高考之圆锥曲线篇】极坐标
圆锥曲线的极坐标方程介绍
节故所求椭圆方程为 x2 y2 1 ． 36 27
肀（II）记椭圆的右顶点为 A ，并设 AFPi i （ i 1，2，3），不失一般性，
莇假设 0 ≤1
2 3
，且 2
1
2 3
，3
1
4 3
．
螆又设点
Pi
在l
上的射影为 Qi
，因椭圆的离心率 e
c a
1 2
，从而有
蚃 FPi
PiQi
e
a2 c
来确定：
肄作射线 OM（如图二）使 XOM ，在 OM 的反向延长线上 P 点，使| OP || | ， 那么 P 点就是极坐标是（ ， ）的点 ( 0) ．
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羅l
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。3
命运如同手中的掌纹，无论多曲折，终掌握在自己手中。
艿 袃O
芆M 莀X
芃 P(, ) ( <0)
命运如同手中的掌纹，无论多曲折，终掌握在自己手中。
袀(22) (本小题满分 12 分)如图，中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F（3，0），右准线的 方程为：x = 12。 羇（1）求椭圆的方程；
薃（2）在椭圆上任取三个不同点 P1 , P2 , P3 ，使 P1FP2 P2 FP3 P3 FP1 ，证明
袇这就是圆锥曲线的极坐标方程．
膃注意：对于椭圆和双曲线的一支，有 p b2 (b, c 0) ．然而对于抛物线，其中的 p c
即为抛物线标准方程 y2 2 px( p 0) 中的 p ．
虿下面我们就可以使用极坐标方程的方法很容易的解出重庆市０７年高考最后一题的 第二问．
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。3
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【高考】圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学 薛德斌一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ．当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F 为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PQ e PF =，∴)cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ〈x 轴，FP 〉 ∴焦半径θcos 1e ep PF -=． 当P 在双曲线的左支上时，θcos 1e ep PF +-=. 推论：若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，则有epNF MF 211=+.三、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，c b c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 2、双曲线中，若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1ac ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ. 3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =--+-=. 四、直角坐标系中的焦半径公式设P （x,y ）是圆锥曲线上的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2；当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2；3、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=.。
2023年高考数学圆锥曲线极点极线的运用
2023年高考数学圆锥曲线极点极线的运用圆锥曲线极点极线是数学中的一个重要概念，其在高考数学中也经常出现。
2023年的高考数学考试中，圆锥曲线极点极线的运用将成为一道热点题目。
本文将围绕这一话题展开探讨，详细介绍圆锥曲线极点极线的相关概念和运用，希望能为广大考生提供一些帮助。
首先，我们来了解一下圆锥曲线极点极线的基本概念。
在数学中，圆锥曲线是指由平面上的一点到两条固定直线的距离之比为定值的轨迹。
而圆锥曲线的极点则是指曲线上的一个特殊点，它与两条固定直线的距离之比为无穷大，即该点到两条直线的距离为无穷大。
极线则是指与曲线上所有点的极距之积为定值的直线。
圆锥曲线极点极线的运用涉及到极坐标系、直角坐标系、参数方程等多种数学方法，需要考生熟练掌握这些知识点。
在高考数学中，圆锥曲线极点极线的运用主要包括以下几个方面：一是求圆锥曲线的极点和极线，计算极点的坐标以及确定其对应的极线方程；二是利用极点极线性质解决实际问题，如求解曲线上某一点到两条直线的距离，或者确定曲线上满足某些条件的点的位置等；三是应用极点极线的性质进行曲线的绘制和分析，包括确定曲线的形状、性质以及与其他曲线的关系等。
考生在备战高考数学时，应该针对这些方面进行有针对性的复习和练习，以提高自己对圆锥曲线极点极线的理解和应用能力。
在解题过程中，要特别注意以下几点：首先是要善于观察和分析问题，根据题目给出的条件，合理选择适当的数学方法和工具，尤其是对于涉及到极坐标系和参数方程的问题，要灵活运用相关知识进行分析和求解；其次是要善于化繁为简，将问题进行适当的简化和转化，以便更好地把握问题的本质和核心，从而更加有效地解决问题；最后是要善于总结和归纳，掌握圆锥曲线极点极线的一般性质和规律，以便在解决新问题时能够迅速找到解题思路和方法。
总的来说，圆锥曲线极点极线的运用在高考数学中占据着重要地位。
考生在备考时要加强对这一知识点的理解和掌握，多做相关题目，积累解题经验，以应对考试中的各种可能的考查。
极坐标法解圆锥曲线
极坐标法解圆锥曲线
极坐标法可以用来解析表示圆锥曲线的方程。
圆锥曲线包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。
下面将分别介绍极坐标法在解析这些曲线方程中的应用。
1.圆：圆的极坐标方程为 r = a，其中 a 为圆的半径。
在极坐
标系下，圆心位于原点，以原点为中心半径为 a 的圆。
2.椭圆：椭圆的极坐标方程为 r = a(1 - e*cosθ)，其中 a 为长
轴的一半，e 为离心率，θ 为极角。
通常情况下，取e < 1，这样才能得到椭圆。
如果 e = 0，则表示一个圆。
3.抛物线：抛物线的极坐标方程为r^2 = 2a*p，其中a 为焦
点到抛物线顶点的距离，p 为焦距的一半。
抛物线沿着对
称轴对称。
4.双曲线：双曲线的极坐标方程为 r^2 = 2a p cosθ，其中 a 为
焦点到双曲线顶点的距离，p 为焦距的一半。
双曲线有两
个分支，分别向外延伸。
对于给定的圆锥曲线方程，你可以将其转化为极坐标方程进行分析和绘制。
通过改变参数 a、e 和 p 的值，可以调整曲线的尺寸、形状和位置。
请注意，极坐标法的应用需要对极坐标系和常见曲线方程有一定的数学理解。
在进行计算和绘制时，确保使用正确的公式和技巧，以获得准确的结果。
圆锥曲线的参数方程与极坐标方程的性质解析
圆锥曲线的参数方程与极坐标方程的性质解析圆锥曲线是在平面上绕着一个固定点旋转而生成的曲线。
它可以通过参数方程或极坐标方程来描述。
本文将重点分析圆锥曲线的参数方程和极坐标方程的性质，并对其进行解析。
一、参数方程的性质解析参数方程是将曲线上的每一个点的坐标表示为一个参数的函数。
对于圆锥曲线而言，其参数方程形式为:x = f(t)y = g(t)其中，x和y分别表示曲线上某一点的坐标，t是参数，f(t)和g(t)是关于t的函数。
1. 参数方程的灵活性相比于其他方程形式，参数方程具有较高的灵活性。
它可以描述复杂的曲线形状，并能够轻易地对曲线进行调整和变换。
例如，通过改变参数的取值范围或参数方程的函数表达式，可以得到不同形状的圆锥曲线。
2. 参数方程的解析性质由于参数方程中的每个变量都是独立的，因此可以分别研究x和y与参数t的关系。
这使得我们能够更好地理解曲线的性质和特点。
例如，通过对参数t的逐渐增减，可以得到曲线上的点的轨迹，并进一步分析其变化规律。
3. 曲线的方程与参数方程的关系圆锥曲线的参数方程可以通过消除参数t来得到与之对应的方程。
具体而言，将参数方程中的t表示为与x和y有关的表达式后，将其代入另一个参数方程中，消去t即得到方程形式。
这种转换使得我们能够从方程的角度更加全面地理解曲线。
二、极坐标方程的性质解析极坐标方程是将曲线上的每一个点的坐标表示为极坐标下的径向距离r和极角θ。
对于圆锥曲线而言，其极坐标方程形式为: r = f(θ)其中，r表示点到极点的距离，θ表示点与极轴的夹角，f(θ)是关于θ的函数。
1. 极坐标方程的简洁性极坐标方程是用极坐标形式直接描述曲线的方程形式，相比于笛卡尔坐标系下的方程，更具有简洁性。
通过极坐标方程，我们可以直观地了解曲线在极坐标系下的性质和特点。
2. 极坐标方程的周期性对于某些特定的圆锥曲线，它们的极坐标方程具有周期性。
也就是说，当θ的取值范围在一定的区间内变化时，曲线的形状会在一定的规律下重复出现。
圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的统一定义：一动点P 到一定点O 的距离与到一定直线L 的距离之比为一定值常数e ，则点P 的轨迹为圆锥曲线。
今以一定点O 为极点，使极轴垂直于定点的直线L ，交点为H ，L PD ⊥.设p HO =，又设),(θρP 为轨迹上任意一点，即θρcos +=HO DP ，从而θρρcos +==p DPOP e ，即θρcos 1e ep -=椭圆（双曲线）的焦参数cb p 2=（极和极线的距离）椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（如右图）其中02>=cb p 是定点F 到定直线的距离， 当10<<e 时，方程表示椭圆；当1>e 时，方程表示双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线右支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。
当1=e 时，方程表示开口向右的抛物线。
引论:（1）若θρcos 1e ep+=当10<<e 时，方程表示极点在右焦点上的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在左焦点的双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线左支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。
当1=e 时，方程表示开口向左的抛物线。
（2）若θρsin 1e ep-=10<<e 时，方程表示极点在下焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在上焦点上的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向上的抛物线。
（3）1sin ep e ρθ=+当10<<e 时，方程表示极点在上焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在下焦点的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向下的抛物线。
整体对比：θρcos 1e ep -=θρcos 1e ep +=θρsin 1e ep-=θρsin 1e ep +=例题：一、二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程θρcos 3510-=表示的曲线的离心率，焦距，长短轴长。
圆锥曲线极坐标方程
圆锥曲线极坐标方程一、知识总结：1、标准形式：1cos epe ρθ=-，其中p 为焦准距（焦点到准线的距离），对于椭圆和双曲线2b p c=，对于抛物线就是那个p ，其实抛物线中p 也表示焦准距。
2、过程：取圆锥曲线的一个焦点（椭圆取左焦点，双曲线取右焦点，抛物线右焦点）为极点,极轴垂直于相应的准线,但与其不相交,建立极坐标系。
注意，该极坐标方程，仅表示双曲线的右支，如果允许0ρ<，则表示两支。
3、关于ρ的正负问题：通常情况下规定0ρ≥，首先，ρ是极径，是长度，小于0没意义，其次，当0ρ>，02θπ≤<时，除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系。
二、推广形式： 1、推广1：1cos epe ρθ=+：1）当01e <<时，方程表示极点在右焦点的椭圆； 2）当1e =时，方程表示开口向左的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在左焦点的抛物线。
2、推广2：1sin epe ρθ=-：1）当01e <<时，方程表示极点在下焦点的椭圆； 2）当1e =时，方程表示开口向上的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在上焦点的双曲线。
3、推广3：1sin epe ρθ=+：1）当01e <<时，方程表示极点在上焦点的椭圆；2）当1e =时，方程表示开口向下的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在下焦点的双曲线。
三、几点性质：1、当原点与极点重合，极轴与x 轴正半轴重合，单位长度相同时，对于圆锥曲线标准极坐标方程：1cos epe ρθ=-，与之对应的直角坐标方程为：1）当01e <<时，()22221x c y a b-+= ； 2）当1e =时，222p y p x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；3）当1e >时，()22221x c y a b+-= 。
2、记圆锥曲线的标准形式：1cos epe ρθ=-时：1）公式1：()()20a ρρπ=+；公式2：()()20c ρρπ=-；公式3：b =2）过圆锥曲线的标准极坐标方程易求得过焦点且倾斜角为θ的弦长AB ： 2221cos epAB e θ=-，特别地，对于抛物线，22sin p AB θ=. 四、焦半径公式：1、椭圆：已知(),P x y 在椭圆上，则：12,PF a ex PF a ex =+=-；2、双曲线：1）已知(),P x y 在双曲线右支上，则12,PF ex a PF ex a =+=-； 2）已知(),P x y 在双曲线左支上，则()()12,PF ex a PF ex a =-+=--； 综上，12,PF ex a PF ex a =+=-。
(三)圆锥曲线的极坐标方程
直线方程的极坐标形式
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
1、当直线l过极点，即0＝0时，直线l的方程 是什么？
2、当直线l过点M(b, )且平行于极轴时，直线的极 2 坐标方程是什么？ sin b
3、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程。 ρcosθ=a
圆锥曲线的极坐标形式
则有 表示椭圆 表示抛物线 表示双曲线右支 (允许 表示整个双曲线)
y
F
x
再见
5 B 3、椭圆 的长轴长是____ 3 2 cos
A 3 B 6 C 9 D 12
另解：
O
x
极坐标小结
M ( , )
O
x
设M是平面内一点，极点O与点M的距离 OM 叫做点M的极径，记为；以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的xOM叫做点 M的极角，记为。有序数对( , )叫做点 M的极坐标，记做M ( , )
三种圆锥曲线的统一定义为：
平面内，到一个定点（焦点F）和一条定直线 （准线L)的距离之比等于常数（离心率e）的点的轨迹。 若设定点F到定直线L的距离为p，则可求到定点F和定 直线L的距离之比为常数e的点的轨迹的极坐标方程。
三种圆锥曲线的统一的极坐标方程: 如图建立坐标系， 设圆锥曲线上任一点 ， 由定义知
的值，使|MN|等于短轴长．
解：以F1为极点，F1F2为极轴建立极坐标系
椭圆的极坐标方程为 设M(ρ1，θ)、N(ρ2，θ+π)，则
练习3
2 曲线 = 的一条准线方程是 cos 1, 3-2cos 其另一条准线方程是：
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大招四 极坐标秒解圆锥曲线3（原点篇） 在椭圆22
2210,0x y a b a b
+=>>（）中，O 是坐标原点，A 、B 是椭圆上两点，OA 、OB 的长度可以用极坐标表示，部分题目可以达到简化计算的目的。
令cos ,sin x y ρθρθ==，则222221
cos sin a b θθρ=+。
例1、设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于，两点，证明：点到直线
的距离为定值，并求弦长度的最小值. 例2已知椭圆
的长轴为4,且过点 (1)求椭圆C 的方程;
(2)设点O 为原点,若点P 在曲线C 上,点Q 在直线
上,且,试判断直线PQ 与圆的位置关系,并证明你的结论.
x 2y 23左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝23，设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是椭圆上不同两点，且这两点分别与坐标原点的连线的斜率之积为－14
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)求证：x 21＋x 22为定值，并求该定值．。