大学物理场强电势习题课
大学物理第12章课后习题
第十二章 静电场中的导体和电介质12-1将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将如何变化.答：电场中通常以无穷远处的电势为零电势参考点。
导体B 离A 很远时，其电势为零。
A 带正电，所以其电场中各点的电势均为正值。
因此B 靠近A 后，处于带电体A 的电场中时，B 的电势为正，因而B 处的电势升高。
12-2 如附图所示，一导体球半径为R 1，外罩一半径为R 2的同心薄球壳，外球壳所带总电荷为Q ，而内球的电势为U 0，求此系统的电势和电场分布。
解：根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称．设内球壳带电量为q 取同心球面为高斯面，由高斯定理()()∑⎰⋅=⋅=⋅02/π4d εq r E r r E S E ，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得各区域内的电场分布为r ＜R １时， ()01=r E R １＜r ＜R 2 时，()202π4rεq r E =r ＞R 2 时， ()202π4rεq Q r E +=由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布． r ＜R １时，20103211π4π4d d d d 2211R Q R q U R R R R rrεε+=⋅+⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰∞∞l E l E l E l ER １＜r ＜R 2 时，200322π4π4d d d 22R Q rq U R R rrεε+=⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰∞∞l E l E l Er ＞R 2 时，rQ q U r03π4d ε+=⋅=⎰∞l E 3由题意得201001π4π4R Q R q U U εε+==代入电场、电势的分布得 r ＜R １时，01=E ；01U U =R １＜r ＜R 2 时，22012012π4rR Q R rU R E ε-=；rR Q R r rU R U 201012π4)(ε--=r ＞R 2 时，220122013π4)(rR Q R R rU R E ε--=；rR Q R R rU R U 2012013π4)(ε--=12-3证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1) 相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2) 相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等且符号相同。
大学物理2-1习题课五,六章
E Exi Eyj Ezk
电荷元 表达式
线电荷 面电荷 体电荷
d q d l
dq dS dq dV
有用的结论
（1）一均匀带电直2
sin
1)
Ey
4 0a
(cos1
cos2 )
特例：无限长均匀带电直线的场强
E 2 0a
（2）一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场
Q E1 2 0 2 0S
C
B C
E dl
0
E0
d /2
E1 dx
d 2
d
Q
2 0 S
2
Qd
4 0 S
P36 10 10．一电偶极子由电荷q的两个异号点电荷组成，两电
荷相距为l．把这电偶极子放在场强大小为E的均匀电场
中。试求：1) 电场作用于电偶极子的最大力矩；2) 电偶
极子从受最大力矩的位置转到平衡位置过程中，电场力
a
3. 电势叠加原理
(1)点电荷的电势分布:
q
U P 4 0r
(2)点电荷系的电势分布: U
Ui
i
qi
4 0ri
(3)连续带电体的电势分布: U dU 1 dq
V
V 4 0 r
P31 7
7. 如图所示，边长为l的正方形，在其四个顶点上各放
有等量的点电荷．若正方形中心O处的场强值和电势值
UC
U C
q (1 40 rB
1
rC
)
15(V
)
U C 15(V )
P33 11
11．有三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一条直线等间距分布,已知其中任一点电荷
所中受点合移力至均无为穷零远， 处且 外力Q1所=Q作3=的Q。功在固Q定2Q1、. Q3的情况下，将Q2从Q1、Q3连线
大学物理习题课5
E
0
2 0
外力克服静电引力所作的功等于静电场能量的增加。
11
5. 两根平行“无限长”均匀带电直导线, 相距为d, 导线 半径都是R(R<<d). 导线上电荷线密度分别为+和.
试求该导体组单位长度的电容.
6
V m
1
电容耐压Um = 4.0 kV，因而电容器极板间最小距离
d U m E b 2 . 22 10
4
m
要制作电容为0.047F 的平板电容器，其极板面积
S Cd
0 r
0 . 42 m
2
显然，这么大的面积平铺开来所占据的空间太大了，通 常将平板电容器卷叠成筒状后再封装。
we 1 2
0E
2
Q
2 2
E
0 0
2 0 S
在外力作用下极板间距从d被拉开到2d。电场占有空间 的体积，也由V增加到2V，此时电场能量增加。
W e we V Q d 2 0 S
10
2
（2）两导体极板带等量异号电荷，外力F 将其缓缓拉开 时，应有F = -Fe
则外力所作的功为
2
2.由两块相距0.50 mm的薄金属板A、B构成的空气平板电容器 被屏蔽在一金属盒K内，金属盒上、下两壁与A、B分别相距 0.25 mm，金属板面积为30mm40mm。求：（1）被屏蔽后电 容器的电容变为原来的几倍；（2）若电容器的一个引脚不慎与 金属屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍。
分析：薄金属板A、B与金属盒一 起构成三个电容器其等效电路图如 图 （b）所示，由于两导体间距离 较小。电容器可视为平板电容器， 通过分析等效电路图可求得A、B 间的电容。
大学物理——电学习题
基本理论
本章主要研究静电场的基本性质和规律： 本章主要研究静电场的基本性质和规律： 1、描述静电场的两个基本物理量 、 v ① 电场强度矢量 v F E= q0 ② 电势
WP UP = q0 or UP = ∫
电场线
P 零点） （零点） 0
P
v v E ⋅ d l 等势面
2、静电场的两个基本定理 、 高斯定理： 高斯定理： 环路定理： 环路定理：
Φ
e
q = 24 ε 0
• A
q
[例2]一带电球壳，内、外半径分别为 和b，电荷体密度 = A / r， 例 一带电球壳 一带电球壳， 外半径分别为a和 ，电荷体密度r ， 在球心处有一点电荷Q，证明当A 在球心处有一点电荷 ，证明当 = Q / ( 2πa2 )时，球壳区域内 时 的场强的大小与r无关 无关． 的场强的大小与 无关． 证：用高斯定理求球壳内场强： 用高斯定理求球壳内场强： v v E ⋅ d S = E ⋅ 4 πr 2 = Q + ∫ ρ d V / ε 0 ∫
R o
v E
7、一半径为R 的带有一缺口的细圆环，缺口长度为 （d << R） 、一半径为 的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d（ ） 环上均匀带正电，总电量为 ，则圆心O 环上均匀带正电，总电量为q，则圆心 处的场强大小 qd 从O点指向缺口中心点。 点指向缺口中心点 E = ————————，方向为 ——————————。 ， 8 2ε0 R3 π R o
一、场强的计算 叠加法（ ⅰ] 叠加法（取微元 ）： 线电荷： 线电荷：
d x
x
o
θ
L
d
x
dq = λ d x
R
dθ
dq
大学物理——电场强度与电势
例题
均匀带电细棒，长 L ，电荷线密度 ， 求：中垂面上的场强 。 r dQ
y
dQ dy
解 ： dE 4 r 3 0
r1
L0
dE dE x i dE y j E dE i dE x j 0 dE y
L L L
E r
2
3、场强叠加原理
（1）点电荷系的场强 Q2
点电荷的场强
点 电 Q1 荷
试验电荷 F2 Q
0
E
F F
1
Q 4 0 r
2
r0
由定义
F F3 F1 F2 E E1 E2 E3 Q0 Q0 Q0 Q0
L
E E //
x xQ dQ x dQ cos dE 2 L 3 L r 4 r 40 r 0 （1） x 0 xQ i
dE
E
L
dE 0
E0
4 0 x R
2
2
3
2
Q （2）R <<x E 2 4 0 x
dE
P
x
r
R
O
dr
9
讨论 (1) 当R >> x ，圆板可视为无限大薄板
E 2 0
(2)
E1
E1 E2
E1 E2
EI E1 E2 0 EII E1 E2 0 EIII E1 E2 0
E2
(3) 补偿法
10
例 已知圆环带电量为q ，杆的线密度为 ，长为L
qq 0 1 1 A r 4 0 1 r2
大学物理场强电势习题课讲解
E 2 0 r
L
r ●P
r >>L
●
当 r > > L 时，带电圆柱面可 视为点电荷，其场强大小为： q L E 2 2 4 0 r 4 0 r
P
6、 (学习指导p165,17) A、B为真空中两个平行的 “ 无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场 强度大小为E 0 ，两平面外侧电场强度大小都为E0/ 3，方向如图。则A、B两平面上的电荷面密度分别 为 σA ＝ ， σB ＝ . A B 若A 、B同号，则两边强中间弱。 若A正B负，则中间场强向右。 ∴只能是A负B正，则 E0 / 3
3真空中平行放置两块大金属平板板面积为s板间距离为dd远小于板面线度板上分别带电量q因板间距离d远小于板面线度金属平板可视为无限大带电平面两板间的相互作用力等于其中一块平板受另一平板在该板处产生的电场的作用力
1、真空中一点电荷Q，在距它为r的a点处有一试 验电荷q，现使q从a点沿半圆弧轨道运动到b点， 则电场力作功为（ ）
A B E0 2 0 2 0 B A E0 2 0 2 0 3
E0 2 0 E 0 A 3 4 0 E 0 B 3
E0 / 3
7、如图， 一点电荷带电量 q = 10 -9 C. A、B、C 三点分别距离点电荷 10cm、20cm、30cm .若选 B 点电势为0，则 A 点电势为＿＿＿，C 点电势 为＿＿＿.（0= 8.85 × 10-12 C2· N-1 · m-2 ）
解： 利用电势的定义： q o
B A
A
B
C
r
B
当UB = 0 时，
q
r B U A E dr Edr A
大学物理,课后习题
13—1如图所示孤立导体球，带电为Q ， （1）Q 是怎么分布的？为什么？ （2）导体内部场强是多少？（3）导体球表面附近一点P 的场强是多少？P 点的场强是否是由P 点附近的电荷产生的？（4）当P 点很靠近球面时，对着P 点的那一部分球面可以看作无限大平面。
而无限大带电面两侧的场强为02εσ=E ，而这里的结果是εσ=p E ，两者是否矛盾？为什么？13—2上题中如果导体球附近移来一个带电为q 的另一导体A ，如图所示，达静电平衡后，（1）q 是否在导体球内产生场？导体球内场强是否仍为零？ （2）导体球上Q 的分布是否改变？为什么？习题13-1 习题13-2（3）P 点的场强是否改变？公式0εσ=p E 是否成立？它是否反映了q的影响（即p E 是否包括了q 在P 点产生的场）？13—3 三个平行金属板A ﹑B 和C ，面积都是2002cm ，A ﹑B 相距0.4mm ，A ﹑C 相距0.2mm ，B ﹑C 两板都接地，如图所示，如果使A 板带正电C 7100.3-⨯，略去边缘效应，求： （1）B 板和C 板上的感应电荷各为多少？ （2）取地的电势为O ，A 板的电势为多少？13—4 导体球半径为R ，带电量为Q ，距球心为d 处有一点电荷q ，如图所示，现把球接地，求流入大地的电量。
13—5 同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属直圆柱体构成的，设内圆柱体的电势为1U ，半径为R ，外圆筒的电势为2U ，内半径为2R ，求其间离轴为r 处)(21R r R <<的电势。
习题13-3Q习题13-413—6 点电荷q 放在中性导体球壳的中心，壳的内外半径分别为1R 和2R ，求空间的电势分布。
13—7 如图所示，一半径为R 的中性导体球，中间有两个球形空腔，半径分别为1R 和2R ，在空腔中心处分别有点电荷1q 和2q ，试求： （1）两空腔内表面和导体外表面的电荷密度1σ﹑2σ﹑3σ （2）导体外任一点的场强和电势 （3）两空腔中的场强和电势。
大学物理电场强度及电势计算习题课
0
sin 2d 0 E i dE x i 4 0 R 8 0 R 0
i
[练习2] 求均匀带电半球面(已知R, ) 球心处电场 .
y
R
思考：〈1〉用哪种方法求解?
x
d 叠加法： q dE dE
o
y y
〈2〉 dq ? 是否一定取点电荷？
(1) 由定义求
(2) 由点电荷(或典型电荷分布) E 公式
和叠加原理求
(3) 由高斯定理求
(4) 由
E 与 U
的关系求
典型静电场 点电荷：
E qr 4 0 r
3
均匀带电圆环轴线上： E
1
2
qxi
2
3 2
4 0 ( R x )
无限长均匀带电直线： E
j
0
2
0
cosd
4 0 R
2 0 R
Eo
2 0 R
dq
y
解：3）
dE
d
R
o
dE
x
0sin
dq Rd dE dq 4 0 R
2
; 沿径向
dq
有无对称性？
Ey
sin sin( - )
y
dE
U
U
U内
q 4 0 R
U外
q 4 0 r
练习5. 求无限长均匀带电圆柱体
R
( R , ) 电势分布。
解： 场强积分法
.
先由高斯定理求电场分布.
r
高 斯 面
r
高 斯 面 l
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解： 因板间距离d 远小于板面线度，金属 平板可视为无限大带电平面，
两板间的相互作用力，等于其中一块平板受 另一平板在该板处产生的电场的作用力。
一无限大带电平面在另一板处产生的场强：
E2 0Qຫໍສະໝຸດ 2 0 SF QE
Q2
2 0 S
常见错误1：
∴选（D）.
用库仑定律→选（A）. 常见错误2：
P 点的场强大小：当 r << L 时，E＝
；
当 r > > L 时，E＝
。
解：当 r << L 时，带电圆柱面可视
R
为无限长，其场强大小为：
E
2 0r
当 r > > L 时，带电圆柱面可
L
r ●P ●
r >>L P
视为点电荷，其场强大小为：
E
q
4 0r 2
L 4 0r 2
6、 (学习指导p165,17) A、B为真空中两个平行的 “ 无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场
F=QE, E为两板间合场强，即
E
0
Q
0S
F
Q2
0S
→选（C）.
4外、，(学放习置指一导电p偶16极3,子10，)在其一电带矩有p负的电方荷向的如均图匀所带示电。球当面电
偶（极A）子沿被逆释时放针后方，向该旋电转偶直极到子电将矩（p）沿径向指向球面而
停止。 （B）沿逆时针方向旋转至
p沿径向指向球面，同时沿
Aab q(Ua Ub ) 0 选(D).
2、 (学习指导p163,9)一个带正电荷的质点，在电
场力作用下从A点经C点运动到B点，其运动轨迹
如图所示。已知质点运动的速率是递增的，下面
关于C点场强方向的四个图示中正确的是（ ）
（A）
E
（B）
C
B C
（C）
B
C
（D）
B
C
B
E
E
A
A
AE
解：在C点，质点速率变大，故有 切向加速度；同时，质点作曲 线运动，故有法向加速度。
r -
--
f
+qp
-q f
旋转导致+q离球面近，-q离球面远，
这样，在水平方向上，电偶极子受到的引力将 大于斥力，故将沿电力线方向向着球面移动。
∴选（B）.
5、(学习指导p166,18)一半径为R 长为L 的均匀带
电圆柱面，其单位长度带电量为.在带电圆柱的
中垂面上有一点 P ，它到轴线距离为 r(r >R)，则
的电势分布和电势叠加原理，得
q2
内球壳电势：U1
q1
4 0 R1
q2
4 0 R2
外球壳电势：U 2
q1
4 0 R2
q2
4 0 R2
两球壳间电势差：U12
U1
U2
q1
4 0
(
1 R1
1 R2
)
有向9、一⊥半(.在学径通习为过指R轴导、线p长1并6为6⊥,l2的1)圆的场柱方强E面向为，将E其此的轴柱均线面匀与切电去场的一中方半E，，
高斯球面上任一点的场强大小E由
变
为
；电势 U 由
变为
.（选无
穷远处为电势零点）。
肥 上皂 任泡一半点径的为场r强1时大，小高：E斯球面Q
电势
：U
Q
4 0 R
4 0
R
2
肥皂泡半径胀到 r2时，
+Q ●r1
R
+Q
高斯球面上任一点的场强为0 ；
电势为：U
Q
4 0 r2
r2 R
11、(选讲) 真空中半径为 R 的半圆细环，均匀带 电Q 。设 U∞ = 0 ,则圆心 O 处的电势为 UO = ＿＿
(1) 取 U
0UA
q
4 0rA
90V ,
UB
45V ,UC
30V .
(2) U A UB 45V , UC UB 15V .
(3) 在(2)中令UB 0 U A 45V , UC 15V .
8、 两同心均匀带电球壳半径分别为R1和R2(R1＜
R解方设2)： 法U，RUR∞212电：14=2量0q,1分0由RRr12别E2均d为匀rdqr带14和q电1qR0R球212(，4R面11求q的10两rR1电22球e)场r 壳 中d间r 电q势1 R差1 UR1U22.12
1、真空中一点电荷Q，在距它为r的a点处有一试
验电荷q，现使q从a点沿半圆弧轨道运动到b点，
则电场力作功为（ ）
( A ) Qq r 2 40 r 2 2
( B ) Qq 2r
40r 2
Q b r • r q• a
( C ) Qq r 40r 2
(D) 0
解：图中半圆弧轨道电势相等，Ua Ub .
电力线方向向着球面移动。 （C）沿逆时针方向旋转至
p沿径向指向球面，同时逆
电力线方向远离球面移动。 （D）沿顺时针方向旋转至
p沿径向朝外，同时沿电力
线方向向着球面移动。
-- - - --
-
r -
p
-
-
-- - - --
-- - - --
解：
电偶极子受力如图 -
所示，
-
--
∴电偶极子将逆时针旋转
-
（直到电矩指向球心），
B
4 0 E0
3
7、如图， 一点电荷带电量 q = 10 -9 C. A、B、C 三点分别距离点电荷 10cm、20cm、30cm .若选 B 点电势为0，则 A 点电势为＿＿＿，C 点电势
为＿＿＿.（0= 8.85 × 10-12 C2·N-1 ·m-2 ）
解： 利用电势的定义：
q AB C
o
r
则穿过剩下的半圆柱面的电通量等于
.
解：通过半圆柱面的电通量与通 过矩形切割面 ABCD 的电通
RD
量大小相等。 而切割面 ABCD
与电场强度
E⊥A，
E l
所以：
C
E SABCD
B
2RlE
10、 (学习指导p167,24)把一个均匀带电量+Q 的球形
肥皂泡由半径r1 吹胀到r2 ，则半径为R（r1< R < r2）的
当UB = 0 时，
UA
B
E
dr
A
B
Edr
A
q rB
rA
4
0
r
2
dr
q 11 ()
4 0 rA rB
109
1
1
(
) 45(V )
4 8.851012 10102 20102
q AB
o
同 理U C
B
E
dr
C
q
4 0
1 ( rC
1 )
rB
15V
C r
方法2（利用“电势差与电势零点的选择无关”）：
A
A
C
an
at B a
合加速度方向即电力方向，
即场强方向。
∴选（D）.
3、 真空中平行放置两块大金属平板，板面积
为S，板间距离为d（d 远小于板面线度），
板上分别带电量＋Q 和－Q ，则两板相互作
用力为（ ）
Q2
( A ) 4 0d 2 .
(
B
)
Q2
0S
2
.
( C ) Q2 .
0S
( D ) Q2 .
强度大小为E 0 ，两平面外侧电场强度大小都为E0/ 3，方向如图。则A、B两平面上的电荷面密度分别
为σA＝
，σB＝
.
A
B
若A 、B同号，则两边强中间弱。 若A正B负，则中间场强向右。
∴只能是A负B正，则
A 2 0
B 2 0
E0
E0 / 3 E0 E0 / 3
A
2 0 E0
3
B 2 0
A 2 0
E0 3