利用极坐标解圆锥曲线题word版本.docx
附录24圆锥曲线的极坐标方程
CHENLI
11
建立如图所示的极坐标系，
则圆锥曲线有统一的极坐标方程
A F
ep
B
x
1ecos
注2：若AB为焦点弦，则
2ep
| AB|1e2co2s
;
1 1 2 | AF| | BF| ep
设 A(1), B(2)
故 | AB | |A| F |B| F 121eecpos1eceops()
叫做极轴；再选定一个长度单位和角度单位及它的
正方向。这样就建立了一个极坐意一点M O
X
用ρ表示线段OM的长度， 用θ表示从OX到OM的角度
有序数对(ρ,θ)就叫做M的极坐标
ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角
CHENLI
3
极坐标系的分类
常用极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈R 狭义极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈[0，2π) 广义极坐标系： ρ ,θ∈R
4
极坐标与直角坐标的互化
①互化的三个前提条件：
（1）极点与直角坐标系的原点重合 （2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 （3）两种坐标系的单位长度相同 ②互化方法：
（1）形法： 类似于辅助角公式中，用形法求振幅及辅助角
（2）数法：
x2 y2 2
sin
y
x
cos
y
sin
CHENLI
cos
x
tan
y x
5
特殊直线的极坐标方程
图
l
θ0
O
x
像
l
(a,0) Ox
l
(a, )
Ox
l
(a, ) 2
O
x
O
x
l
(a , 3 )
引入极坐标解决圆锥曲线焦半径问题
引入极坐标解决圆锥曲线焦半径问题作者：胡建国来源：《数学教学通讯·中等教育》2014年第10期摘要：在人教A版选修4-4《坐标系与参数方程》中，只介绍了直线、圆的极坐标方程，没有介绍圆锥曲线的极坐标方程.实际上，对于圆锥曲线的焦半径或者焦点弦问题，引入极坐标，会大大简化计算过程. 本文通过几道例题来介绍这种方法以及分析这种方法的优势.关键词：圆锥曲线；焦半径；极坐标系方程高中数学教材通过几个例题，实际上给出了圆锥曲线的统一定义：与一个定点和一条定直线的距离的比为常数e的点的轨迹，当01时，轨迹是双曲线. 我们可以利用这个统一定义，得到圆锥曲线的极坐标方程.以椭圆为例，介绍极坐标方程的推导过程.如图1，以左焦点F1为极点，沿长轴方向为极轴，建立极坐标系.设点M（ρ，θ）是椭圆上任意一点，则=e，把左焦点到左准线的距离记为p，则=e，整理得：ρ=，此方程为椭圆的极坐标方程.图1例题1 已知椭圆C：+=1，过点F1（-2，0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A，B 和D，E，求AB+DE的最小值.解法一：设直线AB的方程为x=ty-2，设点A（x1，y1），B（x2，y1），由x=ty-2，+=1得（t2+2）y2-4ty-4=0，故y1+y2=，y1·y2=，得AB=y1-y2=·=；同理可得DE=，所以AB+DE=+=12≥12·=.当且仅当t2+2=2t2+1，即t=±1时取到“=”号. 另外，当直线AB的方程为y=0时，AB=4，DE=2，此时，AB+DE=6. 综上，由解法二：以F1为极点，沿长轴方向为极轴，建立极坐标系，得到椭圆的极坐标方程为：ρ=.设B（ρ，θ），θ∈[0，2π]，则AB=AF1+BF1=+=，DE=DF1+EF1=+=，所以：AB+DE=+==≥=，即AB+DE的最小值为.对比上述两种解法，我们可以发现，第一种解法不仅要分情况讨论，另外计算量也很大，尤其是求最值的部分需要较好的数学功底；第二种解法过程简洁，不需要分情况讨论，而且求最值的问题转化为三角函数的最值问题.显然，在椭圆的焦点弦问题中，引入极坐标能极大地提高解题效率.例题2 已知C1：y2=4x，C2：+=1，过F（1，0）点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与C1相交于A，B，l2与C2相交于C，D，求四边形ACBD面积的取值范围.解：以F为极点，沿椭圆长轴方向为极轴，建立极坐标系. 由椭圆的直角坐标系方程+=1得到椭圆的极坐标方程为ρ=，则CD=CF+DF=+=. 由抛物线的直角坐标系方程y2=4x得到其极坐标方程为ρ=.AB=BF+AF=+=SACBD=AB·CD=··=≥8，所以四边形ACBD面积的取值范围是[8，+∞）.例题3 试证明：过双曲线C：-=1的一个焦点F作两条相互垂直的弦分别交双曲线于AB 和CD，则+=.证明：以右焦点F2为极点，沿实轴方向为极轴，建立极坐标系，得到双曲线的极坐标方程为：ρ=，记t=-a，则AB=+=，CD=+=+=，+=+===，所以，命题得证.。
极坐标圆锥曲线问题
极坐标秒杀圆锥曲线问题一、适用题型二、基本理论：（一）极坐标系、在平面内取一定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），如图对于平面内任意一点M，用ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
极坐标为ρ,θ的点M，可表示为M (,)ρθ。
（二）圆锥曲线的统一极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点F)的距离和一条定直线(准线L)的距离的比等于常数e 的点的轨迹。
建立以焦点F 为极点，x 轴正方向为极轴的极坐标系，其统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（成为标准极坐标方程）。
（1）当0＜e＜1时，方程表示椭圆；定点F 是椭圆的左焦点，定直线L 是它的左准线。
（2）e=1时，方程表示开口向右的抛物线.（3）e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点F 是它的右焦点，定直线L 是它的右准线。
（若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线）其中：（i）ρ是动点到极点的距离（ρ＞0），θ表示极径与极轴正方向的夹角。
（ii）e 表示圆锥曲线的离心率，c e a=。
（iii）p 表示焦点到准线的距离。
由焦点与准线的不同位置关系，从而建立不同的极坐标，利用圆锥曲线定义可得其统一极坐标方程为：推广1：1+cos epe ρθ=（1）0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆（2）e=1时时，方程表示开口向左的抛物线（3）e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线推广2：1-sin ep e ρθ=（1）0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆（2）e=1时，方程表示开口向上的抛物线（3）e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线推广3：1+sin ep e ρθ=（1）0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆（2）e=1时，方程表示开口向下的抛物线（3）e＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线（三）常用性质（1）对于圆锥曲线的标准极坐标方程θρcos 1e ep-=，则与之对应的直角坐标方程为：()22221x c y a b++=，当（0<e<1时）；()22221x c y a b++=，当（e>1时,R ρ∈）；22()y p x c =+(当e=1时)（2）记圆锥曲线的统一方程1-sin epe ρθ=，有公式1：2(0)()a ρρπ=+公式2：2(0)()c ρρπ=-公式3：22(0)()b ρρπ= 其中2a 表示椭圆长轴与双曲线实轴长，2b 表示椭圆短轴与双曲线虚轴长，2c 表示焦距。
专题13极坐标秒解圆锥曲线微点2极坐标秒解圆锥曲线综合训练
专题13 极坐标秒解圆锥曲线微点2 极坐标秒
解圆锥曲线综合训练
12．如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为(1)求椭圆的方程；
(2)在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使∠
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点）长线与椭圆交于点C．
①当直线AB的斜率存在时，求证：直线
②求△ABC面积的最大值，并求此时直线
参考答案：
（2）设椭圆的左焦点(13,0F -即12MP MF MP MF +=-+()()
22
1310117PF =
--+-=
（3）椭圆的右准线25
3x =
，设椭圆上的点35MF d =， 5||||3
MP MF +=离，即
2522
133
-=
所以5||||3MP MF +的最小值是223所以5
||||3MP MF +的值最小时点M 【点睛】本题考查椭圆内的最值问题，重点考查转化与变形，数形结合分析问题，属于中档题型.
）
记椭圆的右顶点为A ，并设i i AFP α∠=（i =1，假设1203απ
≤≤
，且2123ααπ=+，3143
ααπ=+又设点i P 在l 上的射影为i Q ，因椭圆的离心率e 2cos i i i i i a FP PQ e c FP e c α⎛⎫==-- ⎪⎝⎭ 1
(92FP =
-
答案第17页，共17页。
(完整word版)高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)
椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB=。
高考之圆锥曲线篇】极坐标
大招四 极坐标秒解圆锥曲线3（原点篇） 在椭圆22
2210,0x y a b a b
+=>>（）中，O 是坐标原点，A 、B 是椭圆上两点，OA 、OB 的长度可以用极坐标表示，部分题目可以达到简化计算的目的。
令cos ,sin x y ρθρθ==，则222221
cos sin a b θθρ=+。
例1、设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于，两点，证明：点到直线
的距离为定值，并求弦长度的最小值. 例2已知椭圆
的长轴为4,且过点 (1)求椭圆C 的方程;
(2)设点O 为原点,若点P 在曲线C 上,点Q 在直线
上,且,试判断直线PQ 与圆的位置关系,并证明你的结论.
x 2y 23左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝23，设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是椭圆上不同两点，且这两点分别与坐标原点的连线的斜率之积为－14
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)求证：x 21＋x 22为定值，并求该定值．。
圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的统一定义：一动点P 到一定点O 的距离与到一定直线L 的距离之比为一定值常数e ，则点P 的轨迹为圆锥曲线。
今以一定点O 为极点，使极轴垂直于定点的直线L ，交点为H ，L PD ⊥.设p HO =，又设),(θρP 为轨迹上任意一点，即θρcos +=HO DP ，从而θρρcos +==p DPOP e ，即θρcos 1e ep -=椭圆（双曲线）的焦参数cb p 2=（极和极线的距离）椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（如右图）其中02>=cb p 是定点F 到定直线的距离， 当10<<e 时，方程表示椭圆；当1>e 时，方程表示双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线右支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。
当1=e 时，方程表示开口向右的抛物线。
引论:（1）若θρcos 1e ep+=当10<<e 时，方程表示极点在右焦点上的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在左焦点的双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线左支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。
当1=e 时，方程表示开口向左的抛物线。
（2）若θρsin 1e ep-=10<<e 时，方程表示极点在下焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在上焦点上的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向上的抛物线。
（3）1sin ep e ρθ=+当10<<e 时，方程表示极点在上焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在下焦点的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向下的抛物线。
整体对比：θρcos 1e ep -=θρcos 1e ep +=θρsin 1e ep-=θρsin 1e ep +=例题：一、二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程θρcos 3510-=表示的曲线的离心率，焦距，长短轴长。
极坐标方程在圆锥曲线中的应用
极坐标方程在圆锥曲线中的应用作者：周震来源：《中学生数理化·学习研究》2017年第08期在圆锥曲线问题中，常出现的长度问题主要有两大类：一是与焦点有关，主要体现在过焦点的弦长、直线的倾斜角、焦准距等相关的问题；二是与原点有关的长度和角度问题。
这两类问题利用圆锥曲线常规解法往往运算量较大，学生通常比较害怕。
如果我们转换思路，合理利用曲线的极坐标方程来解，可以将繁琐复杂的计算简单化，提高解题速度和正确率。
下面通过具体例题来阐述圆锥曲线的极坐标解法。
在极坐标系中，以圆锥曲线的焦点F（椭圆为左焦点，双曲线为右焦点）为极点，对称轴为极轴建立极坐标系，离心率为e，焦点到准线的距离为p。
则圆锥曲线的极坐标方程为ρ=ep1-ecosθ。
当以原点为极点，Ox轴为极轴时，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的极坐标方程ρ2=a2b2b2cos2θ+a2sin2θ。
双曲线x2a2-y2b2=1的极坐标方程为ρ2=a2b2b2cos2θ-a2sin2θ。
抛物线y2=2px的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ。
圆心为（a，0），半径为a的圆的极坐标方程为ρ=2acosθ。
一、与焦点有关的问题例1已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）过椭圆的左焦点F作倾斜角为π3的直线交椭圆于A、B两点，且AF∶BF=2∶1，求椭圆的离心率。
分析：在极坐标系中，由于椭圆的极坐标方程是以左焦点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的坐标系，极径的长即为椭圆上的点到焦点的距离，所以可以利用极坐标方程来解决。
解：以椭圆的左焦点F为极点，Fx轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ=ep1-ecosθ。
则AF=ep1-12e，BF=ep1+12e。
因为AF∶BF=2∶1，所以ep1-12e∶ep1+12e=2∶1。
化简得e=23。
故所求椭圆的离心率为e=23。
运用极坐标方程解决与焦点弦长有关的问题可以简化计算量，提高解题速度和效率。
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利用极坐标解题知识点精析：椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点( 焦点 ) 的距离和一条定直线 ( 准线 ) 的距离的比等于常数 e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点 ( 双曲线的右焦点、抛物线的焦点) 为极点，过点 F 作相应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：ep.1 ecos其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p＞ 0 ．当 0＜ e＜ 1 时，方程表示椭圆；当 e＞ 1 时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线.引论（ 1）若ep1+ecos则0＜ e＜ 1 当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆当 e=1 时时，方程表示开口向左的抛物线当 e＞ 1 方程表示极点在左焦点上的双曲线（2 ）若ep1-esin当0 ＜ e＜ 1 时，方程表示极点在下焦点的椭圆当e=1 时，方程表示开口向上的抛物线当e ＞ 1 时 ! 方程表示极点在上焦点的双曲线ep（3）1+esin当 0 ＜ e ＜ 1 时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当 e=1 时，方程表示开口向下的抛物线当 e ＞ 1 时 ! 方程表示极点在下焦点的双曲线例题选编（1）二次曲线基本量之间的互求例 1.（复旦自招）确定方程10 表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。
3cos523 10解法一：5 31 3cos1 3cos55310e， P5 3c33 a c a25a558 b 2 10510 c15c3a c3 83b( 25 )2 ( 15 )2 5 8 823 15 长轴长 25，短轴长5方程表示椭圆的离心率 e，焦距 ，454解法二：转化为直角坐标（ 2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F ，1、椭圆中， pa 2 cb 2 ， MNep ep) a 22ab 2 .cc1 ecos 1 ecos(c 2 cos 2若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线 的倾斜角为交椭圆于 A 、 B 两点，求弦长。
解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，则弦长。
同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。
）ep ep2ab2；若 M 、 N 在双曲线同一支上，MN1ecos1ecos() a2c2cos2ep ep2ab2若 M 、 N 在双曲线不同支上，MN1ecos1ecos c 2 cos2a2设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、 B 两点，求弦长|AB| 。
解：（ 1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A、 B 在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得整理可得，同理，则可求得弦长。
（2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、 B 在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得，整理可得，则因此焦点在x 轴的焦点弦长为同理可得焦点在y 轴上的焦点弦长公式其中 a 为实半轴， b 为虚半轴， c 为半焦距，为AB的倾斜角。
p p 2 p3、抛物线中，MN1 cos1 cos() sin 2若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点，若的倾斜角为，求弦长 |AB| ？（图 4）解：过 A、 B 两点分别向x 轴作垂线为垂足，设，，则点 A 的横坐标为，点B横坐标为，由抛物线定义可得即则同理的焦点弦长为的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为例 2．已知抛物线y2=2px （p>0 ），过其焦点且斜率为k 的直线交抛物线于 A ， B 两点，求AB 长 .练习 1：．过双曲线x2- y21的右焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线与 A 、 B 两点，453求｜AB ｜解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系即得53cos A(,), B( 2 ,) 2133附录直角坐标系中的焦半径公式设 P （ x,y ）是圆锥曲线上的点，1、若 F 1、 F 2 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF 1 a ex ， PF 2 a ex ；2、若 F 1、 F 2 分别是双曲线的左、右焦点，当点 P 在双曲线右支上时， PF 1 ex a ， PF 2 ex a ；当点 P 在双曲线左支上时， PF 1 a ex ， PF 2 a ex ；3、若 F 是抛物线的焦点，PFxp.2利用弦长求面积22例 3．设过椭圆xy1 的右焦点的弦 AB=8 ，求三角形 AOB 的面积。
25162 2练习 2．（ 08 年海南卷）过椭圆x y 1 的焦点 F 作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于5 4A ，B 两点， O 为坐标原点，求AOB 的面积．简解：首先极坐标方程中的焦点弦长公式| AB |2ep求弦长，然后利用公式e 2 cos 2 11| AB ||OF | sin AFO 直接得出答案。
S AO B2年全国高考理科 )已知点 F 为椭圆x 2练习 3． (2005y 2 1的左焦点 .过点 F 的直线 l 1 与椭2圆交于 P 、 Q 两点， 过 F 且与 l 1 垂直的直线 l 2 交椭圆于 M 、 N 两点， 求四边形 PMQN 面积的最小值和最大值 .2解析：以点 F 为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：2 2cos12设直线 l 1 的倾斜角 ，则直线 l 2 的倾斜角为900 ，由极坐标系中焦点弦长公式知：| PQ |2 ， | MN |221cos21cos 2(900)1sin2111222用他们来表示四边形的面积S1| PQ |g| MN |1 11112sin 221sin 222 4gcos2 161即求的最大值与最小值11 sin2 22 16由三角知识易知：当 sin 21时，面积取得最小值16；当 sin 20 时，面积取得最大值 29利用弦长公式解决常量问题x 2y 2 1 (a b 0)例 4．过椭圆 a 2b 2 的左焦点 F ，作倾斜角为 60 的直线 l交椭圆于 A 、B两点，若FA2 FB，求椭圆的离心率 .简解：建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。
设椭圆的极坐标方程为e pe pe p1 ecos 则 FA1 ecos 60, FB1 ecos 240 0，∴ e p2 e p，解得 e2；ee31122练习 4．求过椭圆距离。
2 的左焦点，且倾斜角为的弦长 AB 和左焦点到左准线的3 cos42解：先将方程化为标准形式：3 则离心率 e121 ， ep，133cos3p 2所以左焦点到左准线的距为2。
设 A(1,), B(5) ，代入极坐标方程，则弦长4 2,4AB1222243 cos3 cos 5174（ 3）定值问题4例 5. 抛物线y 22 px( p 0) 的一条焦点弦被焦点分为a,b 的两段，证明：1 1 定值。
FFXa b解：以焦点为极点，以轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为p ，设 A(a, ), B(b,)1 cos将 A,B 两点代入极坐标方程，得ap , bp1 cos1 cos()则11 = 1 cos 1 cos() = 2（定值）ab ppp点睛：引申到椭圆和双曲线也是成立的。
推论：若圆锥曲线的弦11 2MN 经过焦点 F ，则有NFepMF例 6．经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB 和弦 CD, 求证1 1 为定值。
ABCD证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为ep，又设1 ecos3则代入可得A 1, 1 ,B2 , + ,C3 , 2 +,D4 ,2 +| AB |2ep， | AB |2ep 则 11 = 2-e 21 e2 cos 21 e2 sin 2AB CD2ep注释。
此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。
注意使用的范围。
推广 1 若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。
需要以原点为极点建立极坐标方程。
推广 2 若不取倒数，可以求它们和的最值。
例 7． (2007重理改 )中心在原点O的x2y2 1 ，点F是其左焦点，在上任3627取三个不同点P1,P2 ,P3使∠P1FP2∠P2 FP3∠ P3 FP11200．明：111FP 2定，并求此定．FP1FP3解析：以点 F 极点建立极坐系，的极坐方程：9，点 P1 2cos的极角，点 P2与 P3的极角分1200、1200， P1、 P2与 P3的极径就分是| FP1|9、 | FP2 |9与 | FP3 | 2cos2cos(1200 )9，因此2cos(120 0 )1112cos2cos(1200 )2cos(1200 )，而在三角函FP1FP 2FP3999数的学中，我知道cos cos(1200 )cos(1200 ) 0 ，因此1112定FP1FP 2FP33点睛：极坐分表示 | FP1 |、 | FP2 |与 | FP3 |，一个角度一个极径．就不会象解析几何那，一个斜角，两个点，同两条焦半径（极径），就是极坐表示曲的点．推广：若放在抛物和双曲中是否成立呢？例 8 ．（ 2006全国江）x 2y 2251的右焦点F，P1，P2，⋯，P2424个依16逆序排列在上的点，其中P1是的右点，并且∠P1FP 2= ∠ P2FP3 = ∠P FP =⋯ =∠P FP .若 24 个点到右焦点的距离的倒数和S，求 S 的．34241n 1 推广 :设 PP 12 P 3 L P n 是 椭圆上的 n 个点，且 FP 1 ,FP 2 ,FP 3 L FP N 圆周角等分则 2i=1 OP i也为定值作业（ 2003 年希望杯竞赛题） 经过椭圆 x 2 y 2 1(a b 0) 的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线和 a 2 b 2 1椭圆相交于 A ， B 两点， | AF 1 | 2 | BF 1 | ． （ 1）求椭圆的离心率 e ；（ 2）若 | AB | 15，求椭圆方程411。