江苏省海安高级中学2019届高三数学阶段测试(后附答案及详尽解析)
江苏省海安县2019届高三上学期期中数学试题含答案
江苏省海安县2019届高三期中学业质量监测试题数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知全集U＝{0，2，4，6，8}，集合A＝{0，4，6}，则∁U A＝．2．已知复数z满足(1i)43iz+=-（i为虚数单位），则复数z的模为．3．已知某民营车企生产A，B，C三种型号的新能源汽车，库存台数依次为120，210，150，某安检单位欲从中用分层抽样的方法随机抽取16台车进行安全测试，则应抽取B型号的新能源汽车的台数为．4．设实数x，y满足123xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩，则x＋y的最小值为．5．有红心1，2，3，4和黑桃5这五张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌均为红心的概率是．6．运行如图所示的流程图，则输出的结果S为．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2214xy-=的右焦点与抛物线22(0)y px p=>的焦点重合，则p的值为．8．已知函数()Asin()f x xωϕ=+（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）在R上的部分图象如图所示，则(36)f的值为．9．如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，则三棱锥O—A1BC1的体积为．10．设等比数列{}n a的公比为q（0＜q＜1），前n项和为n S．若存在m N*∈，使得2m ma a++=152ma+，且11022m mS a+=，则m的值为．第8题第9题第11题第6题11．已知AB 为圆的直径，点C ，D 为圆上两点（在AB 两侧），且AC ＝1，AD ＝2，AB ＝3，则AD BC ⋅u u u r u u u r的值为 ．12．已知函数21()log ()1kxf x k R x -=∈-为奇函数，则不等式()1f x <的解集为 ． 13．已知正数x ，y ，z 满足11(2)()4x y y z++=，且z ≤3x ，则P ＝22323x y xy +的取值范围是 ．14．设命题p ：“存在0x ∈[1，2]，使得200x ax b c ++≥，其中a ，b ，c ∈R ．”若无论a ，b 取何值时，命题p 都是真命题，则c 的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，若平面向量(27x b c =-r，cosC)，(y a =u r ，cos A)，且x r ∥y ur ．（1）求cosA 的值； （2）若tanB ＝32，求角C 的大小． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ，PB ＝PD ＝2AC ，E 是PD 的中点，求证：（1）PB ∥平面ACE ；（2）平面PAC ⊥平面ABCD ．17．（本小题满分14分）如图，已知AB 为椭圆E ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，过坐标原点O 且倾斜角为135°的直线交椭圆E 于C ，D 两点，且D 在x 轴上的射影D'恰为椭圆E 的长半轴OB 的中点．（1）求椭圆E 的离心率；（2）若AB ＝8，不过第四象限的直线l 与椭圆E 和以CD 为直径的圆均相切，求直线l 的方程．18．（本小题满分16分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或骑单车方式通勤．分析显示：当S 中x %（0＜x ＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为30,030()1800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩（单位：分钟），而骑单车群体的人均通勤时间为331,070()1052,70100x x g x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪<<⎩（单位：分钟）．试根据上述分析结果回答下列问题：（1）试确定x 的取值范围，使得自驾群体的人均通勤时间少于骑单车群体的人均通勤时间；（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()p x 的表达式，讨论()p x 的单调性，并说明其实际意义． 19．（本小题满分16分）已知函数()xf x xe =，()(ln )g x a x x =+，a R ∈． （1）求函数()f x 的极值点；（2）已知T(0x ，0y )为函数()f x ，()g x 的公共点，且函数()f x ，()g x 在点T 处的切线相同，求a 的值；（3）若函数()()y f x g x =-在(0，+∞)上的零点个数为2，求a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）如果数列1a ，2a ，…，m a （m ≥3，m N *∈）满足：①1a ＜2a ＜…＜m a ；②存在实数0x ，1x ，2x ，…，m x 和d ，使得0x ≤1a ＜1x ≤2a ＜2x ≤3a ＜…≤m a ＜m x ，且对任意0≤i ≤m ﹣1（i N ∈），均有i 1i x x d +-=，那么称数列1a ，2a ，…，m a 是“Q 数列”．（1）判断数列1，3，6，10是不是“Q 数列”，并说明理由；（2）已知k ，t 均为常数，且k ＞0，求证：对任意给定的不小于3的正整数m ，数列{k }n t +（n ＝1，2，…，m ）都是“Q 数列”；（3）若数列{}2n （n ＝1，2，…，m ）是“Q 数列”，求m 的所有可能值．参考答案15．16．17．18．19．20．。
海安中学2019届高三月考数学试卷(含答案)
2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线 l： y kx m (k ， m R) 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且 kOA kOB 求证：△ AOB 的面积为定值；
3． 4
3 （1）若数列{an}是首项为 1，公差为 的等差数列，求 S66； 2 （2）若 Sn＝ ，求证：数列{an}是等差数列． a1＋ an＋1 n
3 x ，x≤a ， 13．设函数 f ( x ) 2 若存在实数 b ，使得函数 y f ( x ) bx 恰有 2 个零点，则实数 x ，x a.
2． 已知复数 z a 3i （ i 为虚数单位， a 0 ） ，若 z 2 是纯虚数，则 a 的值为 3． 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班 45 名学生的高校招生体检表中视力情况进行统 计，其结果的频率分布直方图如右图．若某 高校 A 专业对视力的要求在 0.9 以上，则该 班学生中能报 A 专业的人数为 ▲ ．
1.00 0.75 0.50 0.25 1.75
a 的取值范围是
▲
．
频率 组距
14．在△ABC 中，已知 sinA＝13sinBsinC，cosA＝13cosBcosC，则 tanA＋tanB＋tanC 的值 为 ▲ ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文字 ．．．．．．． 说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分 14 分)
B
数学 II（附加题）
21． 【选做题】本题包括 A，B，C，D 四小题，请选定其中 两题 作答 ，每小题 10 分，共计 20 分， ．．．．． ．． ．． 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A．选修 4—1：几何证明选讲 自圆 O 外一点 P 引圆的一条切线 PA，切点为 A，M 为 PA 的中点， 过点 M 引圆 O 的割线交该圆于 B、C 两点，且∠BMP=100°， ∠BPC=40°，求∠MPB 的大小．
江苏省海安高级中学2019届高三第二学期四月模拟考试数学试题(含精品解析)
，
故点 的轨迹为圆心在（0,0），半径 2 为的圆，
又点 在直线
上，
故圆
与直线
必须有公共点，
所以
，解得
.
上存在点 使得
，则实数
上，则点 的轨迹与直线必须有公共点，
【点睛】本题考查了点的轨迹问题、直线与圆的位置关系的问题，解题的关键是能从题意中转化出动点的 轨迹，并能求出点的轨迹方程.
12.已知 是定义在区间
中随机取一个元素，记为 ，
则 的事件数为 9 个，即为
，
，
，
其中满足 的有
，
，
，共有 8 个，
故 的概率为 . 【点睛】本题考查了古典概型的计算，解题的关键是准确列举出所有事件数.
7.在平面直角坐标系 _______． 【答案】 【解析】 【分析】
中，若双曲线
由双曲线的离心率为 ，可以得到
，再根据
的离心率为 ，则双曲线 的渐近线方程为 求出 的关系，从而得出渐近线的方程.
学思想求出当 ，则
，进而借助奇函数得到
，从而
求出
。
13.已知实数 ， ， ， 满足
，
是_______．
【答案】 【解析】 【分析】
，且
，则 的取值范围
由实数 ， ， ， 满足
，且
示 ，构建函数，求解取值范围.
【详解】解：实数 ， ， ， 满足
所以
，
若
则
，
，得出
，从而得出 的范围，用 表
，且
，
若
则
，
上的奇函数，当 时，
【答案】 【解析】 当 时，则
的解集为__________． ，即
．则关于 的不等式
江苏省海安高级中学2019届高三上学期第二次月考数学试题及答案解析
江苏省海安高级中学2019届高三上学期第二次月考数学试题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合 ， ，则 ______．2. 复数 的共轭复数在复平面内对应的点位于第______象限．3. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间 中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间 内的汽车有______辆4. 袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于______．5. 在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为______．6. 如图所示的算法流程图中，最后输出值为______．7. 已知m ，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面．若 ， ，则 ，若 ， ， ，则 ；若 ， ， ，则 ；若 ， ， ，则 ．上述命题中为真命题的是______ 填写所有真命题的序号 ．8. 公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何” 题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快 每天增加的数量相同 ，已知第一天织布5尺，一个月 天 共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为______尺匹 丈，1丈 尺9. 若 ，则 ______．10. 如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且 ，， ，则______． 11. 已知关于x 的方程 在 上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是______．12. 已知 ， ，且 ，则 的最小值等于______．13. 如图，已知 ，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点 不含端点A，B，，且，则的最大值为______．14.若关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知内接于单位圆，且，求角C求面积的最大值．16.如图，在四面体ABCD中，，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且．若平面ABD，求实数的值；求证：平面平面AED．17.如图，长方形材料ABCD中，已知，点P为材料ABCD内部一点，于E，于F，且，现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足，点M，N分别在边AB，AD上．设，试将四边形材料AMPN的面积S表示为的函数，并指明的取值范围；试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值．18.已知椭圆E：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与E有两个交点A，B，线段AB的中点为M．若，点K在椭圆E上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；若l过点，射线OM与椭圆E交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时直线l斜率；若不能，说明理由．。
2019届江苏省南通市海安高级中学高三11月检测数学试题(解析版)
江苏省南通市海安高级中学2019届高三11月检测数学试题（解析版）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合U={1,3，5，9}，A={1,3，9}，B={3,9}，则∁U(A∪B)______．【答案】{5}【解析】解：A∪B={1,3，9}；∴∁U(A∪B)={5}．故答案为：{5}．进行并集、补集的运算即可．考查列举法的定义，以及并集和补集的运算．2.已知复数z=a+3i(i为虚数单位，a>0)，若z2是纯虚数，则a的值为______．【答案】3【解析】解：∵z=a+3i，∴z2=a2−9+6ai，又z2是纯虚数，a2−9=0，解得a=3，a=−3(舍去)，∴{6a≠0故答案为：3．易得z2=a2−9+6ai，根据纯虚数的定义可得方程，解出即可，注意a>0．本题考查复数的基本概念，属基础题，准确理解纯虚数的定义是解题关键．3.从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图.若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为______．【答案】18【解析】解：由频率分布直方图知：视力在0.9以上的频率为(1.00+0.75+0.25)×0.2= 0.4，∴该班学生中能报A专业的人数为45×0.4=18．故答案为：18．根据频率=小矩形的高×组距求得视力在0.9以上的频率，再根据频数=频率×样本容量求得该班学生中能报A专业的人数．本题考查了由频率分布直方图求频率与频数，在频率分布直方图中频率=小矩形的高×．组距=频数样本容量4.一根绳子长为6米，绳上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为______．【答案】35【解析】解：从5个节点中随机选一个将绳子剪断，有5种剪法，所得的两段绳长均不小于2米的剪法有3种，∴所得的两段绳长均不小于2米的概率为P=3．5．故答案为：35从5个节点中随机选一个将绳子剪断，有5种剪法，所得的两段绳长均不小于2米的剪法有3种，由此能求出所得的两段绳长均不小于2米的概率．本题考查古典概型及其概率公式，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答．5.如图是一个算法的伪代码，则输出的i的值为______．【答案】5【解析】解：由算法语句知：算法的功能是求满足S=9−(1+2+3+⋯+i)<0的最小正整数i+1的值，∵S=9−(1+2+3)=3>0，S=9−(1+2+3+4)=−1<0，∴输出的i值为5．故答案为：5．算法的功能是求满足S=9−(1+2+3+⋯+i)<0的最大正整数i+1的值，计算S的值确定输出i的值．本题考查了当型循环结构的程序语句，根据算法的流程判断算法的功能是解题的关键．6. 将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数y =4sin(2x −π3)的图象，则f(π4)的值为______． 【答案】4【解析】解：由将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数y =4sin(2x −π3)的图象， 可得把函数y =4sin(2x −π3)的图象向左平移π6个单位后得函数f(x)的图象， 故f(x)=4sin(2x +π3−π3)=4sin2x ，则f(π4)=4sin π2=4， 故答案为：4．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，求得f(x)的值，可得f(π4)的值． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．7. 若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，则称此圆锥为“黄金圆锥”.已知某黄金圆锥的侧面积为S ，则这个圆锥的高为______． 【答案】√Sπ【解析】解：设出圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为L ， 由题意可知：ℎ2=Lr ，并且12×2πr ×L =s ∴ ℎ2=sπ ℎ=√Sπ故答案为：√Sπ设出圆锥的底面半径高、母线，由题意列出关系，求出圆锥的高即可． 本题考查旋转体的侧面积，等比中项的知识，是基础题．8. 在△ABC 中，若A =π6，B =π3，BC =1，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______． 【答案】3【解析】解： 如图，∵A =π6，B =π3，BC =1， ∴C =π2，BA =2，CA =√3 延长CA 到D ，使AD =CA ，∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2×√3cos 5π6=3．由题中数据易得直角三角形，确定各个边角，容易求出数量积．此题考查了平面向量的数量积，属容易题．9.关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(−1,2)，则关于x的不等式2a+bx+c>bx 的解集为______．【答案】(−∞,0)【解析】解：∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(−1,2)，∴{a<0−1+2=−ba−1×2=ca，b=−a，c=−2a，不等式2a+bx +c>bx可化为：ax−2a>−ax，又a<0，∴1x −2<−x，∴x2−2x+1x<0，解得：x<0，故答案为(−∞,0)．根据不等式ax2+bx+c>0的解集为(−1,2)，推出a<0，b=−a，c=−2a，代入后面不等式可解得．本题考查了一元二次不等式的解法，属中档题．10.在平面直角坐标系xoy中，P是曲线C：y=e x上的一点，直线l：x+2y+c=0经过点P，且与曲线C在P点处的切线垂直，则实数c的值为______．【答案】−4−ln2【解析】解：y=e x的导数y′=e x，与曲线C在P点处的切线垂直，则所求切线的斜率为2，设切点P为(x0,y0)，则e x0=2，所以x0=ln2，y0=e ln2=2．所以直线x+2y+c=0经过点P(ln2,2)，所以c=−4−ln2．故答案为：−4−ln2．求出导数，设出切点，求得切线的斜率，再由两直线垂直的条件，可得切点坐标，由代入法，即可得到c．本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件：斜率为−1，考查运算能力，属于中档题．11.设x>0，y>0，向量a⃗=(1−x,4)，b⃗ =(x,−y)，若a⃗//b⃗ ，则x+y的最小值为______．【答案】9【解析】解：因为a ⃗ //b ⃗ ， 所以4x +(1−x)y =0， 又x >0，y >0， 所以1x +4y =1，故x +y =(1x +4y )(x +y)=5+yx +4x y≥9．当yx =4xy，1x +4y =1同时成立，即x =3，y =6时，等号成立． (x +y)min =9． 故答案为：9．先根据向量平行得到1x +4y =1，再利用基本不等式即可求出最值． 本题考查了向量平行的条件和基本不等式的应用，属于基础题．12. 设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n =na n −3n(n −1)(n ∈N ∗)，且a 2=11，则S 20的值为______． 【答案】1240【解析】解：由S 2=a 1+a 2=2a 2−3×2(2−1)，a 2=11，可得a 1=5． 解法1：当n ≥2时，由a n =S n −S n−1，得a n =na n −3n(n −1)−[(n −1)a n−1−3(n −1)(n −2)]，∴(n −1)a n −(n −1)a n−1=6(n −1)，即a n −a n−1=6(n ≥2,n ∈N ∗)， ∴数列{a n }是首项a 1=5，公差为6的等差数列， ∴S 20=20×5+20×192×6=1240．解法2：当n ≥2时，由S n =na n −3n(n −1)=n(S n −S n−1)−3n(n −1)， 可得(n −1)S n −nS n−1=3n(n −1)， ∴S n n−S n−1n−1=3，∴数列{Sn n}是首项S11=5，公差为3的等差数列， ∴S 2020=5+3×19=62，∴S 20=1240．由S 2=a 1+a 2=2a 2−3×2(2−1)，a 2=11，可得a 1=5．解法1：当n ≥2时，由a n =S n −S n−1，可得a n −a n−1=6(n ≥2,n ∈N ∗)，利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．解法2：当n ≥2时，由S n =na n −3n(n −1)=n(S n −S n−1)−3n(n −1)，化为Snn−S n−1n−1=3，利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.设函数f(x)={x2,x>ax3,x≤a.若存在实数b，使得函数y=f(x)−bx恰有2个零点，则实数a的取值范围是______．【答案】(−∞,0)∪(0,1)【解析】解：显然x=0必为f(x)−bx的一个零点，当x≠0时，令f(x)−bx=0得b=f(x)x，令g(x)=f(x)x ={x,x>ax2,x≤a，则b=g(x)存在唯一一个非零解．当a<0时，作出g(x)的函数图象，如图所示：显然当a<b<a2且b≠0时，g(x)=b总存在唯一一个非零解，符合题意；当a>0时，作出g(x)的函数图象如图所示：若要使b=g(x)存在唯一一个非零解，则a>a2，解得0<a<1．同理，当a=0时，显然g(x)=b无非零解，综上，a的取值范围是(−∞,0)∪(0,1)．故答案为：(−∞,0)∪(0,1)．令g(x)=f(x)x，则只需让g(x)=b存在唯一一个非零解即可.讨论a的范围，作出g(x)的图象，根据图象判断即可得出结论．本题考查了函数零点与哈数图象的关系，属于中档题．14.在△ABC中，已知sinA=13sinBsinC，cosA=13cosBcosC，则tanA+tanB+tanC的值为______．【答案】196【解析】解：∵cosA，cosB，cosC均不为0，由sinA=13sinBsinC①，cosA=13cosBcosC②，①得：tanA=tanBtanC， ②∵cosA=13cosBcosC，且cosA=−cos(B+C)=sinAsinB−cosAcosB，∴sinAsinB=14cosAcosB，∴tanBtanC=14，∵tanB+tanC=tan(B+C)(1−tanBtanC)=−tanA(1−tanBtanC)=−tanA+ tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC=196．故答案为：196．已知两式相除，利用同角三角函数间基本关系化简得到tanA=tanBtanC，化简cosA= 13cosBcosC，求出tanBtanC的值，利用两角和与差的正切函数公式变形即可求出所求式子的值．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．二、解答题（本大题共12小题）15.如图，四棱锥P−ABCD中，O为菱形ABCD对角线的交点，M为棱PD的中点，MA=MC．(1)求证：PB//平面AMC；(2)求证：平面PBD⊥平面AMC．【答案】证明：(1)连结OM，因为O为菱形ABCD对角线的交点，所以O为BD的中点，又M为棱PD的中点，所以OM//PB，…(2分)又OM⊂平面AMC，PB⊄平面AMC，所以PB//平面AMC；(6分)(2)在菱形ABCD中，AC⊥BD，且O为AC的中点，又MA=MC，故AC⊥OM，…(8分)而OM∩BDO，OM，BD⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD，…(11分)又AC⊂平面AMC，所以平面PBD⊥平面AMC.…(14分)【解析】(1)利用三角形中位线的性质，证明OM//PB，从而可得线面平行；(2)先证明AC⊥平面PBD，即可证明平面PBD⊥平面AMC．本小题主要考查空间线面关系等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin C2=√104．(1)求cos(C+π6)的值；(2)若△ABC的面积是3√154，且sin2A+sin2B=1316sin2C.求c的值．【答案】解：(1)∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin C2=√104．∴cosC=1−2sin2C2=1−2×(√104)2=1−54=−14，sinC=√1−(−14)2=√154，∴cos(C+π6)=cosCcosπ6−sinCsinπ6=−14×√32−√154×12=−√3+√158．(2)∵△ABC的面积是3√154，∴S△ABC=12absinC=12ab×√154=3√154，解得ab=6，∵sin2A+sin2B=1316sin2C，即a2+b2=1316c2，由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcosC=1316c2−2×6×(−14)=1316c2+3，解得c=4．【解析】(1)推导出cosC=1−2sin2C2=−14，从而sinC=√154，由此利用余弦函数加法定理能求出cos(C+π6).(2)由△ABC的面积是3√154，求出ab=6，由正弦定理得a2+b2=1316c2，由此利用余弦定理能求出c．本题考查三角函值和三角形边长的求法，涉及到正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系式、余弦函数加法定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方思想、数形结合思想，是中档题．17. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，椭圆焦距为2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y =kx +m(k,m ∈R)与椭圆C 相交于A ，B 两点，且k OA ⋅k OB =34..求证：△AOB 的面积为定值； 【答案】(本小题满分14分) 解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，椭圆焦距为2． ∴由题意：{2c =2e =c a =12a 2=b 2+c 2，所以a =2，b =√3，∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.……(4分)(2)联立{x 24+y 23=1y =kx +m ，消去y ，化简得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，……(6分) 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，故y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=3m 2−12k 23+4k 2，……(8分)∵k OA ⋅k OB =y 1y 2x 1x 2=−34，∴2m 2=3+4k 2，……(10分)∴|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√24(1+k 2)3+4k 2，d =|m|√1+k 2，∴S =12|AB|⋅d =12×√24(1+k 2)3+4k 2⋅|m|√1+k2=12×√24m 23+4k 2=√3为定值.……(14分)【解析】(1)由椭圆离心率为12，椭圆焦距为2，列出方程组，求出a =2，b =√3，由此能求出椭圆C 的方程．(2)联立{x 24+y 23=1y =kx +m ，得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，由此利用韦达定理、直线的斜率、弦长公式，能证明△AOB 的面积为定值．本题考查椭圆的标准方程的求法，考查三角形的面积为定值的证明，考查椭圆、直线方程、韦达定理、直线的斜率、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．18. 如图，等腰直角三角形区域ABC 中，∠ACB =90∘，BC =AC =1百米.现准备划出一块三角形区域CDE ，其中D ，E 均在斜边AB 上，且∠DCE =45∘.记三角形CDE 的面积为S ． (1)①设∠BCE =θ，试用θ表示S ； ②设AD =x ，试用x 表示S ；(2)求S 的最大值．【答案】解：由题意，∠ACB =90∘，BC =AC =100米，∠ACB =∠ABC =45∘， (1)①设∠BCE =θ(0≤θ≤45∘)，∠CEB =π−π4−θ=3π4−θ，∠CDA =θ+π2．在三角形ACD 和三角形CBE 中，由正弦定理：得：CEsin45∘=1sin(34π−θ)CD sin45∘=1sin(θ+π2)∴CE =1sinθ+cosθ，CD =√22cosθ那么：三角形CDE 的面积为S =12CD ⋅CE ⋅sin45∘=12×1sinθ+cosθ×√22cosθ×√22=14sinθcosθ+4cos 2θ②设AD =x ，∠BCE =θ，那么∠ACD =π4−θ． 在三角形ACD 中，由正弦定理：得：1sin(θ+π2)=xsin(π4−θ)化简可得：x =√22−√22tanθ．得：tanθ=1−√2x. 由①的表达式化简可得：S =sin 2θ+cos 2θ4sinθcosθ+4cos 2θ=tan 2θ+14tanθ+4 将tanθ=1−√2x 带入上式，可得S =√2x)24(1−√2x)+4=2√2x+24(2−√2x)=2√2x+14−2√2x．(2)由①的表达式S =14sinθcosθ+4cos 2θ化简可得：S =12sin2θ+2(1+cos2θ)=2√2sin(2θ+π4)+2．∵0≤θ≤45∘， ∴π4≤2θ+π4≤3π4．可得：sin(2θ+π4)∈[√22,1].∴S max =2√2×√22+2=14． 【解析】(1)①等腰直角三角形区域ABC 中，∠ACB =90∘，BC =AC =100米，∠ACB =∠ABC =45∘，由正弦定理表示CD 和CE ，即可用θ表示S ；②设AD =x ，利用正弦定理把x 与∠BCE =θ建立关系，带入①可得x 表示S (2)利用(1)中①的表达式，根据辅助角公式化简后，利用三角函数的有界限可得S 的最大值．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.属于中档题．19.已知数列{a n}的各项都为正数，S n=√a+√a +√a+√a⋯+√a+√a．(1)若数列{a n}是首项为1，公差为32的等差数列，求S67；(2)若S n=√a+√a，求证：数列{a n}是等差数列．【答案】(1)解：若数列{a n}是首项为1，公差为32的等差数列，则a n=1+32(n−1)=32n−12，则√a+√a =√a n+1−√a na n+1−a n=23(√a n+1−√a n)，则S67=23(−√a1+√a2−√a2+√a3+⋯+√a68−√a67)=23(√a68−√a1)=23(√4062−1)．(2)证明：当n=2时，S2=√a+√a =√a+√a√a+√a即√a2−√a3(√a+√a)(√a+√a)=√a1√a2(√a+√a)(√a+√a)∴a2−a3=a1−a2即a1，a2，a3成等差数列令n=k时，√a+√a√a+√a ⋯+√a+√a=√a+√a且又{a k}为等差数列且a k+1=a1+kd当n=k+1时，√a+√a√a+√a +√a+√a√a+√a=√a+√a即有√a+√a√a+√a =√a+√ak√a−√a(√a+√a)(√a+√a)=√a−√a(√a+√a)(√a+√a)即k(a k+2−a k+1)=a k+1−a1∵a k+1=a1+kd即a k+2−a k+1=d ∴n=k+1时，{a k+1}也是等差数列，综上得，{a n}是等差数列．【解析】(1)运用等差数列的通项公式，求出an，考虑√a+√a =23(√a n+1−√a n)，再化简S n，再求S67；(2)运用数学归纳法证明，当n=2时，化简得到a2−a3=a1−a2即a1，a2，a3成等差数列，令n=k时，且a k+1=a1+kd，证明当n=k+1时，即k(a k+2−a k+1)=a k+1−a1，由假设即得a k+2−a k+1=d，从而得证．本题主要考查等差数列的通项和裂项相消求和法，同时考查运用数学归纳法证明数列问题，注意解题步骤，注意运用假设，本题属于中档题．20.设定义在R上的函数f(x)=e x−ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若存在x0∈[1,+∞)，使得f(x0)<e−a成立，求实数a的取值范围；(3)定义：如果实数s，t，r满足|s−r|≤|t−r|，那么称s比t更接近r.对于(2)中的a及x≥1，问：ex和e x−1+a哪个更接近lnx？并说明理由．【答案】解：(1)f′(x)=e x−a，当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上为增函数；当a>0时，由f′(x)>0，得e x−a>0，即x>lna，由f′(x)<0，得x<lna．∴函数的单调增区间为(lna,+∞)，减区间为(−∞,lna)；(2)存在x0∈[1,+∞)，使得f(x0)<e−a成立，即f(x)min<e−a成立．由(1)知，当a≤0时，f(x)在[1,+∞)上为增函数，则f(x)min=f(1)=e−a，不满足f(x)min<e−a成立．当a>0时，若lna≤1，则f(x)在[1,+∞)上为增函数，则f(x)min=f(1)=e−a，不满足f(x)min<e−a成立．若lna>1，即a>e，则f(x)在(1,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，∴f(x)min=f(lna)<f(1)=e−a．∴实数a的取值范围是(e,+∞)；(3)令p(x)=ex−lnx，q(x)=e x−1+a−lnx(x≥1)，p′(x)=−ex2−1x<0，p(x)在[1,+∞)上单调递减，故当1≤x≤e时，p(x)≥p(e)=0，当x>e时，p(x)<0；q′(x)=e x−1−1x ，q″(x)=e x−1+1x2>0，q′(x)在[1,+∞)上单调递增，故q′(x)≥q′(1)=0，则q(x)在[1,+∞)上单调递增，q(x)≥q(1)=a+1>0．①当1≤x≤e时，令m(x)=|p(x)|−|q(x)|=p(x)−q(x)=ex−e x−1−a．∴m′(x)=−ex2−e x−1<0，故m(x)在[1,e]上单调递减，∴m(x)≤m(1)=e−1−a<0，即|p(x)|<|q(x)|，∴ex比e x−1+a更接近lnx；②当x>e时，令n(x)=|p(x)|−|q(x)|=−p(x)−q(x)=−ex+2lnx−e x−1−a．∴n′(x)=ex2+2x−e x−1<3e−e e−1<0，故n(x)在[e,+∞)上单调递减，∴n(x)≤n(e)<0，即|p(x)|<|q(x)|，∴ex比e x−1+a更接近lnx．综上，当a>e及x≥1时，ex比e x−1+a更接近lnx．【解析】(1)求出函数的导函数，可得当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上为增函数；当a>0时，由f′(x)>0求得x的范围可得函数的单调区间；(2)由题意可得f(x)min <e −a 成立.由(1)知，当a ≤0时，f(x)在[1,+∞)上为增函数，则f(x)min =f(1)=e −a ，不满足f(x)min <e −a 成立.当a >0时，由f(x)min =f(lna)<f(1)=e −a 成立，可得实数a 的取值范围；(3)令p(x)=ex −lnx ，q(x)=e x−1+a −lnx(x ≥1)，分类求导可得p(x)，q(x)的符号，然后对x 分类，利用导数判断|p(x)|−|q(x)|的符号得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法、逻辑思维能力、灵活变形能力及推理运算能力，难度较大．21. 自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点，过点M 引圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP =100∘，∠BPC =40∘，求∠MPB 的大小．【答案】选修4−1：几何证明选讲，解：因为MA 是圆O 的切线，所以MA 2=MB ⋅MC(2分) 又M 是PA 的中点，所以MP 2=MB ⋅MC 因为∠BMP =∠PMC ，所以△BMP∽△PMC(6分) 于是∠MPB =∠MCP ，在△MCP 中，由∠MPB +∠MCP +∠BPC +∠BMP =180∘， 即100∘+2∠MPB +40∘=180∘； 得∠MPB =20∘(10分)【解析】根据MA 为圆O 的切线，由切割线定理得MA 2=MB ⋅MC.从而MP 2=MB ⋅MC.依据相似三角形的判定方法得：△BMP∽△PMC 得出∠MPB =∠MCP.最后在△MCP 中，即得∠MPB ．本题考查了圆当中的比例线段，以及三角形相似的有关知识点，属于中档题.找到题中的相似三角形来得到角的相等，是解决本题的关键．22. 已知矩阵M =[2011]，求矩阵M 的特征值及其相应的特征向量． 【答案】解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)=∣∣ −1 λ−1λ−2 0∣∣=λ2−3λ+2，(2分)令f(λ)=0，解得λ1=1，λ2=2，(4分)将λ1=1代入二元一次方程组{−x +(λ−1)y =0(λ−2)⋅x+0⋅y=0解得x =0，(6分) 所以矩阵M 属于特征值1的一个特征向量为[10]；(8分) 同理，矩阵M 属于特征值2的一个特征向量为[11](10分)【解析】先根据特征值的定义列出特征多项式，令f(λ)=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．本题主要考查来了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．23. 在极坐标系中，已知圆C ：ρ=2√2cosθ和直线l ：θ=π4(ρ∈R)相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．【答案】解：圆C ：ρ=2√2cosθ可得ρ2=2√2ρcosθ，∴x 2+y 2=2√2x ，化为(x −√2)2+y 2=2，可得圆心C(√2,0)，半径r =√2． 直线l ：θ=π4(ρ∈R)即y =x ， ∴圆心C 到直线l 的距离d =√2√2=1．∴弦长|AB|=2√r 2−d 2=2．【解析】圆C ：ρ=2√2cosθ可得ρ2=2√2ρcosθ，化为(x −√2)2+y 2=2，可得圆心C(√2,0)，半径r =√2.直线l ：θ=π4(ρ∈R)即y =x ，求出圆心C 到直线l 的距离d =.利用弦长|AB|=2√r 2−d 2即可得出．本题考查了极坐标化为直角坐标方程、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．24. 若正数a ，b 满足a +b =1，求12a+1+42b+1的最小值．【答案】解：令2a +1=m ，2b +1=n ，则m +n =3(m >0,n >0) 所以12a+1+42b+1=m+n 4m +m+n n=54+n 4m+m 4n≥54+2√n 4m⋅m n=94，当且仅当a =16，b =56，取得等号，所以的最小值为94． 【解析】变形后利用基本不等式可求得最小值． 本题考查了基本不等式及其应用.属基础题．25. 若(√x 2 √x4)n 展开式中前三项的系数成等差数列，求： (1)展开式中所有x 的有理项； (2)展开式中系数最大的项．【答案】解：易求得展开式前三项的系数为1,12C n 1,14C n 2.(2分) 据题意2×12C n1=1+14C n 2(3分)⇒n =8(4分) (1)设展开式中的有理项为T r+1，由T r+1=C 8r (√x)8−r (2√x4)r =(12)r C 8rx16−3r4∴r 为4的倍数，又0≤r ≤8，∴r =0，4，8.(6分)T r+1=C 8r(√x)8−r (12√x4)r =(12)r C 8r x 16−3r4 故有理项为：T 1=(12)0C 80x 16−3×04=x 4，T 5=(12)4C 84x 16−3×44=358x ， T 9=(12)8C 88x 16−3×84=1256x 2.(8分)(2)设展开式中T r+1项的系数最大，则：(12)r C 8r ≥(12)r+1C 8r+1且(12)r C 8r ≥(12)r−1C 8r−1(10分)⇒r =2或r =3故展开式中系数最大项为：T 3=(12)2C 82x16−3×24=7x 52T 4=(12)3C 83x 16−3×34=7x 74.(12分)【解析】由题意需先求出展开式中前三项的系数利用它们成等差数列求出n ， (1)由公式T r+1=C r 8(√x)8−r (2√x4)r=(12)r C r 8x 16−3r4，故可知r =0，4，8时，所得的项为有理项，代入求之即可；(2)展开式中系数最大的项满足这样的条件，比其前的项大，也比其后的项大，由此关系可得限制条件.解不等式求出r 既得．本题考查二项式系数的性质，解题的关键是熟练掌握理解二项式系数的性质及相关的公式，求二项式系数的最大项是考试的一个热点，掌握其转化的条件，及转化的思想，在一些求最值的问题中，此做法有推广的必要．26. 在数列{a n }中，已知a 1=20，a 2=30，a n+1=3a n −a n−1(n ∈N ∗,n ≥2)．(1)当n =2，3时，分别求a n 2−a n−1a n+1的值，判断a n 2−a n−1a n+1是否为定值，并给出证明；(2)求出所有的正整数n ，使得5a n+1a n +1为完全平方数． 【答案】解：(1)由已知得a 3=70，a 4=180．所以n =2时，a n 2−a n−1a n+1=−500；当n =3时，a n 2−a n−1a n+1=−500.…(2分) 猜想：a n 2−a n−1a n+1=−500(n ≥2). …(3分)下面用数学归纳法证明： ①当n =2时，结论成立．②假设当n =k(k ≥2,k ∈N ∗)时，结论成立，即a k2−a k−1a k+1=−500， 将a k−1=3a k −a k+1，代入上式，可得a k 2−3a k a k+1+a k+12=−500．则当n =k +1时，a k+12−a k+1a k+2=a k+12−a k (3a k+1−a k )=a k+12−3a k a k+1+a k 2=−500．故当n =k +1结论成立，根据①，②可得，a n 2−a n−1a n+1=−500(n ≥2)成立.…(5分)(2)将a n−1=3a n −a n+1代入a n 2−a n−1a n+1=−500，得a n 2−3a n a n+1+a n+12=−500，则5a n−1a n+1=(a n +a n+1)2+500，5a n−1a n+1+1=(a n +a n+1)2+501， 设5a n−1a n+1+1=t 2(t ∈N ∗)，则t 2−(a n +a n+1)2+501， 即[t −(a n +a n+1)][t +(a n +a n+1)]=501，…(7分) 又a n +a n+1∈N ，且501=1×501=3×167， 故{a n +a n+1+t =501a n +a n+1−t=−1或{a n +a n+1+t =167a n +a n+1−t=−3所以{an +a n+1=250t=251或{an+a n+1=82t=85由a n+a n+1=250解得n=3；由a n+a n+1=82得n无整数解．所以当n=3时，满足条件.…(10分)【解析】(1)求出结果判断是否为定值，然后利用数学归纳法证明即可．(2)利用(1)化简求解a n+a n+1的值，通过5a n+1a n+1为完全平方数，求出所有的正整数n，即可．本题考查数列的综合运用，解题时要注意数学归纳法的证明技巧．。
江苏省海安高级中学2019届高三阶段测试数学试卷
海安高级中学2019届高三阶段测试数学试卷一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．设全集U =R ，若集合{}{}1234|23A B x x ==，，，，≤≤，则U A B =ð .{}14， 2．已知复数z 满足30z z+=，则||z = .3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 .564．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 .1155．双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的离心率为线方程为. y =6．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．1 7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．28．若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 . 3π9．若12cos cos sin sin sin 2sin 223x y x y x y +=+=，，则()sin x y += .2310．已知数列{}n a 和{}n b ，其中2()n a n n *=∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意n *∈N ，数列{}n b 中的第n a 项等于{}n a 中的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b = .211．设函数()332x x x af x x x a ⎧-=⎨->⎩，≤，，若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 ．1a <-12．在锐角ABC ∆中，1tan 2A =，D 为BC 边上的一点，ABD △与ACD △面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅= ．1615-13． 已知圆O ：221x y +=，定点()30A ，，过点A 的直线l 与圆O 相较于B ，C 两点，两点B ，C 均在x 轴上方，若OC 平分AOB ∠，则直线l 的斜率为.14．已知正实数a ，b 满足23a b +=，则222122a b a b +-++的最小值是 ．135二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.（1）求证：PE ⊥BC ； （2）求证：EF ∥平面PCD .【解析】（1）∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =， ∴PE ⊥平面ABCD .∵BC ⊂面ABCD ，∴PE ⊥BC .（2）如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ∥，且12FG BC =. ∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =∥， ∴ED FG ∥，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形， ∴EF GD ∥.又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ， ∴EF ∥平面PCD .16．已知函数f (x )=4tan sin cos 23x x x ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求f (x )的定义域与最小正周期；（2）讨论f (x )在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的单调性.【解析】（1）()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭)=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== （2）由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.17．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向cos θ⎛= ⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．（1） 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； （2） 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？ 【解析】（1）如图建立直角坐标系，则城市()00A ，，当前台风中心(P -，设t 小时后台风中心P 的坐标为(),x y ，则302102x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，此时台风的半径为6010t +，10小时后，184.4PA ≈km ，台风的半径为=r 160km ，因为r PA <，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A . （2）因此，t 小时后台风侵袭的范围可视为以()P -为圆心，6010t +为半径的圆，若城市A 受到台风侵袭，则()6010t + 210800864000300t t -+⇒≤，即2362880t t -+≤，解得1224t ≤≤ 答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时.18．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（1）求椭圆M 的方程； （2）若1k =，求AB 的最大值；（3）设(20)P -，，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ，D 和点71()44Q -，共线，求k .【解析】（1）由题意得2c=，所以c =又c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||AB x x =-==易得当20m =时，max ||AB ，故||AB． （3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =.19．已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)02nn n n n n n b a a b a b ++++-++==，，*n ∈N ，且 1224a a ==，．（1）求345a a a ，，的值；（2）设*2121n n n c a a n -+=+∈N ，，证明：{}n c 是等比数列； （3）设*242k k S a a a k =++⋅⋅⋅+∈N ，，证明：4*17()6nk k kS n a =<∈∑N ． 【解析】（1）解：由3(1)2nn b +-=，*n ∈N ，可得12n n b n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数又1120n n n n n b a a b a +++++=，123123234434541202432205320 4.n a a a a a a n a a a a n a a a a =++====-=++==-=++==当时，，由，，可得；当时，，可得；当时，，可得（2）证明：对任意*,n N ∈2122120,n n n a a a -+++= ① 2212220,n n n a a a ++++= ② 21222320,n n n a a a +++++=③ ②—③，得223.n n a a +=④将④代入①，可得21232121()n n n n a a a a ++-++=-+ 即*1()n n c c n N +=-∈又1131,0,n c a a =+=-≠故c 因此11,{}n n nc c c +=-所以是等比数列. （3）证明：由（2）可得2121(1)kk k a a -++=-，于是，对任意*2k k ∈N 且≥，有 133********()11(1)() 1.k k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=-，，，将以上各式相加，得121(1)(1),kk a a k -+-=-- 即121(1)(1)k k a k +-=-+，此式当k =1时也成立.由④式得12(1)(3).k k a k +=-+从而22468424()()(),k k k S a a a a a a k -=++++++=-2124 3.k k k S S a k -=-=+所以，对任意*2n n ∈N ，≥， 44342414114342414()nnk m m m mk m k m m m m S S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑12221232()2222123nm m m m mm m m m =+-+=--++++∑ 123()2(21)(22)(22)nm m m m m ==++++∑2253232(21)(22)(23)nm m m n n ==++⨯+++∑ 21533(21)(21)(22)(23)n m m m n n =<++-+++∑ 151111113[()()()]3235572121(22)(23)n n n n =+⋅-+-++-+-+++ 1551336221(22)(23)7.6n n n =+-⋅++++<对于n =1，不等式显然成立. 所以，对任意*,n N ∈2121212212n nn nS S S S a a a a --++++ 32121241234212()()()n nn nS S S S S S a a a a a a --=++++++ 22211121(1)(1)(1)41244(41)4(41)n nn =--+--++----- 22211121()()()41244(41)44(41)n n n n n =-+-+--+-- 111().4123n n -+=-≤20．已知函数ln ()xf x x=，2()2g x x x =-． （1）求()f x 在点P (1，()1f )处的切线方程；（2）若关于x 的不等式2()()0f x tf x +>有且仅有三个整数解，求实数t 的取值范围； （3）若()()4()h x g x xf x =+存在两个正实数1x ，2x 满足221212()()0h x h x x x +-=，求证：123x x +≥．【解析】（1），，所以点坐标为； 又，，则切线方程为， 所以函数在点处的切线方程为．（2）由， 得；① 时，或，满足条件的整数解有无数个，舍；② 时，，得且，满足条件的整数解有无数个，舍； ③ 时，或，当时，无整数解； 当时，不等式有且仅有三个整数解，又，， 因为在递增，在递减；所以， 即，即；所以实数的取值范围为． （3），因为，所以， 即，令，， 则， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增． 所以函数在时，取得最小值，最小值为3．因为存在两个正实数，满足，所以，即，所以或． 因为为正实数，所以．ln ()xf x x=(1)0=f P (1,0)21ln '()xf x x -='(1)1=f 01-=-y x ()f x (1,(1))P f 10--=x y 21ln '()(0)-=>xf x x 2()()0f x tf x +>()[()]0+>f x f x t 0t >()0f x >()f x t <-0t =()0f x ≠0x >1x ≠0t <()0f x <()f x t >-()0f x <()f x t >-ln3(3)3f =ln 2(2)(4)2f f ==ln5(5)5f =()f x (0,)e (,)e +∞(5)(4)f t f ≤-<ln5ln 252t ≤-<ln 2ln525t -<≤-t ln 2ln525t -<≤-2()24ln =-+h x x x x 221212()()0+-=h x h x x x 22221112221224ln 24ln 0x x x x x x x x -++-+-=2221212121212()2()24ln x x x x x x x x x x +-+=+-12t x x =2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->2(1)(2)4()22(0)t t t t t ttϕ-+'=+-=>(0,1)t ∈()0t ϕ'<2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->(0,1)(1,)t ∈+∞()0t ϕ'>2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->(1,)+∞2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->1t =12,x x 221212()()0+-=h x h x x x 21212()2()3x x x x +-+≥21212()2()30x x x x +-+-≥123x x +≥121x x +-≤12,x x 123x x +≥（附加题）21．（B ）已知矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值λ1=-1及对应的特征向量11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ，求矩阵M 的逆矩阵.【解析】由题知， - = -- =-1· - = - ⇒ - - ， - ，所以a=2，b=2，M=.det(M )==1×2-2×3=-4，所以M -1= --.21．（C ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(12)，，求l 的斜率．【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(12)，在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=．又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2c o s s i n 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-． 22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点F (1，0)，直线x=-1与动直线y=n 的交点为M ，线段MF 的中垂线与动直线y=n 的交点为P . （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过动点M 作曲线E 的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：∠AMB 的大小为定值.【解析】(1) 因为直线y=n 与x=-1垂直，所以MP 为点P 到直线x=-1的距离. 连接PF ，因为P 为线段MF 的中垂线与直线y=n 的交点，所以MP=PF . 所以点P 的轨迹是抛物线， 焦点为F (1，0)，准线为x=-1. 所以轨迹E 的方程为y 2=4x.(2) 由题意，过点M (-1，n )的切线斜率存在，设切线方程为y -n=k (x+1)， 联立， ，得ky 2-4y+4k+4n=0，所以Δ1=16-4k (4k+4n )=0， 即k 2+nk -1=0，(*)因为Δ2=n 2+4>0，所以方程(*)存在两个不相等的实数根，设为k 1，k 2， 因为k 1·k 2=-1，所以∠AMB=90°，为定值.23．设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N *，记M 1<M 2<…<M n 的概率为P n . （1）求P 2的值；（2）求证：P n >()211n C n ++！.【解析】(1) 由题意知P 2== ，即P 2的值为. (2) 先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为=;去掉第n 行已经排好的n 个数，则余下的 - n= -个数中最大数在第n -1行的概率为 - -= ;… 故P n = ··…·= - · ·…· =.由于2n =(1+1)n = + + +…+ ≥ + + > + = ，所以>，即P n >.。
江苏省南通市海安高级中学2019届高三数学11月检测试题含答案
0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 频率组距视力0.250.50 0.75 1.00 1.75（第3题）S ←9 i ←1While S ≥0 S ←S -i i ←i +1 End While Print i（第5题）江苏省南通市海安高级中学 2019届高三数学11月检测试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．． 置上．．． 1．已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U A B =U ð ． 2． 已知复数z 3i a =+（i 为虚数单位，a 0>），若2z 是纯虚数，则a 的值为 ． 3． 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统 计，其结果的频率分布直方图如右图．若某 高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为 ． 4． 一根绳子长为6米，绳上有5个节点将该绳6等分，现从这5个节点中随机选择一个将绳子剪 断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率 为 ．5． 右图是一个算法的伪代码，则输出的i 的值为 ．6．将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 的值为 ．7．若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，则称此圆锥为 “黄金圆锥”．已知一黄金圆锥的侧面积为π，则这个圆锥 的高为 ． 8． 在△ABC 中，若π6A =，π3B =，1=BC ，则BA CA ⋅的值为 ． 9． 关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为()12-，，则关于x 的不等式bx c xba >++2的解集为 ．10． 在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线C ：y ＝e x上一点，直线l ：x ＋2y ＋c ＝0经过点P ，且与曲线C 在P点处的切线垂直，则实数c 的值为 ．11．设x ＞0，y ＞0，向量a ＝(1－x ，4)，b ＝(x ，－ y )，若a ∥b ，则x ＋y 的最小值为 ． 12．设S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝na n －3n (n －1)（n ∈N *），且a 2＝11，则S 20的值为 ．APDCOM （第15题）13．设函数32().x x a f x x x a ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤，，，若存在实数b ，使得函数()y f x bx =-恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．14．在△ABC 中，已知sin A ＝13sin B sin C ，cos A ＝13cos B cos C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，四棱锥P -ABCD 中，O 为菱形ABCD 对角线的交点，M 为棱PD 的中点，MA = MC ． （1）求证：PB //平面AMC ； （2）求证：平面PBD ⊥平面AMC ．16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10sin 2C =．（1）求()πcos 6C +的值；（2）若△ABC 315，且sin 2A +sin 2B =1316sin 2C ，求c 的值．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：错误！未找到引用源。
江苏省南通市海安市2019届高三上学期期末学业质量监测数学试题(解析版)
南通海安2019届高三上学期期末学业质量监测数学一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．请将答案写在答题卡相应位置． ) 1．已知集合A ＝｛x |x ＝2k －1，k ∈Z ｝，B ＝｛x |x ＝2k ，k ∈Z ｝，则A ∩B ＝ ． 答案：∅考点：集合的运算。
解析：集合A 的元素是奇数，集合B 的元素是偶数，所以，A ∩B ＝∅ 2．命题“∀x ＞1，x 2＞1”的否定为 ． 答案：21,1x x ∃>≤ 考点：命题的否定。
解析：将全称量词“任意”改为特称量词“存在”，并且否定结论即可。
3．已知实数a ，b 满足a ＋bi ＝i 2019(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为 ． 答案：－1考点：复数的运算。
解析：201821009()a bi ii i i i +=⨯=⨯=-，所以，0,1a b ==-，1a b +=-4．某地区连续5天的最低气温（单位：℃）依次为8，－4，－1，0，2，则该组数据的标准差为 ． 答案：4考点：数据标准差的计算方法。
解析：平均数为：1(84102)15x =--++=， 标准差为：S ＝1(4925411)165++++=＝4 5．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 24－y 29＝1的一条准线与两条渐近线所围成的面积为 ．答案：2413考点：双曲线的性质。
解析：双曲线的渐近线为：32y x =±，准线为：413x =±，右准线与渐近线交点为A （413，613），B （413，－613） 围成三角形面积为：S ＝1124242131313⨯⨯= 6．根据如图所示的伪代码，若输出的y 的值为12，则输入的x 的值为 ．答案：－62考点：算法初步。
解析：当x ≤0时，2112x -=，62x =-，当x ＞0时，122x=，x ＝－1，不符，所以，62x =-7．已知O 为矩形ABCD 的对角线的交点，现从A ，B ，C ，D ，O 这5个点中任选3个点，则这3个点不共线的概率为 ． 答案：45考点：古典概型。