,14]x ∈-时，水平距离之和(10)14324h x x x =--+-+-,且当x =3时，h =24.因此,当P (3,1)时，d =21+24=45. （步骤2）所以，当点(,)P x y 满足P (3,1)时,点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45. （步骤3） 21．（本小题满分13分）过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ，且122k k +=，1l E 与相交于点A ，B ，2l 与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N （M ，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l .11 / 13（I ）若120,0k k >>，证明；22FM FN p <；（II ）若点M 到直线l的距离的最小值为，求抛物线E 的方程. 【测量目标】抛物线的定义，向量数量积的定义，圆的方程，直线与抛物线的位置关系.【考查方式】先将直线方程带入抛物线的方程，利用向量数量积的坐标运算求解，再求出圆的相交弦方程利用点到直线的距离公式及函数思想求解. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)已知抛物线的焦点为(0,).2p F 设112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 4412123434(,),(,),(,)D x y M x y N x y ，（步骤1）直线1l 方程：1,2p y k x =+与抛物线E 方程联立，化简整理得22120x pk x p -++=：（步骤2） 2221212112121121112,,(,)22x x px x k p x x p x k p y k p FM k p k p +⇒+==-⇒===+⇒=（步骤3）同理221234234222,(,)22x x px k p y k p FN k p k p +⇒===+⇒=.（步骤4）2222212121212(1)FM FN k k p k k p p k k k k ⇒=+=+（步骤5）222121212*********,0,,221,(1)1(11)2k k k k k k k k k k FM FN p k k k k p p >>≠=+>⇒<∴=+<⨯⨯+=所以，22FM FN p <成立. （步骤6） （Ⅱ）设圆M N 、的半径分别为22121121111,[()()][2()],22222p p pr r r y y p k p k p p ⇒=+++=++=+ 211,r k p p ⇒=+（步骤7）同理2222,r k p p =+则M N 、的方程分别为22212121()()x x y y r -+-=， 22234342()()x x y y r -+-=，（步骤7）直线l 的方程为：2222223412341212341234122()2()0x x x y y y x x y y r r -+-+-+--+=.222121123412341234123421212()2()()()()()()()0p k k x p k k y x x x x y y y y r r r r ⇒-+-++-++-+-+= 222222222222222212112121221122()2()()()()()(2)0p k k x p k k y p k k p k k k k p k k k k ⇒-+-+-+-++-++=0202)(1)(222212221=+⇒=+++++--+⇒yx k k p k k p p y x （步骤8）点1212(,)M x y 到直线l 的距离为：2211112()()144||||55d p p -+-+====8p ⇒=⇒抛物线的方程为216x y =（步骤9）22．（本小题满分13分）已知0a >，函数()2x af x x a-=+.（I ）记()f x 在区间[]0,4上的最大值为g a (),求g a ()的表达式；（II ）是否存在a ，使函数()y f x =在区间()0,4内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【测量目标】利用导数求分段函数的最值，导数的几何意义.【考查方式】根据已知条件转化函数为分段函数再求导，判断极值点所在区间进行分类讨论，依题意将问题转化为函数单调性不一致区间上的两个点处的导数之积等于1-建立方程求解. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)当0,a >○13()1,22x a af x x a x a-==-++ 当2x a <-或x a 时，是单调递增的；（步骤1）○23()122x a af x x a x a-+==-+++,当2a x a -<<时，是单调递减的.由上知，（步骤2）当4a >时()f x 在[0,4]x ∈上单调递减，其最大值为31(0)122a f a =-+=,（步骤3）当4a 时，()f x 在[0,]a 上单调递减，在[,4]a 上单调递增. （步骤4）令31(4)1(0)422a f f a =-<=+，解得：(1,4]a ∈，即当(1,4]a ∈时，()g a 的最大值为(0)f ，（步骤5）当(0,1]a ∈时，()g a 的最大值为(4)f ，综上，(]()31,0,142()=1,1,2a a ag a a ⎧-∈⎪⎪+⎨⎪∈+∞⎪⎩.（步骤6）（II ）由前知，()y f x =的图象是由两段反比例函数的图象组成的.因此，若在图象上存在两点),(),,(2211y x Q y x P 满足题目要求，则P ,Q 分别在两个图象上，且12()()1f x f x ''=-.（步骤7）223,2,(2)()3,2;(2)ax a x ax a f x a a x a x a ⎧<-⎪+⎪'=⎨-⎪-<<⎪+⎩或(04a <<)（步骤8）不妨设12122212331,(0,),(,4]3(2)(2)(2)(2)a ax a x a a x a x a x a x a -=-∈∈⇒=++++2222212121222324032402()43224a ax a a a ax a x x a x x a a x x a x a a x ⎧--<<--⎪⇒=+++-⇒=⇒+⎨+⎪<<⎩22222203242342434111224223404(0,)222484228x a x a a ax a a x a a a a a a a x a x <--<--<-⎧⎧⎧⎪⎪⎪⇒<+⇒-<⇒<-⇒<<<⇒∈⎨⎨⎨⎪⎪⎪-<<<<<⎩⎩⎩，且（步骤9）13 / 13所以，当)21,0(∈a 时，函数()y f x =在区间()0,4内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直. （步骤10）。
高考数学分析及教学建议
2013年高考数学课标卷分析及教学建议2013年高考数学试卷难度较2011年有所增加，尤其是理科难度偏大，部分试题区分度较低。
很多题目命题角度，设问方式有很大创新，体现了对考生基础知识的掌握、灵活运用及思维能力的考查。
试题融入了考纲的命题理念，以重点知识构建试题的主体，选材寓于教材又高于教材，立意创新又朴实无华，新增内容和知识点的考察难度有所增加。
一、试卷结构文、理科试卷结构分为两部分：第Ⅰ卷为12个选择题；第Ⅱ卷为非选择题为4道填空题和6道解答题（其中5道必答和1道选做题）。
解答题分别是三角函数、概率统计、立体几何、解析几何、函数与导数；选做题型为平面几何、参数方程、不等式。
试题的排列顺序一般为先易后难，有梯度，层次分明，但本套试卷试题颁布情况与想象的有很大不同。
试题难易理科18题概率统计要难于19题立体几何。
二、试卷特点1、立足基础，由易到难文、理科试卷遵循考纲，立足基础考查，突出能力立意，试题平稳而又不乏新意，平中见奇，试题的创新也给解题带来了一定的难度。
以理科为例，从单个试题来看，选择1、2、3难度较小，属于简单题，选择4－9、11题；填空1 3、14题，解答17、19难度有所增加，属于中档题，选择10、12，填空15，解答18题难度稍大，属于稍难一点的题，填空16，解答题20、21题难度很大，属于难题。
试题具有一定的灵活性、思路比较新颖，一些还涉及了数形结合的方法，解答17、19、20题仍体现了解决问题的通性通法，21题涉及导数的运算、应用、迁移，综合性比较强，难度较大；选做题和去年相比平面几何难度有所降低、参数方程难度有所增加、不等式难度变化不大。
2、强化主干，覆盖面广在全面考查的前提下，高中数学的六大主干知识仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点内容。
另外，考试内容体现了新课标的要求，算法与框图、三视图、统计、概率和分布列、常用逻辑用语等课标新增内容在试卷中都有所体现，并较前两年加大了难度。
2013年湖南省高考数学试卷(理科)及解析
2013年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•湖南）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）（2013•湖南）某校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样解答：解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．故选D3．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．4．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0C．D．5．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3B．2C．1D．06．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．点评：本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具．7．（5分）（2013•湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1B．C．D．8．（5分）（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P 出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2B．1C．D．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：直线与圆．分析：建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P 的坐标，进而可得AP的值．解答：解：建立如图所示的坐标系：可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，△ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0＜a＜4，则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，解得，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线QR的斜率为k==，故直线QR的方程为y=（x+a），由于直线QR过△ABC的重心（，），代入化简可得3a2﹣4a=0，解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP=故选D点评：本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为3．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．解答：解：由直线l：，得y=x﹣a，再由椭圆C：，得，①2+②2得，．所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．故答案为3．点评：本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题．10．（5分）（2013•湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为12．考点：柯西不等式；柯西不等式的几何意义．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）（a2+4b2+9c2）=3（a2+4b2+9c2），化简得a2+4b2+9c2≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12．解答：解：∵a+2b+3c=6，∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）∴a2+4b2+9c2≥12，当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=时等号成立由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12故答案为：12点评：本题给出等式a+2b+3c=6，求式子a2+4b2+9c2的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．11．（5分）（2013•湖南）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．考点：圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离，注意计算的正确率．解答：解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，∴2×2=CP•1，解得：CP=4，又PD=1，∴CD=5，又⊙O的半径为，则圆心O到弦CD的距离为d===故答案为：．点评：此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定理等知识，题目有一定综合性，是中考中热点问题．12．（5分）（2013•湖南）若，则常数T的值为3．考点：定积分．专题：计算题．分析：利用微积分基本定理即可求得．解答：解：==9，解得T=3，故答案为：3．点评：本题考查定积分、微积分基本定理，属基础题．13．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为9．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加a值，并判断满足a＞8时输出a的值．解答：解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：是否继续循环 a b循环前/1 2第一圈是 3 2第二圈是 5 2第三圈是7 2第四圈是9 2第五圈否故最终输出的a值为9．故答案为：9．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．14．（5分）（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2=30°的最小内角为30°，则C的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．解答：解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2=4c2+16a2﹣2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2=0，∴c= a所以e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．15．（5分）（2013•湖南）设S n为数列{a n}的前n项和，，n∈N*，则（1）a3=﹣；（2）S1+S2+…+S100=．考点：数列的求和；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入，n∈N*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．解答：解：由，n∈N*，当n=1时，有，得．当n≥2时，．即．若n为偶数，则．所以（n为正奇数）；若n为奇数，则=．所以（n为正偶数）．所以（1）．故答案为﹣；（2）因为（n为正奇数），所以﹣，又（n为正偶数），所以．则．，．则．…．所以，S1+S2+S3+S4+…+S99+S100====．故答案为．点评：本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n为偶数时能求出奇数项的通项，当n为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题．16．（5分）（2013•湖南）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为{x|0＜x≤1}．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是①②③．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．考点：命题的真假判断与应用；函数的零点；进行简单的合情推理．专题：阅读型．分析：（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得的范围，解出函数f（x）=a x+b x﹣c x的零点，利用不等式可得零点x的取值集合；（2）对于①，把函数式f（x）=a x+b x﹣c x变形为，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；对于②，利用取特值法说明命题是正确的；对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．解答：解：（1）因为c＞a，由c≥a+b=2a，所以，则．令f（x）=a x+b x﹣c x=．得，所以．所以0＜x≤1．故答案为{x|0＜x≤1}；（2）因为，又，所以对∀x∈（﹣∞，1），．所以命题①正确；令x=1，a=b=1，c=2．则a x=b x=1，c x=2．不能构成一个三角形的三条边长．所以命题②正确；若三角形为钝角三角形，则a2+b2﹣c2＜0．f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0．所以∃x∈（1，2），使f（x）=0．所以命题③正确．故答案为①②③．点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了特值化思想方法，解答此题的关键是对题意的正确理解，此题是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•湖南）已知函数，．（I）若α是第一象限角，且，求g（α）的值；（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（I）根据两角和与差的三角函数公式化简，得f（x）=sinx，结合解出sinα=，利用同角三角函数的基本关系算出cosα=．由二倍角的余弦公式进行降次，可得g（x）=1﹣cosx，即可算出g（α）=1﹣cosα=；（II）f（x）≥g（x），即sinx≥1﹣cosx，移项采用辅助角公式化简整理，得2sin（x+）≥1，再根据正弦函数的图象与性质，即可求出使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．解答：解：：∵sin（x﹣）=sinxcos﹣cosxsin=sinx﹣cosxcos（x﹣）=cosxcos+sinxsin=cosx+sinx∴=（sinx﹣cosx）+（cosx+sinx）=sinx而=1﹣cosx（I）∵，∴sinα=，解之得sinα=∵α是第一象限角，∴cosα==因此，g（α）==1﹣cosα=，（II）f（x）≥g（x），即sinx≥1﹣cosx移项，得sinx+cosx≥1，化简得2sin（x+）≥1∴sin（x+）≥，可得+2kπ≤x+≤+2kπ（k∈Z）解之得2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z）因此，使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z）}点评：本题给出含有三角函数的两个函数f（x）、g（x），求特殊函数值并讨论使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．着重考查了三角恒等变换、同角三角函数的基本关系和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4Y 51 48 45 42这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．解答：解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为=；（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可记n k为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==∴所求的分布列为Y 51 48 45 42P数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=46点评：本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）（2013•湖南）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（I）证明：AC⊥B1D；（II）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）根据直棱柱性质，得BB1⊥平面ABCD，从而AC⊥BB1，结合BB1∩BD=B，证出AC⊥平面BB1D，从而得到AC⊥B1D；（II）根据题意得AD∥B1C1，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角．连接A1D，利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥B1D．由AC⊥B1D，可得B1D⊥平面ACD，从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB=，最后在Rt△AB1D中算出B1D=，可得cos∠ADB1=，由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．解答：解：解：（I）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D内的相交直线∴AC⊥平面BB1D，∵B1D⊂平面BB1D，∴AC⊥B1D；（II）∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1，由此可得直线B1C1与平面ACD1所成的角，等于直线AD与平面ACD1所成的角（记为θ）连接A1D，∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°，∴B1A1⊥平面A1D1DA，结合AD1⊂平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1又∵AD=AA1=3，∴四边形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D，由（I）知AC⊥B1D，结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD，从而得到∠ADB1=90°﹣θ，∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB因此，，可得AB==连接AB1，可得△AB1D是直角三角形，∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=在Rt△AB1D中，cos∠ADB1===，即cos（90°﹣θ）=sinθ=，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为．点评：本题给出直四棱柱，求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知知识，属于中档题．20．（13分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．考点：根据实际问题选择函数类型；绝对值三角不等式．专题：应用题；不等式的解法及应用．分析：（I）根据“L路径”的定义，可得点P到居民区A的“L路径”长度最小值；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P的坐标．解答：解：设点P的坐标为（x，y），则（I）点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x﹣3|+|y﹣20|，y∈[0，+∞）；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值①当y≥1时，d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20|∵d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24∴当且仅当x=3时，d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值为24∵d2（y）=2|y|+|y﹣20|≥21∴当且仅当y=1时，d2（y）=2|y|+|y﹣20|的最小值为21∴点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小，且最小值为45；②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，∴d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|此时d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|，d2（y）=1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|=22﹣y≥21由①知d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24，∴d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．点评：本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生建模的能力，同时考查学生的理解能力，属于难题．21．（13分）（2013•湖南）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（I）若k1＞0，k2＞0，证明：；（II）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量和的坐标，求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；（Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于求出p的值，则抛物线E的方程可求．解答：解：（I）由题意，抛物线E的焦点为，直线l1的方程为．由，得．设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1+x2=2pk1，．所以点M的坐标为，．同理可得点N的坐标为，．于是．由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜．故．（Ⅱ）由抛物线的定义得，，所以，从而圆M的半径．故圆M的方程为，化简得．同理可得圆N的方程为于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为．又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0．因为p＞0，所以点M到直线l的距离为=．故当时，d取最小值．由题设，解得p=8．故所求抛物线E的方程为x2=16y．点评：本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．22．（13分）（2013•湖南）已知a＞0，函数．（I）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；（II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论．解答：解：（I）当0≤x≤a时，；当x＞a时，∴当0≤x≤a时，，f（x）在（0，a）上单调递减；当x＞a时，，f（x）在（a，+∞）上单调递增．①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增∴g（a）max={f（0），f（4）}∵f（0）﹣f（4）==∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=，综上所述，g（a）=；（II）由（I）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求；当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，则x1∈（0，a），x2∈（a，4），且f′（x1）f′（x2）=﹣1∴•=﹣1∴①∵x1∈（0，a），x2∈（a，4），∴x1+2a∈（2a，3a），∈（，1）∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（，1）的交集非空∵，∴当且仅当0＜2a＜1，即时，A∩B≠∅综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值范围是（0，）．点评：本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键．。