离散型随机变量的均值导学案(已修改)
高中数学 2.3.1离散型随机变量的均值教案 新人教版选修2-3最新修正版
§2．3离散型随机变量的均值与方差 §2．3．1离散型随机变量的均值教学目标： 知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望． 过程与方法：理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξB （n,p ），则E ξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程：一、复习引入：1.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ 0 1… k … nPnn q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n n称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 为参数，并记kn k k n q p C -＝b(k ；n ，p)．二、讲解新课：根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望根据射手射击所得环数ξ的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有n n P 02.0)4(=⨯=ξ 次得4环；n n P 04.0)5(=⨯=ξ 次得5环；…………n n P 22.0)10(=⨯=ξ 次得10环．故在n 次射击的总环数大约为+⨯⨯n 02.04++⨯⨯ n 04.05n ⨯⨯22.010+⨯=02.04(++⨯ 04.05n ⨯⨯)22.010，从而，预计n 次射击的平均环数约为+⨯02.04++⨯ 04.0532.822.010=⨯．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个)(i P =ξ（i=0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数:+=⨯)0(0ξP +=⨯)1(1ξP …)10(10=⨯+ξP ．1. 均值或数学期望:一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望．2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值4. 均值或期望的一个性质:若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …+++n n p b ax )(… ＝+11(p x a +22p x …++n n p x …)++1(p b +2p …++n p …) ＝b aE +ξ，由此，我们得到了期望的一个性质:b aE b a E +=+ξξ)( 5.若ξB （n,p ），则E ξ=np证明如下：∵ kn k k n k n k k n q p C p p C k P --=-==)1()(ξ， ∴ =ξE 0×n n q p C 00＋1×111-n n q p C ＋2×222-n n q p C ＋…＋k ×k n k k n q p C -＋…＋n ×0q p C n n n ．又∵ 11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅=k n kn nC k n k n n k n k n k kC ，∴=ξE (np 001n n C pq --＋2111--n n q p C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0111q pC n n n ---np q p np n =+=-1)(． 故 若ξ～B(n ，p)，则=ξE np ．三、讲解范例：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望解：因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ， 所以.03.007.01=⨯+⨯=ξE例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是ηξ,，则ξ~ B （20,0.9）,)25.0,20(~B η,525.020,189.020=⨯==⨯=∴ηξE E由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η 的成绩的期望分别是：2555)(5)5(,90185)(5)5(=⨯===⨯==ηηξξE E E E例3.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数ξ的期望解：∵6,,2,1,6/1)(⋅⋅⋅===i i P ξ，6/166/126/11⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴ξE =3.5例4.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望． 解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为ξ 1 2 3 4 56P6161 61 61 61 61 所以=ξE 1×61＋2×61＋3×61＋4×61＋5×61＋6×61＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×61＝3.5．抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．四、课堂练习：1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以ξ表示取出球的最大号码，则E ξ=（ ）A ．4；B ．5；C ．4.5；D ．4.75答案：C2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望； ⑵他罚球2次的得分η的数学期望； ⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．3．设有m 升水，其中含有大肠杆菌n 个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．五、小结 ：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平； (2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ 公式E （a ξ+b ）= aE ξ+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望E ξ=np六、布置作业：练习册七、板书设计（略）八、教学反思：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ 公式E （a ξ+b ）= aE ξ+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望E ξ=np 。
高二数学(离散型随机变量的均值)学案
江苏省淮安中学高二数学《离散型随机变量的均值》学案教学目标：1、理解取有限值的离散型随机变量的均值的概念和意义； 2、能计算简单离散型随机变量的均值并能解决一些实际问题。
教学重点：离散型随机变量的均值的概念 教学难点：离散型随机变量的均值的计算 教学过程：甲、乙两人生产同一种产品，在相同条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下：如何比较甲、乙两个工人的技术？ 离散型随机变量X 的均值（数学期望）： 作用： 步骤： 性质：巩固练习：67P 1、3例1：高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同。
某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X ，求X 的数学期望。
课堂练习：67P 2例2：从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中的不合格品数，求随机变量X 的数学期望E （X ）。
课堂练习：67P 4例3：在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券一张，可获价值50元的奖品；有二等奖券三张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖。
某顾客从此10张券中任抽2张，求： （1） 该顾客中奖的概率（2） 该顾客获得的奖品总价值X （元）的概率分布列和期望E （X ）例4：已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品。
需要从中抽取出2个正品，每次取出 一个，取出后不放回，直到取出两个正品为止。
设X 为取出的个数。
求X 的分布列及E （X ）。
课堂总结：（1）离散型随机变量X 的均值的概念、求法、性质 （2）几个特殊分布的均值。
离散型随机变量的均值教案
离散型随机变量的均值教案第一章：离散型随机变量的概念1.1 离散型随机变量的定义介绍离散型随机变量的概念举例说明离散型随机变量1.2 离散型随机变量的概率分布概率分布的定义概率分布的性质概率分布的图像表示1.3 离散型随机变量的数学期望数学期望的定义数学期望的计算方法数学期望的性质第二章：离散型随机变量的均值2.1 离散型随机变量的均值的定义均值的定义均值的计算方法均值的性质2.2 离散型随机变量的均值的计算均值的计算公式均值的计算实例均值的近似计算方法均值的估计方法均值的估计误差均值的估计实例第三章：离散型随机变量的方差3.1 离散型随机变量的方差的定义方差的定义方差的计算方法方差的性质3.2 离散型随机变量的方差的计算方差的计算公式方差的计算实例方差的近似计算方法3.3 离散型随机变量的方差的估计方差的估计方法方差的估计误差方差的估计实例第四章：离散型随机变量的标准差4.1 离散型随机变量的标准差的定义标准差的定义标准差的计算方法标准差的性质标准差的计算公式标准差的计算实例标准差的近似计算方法4.3 离散型随机变量的标准差的估计标准差的估计方法标准差的估计误差标准差的估计实例第五章：离散型随机变量的均值的性质与应用5.1 离散型随机变量的均值的性质均值的线性性质均值的单调性质均值的连续性质5.2 离散型随机变量的均值的应用均值在统计推断中的应用均值在决策分析中的应用均值在概率论中的应用5.3 离散型随机变量的均值的估计的应用均值的估计在置信区间中的应用均值的估计在假设检验中的应用均值的估计在样本调查中的应用第六章：离散型随机变量均值的极限收敛性的定义收敛性的判定条件收敛性的性质6.2 大数定律与均值的极限大数定律的定义及其意义大数定律的证明方法均值的极限性质6.3 中心极限定理与均值的极限中心极限定理的定义及其意义中心极限定理的条件均值的极限应用第七章：离散型随机变量均值的变换7.1 离散型随机变量的函数随机变量函数的定义随机变量函数的性质随机变量函数的图像表示7.2 离散型随机变量均值的变换均值的变换公式均值的变换性质均值的变换应用7.3 离散型随机变量条件的均值条件概率与条件均值的概念条件均值的计算方法条件均值的应用第八章：离散型随机变量均值的推断8.1 离散型随机变量均值的估计均值的估计方法均值的估计误差均值的估计应用8.2 离散型随机变量均值的置信区间置信区间的概念置信区间的计算方法置信区间的应用8.3 离散型随机变量均值的假设检验假设检验的概念与步骤均值的假设检验方法均值的假设检验应用第九章：离散型随机变量均值的实际应用9.1 离散型随机变量均值在经济学中的应用均值在需求与供给分析中的应用均值在市场预测中的应用均值在决策分析中的应用9.2 离散型随机变量均值在工程中的应用均值在质量控制中的应用均值在信号处理中的应用均值在其他工程领域的应用9.3 离散型随机变量均值在社会科学中的应用均值在社会调查中的应用均值在心理学研究中的应用均值在其他社会科学领域的应用第十章：总结与展望10.1 离散型随机变量均值的重要性质与方法总结均值的性质与方法强调均值在概率论与统计学中的重要性10.2 离散型随机变量均值的研究进展介绍均值研究的新进展展望均值研究的发展方向10.3 离散型随机变量均值的进一步学习建议推荐进一步学习的教材与参考书鼓励学生参与实际应用与研究项目强调理论与实践相结合的学习方法重点和难点解析一、离散型随机变量的概念：理解离散型随机变量的定义及其与连续型随机变量的区别是教学的重点。
《2.3.1 离散型随机变量的均值》导学案(新部编)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.3.1 离散型随机变量的均值》导学案2【课标要求】1．理解离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值． 2．掌握离散型随机变量的均值的性质，掌握两点分布、二项分布的均值．3．会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．【核心扫描】1．离散型随机变量均值的概念与计算方法．(重点) 2．离散型随机变量均值的性质及应用．(重点、难点) 3．两点分布与二项分布的均值．(易混点)自学导引1．离散型随机变量的均值或数学期望 (1)定义：若离散型随机变量X 的分布列为：则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量 (2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)性质：如果X 为(离散型)随机变量，则Y ＝aX ＋b (其中a ，b 为常数)也是随机变量，且P (Y ＝ax i ＋b )＝P (X ＝x i )，i ＝1，2,3，…，n .E (Y )＝E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .试一试：已知随机变量ξ的分布列为则x ＝________，P 提示 x ＝1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3；P (1≤ξ<3)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝0.2＋0.3＝0.5； E (ξ)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.1＝2.1.2．两点分布与二项分布的均值试一试：若随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3，则E (X )的值为( )． A.43 B.83 C.133 D.89提示 ∵n ＝4，p ＝13，∴E (X )＝np ＝43.名师点睛1．对离散型随机变量的均值的理解随机变量的均值表示了随机变量在随机试验中取值的平均水平，又常称为随机变量的平均数．对于n 个数x 1，x 2，…，x n ，称x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )为这n 个数的平均数．从随机变量的角度看这个问题，设X 为从这n 个数中任取的一个数，则X 所有可能的取值便为x 1，x 2，…，x n ，P (X ＝x i )＝1n(i ＝1,2，…，n )，即X 的概率分布列为E (X )＝x 1·1n ＋x 2·1n ＋x 3·n ＋…＋x n ·n＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )．不难看出，均值的定义是初中所学平均数定义的推广． 2．对公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b 的理解(1)当a ＝0时，E (b )＝b ，即常数的均值就是这个常数本身．(2)当a ＝1时，E (X ＋b )＝E (X )＋b ，即随机变量X 与常数之和的均值等于X 的均值与这个常数的和．(3)当b ＝0时，E (aX )＝aE (X )，即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量均值的乘积.题型一 利用定义求离散型随机变量的均值【例1】 袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得分X 的数学期望．[思路探索] 先分析得分的所有取值情况，再求分布列，代入公式即可． 解 取出4只球颜色及得分分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此， P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135，故X 的分布列如下：∴E (X )＝5×435＋6×35＋7×35＋8×35＝7(分)．[规律方法] 求随机变量的期望关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定ξ的可能取值；(2)计算出P (ξ＝k )；(3)写出分布列；(4)利用E (ξ)的计算公式计算E (ξ)．【变式1】 在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望．解 从10件产品中任取3件，共有C 310种结果．从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k7，其中k ＝0,1,2,3.∴P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×724＋1×40＋2×40＋3×120＝10.题型二 二项分布的均值【例2】 某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这排装饰灯闪烁一次时：(1)求ξ＝2时的概率；(2)求ξ的数学期望．[思路探索] 4盏装饰灯各闪烁一次，相当于4次独立重复试验，则ξ服从二项分布，利用二项分布的概率公式求解．解 (1)依题意知：ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是23，故ξ＝2时的概率P ＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝827.(2)法一 ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，依题意知：P (ξ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫134－k(k ＝0,1,2,3,4)．∴ξ的概率分布列为：∴数学期望E (ξ)＝0×8＋1×81＋2×81＋3×81＋4×81＝3.法二 ∵ξ服从二项分布，即ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，∴E (ξ)＝4×23＝83.[规律方法] 将实际问题转化为独立重复试验的概率问题是解决二项分布问题的关键． 二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． ④随机变量ξ是这n 次独立重复试验中某事件发生的次数． 【变式2】 某运动员投篮命中率为p ＝0.6. (1)求投篮1次时命中次数X 的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望． 解 (1)投篮1次，命中次数X 的分布列如下表：则E (X )＝p ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)．则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.题型三 离散型随机变量均值的应用【例3】 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P (A )； (2)求η的分布列及期望E (η)．审题指导 (1)利用对立事件求“每位顾客都不采用1期付款”的概率，再利用P (A )＋P (A )＝1，求P (A )；(2)分别求η＝200、250、300的概率，列出η的分布列，由期望公式求期望．[规范解答] (1)由题意可知每一位顾客不采用1期付款的概率为0.6，记A 的对立事件“购买该商品的3位顾客中，都不采用1期付款”为A ，则P (A )＝0.63＝0.216，∴P (A )＝1－P (A )＝0.784.(6分)(2)由题意可知η可以取200,250,300，分布列如下∴Eη【题后反思】 解答此类题目时，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应概率．【变式3】 据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上财产被盗，保险公司赔偿a 元(a ＞100)．问a 如何确定，可使保险公司期望获利？解 设X 表示保险公司在参加保险人身上的收益， 则X 的取值为X ＝100和X ＝100－a ， 则P (X ＝100)＝0.99.P (X ＝100－a )＝0.01，所以E (X )＝0.99×100＋0.01×(100－a ) ＝100－0.01a ＞0， 所以a ＜10 000.又a ＞100，所以100＜a ＜10 000.即当a 在100和10 000之间取值时保险公司可望获利．方法技巧 化归与转化思想在求均值中的应用化归与转化思想是高中数学的重要思想，对于这种思想我们从两个角度来理解： (1)将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化归为较易问题，将未解决的问题化归为已解决的问题；(2)灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法．对于本节，化归转化思想尤为重要，我们也可通过化归转化将实际问题的解决转化为数学期望模型，用数学期望去分析和解决实际问题．【示例1】 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.记甲击中目标的次数为ξ，乙击中目标的次数为η.(1)求ξ的分布列； (2)求ξ和η的数学期望．[思路分析] 甲、乙两人各射击3次，可看作3次独立重复试验，从而将问题转化为服从二项分布的概率问题．解 (1)P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38， P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38， P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.ξ的分布列为(2)法一 由(1)可知E (ξ)＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5.法二 由题意可得ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23. ∴E (ξ)＝3×12＝32＝1.5，E (η)＝3×23＝2.【示例2】 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[思路分析] 本题考查独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和均值等基础知识，考查分类讨论思想及分析问题解决问题的能力．解 (1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A ，乙不胜B ，丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知D E F ，D E F ，D E F 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此P (ξ＝0)＝P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：因此E(ξ)方法点评对于本节内容，化归与转化思想尤为重要，我们可以通过化归转化将实际问题的解决转化为数学期望模型，运用相互独立事件、互斥事件、独立重复事件的概率求解相关问题.。
离散型随机变量的均值导学案
1 一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样 即为中奖，中奖概率为 ．甲、乙、丙
6
三位同学每人购买了一瓶该饮料． (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数ξ的分布列及均值 E(ξ)．
例 2 离散型随机变量的均值公式及性质 已知随机变量 X 的分布列为： X －2 －1 0
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12 1
试想，假如能继续比下去的话，至多再有两局必可结束。若接下来的第四 局甲胜（概率为 1/2），则甲赢得所有赌注；若乙胜，还要再比第五局，当且仅 当甲胜这一局时，甲赢得所有赌注（这两局出现此种情形的概率为 (1/2)·(1/2)=1/4 ）。若设甲的最终所得为 X ，则 P(X=100)=1/2+1/4=3/4 ， 从而甲的“期望” 所得应为 0·(1/4)+100·(3/4)=75 法郎；乙的“期望”所 得应为 100-75=25 法郎。这种方法照顾到了已赌结果，又包括了再赌下去的一种 “期望”，它自然比前两种方法都更为合理，使甲乙双方都乐于接受。这就是“数 学期望”这个名称的由来，其实这个名称改为“均值”会更形象易懂一些，对上 例而言，也就是再赌下去的话，甲“平均”可以赢 75 法郎。
预习课本 P60～63，思考并完成以下问题 1．什么是离散型随机变量的均值？怎么利用离散型随机变量的分布列求出 均值？ 2．离散型随机变量的均值有什么性质？
1．离散型随机变量的均值
(1)定义：若离散型随机变量 X 的分布列为：
X
x1
x2
…
Hale Waihona Puke xi…xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量 X 的均值或数学期望．
离散型随机变量的均值(导学案)
离散型随机变量的均值学习目标1．理解并会用数学期望来解决实际问题； 2．掌握几种分布的期望． 学习过程 一、复习复习1：甲箱子里装3个白球，2个黑球，乙箱子里装2个白球，2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，设其中白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列．复习2：某企业正常用水的概率为43，设5天内用水正常的天数为X ，求随机变量X 的分布列．二、新课导学 探究：某商场要将单价分别为18元/kg ，24元/kg ，36元/kg 的3种糖果按1:2:3的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？ 新知1：均值或数学期望：为随机变量它反映了离散型随机变量取值的 ．它与随机变量本身有相同的单位．新知2：离散型随机变量期望的性质：若b aX Y +=，其中b a ,为常数，则Y 也是随机变量，且()E aX b += ． 特别的，（1）0a =时，()E b = ；（2）当1a =时，()E X b += ． （3）当0b =时，()E aX = ． 注意：随机变量的均值与样本的平均值的：区别：随机变量的均值是 ，而样本的平均值是 ； 联系：对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越 总体均值． 三. 典型例题例1在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X 的均值是多少？练习1：抛掷1枚硬币 ，规定正面向上得1分，反面向上得1-分，求得分X 的均值．新知3：几种分布的期望①若X 服从两点分布，则=EX ；②若X ～),(p n B ，则=EX ． 例2．一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分．学生甲选对任意一题的概率为9.0，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求甲学生和乙学生在这次测验中的成绩的均值 ．思考：学生甲在这次单元测试中的成绩一定会是90分吗？他的均值为90分的含义是什么？ 例3．根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为25.0，有大洪水的概率为01.0．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水 ．方案3：不采取措施，希望不发生洪水．试比较哪一种方案好．思考：根据上述结论，人们一定采取方案2吗？ 练习.课本64页 练习 4、5题 四、巩固练习1．随机变量X 2. 若随机变量X 服从二项分布B(4,3),则E (X )的值为____________ 3．已知32+=ξη，且53=ξE ，则=ηE ( ) A ．53 B ．56 C ． 521 D ． 5124.设随机变量ξ的分布列为41)(==k P ξ，4,3,2,1=k ，则ξE 的值为 ( ) ．A ．25B ．5.3C ． 25.0D ． 25．若随机变量ξ～)6.0,(n B ，且3=ξE ，则)1(=ξP 的值是（ ）．A ．44.02⨯ B ．54.02⨯ C ．44.03⨯D ．46.03⨯ 6．已知随机变量的分布列为：则= ； ；= ．7.在一次语文测试中，有道题是把我国四大文学名著《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，一位同学该题的得分为X .（1）求X 的分布列;（2）求该同学得分不少于6分的概率；（3）求X 的均值.。
高中数学选择性必修三 7 3 1离散型随机变量的均值 导学案
7.3.1离散型随机变量的均值1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质．2．会根据离散型随机变量的分布列求出均值．3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．重点：离散型随机变量的均值的意义和性质难点：用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题1. 随机变量X的均值：一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：则称E(X)=x1p1+x2p2+⋯+x i p i+⋯+x n p n为随机变量X的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.2. 两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么：E(X)＝1×p+0×(1−p)=p．3. 离散型随机变量的均值的性质：已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示.若X,Y是两个随机变量,且Y=aX+b,则有E(Y)=aE(X)+b,即随机变量X的线性函数的均值等于这个随机变量的均值E(X)的同一线性函数.特别地:(1)当a=0时,E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身.(2)当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和.(3)当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积.一、问题探究对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。
但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。
例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。
我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.探究1.甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示：如何比较他们射箭水平的高低呢？二、典例解析例1. 在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分,如果某运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值是多少?例2.抛掷一枚质地均匀的骰子,设出现的点数为X,求X的均值.求离散型随机变量X的均值的步骤：(1)理解X的实际意义，写出X全部可能取值；(2)求出X 取每个值时的概率； (3)写出X 的分布列(有时也可省略)； (4)利用定义公式E (X )=∑x i p i n i=1求出均值跟踪训练1.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X 的分布列和X 的均值．例3:猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A ，B ，C 歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示： 规则如下：按照A ，B ，C 的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额X 的分布列及均值.思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？例4.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。
离散型随机变量的均值教案
离散型随机变量的均值教案
教案标题：离散型随机变量的均值教案
教案目标：
1. 了解离散型随机变量的概念和特点；
2. 掌握计算离散型随机变量的均值的方法；
3. 能够应用离散型随机变量的均值解决实际问题。
教学准备：
1. 教材：包含离散型随机变量和均值计算的相关内容；
2. 教具：黑板、粉笔、计算器；
3. 实例：准备一些离散型随机变量的实例，以便学生理解和应用。
教学步骤：
引入：
1. 引导学生回顾随机变量的概念和分类；
2. 引导学生思考离散型随机变量与连续型随机变量的区别。
讲解：
1. 解释离散型随机变量的定义和特点，包括取值有限或可数无限、概率分布列等；
2. 介绍离散型随机变量的均值的概念，即期望值；
3. 讲解离散型随机变量均值的计算方法，包括按定义计算和利用概率分布列计算；
4. 通过实例演示计算离散型随机变量的均值。
练习：
1. 提供一些离散型随机变量的练习题，让学生独立计算均值；
2. 引导学生思考均值的意义和应用场景。
拓展：
1. 引导学生思考离散型随机变量均值的性质和特点；
2. 提供一些拓展题目，让学生进一步应用均值解决实际问题。
总结：
1. 总结离散型随机变量的概念和特点；
2. 强调离散型随机变量均值的计算方法和应用。
教学反思：
1. 教师应根据学生的实际情况和理解程度，调整教学内容和难度；
2. 教师应及时给予学生反馈和指导，帮助他们解决问题。
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离散型随机变量的均值
学习目标：理解离散型随机变量的均值的意义；
会根据离散型随机变量的分布列求出均值。
复习回顾：
1、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，写出他罚球1次的得分X的分布列。
2、同时抛掷5枚质地均匀的硬币，出现正面向上的硬币数X的分布列为__________
3、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是____________________________.
合作探究：
问题1：某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按1:2:3的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？假设混合糖果中每一颗的质量相同，混合均匀后任取一个糖果，这颗糖果的价格能否用分布列的形式表示出来？
问题2：如果你知道了一个离散型随机变量的分布列：
该随机变量的平均取值应该怎样计算？
自主学习：阅读教材p61页第八行至p62页例2前，完成下列问题：
．
2、设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．
则EY=______________________
3、一般地，如果随机变量X服从两点分布，则
4、一般地，如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则典例分析
例1、随机变量ξ的分布列是：
(1)求Eξ
(2)若η=2ξ+1，求Eη
.
_________
=
EX
.
_________
=
EX
例2、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；
（1）求他得到的分数X的分布列；
（2）求X的期望。
例3、一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
课堂小结：
达标练习：
1、一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是.
Eξ=7.5,则a= b= .
课后思考2：
彩球游戏准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：
6个全红赢得100元
5红1白赢得50元
4红2白赢得20元你动心了吗?
3红3白输100元
2红4白赢得20元
1红5白赢得50元
6个全白赢得100元。