分式方程的应用
分式方程的应用知识点
分式方程的应用知识点分式方程主要涉及到有关比例、百分比和利率的应用问题。
在实际生活中，分式方程可以帮助我们解决各种与比例相关的问题，例如货币兑换、混合液体的配制、百分比的计算等。
以下是一些分式方程应用的知识点：1.货币兑换问题在国际贸易中，经常需要将一种货币兑换成另一种货币。
如果已知兑换比例和要兑换的数量，我们可以使用分式方程来计算兑换后的货币数量。
例如，如果1美元兑换为5人民币，那么用x美元可以换成多少人民币可以表示为：5/1=y/x，其中y表示兑换后的人民币数量。
2.比例问题比例问题是分式方程应用的常见场景，比如：种植的草地数量与所需耕地数量之间的关系、两个不同容器中液体的比例、不同材料的配比等。
比例可以表示为a/b=c/d，其中a、b、c、d分别表示不同元素或数量之间的关系。
3.百分比问题百分比是分式方程应用中的另一个重要知识点。
百分比表示一个数相对于另一个数的比例。
通常用百分号表示，例如60%表示60/100。
在解决百分比问题时，我们常常需要找到未知数的百分数或一部分，并通过解分式方程来计算。
例如，如果商品价格上涨了20%，现在的价格是120元，那么原来的价格可以表示为x，方程为：x*(1+20/100)=120。
4.利率问题5.代数表达式的分式有时候我们还需要将代数表达式视为分式，并在求解方程时运用分式的性质。
例如，对于表达式(a+b)/c，我们可以通过分数的加法和乘法性质来合并分式、约分，从而求解方程。
6.比例和个体数量问题综上所述，分式方程主要应用于与比例、百分比和利率相关的问题。
熟练掌握这些知识点，可以帮助我们解决各种实际生活中的应用问题。
分式方程的应用
分式方程的应用在我们的日常生活和学习中，数学知识无处不在，分式方程就是其中一个重要的工具。
它不仅在数学领域中有着重要的地位，还在实际生活中有着广泛的应用。
先来说说分式方程在行程问题中的应用。
假设小明从家到学校，如果以每分钟 50 米的速度行走，会迟到 3 分钟；如果以每分钟 70 米的速度行走，会提前 5 分钟到校。
那么小明家到学校的距离是多少呢？我们可以设小明按时到校需要 x 分钟。
根据路程相等，我们可以列出分式方程：50(x ＋ 3) ＝ 70(x 5) 。
通过解方程，我们可以求出 x 的值，进而求出小明家到学校的距离。
分式方程在工程问题中也发挥着重要作用。
比如一项工程，甲单独做需要 x 天完成，乙单独做需要 y 天完成。
两人合作需要多少天完成呢？我们知道工作效率＝工作总量÷工作时间。
设工作总量为 1 ，那么甲的工作效率就是 1/x ，乙的工作效率就是 1/y 。
两人合作的工作效率就是 1/x ＋ 1/y ，那么两人合作完成这项工程需要的时间就是 1÷（1/x ＋ 1/y) ，这就是一个分式方程。
在销售问题中，分式方程同样有用武之地。
某商店销售一种商品，进价为 40 元/件。
当售价为 60 元/件时，每天能卖出 100 件。
经过市场调查发现，每件商品售价每降低 1 元，每天就能多卖出 10 件。
如果要使每天的利润达到 2240 元，那么商品的售价应该定为多少呢？我们设商品的售价定为 x 元/件。
那么每件商品的利润就是 x 40 元，每天的销售量就是 100 ＋ 10(60 x) 件。
根据利润＝每件利润×销售量，我们可以列出分式方程：（x 40)100 ＋ 10(60 x) ＝ 2240 。
通过解方程，我们就能求出商品的售价。
再来看一个分式方程在生产问题中的应用。
某工厂要生产一批零件，原计划每天生产 x 个，由于改进了生产技术，实际每天比原计划多生产 10 个，结果提前 3 天完成了任务。
分式方程及应用
分式方程及应用1．分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法：解分式方程的关键是 （即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。
验根的方法是将所求的根代入或 。
4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。
6. 分式方程的解法有 和 。
1.把分式方程的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得（ ）A．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1 C．1-(1-x)=x-2 D．1+(1-x)=x-22. 方程的根是（ ）A.－2 B. C.－2， D.－2，13.当=_____时，方程的根为4.如果，则 A=____ B＝________.5.若方程有增根，则增根为_____，a=________.6.解下列分式方程：7. 若关于x的分式方程有增根，求m的值。
1.方程去分母后，可得方程（ ）2.解方程，设，将原方程化为（ ）3. 已知方程的解相同，则a等于（ ）A．3 B．－3 C、2 D．－24. 分式方程有增根x=1，则 k的值为________5.满足分式方程的x值是（ ）A．2 B．－2 C．1 D．06.解方程：（本题写出主要思想和步骤）7.某煤厂原计划天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为 .8.小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，现在乘车，若乘车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为。
分式方程的解法和应用
分式方程的解法和应用分式方程，又称有理方程，是指包含了分数的方程。
解决分式方程问题可以在数学中发挥很大的作用，因为它们可以用来描述实际问题，特别是在科学和工程领域中。
本文将介绍一些常见的分式方程的解法以及它们在实际应用中的应用。
一、一次分式方程的解法一次分式方程是指分式的分子和分母的次数均为1的方程。
例如，2/x + 3 = 1/2。
解决这类问题的一种常见方法是通过消去分母，使方程转化为线性方程。
在这种情况下，可以通过以下步骤来解决方程：1. 将分数转化为一个等于0的分式形式，例如将2/x转化为2/x - 1/2。
2. 通过求公倍数来消去分母，例如通过乘以2来消去分母。
3. 合并同类项并将方程转化为一元一次方程，例如2 - x = 1/2。
4. 将方程解题得到x的值，检查解的合法性。
二、二次分式方程的解法二次分式方程是指分式的分子或者分母的次数为2的方程。
例如，1/x^2 + 1/x = 2。
解决这类问题的一种常见方法是通过将方程转化为二次方程，然后使用二次方程的解决方法来求解。
在这种情况下，可以通过以下步骤来解决方程：1. 将分数转化为一个等于0的分式形式，例如将1/x^2转化为1/x^2 - 2。
2. 将方程中的分数转化为一个多项式方程，例如通过乘以x^2来消去分母。
3. 合并同类项并将方程转化为二次方程，例如x^2 - 2x + 1 = 0。
4. 使用求解二次方程的方法，例如配方法、因式分解法或者公式法，得到x的值。
5. 检查解的合法性。
三、分式方程的应用分式方程在实际应用中有广泛的用途，常见的应用包括以下几个方面：1. 比例问题：比例问题可以通过设置分式方程来解决。
例如，一个图书馆中有1000本书，其中有3/10是故事书，那么故事书的数目可以表示为(3/10)*1000=300本。
2. 涉及速度、距离和时间的问题：速度、距离和时间之间有一定的关系，可以通过设置分式方程来解决相关问题。
例如，一个人以每小时60公里的速度行驶，问他行驶1小时可以行驶多远，可以通过设置方程60/1=x/1解决。
分式方程的应用
分式方程可以用来解决各种实际问题，如速度、时间和距离问题、溶液混合问题 、经济问题等。通过建立数学模型，将实际问题转化为分式方程，可以方便地求 解并得到实际问题的答案。
02
分式方程在物理中的应用
速度、距离和时间的关系
总结词
分式方程在物理中的速度、距离和时间关系问题中有着广泛的应用，通过建立分式方程，可以求解出物体的运动 速度、距离和时间的关系。
市场营销策略。
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分式方程在日常生活中的应用
交通流量问题
总结词
分式方程在交通流量问题中有着广泛的应用，可以用来 描述和分析道路、铁路、航空等交通方式的流量和运输 情况。
详细描述
在交通流量问题中，分式方程可以用来描述不同交通工 具之间的速度、时间和距离关系，以及交通流量的变化 规律。例如，在高速公路上，可以使用分式方程来描述 汽车的速度、加速度和刹车距离之间的关系，从而词
分式方程在资源分配问题中也有着重要的应用，可以 用来描述和分析如何合理地分配有限的资源。
详细描述
在资源分配问题中，分式方程可以用来描述资源的分配 比例和优先级，以及如何平衡不同利益相关方的需求和 利益。例如，在医疗资源分配中，可以使用分式方程来 描述如何根据患者的病情和医生的建议来合理地分配医 疗资源和医疗费用。
详细描述
重力加速度是物体在地球表面附近自由下落的加速度，其大小约为9.8m/s²。通过建立分式方程，我 们可以表示出物体下落过程中的加速度与时间的关系，进而求解出物体下落的高度和时间。
电学中的欧姆定律
总结词
欧姆定律是电学中的一个基本定律，通 过建立分式方程，可以求解出电路中的 电流、电压和电阻之间的关系。
VS
详细描述
欧姆定律指出，在同一电路中，电流与电 压成正比，与电阻成反比。通过建立分式 方程，我们可以表示出电路中的电流、电 压和电阻之间的关系，进而求解出电路中 的电流和电压。这对于分析电路的工作原 理和解决实际问题具有重要的意义。
分式方程的应用
方程的复杂性
挑战
分式方程可能具有复杂的表达式和多个未知 数，增加了解决的难度。
解决方案
使用符号计算软件或编程语言来求解复杂的 分式方程，或者将其化简为更简单的形式， 例如通过部分分式展开或变量替换。
数据的可靠性
挑战
分式方程中的数据可能不可靠或存在误差， 例如由于实验或测量引起的误差。
分式方程理论在其他学科中的应用 将进一步拓展，如物理学、生物学 、经济学等。
符号计算的发展
随着符号计算技术的发展，分式方 程的符号求解将更加精确和高效。
分式方程在新技术中的应用前景
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人工智能
在人工智能领域，分式方 程将在模型训练、优化问 题、图像处理等方面发挥 重要作用。
大数据技术
在处理大量数据时，分式 方程将为数据分析提供有 效的工具，帮助挖掘数据 背后的规律和趋势。
概念
分式方程表示一个数或变量与另 一个数或变量之间的关系，其结 果是一个分数。
分式方程的解法
方法
解决分式方程的方法包括约分、通分 、交叉相乘和去分母等。
步骤
首先对分式方程进行约分或通分，然 后交叉相乘或去分母，最后将得到的 解代入原方程进行验证。
分式方程的分类
分类
分式方程可以根据其形式和特 点分为简单分式方程、可约分 式方程、不可约分式方程等。
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分式方程在科学中的应用
物理中的力学问题
牛顿第二定律
分式方程在力学中经常用于描述物体的加速度与作用力之间的关系。例如，一个物体从静止开始下落 ，受到重力和空气阻力作用，那么物体下落的加速度与作用力之间的关系就可以用分式方程来表示。
弹性碰撞
在力学中，分式方程还可以用来描述两个物体的弹性碰撞过程。例如，两个小球发生弹性碰撞，碰撞 前后的速度和时间之间的关系就可以用分式方程来表示。
分式方程的应用(行程、问题)
将求得的未知数的值代入原分式方程进行检 验，确保解是合理的。
换元法
设定新变量
根据分式方程的特点，设定一个新变量代替原方 程中的某个部分，从而简化方程。
解新方程
解这个关于新变量的整式方程，得到新变量的值 。
建立新方程
用新变量表示原方程，得到一个关于新变量的整 式方程。
回代求解
将求得的新变量的值代回原方程，求出未知数的 值。
抛体运动中的射程和射高计算
在抛体运动中，物体的射程和射高与初速度、抛射角等因素有关。通过设立分式 方程，可以求出物体在抛体运动中的射程、射高以及其他相关信息。
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工程问题中的分式方程
工作效率问题
工作总量与工作时间的关系
通过设定工作总量为单位“1”，根据工作效率的定义建立分式 方程，求解工作时间或工作效率。
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观察法
通过观察分式方程的特点和结 构，直接找出方程的解或简化
方程的求解过程。
合并同类项法
将分式方程中的同类项进行合 并，从而简化方程的求解过程
。
分离常数法
将分式方程中的常数项分离出 来，得到一个更简单的分式方
程进行求解。
利用已知条件法
根据题目给出的已知条件，直 接代入分式方程进行求同的地点出发，以不同的速度 相对而行，最终在某一点相遇。通过设立分式方程，可以求出相 遇的时间、地点等关键信息。在追及问题中，一个物体追赶另一 个物体，通过设立分式方程可以求出追及的时间、距离等。
变速直线运动中的分式方程
平均速度的计算
在变速直线运动中，物体的速度会发生变化。通过设立分式方程，可以求出物 体在某段时间内的平均速度，进而计算出路程等其他相关信息。
分式方程的实际应用
分式方程的实际应用分式方程在实际生活中有很多应用。
下面我将举例说明几种常见的实际应用。
1.比例问题比例问题是分式方程的一个典型应用。
例如，在购物时，我们常常会遇到“打折”或“降价”的情况。
假设一家商店原价出售一件商品，现在将商品以折扣价出售，打折比例为x。
那么，我们可以得到以下分式方程：折扣价=原价*(1-x)通过解这个分式方程，我们可以计算出打折后的价格。
这个方程可以帮助我们在购物时做出更明智的决策。
2.涉及速度的问题分式方程也可用于涉及速度的问题。
例如，在旅行中，当我们知道辆车每小时行驶v英里时，我们可以计算出x小时后车辆所行驶的总英里数，这可以表示为以下分式方程：总英里数=v*x这个方程可以帮助我们计算出车辆在任意时间内的行驶距离，从而帮助我们规划旅行路线或者估算到达目的地所需时间。
3.混合液体问题分式方程还可用于混合液体问题。
例如，假设我们有两种浓度不同的溶液，其中一种浓度为x，另一种浓度为y，我们想要得到一定浓度的混合液体，我们可以通过以下分式方程求解：所需浓度*所需体积=x*体积1+y*体积2通过解这个方程，我们可以计算出需要的溶液体积，以及每种溶液的体积比例，从而准确地配制出我们所需要的混合液体。
4.长方形的长和宽问题分式方程还可以用于解决长方形的长和宽问题。
例如，假设我们知道一个长方形的面积为A，我们希望找到一个长方形，使得其一边长为x，另一边长为y，那么我们可以用以下分式方程来表示这个问题：A=x*y通过解这个方程，我们可以计算出长方形的长和宽，从而绘制出所需要的长方形。
综上所述，分式方程在实际生活中有许多应用。
从求解比例问题、涉及速度的问题到混合液体问题和长方形的长和宽问题，分式方程都能够提供一种有效的工具来解决这些实际问题。
了解分式方程的实际应用可以帮助我们更好地理解和应用这个数学概念，并将其运用到日常生活中的各种情境中。
分式方程的解法及应用
分式方程的解法及应用分式方程是数学中常见的一类方程，其特点是方程中含有分式表达式。
解决分式方程的关键是找到合适的方法，以求得方程的解。
本文将介绍几种常见的分式方程解法，并探讨其在实际应用中的一些案例。
一、通分法通分法是解决分式方程的基本方法之一。
当方程中含有多个分式时，我们可以通过通分的方式，将其转化为一个分子为0的分式方程。
例如，对于方程$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$，我们可以通过通分得到$yz+xz=xy$，进而得到$xy-xz-yz=0$。
这样，我们就将原方程转化为了一个分子为0的分式方程，可以更方便地求解。
二、代换法代换法是解决分式方程的另一种常用方法。
通过合理的代换，可以将方程转化为一个更简单的形式。
例如，对于方程$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$，我们可以令$u=\frac{1}{x}$，$v=\frac{1}{y}$，则原方程可以转化为$u+v=2$。
这样，我们就将原方程转化为了一个线性方程，可以通过求解线性方程的方法得到解。
三、消元法消元法是解决分式方程的另一种常见方法。
通过巧妙地选择消元的方式，可以将方程转化为一个更简单的形式。
例如，对于方程$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=3$，我们可以通过乘以$x$和$y$的方式，得到$x^2+y^2=3xy$。
这样，我们就将原方程转化为了一个二次方程，可以通过求解二次方程的方法得到解。
在实际应用中，分式方程的解法有着广泛的应用。
以下是几个具体的案例：案例一：物体的速度假设一个物体以速度$v$匀速运动，经过时间$t$后的位移为$s$。
根据运动学公式，位移与速度和时间的关系可以表示为$s=vt$。
现在假设物体的速度是变化的，速度与时间的关系可以表示为$v=\frac{a}{t}$，其中$a$是一个常数。
我们可以通过求解分式方程$\frac{s}{t}=\frac{a}{t}$，得到物体的位移与时间的关系。
分式方程的应用
分式方程的应用1. 什么是分式方程？分式方程是数学中一种特殊的方程，其中包含了至少一个或多个分式。
分式方程通常使用分数形式表示，在等号两侧分别包含有分母的表达式。
例如，下面是一个分式方程的示例：1/(x+1) + 1/(x-1) = 1/2上述方程中，分式方程包含两个分式，并且方程左边的两个分式的和等于右边的一个分式。
2. 分式方程的应用分式方程在数学中有许多应用，以下是其中一些常见的应用场景。
2.1 电路中的分式方程在电路分析中，分式方程经常被用来描述电路中的电压和电流之间的关系。
通过建立分式方程，可以对电路进行精确地分析和计算。
例如，考虑一个简单的电路，其中有一个电阻为R的电阻器和一个电源，电源的电压为V。
假设我们要计算电路中的电流I。
根据欧姆定律，电流和电阻之间的关系可以用以下分式方程表示：I = V / R在这个例子中，我们使用了分式方程来描述电流和电阻之间的关系。
2.2 液体混合问题中的分式方程液体混合问题是应用分式方程的另一个常见场景。
例如，假设有两个容器A和B，容器A中有一种液体，容器B中有另一种液体。
我们要将两种液体混合在一起，得到一种混合液体。
假设容器A中液体的体积为V1，容器B中液体的体积为V2。
假设我们将容器A中的液体全部倒入容器B中，然后搅拌均匀。
我们要计算混合液体中液体A的体积比例。
可以通过以下分式方程来描述这个问题：V1 / (V1 + V2) = x在这个方程中，x表示混合液体中液体A的体积比例。
2.3 财务问题中的分式方程分式方程在财务问题中也有广泛的应用。
例如，假设我们要计算一个投资账户中的年利率。
假设账户的年利率为r，投资的本金为P，投资时间为t年。
根据复利公式，投资账户的最终价值可以通过以下分式方程计算：P(1 + r)^t = V在这个方程中，V表示投资账户的最终价值。
3. 总结分式方程是数学中一种常见的方程形式，广泛应用于许多不同的领域。
无论是在电路分析中还是在液体混合问题中，分式方程都能提供准确的数学描述和解决方案。
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思考题：试编写一道与下面分式 方程相符的实际问题.
1 1 1 1. 5 10 2x
16.3 分式方程
分式方程的应用
学习目标
1、能够找出实际问题中的已知 数量与未知数量，确定等量关 系，列出分式方程
2、基本掌握列分式方程解应用 题的方法和步骤
引例： 甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙 多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所 用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
由x＝18得x－6=12
答：甲每小时做18个，乙每小时12个
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系. 2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整. 3.列:根据数量和相等关系,正确列出方程. 4.解:认真仔细解这个分式方程. 5.验:检验.（是否是分式方程的根， 是否符合题意）
解：设甲每小时做x个零件则乙每小时做（ x －6）个零件，
依题意得： 等量关系：甲用时间=乙用时间
90 60 x x6
请审题分析题意 设元
90x 6 60x
90x 60x 540
我们所列的是一
30x 540
个分式方程，这
x 18
是分式方程的应 用
经检验X=18是原分式方程的根,且符合题意。
量是这块地的 8 . 3、两台拖拉机合耕这块地，1天耕地量是这块地的
1 x
1 8
.
4、列方程的依据 是： 甲、乙合作1天完成这块地的一。半
选一选
• 甲乙两班参加校园植树活动，已知甲班每天比
乙班多植树10棵，甲班植100棵树所用的天数
与乙班植80棵所用的天数相等。若乙班每天
植树x棵，根据题意列方程是（ C ）
3
解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时， 依题意得：
15 15 2 3x x 3
即： 5 15 2 x x3
15＝45－2x 2x=30
得到结果记 住要检验。
x=15 经检验，15是原方程的根，并符合题意 由x＝15得3x=45 答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时
工程全部完成.哪个队的施工速度快?
分析: 甲队1个月完成总工程的
1 3 ,设乙队如果
1
单独施工1个月完成总工程的 x ,那么甲队
1
半个月完成总工程的___6__,乙队半个月完 1
成总工程的___2_x_,两队半个月完成总工程
的_(_16__2_1_x_) .
列方程的关键是什么？问题中的那个等量 关系可以用来列方程？
可知乙队施工速度快.
3
巩固练习
一台甲型拖拉机4天耕完一块耕地的一半，一 台乙型拖拉机加入合耕，1天耕完这块地的另一 半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？
分析：一块耕地是工作总量，可设为 1 .
1、若设乙型拖拉机1单独耕块这地需要x天完成，那么它1 天耕地量是这块地 x .
2、一台甲型拖拉1 机4天耕完这块地的一半。那么1天耕地
6.答:注意单位和语言完整.
例题分析:
两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单 独施工1个月完成总工程的三分之一，这时 增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总 工程全部完成. 问乙队单独施工需几天完成?
例题分析:
两个工程队共同参与一项，这时
增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总
• 甲队施工1个月的工作量+甲乙共施工半个 月的工作量=总工作量
解:设乙队如果单独施工1个月完成总工程的
1 x
.
依题意得
1 1 1 1 3 6 2x
方程两边同乘6x,得
2X+X+3=6X
解得
x=1
检验:x=1时6x≠0,x=1是原分式方程的解
答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完
成全部任务, 而 甲队1个月完成总工程的 1 ,
• A、100 =
X- 10
80
x
B、
100
x
=
80
x+5
• C、X1+0100 =
80
x
D、
100
x
=
80 X- 5
试一试：农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑 自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达， 已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度。
汽车所用的时间＝自行车所用时间－ 2时