高中数学选修2-3 离散型随机变量导学案加课后作业及答案
高二数学选修2-3离散型随机变量的方差导学案
2.32离散型随机变量的方差学习目标1、理解各种分布的方差2、会应用均值（期望）和方差来解决实际问题自主学习：课本1.一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是n x x x x ⋅⋅⋅321,,这些值对应的概率是n p p p p ⋅⋅⋅,,,321则________________________________________________________叫做这个离散型随机变量X 的方差;______________________________叫作离散型随机变量X 的标准差2. 离散型随机变量的方差刻画了这个离散型随机变量的_____________________________.3. 离散型随机变量X 分布列为二点分布时, ()___________D X =.4.离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布时，()___________D X =.5. 离散型随机变量X 服从参数为,N M ，n 的超几何分布时, ()___________D X = 自学检测1.已知X ～(),B n p ，()8,() 1.6E X D X ==，则,n p 的值分别是（ ）A ．100和0.08B ．20和0.4C ．10和0.2D ．10和0.82.设掷1颗骰子的点数为X ,则( )A. 2() 3.5,() 3.5E X D X ==B. 35() 3.5,()12E X D X == C. () 3.5,() 3.5E X D X == D. 35() 3.5,()16E X D X ==3.一牧场的10头牛,因误食疯牛病病毒污染的饲料被感染，已知疯牛病发病的概率是0.02,若发病的牛数为X 头,则()D X 等于( )A. 0.2B. 0.196C.0.8D.0.8124. 已知随机变量X 的分布列为则X 的标准差()X σ= A. 3.56 B. C. 3.2 D. 5.王非从家乘车到学校,途中有3个交通岗,设在个交通岗遇红灯的事件是相互独立的,并且概率都是25,则王非上学路上遇红灯的数学期望是___________,方差是_______________. 6.已知随机变量X 的分布列为且() 1.1E X =,设,则()____________D X =7.甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为21,ξξ，它们的分布列如下：试对这两名工人的技术水平进行比较。
高中数学人教B版选修2-3学案2.1.2 离散型随机变量的分布列 Word版含解析
离散型随机变量的分布列.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质..会求出某些简单的离散型随机变量的分布列.(重点).理解二点分布的定义，并能简单的运用.(难点)[基础·初探]教材整理离散型随机变量的分布列阅读教材～例以上部分，完成下列问题..定义要掌握一个离散型随机变量的取值规律，必须知道：①所有可能取的值，，…，；取每一个值的概率，，…，，需要列出下表：此表称为离散型随机变量的概率分布，或称为离散型随机变量的分布列..性质()≥，＝，…，；()＋＋…＋＝.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数.( ) ()离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等.( )()在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为.( )【解析】()×因为在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[]范围内.()×因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件.()√由分布列的性质可知，该说法正确.【答案】()×()×()√教材整理二点分布阅读教材例以下部分，完成下列问题.如果随机变量的分布列为则称离散型随机变量服从二点分布，并称＝(＝)为成功概率.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则＝.【解析】设二级品有个，∴一级品有个，三级品有个，总数为个.∴分布列为＝(ξ＝)＝.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]分布列及其性质的应用设随机变量的分布列为(＝)＝(＝)，求：()(＝或＝)；().【精彩点拨】先由分布列的性质求，再根据＝或＝，<<的含义，利用分布列求概率.【自主解答】()∵＝＋＋＋＝，∴＝，。
高中数学人教A版选修2-3教学案2.1.1 离散型随机变量 Word版含解析
．．离散型随机变量预习课本～，思考并完成以下问题．随机变量和离散型随机变量的概念是什么？随机变量是如何表示的？．随机变量与函数的关系？．随机变量试验结果()定义：在一个对应关系下，随着变化而变化的变量称为随机变量．()表示：随机变量常用字母，，ξ，η等表示．．离散型随机变量一一列举出来如果随机变量的所有可能的取值都能，则称为离散型随机变量．．随机变量和函数的关系随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数，函数把实数映射为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)()随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )()手机电池的使用寿命是离数型随机变量．( )答案：()√()×．下列变量中，是离散型随机变量的是( )．到年月日止，我国被确诊的爱滋病人数．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高．某人在车站等出租车的时间．某人投篮次，可能投中的次数答案：．袋中有大小相同的红球个，白球个，从袋中无放回的条件下每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量，则的可能取值为( )．，…，．，…，．，…．，…，答案：．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得分，回答不正确得－分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是．答案：, , －, －[典例] ()抛掷一枚均匀硬币一次，随机变量为( )．抛掷硬币的次数．出现正面的次数．出现正面或反面的次数．出现正面和反面的次数之和()件产品中有件次品，件正品，从中任取件，则可以作为随机变量的是( )．取到的产品个数．取到的正品个数．取到正品的概率．取到次品的概率[解]()抛掷一枚硬币一次，可能出现的结果是正面向上或反面向上．以某一个为标准，如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是，故选．而项中抛掷次数就是，不是随机变量；项中标准不明；项中，出现正面和反面的次数之和为必然事件，试验前便知是必然出现的结果，也不是随机变量．()由随机变量的定义知，随机变量是随机试验的结果，排除、项，又取到的产品个数是一个确定值，排除项．故选项．[答案]() ()判断一个试验是否是随机试验，依据是这个试验是否满足随机试验的三个条件，即()试验在相同条件下是否可重复进行；()试验的所有可能的结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；()每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验前无法预知出现哪个结果．[活学活用]指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由：()某人射击一次命中的环数；()掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数；()某个人的属相随年龄的变化．。
【B版】人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量的方差》导学案
2.3.2离散型随机变量的方差【学习要求】1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念。
2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题。
3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差。
【学法指导】1．通过实例理解离散型随机变量的方差的意义，通过例题体会方差在解决实际问题中的应用。
2．要善于将实际问题转化为数学问题来解决，通过模仿建立起数学建模的思维常识。
【知识要点】1．离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列为则(x i－E(X))2描述了x i(i＝1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度。
我们称D(X)为随机变量X的，并称其算术平方根随机变量X的。
2．离散型随机变量方差的性质（1）设a，b为常数，则D(aX＋b)＝，（2）D(c)＝0(其中c为常数)。
3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差（1）若X服从两点分布，则D(X)＝(其中p为成功概率)；（2）若X～B(n，p)，则D(X)＝。
【问题探究】探究点一方差、标准差的概念及性质问题1某省运会即将举行，在最后一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7，8，6，8，6，5，8，10，7，5；乙运动员：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7。
观察上述数据，两个人射击的平均成绩是一样的。
那么，是否两个人就没有水平差距呢？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？问题2类比样本方差、标准差的概念，能否得出离散型随机变量的方差、标准差？问题3随机变量的方差与样本的方差有何不同？问题4方差、标准差的单位与随机变量的单位有什么关系？问题5我们知道若一组数据x i(i＝1，2，…，n)的方差为s2，那么另一组数据ax i＋b(a、b是常数且i＝1，2，…，n)的方差为a2s2。
人教版高中数学选修2-3课后习题参考答案
新课程标准数学选修2—3第一章课后习题解答第一章 计数原理1．1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 练习（P6） 1、（1）要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”，不同的选法种数是5＋4＝9； （2）要完成的“一件事情”是“从A 村经B 村到C 村去”，不同路线条数是3×2＝6. 2、（1）要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”，不同的选法种数是3＋5＋4＝12； （2）要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”，不同选法种数是3×5×4＝60.3、因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异， 所以应当是6＋4－1=9（种）可能的专业选择. 练习（P10）1、要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”.由于每一项都是i j k a b c 的形式，所以可以分三步完成：第一步，取i a ，有3种方法；第二步，取j b ，有3种方法；第三步，取k c ，有5种方法. 根据分步乘法计数原理，展开式共有3×3×5＝45（项）.2、要完成的“一件事情”是“确定一个电话号码的后四位”. 分四步完成，每一步都是从0～9这10个数字中取一个，共有10×10×10×10=10000（个）.3、要完成的“一件事情”是“从5名同学中选出正、副组长各1名”. 第一步选正组长，有5种方法；第二步选副组长，有4种方法. 共有选法5×4＝20（种）.4、要完成的“一件事情”是“从6个门中的一个进入并从另一个门出去”. 分两步完成：先从6个门中选一个进入，再从其余5个门中选一个出去. 共有进出方法6×5＝30（种）. 习题1.1 A 组（P12） 1、“一件事情”是“买一台某型号的电视机”. 不同的选法有4＋7＝11（种）. 2、“一件事情”是“从甲地经乙地或经丙地到丁地去”. 所以是“先分类，后分步”，不同的路线共有2×3＋4×2=14（条）. 3、对于第一问，“一件事情”是“构成一个分数”. 由于1，5，9，13是奇数，4，8，12，16是偶数，所以1，5，9，13中任意一个为分子，都可以与4，8，12，16中的任意一个构成分数. 因此可以分两步来构成分数：第一步，选分子，有4种选法；第二步，选分母，也有4种选法. 共有不同的分数4×4＝16（个）. 对于第二问，“一件事情”是“构成一个真分数”. 分四类：分子为1时，分母可以从4，8，12，16中任选一个，有4个；分子为5时，分母可以从8，12，16中选一个，有3个；分子为9时，分母从12，16中选一个，有2个；分子为13时，分母只能选16，有1个. 所以共有真分数4＋3＋2＋1＝10（个）. 4、“一件事情”是“接通线路”. 根据电路的有关知识，容易得到不同的接通线路有3＋1＋2×2＝8（条）.5、（1）“一件事情”是“用坐标确定一个点”. 由于横、纵坐标可以相同，因此可以分两步完成：第一步，从A 中选横坐标，有6个选择；第二步，从A 中选纵坐标，也有6个选择. 所以共有坐标6×6＝36（个）. （2）“一件事情”是“确定一条直线的方程”. 由于斜率不同截距不同、斜率不同截距相同、斜率相同截距不同的直线都是互不相同的，因此可分两步完成：第一步，取斜率，有4种取法；第二步，取截距，有4种取法. 所以共有直线4×4＝16（条）. 习题1.1 B 组（P13） 1、“一件事情”是“组成一个四位数字号码”. 由于数字可以重复，最后一个只能在0～5这六个数字中拨，所以有号码10×10×10×6＝6000（个）. 2、（1）“一件事情”是“4名学生分别参加3个运动队中的一个，每人限报一个，可以报同一个运动队”. 应该是人选运动队，所以不同报法种数是43.（2）“一件事情”是“3个班分别从5个风景点中选择一处游览”. 应该是人选风景点，故不同的选法种数是35. 1．2排列与组合 练习（P20）1、（1）,,,,,,,,,,,ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc ；（2）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae ba bc bd be ca cb cd ce da db dc de ea eb ec ed .2、（1）4151514131232760A =⨯⨯⨯=； （2）777!5040A ==； （3）4288287652871568A A -=⨯⨯⨯-⨯⨯=； （4）87121277121255A A A A ==.3、4、（1）略. （2）876777787677778788A A A A A A A -+=-+=.5、3560A =（种）. 6、3424A =（种）. 练习（P25） 1、（1）甲、乙， 甲、丙， 甲、丁， 乙、丙， 乙、丁， 丙、丁； （2）2、ABC ∆，ABD ∆，ACD ∆，BCD ∆.3、3620C =（种）. 4、246C =（个）. 5、（1）26651512C ⨯==⨯； （2）3887656123C ⨯⨯==⨯⨯； （3）3276351520C C -=-=； （4）328532356210148C C -=⨯-⨯=. 6、()1111(1)!!11(1)![(1)(1)]!!!m m n n m m n n C C n n m n m m n m +++++=⋅==++++-+- 习题1.2 A 组（P27）1、（1）325454*********A A +=⨯+⨯=； （2）12344444412242464A A A A +++=+++=. 2、（1）315455C =； （2）19732002001313400C C ==； （3）346827C C ÷=；（4）22211(1)(1)(1)22n n n n nn nn n n n CCCC n -++--⋅=⋅=+⋅=.3、（1）12111(1)n n n n n n n n n n nn A A n A A nA n A +-+--=+-==； （2）(1)!!(1)!!(1)!!(1)!!!n n n k n n k n k k k k ++-⋅-+-==-. 4、由于4列火车各不相同，所以停放的方法与顺序有关，有481680A =（种）不同的停法.5、4424A =. 6、由于书架是单层的，所以问题相当于20个元素的全排列，有2020A 种不同的排法.7、可以分三步完成：第一步，安排4个音乐节目，共有44A 种排法；第二步，安排舞蹈节目，共有33A 种排法；第三步，安排曲艺节目，共有22A 种排法. 所以不同的排法有432432288A A A ⋅⋅=（种）.8、由于n 个不同元素的全排列共有!n 个，而!n n ≥，所以由n 个不同的数值可以以不同的顺序形成其余的每一行，并且任意两行的顺序都不同. 为使每一行都不重复，m 可以取的最大值是!n .9、（1）由于圆上的任意3点不共线，圆的弦的端点没有顺序，所以共可以画21045C =（条）不同的弦；（2）由于三角形的顶点没有顺序，所以可以画的圆内接三角形有310120C =（个）. 10、（1）凸五边形有5个顶点，任意2个顶点的连线段中，除凸五边形的边外都是对角线，所以共有对角线2555C -=（条）；（2）同（1）的理由，可得对角线为2(3)2n n n C n --=（条）.说明：本题采用间接法更方便. 11、由于四张人民币的面值都不相同，组成的面值与顺序无关，所以可以分为四类面值，分别由1张、2张、3张、4张人民币组成，共有不同的面值1234444415C C C C +++=（种）. 12、（1）由“三个不共线的点确定一个平面”，所确定的平面与点的顺序无关，所以共可确定的平面数是3856C =；（2）由于四面体由四个顶点唯一确定，而与四个点的顺序无关，所以共可确定的四面体个数是410210C =. 13、（1）由于选出的人没有地位差异，所以是组合问题，不同的方法数是3510C =. （2）由于礼物互不相同，与分送的顺序有关系，所以是排列问题，不同方法数是3560A =；（3）由于5个人中每个人都有3中选择，而且选择的时间对别人没有影响，所以是一个“可重复排列”问题，不同方法数是53243=；（4）由于只要取出元素，而不必考虑顺序，所以可以分两步取元素：第一步，从集合A 中取，有m 种取法；第二步，从集合B 中取，有n 种取法. 所以共有取法mn 种. 说明：第（3）题是“可重复排列”问题，但可以用分步乘法计数原理解决.14、由于只要选出要做的题目即可，所以是组合问题，另外，可以分三步分别从第1，2，3题中选题，不同的选法种数有32143224C C C ⋅⋅=. 15、由于选出的人的地位没有差异，所以是组合问题.（1）225460C C ⋅=； （2）其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有2721C =（种）选法；（3）用间接法，在9人选4人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为449791C C -=； 如果采用直接法，则可分为3类：只含男甲；只含女乙；同时含男甲女乙，得到符合条件的方法数为33277791C C C ++=； （4）用间接法，在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为444954120C C C --=. 也可以用直接法，分别按照含男生1，2，3人分类，得到符合条件的选法数为132231545454120C C C C C C ++=.16、按照去的人数分类，去的人数分别为1，2，3，4，5，6，而去的人大家没有地位差异，所以不同的去法有12345666666663C C C C C C +++++=（种）. 17、（1）31981274196C =； （2）142198124234110C C ⋅=； （3）51982410141734C =； （4）解法1：3141982198125508306C C C =⋅=. 解法2：55200198125508306C C -=. 说明：解答本题时，要注意区分“恰有”“至少有”等词.习题1.2 B 组（P28）1、容易知道，在737C 注彩票中可以有一个一等奖.在解决第2问时，可分别计算37选6及37选8中的一等奖的中奖机会，它们分别是637112324784C =和8371138608020C =. 要将一等奖的机会提高到16000000以上且不超过1500000，即375000006000000nC ≤<， 用计算机可得，6n =，或31n =.所以可在37个数中取6个或31个.2、可以按照I ，II ，III ，IV 的顺序分别着色：分别有5，4，3，3种方法，所以着色种数有5×4×3×3＝180（种）.3、“先取元素后排列”，分三步完成：第一步，从1，3，5，7，9中取3个数，有35C 种取法；第二步，从2，4，6，8中取2个数，有24C 种取法；第三步，将取出的5个数全排列，有55A 种排法. 共有符合条件的五位数3255457200C C A ⋅⋅=（个）.4、由于甲和乙都没有得冠军，所以冠军是其余3人中的一个，有13A 种可能；乙不是最差的，所以是第2，3，4名中的一种有13A 种可能；上述位置确定后，甲连同其他2人可任意排列，有33A 种排法. 所以名次排列的可能情况的种数是11333354A A A ⋅⋅=. 5、等式两边都是两个数相乘，可以想到分步乘法计数原理，于是可得如下分步取组合的方法.在n 个人中选择m 个人搞卫生工作，其中k 个人擦窗，m k -个人拖地，共有多少种不同的选取人员的方法？解法1：利用分步计数原理，先从n 个人中选m 个人，然后从选出的m 个人中再选出k 个人擦窗，剩余的人拖地，这样有m knm C C 种不同的选取人员的方法； 解法2：直接从n 个人中选k 个人擦窗，然后在剩下的n k -个人中选m k -个人拖地，这样，由分步计数原理得，共有k m knn k C C --种不同的人员选择方法. 所以，k m k m knn k n m C C C C --=成立. 说明：经常引导学生从一个排列组合的运算结果或等式出发，构造一个实际问题加以解释，有助于学生对问题的深入理解，检查结果，纠正错误. 1．3二项式定理 练习（P31）1、7652433425677213535217p p q p q p q p q p q pq q +++++++.2、2424236(2)(3)2160T C a b a b =⋅=.3、231(1)(2n rr r n rrr r nn r T C C x --+-=⋅=.4、D . 理由是5105555511010(1)T C x C x -+=-=-. 练习（P35）1、（1）当n 是偶数时，最大值2nnC ；当n 是奇数时，最大值12n nC-.（2）1311111111111210242C C C +++=⋅=. （3）12.2、∵0122knn nn n n n C C C C C ++++++=， 2、∵0122k n n nn n n n C C C C C ++++++=，0213nn n n C C C C ++=++∴012knnn n n n C C C C C ++++++0213()()n n n n C C C C =+++++022()2n n n C C =++=∴021222nn n n nnC C C -+++==. 3、略.习题1.3 A 组（P36）1、（1）011222(1)(1)(1)(1)n n n r n rr nn nn n n n C P C P P C P P C P P C P ---+-+-++-++-；（2）0122222nn n nn n n n n C C C C ++++.2、（1）9965432(9368412612684a a a a a b a a a b =+++23369a b ab b（2）27311357752222222172135701682241281283282x x x x x x x x ----=-+-+-+-.3、（1）552(1(122010x x ++=++； （2）11114412222(23)(23)192432x x x x x x ---+--=+. 4、（1）前4项分别是1，30x -，2420x ，33640x -； （2）91482099520T a b =-； （3）7924T =； （4）展开式的中间两项分别为8T ，9T ，其中78711815((6435T C x y =-=-87811915((6435T C x y =-=5、（1）含51x 的项是第6项，它的系数是5510163()28C -=-； （2）常数项是第6项，5105561012()2522T C -=⋅-=-.6、（1）2221221()(1)r n r r r r n rr n n T C x C xx --+=-=- 6、（1）2221221()(1)r n r r r r n rr n n T C x C xx--+=-=- 由220n r -=得r n =，即21()n x x-的展开式中常数项是12(1)n rn n T C +=-(2)!(1)!!nn n n =- 12345(21)2(1)!!n n nn n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅=-…[135(21)][2462](1)!!n n n n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=-……[135(21)]2!(1)!!n nn n n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅=-…135(21)(2)!nn n ⋅⋅⋅⋅-=-…（2）2(1)n x +的展开式共有21n +项，所以中间一项是12135(21)(2)!n nn n n n T C x x n +⋅⋅⋅⋅-==…7、略.8、展开式的第4项与第8项的二项式系数分别是3n C 与7n C ， 由37n n n C C -=，得37n =-，即10n =.所以，这两个二项式系数分别是310C 与710C ，即120.习题1.3 B 组（P37）1、（1）∵1122221(1)111n n n n n n n n n n n n C n C n C n C n ----+-=++++++- 1122222n n n n nn n n C n C n C n n ---=+++++2213242(1)n n n n nn n n n C n C n C ----=+++++∴(1)1n n +-能被2n 整除； （2）∵1010991(1001)1-=--1019288291010101010010010010010011C C C C =-⋅+⋅++⋅-⋅+- 1019288210101010010010010010100C C C =-⋅+⋅++⋅-⨯1711521381010101000(101010101)C C C =-⋅+⋅++⋅-∴10991-能被1000整除.2、由0112211(21)222(1)2(1)n n n n n n n nnn n n n C C C C C -----=⋅-⋅+⋅++-⋅⋅+-，得112211222(1)2(1)1n n n n n n nn n C C C -----⋅+⋅++-⋅⋅+-=.第一章 复习参考题A 组（P40）1、（1）2n ；说明：这里的“一件事情”是“得到展开式中的一项”. 由于项的形式是i j a b ，而,i j 都有n 种取法.（2）3276525C C ⋅=； （3）1545480A A ⋅=，或2454480A A ⋅=； 说明：第一种方法是先考虑有限制的这名歌手的出场位置，第二种方法是先考虑有限制的两个位置. （4）45C ；说明：因为足球票无座，所以与顺序无关，是组合问题. （5）53；说明：对于每一名同学来说，有3种讲座选择，而且允许5名同学听同一个讲座，因此是一个“有重复排列”问题，可以用分步乘法原理解答. （6）54；说明：对角线的条数等于连接正十二边形中任意两个顶点的线段的条数212C ，减去其中的正十二边形的边12条：21212111212542C ⨯-=-=. （7）第1n +项.说明：展开式共有21n +项，且各系数与相应的二项式系数相同.2、（1）1234566666661956A A A A A A +++++=； 说明：只要数字是1，2，3，4，5，6中的，而且数字是不重复的一位数、二位数、三位数、四位数、五位数和六位数都符合要求.（2）552240A =. 说明：只有首位数是6和5的六位数才符合要求.3、（1）3856C =； （2）1234555530C C C C +++=. 4、468898C C +=.说明：所请的人的地位没有差异，所以是组合问题. 按照“其中两位同学是否都请”为标准分为两类.5、（1）2(1)2n n n C -=； 说明：任意两条直线都有交点，而且交点各不相同. （2）2(1)2n n n C -=. 说明：任意两个平面都有一条交线，而且交线互不相同. 6、（1）59764446024C =； （2）23397442320C C ⋅=； （3）2332397397446976C C C C ⋅+⋅=. 7、34533453103680A A A A ⋅⋅⋅=. 说明：由于不同类型的书不能分开，所以可以将它们看成一个整体，相当于是3个元素的全排列. 但同类书之间可以交换顺序，所以可以分步对它们进行全排列. 8、（1）226x -；说明：第三项是含2x 的项，其系数是22112244553(23)(2)26C C C C ⋅+⋅-⨯+--. （2）18118(9)(rr r r T C x -+=，由题意有1802rr --= 解得12r =，1318564T =；（3）由题意得98102n n n C C C =+，即2!!!9!(9)!8!(8)!10!(10)!n n n n n n ⋅=+---化简得2373220n n -+=，解得14n =，23n =；（4）解法1：设1r T +'是10(1)x -展开式的第1r +项，由题意知，所求展开式中4x 的系数为41T +'，31T +'与21T +'的系数之和.444110()T C x +'=-，333110()T C x +'=-，222110()T C x +'=-，因此，4x 的系数432101010135C C C =-+=. 解法2：原式39(1)(1)x x =--3223344999(1)(19)x x C x C x C x =--+-++因此，4x 的系数499135C =+=. 9、5555559(561)9+=-+5515454555556565619C C =-⋅++⋅-+ 551545455555656568C C =-⋅++⋅+由于551545455555656568C C -⋅++⋅+中各项都能被8整除，因此55559+也能被8整除.第一章 复习参考题B 组（P41）1、（1）121121n n n C C -++==，即1(1)212n n +⋅=，解得6n =； （2）1144244224192A A A ⋅⋅=⨯⨯=； 说明：先排有特殊要求的，再排其他的. （3）433333⨯⨯⨯=，34444⨯⨯=；说明：根据映射定义，只要集合A 中任意一个元素在集合B 中能够找到唯一对应的元素，就能确定一个映射，对应的元素可以相同，所以是“有重复排列”问题.（4）2426106500000A ⨯=； （5）481258C -=； 说明：在从正方体的8个顶点中任取4个的所有种数48C 中， 排除四点共面的12种情况，即正方体表面上的6种四点共面的情况，以及如右图中ABC D ''这样的四点共面的其他 6种情况，因此三棱锥的个数为481258C -= （6）1或1-.说明：令1x =，这时(12)n x -的值就是展开式中各项系数的和，其值是1,(12)(1)1n n n n -⎧-=-=⎨⎩是奇数，是偶数2、（1）先从1，3，5中选1个数放在末位，有13A 种情况；再从除0以外的4个数中选1个数放在首位，有14A 种情况；然后将剩余的数进行全排列，有44A 种情况. 所以能组成的六位奇数个数为114344288A A A ⋅⋅=. （2）解法1：由0，1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的正整数的个数是1555A A ⋅，其中不大于201345的正整数的个数，当首位数字是2时，只有201345这1个；当首位数字是1时，有55A 个. 因此，所求的正整数的个数是155555(1)479A A A ⋅-+=. 解法2：由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的正整数中，大于201345的数分为以下几种情况：前4位数字为2013，只有201354，个数为1；同理，前3位数字为201，个数为1222A A ⋅；前2位数字为20，个数为1333A A ⋅；首位数字为2，个数为1444A A ⋅；首位数字为3，4，5中的一个，个数为1535A A ⋅；根据分类计数原理，所求的正整数的个数是12131415223344351479A A A A A A A A +⋅+⋅+⋅+⋅=. 3、（1）分别从两组平行线中各取两条平行线，便可构成一个平行四边形，所以可以构成的平行四边形个数为221(1)(1)4m n C mn m n ⋅=--； （2）分别从三组平行平面中各取两个平行平面，便可构成一个平行六面体，所以可以构成的平行六面体个数为2221(1)(1)(1)8m n l C C C mnl m n l ⋅⋅=---. 4、（1）先排不能放在最后的那道工序，有14A 种排法；再排其余的4道工序，有44A 种排法.根据分步乘法计数原理，排列加工顺序的方法共有144496A A ⋅=（种）；（2）先排不能放在最前和最后的那两道工序，有23A 种排法；再排其余的3道工序，有33A 种排法，根据分步乘法计数原理，排列加工顺序的方法共有233336A A ⋅=（种）. 5、解法1：由等比数列求和公式得33342(1)(1)(1)(1)(1)n n x x x x x x+++-+++++++=， 上述等式右边分子的两个二项式中含2x 项的系数分别是33n C +，33C ，因此它们的差23333(611)6n n n n C C +++-=，就是所求展开式中含2x 项的系数. 解法2：原式中含2x 项的系数分别是23C ，24C ，…，22n C +，因此它们的和就是所求展开式中含2x 项的系数. 与复习参考题B 组第2题同理，可得22223334233(611)6n n n n n C C C C C +++++++=-=修2—3第二章课后习题解答第二章 随机变量及其分布2．1离散型随机变量及其分布列练习（P45）1、（1）能用离散型随机变量表示. 可能的取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.（2）能用离散型随机变量表示. 可能的取值为0，1，2，3，4，5. （3）不能用离散型随机变量表示.说明：本题的目的是检验学生是否理解离散型随机变量的含义. 在（3）中，实际值与规定值之差可能的取值是在0附近的实数，既不是有限个值，也不是可数个值.2、可以举的例子很多，这里给出几个例子：例1 某公共汽车站一分钟内等车的人数；例2 某城市一年内下雨的天数；例3 一位跳水运动员在比赛时所得的分数； 例4 某人的手机在1天内接收到电话的次数.说明：本题希望学生能观察生活中的随机现象，知道哪些量是随机变量，哪些随机变量又是离散型随机变量.练习（P49）1、设该运动员一次罚球得分为X说明：这是一个两点分布的例子，没投中看作试验失败. 通过这样的例子可以使学生理解两点分布是一个很常用的概率模型，实际中大量存在. 虽然离散型随机变量的分布列可以用解析式的形式表示，但当分布列中的各个概率是以数值的形式给出时，通常用列表的方式表示分布列更为方便.2、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，其全部可能的结果为{正正，正反，反正，反反}. 正面向上次数X 是一个离散型随机变量，1(0)({})0.254P X P ====反反 2(1)({}{})0.54P X P ====正反反正 1(2)({})0.25P X P ====正正 因此X 的分布列为说明：这个离散型随机变量虽然简单，但却是帮助学生理解随机变量含义的一个很好的例子. 试验的全部可能的结果为{正正，正反，反正，反反}，随机量X 的取值范围为{0，1，2}，对应关系为正正→2 正反→1 反正→1 反反→0在这个例子中，对应于1的试验结果有两个，即“正反”和“反正”，因此用随机变量X 不能表示随机事件{正反}. 这说明对于一个具体的随机变量而言，有时它不能表示所有的随机事件.可以通过让学生们分析下面的推理过程存在的问题，进一步巩固古典概型的知识. 如果把X 所有取值看成是全体基本事件，即{0,1,2}Ω=.根据古典概型计算概率的公式有 1(1)({1})3P X P ===. 这与解答的结果相矛盾. 原因是这里的概率模型不是古典概型，因此上面式中的最后一个等号不成立. 详细解释下：虽然Ω中只含有3个基本事件，但是出现这3个基本事件不是等可能的，因此不能用古典概型计算概率的公式来计算事件发生的概率.3、设抽出的5张牌中包含A 牌的张数为X ，则X 服从超几何分布，其分布列为 5448552()i i C C P X i C -==，i =0，1，2，3，4.因此抽出的5张牌中至少3张A 的概率为(3)(3)(4)0.002P X P X P X ≥==+=≈.说明：从52张牌任意取出5张，这5张牌中包含A 的个数X 是一个离散型随机变量. 把52张牌看成是52件产品，把牌A 看成次品，则X 就成为从含有四件次品的52件产品中任意抽取5件中的次品数，因此X 服从超几何分布.本题的目的是让学生熟悉超几何分布模型，体会超几何分布在不同问题背景下的表现形式. 当让本题也可以用古典概型去解决，但不如直接用超几何分布简单. 另外，在解题中分布列是用解析式表达的，优点是书写简单，一目了然.4、两点分布的例子：掷一枚质地均匀的硬币出现正面的次数X 服从两点分布；射击一次命中目标的次数服从两点分布.超几何分布的例子：假设某鱼池中仅有鲤鱼和鲑鱼两种鱼，其中鲤鱼200条，鲑鱼40条，从鱼池中任意取出5条鱼，这5条鱼包含鲑鱼的条数X 服从超几何分布.说明：通过让学生举例子的方式，帮助学生理解这两个概率模型.习题2.1 A 组（P49）1、（1）能用离散型随机变量表示.设能遇到的红灯个数为X ，它可能的取值为0，1，2，3，4，5.事件{X ＝0}表示5个路口遇到的都不是红灯；事件{X ＝1}表示5个路口其中有1个路口遇到红灯，其他4个路口都不是红灯；事件{X ＝2}表示5个路口其中有2个路口遇到红灯，其他3个路口都不是红灯；事件{X ＝3}表示5个路口其中有3个路口遇到红灯，剩下2个路口都不是红灯；事件{X ＝4}表示5个路口其中有4个路口遇到红灯，另外1个路口都不是红灯；事件{X ＝5}表示5个路口全部都遇到红灯.（2）能用离散型随机变量表示.定义 12345X ⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩，成绩不及格，成绩及格，成绩中，成绩良，成绩优则X 是一个离散型随机变量，可能的取值为1，2，3，4，5.事件{X ＝1}表示该同学取得的成绩为不及格；事件{X ＝2}表示该同学取得的成绩为及格；事件{X ＝3}表示该同学取得的成绩为中；事件{X ＝4}表示该同学取得的成绩为良；事件{X ＝5}表示该同学取得的成绩为优.说明：本题是考查学生是否理解离散型随机变量的含义. 在（2）中，需要学生建立一个对应关系，因为随机变量的取值一定是实数，但这个对应关系不是唯一的，只要是从五个等级到实数的意义映射即可.2、某同学跑1 km 所用时间X 不是一个离散型随机变量. 如果我们只关心该同学是否能够取得优秀成绩，可以定义如下的随机变量：01km 4min 11km 4minY >⎧=⎨≤⎩，跑所用的时间，跑所用的时间 它是离散型随机变量，且仅取两个值：0或1.事件{1}Y =表示该同学跑1 km 所用时间小于等于4 min ，能够取得优秀成绩；事件{0}Y =表示该同学跑1 km 所用时间大于4 min ，不能够取得优秀成绩.说明：考查学生在一个随机现象中能否根据关心的问题不同定义不同的随机变量，以简化问题的解答. 可以与教科书中电灯泡的寿命的例子对比，基本思想是一致的.3、一般不能. 比如掷一枚质地均匀的硬币两次，用随机变量X 表示出现正面的次数，则不能用随机变量X 表示随机事件{第1次出现正面且第2次出现反面}和{第1次出现反面且第2次出现正面}. 因为{X ＝1}＝{第1次出现正面且第2次出现反面}∪{第1次出现反面且第2次出现正面}，所以这两个事件不能分别用随机变量X 表示.说明：一个随机变量是与一个事件域相对应的，一个事件域一般是由部分事件组成，但要满足一定的条件. 对离散型随机变量，如果它取某个值是由几个随机变量组成，则这几个随机事件就不能用随机变量表示，比如从一批产品中依次取出几个产品，用X 表示取出的产品中次品的个数，这时我们不能用X 表示随机事件{第i 次取出次品，其他均为合格品}.4、不正确，因为取所有值的概率和不等于1.说明：考查学生对分布列的两个条件的理解，每个概率不小于0，其和等于1，即 （1）0i p ≥，1,2,,i n =；（2）11n i i p ==∑.5、射击成绩优秀可以用事件{X ≥8}表示，因此射击优秀的概率为P {X ≥8}＝(8)(9)(10)0.280.290.220.79P X P X P X =+=+==++=说明：本题知识点是用随机变量表示随机事件，并通过分布列计算随机事件的概率.6、用X 表示该班被选中的人数，则X 服从超几何分布，其分布列为104261030()i i C C P X i C -==， i =0，1，2，3，4. 该班恰有2名同学被选到的概率为2842610304!26!1902!2!8!18!(2)0.31230!60910!20!C C P X C ⨯⨯⨯====≈⨯. 说明：本题与49页练习的第3题类似，希望学生在不同背景下能看出超几何分布模型. 习题2.1 B 组（P49）1、（1）设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的 篇数为X ，则X 是一个离散型随机变量，它可能的 取值为0，1，2，3，且X 服从超几何分布，分布列 为即（2112(2)(2)(3)0.667263P X P X P X ≥==+==+==. 说明：本题是为了让学生熟悉超几何分布模型，并能用该模型解决实际问题.2、用X 表示所购买彩票上与选出的7个基本号码相同的号码的个数，则X 服从超几何分布，其分布列为7729736()i i C C P X i C -==， i =0，1，2，3，4，5，6，7. 至少中三等奖的概率为52617072972972977736363697(5)0.00192752C C C C C C P X C C C ≥=++=≈. 说明：与上题类似同样是用超几何分布解决实际问题，从此题的结算结果可以看出至少中三等奖的概率近似为1／1000.2．2二项分布及其应用练习（P54）1、设第1次抽到A 的事件为B ，第2次抽到A 的事件为C ，则第1次和第2次都抽到A 的事件为BC .解法1：在第1次抽到A 的条件下，扑克牌中仅剩下51张牌，其中有3张A ，所以在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为3()51P C B =. 解法2：在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为()433()()45151n BC P C B n B ⨯===⨯. 解法3：在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为43()35251()451()515251P BC P C B P B ⨯⨯===⨯⨯. 说明：解法1是利用缩小基本事件范围的方法计算条件概率，即分析在第1次抽到A 的条件下第2次抽取一张牌的随机试验的所有可能结果，利用古典概型计算概率的公式直接得到结果. 解法2实际上是在原来的基本事件范围内通过事件的计数来计算条件概率. 第3种方法是利用条件概率的定义来计算. 这里可以让学生体会从不同角度求解条件概率的特点.2、设第1次抽出次品的时间为B ，第2次抽出正品的事件为C ，则第1次抽出次品且第2次抽出正品的事件为BC .解法1：在第1次抽出次品的条件下，剩下的99件产品中有4件次品，所以在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为95()99P C B =. 解法2：在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为()59595()()59999n BC P C B n B ⨯===⨯. 解法3：在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为595()9510099()599()9910099P BC P C B P B ⨯⨯===⨯⨯.说明：与上题类似，可以用不同方法计算条件概率.3、例1 箱中3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3人无放回地任意抽取，在已知第一个人抽到奖券的条件下，第二个人抽到奖券的概率或第三个人抽到奖券的概率，均为条件概率，它们都是0.例2 某班有45名同学，其中20名男生，25名女生，依次从全班同学中任选两名同学代表班级参加知识竞赛，在第1名同学是女生的条件下，第2名同学也是女生的概率.说明：这样的例子很多，学生举例的过程可以帮助学生理解条件概率的含义.练习（P55）1、利用古典概型计算的公式，可以求得()0.5P A =，()0.5P B =，()0.5P C =，()0.25P AB =，()0.25P BC =，()0.25P AC =，可以验证()()()P AB P A P B =，()()()P BC P B P C =，()()()P AC P A P C =.所以根据事件相互独立的定义，有事件A 与B 相互独立，事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立.说明：本题中事件A 与B 相互独立比较显然，因为抛掷的两枚硬币之间是互不影响的. 但事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立不显然，需要利用定义验证, 从该习题可以看出，事件之间是否独立有时根据实际含义就可做出判断，但有时仅根据实际含义是不能判断，需要用独立性的定义判断.2、（1）先摸出1个白球不放回的条件下，口袋中剩下3个球，其中仅有1个白球，所以在先摸出1个白球不放回的条件下，再摸出1个白球的概率是1／3.（2）先摸出1个白球后放回的条件下，口袋中仍然有4个球，其中有2个白球，所以在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是1／2.说明：此题的目的是希望学生体会有放回摸球与无放回摸球的区别，在有放回摸球中第2次摸到白球的概率不受第1次摸球结果的影响，而在无放回摸球中第2次摸到白球的概率受第1次摸球结果的影响.3、设在元旦期间甲地降雨的事件为A ，乙地降雨的事件为B .（1）甲、乙两地都降雨的事件为AB ，所以甲、乙两地都降雨的概率为()()()0.20.30.06P AB P A P B ==⨯=（2）甲、乙两地都不降雨的事件为AB ，所以甲、乙两地都不降雨的概率为()()()0.80.70.56P AB P A P B ==⨯= （3）其中至少一个地方降雨的事件为()()()AB AB AB ，由于事件AB ，AB 和AB 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，其中至少一个地方降雨的概率为()()()0.060.20.70.80.30.44P AB P AB P AB ++=+⨯+⨯=.说明：与例3类似，利用事件独立性和概率的性质计算事件的概率，需要学生复习《数学3（必修）》中学过的概率性质.4、因为()()A AB AB =，而事件AB 与事件AB 互斥，。
(完整版)高中数学选修2-3导学案,正规模版2.1
这两种分法都不对。正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的3／4,赢了3局的拿这个钱的1／4．
《离散型随机变量的分布列》导学案
【学习目标】
1．理解离散型随机变量的分布列的两种形式；
2．理解并运用两点分布和超几何分布．
新知3：两点分布列：
0
1
称 服从；
称 为
例2在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：
（1）取到的次品数 的分布列；
（2）至少取到1件次品的概率．
变式：抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数 的分布列？
新知4：超几何分布列：
0
1
…
…
※动手试试
练1．在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率．
1在某项体能测试中，跑1km成绩在4min之内为优秀，某同学跑1km所花费的时间 是离散型随机变量吗?如果我们只关心该同学是否能够取得优秀成绩，应该如何定义随机变量？
2下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示：若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果．
（1）从学校回家要经过5个红绿灯口，可能遇到红灯的次数；
练2．盒中9个正品和3个次品零件，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，且取得正品前已取出的次品数为 ．
（1）写出 可能取的值；
（2）写出 所表示的事件
【当堂检测】
1.下列先项中不能作为随机变量的是（）．
A．投掷一枚硬币 次，正面向上的次数B．某家庭每月的电话费
【B版】人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量的分布列》导学案
2.1.2 离散型随机变量的分布列【学习要求】1．在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。
2．掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质。
【学法指导】离散型随机变量的分布列可以完全描述随机变量所刻画的随机现象，利用分布列可以计算随机变量所表示的事件的概率。
【知识要点】1．定义：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝ ，以表格的形式表示如下：此表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的 。
2．离散型随机变量的分布列的性质：（1）p i 0，i ＝1，2，3，…，n ；（2）∑ni ＝1p i ＝ 。
【问题探究】探究点一 离散型随机变量的分布列的性质问题1 对于一个随机试验，仅知道试验的可能结果是不够的，还要能把握每一个结果发生的概率。
请问抛掷一枚骰子，朝上的一面所得点数有哪些值？取每个值的概率是多少？问题2 离散型随机变量X 的分布列刻画的是一个函数关系吗？有哪些表示法？ 问题3 离散型随机变量的分布列有哪些性质？例1 设随机变量X 的分布列P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1，2，3，4，5)。
（1）求常数a 的值； （2）求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35；（3）求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X <710。
小结 离散型随机变量的分布列的性质可以帮助我们求题中参数a ，然后根据互斥事件的概率加法公式求得概率。
跟踪训练1 （1）下面是某同学求得的离散型随机变量X 的分布列：试说明该同学的计算结果是否正确。
（2）设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为①求q 的值； ②求P (ξ<0)，P (ξ≤0)。
探究点二 求离散型随机变量的分布列例2 将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列。
高中数学 人教A版 选修2-3离散型随机变量
第二章 2.1 2.1.1离散型随机变量【基础练习】1．下面给出三个变量：①2018年10月北京市下雨的天数ξ；②从学校回家要经过5个红绿灯口，可能遇到红灯的次数η；③一同学放学后到食堂就餐，到达某个窗口时已经在此排队的学生数X.其中是随机变量的是()A．②B．①③C．②③D．①②③【答案】C2．袋中有2个黑球，6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A．取到的球的个数B．取到红球的个数C．至少取到一个红球D．至少取到一个红球的概率【答案】B3．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是() A．2颗都是4点B．1颗是1点，另1颗是3点C．2颗都是2点D．1颗是1点，另一颗是3点，或者2颗都是2点【答案】D4.(2019年西安月考)抛掷两枚骰子一次，ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则ξ的所有可能的取值为( )A.0≤ξ≤5,ξ∈NB.-5≤ξ≤0,ξ∈ZC.1≤ξ≤6,ξ∈ND.-5≤ξ≤5,ξ∈Z【答案】D5．一盒乒乓球共15个，其中有4个是已用过的，在比赛时，某运动员从中随机取2个使用，比赛结束后又放回盒中，则此盒中已用过的乒乓球个数的所有可能取值是________．【答案】4,5,66．连续不断地射击某一目标，首次击中目标需要的射击次数X是一个随机变量，则X ＝4表示的试验结果是________．【答案】前3次未击中目标，第4次击中目标7．某校为学生定做校服，规定凡身高(精确到1 cm )不超过160 cm 的学生交校服费80元；凡身高超过160 cm 的学生，身高每超出1 cm 多交5元钱．若学生应交校服费为η，学生身高用ξ表示，则η和ξ是否为离散型随机变量？【解析】由于该校的每一个学生对应着唯一的身高，并且ξ取整数值，因此ξ是一个离散型随机变量．而η＝⎩⎪⎨⎪⎧80，ξ≤160，(ξ－160)×5＋80，ξ＞160，所以η也是一个离散型随机变量． 8．写出下列随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量ξ＝4所表示的随机试验的结果．(1)从10张已编号的卡片(编号从1号到10号)中任取2张(一次性取出)，被取出的卡片的较大编号为ξ；(2)某足球队在点球大战中5次点球射进的次数为ξ.【解析】(1)ξ的所有可能取值为2,3,4，…，10.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“取出的两张卡片中的较大号码为4”．基本事件有如下三种：取出的两张卡片编号分别为1和4,2和4,3和4.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“5次点球射进4个球”．【能力提升】9．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )A ．第5次击中目标B ．第5次未击中目标C ．前4次均未击中目标D ．前4次击中目标 【答案】C【解析】ξ＝5表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次，但第5次是否击中目标，就不一定，因为他只有5发子弹．故选C.10．袋中装有号码分别为1,2,3,4,5的5张卡片，从中有放回地抽2张卡片，记顺次抽出的2张卡片号码之和为X ，则“X ＝4”所表示的试验结果是( )A ．抽到4号卡片B ．抽到4张号码为1的卡片C ．第一次抽到1号，第二次抽到3号；或第一次抽到3号，第二次抽到1号D ．第一次抽到1号，第二次抽到3号；或第一次抽到3号，第二次抽到1号；或两次都抽到2号【答案】D【解析】“x ＝4”表示抽出的2张卡号码之和为4，有1＋3,3＋1,2＋2共3种情况．11．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．【答案】100，－100,300，－300【解析】由题意得，结果有4种情况，①答对3题，得300分；②答对2题，得100分；③答对1题，得－100分；④全部答错，得－300分．12．某同学的钱夹只剩有20元、10元、5元、2元和1元人民币各1张，他决定随机抽出2张．用ξ表示这两张金额之和．写出ξ的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结果．【解析】ξ的可能取值为3,6,7,11,12,15,21,22,25,30.ξ＝3表示抽到的是1元和2元；ξ＝6表示抽到的是1元和5元；ξ＝7表示抽到的是2元和5元；ξ＝11表示抽到的是1元和10元；ξ＝12表示抽到的是2元和10元；ξ＝15表示抽到的是5元和10元；ξ＝21表示抽到的是1元和20元；ξ＝22表示抽到的是2元和20元；ξ＝25表示抽到的是5元和20元；ξ＝30表示抽到的是10元和20元．。
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§2.1.1 离散型随机变量【学习要求】1．理解随机变量及离散型随机变量的含义．2．了解随机变量与函数的区别与联系．【学法指导】引进随机变量的概念，就可以用数字描述随机现象，建立连接数和随机现象的桥梁，通过随机变量和函数类比，可以更好地理解随机变量的定义，随机变量是函数概念的推广.【知识要点】1．随机试验：一般地，一个试验如果满足下列条件：（1）试验可以在相同的情形下重复进行；（2）试验所有可能的结果是明确的，并且不只一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个．这种试验就是一个随机试验．2．随机变量：在随机试验中，随着变化而变化的变量称为随机变量．3．离散型随机变量：所有取值可以的随机变量，称为离散型随机变量.【问题探究】探究点一随机变量的概念问题1掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？问题2随机变量和函数有类似的地方吗？例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．（1）上海国际机场候机室中2013年10月1日的旅客数量；（2）2013年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间；（3）2013年某天收看齐鲁电视台《拉呱》节目的人数；（4）体积为1 000 cm3的球的半径长．小结随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．跟踪训练1指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．（1）某人射击一次命中的环数；（2）任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；（3）投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值；（4）某个人的属相．探究点二离散型随机变量的判定问题1什么是离散型随机变量？问题2非离散型随机变量和离散型随机变量有什么区别？例2①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；③一天内的温度为ξ；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是()A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④小结该题主要考查离散型随机变量的定义，判断时要紧扣定义，看是否能一一列出．跟踪训练2指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．（1）白炽灯的寿命ξ；（2）某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；（3）江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ；（4）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数．探究点三离散型随机变量的应用例3（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ.写出随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．（2）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是什么？小结解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．跟踪训练3下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果．（1）盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ，所含红粉笔的支数η.（2）从4张已编有1～4的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和ξ.（3）离开天安门的距离η.（4）袋中有大小完全相同的红球5个，白球4个，从袋中任意取出一球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取球次数ξ.【当堂检测】1．下列变量中，不是随机变量的是()A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率3．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是()A．2枚都是4点B．1枚是1点，另1枚是3点C．2枚都是2点D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点4．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出2个球，以ξ表示取出的球的最大号码，则“ξ＝6”表示的试验结果是___________________．【课堂小结】1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．2．写随机变量表示的结果，要看三个特征：（1）可用数来表示；（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值；（3）在试验之前不能确定取值.【课后作业】一、基础过关1．袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是() A．取到的球的个数B．取到红球的个数C．至少取到一个红球D．至少取到一个红球的概率2．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；③测量一批电阻，在950 Ω～1 200 Ω之间的阻值记为X；④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机变量的是()A．①②B．①③C．①④D．①②④3．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是()A．5 B．9C．10 D．254．某人射击的命中率为p(0<p<1)，他向一目标射击，当第一次射中目标则停止射击，射击次数的取值是()A．1,2,3，…，n B．1,2,3，…，n，…C．0,1,2，…，n D．0,1,2，…，n，…5．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是()A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．第4次击中目标6．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．二、能力提升7．如果X是一个离散型随机变量且η＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么η() A．不一定是随机变量B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量C．一定是连续型随机变量D．一定是离散型随机变量8．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为ξ，则ξ＝3表示的试验结果是__________________9．在一次考试中，某位同学需回答三个问题，考试规则如下：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．10．一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码的次数为X，随机变量X的可能值有________个．11．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．12．某车间两天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内总得分为ξ，写出ξ的可能取值．三、探究与拓展13．小王钱夹中只剩有20元、10元、5元、2元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张金额之和．写出X的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结果§2.1.2离散型随机变量的分布列(一)【学习要求】1．在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念．认识分布列对于刻画随机现象的重要性．2．掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．【学法指导】离散型随机变量的分布列可以完全描述随机变量所刻画的随机现象，利用分布列可以计算随机变量所表示的事件的概率.【知识要点】1．定义：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i (i＝1,2，…，n)的概率此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的．2．离散型随机变量的分布列的性质：（1）p i 0，i ＝1,2,3，…，n ；（2）∑ni ＝1p i ＝ .【问题探究】探究点一 离散型随机变量的分布列的性质问题1 对于一个随机试验，仅知道试验的可能结果是不够的，还要能把握每一个结果发生的概率．请问抛掷一枚骰子，朝上的一面所得点数有哪些值？取每个值的概率是多少？问题2 离散型随机变量X 的分布列刻画的是一个函数关系吗？有哪些表示法？ 问题3 离散型随机变量的分布列有哪些性质？例1 设随机变量X 的分布列P ⎝⎛⎭⎫X ＝k5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)． （1）求常数a 的值； （2）求P ⎝⎛⎭⎫X ≥35； （3）求P ⎝⎛⎭⎫110<X <710. 小结 离散型随机变量的分布列的性质可以帮助我们求题中参数a ，然后根据互斥事件的概率加法公式求得概率．跟踪训练1 （1试说明该同学的计算结果是否正确．（2）设ξ①求q 的值；②求P (ξ<0)，P (ξ≤0)．探究点二 求离散型随机变量的分布列例2 将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．小结 （1）求离散型随机变量的分布列关键是搞清离散型随机变量X 取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X 取每个值的概率，最后列出分布列．（2）求离散型随机变量X 的分布列的步骤是：首先确定X 的所有可能的取值；其次，求相应的概率P (X ＝x i )＝p i ；最后列成表格的形式．跟踪训练2 将一颗骰子掷2次，求下列随机事件的分布列． （1）两次掷出的最小点数Y ；（2）第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差ξ.【当堂检测】1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是( )ABCD2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a ⎝⎛⎭⎫13i，i ＝1,2,3，则a 的值为 ( ) A ．1B ．913C ．2713D ．11133．将一枚硬币扔三次，设X 为正面向上的次数，则P (0<X <3)＝________.4．一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列．【课堂小结】1．离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．2．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.【课后作业】一、基础过关1．若随机变量X( )A ．1B ．12C ．13D ．162．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝m ⎝⎛⎭⎫23k，k ＝1,2,3，则m 的值为( )A ．1718B ．2738C ．1719D ．27193．抛掷2颗骰子，所得点数之和ξ是一个随机变量，则P (ξ≤4)等于( ) A ．16 B ．13 C ．12D ．234．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为( )A ．1,2,3，…，6B ．1,2,3，…，7C ．0,1,2，…，5D ．1,2，…，5 5．随机变量ξ的所有可能取值为1,2，…，n ，若P (ξ<4)＝0.3，则 ( ) A ．n ＝3B ．n ＝4C ．n ＝10D ．不能确定6．抛掷两次骰子，两次点数的和不等于8的概率为 ( )A ．1112B ．3136C ．536D ．1127．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝Ck (k ＋1)，k ＝1,2,3，C 为常数，则P (0.5<X <2.5)＝________.二、能力提升8．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤0，13B ．⎣⎡⎦⎤－13，13C ．[－3,3]D ．[0,1]9．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为( )A ．1220B ．2755C ．27220D ．212510．盒中装有大小相等的10个球，编号分别是0,1,2，…，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一，求其概率分布列．11．已知随机变量ξ（1）求η1＝12ξ的分布列；（2）求η2＝ξ2的分布列．12．从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，取出的卡片号码数之和为X .求随机变量X 的分布列．三、探究与拓展13．安排四名大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每名大学生去任何一所学校是等可能的．（1）求四名大学生中恰有两人去A 校支教的概率； （2）设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．§2.1.2 离散型随机变量的分布列(二)【学习要求】1．进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.2．理解两点分布和超几何分布．【学法指导】两点分布是常见的离散型随机变量的概率分布，如某队员在比赛中能否胜出，某项科学试验是否成功，都可用两点分布来研究．在产品抽样检验中，一般采用不放回抽样，则抽到次品数服从超几何分布；在实际工作中，计算次品数为k 的概率，由于涉及产品总数，计算比较复杂，因而，当产品数较大时，可用后面即将学到的二项分布来代替．【知识要点】1则称离散型随机变量X 服从2．一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN，k ＝0,1,2，…，m ，其中*为 ．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从【问题探究】探究点一 两点分布问题1 利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？问题2 只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？例1 袋中有红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X ，才能使X 满足两点分布，并求分布列．小结 两点分布中只有两个对应的结果，因此在解答此类问题时，应先分析变量是否满足两点分布的条件，然后借助概率的知识，给予解决．跟踪训练1 设某项试验成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于 ( ) A ．0B ．12C ．13D ．23探究点二 超几何分布问题 超几何分布适合解决什么样的概率问题？例2 从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回任取3 件，求取得次品数为ξ的分布列．跟踪训练2 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X 表示其中的男生人数． （1）求X 的分布列；（2）求至少有2名男生参加数学竞赛的概率． 探究点三 实际应用例3 在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从这10张中任抽2张，求： （1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列．小结 此类题目中涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等，分析题意，判断其中的随机变量是否服从超几何分布是解决此类题目的关键． 跟踪训练3 交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．【当堂检测】1．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为 ( ) A ．C 35C 350B ．C 15＋C 25＋C 35C 350 C ．1－C 345C 350D ．C 15C 25＋C 25C 145C 3502．一个箱内有9张票，其号数分别为1,2,3，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是 ( )A ．13B ．12C ．16D ．563．在掷一枚图钉的随机试验中，令X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，针尖向上0，针尖向下，如果针尖向上的概率为0.8，试写出随机变量X 的分布列为___________4．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________【课堂小结】1．两点分布两点分布是很简单的一种概率分布，两点分布的试验结果只有两种可能，要注意成功概率的值指的是哪一个量．2．超几何分布超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N 、M 和n 就可以根据公式：P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN求出X 取不同值k 时的概率．学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M 、N 、n 、k 的含义．【课后作业】一、基础过关1．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是 ( )A ．150B ．125C ．1825D ．14 9502．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为( )A ．C 34C 248C 552B ．C 348C 24C 552 C ．1－C 148C 44C 552D ．C 34C 248＋C 44C 148C 5523．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 22C 226的是 ( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2) 4．在3双皮鞋中任意抽取两只，恰为一双鞋的概率为( )A ．15B ．16C ．115D ．135．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是( )A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多有一件一等品 6．若离散型随机变量X 的分布列为：则c ＝________. 二、能力提升7．从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X 表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P (X ＝3)等于( )A ．310B ．710C ．2140D ．7408．若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝____. 9．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示)10．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：（1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列； （2）他能及格的概率．11．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．求X的分布列．三、探究与拓展12．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量X的分布列；（3）计算介于20分到40分之间的概率．§2.2.1条件概率【学习要求】1．理解条件概率的定义．2．掌握条件概率的计算方法．3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．【学法指导】理解条件概率可以以简单事例为载体，先从古典概型出发求条件概率，然后再进行推广；计算条件概率可利用公式P(B|A)＝P(AB)P(A)，也可以利用缩小样本空间的观点计算.【知识要点】1．条件概率的概念设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．P(B|A)读作发生的条件下发生的概率．2．条件概率的性质（1）P(B|A)∈．（2）如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝.【问题探究】探究点一条件概率问题13张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？问题2如果已知第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？问题3怎样计算条件概率？问题4若事件A、B互斥，则P(B|A)是多少？例1在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第1次抽到理科题的概率；（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．小结利用P(B|A)＝n ABn A解答问题的关键在于明确B中的基本事件空间已经发生了质的变化，即在A事件必然发生的前提下，B事件包含的样本点数即为事件AB包含的样本点数．跟踪训练1一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率．探究点二条件概率的性质及应用问题条件概率满足哪些性质？例2一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．小结本题条件多，所设事件多，要分清楚事件之间的关系及谁是条件，同时利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使有些条件概率的计算较为简捷，但应注意这个性质在“B与C互斥”这一前提下才成立．跟踪训练2在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．【当堂检测】1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A．18B．14C．25D．122．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为________ 3．设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是_______4．考虑恰有两个小孩的家庭．若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率．(假定生男生女为等可能)【课堂小结】1．条件概率：P(B|A)＝P(AB)P(A)＝n(AB)n(A).2．概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB发生的概率，而P(B|A)表示在缩小的样本空间ΩA中，计算B发生的概率．用古典概型公式，则P(B|A)＝AB中样本点数ΩA中样本点数，P(AB)＝AB中样本点数Ω中样本点数.【课后作业】一、基础过关1．若P (A )＝34，P (B |A )＝12，则P (AB )等于( )A ．23B ．38C ．13D ．582．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2只球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( ) A ．59 B ．110C ．35D ．253．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为( )A ．8225B ．12C ．38D ．344．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是 ( )A ．110B ．210C ．810D ．9105．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为 ( ) A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.726．有一匹叫Harry 的马，参加了100场赛马比赛，赢了20场，输了80场．在这100场比赛中，有30场是下雨天，70场是晴天．在30场下雨天的比赛中，Harry 赢了15场．如果明天下雨，Harry 参加赛马的赢率是 ( )A ．15B ．12C ．34D ．3107．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( )A ．119B ．1738C ．419D ．217二、能力提升8．一个袋中装有7个大小完全相同的球，其中4个白球，3个黄球，从中不放回地摸4次，一次摸一球，已知前两次摸得白球，则后两次也摸得白球的概率为________．9．以集合A ＝{2,4,6,7,8,11,12,13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，已知取出的一个数是12，则取出的数构成可约分数的概率是________．10．抛掷红、蓝两枚骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两枚骰子的点数之和大于8”．（1）求P (A )，P (B )，P (AB )；（2）当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两枚骰子的点数之和大于8的概率为多少？11．把外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．三、探究与拓展12．某生在一次口试中，共有10题供选择，已知该生会答其中6题，随机从中抽5题供考生回答，答对3题及格，求该生在第一题不会答的情况下及格的概率．§2.2.2 事件的相互独立性【学习要求】1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．【学法指导】相互独立事件同时发生的概率可以和条件概率对比理解，事件独立可以简化概率计算，学习中要结合实例理解.【知识要点】1．相互独立的概念设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝ ，则称事件A 与事件B 相互独立． 2．相互独立的性质如果事件A 与B 相互独立，那么A 与 ， 与B ， 与 也都相互独立．【问题探究】探究点一 相互独立事件的概念问题1 3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B 为“第三名同学抽到中奖奖券”，事件A 的发生是否会影响B 发生的概率？问题2 在问题1中求P (A )、P (B )及P (AB )，观察它们有何关系？总结相互独立事件的定义． 问题3 互斥事件与相互独立事件有什么区别？问题4 若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立，如何证明？例1 (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，则事件A 与事件B ( )A ．相互独立但不互斥B ．互斥但不相互独立C ．相互独立且互斥D ．既不相互独立也不互斥（2）掷一颗骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是 ( )A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥。