【数学】数学--金陵中学、海安高级中学、南外三校2012届高三下学期联合考试_数学_
江苏省海安高级中学等三校高三数学下学期联合考试苏教版
江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2012届高三联合考试数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩B ＝ ▲ ．2．已知x 是实数，x ＋i 1－i是纯虚数，则x 的值是 ▲ ．3．根据如图所示的流程图，当输入的正整数n 的值为5时， 输出的a n 的值是 ▲ ．4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、 纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5下方的概率是 ▲ ． 5则该运动员的平均得分为 ▲ ． 6．不等式lg(－x )＜x ＋1的解集为 ▲ ．7．底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为 ▲ m 2． 8．在等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ．若数列{S n ＋12}也是等比数列，则S n 等于 ▲ ．9．已知函数f (x )＝kx 3－3(k ＋1)x 2－k 2＋1，若f (x )的单调减区间是(0，4)，则在曲线y ＝f (x )的切线中，斜率最小的切线方程是 ▲ ．10．若tan α＝3tan β，且0≤β＜α＜π2，则α－β的最大值为 ▲ ．11．过双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两0 9 1 055 2 8 3 1（第5题）（第3题）条渐近线的交点分别为B ，C ，若AB →＝12BC →，则双曲线的离心率是 ▲ ．12．△ABC 的面积为1，点D 在AC 上，DE ∥AB ，连结BD ，设△DCE 、△ABD 、△BDE 中面积最大者的值为y ，则y 的 最小值为 ▲ ． 13．在△ABC 中，若a ＝2，b －c ＝1，△ABC 的面积为3，则→AB ·→AC ＝ ▲ ．14．已知使函数f (x )＝x 3－ax 2－1(0≤a ≤M 0)存在整数零点的实数a 恰有3个，则M 0的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4．（1）若f (x )＝1，求cos(2π3－x )的值；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (B )的取值范围．16．（本小题满分14分）如图，已知BC 是半径为1的半圆O 的直径，A 是半圆周 上不同于B ，C 的点，F 为⌒AC 的中点．梯形ACDE 中，DE ∥AC ， 且AC ＝2DE ，平面ACDE ⊥平面ABC ．求证：（1）平面ABE ⊥平面ACDE ； （2）平面OFD ∥平面BAE ． 17．（本小题满分14分）如图，将边长为3的正方形ABCD 绕中心O 顺时针旋转α (0＜α＜π2)得到正方形A ′B ′C ′D ′．根据平面几何知识，有以下两个结论：①∠A ′FE ＝α；②对任意α (0＜α＜π2)，△EAL ，△EA ′F ，△GBF ，△GB ′H ，△ICH ，△IC ′J ，△KDJ ，△KD ′L 均是全等三角形．（1）设A ′E ＝x ，将x 表示为α的函数； （2）试确定α，使正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 重叠部分面积最小，并求最小面积．F E ACBDD'18．（本小题满分16分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，椭圆C 的上、下顶点分别为A 1，A 2，左、右顶点分别为B 1，B 2,左、右焦点分别为F 1，F 2．原点到直线A 2B 2的距离为255． （1）求椭圆C 的方程；（2）过原点且斜率为12的直线l ，与椭圆交于E ，F 点，试判断∠EF 2F 是锐角、直角还是钝角，并写出理由；（3）P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点,直线PA 1，PA 2，分别交x 轴于点N ，M ,若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切，切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.19．（本小题满分16分）设数列{a n }是一个公差不为零的等差数列，且a 5＝6．（1）当a 3＝3时，请在数列{a n }中找一项a m (m ＞5)，使a 3，a 5，a m 成等比数列；（2）当a 3＞1时，如果存在自然数m 1，m 2，…，m t ，…，满足5＜m 1＜m 2＜…＜m t ＜…，且a 3，a 5，a m 1，a m 2，…，a m t ，…构成一个等比数列，求a 3的一切可能值；（3）在（2）中的a 3取最小正整数值时，求证：∑t =1n3t +1m t m t ＋1＜122．20．（本小题满分16分）设f (x )是定义在[a ，b ]上的函数，用分点T ：a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]任意划分成n 个小区间，若存在常数M ，使∑i =1n|f (x i )－f (x i －1)|≤M 恒成立，则称f (x )为[a ，b ]上的有界变差函数．（1）判断函数f (x )＝x ＋cos x 在[－π，π]上是否为有界变差函数，并说明理由；（2）定义在[a ，b ]上的单调函数f (x )是否一定为有界变差函数？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；（3）若定义在[a ，b ]上的函数f (x )满足：存在常数k ，使得对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ]，| f (x 1)－f (x 2)|≤k |x 1－x 2|．证明：f (x )为[a ，b ]上的有界变差函数．江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2012届高三联合考试 数学Ⅱ（附加题）B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 3．（1）求矩阵MN ；（2）若点P 在矩阵MN 对应的变换作用下得到Q (0，1)，求点P 的坐标．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，设O 为极点，点P 为直线ρcos θ＝1与圆ρ＝2sin θ的切点，求OP 的长．D ．选修4—5：不等式选讲已知：a ，b ，c 都是正数，a ＋2b ＋3c ＝9．求证：14a ＋118b ＋1108c ≥19．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答．题卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为23，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，此时比赛结束．设各局比赛相互之间没有影响．令X 为本场比赛的局数，求X 的概率分布和数学期望． （第21－A 题）23．设P1，P2，…，P j为集合P＝{1，2，…，i}的子集，其中i，j为正整数．记a ij 为满足P1∩P2∩…∩P j＝ 的有序子集组(P1，P2，…，P j)的个数．（1）求a22的值；（2）求a ij的表达式．江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2012届高三联合考试 数学Ⅰ参考答案及评分建议说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{x |0≤x ＜1} 2．1 3． 32 4．165．18 6．{x |－1＜x ＜0} 7．3 3 8．3n－129．12x ＋y －8＝0 10．π6 11． 5 12．3－5213．134 14．[269，6316)二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、二倍角的正、余弦公式，正、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋12．…………………3分由f (x )＝1，可得sin(x 2＋π6)＝12，解法一：令θ＝x 2＋π6，则x ＝2θ－π3．cos(2π3－x )＝cos(π－2θ)＝－cos2θ＝2sin 2θ－1＝－12． …………………6分解法二：x 2＋π6＝2k π＋π6，或x 2＋π6＝2k π＋5π6，k ∈Z ．所以x ＝4k π，或x ＝4k π＋4π3，k ∈Z ． 当x ＝4k π，k ∈Z 时，cos(2π3－x )＝cos 2π3＝－12；当x ＝4k π＋4π3，k ∈Z 时，cos(2π3－x )＝cos(－2π3)＝－12； 所以cos(2π3－x )＝－12．………………… 6分（2）解法一：由a cos C ＋12c ＝b ，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b , 即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12．因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π3． (10)分所以0＜B ＜2π3，所以π6＜B 2＋π6＜π2，所以f (x )＝sin(B 2＋π6)＋12∈(1，32)． (14)分解法二：由a cos C ＋12c ＝b ，得sin A cos C ＋12sin C ＝sin B ．因为在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )，所以sin A cos C ＋12sin C ＝sin(A ＋C )，sin A cos C ＋12sin C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以12sin C ＝cos A sin C ，又因为sin C ≠0，所以cos A ＝12．因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π3． (10)分所以0＜B ＜2π3，所以π6＜B 2＋π6＜π2，所以f (x )＝sin(B 2＋π6)＋12∈(1，32)． (14)分16．本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）因为平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE ∩平面ABC ＝AC ，AB ⊂平面ABC ，又在半圆O中，AB⊥AC．所以AB⊥平面ACDE．因为AB 平面ABE，所以平面ABE⊥平面ACDE．………………… 6分（2）设线段AC 与OF 交于点M ，连结MD ．因为F 为⌒AC 的中点，所以OF ⊥AC ，M 为AC 的中点．因为AB ⊥AC ，OF ⊥AC ，所以OF ∥AB ． 又OF ⊄平面BAE ，AB ⊂平面ABE ，所以OF ∥平面BAE ． ………………… 8分 因为M 为AC 的中点，且DE ∥AC ，AC ＝2DE ，所以DE ∥AM ，且DE ＝AM ． 所以四边形AMDE 为平行四边形，所以DM ∥AE ．又DM ⊄平面BAE ，AE ⊂平面ABE ，所以DM ∥平面BAE ． ………………… 11分 又OF ∥平面BAE ，MD ∩OF ＝M ，MD ⊂平面OFD ，OF ⊂平面OFD ，所以平面OFD ∥平面BAE ． ………………… 14分 17．本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）在Rt △EA ′F 中，因为∠A ′FE ＝α，A ′E ＝x ，所以EF ＝x sin α，A ′F ＝xtan α ．由题意AE ＝A ′E ＝x ，BF ＝A ′F ＝x tan α，所以AB ＝AE ＋EF ＋BF ＝x ＋xsin α＋xtan α＝3．所以x ＝3sin α1＋sin α＋cos α，α∈(0，π2) (6)分（2）S △A ′EF ＝12•A ′E •A ′F ＝12•x •x tan α＝x22tan α＝(3sin α1＋sin α＋cos α)2•cos α2sin α＝9sin αcos α2(1＋sin α＋cos α)2． ………………… 9分令t ＝sin α＋cos α，则sin αcos α＝t 2－12．因为α∈(0，π2)，所以α＋π4∈(π4，3π4)，所以t ＝2sin(α＋π4)∈(1，2]．S △A ′EF ＝9(t 2－1)4(1＋t )2＝94(1－2t ＋1)≤94(1－22＋1)． 正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 重叠部分面积 S ＝S 正方形A ′B ′C ′D ′－4S △A ′EF ≥9－9 (1－22＋1)＝18(2－1)． 当t ＝2，即α＝π4时等号成立． (14)分F EAC B DM答：当α＝π4时，正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 重叠部分面积最小，最小值为18(2－1)．18．本题主要考查椭圆的标准方程及简单性质、平面向量的坐标运算及直线和圆等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分16分． （1）因为椭圆C 的离心率e ＝32， 故设a ＝2m ，c ＝3m ，则b ＝m ． 直线A 2B 2方程为 bx －ay －ab ＝0，即mx －2my －2m 2＝0． 所以2m2m 2＋4m 2＝255，解得m ＝1．所以 a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 24＋y 2＝1． ………………… 5分（2）由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ，得E (2，22)，F (－2，－22)． 又F 2(3，0)，所以F 2E →＝(2－3，22)，F 2F →＝(－2－3，－22)，所以F 2E →·F 2F →＝(2－3)×(－2－3)＋22×(－22)＝12＞0．所以∠EF 2F 是锐角． ………………… 10分 （3）由（1）可知A 1(0，1) A 2(0，－1),设P (x 0，y 0), 直线PA 1：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0,得x N ＝－x 0y 0－1； 直线PA 2：y ＋1＝y 0＋1x 0x ，令y ＝0,得x M ＝x 0y 0＋1； 解法一:设圆G 的圆心为(12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)，h ),则r 2＝[12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)－x 0y 0＋1]2＋h 2＝14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2＋h 2．OG 2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2＋h 2．OT 2＝OG 2－r 2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2＋h 2－14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2－h 2＝x 021－y 02．而x 024＋y 02＝1，所以x 02＝4(1－y 02)，所以OT 2＝4，所以OT ＝2,即线段OT 的长度为定值2. ………………… 16分解法二:OM ·ON ＝|(－x 0y 0－1)·x 0y 0＋1|＝x 021－y 02,而x 024＋y 02＝1，所以x 02＝4(1－y 02)，所以OM ·ON ＝4．由切割线定理得OT 2＝OM ·ON ＝4．所以OT ＝2,即线段OT 的长度为定值2. ………………… 16分19．本题主要考查等差，等比数列的概念、通项公式与求和公式等基础知识，考查运算求解、分析探究的能力，综合思维能力．满分16分．（1）因为a 52＝a 3a m ，所以a m ＝a 52a 3＝12．设数列{a n }的公差为d ．则a m ＝a 3＋(m －3)d ＝3＋(m －3)×32＝12，所以m ＝9． ………………… 5分 （2）因为数列{a n }是一个公差不为零的等差数列，且a 5＝6，所以a m t ＝a 3＋(m t －3)×6－a 32( m t ＞5，m t ∈N*)又 a m t ＝a 3(6a 3)t ＋1，故 a 3(6a 3)t ＋1＝a 3＋(m t －3)×6－a 32，即6t ＋1－a 3t ＋1a 3t＝(m t －3)×6－a 32，故(6－a 3)(6t＋6t －1a 3＋…＋6a 3t －1＋a 3t )a 3＝(m t －3)×6－a 32． 由a 3≠a 5，所以a 3≠6．m t ＝5＋2[(6a 3)t ＋(6a 3)t －1＋…＋(6a 3)]，t ∈N*．当t ＝1时，m 1＝5＋2×6a 3＝5＋12a 3．由m 1∈N*，且a 3＞1， 则12a 3＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11．当t ＝2时，m 2＝5＋2×[(6a 3)2＋6a 3]，所以12a 3为奇数时，m 2不为整数，不符合．所以，12a 3＝2，4，6，8，10．从而a 3＝6，3，2，32，65，又因为数列{a n }是一个公差不为零的等差数列，且a 3≠6．所以a 3＝3，2，32，65．经检验均满足题意． ………………… 12分（3）由（2）以及a 3取最小整数，可得a 3＝2，m t ＝5＋2(3t ＋3t －1＋…＋3)＝5＋2×(3t ＋1－3)2＝3t ＋1＋2． 3t +1m t m t ＋1＝3t ＋1( 3t ＋1＋2)( 3t ＋2＋2)＝12(13t ＋1＋2－13t ＋2＋2)， ∑t =1n 3t +1m t m t ＋1＝∑t =1n 12(13t ＋1＋2－13t ＋2＋2)＝12(131＋1＋2－13n ＋2＋2)＜12×131＋1＋2＝122． ………………… 16分20．本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查阅读理解能力，灵活运用化归 与转化思想进行分析、探究及推理论证的能力．满分16分．（1）易得f ′(x )＝1－sin x ≥0，x ∈[－π，π]，所以f (x )＝x ＋cos x 为区间[－π，π]上的单调增函数， 故当x i －1＜x i 时，总有f (x i －1)＜f (x i )，此时，∑i =1n |f (x i )－f (x i －1)|＝∑i =1n[f (x i )－f (x i －1)]＝f (x n )－f (x 0)＝f (π)－f (－π)＝2π．所以函数f (x )＝x ＋cos x 在[ ]-ππ，上为有界变差函数； …………5分 （2）因为函数f (x )为区间[－π，π]上的单调函数，所以当x i －1＜x i 时，总有f (x i －1)＜f (x i )（或f (x i －1)＞f (x i )）， …………7分故∑i =1n|f (x i )－f (x i －1)|＝|∑i =1n [f (x i )－f (x i －1)]|＝|f (x n )－f (x 0)|＝| f (b )－f (a )|．故存在常数M ＝|f (b )－f (a )|，使得∑i =1n|f (x i )－f (x i －1)|≤M 恒成立，所以定义在[a ，b ]上的单调函数f (x )为有界变差函数； …………10分 （3）因为存在常数k ，使得对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ]，| f (x 1)－f (x 2)|≤k |x 1－x 2|．所以∑i =1n |f (x i )－f (x i －1)|≤∑i =1nk |x i －x i －1|＝k (b －a )． …………14分故存在常数M ＝k (b －a )，使得∑i =1n|f (x i )－f (x i －1)|≤M 恒成立，所以f (x )为[a ，b ]上的有界变差函数． …………16分江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2012届高三联合考试 数学Ⅱ参考答案及评分建议21．A ．选修4—1：几何证明选讲本小题主要考查圆的几何性质等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：如图，连结BD ， 因为AB 为半圆O 的直径，所以∠ADB 为直角，即有∠CDB 为直角， …………4分 又CE 为线段AB 的垂线，所以∠CEB 为直角，所以∠CDB ＝∠CEB …………8分故B ，C ，D ，E 四点共圆． …………10分B ．选修4—2：矩阵与变换本小题主要考查二阶矩阵的乘法及变换，考查运算求解能力．满分10分． （1）MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 54 9； …………5分 （2）设P (x ，y )，则解法一： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 54 9 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，即⎩⎨⎧2x ＋5y ＝0，4x ＋9y ＝1． 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－1，即P (52，－1)． …………10分解法二：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 54 9－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－92 52 2 －1．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－92 52 2 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 52－1．即P (52，－1)． (10)分C ．选修4—4：坐标系与参数方程本小题主要考查直线与圆的极坐标方程与普通方程的互化等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：将直线ρcos θ＝1化为直角坐标方程得x ＝1， …………3分将圆ρ＝2sin θ化为直角坐标方程得x 2＋(y －1)2＝1， …………7分AE BCDO ·（第21－A 题）易得切点P 的坐标为 (1，1)，所以OP ＝2． …………10分 D ．选修4—4：不等式选讲本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：因为a ，b ，c 都是正数，所以(a ＋2b ＋3c )(14a ＋118b ＋1108c)≥(a •14a＋2b •118b＋3c •1108c)2＝1． …………8分因为a ＋2b ＋3c ＝9，所以14a ＋118b ＋1108c ≥19．22．本题主要考查概率分布及数学期望等基础知识，考查运算求解及推理论证的能力．满分10分．解：单局比赛甲队胜乙队的概率为23，乙队胜甲队的概率为1－23＝13．比赛三局结束有两种情况：甲队胜三局或乙队胜三局，因而P (X ＝3)＝(23)3＋(13)3＝13；…………3分比赛四局结束有两种情况：前三局中甲队胜2局，第四局甲队胜；或前三局中乙队胜2局，第四局乙队胜，因而P (X ＝4)＝C 23(23)2×13×23＋C 23(13)2×23×13＝1027； …………6分解法一：比赛五局结束有两种情况：前四局中甲队胜2局，乙队胜2局、第五局中甲队胜或乙队胜，因而P (X ＝5)＝C 24(23)2×(13)2×23＋C 24(13)2×(23)2×13＝C 24(13)2×(23)2＝827；所以X 的概率分布表为…………8分E (X )＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727． …………10分 解法二：P (X ＝5)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝827；所以X 的概率分布表为…………8分E (X )＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727． …………10分 23．本题主要考查两个基本计数原理等基础知识，考查分析探究的能力．满分10分． 解：（1）由题意得P 1，P 2为集合P ＝{1，2}的子集，因为P 1∩P 2＝∅，所以集合P ＝{1，2}中的元素“1”共有如下3种情形： 1∉P 1，且1∉ P 2；1∈P 1，且1∉ P 2；1∉P 1，且1∈P 2； 同理可得集合P ＝{1，2}中的元素“2”也有3种情形，根据分步乘法原理得，a 22＝3×3＝9； …………4分 （2）考虑P ＝{1，2，…，i }中的元素“1”，有如下情形： 1不属于P 1，P 2，…，P j 中的任何一个，共C 0j 种； 1只属于P 1，P 2，…，P j 中的某一个，共C 1j 种； 1只属于P 1，P 2，…，P j 中的某两个，共C 2j 种； ……1只属于P 1，P 2，…，P j 中的某(j －1)个，共Cj －1j种，根据分类加法原理得，元素“1”共有C 0j ＋C 1j ＋C 2j ＋…＋C j －1j＝2j－1种情形，…………8分 同理可得，集合P ＝{1，2，…，i }中其它任一元素均有(2j－1)种情形， 根据分步乘法原理得，a ij ＝(2j－1)i． …………10分。
海安南外金陵三校联考试卷及答案
江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学三校联考化学参考答案1-5：CADDA 6-10CABCD 11-15AC\B\B\AD\BC16、（1）粉碎，适当升温，搅拌，适当提高硫酸浓度（答出一个即可给分）（2）2Co(OH)3+SO 32-+4H +=2Co 2++SO 42-+5H 2O（3）将Fe 2+氧化成Fe 3+，调节pH （或中和H ＋） （4）4CoC 2O 4+3O 2== =2Co 2O 3+8CO 2↑（5）NH 4Cl(每空2分，共12分）17．（1）羰基、酯基，（每空1分，共2分）（2）取代反应(2分）（3）CH 3COCH 2CH 2COOCH 3（2分）（4） G 被氧气氧化而吸收氧气（每空2分，共4分）（5）（每步1分、全对得5分）18.（共12分）（1）2.3×10-3（2分）（2）偏低（2分）（3） K 2Cr 2O 7 ~ 6FeSO 4c(K 2Cr 2O 7)=L mol LL L mol /2.001.0606.0/2.0=⨯⨯（2分） 剩余的K 2Cr 2O 7的物质的量：0.024L×0.2000 mol/L ÷6 = 0.0008mol消耗的K 2Cr 2O 7的物质的量：0.01×0.2000 mol/L-0.0008mol=0.0012mol （2分） 2K 2Cr 2O 7 ~ 3C消耗的C 的物质的量为：0.0012mol×3÷2=0.0018mol （2分）碳的质量分数：0.0018mol×12g/mol÷2=1.08%（2分）19（15分）（1）Cl 2+2OH -=Cl -+ClO -+H 2O 将反应装置放在冰水浴中（或其他合理答案）（2）2Fe 3+＋3ClO -+10OH - = 2FeO 42-+3Cl -+5H 2O（3）降低高铁酸钾在溶液中的溶解度，促进高铁酸钾析出（4）过滤，乙醇洗涤，（低温）干燥（5）高铁酸钾有强氧化性，可以用于杀菌消毒，同时生成氢氧化铁胶体，可以吸附水中悬浮的杂质。
江苏省南京2012届高三数学第二次教学质量检测苏教版
南京市2012年届高三第二次模拟考试数学试卷解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．已知集合{}R x x x x A ∈≤-=,02|2，}{a x x B ≥=|，若B B A = ，则实数a 的取值范围是 。
解析：B B A = 可知道B A ⊆，又]2,0[=A 所以实数a 的取值范围是]0,(-∞11.已知i b iia -=+3，其中Rb a ∈,，i 为虚数单位，则=+b a 。
解析：将等式两边都乘i ，得到bi i a +=+13，两边比较得结果为412.某单位从4名应聘者A 、B 、C 、D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A ，B 两人中至少有1人被录用的概率是 。
解析：从题目来看，所有的可能性共有6种，但A ，B 都没被录取的情况只有一种，即满足条件的有5种，所以结果为65 4、某日用品按行业质量标准分成王五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5.现从一批该日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f 的分布如下的件数为 。
解析：由所有频率之和为1，可知道a =0.1，由频率公式可知道所求件数为20。
5、已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+212y y x y x ，则目标函数y x z +-=2的取值范围是解析：画出可行域，可以知道目标函数的取值范围是[－4，2]6、已知双曲线1222=-y ax 的一条渐近线方程为02=-y x ，则该双曲线的离心率=e解析：焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是0=±ay bx ，与题是所给比较得5.1,2===c b a ，所以结果为527、已知圆C 的经过直线022=+-y x 与坐标轴的两个交点，又经过抛物线x y 82=的焦点，则圆C 的方程为 。
解析：先求直线得022=+-y x 与坐标轴的交点为)2,0(),0,1(B A -，抛物线x y 82=的焦点为)0,2(D ，可把圆C 的方程设为一般形式，把点坐标代入求得x 2＋y 2－x －y －2＝0法2。
江苏省南京外国语学校金陵中学海安中学2024届高三下学期三校联考(最后一卷)化学试题
江苏省南京外国语学校金陵中学海安中学2024届高三下学期三校联考（最后一卷）化学试题一、单选题1．2024年4月24日是第九个“中国航天日”，主题是“极目楚天共襄星汉”。
下列有关中国空间站说法不正确．．．的是A．太阳能电池中的单晶硅——半导体材料B．外表面的高温结构碳化硅陶瓷——硅酸盐材料C．外层的热控保温材料石墨烯——无机材料D．外壳的烧蚀材料之一酚醛树脂——高分子材料2．由金属钛、铝形成的Tebbe试剂常用作有机反应的烯化试剂，其结构如图所示。
下列说法正确的是A．Al3+与Cl-具有相同的电子层结构B．该结构中不存在配位键C．Tebbe试剂中的Al原子轨道杂化类型为sp3D．该结构中Al的化合价为+43．实验室制取乙烯并验证其化学性质，下列装置不正确．．．的是A．A B．B C．C D．D4．对金属材料中C 、O 、N 、S 的含量进行定性和定量分析，可以确定金属材料的等级。
下列说法正确的是A ．电离能大小：I 1(N)>I 1(O)>I 1(S)B ．沸点高低：H 2S>H 2O>NH 3C ．酸性强弱：H 2SO 3>HNO 3>H 2CO 3D ．半径大小：r(S 2-)>r(O 2-)>r(N 3-)5．下列说法正确的是A ．-3ClO 中O -Cl -O 夹角大于-4ClO 中O -Cl -O 夹角B ．ClO 2是由极性键构成的非极性分子C ．碘原子(53I)基态核外电子排布式为5s 25p 5D ．前四周期的VIIA 族元素单质的晶体类型相同 6．下列反应表示正确的是A ．HClO 在水中见光分解：HClO+H 2O=O 2↑+H ++Cl -B ．惰性电极电解氯化镁溶液：2Cl -+2H 2O通电2OH -+Cl 2↑+H 2↑C ．NaClO 碱性溶液与Fe(OH)3反应：3ClO -+4OH -+2Fe(OH)3=22-4FeO +3Cl -+5H 2O D ．Ca(ClO)2溶液中通入SO 2：Ca 2++2ClO -+SO 2+H 2O=CaSO 3↓+2HClO 7．下列有关物质的性质与用途具有对应关系的是 A ．ClO 2具有强氧化性，可用作自来水消毒 B ．Cl 2易液化，可用作生产漂白液 C ．AgBr 呈淡黄色，可用作感光材料 D ．KIO 3易溶于水，可用作食盐中加碘8．硫及其化合物的转化具有重要应用。
最新江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学届高三联合考试数学试题精品版
2020年江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学届高三联合考试数学试题精品版（第4题）江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2014届高三联合考试数学试题数 学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．． 置上．．． 1． 抛物线«Skip Record If...»的焦点到准线的距离为 ▲ ．2． 设全集«Skip Record If...»，集合«Skip Record If...»．若«Skip Record If...»«Skip Record If...»，则集合«Skip Record If...» ▲ ． 3． 已知复数«Skip Record If...»«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为虚数单位，«Skip Record If...»«Skip Record If...»），若«Skip Record If...»是纯虚数，则«Skip Record If...»的值为 ▲ ． 4． 从某校高三年级随机抽取一个班，对（第6题）该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统 计，其结果的频率分布直方图如右图．若某 高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为 ▲ ．5． 将函数f (x )的图象向右平移«Skip Record If...»个单位后得到函数«Skip Record If...»的图象，则«Skip Record If...»的值 为 ▲ ．6． 右图是一个算法的伪代码，则输出的i 的值为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量«Skip RecordIf...»(1，0)，«Skip Record If...»(2，1)．若向量«Skip Record If...»与«Skip Record If...»共线，则实数«Skip Record If...»的值为 ▲ ．8． 有5条线段，其长度分别为1，3，5，7，9．现从中任取3条，恰能构成三角形的概率为 ▲ ．9． 设数列{ln a n }是公差为1的等差数列，其前n 项和为S n ，且S 11«Skip Record If (55)则a 2的值为 ▲ ．10．在△ABC 中，已知«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则边«Skip Record If...»的长为 ▲ ．11． 设一次函数«Skip Record If...»为函数«Skip Record If...»的导数．若存在实数«Skip Record If...»(1，2)，使得«Skip Record If...»，则不等式F (2x«Skip Record If...»1)< F (x )的解集为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆«Skip Record If...»：«Skip Record If...»«Skip Record If...»上存在一点«Skip Record If...»到直线«Skip Record If...»：«Skip Record If...»的距离等于«Skip Record If...»，则实数«Skip Record If...»的值为▲ ．13．设正实数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»，则实数«Skip Record If...»的最小值为▲ ．14．在等腰三角形ABC中，已知AC«Skip Record If...»BC«Skip Record If...»，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，且AD«Skip Record If...»DB«Skip Record If...»EF«Skip Record If...»1．若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的取值范围是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)如图，四棱锥P«Skip Record If...»ABCD中，«Skip Record If...»为菱形ABCD 对角线的交点，M为棱PD的中点，MA«Skip Record If...»MC．APDBCOMO（第15题）（1）求证：PB«Skip Record If...»平面AMC；（2）求证：平面PBD«Skip RecordIf...»平面AMC．16．(本小题满分14分)已知函数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．（1）求函数«Skip Record If...»的值域；（2）若«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»的值．17．(本小题满分14分)某公司销售一种液态工业产品，每升产品的成本为30元，且每卖出一升产品需向税务部门交税a元(常数a«Skip Record If...»，且2≤a≤5)．设每升产品的售价为x元 (35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与e x(e为自然对数的底数)成反比例．已知当每升产品的售价为40元时，日销售量为10升．（1）求该公司的日利润y与每升产品的售价x的函数关系式；（2）当每升产品的售价为多少元时，该公司的日利润y 最大？并求出最大值(参考数据：取«Skip Record If...»55，«Skip Record If...»148)．18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，设A (-1，0)，B (1，0), C (m ，n )，且△ABC 的周长为«Skip Record If...»．（1）求证：点C 在一个椭圆上运动，并求该椭圆的标准方程； （2）设直线l ：«Skip Record If...»．①判断直线l 与（1）中的椭圆的位置关系，并说明理由；②过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ．证明：点H 在定圆上，并求出定圆的方程．19．(本小题满分16分)设«Skip Record If...»，函数«Skip Record If...»«Skip Record If...»，其中常数a«Skip Record If...»．（1）求函数«Skip Record If...»的极值；（2）设一直线与函数«Skip Record If...»的图象切于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且«Skip Record If...»． ①求«Skip Record If...»的值； ②求证：«Skip Record If...»．20．(本小题满分16分)（1）设«Skip Record If...»为不小于3的正整数，公差为1的等差数列«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…，«Skip Record If...»和首项为1的等比数列«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…，«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»…«Skip Record If...»，求正整数«Skip Record If...»的最大值；（2）对任意给定的不小于3的正整数«Skip Record If...»，证明：存在正整数«Skip Record If...»，使得等差数列«Skip Record If...»：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…，«Skip Record If...»和等比数列«Skip Record If...»：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…，«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»…«Skip Record If...»．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的．．．．．．．．．．．．答题区域内作．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知△ABC 的内角A 的平分线交BC 于点D ，交其外接圆于点E ．求证：AB «Skip Record If...»AC «Skip Record If...»AD «Skip RecordIf...»AE ．B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）已知点P (a ，b )，先对它作矩阵M«Skip Record If...»对应的变换，再作N«Skip Record If...»对应的变换，得到的点的坐标为 (8，«Skip Record If...»)，求实数a ，b 的值． C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在极坐标系中，设直线«Skip Record If...»过点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，且直线«Skip Record If...»与曲线«Skip Record If...»：«Skip Record If...»有且只有一个公共点，求实数«Skip Record If...»的值．D ．选修4—4：不等式证明选讲ABCD E(第21—A 题)（本小题满分10分）已知a，b＞0，且a«Skip Record If...»b«Skip Record If...»1，求证：«Skip Record If...»．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）从侧面都是正三角形的正四棱锥的8条棱中随机选两条，记«Skip Record If...»为这两条棱所成角的大小．（1）求概率«Skip Record If...»；（2）求«Skip Record If...»的分布列，并求其数学期望E(«Skip Record If...»)．23．（本小题满分10分）设整数«Skip Record If...»3，集合P«Skip Record If...»{1，2，3，…，n}，A，B是P的两个非空子集．记a n为所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A，B)的个数．（1）求a3；（2）求a n．江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2014届高三联合考试数学Ⅰ参考答案及评分建议说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对于解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，该逻辑链的后续部分就不再给分，但与该步所属的逻辑段并列的逻辑段则仍按相应逻辑段的评分细则给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．抛物线«Skip Record If...»的焦点到准线的距离为▲ ．【答案】«Skip Record If...»2．设全集«Skip Record If...»，集合«Skip Record If...»．若«Skip Record If...»«Skip Record If...»，则集合«Skip Record If...»▲ ．【答案】«Skip Record If...»3．已知复数«Skip Record If...»«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为虚数单位，«Skip Record If...»«Skip Record If...»），若«Skip Record If...»是纯虚数，则«Skip Record If...»的值为▲ ．【答案】3 Array 4．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右图．若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数（第6题）为 ▲ ． 【答案】185． 将函数f (x )的图象向右平移«Skip Record If...» «Skip Record If...»的图象，则«Skip Record If...»的值为 ▲ ． 【答案】46． 右图是一个算法的伪代码，则输出的i 的值为 ▲ ． 【答案】57． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量«Skip Record If...»(1，0)，«Skip Record If...»(2，1)．若向量«Skip Record If...»与«Skip Record If...»共线，则实数«Skip Record If...»的值为 ▲ ． 【答案】«Skip Record If...»8． 有5条线段，其长度分别为1，3，5，7，9．现从中任取3条，恰能构成三角形的概率为 ▲ ．【答案】«Skip Record If...»9． 设数列{ln a n }是公差为1的等差数列，其前n 项和为S n ，且S 11«Skip Record If...»55，则a 2的值为 ▲ ． 【答案】e10．在△ABC 中，已知«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则边«Skip Record If...»的长为 ▲ ． 【答案】«Skip Record If...»11．设一次函数«Skip Record If...»为函数«Skip Record If...»的导数．若存在实数«Skip Record If...»(1，2)，使得«Skip Record If...»，则不等式F(2x«Skip Record If...»1)< F(x)的解集为▲ ．【答案】«Skip Record If...»12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆«Skip Record If...»：«Skip Record If...»«Skip Record If...»上存在一点«Skip Record If...»到直线«Skip Record If...»：«Skip Record If...»的距离等于«Skip Record If...»，则实数«Skip Record If...»的值为▲ ．【答案】113．设正实数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»，则实数«Skip Record If...»的最小值为▲ ．【答案】«Skip Record If...»14．在等腰三角形ABC中，已知AC«Skip Record If...»BC«Skip Record If...»，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，且AD«Skip Record If...»DB«Skip Record If...»EF«Skip Record If...»1．若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的取值范围是▲ ．【答案】«Skip Record If...»二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)APDBCOMO（第15题）如图，四棱锥P«Skip Record If...»ABCD中，«Skip Record If...»为菱形ABCD对角线的交点，M为棱PD的中点，MA«Skip Record If...»MC．（1）求证：PB«Skip Record If...»平面AMC；（2）求证：平面PBD«Skip Record If...»平面AMC．证明：（1）连结«Skip Record If...»，因为«Skip Record If...»为菱形ABCD对角线的交点，所以«Skip Record If...»为BD的中点，又M为棱PD的中点，所以«Skip Record If...»，…… 2分又«Skip Record If...»平面AMC，«Skip Record If...»平面AMC，所以PB«Skip Record If...»平面AMC；…… 6分（2）在菱形ABCD中，AC«Skip Record If...»BD，且«Skip Record If...»为AC的中点，又MA«Skip Record If...»MC，故AC«Skip RecordIf...»OM，…… 8分而OM«Skip Record If...»BD«Skip Record If...»，OM，BD«Skip Record If...»平面PBD，所以AC«Skip Record If...»平面PBD， (11)分又AC«Skip Record If...»平面AMC，所以平面PBD«Skip Record If...»平面AMC． (14)分16．(本小题满分14分)已知函数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．（1）求函数«Skip Record If...»的值域；（2）若«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»的值．解：（1）依题意，«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»…… 3分«Skip Record If...»«Skip Record If...»，…… 5分因为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...»，所以函数«Skip Record If...»的值域为«Skip RecordIf...»；…… 7分（2）依题意，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，……9分所以«Skip Record If...»，又«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»，«Skip Record If...»， (11)分从而«Skip Record If...»«Skip Record If...»． …… 14分17．(本小题满分14分)某公司销售一种液态工业产品，每升产品的成本为30元，且每卖出一升产品需向税务部门交税a 元(常数a«Skip Record If...»，且2≤a ≤5)．设每升产品的售价为x 元 (35≤x ≤41)，根据市场调查，日销售量与e x (e 为自然对数的底数)成反比例．已知当每升产品的售价为40元时，日销售量为10升．（1）求该公司的日利润y 与每升产品的售价x 的函数关系式； （2）当每升产品的售价为多少元时，该公司的日利润y 最大？并求出最大值(参考数据：取«Skip Record If...»55，«Skip Record If...»148)． 解：（1）设日销售量«Skip Record If...»(k 为比例系数)，因为当x«Skip Record If...»40时，p«Skip Record If...»10，所以k «Skip Record If...»， …… 2分 从而«Skip Record If...»，x «Skip Record If...»； (6)分（2）设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»由«Skip Record If...»，得t «Skip Record If...»a«Skip RecordIf...»1， …… 9分因为5≤t ≤11，2≤a ≤5，«Skip Record If...»，所以a+1«Skip Record If...»3，4，5，6，若a+1«Skip Record If...»3，4，5，则«Skip Record If...»，函数在[5，11]上单调递减， 所以当t«Skip Record If...»5即x «Skip Record If...»35时，«Skip RecordIf...»； …… 11分若a+1«Skip Record If...»6，列表：所以当t«SkipIf (6)Record x «SkipRecordIf...»36时，«Skip Record If...»， 答：若a«Skip Record If...»2，3，4，则当每升售价为35元时，日利润最大为«Skip Record If...»元；若a«Skip Record If...»5，则当每升售价为36元时，日利润最大为550元．…… 14分 18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，设A(-1，0)，B(1，0), C(m，n)，且△ABC 的周长为«Skip Record If...»．（1）求证：点C在一个椭圆上运动，并求该椭圆的标准方程；（2）设直线l：«Skip Record If...»．①判断直线l与（1）中的椭圆的位置关系，并说明理由；②过点A作直线l的垂线，垂足为H．证明：点H在定圆上，并求出定圆的方程．（1）证明：依题意，CA«Skip Record If...»CB«Skip Record If...»AB«Skip Record If...»，根据椭圆的定义知，点C的轨迹是以A(-1，0)，B(1，0)为焦点，«Skip Record If...»为长轴的椭圆(不含长轴的两个端点)，即证，…… 2分不妨设该椭圆的方程为«Skip Record If...»，依题意知，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...»，故该椭圆的标准方程为«Skip Record If...»；…… 4分（2）①解：直线l与（1）中的椭圆相切，下证之：因为C(m，n)在椭圆«Skip Record If...»上，所以«Skip Record If...»，由«Skip Record If...»得，«Skip Record If...»，…… 6分判别式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，所以直线l与（1）中的椭圆相切；…… 8分②猜想：若点H在定圆P上，则当点C(0，1)时，H(«Skip Record If...»1，1)；当点C(0，«Skip Record If...»1)时，H(«Skip Record If...»1，«Skip Record If...»1)；故圆心P必在x轴上；当点C«Skip Record If...»时，H(0，«Skip Record If...»)；当点C«Skip Record If...»时，H(0，«Skip Record If...»)；故圆心P必在y轴上，综上，圆心P必为坐标原点O，且半径为«Skip Record If...»，从而定圆P的方程为：«Skip RecordIf...»，…… 10分证明：过A(-1，0)与直线l：«Skip Record If...»的垂直的直线«Skip Record If...»方程为：«Skip Record If...»，联立直线l与直线«Skip Record If...»的方程解得，«Skip Record If...»…… 12分从而OH2«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，所以点H在定圆«Skip Record If...»上．…… 16分19．(本小题满分16分)设«Skip Record If...»，函数«Skip Record If...»«Skip Record If...»，其中常数a«Skip Record If...»．（1）求函数«Skip Record If...»的极值；（2）设一直线与函数«Skip Record If...»的图象切于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且«Skip Record If...»．①求«Skip Record If...»的值；②求证：«Skip Record If...»．解：（1）依题意，«Skip Record If...»则«Skip Record If...»由«Skip Record If...»得，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»无极值；…… 3分当«Skip Record If...»时，列表：所以函数«Skip Record If...»的极小值为«S kip RecordIf...»，极大值为«Skip Record If...»；…… 6分（2）①当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，直线AB的方程为«Skip Record If...»，或«Skip Record If...»，于是«Skip Record If...»即«Skip Record If...»故«Skip Record If...»(常数)；…… 11分②证明：设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»解得«Skip Record If...»或«Skip Record If...» (舍去，否则«Skip Record If...»)，故«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，即证«Skip Record If...»．…… 16分20．(本小题满分16分)（1）设«Skip Record If...»为不小于3的正整数，公差为1的等差数列«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…，«Skip Record If...»和首项为1的等比数列«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…，«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»…«Skip Record If...»，求正整数«Skip Record If...»的最大值；（2）对任意给定的不小于3的正整数«Skip Record If...»，证明：存在正整数«Skip Record If...»，使得等差数列«Skip Record If...»：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…，«Skip Record If...»和等比数列«Skip Record If...»：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…，«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»…«Skip Record If...»．解：（1）设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，依题意得，«Skip Record If...»…，…… 2分从而«Skip Record If...»…，即«Skip Record If...»①，«Skip Record If...»②，«Skip Record If...»③，«Skip Record If...»④，«Skip Record If...»⑤，…，由①②③④得，«Skip Record If...»；因为«Skip Record If...»，所以由①②③④⑤得，«Skip Record If...»不存在了，从而正整数«Skip Record If...»的最大值为5；…… 6分（2）依题意，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，2，…，«Skip Record If...»，一方面，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，因此，«Skip Record If...»，结合«Skip Record If...»及«Skip Record If...»是公比为«Skip Record If...»的等比数列可得，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…，从而对任意的«Skip Record If...»1，2，…，«Skip Record If...»，都有«Skip Record If...»；…… 11分另一方面，因为«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»(«Skip Record If...»1，2，…，«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为给定的不小于3的正整数)«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»…«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»…«Skip Record If...»(＊)显然，(＊)式左边是关于«Skip Record If...»的«Skip Record If...»次式，右边是关于«Skip Record If...»的«Skip Record If...»次式，只要正整数«Skip Record If...»充分大，(＊) 式即可成立,从而«Skip Record If...»1，2，…，«Skip Record If...»时，都有«Skip Record If...»．综上，必存在正整数«Skip Record If...»，满足«Skip Record If...»…«Skip Record If...»．…… 16分江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2014届高三联合考试数学Ⅱ参考答案及评分建议说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对于解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，该逻辑链的后续部分就不再给分，但与该步所属的逻辑段并列的逻辑段则仍按相应逻辑段的评分细则给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的．．．．．．．．．．．．答题区域内作．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）如图，已知△ABC 的内角A 的平分线交BC 于点D ， 交其外接圆于点E ．求证：AB «Skip Record If...»AC «Skip Record If...»AD «Skip Record If...»AE ．证明：连结EC ，易得∠B «Skip Record If...»∠E ， …… 2分由题意，∠BAD «Skip Record If...»∠CAE ，所以△ABD ∽△AEC ， …… 6分 从而«Skip Record If...»，所以AB «Skip Record If...»AC «Skip Record If...»AD «Skip RecordIf...»AE ． …… 10分ABC D(第21—A 题)B．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知点P(a，b)，先对它作矩阵M«Skip Record If...»对应的变换，再作N«Skip Record If...»对应的变换，得到的点的坐标为 (8，«Skip Record If...»)，求实数a，b的值．解：依题意，NM«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，…… 4分由逆矩阵公式得， (NM)«Skip Record If...»«Skip RecordIf...»，…… 8分所以«Skip Record If...»，即有«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．…… 10分C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线«Skip Record If...»过点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，且直线«Skip Record If...»与曲线«Skip Record If...»：«Skip Record If...»有且只有一个公共点，求实数«Skip Record If...»的值．解：依题意，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的直角坐标为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，从而直线«Skip Record If...»的普通方程为«Skip RecordIf...»，…… 4分曲线«Skip Record If...»：«Skip Record If...»的普通方程为«Skip Record If...»«Skip Record If...»，…… 8分因为直线«Skip Record If...»与曲线«Skip Record If...»有且只有一个公共点，所以«Skip Record If...»«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»(负值已舍)．…… 10分D．选修4—4：不等式证明选讲（本小题满分10分）已知a，b＞0，且a«Skip Record If...»b«Skip Record If...»1，求证：«Skip Record If...»．证明：因为«Skip Record If...»(2a«Skip Record If...»1«Skip RecordIf...»2b«Skip Record If...»1)(12«Skip Record If...»12)«Skip RecordIf...»8，…… 8分所以«Skip Record If...»．…… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）设«Skip Record If...»为随机变量，从侧面均是等边三角形的正四棱锥的8条棱中任选两条，«Skip Record If...»为这两条棱所成的角．（1）求概率«Skip Record If...»；（2）求«Skip Record If...»的分布列，并求其数学期望E(«Skip Record If...»)．解：（1）从正四棱锥的8条棱中任选两条，共有«Skip Record If...»种不同方法，其中“«Skip Record If...»”包含了两类情形：①从底面正方形的4条棱中任选两条相邻的棱，共有4种不同方法;②从4条侧棱中选两条，共有2种不同方法，所以«Skip Record If...»；…… 4分（2）依题意，«Skip Record If...»的所有可能取值为0，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，“«Skip Record If...»”包含了从底面正方形的4条棱中任选两条对棱，共2种不同方法；所以«Skip Record If...»；…… 6分从而«Skip Record If...»，…… 8分所以«Skip Record If...»的分布列为：数学期望E («SkipRecordIf...»)«Skip Record If...»． …… 10分23．（本小题满分10分）设整数«Skip Record If...»3，集合P «Skip Record If...»{1，2，3，…，n }，A ，B 是P 的两个非空子集．记a n 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ，B )的个数． （1）求a 3； （2）求a n ．解：（1）当«Skip Record If...»3时，P «Skip Record If...»{1，2，3 }， 其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，则所有满足题意的集合对(A ，B )为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})，({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对，所以a 3«Skip Record If...»； ...... 3分 （2）设A 中的最大数为k ，其中«Skip Record If...»,整数«Skip Record If (3)«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»则A中必含元素k，另元素1，2，…，k«Skip Record If...»可在A 中，故A的个数为：«Skip Record If...»，…… 5分B中必不含元素1，2，…，k，另元素k«Skip Record If...»1，k«Skip Record If...»2，…，k可在B中，但不能都不在B中，故B的个数为：«Skip Record If...»，…… 7分从而集合对(A，B)的个数为«Skip Record If...»«Skip Record If...»，所以a n«Skip Record If...»．…… 10分。
南京金陵中学2012届高三下入学测试数学试题
南京金陵中学2012届高三下入学测试一 填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分)1.复数ii+-11的值是______________. 2.已知向量(12)a = ，，(4)b x = ，，若向量a b ⊥，则x =____________3. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 .4设两个等差数列数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，如果5()24n n S n N T n *=∈+，则23a b =______． 5.下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次的得分的茎叶图, 甲、乙两名运动员的得分的平均数分别为,x x 乙甲则x x +乙甲= .甲 乙 0 8 50 1 247 32 2 199 75 3 36 944 4 1 5 16.设平面区域D 是由双曲线1422=-x y 的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点D y x ∈),(，则目标函数y x z +=的最大值为_______.7.在R 上定义运算⊗：()(1)1.x y x y ⊗=--若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则a 的取值范围为_____．8.如果执行右面的流程图，那么输出的S =______．9.奇函数()()f x x R ∈满足：()30f -=，且在区间[]0,2与[)2,+∞上分别递减和递增，则不等式()0xf x <的解集为_________．10.若a 为正整数，2()(2)1f x ax a x =-++在[0,1]上的最小值为1-，则a = ． 11.已知命题P ：“对x ∀∈R ，∃m ∈R ，使22cos sin 20x x m -+=”，若命题P ⌝是假命题，则实数m 的取值范围是 ． 二 解答题（本大题共6小题，共90分）15.设三角形ABC 的内角,,,A B C 的对边分别为,,,a b c4,a c ==sin 4sin A B =． （1）求b 边的长； （2）求角C 的大小. （3）如果4cos()(0)52x C x π+=-<<,求sin x .16．已知等比数列{}n a 中641=a ，公比1≠q ，且2a ，3a ，4a 分别为某等差数列的第5项，第3项，第2项．⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设12log n n b a =，求数列{}nb的前n 项和n T．17． 如图的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形， 22AD DE AB ===，F 为CD 的中点． （1）求证：//AF 平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE .B A E D CF数 学 （一）答案一填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分) 1.i - 2.-8 3.12 4.5145.586.37.(1,1)-8.7209.(3,0)(0,3)- 10. 1或211.[11-- 二解答题15解：（1）依正弦定理sin sin a b A B=有sin sin b A a B = 又4,a =sin 4sin A B =，∴1b = …………………………4分（2）依余弦定理有222161131cos 22412a b c C ab +-+-===⨯⨯又0︒＜C ＜180︒，∴60C ︒= ……………………9分 (3)由已知得3sin(),sin [()]5x C x x C C +==+-=4分 16．解：⑴由条件知()23342a a a a -=-． 即()22311112a q a q a q a q -=-， 又.01≠⋅q a ∴()()21221q q q q q -=-=-，又1q ≠．∴.21=q ∴17116422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ……………7分⑵12log 7.n n b a n ==-{}n b 前n 项和()13.2nn n S -=∴当71≤≤n 时，0n b ≤，∴213.2n n n n T S -=-= 当8≥n 时，0n b >，2127897(13)138424222n n n n n n n T b b b b b b S S --+=----++++=-=+=∴2213,1721384,8.2n n n n n N T n n n n N **⎧-≤≤∈⎪⎪=⎨-+⎪≥∈⎪⎩且且…………………………14分 17．（1）证明：取CE 的中点G ，连结FG BG 、． ∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且12GF DE =． ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，BAEDCFG∴//AB DE ，∴//GF AB ． 又12AB DE =，∴GF AB =． ∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ．∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴//AF 平面BCE ．…………7分 （2）证明：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥∵DE ⊥平面ACD ，AF ACD ⊂平面，∴DE AF ⊥． ∵//BG AF ，∴,BG DE BG CD ⊥⊥又CD DE D ⋂=，∴BG ⊥平面CDE ．∵BG ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE ．………………14分。
江苏省海安高级中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题
2012-2013学年第二学期期中考试试题卷高一数学 2013.4本试卷分填空题和解答题两部分．考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试卷上答题无效．本卷满分160分,考试时间为120分钟． 注意事项：1． 答题前，考生先将自已的姓名、学校、考试号填写在答题卷规定区域内；2． 填空题和解答题均使用0.5毫米的黑色中性签字笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚，作图可用2B 铅笔；3． 请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1. 在ABC ∆中，设角B A ,所对边分别为b a ,，若bBa A cos sin =，则角=B ． 2. 在等差数列{}n a 中，若1120,a =则21S = ．3. 已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＞0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则a ＝________. 4.已知等比数列{}n a 公比0>q ，若32=a ，21432=++a a a ，则345____.a a a ++= 5. 在△ABC 中，若a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则边c ＝________. 6.“远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？”答曰： 盏．7. 右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 .8. 设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ,则y x z 25+=的最大值是 ．9. 0a <,0b <,则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为 ． 10. 已知正项等比数列{}n a 满足:5672a a a +=,若存在两项n m a a ,使得14a a a n m =,则nm 41+的最小值为 ．11．ABC ∆中，已知cos cos a b c B c A -=-，则三角形的 形状为_____________．12．已知圆内接四边形ABCD 中，2,6,4,AB BC AD CD ====则四边形ABCD 的面积为________．7第题图13．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若nnS S 2)(*∈N n 是非零常数，则称该数列为“和等比数列”.若数列{}n C 是首项为1C ，公差为d （0≠d ）的等差数列，且数列{}n C 是“和等比数列”，则d 与1C 的关系式为_________________． 14.已知圆心角为120°的扇形AOB 的半径为1，C 为弧AB 的中点，点D ，E 分别在半径OA ，OB 上．若CD 2＋CE 2＋DE 2＝269，则OD ＋OE 的最大值是________．二、解答题（本大题共6小题，满分90分） 15. （本题满分14分)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0（0a >）.16.（本题满分14分)在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，b cos B 是a cos C ，c cos A 的等差中项． (1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝10，b ＝2，求△ABC 的面积．17.（本题满分15分)对任意函数(),f x x D ∈，可按流程图构造一个数列发生器， 其工作原理如下：①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出10()x f x =；②若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端再输出21()x f x =,并且依此规律继续下去.现定义42()1x f x x -=+.(1)若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ，请写出数列{}n x 的所有项；(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据0x 的值；（3）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足：对任意正整数n ，均有1n n x x +<，求0x 的 取值范围.18.（本题满分15分）设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，数列{b n }满足b n ＝a na n ＋m (m ∈N *)．(1)若b 1，b 2，b 8成等比数列，试求m 的值；(2)是否存在m ，使得数列{b n }中存在某项b t 满足b 1，b 4，b t (t ∈N *，t ≥5)成等差数列？ 若存在，请指出符合题意的m 的个数；若不存在，请说明理由．19．（本题满分16分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。
江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2024届高三三模数学试题含答案解析
江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2024届高三三模数学试题注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U =R ，集合{}{}21,3x M x N x x =≥=≤，则M N ⋂=（）A.](-,3∞ B.[]0,1 C.[]0,3 D.[]1,32.已知复数z 满足()1i 5i z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列结论中正确是（）A.若直线a ，b 为异面直线，则过直线a 与直线b 平行的平面有无数多个B.若平面α//平面β，直线m ⊂α，点M ∈β，则过点M 有且只有一条直线与m 平行C.若直线m 与平面α内无数条直线平行，则直线m 与平面α平行D.若直线l ⊥平面α，则过直线l 与平面α垂直的平面有且只有一个4.抛物线26y x =上一点M 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为（）A.B. C.D.5.对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：x123456789y745813526数列{}n x 满足12x =，且对任意*n N ∈，点()1,n n x x +都在函数()y f x =的图象上，则1232016x x x x +++⋯+的值为（）A.9400B.9408C.9410D.94146.定义：一对轧辊的减薄率-=输入该对的面带厚度输出该对的面带厚度输入该对的面带厚度.如图所示，为一台擀面机的示意图，擀面机由若干对轧辊组成，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.已知擀面机没对轧辊的减薄率都为0.2（轧面的过程中，面带宽度不变，且不考虑损耗）.有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的横截面积均为2640000mm π，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，在擀面机输出的面带上，疵点的间距为k L ，则（）A.1016000.2mm kk L -=⨯ B.1016000.2mm k k L -=⨯C.1016000.8mmk k L -=⨯ D.1016000.8mmk k L -=⨯7.已知函数()f x 的大致图象如图所示，则其解析式可能为（）A.2()e e -=+xx f x B.e e ()2-+=x xf x C.2()e e -=-xxf x D.e e ()2--=x xf x 8.已知双曲线22136x y -=，O 为坐标原点，P ，Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥，则2211||||OP OQ +=（）A.2B.1C.13D.16二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知平面α的一个法向量为111,2,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，平面β的一个法向量为()21,0,2n =-- ，直线l 的方向向量为()1,0,2a = ，直线m 的方向向量为()0,1,2b =-，则（）A.//l αB.αβ⊥C.l 与m 为相交直线或异面直线D.a 在b 向量上的投影向量为480,,55⎛⎫⎪⎝⎭10.已知函数()π1sin sin 34f x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭的定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m -的值不可能是（）A.5π12 B.7π12C.34πD.11π1211.钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体．如图，已知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台111111ABCDEF A B C D E F -（上、下底面均为正六边形，侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥P -ABCDEF ，其中正六棱台的上底面边长为a ，下底面边长为2a ，且P 到平面111A B C 的距离为3a ，则下列说法正确的是（）（台体的体积计算公式：(1213V S S h =++，其中1S ，2S 分别为台体的上、下底面面积，h 为台体的高）A.若平面PAF ⊥平面11AFF A ，则正六棱锥P -ABCDEF 的高为32aB.若PA =，则该几何体的表面积为22a +C.该几何体存在外接球，且外接球的体积为350081a πD.若该几何体的上、下两部分体积之比为7：8，则该几何体的体积为32a 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知5723456701234567(1)(1)x x a a x a x a x a x a x a x a x -++=-+-+-+-，则246a a a ++的值为______________．13.已知32,,sin cos 43πθπθθ+⎛⎫∈-=⎪⎝⎭，则1sin 2cos 2θθ-=_______．14.已知()f x 是定义在R 上的函数，1(1)0f =，且对于任意x ∈R 都有(20)()20f x f x +≥+，(1)()1f x f x +≤+，若()()1g x f x x =-+，则(10)g =_____________．四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知632a S =+，654S a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设234111111111n n T S S S S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋅⋅-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，证明：1324n T <≤.16.佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香．双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成．水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的水牛奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据：日销售量/件0123天数5102510假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．（1）求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；（2）已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况．该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货．假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，1PD AD ==，N 为线段BC 上的动点．（1）证明：MD PN ⊥；（2）当N 为线段BC 的中点时，求三棱锥A MND -的体积．18.若函数()3f x ax bx =+，当2x =-时函数()f x 有极值163.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求曲线()y f x =过点()3,3P -的切线方程.19.某兴趣小组对小球在坚直平面内的匀速圆周运动进行研究，将圆形轨道装置放在如图1所示的平面直角坐标系中，此装置的圆心O 距离地面高度为2m ，装置上有一小球P （视为质点），P 的初始位置在圆形轨道的最高处，开启装置后小球P 按逆时针匀速旋转，转一周需要6min ．小球P 距离地面的高度H （单位：m ）与时间t （单位：min ）的关系满足()sin (0,0,02π)H r t h r ωϕωϕ=++>>≤<．（1）写出H 关于t 的函数解析式，并求装置启动1min 后小球P 距离地面的高度；（2）如图2，小球Q （视为质点）在半径为1m 的另一圆形轨道装置上，两圆形轨道为同心圆，Q 的初始位置在圆形轨道的最右侧，开启装置后小球Q 以角速度为πrad /min 3顺时针匀速旋转．两装置同时启动，求,P Q 两球高度差的最大值．江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2024届高三三模数学试题注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U =R ，集合{}{}21,3x M x N x x =≥=≤，则M N ⋂=（）A.](-,3∞ B.[]0,1 C.[]0,3 D.[]1,3【答案】C 【解析】【分析】由指数不等式可得{}0M x x =≥，再由集合交集的定义即可得解.【详解】因为{}{}210xM x x x =≥=≥，{}3N x x =≤，所以{}[]030,3M N x x ⋂=≤≤=.故选：C.【点睛】本题考查了指数不等式的求解及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.2.已知复数z 满足()1i 5i z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数除法求出z ，即可判断.【详解】因为()()5i 1i 5i 64i32i 1i 22z +-+-====-+，所以点()3,2-位于第四象限.故选：D.3.下列结论中正确是（）A.若直线a ，b 为异面直线，则过直线a 与直线b 平行的平面有无数多个B.若平面α//平面β，直线m ⊂α，点M ∈β，则过点M 有且只有一条直线与m 平行C.若直线m 与平面α内无数条直线平行，则直线m 与平面α平行D.若直线l ⊥平面α，则过直线l 与平面α垂直的平面有且只有一个【答案】B 【解析】【分析】A.由异面直线的定义判断；B.由面面平行的性质定理判断；C.由直线与平面的位置关系判断；D.由面面垂直的判定定理判断.【详解】A.若直线a ，b 为异面直线，则过直线a 与直线b 平行的平面只有一个，故错误；B.因为平面α//平面β，直线m ⊂α，点M ∈β，所以由平面的基本性质得，点M 与直线m 确定一个平面γ，且,m n γαγβ⋂=⋂=，由面面平行的性质定理得//m n ，M n ∈，所以过点M 有且只有一条直线与m 平行，故正确；C.若直线m 与平面α内无数条直线平行，则直线m 与平面α平行或在平面α内，故错误；D.若直线l ⊥平面α，则过直线l 与平面α垂直的平面有无数个，故错误；故选：B4.抛物线26y x =上一点M 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为（）A.B. C.D.【答案】C 【解析】【分析】先由抛物线的方程求出焦点坐标和准线方程，再根据抛物线的定义求出点M 的坐标，最后利用两点间距离公式即可求解.【详解】设点(),M M M x y .由抛物线26y x =可得：焦点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为32x =-.因为抛物线26y x =上一点M 到其焦点的距离为92，所以根据抛物线的定义可得：3922M x +=，解得：3M x =，则2618MM y x ==.所以点M ==.故选：C.5.对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：x123456789y745813526数列{}n x 满足12x =，且对任意*n N ∈，点()1,n n x x +都在函数()y f x =的图象上，则1232016x x x x +++⋯+的值为（）A.9400B.9408C.9410D.9414【答案】B 【解析】【详解】试题分析：∵数列{}n x 满足12x =，且对任意N*n ∈，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图象上，∴1()n n x f x +=，则1234567824824824x x x x x x x x ，，，，，，，========⋯，∴数列是周期数列，且周期为3，一个周期内的和为14，∴1232016x x x x +++⋯+672=123()9408x x x ⨯++=，故选B.考点：1、函数的表示方法；2、数列的性质；3、数列求和.【易错点睛】本题主要考查函数的表示方法、数列的性质、数列求和，属难题.本题先根据函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系表求得1234567824824824x x x x x x x x ，，，，，，，========⋯，从而得出数列为周期数列，且周期为3，一个周期内的和为14，所求数列的和为672个周期的和，从而求得数列的和.做题时注意①根据函数求得对应的1()n n x f x +=的值；②根据数据观察出数列为周期数列；③将2016除以3是否有余数，否则容易出错.6.定义：一对轧辊的减薄率-=输入该对的面带厚度输出该对的面带厚度输入该对的面带厚度.如图所示，为一台擀面机的示意图，擀面机由若干对轧辊组成，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.已知擀面机没对轧辊的减薄率都为0.2（轧面的过程中，面带宽度不变，且不考虑损耗）.有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的横截面积均为2640000mm π，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，在擀面机输出的面带上，疵点的间距为k L ，则（）A.1016000.2mm kk L -=⨯ B.1016000.2mm k k L -=⨯C.1016000.8mmk k L -=⨯ D.1016000.8mmk k L -=⨯【答案】D 【解析】【分析】据题意，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间钢带体积与冷轧机出口处两疵点间钢带体积相等，因宽度不变，可得到91600(120%)L =⋅-，由次求出9L ，进而求出k L .【详解】设轧辊的半径为r ，由轧辊的横截面积2640000mm π可得：22640000πmm πr =，解得：800r =，所以轧辊的周长为2π2π8001600mm r =⋅=，由图易知，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有91600(10.2)L =⋅-，所以916002000(mm)0.8L ==，101600L =所以()10101016000.8mm0.8k k kL L --==⨯故选：D .7.已知函数()f x 的大致图象如图所示，则其解析式可能为（）A.2()e e -=+xx f x B.e e ()2-+=x xf x C.2()e e -=-xxf x D.e e ()2--=x xf x 【答案】A 【解析】【分析】根据图象的对称性排除C D ；根据函数的最值排除B ，从而可得答案.【详解】由图象关于y 轴对称可知，函数()f x 为偶函数，因为2()x x f x e e -=-与()2x xe ef x --=为奇函数，所以排除C D ；因为()12x xx x e e f x e e --+=≥⋅=，当且仅当0x =时，等号成立，所以e e ()2-+=x xf x 在0x =时取得最小值1，由图可知()f x 在0x =时取得最大值，故排除B.故选：A【点睛】关键点点睛：根据函数的性质排除不正确的选项是解题关键.8.已知双曲线22136x y -=，O 为坐标原点，P ，Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥，则2211||||OP OQ +=（）A.2B.1C.13D.16【答案】D 【解析】【分析】设OP 直线方程为y kx =，OQ 直线方程为1=-y x k，且设()()1122,,,P x y Q x y ，将直线分别与双曲线联立，求出22221122,,,x y x y ，再利用两点间的距离公式即可求解.【详解】由题意设OP 直线方程为y kx =，OQ 直线方程为1=-y x k，设()()1122,,,P x y Q x y 则222221122166,3622x y k x y k k y kx⎧-=⎪⇒==⎨--⎪=⎩，同理22222222216636,21211x y k x y k k y xk ⎧-=⎪⎪⇒==⎨--⎪=-⎪⎩，所以22212||66k OP k -=+，222121||66k OQ k -=+，即22221111||||666k OP OQ k ++==+.故选：D【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系中的定值问题，考查了学生的计算能力，属于基础题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知平面α的一个法向量为111,2,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，平面β的一个法向量为()21,0,2n =-- ，直线l 的方向向量为()1,0,2a = ，直线m 的方向向量为()0,1,2b =-，则（）A.//l αB.αβ⊥C.l 与m 为相交直线或异面直线D.a 在b 向量上的投影向量为480,,55⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】【分析】根据空间向量之间的关系逐项判断线线、线面、面面关系即可.【详解】因为平面α的一个法向量为111,2,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，直线l 的方向向量为()1,0,2a = ，则11010n a ⋅=+-= ，即1n a ⊥，则//l α或l ⊂α，故A 不正确；又平面β的一个法向量为()21,0,2n =-- ，所以121010n n ⋅=-++=，即12n n ⊥ ，所以αβ⊥，故B 正确；由直线m 的方向向量为()0,1,2b =- ，所以不存在实数λ使得a b λ=，故l 与m 为相交直线或异面直线，故C 正确；a 在b向量上的投影向量为()4480,1,20,,555a b b bb-⋅⎛⎫⋅==--=- ⎪⎝⎭，故D 不正确.故选：BC .10.已知函数()π1sin sin 34f x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭的定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m -的值不可能是（）A.5π12 B.7π12C.34πD.11π12【答案】CD 【解析】【分析】由三角恒等变换得()1sin 226f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，作出函数的图象，在一个周期内考虑，可得π25π7π66m n ⎧=⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩或π5π267π6m n ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即可得解.【详解】由题意()π1131sin sin sin sin cos 34224f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+-=⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21311131sin sin cos cos 2sin 22244444x x x x x =+-=-+-131cos 2sin 224426x x x π⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭作出函数()f x 的图象，如图所示，在一个周期内考虑问题，若要使函数()f x 的值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则π25π7π66m n ⎧=⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩或π5π267π6m n ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以n m -的值可以为区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的任意实数，所以A 、B 可能，C 、D 不可能.故选：CD.【点睛】本题考查了三角恒等变换及三角函数图象与性质的综合应用，考查了运算求解能力与数形结合思想，属于中档题.11.钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体．如图，已知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台111111ABCDEF A B C D E F -（上、下底面均为正六边形，侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥P -ABCDEF ，其中正六棱台的上底面边长为a ，下底面边长为2a ，且P 到平面111A B C 的距离为3a ，则下列说法正确的是（）（台体的体积计算公式：(1213V S S h =++，其中1S ，2S 分别为台体的上、下底面面积，h 为台体的高）A.若平面PAF ⊥平面11AFF A ，则正六棱锥P -ABCDEF 的高为3152a B.若PA =，则该几何体的表面积为2332172a +C.该几何体存在外接球，且外接球的体积为350081a πD.若该几何体的上、下两部分体积之比为7：8，则该几何体的体积为32a 【答案】BD 【解析】【分析】分别取AF ，11A F ，11C D ，CD 的中点Q ，R ，S ，T ，连接RS ，RQ ，TS ，TQ ，得到Q ，R ，S ，T 四点共面，且点P ，M ，N 均在该平面上，连接PM ，则N 在PM 上，进而得到PQR ∠为二面角1P AF A --的平面角，进而判定A 错误；连接PM ，则3PM a =，结合截面PORST ，利用表面积公式可判定B 正确；连接PM ，设外接球半径为R ，连接OA ，1OA ，OD ，1OD ，求得外接球的半径，可判定C 错误；设该几何体上、下两部分的体积分别为1V ，2V ，结合1278V V =，可得212h h =，利用12V V V =+，可判定D 正确．【详解】设M ，N 分别为正六棱台上、下底面的中心．对于选项A ，如图1，分别取AF ，11A F ，11C D ，CD 的中点Q ，R ，S ，T ，连接RS ，RQ ，TS ，TQ，则RS =，QT =，可得Q ，R ，S ，T 四点共面，且点P ，M ，N 均在该平面上，连接PM ，则N 在PM 上，得如图2所示的截面PQRST ，四边形QRST 为等腰梯形，且PQR ∠为二面角1P AF A --的平面角，即90PQR ∠=︒，过点R 作RL QT ⊥交QT 于点L ，则RQL QPN ∠=∠，可得RL QNLQ NP=，即2322NP RL LQ QN a a ⋅=⋅==，而3NP RL MP a +==，故23(3)2NP a NP a -=，解得332NP a ±=，故A错误；对于选项B ，如图3为截面11PAA D D ，依题意得112A D a =，4AD a =，连接PM ，则3PM a =，又PA =，所以2PN a =，32MN a a a =-=，如图4为截面PORST，从而2RQ a ==，PQ ==，故该几何体的表面积221166(2)6242222S a a a a a a =⨯+⨯⋅+⋅+⨯⋅=，故B正确；对于选项C ，如图5所示的截面11PAA D D ，连接PM ，依题意可知112A D a =，4AD a =，3PM a =，若该几何体存在外接球，则外接球球心．在PM 上，设外接球半径为R ，连接OA ，1OA ，OD ，1OD ，得1OA OA OP R ===，3a R MO -==得53R a =，又24OA OD R a OA +=<=，矛盾，故该几何体不存在外接球，C错误；对于选项D ，设该几何体上、下两部分的体积分别为1V ，2V ，1MN h =，2PN h =，则2221111322V a h h a ⎛=⨯+= ⎝，2222213V h a =⨯⨯=，由1278V V =，可得212h h =，结合123h h a +=，可知1h a =，22h a =，因此该几何体的体积3331222V V V a a =+=+=，故D 正确．故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知5723456701234567(1)(1)x x a a x a x a x a x a x a x a x -++=-+-+-+-，则246a a a ++的值为______________．【答案】78【解析】【分析】令0x =求0a ，分别令1x =，=1x -代入已知关系式，然后两式相加即可求解．【详解】令0x =，可得02a =，令1x =，可得7012372a a a a a =-+-+⋯-①令=1x -，则501272a a a a =+++⋯+②所以②+①可得：6570242()22160a a a a +++=+=，所以246280a a a +++=，即24678a a a ++=故答案为：7813.已知32,,sin cos 43πθπθθ+⎛⎫∈-=⎪⎝⎭，则1sin 2cos 2θθ-=_______．【答案】9+9+【解析】【分析】由条件2sin cos 3θθ+-=两边平方结合平方关系可求sin 2θ，再由平方关系可求cos 2θ，由此可求1sin 2cos 2θθ-.【详解】将2sin cos 3θθ-=两边平方，得912sin cos 9θθ+-=，即sin 29θ=-，因为3,4πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以32,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos29θ=，故4511sin 2991cos 29θθ+-==+故答案为：9+14.已知()f x 是定义在R 上的函数，1(1)0f =，且对于任意x ∈R 都有(20)()20f x f x +≥+，(1)()1f x f x +≤+，若()()1g x f x x =-+，则(10)g =_____________．【答案】10【解析】【分析】根据题目所给不等式恒成立，利用赋值法求得()10f 的值，由此求得()10g 的值.【详解】在()()2020f x f x +≥+中，令10x =-，得()()101020f f ≥-+.又()()11f x f x +≤+，故()()()()()109191821919f f f f f =+≤+≤+≤≤+= .而()()()()()10101191821111f f f f f -≥-+-=--≥--≥≥-=- .所以()()10102012019f f ≥-+≥-+=.综上所述()191019f ≤≤，即(10)19f =，所以()()101010110g f =-+=.故答案为：10四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知632a S =+，654S a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设234111111111n n T S S S S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋅⋅-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，证明：1324n T <≤.【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式得到关于1,a d 的方程组，解之即可得解；（2）由（1）求得n S ，再利用累乘法求得n T ，从而利用*N n ∈及n T 与n 的关系式的性质即可得证.【小问1详解】因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则由636524a S S a =+⎧⎨=⎩，得11115332615416a d a d a d a d +=++⎧⎨+=+⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 通项公式为()12121n a n n =+-=-.【小问2详解】数列{}n a 的前n 项和2(121)2n n nS n +-==，则2222111(1)(1)11n n n n S n n n --+-=-==，所以234111111111n n T S S S S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋅⋅-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22222132435(1)(1)(2)12234(1)21n n n n n n n n ⨯⨯⨯++++=⨯⨯⨯⨯=⨯++ ，因为*N n ∈，所以211111n n n +=+>++，则121212n n T n +=⨯>+；因为121112121n n n +⎛⎫⨯=⨯+ ⎪++⎝⎭，当n 增大，则11n +减少，所以1n =时，11n +取得最大值为12，所以11121n T n ⎛⎫=⨯+ ⎪+⎝⎭最大为34；综上，1324n T <≤.16.佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香．双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成．水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的水牛奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据：日销售量/件0123天数5102510假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．（1）求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；（2）已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况．该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货．假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率．【答案】（1）13125;（2）1125.【解析】【分析】（1）由题设三天中卖出3件水牛奶的天数1(3,)5X B ，利用二项分布的概率概率公式求(2)P X ≥即可；（2）讨论第一天营业结束是否需要补货，利用全概率公式分别求出不需补货、需要补货情况下在第二天营业结束货架上有1件存货的概率，即可得结果.【小问1详解】由题设，能卖出3件水牛奶的概率为15，3件以下的概率为45，所以三天中卖出3件水牛奶的天数1(3,5X B ，则22333341113(2)(2)(3)C ()(C (555125P X P X P X ≥==+==+=.【小问2详解】由（1）及题意知：第一天营业结束后不补货的情况为A ={销售0件}或B ={销售1件}，所以1()10P A =，1()5P B =，令C ={第二天货架上有1件存货}，则1(|)2P C A =，1(|)5P C B =，所以9()()(|)()(|)100P C P A P C A P B P C B =+=.第一天营业结束后补货的情况为D ={销售3件}或E ={销售2件}，所以1()5P D =，1()2P E =，令F ={第二天货架上有1件存货}，则1(|)2P F D =，1(|)2P F E =，所以7()()(|)()(|)20P F P D P F D P E P F E =+=.综上，第二天营业结束后货架上有1件存货的概率11()()25P P C P F =+=.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，1PD AD ==，N 为线段BC 上的动点．（1）证明：MD PN ⊥；（2）当N 为线段BC 的中点时，求三棱锥A MND -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）112．【解析】【分析】（1）通过证明MD ⊥平面PBC ，可证MD PN ⊥；（2）根据A MND M ADN V V --=，利用棱锥的体积公式可求出结果.【详解】（1）证明：PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC PD ⊥，又,BC DC PD DC D ⊥⋂=，PD 、DC ⊂平面PDC ，∴BC ⊥平面PDC ，又MD ⊂平面PDC ，∴MD BC ⊥，在Rt PDC 中，PD DC =，M 为PC 的中点，∴MD PC ⊥，∵PC BC C ⋂=，PC 、BC ⊂平面PBC ，∴MD ⊥平面PBC ，∵PN ⊂平面PBC ，∴MD PN ⊥．（2）1111111113232212A MND M ADN ADN V V S PD --==⋅=⨯⨯⨯=△．【点睛】关键点点睛：（1）中，通过证明MD ⊥平面PBC 得到MD PN ⊥是解题关键；（2）中，转化为求M ADN V -是解题关键.18.若函数()3f x ax bx =+，当2x =-时函数()f x 有极值163.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求曲线()y f x =过点()3,3P -的切线方程.【答案】（1）()3143f x x x =-（2）5180x y --=或7490x y +-=【解析】【分析】（1）根据极值点和极值列出方程组，求出,a b ，得到解析式；（2）在第一问的基础上，设出切点，结合导数的几何意义求出切线方程.【小问1详解】()23f x ax b '=+，由题意得：()()2120162823f a b f a b ⎧-=+=⎪⎨-=--='⎪⎩，解得：134a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以()3143f x x x =-，经验证：2x =-是函数()f x 的极小值点，所以满足要求；【小问2详解】由（1）知：()24f x x '=-，设切点方程为30001,43x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()2004f x x '=-，所以切线方程为()()3000201434y x x x x x ⎛⎫--= -⎪-⎝⎭，代入点()3,3P -可得()()300002134334x x x x ⎛⎫---=-⎪-⎝⎭，即()()200233x x -+，解得03x =或032x =-，所以切线方程为()353y x +=-或3973842x y ⎛⎫ ⎪⎝--+⎭=，即5180x y --=或7490x y +-=.19.某兴趣小组对小球在坚直平面内的匀速圆周运动进行研究，将圆形轨道装置放在如图1所示的平面直角坐标系中，此装置的圆心O 距离地面高度为2m，装置上有一小球P （视为质点），P 的初始位置在圆形轨道的最高处，开启装置后小球P 按逆时针匀速旋转，转一周需要6min ．小球P 距离地面的高度H （单位：m ）与时间t （单位：min ）的关系满足()sin (0,0,02π)H r t h r ωϕωϕ=++>>≤<．（1）写出H 关于t 的函数解析式，并求装置启动1min 后小球P 距离地面的高度；（2）如图2，小球Q （视为质点）在半径为1m 的另一圆形轨道装置上，两圆形轨道为同心圆，Q 的初始位置在圆形轨道的最右侧，开启装置后小球Q 以角速度为πrad /min 3顺时针匀速旋转．两装置同时启动，求,P Q 两球高度差的最大值．【答案】（1）3(2)2+m （2）2m【解析】【分析】（1）根据题意，代入相关数据得到23H t =π+，从而得解；（2）同理得到小球Q 的高度关于t 的解析式，再利用三角恒等变换即可得解.【小问1详解】由题意，半径为r =m ，2ϕπ=，根据小球转一周需要需要6min ，可知小球转动的角速度3πω=rad/min ，所以H 关于t 的函数解析式为sin()22323H t πππ=++=+，0t ≥，当1t =时，2=H ，所以圆形轨道装置启动1min 后小球P 距离地面的高度为2)m ．【小问2详解】根据题意，小球Q 的高度H '关于t 的函数解析式为sin()2sin 233H t t '=-ππ=-++，0t ≥，则P ，Q 两点高度差为sin =2sin 3333H t t t ⎛⎫∆=+ ⎪⎝πππ⎭π，0t ≥，当Z 332,k k t π+ππ+=π∈，即Z 132,t k k =+∈时，H ∆的最大值为2，所以P ,Q 两球高度差的最大值为2m ．。
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一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答 题卡 相应位置 ． ．． ．．．． 上． 1．已知集合 A＝{x|x≥0}，B＝{x|x＜1}，则 A∩B＝ ▲ x＋i 是纯虚数，则 x 的值是 ▲ ． 2．已知 x 是实数， 1－i 3．根据如图所示的流程图，当输入的正整数 n 的值为 5 时， 输出的 an 的值是 ▲ ． ． 开始 输入 n Y an← n2 n ≤ 4 N an← 2n
3
0 1 2 3
9 055 8 1
▲ ．
2 2
（第 5 题）
9．已知函数 f(x)＝kx －3(k＋1)x －k ＋1，若 f(x)的单调减区间是(0，4)，则在曲线 y＝f(x) 的切线中，斜率最小的切线方程是 ▲ ． π 10．若 tan＝3tan，且 0≤＜＜2，则－的最大值为 ▲ ．
江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学 2012 届高三联合考试
数学Ⅰ
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共 3 页，包含填空题（共 14 题） 、解答题（共 6 题） ，满分为 160 分，考试 时间为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填 写在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3． 作答时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的横、 纵坐标，则点 P 在直线 x＋y＝5 下方的概率是 ▲ ． 输出 an 结束
（第 3 题）
2
5．如图所示的茎叶图记录了某运动员在某赛季一些场次的得分， 则该运动员的平均得分为 ▲ ．
6．不等式 lg(－x)＜x＋1 的解集为 ▲ ． 7．底面边长为 2m，高为 1m 的正三棱锥的全面积为 ▲ m ． 1 8．在等比数列{an}中，a1＝1，前 n 项和为 Sn．若数列{Sn＋2}也是等 比数列，则 Sn 等于
A F C O B E D
π 如图，将边长为 3 的正方形 ABCD 绕中心 O 顺时针旋转 (0 ＜ ＜ 2 ) 得到正方形
A'
A′B′C′D′．根据平面几何知识，有以下两个结论： ①∠A′FE＝； π ②对任意 (0＜＜2)，△EAL，△EA′F，△GBF，
D'
A L
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数学Ⅱ（附加题）
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 4． 本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21~23 题） 。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
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数学Ⅰ参考答案及评分建议
说明： 1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后 续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1 1．{x|0≤x＜1} 2．1 3． 32 4．6 3n－1 5．18 6．{x|－1＜x＜0} 7．3 3 8． 2 3－ 5 π 9．12x＋y－8＝0 10．6 11． 5 12． 2 13 26 63 13． 4 14．[ 9 ，16) 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、二倍角的正、余弦公式，正、余弦定理等基 础知识，考查运算求解能力．满分 14 分． x x x π 1 x 3 x 1 x 1 解： （1）f(x)＝ 3sin4cos4＋cos24＝ 2 sin2＋2cos2＋2＝sin(2＋6)＋2．………………… 3 分 x π 1 由 f(x)＝1，可得 sin(2＋6)＝2， x π π 解法一：令＝2＋6，则 x＝2－3． 2π 1 cos( 3 －x)＝cos(－2)＝－cos2＝2sin2－1＝－2． ………………… 6 分 x π π x π 5π 解法二：2＋6＝2k＋6，或2＋6＝2k＋ 6 ，kZ． 4π 所以 x＝4k，或 x＝4k＋ 3 ，kZ． 2π 2π 1 当 x＝4k，kZ 时，cos( －x)＝cos ＝－ ； 3 3 2
21． 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分．请在答 题 ． ． 卡指定区域内 作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．．． A．选修 4—1：几何证明选讲 如图，AB 为半圆 O 的直径，点 C 在半圆 O 上方，连结 AC D 交半圆 O 于点 D，过点 C 作线段 AB 的垂线 CE，垂足为 E． 求证：B，C，D，E 四点共圆． A · O E B C
B．选修 4—2：矩阵与变换 （第 21－A 题） 0 －1 1 2 已知矩阵 M＝ ． ，N＝ 3 4 1 3 （1）求矩阵 MN； （2）若点 P 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到 Q(0，1)，求点 P 的坐标． C．选修 4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，设 O 为极点，点 P 为直线cos＝1 与圆＝2sin的切点，求 OP 的长． D．选修 4—5：不等式选讲
5． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔 填写在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 6． 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其 它位置作答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描 写清楚。
i=1 n
为[a，b]上的有界变差函数． （1）判断函数 f(x)＝x＋cosx 在[－，]上是否为有界变差函数，并说明理由； （2）定义在[a，b]上的单调函数 f(x)是否一定为有界变差函数？若是，请给出证明；若 不是，请说明理由； （3）若定义在[a，b]上的函数 f(x)满足：存在常数 k，使得对于任意的 x1，x2[a，b]， | f(x1)－f(x2)|≤k|x1－x2|．证明：f(x)为[a，b]上的有界变差函数．
A2
19． （本小题满分 16 分） 设数列{an}是一个公差不为零的等差数列，且 a5＝6． （1）当 a3＝3 时，请在数列{an}中找一项 am(m＞5)，使 a3，a5，am 成等比数列； （2）当 a3＞1 时，如果存在自然数 m1，m2，…，mt，…，满足 5＜m1＜m2＜…＜mt＜…， 且 a3，a5，am1，am2，…，amt，…构成一个等比数列，求 a3 的一切可能值； （3）在（2）中的 a3 取最小正整数值时，求证：
E
F
B G B'
O K
H
△GB′H，△ICH，△IC′J，△KDJ，△KD′L 均是全等三角形． D C J I （1）设 A′E＝x，将 x 表示为的函数； C' （2）试确定，使正方形 A′B′C′D′与正方形 ABCD 重叠部分面积最小，并求最小面积．
18． （本小题满分16分） x2 y2 3 已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率 e＝ 2 ，椭圆 C 的上、下顶点分别为 A1，A2， 2 5 左、右顶点分别为 B1，B2,左、右焦点分别为 F1，F2．原点到直线 A2B2 的距离为 5 ． （1）求椭圆 C 的方程； 1 （2）过原点且斜率为2的直线 l，与椭圆交于 E，F 点，试判断∠EF2F 是锐角、直角还是 钝角，并写出理由； （3）P 是椭圆上异于 A1，A2 的任一点,直线 PA1，PA2，分别交 x 轴于点 N，M,若直线 OT 与过点 M，N 的圆 G 相切，切点为 T.证明：线段 OT 的长为定值,并求出该定值. y A1 T P G F1 F2 M N B1 B2 x O
1 1 1 1 已知：a，b，c 都是正数，a＋2b＋3c＝9．求证：4a＋18b＋108c≥9． 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共 20 分．请在答 题卡指定区域内 作答．解答 ． ．．．．．．． 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 2 22．甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为3， 本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，此时比赛结束．设各局比赛相互之间没有 影响．令 X 为本场比赛的局数，求 X 的概率分布和数学期望． 23．设 P1，P2，…，Pj 为集合 P＝{1，2，…，i}的子集，其中 i，j 为正整数．记 aij 为满 足 P1∩P2∩…∩Pj＝的有序子集组(P1，P2，…，Pj)的个数． （1）求 a22 的值； （2）求 aij 的表达式．
x2 y2 11．过双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点 A 作斜率为－1 的直线，该直线与双曲线的两 → 1→ 条渐近线的交点分别为 B，C，若AB＝2BC，则双曲线的离心率是 ▲ ． 12．△ABC 的面积为 1，点 D 在 AC 上，DE∥AB，连结 BD， 设△DCE、△ABD、△BDE 中面积最大者的值为 y，则 y 的 最小值为 ▲ ． 13．在△ABC 中，若 a＝2，b－c＝1，△ABC 的面积为 3，则 → → AB · AC ＝ ▲ ．
B E A D
C
（第 12 题）
14．已知使函数 f(x)＝x3－ax2－1(0≤a≤M0)存在整数零点的实数 a 恰有 3 个，则 M0 的取值 范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答 题卡 指定区域内 作答，解答时应写出文字 ． ．． ．．．．． 说明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分 14 分） x x x 已知函数 f(x)＝ 3sin4cos4＋cos24． 2π （1）若 f(x)＝1，求 cos( 3 －x)的值； 1 （2）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足 acosC＋2c＝b，求 f(B) 的取值范围． 16． （本小题满分 14 分） 如图，已知 BC 是半径为 1 的半圆 O 的直径，A 是半圆周 ⌒ 上不同于 B，C 的点，F 为 AC 的中点．梯形 ACDE 中，DE∥AC， 且 AC＝2DE，平面 ACDE⊥平面 ABC．求证： （1）平面 ABE⊥平面 ACDE； （2）平面 OFD∥平面 BAE． 17． （本小题满分 1 22