利用极坐标解圆锥曲线题word版本
引入极坐标解决圆锥曲线焦半径问题
引入极坐标解决圆锥曲线焦半径问题作者：胡建国来源：《数学教学通讯·中等教育》2014年第10期摘要：在人教A版选修4-4《坐标系与参数方程》中，只介绍了直线、圆的极坐标方程，没有介绍圆锥曲线的极坐标方程.实际上，对于圆锥曲线的焦半径或者焦点弦问题，引入极坐标，会大大简化计算过程. 本文通过几道例题来介绍这种方法以及分析这种方法的优势.关键词：圆锥曲线；焦半径；极坐标系方程高中数学教材通过几个例题，实际上给出了圆锥曲线的统一定义：与一个定点和一条定直线的距离的比为常数e的点的轨迹，当01时，轨迹是双曲线. 我们可以利用这个统一定义，得到圆锥曲线的极坐标方程.以椭圆为例，介绍极坐标方程的推导过程.如图1，以左焦点F1为极点，沿长轴方向为极轴，建立极坐标系.设点M（ρ，θ）是椭圆上任意一点，则=e，把左焦点到左准线的距离记为p，则=e，整理得：ρ=，此方程为椭圆的极坐标方程.图1例题1 已知椭圆C：+=1，过点F1（-2，0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A，B 和D，E，求AB+DE的最小值.解法一：设直线AB的方程为x=ty-2，设点A（x1，y1），B（x2，y1），由x=ty-2，+=1得（t2+2）y2-4ty-4=0，故y1+y2=，y1·y2=，得AB=y1-y2=·=；同理可得DE=，所以AB+DE=+=12≥12·=.当且仅当t2+2=2t2+1，即t=±1时取到“=”号. 另外，当直线AB的方程为y=0时，AB=4，DE=2，此时，AB+DE=6. 综上，由解法二：以F1为极点，沿长轴方向为极轴，建立极坐标系，得到椭圆的极坐标方程为：ρ=.设B（ρ，θ），θ∈[0，2π]，则AB=AF1+BF1=+=，DE=DF1+EF1=+=，所以：AB+DE=+==≥=，即AB+DE的最小值为.对比上述两种解法，我们可以发现，第一种解法不仅要分情况讨论，另外计算量也很大，尤其是求最值的部分需要较好的数学功底；第二种解法过程简洁，不需要分情况讨论，而且求最值的问题转化为三角函数的最值问题.显然，在椭圆的焦点弦问题中，引入极坐标能极大地提高解题效率.例题2 已知C1：y2=4x，C2：+=1，过F（1，0）点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与C1相交于A，B，l2与C2相交于C，D，求四边形ACBD面积的取值范围.解：以F为极点，沿椭圆长轴方向为极轴，建立极坐标系. 由椭圆的直角坐标系方程+=1得到椭圆的极坐标方程为ρ=，则CD=CF+DF=+=. 由抛物线的直角坐标系方程y2=4x得到其极坐标方程为ρ=.AB=BF+AF=+=SACBD=AB·CD=··=≥8，所以四边形ACBD面积的取值范围是[8，+∞）.例题3 试证明：过双曲线C：-=1的一个焦点F作两条相互垂直的弦分别交双曲线于AB 和CD，则+=.证明：以右焦点F2为极点，沿实轴方向为极轴，建立极坐标系，得到双曲线的极坐标方程为：ρ=，记t=-a，则AB=+=，CD=+=+=，+=+===，所以，命题得证.。
用极坐标解决圆锥曲线焦点弦问题
、
基础 知识
，
．
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・ ．
在教 材 中 ， 圆锥 曲线 统一 的极坐 标方程 （ 如图 １ ） 是如 下定义 ： 过焦 点 ，作相 应准 线 的垂 线 ￡ ， 垂足 为 ， 以焦点 Ｆ为 极点 ， Ｆ Ｋ的 反 向延 长线 为极 轴 ， 建立 极 坐 标 系 ， 从 而 得 到 圆 锥 曲线 统 一 的 极
坐标 方程 ：
，．
ｂ＝ １， ｃ＝
， 口＝
以椭 圆 的右焦点 为极 点 、 轴 的负半 轴 为极 轴 ， 建 立 如 图 ３所 示 的极坐 标 系 ， 则椭 圆 的极坐 标方程 是 ｐ １
推广 １ ： Ｐ＝
， 当 ０＜ｅ ＜１ 时， 方 程 表 示 极 点在 右 焦 点
：
极径 ； ３ 、 ① 因为椭 圆 、 双 曲线 Ｐ＝ 的几何 意义 ， 所 以 的极 坐标方 Ｃ
Ｌ２
等 ＝ １ （ ａ ＞ ｂ ＞ ０ ） 的 离 心 率 为 字 ， 椭 圆 与 轴 交 于
２ ２
程可 以变 形 为 Ｐ＝ —
两点Ａ （ ａ ， ０ ） 、 Ｂ （ 一 ａ ， ０ ） ， 过 点 Ｃ的直线 ｌ 与椭 圆交于另 一点 Ｄ， 并 与 轴交 于点 Ｐ， 直线 Ａ Ｃ与直线 Ｂ Ｄ交 于点 Ｑ。 ； ② 因 为 ｅ的特 殊 性 ， 所 以抛 物 线 的 极 （ １ ） 当直线 Ｚ 过椭 圆右 焦点 时 ， 求线 段 Ｃ Ｄ的长 ； （ ２ ） （ 略） 。 解： ‘ ・ ‘ 过点 ｃ （ ｏ ， １ ） 的椭 圆 ＋ ＝ ｌ （ ｎ＞ ６ ＞ ０ ） 的离 心率 为
－ｌ
。
・ ． ．
了
６
，．
。 ∞丁
圆锥曲线的参数方程练习题(带答案)
圆锥曲线的参数方程练习题1、若点()3,P m 在以点F 为焦点的抛物线24{4x t y t == (t 为参数)上,则PF 等于( )A.2B.3C.4D.5答案：C解析：抛物线为24y x =,准线为1x =-, PF 为()3,P m 到准线1x =-的距离,即为4.故选C.2、参数方程sin cos ,{1sin 2x y θθθ=+=+ (θ为参数)所表示的曲线为( )A.圆的一部分B.抛物线的一部分C.双曲线的一部分D.椭圆的一部分答案：B解析：参数方程sin cos ,{1sin 2x y θθθ=+=+ (θ为参数),化为普通方程为2(02)x y y =≤≤,表示抛物线的一部分.3、椭圆5cos ,{3sin x y ϕϕ== (ϕ为参数)的焦点坐标为( ) A.(5,0)± B.(4,0)± C.(3,0)± D.(0,4)±答案：B解析：椭圆5cos ,{3sin x y ϕϕ== (ϕ为参数)的普通方程为221259x y +=,故4c ==. 又椭圆焦点在x 轴上,故焦点坐标为(4,0)±.4、已知过曲线3cos ,{4sin x y θθ== (θ为参数,0θπ≤≤)上一点P 和原点O 的连线PO 的倾斜角为4π,则P 点的坐标是( ) A.(3,4) B.1212,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2⎛ ⎝D.1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 答案：D解析：直线PO 的方程是y x =,又点P 为曲线3cos ,{4sin x y θθ==上一点,故3cos 4sin θθ=,即3tan 4θ=,因为倾斜角为4π,0θπ≤≤,所以曲线与直线的交点在第一象限,故3sin 5θ=,4cos 5θ=,所以125x y ==. 5、已知O 为原点,P为椭圆4cos ,{x y αα== (α为参数)上第一象限内一点,OP 的倾斜角为3π,则点P 坐标为( ) A.()2,3 B.()4,3C.(D.(,55答案：D解析：椭圆4cos ,{x y αα== (α为参数)化为普通方程,得2211612x y +=.由题意可得直线OP的方程为y = (0x >).由22(0),{11612y x x y =>+=解得x y ==. ∴点P的坐标为.故选D. 6、参数方程cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程为( ) A.2214y x += B.2212y x += C.2214x y += D.2212x y +=答案：A 解析：易知,2y cos x sin θθ==,∴2214y x +=,故选A. 7、方程cos cos x a y b θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数,0ab ≠)表示的曲线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.双曲线的一部分 答案：D解析：由xcos a θ=,∴a cos xθ=,代入y bcos θ=,得xy ab =,又由y bcos θ=知,||,y b b ∈-⎡⎤⎣⎦,∴曲线应为双曲线的一部分.8、若曲线2sin cos 1x y θθ⎧=⎨=-⎩ (θ为参数)与直线x m =相交于不同两点,则m 的取值范围是( )A.RB.()0,+∞C.()0,1D.[)0,1答案：D解析：将曲线2sin cos 1x y θθ⎧=⎨=-⎩化为普通方程得()()()21101y x x +=--≤≤.它是抛物线的一部分,如图所示,由数形结合知01m ≤<.8、过椭圆5cos ,{3sin x y ϕϕ== (为参数)的右焦点,斜率为12的直线方程为__________ 答案：x-2y-4=0解析：椭圆的普通方程为221259x y+=,故5,3,a b==所以4c==,故右焦点的坐标为(4,0),又直线的斜率为12,故直线的方程为1(4)2y x=-,即240x y--=.9、已知实数0p>,曲线212:{2x ptCy pt==(t为参数)上的点(2,)A m,曲线26cos :{26sinpxCyθθ=+ = (θ为参数)的圆心为点B,A,B两点间的距离等于圆2C的半径,则p=__________.答案：8解析：曲线212:{2x ptCy pt==(t为参数)化为普通方程为22y px=,代入2x=得m=±则点(2,A±.曲线26cos:{26sinpxCyθθ=+=的圆心为(,0)2p,半径为6.10、设点O为坐标原点,直线l:4,{2xy t=+=(参数t R∈)与曲线24,:{4x uCy u==(参数u R∈)交于A、B两点.（1）求直线l与曲线C的普通方程;（2）求证:OA OB⊥.答案：1.直线l:4y x=-.曲线C:24y x=.2.证明:设1122(,),(,),A x yB x y由24{4y xy x==-消去y,得212160x x-+=.∴121212,16,x x x x+==∴12121212121212(4)(4)4()161OA OBy y x x x x x xk kx x x x x x---+⋅====-.∴OA OB⊥.11、在直角坐标系 xOy 中,直线l 的方程为40x y -+=,曲线 C的参数方程为,{sin ,x y θθ== (θ为参数).1.已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭,判断点P 与直线l 的位置关系; 2.设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.答案：1. 点P 的极坐标为4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则直角坐标为(0,4), 把()0,4P 代入直线l 的方程40x y -+=, 因为0?4? 4? 0-+=,所以点P 在直线l 上.2.因为点 Q 是曲线 C 上的一个动点,则点 Q的坐标可设为),sin Q αα. 点 Q 到直线l 的距离为2cos 4d πα⎛⎫++ ⎪==6πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以当cos 16πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时,d.。
极坐标法解圆锥曲线
极坐标法解圆锥曲线
极坐标法可以用来解析表示圆锥曲线的方程。
圆锥曲线包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。
下面将分别介绍极坐标法在解析这些曲线方程中的应用。
1.圆：圆的极坐标方程为 r = a，其中 a 为圆的半径。
在极坐
标系下，圆心位于原点，以原点为中心半径为 a 的圆。
2.椭圆：椭圆的极坐标方程为 r = a(1 - e*cosθ)，其中 a 为长
轴的一半，e 为离心率，θ 为极角。
通常情况下，取e < 1，这样才能得到椭圆。
如果 e = 0，则表示一个圆。
3.抛物线：抛物线的极坐标方程为r^2 = 2a*p，其中a 为焦
点到抛物线顶点的距离，p 为焦距的一半。
抛物线沿着对
称轴对称。
4.双曲线：双曲线的极坐标方程为 r^2 = 2a p cosθ，其中 a 为
焦点到双曲线顶点的距离，p 为焦距的一半。
双曲线有两
个分支，分别向外延伸。
对于给定的圆锥曲线方程，你可以将其转化为极坐标方程进行分析和绘制。
通过改变参数 a、e 和 p 的值，可以调整曲线的尺寸、形状和位置。
请注意，极坐标法的应用需要对极坐标系和常见曲线方程有一定的数学理解。
在进行计算和绘制时，确保使用正确的公式和技巧，以获得准确的结果。
极坐标圆锥曲线问题
极坐标秒杀圆锥曲线问题一、适用题型二、基本理论：（一）极坐标系、在平面内取一定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），如图对于平面内任意一点M，用ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
极坐标为ρ,θ的点M，可表示为M (,)ρθ。
（二）圆锥曲线的统一极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点F)的距离和一条定直线(准线L)的距离的比等于常数e 的点的轨迹。
建立以焦点F 为极点，x 轴正方向为极轴的极坐标系，其统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（成为标准极坐标方程）。
（1）当0＜e＜1时，方程表示椭圆；定点F 是椭圆的左焦点，定直线L 是它的左准线。
（2）e=1时，方程表示开口向右的抛物线.（3）e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点F 是它的右焦点，定直线L 是它的右准线。
（若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线）其中：（i）ρ是动点到极点的距离（ρ＞0），θ表示极径与极轴正方向的夹角。
（ii）e 表示圆锥曲线的离心率，c e a=。
（iii）p 表示焦点到准线的距离。
由焦点与准线的不同位置关系，从而建立不同的极坐标，利用圆锥曲线定义可得其统一极坐标方程为：推广1：1+cos epe ρθ=（1）0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆（2）e=1时时，方程表示开口向左的抛物线（3）e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线推广2：1-sin ep e ρθ=（1）0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆（2）e=1时，方程表示开口向上的抛物线（3）e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线推广3：1+sin ep e ρθ=（1）0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆（2）e=1时，方程表示开口向下的抛物线（3）e＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线（三）常用性质（1）对于圆锥曲线的标准极坐标方程θρcos 1e ep-=，则与之对应的直角坐标方程为：()22221x c y a b++=，当（0<e<1时）；()22221x c y a b++=，当（e>1时,R ρ∈）；22()y p x c =+(当e=1时)（2）记圆锥曲线的统一方程1-sin epe ρθ=，有公式1：2(0)()a ρρπ=+公式2：2(0)()c ρρπ=-公式3：22(0)()b ρρπ= 其中2a 表示椭圆长轴与双曲线实轴长，2b 表示椭圆短轴与双曲线虚轴长，2c 表示焦距。
极点极线背景下的圆锥曲线习题汇总
第14讲极点极线问题一、解答题1．已知椭圆M ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）过A （－2，0），B （0，1）两点．（1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上（P 不与椭圆M 的顶点重合），直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点．2．若双曲线229x y -=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>共顶点，且它们的离心率之积为43．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线1A P 与2A Q 的斜率分别为1k ，2k ，且12105k k -=．试问，直线l 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．3．如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是2，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为.（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA QB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F .设过点(),T t m 的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点()11,M x y ，()22,N x y ，其中0m >，10y >，20y <．（Ⅰ）设动点P 满足：224PF PB -=，求点P 的轨迹；（Ⅱ）设1212,3x x ==，求点T 的坐标；（Ⅲ）设9t =，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关），并求出该定点的坐标．5．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.6．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1(F ，且过点(24P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知1A ，2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线1x =上任意一点，直线1AQ ，2A Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ，N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.7．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点M ，且左焦点为()1F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，且满足||||||||⋅=⋅ AP QB AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上．8．设0λ>，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足BQ QA λ=，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ= ,求点P 的轨迹方程．9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上.10．如图，B ，A 是椭圆22:14x C y +=的左、右顶点，P ，Q 是椭圆C 上都不与A ，B 重合的两点，记直线BQ ，AQ ，AP 的斜率分别是BQ k ，AQ k ，AP k .（1）求证：14BQ AQ k k ⋅=-；（2）若直线PQ 过定点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭，求证：4AP BQ k k =.11．已知椭圆()222:103x y C a a +=>的焦距为2,,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，,M N 为椭圆C 上的两点(异于,A B )，连结,,AM BN MN ，且BN 斜率是AM 斜率的3倍.（1）求椭圆C 的方程；（2）证明:直线MN 恒过定点.12．椭圆()2222:103x y C b b b+=>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上顶点为B ，点()1,0D ，线BD 的倾斜角为135︒.（1）求椭圆C 的方程；（2）过D 且斜率存在的动直线与椭圆C 交于M 、N 两点，直线1A M 与2A N 交于P ，求证：P 在定直线上.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 是椭圆上异于A ，B 的不同两点，直线BN 的斜率为()0k k ≠，直线AM 的斜率为3k ，求证：直线MN 过定点．14．设12, A A 分别是椭圆222: 1(1)x y a aΓ+=>的左､右顶点，点B 为椭圆的上顶点.（1）若124A B A B →→⋅=-，求椭圆Γ的方程；（2）设a =，2F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段2F Q 的中点M 在y 轴上，求2F BQ △的面积.（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左右顶点的两点，且C ，D 分别在直线1PA 和2PA 上，求证：直线CD 恒过一定点.15．已知曲线()()()22:528C m x m y m R -+-=∈.（1）若曲线C 表示双曲线，求m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的范围；（3）设4m =，曲线C 与y 轴交点为A ，B （A 在B 上方），4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，1y =与BM 交于G ，求证：A ，G ，N 三点共线.16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,2P -，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为(2,0)-．过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B （A ，B 不同于点D ），直线DA 与直线m ：4x =交于点M ．连接MF ，过点F 作MF 的垂线与直线m 交于点N ．（1）求椭圆C 的方程，并求点F 的坐标；（2）求证：D ，B ，N 三点共线．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为A 和B ，离心率为12，且点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （1，0）作一条斜率不为0的直线交椭圆于P ，Q 两点，连接AP 、BQ ，直线AP 与BQ 交于点N ，探求点N 是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，O 为原点.以OB 为对角线的正方形OPBQ 的顶点P ，Q 在C 上.（1）求C 的离心率；（2）当2a =时，过(1,0)作与x 轴不重合的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k 是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由.19．已知F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，直线:21l y x =+与C 交于A ，B 两点且||||20AF BF +=.（1）求C 的方程.（2）若直线:2(1)m y x t t =+≠与C 交于M ，N 两点，且AM 与BN 相交于点T ，证明：点T 在定直线上.第14讲极点极线问题一、解答题1．已知椭圆M ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）过A （－2，0），B （0，1）两点．（1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上（P 不与椭圆M 的顶点重合），直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点．【答案】（1）2；（2）证明见解析．【分析】（1）由已知两点坐标得,a b ，求得c 后可得离心率；（2）直线AB 方程为22x y =-，设00(,)P x y （00y ≠，01y ≠±），(22,)Q Q Q y y -，(,0)S S x ．由,,C P Q三点共线求得Q 点坐标（用P 点坐标表示），由,,B P S 共线求得S 点坐标（用P 点坐标表示），写出直线QS的方程，把220044x y =-代入化简对方程变形可得定点坐标．【详解】解：（1）因为点(2,0)A -，(0,1)B 都在椭圆M 上，所以2a =，1b =．所以c ==所以椭圆M 的离心率32c e a ==．（2）由（1）知椭圆M 的方程为2214x y +=，(2,0)C ．由题意知：直线AB 的方程为22x y =-．设00(,)P x y （00y ≠，01y ≠±），(22,)Q Q Q y y -，(,0)S S x ．因为,,C P Q 三点共线，所以有//CP CQ ，00(2,),(222,)Q Q CP x y CQ y y =-=-- ，所以00(2)(24)Q Q x y y y -=-．所以000422Q y y y x =-+．所以00000004244(,)2222y x y Q y x y x +--+-+．因为,,B S P 三点共线，所以0011s y x x -=-，即001s x x y =-．所以00(,0)1x S y -．所以直线QS 的方程为000000000004242214122y x x y x y x x y y y y x +---+-=+--+，即2200000000044844(1)1x y x y y x x y y y y --+-=+--．又因为点P 在椭圆M 上，所以220044x y =-．所以直线QS 的方程为00022(1)21y x x y y --=-+-．所以直线QS 过定点(2,1)．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，考查椭圆的直线过定点问题，解题方法是设椭圆上的点坐标00(,)P x y ，利用三点共线变为向量平行，求得直线交点,Q S 的坐标，得出直线QS 方程，再由P 在椭圆上，代入化简凑配出定点坐标．2．若双曲线229x y -=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>共顶点，且它们的离心率之积为43．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线1A P 与2A Q 的斜率分别为1k ，2k ，且12105k k -=．试问，直线l 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）2219x y +=；（2）直线l 恒过定点()2,0．.【分析】（1）待定系数法椭圆的标准方程；（2）用“设而不求法”把直线和椭圆联立方程组，，表示出12105k k -=，整理出直线过定点()2,0.【详解】（1，又两曲线离心率之积为43，所以椭圆的离心率为3；由题意知3a =，所以c =1b =．所以椭圆的标准万程为2219x y +=．（2）当直线l 的斜率为零时，由对称性可知：120k k =-≠，不满足12105k k -=，故直线l 的斜率不为零．设直线l 的方程为x ty n =+，由2219x ty n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()2229290t y tny n +++-=，因为直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，所以()()222244990t n t n ∆=-+->，整理得：2290t n -+>，设()11,P x y 、()22,Q x y ，则12229tn y y t +=-+，212299n y y t -=+，1113y k x =+，2223y k x =-．因为12105k k -=，所以()()()()1121211222121233315333y y x y ty n k x y k y x y ty n x -+-+====+++-，整理得：121245(3)(3)0ty y n y n y +--+=，()1212245(3)(612)ty y n y y n y +-+=-，将12229tn y y t +=-+，212299n y y t -=+代入整理得：()22(2)(3)(2)9t n n n t y --=-+要使上式恒成立，只需2n =，此时满足2290t n -+>，因此，直线l 恒过定点()2,0．【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题；（3）证明直线过定点，通常有两类：①直线方程整理为斜截式y=kx+b ，过定点(0,b )；②直线方程整理为点斜式y -y o =k (x-x 0)，过定点(x 0,y 0)．3．如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是22，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为.（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA QB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在，Q 点的坐标为(0,2)Q .【详解】（1）由已知，点在椭圆E 上.因此，22222211,,2,2a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,a b ==所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点.如果存在定点Q 满足条件，则||||1||||QC PC QD PD ==，即||||QC QD =.所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为0(0,)y .当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点.则(0,M N ，由||||||||QM PM QN PN ==，解得01y =或02y =.所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q .下面证明：对任意的直线l ，均有||||||||=QA PA QB PB .当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y .联立221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=.其判别式22168(21)0k k ∆=++>，所以，12122242,2121k x x x x k k +=-=-++.因此121212112x x k x x x x ++==.易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为22(,)B x y '-.又121122122111,QA QB y y k k k k k x x x x x '--==-==-+=--，所以QA QB k k '=，即,,Q A B '三点共线.所以12||||||||||||||||x QA QA PA QB QB x PB ==='.故存在与P 不同的定点(0,2)Q ，使得||||||||=QA PA QB PB 恒成立.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.4．在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F .设过点(),T t m 的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点()11,M x y ，()22,N x y ，其中0m >，10y >，20y <．（Ⅰ）设动点P 满足：224PF PB -=，求点P 的轨迹；（Ⅱ）设1212,3x x ==，求点T 的坐标；（Ⅲ）设9t =，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关），并求出该定点的坐标．【答案】（I ）92x =；（II ）1073T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；（III ）()1,0D .【解析】试题分析：（I ）设出点(),P x y ，利用坐标化简224PF PB -=，得到点P 的轨迹；（II ）由1212,3x x ==分别得出直线AM 的方程为113y x =+，直线AN 的方程为5562y x =-，联立方程组即可求解点T 的坐标；（III ）直线AT 的方程为：()312m y x =+，直线BT 的方程为：()36m y x =-，分别与椭圆的方程联立，由12x x =，求得m =MN 的方程为1x =，过点()1,0D ，若12x x ≠，由MD k =ND k ，所以直线MN 过点()1,0D .试题解析：（Ⅰ）由题设得，()()()3,0,3,0,2,0A B F -，设动点(),P x y ，由()()2222222,3PF x y PB x y =-+=-+，224PF PB -=代入化简得，92x =.故点P 的轨迹为直线92x =.（Ⅱ）由12x =，2211195x y +=，10y >得15=3y ，则点52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AM 的方程为113y x =+，由213x =，2222195x y +=，20y <得2209y =-，则点120,39N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AN 的方程为5562y x =-，由55106271313y x T y x ⎧=-⎪⎪⎛⎫⇒⎨ ⎪⎝⎭⎪=+⎪⎩，（Ⅲ）由题设知，直线AT 的方程为：()312m y x =+，直线BT 的方程为：()36m y x =-，点()11,M x y 满足()112111222211324034063,,8080195m y x m m x x y m m x y ⎧=-⎪-⎪⇒≠-==⎨++⎪+=⎪⎩；点()22,N x y 满足()22222222222233602063,,2020195m y x m m x x y m m x y ⎧=-⎪--⎪⇒≠-==⎨++⎪+=⎪⎩；若12x x =，222403=80m m -+2236020m m-+且0m >，得m =此时直线MN 的方程为1x =，过点()1,0D ；若12x x ≠，则m ≠，直线MD 的斜率2222402403101808040MD m m m k m m m⎛⎫-=÷-= ⎪++-⎝⎭，直线ND 的斜率222220360101202040ND m m m k m m m⎛⎫--=÷-= ⎪++-⎝⎭，所以MD k =ND k ，所以直线MN 过点()1,0D .因此直线MN 必过x 轴上一定点()1,0D .考点：轨迹方程的求解；直线的交点；直线过定点的判断．【方法点晴】本题主要考查了曲线轨迹方程的求解和两直线的交点的计算、直线过定点问题的判定，着重考查了分类讨论的思想方法及函数与方程思想的应用，属于中档试题，本题的第三问题的解答中，由直线AT 的方程()312m y x =+，直线BT 的方程()36m y x =-，分别与椭圆的方程联立，利用韦达定理求得1122,,,x y x y ，再由12x x =和12x x ≠，由MD k =ND k ，两种情况分别判定直线MN 过定点()1,0D .5．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析.【分析】（1）由已知可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=- ，结合已知即可求得：29a =，问题得解.（2）设()06,P y ，可得直线AP 的方程为：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，当203y ≠时，可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭即可知直线过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，命题得证.【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）证明：设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=- ⎪ -+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ +++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.6．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1(F ，且过点(24P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知1A ，2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线1x =上任意一点，直线1AQ ，2A Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ，N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义确定a ，再根据c 求b （2）设()1,,Q t 根据直线与椭圆方程联立方程组解得M ，N 坐标，再根据两点式求MN 直线方程，化成点斜式，求出定点试题解析：(1)椭圆的一个焦点()1F ，则另一个焦点为)2F ,由椭圆的定义知:122PF PF a +=，代入计算得2a =．又2221b a c =-=,所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．(2)设()()()11221,,,,,Q t M x y N x y ，则直线()1:23t A Q y x =+，与2214x y +=联立，解得22281812,4949t t M t t ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭同理222824,4141t t N t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以直线MN 的斜率为2222221244941818824941t t t t t t t t -++-+--++=2243t t -+所以直线2222122818:494349t t t MN y x t t t ⎛⎫-+-=-- ⎪+++⎝⎭()22443t x t =--+所以直线MN 恒过定点，且定点坐标为()4,0点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.7．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点M，且左焦点为()1F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，且满足||||||||⋅=⋅ AP QB AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上．【答案】（1）22142x y +=（2）见解析【分析】（1）根据椭圆的左焦点为()1F，得到c =M ，代入椭圆方程求解.（2）设直线AB 的参数方程是4cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数），代入椭圆方程22142x y +=，由||||||||⋅=⋅ AP QB AQ PB ，化简得到||(||||)2||||+=⋅ QP AP PB AP PB ，即2==+A B Q A Bt t t t t 288cos 4sin -+αα，再代入直线参数方程求解.【详解】（1）因为椭圆的左焦点为()1F ，所以c =设椭圆方程为222212x y a a +=-，又因为椭圆过点M ，所以222112a a +=-，解得224,2a b ==所以椭圆方程为：22142x y +=；（2）设直线AB 的参数方程是4cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数），代入椭圆方程22142x y +=，得：()222cos 2sin (8cos 4sin )140++++=t t αααα．由||||||||⋅=⋅ AP QB AQ PB ，得||(||- AP QP ||)(||||)||=- PB AP QP PB ，即||(||||)2||||+=⋅ QP AP PB AP PB ，则2==+A B Q A B t t t t t 288cos 4sin -+αα，点Q 轨迹的参数方程是28cos 48cos 4sin 28sin 18cos 4sin x y αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，则8(4)4(1)28-+-=-x y ，所以点Q 在定直线220x y +-=上【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及直线的参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．设0λ>，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足BQ QA λ= ，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=,求点P的轨迹方程．【答案】略【解析】略9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题知2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解方程即可得24a =，23b =，故椭圆C 的方程是22143x y +=.（2）先讨论斜率不存在时的情况易知直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3.当直线斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-，()11,M x y ，()22,N x y ，进而联立方程结合韦达定理得2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+，直线AM 的方程是()1122y y x x =++，直线BN 的方程是()2222y y x x =--，进而计算得4x =时的纵坐标，并证明其相等即可.【详解】解：（1）因为AB 4=，椭圆C 离心率为12，所以2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =.所以椭圆C 的方程是22143x y +=.（2）①若直线l的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为()1,0，所以直线l 的方程是1x =.所以点M 的坐标是31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点N 的坐标是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以直线AM 的方程是()122y x =+，直线BN 的方程是()322y x =-.所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3.所以点Q 在直线4x =上.②若直线l 的斜率存在时，如图.设斜率为k .所以直线l 的方程为()1y k x =-.联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2223484120k x k x k +-+-=.显然0∆>.不妨设()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+.所以直线AM 的方程是()1122y y x x =++.令4x =，得1162=+y y x .直线BN 的方程是()2222y y x x =--.令4x =，得2222y y x =-.所以()()121212126121622222k x k x y y x x x x ---=-+-+-()()()()()()12121261222122k x x k x x x x ---+-=+-分子()()()()1212612221k x x k x x =---+-()()12211212232222k x x x x x x x x =--+--+-⎡⎤⎣⎦.()12122258k x x x x =-++⎡⎤⎣⎦()2222241258283434k k k k k ⎡⎤-⨯⎢⎥=-+++⎢⎥⎣⎦22228244024322034k k k k k ⎛⎫--++== ⎪+⎝⎭.所以点Q 在直线4x =上.【点睛】本题第二问解题的关键在于分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，写出直线AM 的方程是()1122y y x x =++和直线BN 的方程是()2222y y x x =--，进而计算得4x =时的纵坐标相等即可.考查运算求解能力，是中档题.10．如图，B ，A 是椭圆22:14x C y +=的左、右顶点，P ，Q 是椭圆C 上都不与A ，B 重合的两点，记直线BQ ，AQ ，AP 的斜率分别是BQ k ，AQ k ，AP k .（1）求证：14BQ AQ k k ⋅=-；（2）若直线PQ 过定点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭，求证：4AP BQ k k =.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）设()11,Q x y ，代入斜率公式求14BQ AQ k k ⋅=-；（2）设直线PQ 的方程是65x my =+，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示1AP AQ k k ⋅=-，再根据（1）的结论证明.【详解】（1）设()11,Q x y 21211122111111422444BQ AQ x y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---；（2）设直线PQ 的方程是65x my =+，设()()1122,,,P x y Q x y 与椭圆方程联立，226514x my x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：()22126440525m y my ++-=，()1221254m y y m +=-+，()12264254y y m =-+，12121212442255AP AQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2122221212226425441664481652525254254m y y m m m y y m y y m m -+==-++-++++()2226416448164m m m -==--+++，1AP AQ k k ∴⋅=-,由（1）可知14BQ AQ k k ⋅=-，两式消去AQ k ，解得：4AP BQ k k =.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值和定点，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.11．已知椭圆()222:103x y C a a +=>的焦距为2,,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，,M N 为椭圆C 上的两点(异于,A B )，连结,,AM BN MN ，且BN 斜率是AM 斜率的3倍.（1）求椭圆C 的方程；（2）证明:直线MN 恒过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意列出方程组22223c a c =⎧⎨=+⎩，解出方程组即可得椭圆方程；（2）连结BM 设()()1122,,,M x y N x y ，由椭圆的性质可得出34AM BM k k ⋅=-，故而可得94BN BM k k ⋅=-，当MN 斜率不存在时，设:MN x m =，解出1m =，当直线斜率存在时，设:MN y kx t =+，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可得出22230k kt t ++=，得出k 与t 的关系，代入直线方程即可得定点.【详解】（1）因为22223c a c =⎧⎨=+⎩，所以21a c =⎧⎨=⎩，即椭圆C 的方程为22143x y +=（2）连结BM 设()()1122,,,M x y N x y 则21112111224AM BM y y y k k x x x ⋅=⋅=+--因为点()11,M x y 在椭圆上，所以221122113334=444AM BMx y k k x x -⋅==---因为3BN AM k k =，所以94BN BM k k ⋅=-当MN 斜率不存在时，设:MN x m =，不妨设M 在x轴上方，,,M m N m ⎛⎛ ⎝⎝因为94BN BM k k ⋅=-，所以1m =（ii ）当MN 斜率存在时，设:MN y kx t =+，2234120y kx t x y =+⎧⎨+-=⎩即()2223484120k x kx t +++-=，所以21212228412,3434kt t x x x x k k --+==++ 因为()()()1112111212922244BN BM kx t kx t y y k k x x x x x x ++⋅=⋅==----++所以22230k kt t ++=，即t k =-或2t k=-当t k =-时，y kx k =-，恒过定点()1,0，当斜率不存在亦符合:当2t k =-，2y kx k =-，过点()2,0与点B 重合，舍去.所以直线恒过定点()1,0【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．椭圆()2222:103x y C b b b+=>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上顶点为B ，点()1,0D ，线BD 的倾斜角为135︒.（1）求椭圆C 的方程；（2）过D 且斜率存在的动直线与椭圆C 交于M 、N 两点，直线1A M 与2A N 交于P ，求证：P 在定直线上.【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意和过两点的直线的斜率公式可求得b ，可得椭圆C 的方程.（2）设(),P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，设过D 的动直线：()1y k x =-，代入椭圆C 的方程得：()2222316330k x k x k +-+-=，由韦达定理得：2122631k x x k +=+，21223331k x x k -⋅=+，再由P ，1A ，M 及P ，2A ，N 三点共线，化简可得证明点P 在定直线上.【详解】（1）()0,B b ，由题意，tan135111BD b k b ==︒=-⇒=-，所以椭圆C 的方程2213x y +=.（2）设(),P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，过D 的动直线：()1y k x =-，代入椭圆C 的方程得：()2222316330k x k x k +-+-=，得：2122631k x x k +=+，21223331k x x k -⋅=+，)22222222222213333x x y y x x x y +=⇒=-=-+⇒=-，分别由P ，1A ，M 及P ，2A ，N==，222x y --==--22222222222336313336313131233633131k k k k k k k k k k k ⎡⎤--+⎢⎥⎡⎤--++=--++，23x =⇒=，即P 在直线3x =上.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系之交点问题之动点在定直线上，属于较难题.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 是椭圆上异于A ，B 的不同两点，直线BN 的斜率为()0k k ≠，直线AM 的斜率为3k ，求证：直线MN 过定点．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析．【分析】（1）由12c a =，得到2234b a =，再由点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在该椭圆上，求得22,a b 的值，即可求得椭圆的方程；（2）设BN 的方程为()2y k x =-，联立方程组求得2228612,4343k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，再由AM 的的方程()32y k x =+，联立方程组，求得22224212,121121k k M k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，结合斜率公式，进而得到直线过定点.【详解】（1）由椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，可得12c a =，所以22222131124b c a a ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，又点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在该椭圆上，所以221914a b +=，所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）由于BN 的斜率为k ，设BN 的方程为()2y k x =-，联立方程组()222143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2222431616120k x k x k +-+-=，所以22161243B N k x x k -=+，所以228643N k x k -=+，从而21243N k y k =-+，即2228612,4343k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，同理可得：由于AM 的斜率为3k ，则():32AM y k x =+，联立方程组()2232143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222363144144120k x k x k +++-=，即()2222121484840k x k x k +++-=，所以22484121A M k x x k -=+，所以22242121M k x k -+=+，从而212121M k y k =+，即22224212,121121k k M k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，当M N x x =时即12k =±；时，:1MN x =-，过点()1,0P -，当12k ≠±时，()22222012412124212341121121PM k k k k k k k k k -+===-+-+-+--+，()22222120124438612341143PN k k k k k k k k k ---+===---+--+，即PM PN k k =，所以直线MN 过点()1,0P -，综上可得，直线MN 过点()1,0P -.【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.14．设12, A A 分别是椭圆222: 1(1)x y a aΓ+=>的左､右顶点，点B 为椭圆的上顶点.（1）若124A B A B →→⋅=-，求椭圆Γ的方程；（2）设2a =，2F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段2F Q 的中点M 在y 轴上，求2F BQ △的面积.（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左右顶点的两点，且C ，D 分别在直线1PA 和2PA 上，求证：直线CD 恒过一定点.【答案】（1）2215x y +=；（2）214-；（3）证明见解析.【分析】（1）计算得1(,1)A B a →=，2(,1)A B a →=-，代入124A B A B →→⋅=-解方程即可得a ，故可得椭圆Γ的方程；（2）设另一焦点为1F ，则1F Q x ⊥轴，计算出点Q 坐标，计算22F BQ BF M BQM S S S =+△△△即可；（3）设点P 的坐标为(6,)m ，直线1PA ：(3)9m y x =+，与椭圆方程2219x y +=联立，由韦达定理计算得出2223276,99m m C m m ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得222332,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，分C D x x =，C D x x ≠两种情况表示出直线CD 方程，从而确定出定点.【详解】（1）12(,0),(,0)A a A a -，(0,1)B 1(,1)A B a →=，2(,1)A B a →=-，21214A B A B a →→⋅=-+=-，解得25a =即椭圆Γ的方程为2215x y +=.（2）椭圆的方程为2212x y +=，由题意2(1,0)F ，设另一焦点为()11,0F -，设(,)Q Q Q x y ，由线段2F Q 的中点在y 轴上，得1F Q x ⊥轴，所以1Q x =-，代入椭圆方程得22Q y =，即1,2Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭221121244F BQ BF M BQM S S S ⎛=+=-⋅=- ⎝⎭△△△；（3）证明：由题意12(3,0),(3,0)A A -，设点P 的坐标为(6,)m ，直线1PA ：(3)9m y x =+，与椭圆方程2219x y +=联立消去y 得：2222(9)69810m x m x m +++-=由韦达定理得223279C m x m -+=+即2223276,99m m C m m ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭；同理222332,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭；当C D x x =，即22222733391m m m m --=++即23m =时，直线CD 的方程为32x =；当C D x x ≠时，直线CD ：2222243313(3)1m m m y x m m m ⎛⎫---=- ⎪+-+⎝⎭化简得2433(3)2m y x m ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，恒过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上所述，直线CD 恒过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：解决第（3）的关键是能够运用韦达定理表示出,C D 点的坐标，从而表示出直线CD ，并能通过运算整理成关于m 的方程，从而确定出定点，考查学生的运算求解能力，有一定的难度.15．已知曲线()()()22:528C m x m y m R -+-=∈.（1）若曲线C 表示双曲线，求m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的范围；（3）设4m =，曲线C 与y 轴交点为A ，B （A 在B 上方），4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，1y =与BM 交于G ，求证：A ，G ，N 三点共线.【答案】（1）()(),25,-∞+∞ ；（2）()3.5,5；（3）见解析【分析】（1）若曲线C 表示双曲线，则：()()520m m --<，解得m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则250m m ->->，解得m 的取值范围；（3）联立直线与椭圆方程结合()23223k =- ，解得k ，设(),4N N N x kx +，(),4M M M x kx +，()1G G x ，，求出MB 的方程，可得316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，从而可得3 16M M x AG kx ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，，() ,2N N AN x kx =+ ，欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG ，AN 共线，利用韦达定理，可以证明．【详解】（1）若曲线C 表示双曲线，则：()()520m m --<，解得：()()25m ∈-∞⋃+∞，，.（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则：250m m ->->，解得：7,52m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）当4m =，曲线C 可化为：2228x y +=，当0x =时，2y =±，故A 点坐标为：()02，，()02B -，，将直线4y kx =+代入椭圆方程2228x y +=得：()222116240k x kx +++=，若4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，则()232230k =-> ，解得232k >，由韦达定理得：21621m n k x x k +=-+①，22421m n x x k ⋅=+②设(),4N N N x kx +，(),4M M M x kx +，()1G G x ，，MB 方程为：62M M kx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，∴3 16M M x AG kx ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，() ,2N N AN x kx =+ ，欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG ，AN共线，即()326M N N M x kx x kx +=-+，将①②代入可得等式成立，则A ，G ，N 三点共线得证．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解，属于中档题.16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,2P -，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为(2,0)-．过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B （A ，B 不同于点D ），直线DA 与直线m ：4x =交于点M ．连接MF ，过点F 作MF 的垂线与直线m 交于点N ．（1）求椭圆C 的方程，并求点F 的坐标；（2）求证：D ，B ，N 三点共线．【答案】（1）22143x y +=，(1,0)；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意列方程组222,1914a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可得到椭圆的方程，进而得到焦点坐标；（2）讨论直线l 的斜率，利用DB DN，是平行的证明D ，B ，N 三点共线．【详解】（1）因为点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为()2,0-，所以222,19 1.4a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=．所以椭圆C 的右焦点F 的坐标为()1,0．（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =．显然，31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．当31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，直线DA 的方程为()122y x =+，点M 的坐标为()4,3．所以1MF k =．直线FN 的方程为()1y x =--，点N 的坐标为()4,3-．则33,2DB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()6,3DN =- ．所以2DN DB = ，所以D ，B ，N 三点共线．同理，当31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，D ，B ，N 三点共线．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-．由()221,3412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()()22223484120k x k x k +-+-=．且()()()222284344120k k k ∆=--+->．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+．直线DA 的方程为()1122y y x x =++，点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭．所以11116022412MF y x y k x -+==-+．直线NF 的方程为()11212x y x y +=--，点N 的坐标为()11324,2x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．则()222,DB x y =+ ，()11326,2x DN y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．所以()()122132262x x y y -++⋅-()()1212132242x x y y y ⎡⎤=-+++⎣⎦，()()()()2121213224112x x k x x y ⎡⎤=-+++--⎣⎦，()()()2221212131424442k x x k x x k y ⎡⎤=-++-+++⎣⎦，()()222222213412814244423434k k k k k y k k ⎡⎤-=-++-++⎢⎥++⎣⎦，()()()()()222222211441224844343234k k k k k k y k +-+-+++=-⋅+，242242422134121648163212121616234k k k k k k k k y k -+-+-++++=-⋅+0=．所以DB 与DN共线，所以D ，B ，N 三点共线．综上所述，D ，B ，N 三点共线．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为A 和B ，离心率为12，且点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （1，0）作一条斜率不为0的直线交椭圆于P ，Q 两点，连接AP 、BQ ，直线AP 与BQ 交于点N ，探求点N 是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）在，x =4.【分析】（1）根据离心率及椭圆上的点可求出椭圆的标准方程；（2）设直线PQ 的方程为1x my =+，联立方程，直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，直线BQ 的方程为22(2)2y y x x =--，求出交点，由根与系数关系化简即可.【详解】（1）由题设，12c a =，221914a b+=，且222a b c =+所以224,3a b ==，∴椭圆方程为22143x y +=；（2）由（1）知，A （-2，0），B （2，0），设直线PQ 的方程为1x my =+，联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690m y my ++-=，因为>0∆，设()()1122,,,P x y Q x y ，所以12122269,3434m y y y y m m --+==++，设直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，直线BQ 的方程为22(2)2y y x x =--，则1212(2)(2)22y y x x x x +=-+-，即21211212(2)(3)22(2)(1)+++==---y x y my x x y x y my ，而12123()2my y y y =+，∴121239222313222++==-+y y x x y y ，∴x =4，即直线AP 与直线BQ 的交点在直线x =4上.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆中的定值问题，属于中档题.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，O 为原点.以OB 为对角线的正方形OPBQ 的顶点P ，Q 在C 上.（1）求C 的离心率；（2）当2a =时，过(1,0)作与x 轴不重合的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k 是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由.【答案】（1）63；（2）是，13，证明见解析.【分析】（1）由题意可知,22a a P ⎫⎛ ⎪⎝⎭，将其代入椭圆方程中化简可得223a b=，从而可求出离心率；（2）当2a =时，233b =，所以椭圆的方程为2234x y +=，然后当直线l 的斜率不存在时，求出M ，N 两点的坐标，从而可求出1k ，2k ，进而可得12k k 的值，当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1x my =+，0m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，然后将直线方程与椭圆的方程联立方程组，消去x ，再利用根与系数的关系得12223m y y m +=-+，12233y y m =-+，然后求11122222y k x y k x +=-，化简可得答案；或利用根与系数的关系后，由于。
利用圆锥曲线的二级结论秒解选择填空题--备战2022年高考数学一轮复习配套word试题(创新设计版)
利用圆锥曲线的二级结论秒解选择、填空题)1．焦点三角形的面积、离心率(1)设P 点是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上异于长轴端点的任一点，F 1、F 2为其焦点，记∠F 1PF 2＝θ，则①|PF 1||PF 2|＝2b 21＋cos θ；②S △PF 1F 2＝b 2tan θ2；③e ＝sin ∠F 1PF 2sin ∠PF 1F 2＋sin ∠PF 2F 1.(2)设P 点是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上异于实轴端点的任一点，F 1，F 2为其焦点，记∠F 1PF 2＝θ，则①|PF 1||PF 2|＝2b 21－cos θ；②S △PF 1F 2＝b 2tan θ2；③e ＝sin ∠F 1PF 2|sin ∠PF 1F 2－sin ∠PF 2F 1|.2．中心弦的性质设A ，B 为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P 是曲线上与A ，B 不重合的任意一点，则k AP ·k BP ＝e 2－1. 3．中点弦的性质设圆锥曲线以M (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦AB 所在的直线的斜率为k . (1)若圆锥曲线为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则k AB ＝－b 2x 0a 2y 0，k AB ·k OM ＝e 2－1.(2)若圆锥曲线为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则k AB ＝b 2x 0a 2y 0，k AB ·k OM ＝e 2－1.(3)若圆锥曲线为抛物线y 2＝2px (p ＞0)，则k AB ＝py 0.4．焦点弦的性质(1)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AF →|＝λ|FB →|，则椭圆的离心率等于⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1（λ＋1）cos α. (2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A ，B 两点，且|AF →|＝λ|FB →|，则双曲线的离心率等于|λ－1（λ＋1）cos α|.(3)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 倾斜角为θ的直线交抛物线于A ，B 两点，则两焦半径长为p 1－cos θ，p 1＋cos θ，1|AF |＋1|BF |＝2p，|AB |＝2p sin 2θ，S △AOB ＝p 22sin θ.题型一 椭圆焦点三角形的面积、离心率【例1】 在椭圆x 225＋y 29＝1上，△PF 1F 2为焦点三角形，如图所示．(1)若θ＝60°，则△PF 1F 2的面积是________； (2)若α＝45°，β＝75°，则椭圆离心率e ＝________． 答案 (1)33 (2)6－22解析 (1)由焦点三角形公式，得S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，即S △PF 1F 2＝3 3. (2)由公式e ＝sin （α＋β）sin α＋sin β＝sin 60°sin 45°＋sin 75°＝6－22.【训练1】 (1)若P 是x 2100＋y 264＝1上的一点，F 1，F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．(2)在椭圆Ax 2＋By 2＝1上，△PF 1F 2为焦点三角形，∠PF 2O ＝45°，∠PF 1O ＝15°，则椭圆的离心率e ＝________． 答案 (1)6433 (2)32－62解析 (1)S △F 1PF 2＝b 2tan α2＝64×33＝6433. (2)由公式e ＝sin （β＋α）sin β＋sin α，即得e ＝32－62.题型二 中心弦的性质【例2】 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上异于A，B两点，若AP与BP的斜率之积为－12，则椭圆的离心率为________．答案2 2解析k AP·k BP＝－12，e2－1＝－12，∴e2＝12，e＝22.【训练2】(1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，实轴的两个端点为A，B，点P为双曲线上不同于顶点的任一点，则直线P A与PB的斜率之积为________．(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，B、C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D，e＝3 5，若cos∠F1BF2＝725，则直线CD的斜率为________．答案(1)3(2)12 25解析(1)k P A·k PB＝e2－1＝3.(2)设∠DBO＝θ，则cos∠F1BF2＝cos 2θ＝2cos2θ－1＝725，cos 2θ＝1625，cos θ＝45，利用Rt△F2OB易知k BD＝－43，e＝35，由k BD·k CD＝e2－1，得k CD＝1225.题型三中点弦的性质【例3】已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E 相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为()A.x23－y26＝1 B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1 D.x25－y24＝1答案 B解析由题意可知k AB＝－15－0－12－3＝1，k MO＝－15－0－12－0＝54，由双曲线中点弦中的斜率规律得k MO ·k AB ＝b 2a 2，即54＝b 2a 2，又9＝a 2＋b 2，联立解得a 2＝4，b 2＝5，故双曲线的方程为x 24－y 25＝1.【训练3】 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1(2)(一题多解)(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________． 答案 (1)D (2)2解析 (1)c ＝3，a 2－b 2＝9，AB 的中点记为P (－1，1)，由k AB ·k OP ＝e 2－1则 (－1)×－1－01－3＝－b 2a 2，∴a 2＝2b 2，解得a 2＝18，b 2＝9.(2)法一 取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别是A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线上，∴|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)，∴MM ′平行于x 轴，∴y 0＝1，又由中点弦的性质得k AB ＝py 0＝2.法二 设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.法三 由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，则∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.题型四 焦点弦的性质【例4】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝32，经过右焦点且斜率为k (k ＞0)的直线交椭圆于A ，B 两点，已知AF →＝3FB →，则k ＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 B解析 ∵λ＝3，e ＝32，由规律得32cos α＝3－13＋1，cos α＝33，k ＝tan α＝ 2.【训练4】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94 答案 D解析 抛物线C ：y 2＝3x 中，2p ＝3，p ＝32，故S △OAB ＝p 22sin θ＝942sin 30°＝94.一、选择题1．过点M (－2，0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 答案 D解析 k 1k 2＝－b 2a 2＝－12.2．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |＝A.12 B ．1 C ．2 D ．4 答案 A解析 直线y ＝k (x －2)过抛物线的交点F (2，0)，则1|FP |＋1|FQ |＝2p ＝12.3．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右顶点分别为A 1，A 2，点P 在椭圆C 上，且直线P A 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 答案 B解析 由对称弦结论知kP A 1·kP A 2＝e 2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝－34，又kP A 2∈[－2，－1]，∴kP A 1＝－34kP A 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.4．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( ) A.32 B.62 C.3 D. 6 答案 B解析 设P 到x 轴的距离为y P ，故12×22×y P ＝12×1tan 30°，解得y P ＝62，故P到x 轴的距离为62.5．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过焦点F 且倾斜角为π6的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝8x C ．y 2＝2x D ．y 2＝6x 答案 C解析 |AB |＝2p sin 2θ，∴2p ＝|AB |sin 2θ＝8×sin 2π6＝2， ∴y 2＝2x .6．已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，(点A 在第一象限)，若BA→＝4BF →，则△AOB 的面积为( )A.83 3B.43 3C.83 2D.43 2 答案 B解析 由题意知AF BF ＝3，AF ＝p 1－cos θ，BF ＝p1＋cos θ，∴1＋cos θ1－cos θ＝3，cos θ＝12，sin θ＝32，S ＝p 22sin θ＝43＝433. 7．(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2 答案 C解析 不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝ba x 的距离等于b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3.8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为26，则|AB |＝( ) A ．24 B ．8 C ．12 D ．16 答案 A解析 p ＝2，S △AOB ＝p 22sin θ＝26，∴sin θ＝16，∴|AB |＝2psin 2θ＝24.9．(2021·广州调研)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴是短轴的2倍，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线与Γ相交于A ，B 两点，且AF →＝3FB →，则k ＝( ) A ．1 B ．2 C. 3 D. 2 答案 D解析 依题意a ＝2b ，e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32，又λ＝3，由e ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1（λ＋1）cos α得32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－1（3＋1）cos α，|cos α|＝33，又k ＞0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得cos α＝33，k ＝tan α＝ 2.10．(2017·全国Ⅰ卷)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10 答案 A解析 (极坐标法)设l 1的倾斜角为θ，那么|AB |＝|AF |＋|BF |＝21－cos θ＋21－cos （π＋θ）＝21－cos θ＋21＋cos θ＝4sin 2θ，因此l 2的倾斜角为θ＋π2或θ－π2，即|DE |＝4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ±π2，因此即求4⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋1cos 2θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值，令f (θ)＝4sin 2θcos 2θ，取最小值时sin θcos θ取最大值，因此θ＝π4，结果414＝16.11．如图，已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，椭圆上一点P 使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆离心率e 的取值范围是( )A ．(0，1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1答案 D解析 设B 为短轴上端点，则S △F 1PF 2＝b 2tan 45°＝b 2≤S △F 1BF 2＝bc ，∵a ＞b ＞0，∴b ≤c ，即b 2≤c 2，∴e 2＝c 2a 2≥12，又∵e ＜1，∴22≤e ＜1，故选D.二、填空题12．已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，若PF 1→·PF 2→|PF 1→||PF 2→|＝12，则△PF 1F 2的面积为________． 答案 3 3解析 设〈PF 1→，PF 2→〉＝θ，则由PF 1→·PF 2→|PF 1→||PF 2→|＝12，知cos θ＝12，θ＝π3，∴S △PF 1F 2＝b 2tan θ2＝9×33＝3 3.13．经过椭圆x 24＋y 2＝1上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12的切线方程为________________．答案3x ＋2y －4＝0解析 把⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12代入椭圆的切线方程x 0x a 2＋x 0y b 2＝1，得3x 4＋y 2＝1，即3x ＋2y －4＝0.14．在椭圆Ax 2＋By 2＝1上，△PF 1F 2为焦点三角形，椭圆离心率e ＝12，∠PF 2O＝60°，则tan ∠PF 1O 的值为________． 答案3解析 设∠PF 1O ＝θ，由题意可得12＝sin （θ＋60°）sin θ＋sin 60°，解得cos θ＝12，∴θ＝60°，故tan ∠PF 1O ＝tan θ＝ 3.15．若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP →的最小值为________．答案 6解析 点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1，0)，∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234.∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152，∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤2254，∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤22536，∴6≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234≤12，即6≤OP →·FP→≤12，故最小值为6. 16．已知P 为椭圆C ：x 24＋y 23＝1上一个动点，F 1，F 2是椭圆C 的左、右焦点，O为坐标原点，O 到椭圆C 在P 点处切线的距离为d ，若|PF 1|·|PF 2|＝247，则d ＝________． 答案142解析 由椭圆的焦半径公式得|PF 1||PF 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12x 0＝4－14x 20＝247，x 20＝167，∴y 20＝97，不妨取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，37，切线47x 4＋37y 3＝1.x ＋y ＝7，∴d ＝142.。
利用极坐标解圆锥曲线题
利用极坐标解题知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cos epe ρθ=则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编（1）二次曲线基本量之间的互求例1.（复旦自招）确定方程1053cos ρθ=-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。
解法一：310253331cos 1cos 55ρθθ⨯==--31053e P ∴==，2332555851015103383c a c a a b a c c c ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩ 2225155()()882b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，2554长轴长，短轴长解法二：转化为直角坐标（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A 、B 两点，求弦长。
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若 M、N 在双曲线同一支上， MN ep
ep
2ab2
；
1 e cos 1 e cos( ) a2 c2 cos2
若 M、N 在双曲线不同支上，
MN
ep 1 e cos
ep 1 e cos
2ab 2
c 2 cos2 a 2
3
设双曲线
，其中两焦点坐标为
直线 的倾斜角为 ，交双曲线于 A、B 两点，求弦长|AB|。
2、若 F1 、 F2 分别是双曲线的左、右焦点，
当点 P 在双曲线右支上时， PF1 ex a ， PF2 ex a ；
当点 P 在双曲线左支上时， PF1 a ex ， PF2 a ex ； 3、若 F 是抛物线的焦点， PF x p .
2
利用弦长求面积
例 3．设过椭圆 x 2 y 2 1 的右焦点的弦 AB=8，求三角形 AOB 的面积。 25 16
同理可得焦点在 y 轴上的焦点弦长公式
其中 a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距， 为 AB 的倾斜角。
3、抛物线中， MN
p 1 cos
p
1 cos(
)
2p sin 2
若抛物线
与过焦点
，求弦长|AB|？（图 4）
的直线 相交于 A、B 两点，若 的倾斜角为
5
解：过 A、B 两点分别向 x 轴作垂线
利用极坐标解题
知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一
条定直线(准线)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点 F 作相应准线的垂线，
垂足为 K，以 FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．
椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： ep . 1 e cos
练习 2．（08 年海南卷）过椭圆 x2 y2 1 的焦点 F 作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于
54
A，B 两点，O 为坐标原点，求 AOB 的面积．
简
解：首
先
极坐标
方程中
的
焦点弦长
公
式
|
AB
|
1
2ep e2 cos2
求弦长，然后利用公式
SAOB
1 2
|
AB ||
OF
|
sin
AFO
直接得出答案。
2
1 2 cos
2
设直线 l1 的倾斜角 ，则直线 l2 的倾斜角为 900 ，由极坐标系中焦点弦长公式知：
|
PQ |
1
1
2 cos2
，|
MN
|
1
2 1 cos2 (
900 )
1
2 1 sin2
2
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
用他们来表示四边形的面积
1
1
1
S | PQ | | MN |
练习
3．(2005
年全国高考理科)已知点 F
为椭圆
x2 2
y2 1的左焦点.过点 F
的直线 l1 与椭
圆交于 P 、Q 两点，过 F 且与 l1 垂直的直线 l2 交椭圆于 M 、N 两点，求四边形 PMQN 面
积的最小值和最大值.
7
2
解析：以点 F 为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：
45
3
求｜AB｜
解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系
即得 5 2 3cos
A(1,
3
),
B( 2 ,
)
3
AB | 1 2
|
|
5 2 3cos
5
2 3cos(
)
|
80 7
3
6
3
附录直角坐标系中的焦半径公式 设 P（x,y）是圆锥曲线上的点，
1、若 F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF1 a ex ， PF2 a ex ；
则点 A 的横坐标为
，点 B 横坐标为
为垂足，设
，
，
，由抛物线定义可得
即
则
同理
的焦点弦长为
的焦点弦长为
，所以抛物线的焦点弦长为
例 2． 已知抛物线 y2=2px（p>0），过其焦点且斜率为 k 的直线交抛物线于 A，B 两点， 求 AB 长.
练习 1：．过双曲线 x2 - y2 1的右焦点，引倾斜角为 的直线，交双曲线与 A、B 两点，
，过 的
解：（1）当 在同一交点上，连
时，（如图 2）直线 与双曲线的两个交点 A、B
，设
，由双曲线定义可得
，由余弦定理可得
整理可得
，同理
，则可求得弦长
。
（2）当 在两支上，连 由余弦定理可得
或 ，设
时，如图 3，直线 l 与双曲线交点 A、B
，则
，
，
，
4
整理可得
，则
因此焦点在 x 轴的焦点弦长为
.
若椭圆方程为
，半焦距为
，焦点
，
设过 的直线 的倾斜角为 交椭圆于 A、B 两点，求弦长 。
2
解：连结
，设
，由椭圆定义得
，由余弦定理得
，
整理可得
，同理可求得
，则弦长
。
同理可求得焦点在 y 轴上的过焦点弦长为 c 为半焦距）
结论：椭圆过焦点弦长公式：
（a 为长半轴，b 为短半轴，
2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）
b ( 25)2 (15)2 5 8 82
方程表示椭圆的离心率e 3，焦距15，长轴长 25，短轴长5
5
4
4
解法二：转化为直角坐标
（2）圆锥曲线弦长问题
若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F，
1、椭圆中， p
a2 c
c
b2 c
， MN
ep 1 e cos
ep
1 e cos( )
2ab2 a 2 c2 cos2
其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p＞0 ． 当 0＜e＜1 时，方程表示椭圆； 当 e＞1 时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程 就表示整个双曲线； 当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线.
引论（1）若 ep 1+e cos
则 0＜e＜1 当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当 e=1 时时，方程表示开口向左的抛物线 当 e＞1 方程表示极点在左焦点上的双曲线
（1）二次曲线基本量之间的互求
例 1.（复旦自招）确定方程 10 表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 5 3cos
解法一：
1
2 3 cos
3 10
5 1 3
3 cos
5
5
e 3，P 10
5
3
c
a b2
c
3 5 10 3
5
3
3a c 5 a c 10
3
a
c
25 8 15 8
（2 ）若 ep 1-e sin
当 0＜e＜1 时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当 e=1 时，方程表示开口向上的抛物线 当 e＞1 时!方程表示极点在上焦点的双曲线
（3） ep 1+e sin
1
当 0＜e＜1 时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当 e=1 时，方程表示开口向下的抛物线 当 e＞1 时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编