第2章 信道模型及信道容量
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信息论第2章 信道模型及信道容量资料
信息论
Information Theory
王逸林
哈尔滨工程大学 2013
Tel: 82519503 E-mail: wangyilin@
第2章 信道模型及信道容量
2.1 2.2 1.3 1.4 1.5 1.6 信道的数学模型及分类 信道传输的平均互信息 平均信息量 消息序列的熵 连续信源的信息度量 信源的相关性和剩余度
明线 对称平衡电缆（市内） 固体介质电缆小同轴（长途） 有线信道 中同轴（长途） 波导 混合介质 光缆 长波 中波 1 传输媒介类型 短波 超短波 移动 空气介质 视距接力 微波 对流层 散射 电离层 卫星 光波
b1 bs 输出 [P]
输入 a1 p(b1 / a1 ) p(bs / a1 ) ar p(b1 / ar ) p(bs / ar )
单符号信道的数学模型：
{ X , p( y / x),Y }
单维离散信道的数学模型
输入输出的联合概率为：
2.1.2 离散信道的数学模型
X
X ( X 1 , X 2 ,...X N )
信道
Y
p( y / x )
Y = (Y1 , Y2 ,...YM )
涉及输入和输出两个随机过程，其之间统计依 赖关系由条件概率 p( y / x )来描述.
包含了信道噪声与干扰的影响 反映了信道的统计特性
以太？
信道的分类
工程物理背景——传输媒介类型； 数学描述方式——信号与干扰描述方式； 信道本身的参数类型——恒参与变参； 用户类型——单用户与多用户； 输入、输出随机变量的个数 ——单符号信道与多符号信道。
Information Theory
王逸林
哈尔滨工程大学 2013
Tel: 82519503 E-mail: wangyilin@
第2章 信道模型及信道容量
2.1 2.2 1.3 1.4 1.5 1.6 信道的数学模型及分类 信道传输的平均互信息 平均信息量 消息序列的熵 连续信源的信息度量 信源的相关性和剩余度
明线 对称平衡电缆（市内） 固体介质电缆小同轴（长途） 有线信道 中同轴（长途） 波导 混合介质 光缆 长波 中波 1 传输媒介类型 短波 超短波 移动 空气介质 视距接力 微波 对流层 散射 电离层 卫星 光波
b1 bs 输出 [P]
输入 a1 p(b1 / a1 ) p(bs / a1 ) ar p(b1 / ar ) p(bs / ar )
单符号信道的数学模型：
{ X , p( y / x),Y }
单维离散信道的数学模型
输入输出的联合概率为：
2.1.2 离散信道的数学模型
X
X ( X 1 , X 2 ,...X N )
信道
Y
p( y / x )
Y = (Y1 , Y2 ,...YM )
涉及输入和输出两个随机过程，其之间统计依 赖关系由条件概率 p( y / x )来描述.
包含了信道噪声与干扰的影响 反映了信道的统计特性
以太？
信道的分类
工程物理背景——传输媒介类型； 数学描述方式——信号与干扰描述方式； 信道本身的参数类型——恒参与变参； 用户类型——单用户与多用户； 输入、输出随机变量的个数 ——单符号信道与多符号信道。
第二章 信道
第二章信道信号传输必须经过信道。
信道是任何一个通信系统必不可少的组成部分，信道特性将直接影响通信的质量。
研究信道和噪声的目的是为了提高传输的有效性和可靠性。
2.1 信道的定义和分类它可以分为狭义信道和广义信道。
1．狭义信道：仅只信号的传输媒质。
例如架空明线、电缆、光纤、波导、电磁波等等。
2．广义信道：除了传输媒介外，还包括有关的部件和电路，如天线与馈线、功率放大器、滤波器、混频器、调制器与解调器等等。
在模拟通信系统中，主要是研究调制和解调的基本原理，其传输信道可以用调制信道来定义。
调制信道的范围是从调制器的输出端到解调器的输入端。
在数字通信系统中，我们用编码信道来定义。
编码信道的范围是从编码器的输出端至译码器的输入端。
调制信道和编码信道的划分如图所示。
无论何种信道，传输媒质是主要的。
通信质量的好坏，主要取决于传输媒质的特性。
2.2 信道模型一、 信道模型1．调制信道模型 调制信道具有以下特性：(1) 它们具有一对(或多对)输入端和一对(或多对)输出端。
(2) 绝大多数的信道是线性的，即满足叠加原理。
(3) 信道具有衰减(或增益)频率特性和相移(或延时)频率特性。
(4) 即使没有信号输入，在信道的输出端仍有一定的功率输出(噪声)。
因此，调制信道可以看成一个输出端叠加有噪声的时变线性网络，如图所示。
网络的输入与输出之间的关系可以表示为，式中，e i (t)是输入的已调信号，e 0(t)是信道的输出，n(t)为加性噪声(或称加性干扰)，它与e i (t)不发生依赖关系。
f [e i (t)]由网络的特性确定，它表示信号通过网络时，输出信号与输入信号之间建立的某种函数关系。
作为数学上的一种简洁，令f[e i (t)]=k(t)*e i (t)。
其中，k(t)依赖于网络特性，它对e i (t)来说是一种乘性干扰。
因此上式可以写成)()()()()]([)(t n t e t K t n t e f t e +=+=e i)(])([)(0t n t e f t e i +=讨论：（1）调制信道对信号的干扰有两种：乘性干扰k(t)和加性干扰n(t)。
通信原理第2章习题解答
习题解答2-1、什么是调制信道？什么是编码信道？说明调制信道和编码信道的关系。
答：所谓调制信道是指从调制器输出端到解调器输入端的部分。
从调制和解调的角度来看，调制器输出端到解调器输入端的所有变换装置及传输媒质，不论其过程如何，只不过是对已调制信号进行某种变换。
所谓编码信道是指编码器输出端到译码器输入端的部分。
从编译码的角度看来，编码器的输出是某一数字序列，而译码器的输入同样也是某一数字序列，它们可能是不同的数字序列。
因此，从编码器输出端到译码器输入端，可以用一个对数字序列进行变换的方框来概括。
根据调制信道和编码信道的定义可知，编码信道包含调制信道，因而编码信道的特性也依赖调制信道的特性。
2-2、什么是恒参信道？什么是随参信道？目前常见的信道中，哪些属于恒参信道？哪些属于随参信道？答：信道参数随时间缓慢变化或不变化的信道叫恒参信道。
通常将架空明线、电缆、光纤、超短波及微波视距传输、卫星中继等视为恒参信道。
信道参数随时间随机变化的信道叫随参信道。
短波电离层反射信道、各种散射信道、超短波移动通信信道等为随参信道。
2-3、设一恒参信道的幅频特性和相频特性分别为：其中，0K 和d t 都是常数。
试确定信号)(t s 通过该信道后的输出信号的时域表示式，并讨论之。
解：传输函数d t j je K e H H ωωϕωω-==0)()()(冲激响应)()(0d t t K t h -=δ输出信号)()()()(0d t t s K t h t s t y -=*=结论：该恒参信道满足无失真条件，故信号在传输过程中无失真。
2-4、设某恒参信道的传输特性为d t j eT H ωωω-+=]cos 1[)(0，其中，d t 为常数。
试确定信号)(t s 通过该信道后的输出信号表达式，并讨论之。
解：输出信号为： dt K H ωωϕω-==)()(0)(21)(21)()(2121)(21]cos 1[)(00)()(00000T t t T t t t t t h e e e e e e e e T H d d d T t j T t j t j t j T j T j t j t j d d d d d d --++-+-=++=++=+=+--------δδδωωωωωωωωωω讨论：此信道的幅频特性为0cos 1)(T H ωω+=，相频特性为ωωϕd t -=)(，相频特性与ω成正比，无想频失真；K H ≠)(ω，有幅频失真，所以输出信号的失真是由信道的幅频失真引起的，或者说信号通过此信道只产生幅频失真。
信道容量PPT课件
• I（X;Y）＝H（y）-H（Y/X）
p( y j ) ln p( y j ) p( xi ) p( y j / xi ) ln p( y j / xi )
j i j
(0.3 0.2 ) ln(0.3 0.2 ) (0.5 0.2 ) ln(0.5 0.2 ) 0.5 ln 0.5 0.3 ln 0.3
i
说明:
• (1) 两个公式
p( y j ) p(Y y j ) p( xi ) p( y j / xi )
i 0 q 1
I ( X ;Y ) p( xi ) p( y j / xi ) log
i 0 j 0
q 1 Q1
p( y j / xi ) p( y j )
0.3 0.2 0.5 0.3(1 ) 0.5(1 ) 0.2(1 )
由
p( y j ) xi y j 得
i
p(y1)=0.5 +0.3(1- )=0.3+0.2 p(y2)=0.3 +0.5(1- )=0.5-0.2 p(y3)=0.2 +0.2(1- )=0.2 其中p（y3）恒定，与xi的分布无关。
3)当X和Y统计独立时，接收的Y完全与发送 说明损失的信息达到与输人符号信息熵相等
的程度。可得I（X;Y）=0或C＝0，即信道
的X无关，此时P=0.5及H（X/Y）=H（X），
上没能传送任何信息。
（3）准对称DMC信道的容量
• 什么叫准对称DMC信道? 如果转移概率矩阵P是输入对称而输出不对 称，即转移矩阵P的每一行都包含同样的元素 而各列的元素可以不同，则称该矩阵是准对称 DMC信道。 例如，矩阵
信道与信道容量
1.6.2 信道容量
根据香农信息论，对于连续信道，如果信道带宽为B， 并且受到加性高斯白噪声的干扰，则信道容量的理论公式为
C=B㏒2（1+S/N）（b/s） 式中。 N为白噪声的平均功率； S是信号的平均功率； S/N 为信噪比。信道容量C是指信道可能传输的最大信息速率 （即信道能达到的最大传输能力）。虽然上式是在一定条件 下获得的（要求输入信号也为高斯信号才能实现上述可能 性），但对其他情况也可作为近似式使用。
例1 已知彩色电视图象由5ⅹ105个像素组成。设每个像素有 64种彩色度，每种彩色度有16个亮度等级。设所有彩色度和 亮度等级的组合机会均等，并统计独立。（1）试计算每秒 传送100个画面所需信道容量；（2）如果接受机信噪比为 30dB，为了传送彩色图象所需信道带宽为多少？
例2 设有一个图像要在电话线路中实现传真传输。大约要传输2.25ⅹ106个 像素，每个像素有12个亮度等级。假设所有亮度等级都是等概率的，电 话电路具有3kHz带宽和30dB信噪比。试求在该标准电话线路上传输一 张传真图片需要的最小时间。
在数字通信系统中，如果仅研究编码和解码问题， 可得到另一种广义信道---编码信道。编码信道的范围是 从编码器输出端至解码器输入端。这是因为从编码和解 码角度来看，编码器是把信源产生的消息信号转化为数 字信号。反之，解码器是将数字信号恢复原来的消息信 号；而编码器输出端至解码器输入端之间的一切环节只 是起了传输数字信号的作用，所以可以把它看成一个整 体---编码信道。当然，根据研究问题的不同，还可以定 义其他广义信道。
解： Rb = RBN㏒2N
RBN= Rb／×106 / 29.9 ×103=0.269 ×103s=4.5min
例3 已知八进制数字信号的传输速率为1600波 特。试问变换成二进制数字信号时的传输速率为多 少？ 解： Rb = RBN㏒2N = 1600× ㏒28 = 4800 b/s
第二章 无线信道模型 (一)
[式 6]
CE SHU Feng 31
自由空间传播模型
Friis自由空间模型仅当d为发射天线远场值Pr 时适用 天线的远场或Fraunhofer区定义为超过远场 距离df的地区。Fraunhofer距离定位为：
df = 2D2/λ [式 7]
D为天线的最大物理线性尺寸。
此外对于远场地区，df >> D 和 df >> λ
扩频通信
使用更宽的频带通信
CE
SHU Feng
7
基础知识 -传播
电磁波
易于产生 传播距离远 能穿过建筑物 可用于室内和室外通信 全方向传播 高频电磁波（超过100MHz）通过抛物面天线发射可 集中在较窄的方向上 电磁波的特性与频率有关
低频下，能绕过障碍物，但能量随着距离的增加急剧衰落 高频下，近似于直线传播，遇到障碍物发生反射（能量可 被雨水吸收） 收到其他发射机发出的电磁波的干扰
CE
SHU Feng
28
自由空间传播模型
天线增益与它的有效截面积Ae有关：
G = 4pAe / λ2
有效截面积Ae与天线的物理尺寸相关 λ = c/f = 2pc / wc f 为载频，单位Hz wc 为载频，单位rad/s c 为光速，单位m/s [式 3]
[式 2]
λ 则与载频相关：
CE
SHU Feng
CE
SHU Feng
32
自由空间传播模型——参考距离d0
显然，公式1不包括d=0的情况 为此，大尺度传播模型使用近地距离d0作为接收 功率的参考点
d0 >= df d0 小于移动通信系统中所有的实际距离
当d > d0时，接收功率Pr(d)与d0的Pr(d0)相关 当距离大于d0时，自由空间中的接收功率为：
通信原理-第2章 信道与噪声
一、狭义信道和广义信道
1、狭义信道 、 (1) 狭义信道被定义为发送设备和接收设备之间用 以传输信号的传输媒质。 以传输信号的传输媒质。 (2) 狭义信道分为有线信道和无线信道两类。 两类。 狭义信道分为有线信道和无线信道两类 有线信道 2、广义信道 、 (1) 将信道的范围扩大为：除了传输媒质，还包 将信道的范围扩大为：除了传输媒质， 括有关的部件和电路。 括有关的部件和电路。这种范围扩大了的信道为广 义信道。 义信道。
Y
x1
y1
x2
y2
y3
y4
xL
多进制无记忆编码信道模型
yM
（4）当信道转移概率矩阵中的行和各列分别具有相 ）当信道转移概率矩阵中的行和各列分别具有相 对称信道。 同集合的元素时 这类信道称为对称信道 同集合的元素时，这类信道称为对称信道。
p 1 − p P ( yi / xi ) = p 1 − p
11/66
（5）依据乘性噪声对信号的影响是否随时间变化而 依据乘性噪声对信号的影响是否随时间变化而 乘性噪声对信号的影响是否随时间变化 将信道分为恒参信道和随参信道。 将信道分为恒参信道和随参信道。
v i (t)
H(ω , t )
⊕
n(t)
v 0 (t)
v i (t)
H(ω )
⊕
n(t)
v 0 (t)
2.2
信道模型
信道可用一个时变线性网络来等效
V0(t) = f [V(t)]+n(t) i V(t)输 的 调 号 V0(t)信 总 出 形 i 入 已 信 ， 道 输 波 n(t)加 噪 ； 性 声 f [V(t)]表 已 信 经 信 所 生 时 线 变 i 示 调 号 过 道 发 的 变 性 换
第二章 信道模型
线性时变 滤波器
+ r(t) = c(t,τ )∗si (t) + n(t)
器c(t)
n(t)
n(t)
c(t,τ)
n(t)
加性高斯噪声信道模型
带有加性噪声的线性滤 波器信道模型
带有加性噪声的线性时 5 变滤波器信道模型
国家重点实验室
2.1 信道模型
• 在无线移动通信工作环境中，电波不仅随着传播距离增加会发生弥散 损耗，并且受地形、建筑物的遮蔽影响将产生“阴影效应”；
• 这就是电波传播的路径损耗预测问题，又称为信号中值预 测。信号的中值是指长区间中值。
21
国家重点实验室 Okumura（奥村）模型
Okumura（奥村）模型提供的数据较齐全，应用较广泛， 适用于VHF和UHF频段。
Okumura模型的特点是：
¾ 以准平坦地形大城市地区的场强中值或路径损耗作为基准， ¾ 对于不同的传播环境和地形条件等因素用校正因子加以修正。
Solution: dc = 4ht hr / λ = 800m for the urban microcell and
dc = 4ht hr / λ = 160m for the indoor system.
合适？
14
国家重点实验室
一、信道基本特性
A cell radius of 800 m in an urban microcell system is a bit large: urban microcells today are on the order of 100 m to maintain large capacity.
15
国家重点实验室
信道基本特性
β=2 π / λ
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单符号信道的数学模型：
{ X , p( y / x), Y }
单维离散信道的数学模型
输入输出的联合概率为：
p(b j ai ) p(ai ) p(b j / ai ) p(bi ) p(a j / bi )
P ( ai )
称作输入概率/先验概率
P(b j / ai ) 称作前向概率 P(ai / b j ) 称作后向概率/后验概率
信道
Y
p( y / x )
Y = (Y1 , Y2 ,...YM )
涉及输入和输出两个随机过程，其之间统计依 赖关系由条件概率 p( y / x )来描述.
包含了信道噪声与干扰的影响 反映了信道的统计特性
单维离散信道的数学模型
X a1 , P( x) p , 1 a2 , , p2 , , ar 输入 pr 干扰
§2.3 离散信道的信道容量
信息传输率：表征平均每个符号通过信道所传输的信息量。 由于平均互信息代表了信道传输过去的那部分信源信息， 因此传信率数值上就应该等于信道的平均互信息。
R I ( X ; Y ) H ( X ) H ( X / Y )比特 / 符号
有时需要了解信道在单位时间内平均传输的信息量，记作：
§2.1 信道的数学模型及分类
什么是信道？
是传送信息的载体——信号所通过的通道。
信源 信道 信宿
噪声
输出信号产生错误和失真
图2.1 通信系统的简化模型
信道的输入输出信号之间一般不是确定的函数 关系，而是统计依赖的关系！
信道的作用
在信息系统中信道主要用于传输与存储信 息，而在通信系统中则主要用于传输。
p(b
j 1
s
j
/ ai ) 1
当输入为ai时，输出一定是bj中的一个
单维离散信道的数学模型
信道转移矩阵：
b1 bs 输出 [P]
输入 a1 p (b1 / a1 ) ar p (b1 / ar )
p (bs / a1 ) p (bs / ar )
I ( X ;Y ) H ( X )
信道的疑义度总大于零，所以平均互信息量总小于 熵。也就是说当信道的信息传输没损失时，接收信 息量等于信源输出符号平均信息量。
3. 平均交互信息量的交互性
I ( X ; Y ) I (Y ; X )
证明： p(ai b j ) p(b j ai )
I ( X ; Y ) p(ai b j ) log
Rt I ( X ; Y ) / t ( H ( X ) H ( X / Y ))/t比特/秒
信道容量
信道对于一切可能的概率分布而言能够传送 的最大熵速率。
C max{I ( X ; Y )}
p( X )
理论上能传输的最大(有用)信息量 最大信息传输率
定理2.1 在信道转移概率 p( y / x) 给定的条件下，平 均互信息 I ( X ; Y ) 是输入信源概率分布 p( x) 的 型 凸函数。 因此总存在某种信源分布P（x）能使得传信率最大。
互信息量： 先验的不确定性减去尚存在的不确定性。就是收信 者收到的信息量，称为互信息量。得到信息消除了 不确定性，不确定性减少就是所获得的信息量。
1 1 I (ai ; b j ) log log p(ai ) p (ai | b j ) 1 1 log log p (b j ) p(b j | ai ) log 1 1 1 log log p (b j ) p (ai ) p(ai b j )
C3离散半连续信道 C4连续半离散信道
信道的分类
工程物理背景——传输媒介类型； 数学描述方式——信号与干扰描述方式； 信道本身的参数类型——恒参与变参； 用户类型——单用户与多用户； 输入、输出随机变量的个数 ——单符号信道与多符号信道。
恒参信道（时不变信道） 3〉信道参量类型 变参信道（时变信道）
后验概率： P(ai / b j )
m
p(ai b j ) p(b j )
p(ai ) p(b j / ai )
p(a ) p(b
i 1 i
r
j
/ ai )
p(a / b ) 1
j 1 i j
当输出为bj 时，输入一定是ai中的一个
§2.2 信道传输的平均互信息
平均互信息量
称为信宿熵
H(Y/X)——散布度，噪声熵。 表示由噪声引起的不确定性的增加。
(3) I ( X ; Y )
p(a b ) log p(a ) p(b )
i 1 j 1 i j i j
r
s
p ( ai b j )
H ( X ) H (Y ) H ( XY )
联合熵
I ( X ;Y ) H ( X ) H ( X / Y ) H (Y ) H (Y / X ) H ( X ) H (Y ) H ( XY )
以太？
信道的分类
工程物理背景——传输媒介类型； 数学描述方式——信号与干扰描述方式； 信道本身的参数类型——恒参与变参； 用户类型——单用户与多用户； 输入、输出随机变量的个数 ——单符号信道与多符号信道。
离散 根据输入、输出随机信号特点： 连续 信号类型 离散信道—输入、输出随机变量均离散取值 半离散 连续信道—输入、输出随机变量均连续取值 半离散(连续)信道—一为离散，另一为连续 半连续 A B 信源 编码 媒介 译码 信宿 无干扰：干扰少到可忽 略； 无源热噪声 2〉信号与干扰类型 干扰 线性叠加干扰 有源散弹噪声 C1 脉冲噪声 干扰类型 C2 有干扰 交调 C3 C4 乘性干扰 衰落 ——连续信道； C1狭义的传输信道 码间干扰 —— C2广义的传输信道 离散信道；
i 1 r
（j=1,2,…,s)
I (ai ; b j ) log
p(ai / b j ) p(ai )
由互信息量的三种表示方式，可得到平均互 信息量相对应的三种表达形式：
(1) I ( X ; Y ) p (ai b j ) log
i 1 j 1
r
s
p(ai / b j ) p (ai )
损失熵
H(X ) H(X /Y)
称为信源熵或先验熵
H(X/Y)——称为信道疑义度，损失熵。 表示信息在有噪信道中传输所引起的信息量的减少。
(2) I ( X ; Y )
p(a b ) log
i j i 1 ) p (b j )
噪声熵
H (Y ) H (Y / X )
熵的关系
损失熵
H(XY) I(X;Y)
噪声熵
H(X/Y) H(X)
H(Y) H(Y/X)
熵的关系
损失熵
噪声熵
H(XY) H(X) H(X/Y) I(X;Y) H(Y) H(Y/X)
熵的关系
H(XY)
损失熵
H(X/Y)
H(X) H(Y) I(XY)
噪声熵
H(Y/X)
平均互信息I(X；Y)的特征：
C max{I ( X ; Y )}
p( X )
信道容量是确定的，不随输入信源的概率分布 而变化，其大小直接反映了信道质量的高低。
信道容量与输入信源的概率分布无关 只是信道转移概率的函数，只与信道统计特性有关
信道编码定理
信道编码定理 （有噪信道编码定理）即香农第二定理：
设有一离散无记忆平稳信道，其信道容量为C，输入序 列长度为L，只要待传送的信息传输率R<C，总可以找到一 种编码，当L足够长时，译码差错率Pe<ε，ε为任意大于零 的正数。反之，当R>C时，任何编码的Pe大于零。
信息论
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王逸林
哈尔滨工程大学 2013
Tel: 82519503 E-mail: wangyilin@
第2章 信道模型及信道容量
2.1 2.2 1.3 1.4 1.5 1.6 信道的数学模型及分类 信道传输的平均互信息 平均信息量 消息序列的熵 连续信源的信息度量 信源的相关性和剩余度
P (bi )
称作输出概率
单维离散信道的数学模型
输出符号概率： p(b j ) p(ai b j ) p(ai ) p(b j / ai )
i 1 i 1 r r
p (b1 ) p ( a1 ) p (b ) p(a ) 2 2 PT p ( b ) p ( a ) s r
平均互信息量的非负性 平均互信息量的极值性 平均互信息量的交互性（对称性） 平均互信息量的凸函数性
1.平均互信息量的非负性
I ( X ;Y ) 0
虽然互信息量可能为负，但平均互信息量一定为 正，除非信道输入和输出完全统计独立，所有的 信息都损失在信道里了。
2.平均互信息量的极值性
平均互信息量
当信宿Y收到某一具体符号bj(Y=bj)后，推测信 源X发符号ai的概率，已由先验概率p(ai)转变为 后验概率p(ai/bj)，从bj中获取关于输入符号的信 息量，应是互信息量I(ai ; bj)在两个概率空间X 和Y中的统计平均值：
I ( X ; Y ) p(ai b j ) I (ai ; b j )
信道
p( y / x)
b1 , b2 , , bs 输出 Y P( y ) q1 , q2 , , qs
输入信号与输出信号间是基于信道的统计依赖关系这种统计依赖关系是 通过条件概率 p( y / x) 来描述的。