利用极坐标解圆锥曲线题
极坐标圆锥曲线问题
极坐标秒杀圆锥曲线问题一、适用题型二、基本理论：（一）极坐标系、在平面内取一定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），如图对于平面内任意一点M，用ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
极坐标为ρ,θ的点M，可表示为M (,)ρθ。
（二）圆锥曲线的统一极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点F)的距离和一条定直线(准线L)的距离的比等于常数e 的点的轨迹。
建立以焦点F 为极点，x 轴正方向为极轴的极坐标系，其统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（成为标准极坐标方程）。
（1）当0＜e＜1时，方程表示椭圆；定点F 是椭圆的左焦点，定直线L 是它的左准线。
（2）e=1时，方程表示开口向右的抛物线.（3）e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点F 是它的右焦点，定直线L 是它的右准线。
（若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线）其中：（i）ρ是动点到极点的距离（ρ＞0），θ表示极径与极轴正方向的夹角。
（ii）e 表示圆锥曲线的离心率，c e a=。
（iii）p 表示焦点到准线的距离。
由焦点与准线的不同位置关系，从而建立不同的极坐标，利用圆锥曲线定义可得其统一极坐标方程为：推广1：1+cos epe ρθ=（1）0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆（2）e=1时时，方程表示开口向左的抛物线（3）e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线推广2：1-sin ep e ρθ=（1）0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆（2）e=1时，方程表示开口向上的抛物线（3）e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线推广3：1+sin ep e ρθ=（1）0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆（2）e=1时，方程表示开口向下的抛物线（3）e＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线（三）常用性质（1）对于圆锥曲线的标准极坐标方程θρcos 1e ep-=，则与之对应的直角坐标方程为：()22221x c y a b++=，当（0<e<1时）；()22221x c y a b++=，当（e>1时,R ρ∈）；22()y p x c =+(当e=1时)（2）记圆锥曲线的统一方程1-sin epe ρθ=，有公式1：2(0)()a ρρπ=+公式2：2(0)()c ρρπ=-公式3：22(0)()b ρρπ= 其中2a 表示椭圆长轴与双曲线实轴长，2b 表示椭圆短轴与双曲线虚轴长，2c 表示焦距。
圆锥曲线极点极线应用篇5
圆锥曲线极点极线应用篇5一、引言圆锥曲线是高中数学的重要内容，极点极线是解决圆锥曲线问题的一种重要方法。
本篇文档将详细介绍如何应用极点极线解决圆锥曲线问题。
二、极点极线基本概念在解析几何中，一个点对于一个曲线而言，具有特殊的意义。
这个点被称为曲线的极点，而连接这个点和曲线上任何一点的直线被称为这条曲线的极线。
在圆锥曲线中，这个概念同样适用。
三、应用方法1.点与曲线的关系：通过寻找曲线的极点，可以找到曲线上某个点的位置。
通过已知点和曲线的极线，可以求出未知点的坐标。
2.曲线间的关系：不同曲线的极线可能交于一点，或者两曲线具有相同的极线。
这种情况下，可以通过研究这个共有的极线来研究两个曲线之间的关系。
3.最值问题：在解决最值问题时，可以考虑用极点极线的方法。
通过建立极线方程，可以将问题转化为求函数最值的问题。
四、实例解析1.已知抛物线方程为y^2=4x，求点(2,2)在抛物线上的位置。
解：根据抛物线的定义，可得到抛物线的极点为原点。
因为点(2,2)在抛物线上，所以它的极线与抛物线的交点就是所求。
通过解方程y^2-4y=0，可得到点(2,2)在抛物线上的位置为(1,0)。
2.求椭圆x^2/4+y^2/3=1上的点到直线x+y=0的距离最小时的椭圆方程。
解：这个问题的关键在于找到椭圆的极线和所求直线之间的关系。
椭圆的极线是两条射线，它们和坐标轴构成的两个三角形的面积越大，距离最小。
通过计算，可以得到当椭圆的长轴在$x$轴上时，距离最小。
此时，椭圆的方程为x^2/7+y^2/3=1。
五、总结通过极点极线的方法，我们可以更深入地理解圆锥曲线，找到解决问题的方法。
在解决具体问题时，要灵活运用基本概念和方法，通过建立方程、函数等方法，解决实际问题。
六、扩展阅读1.进一步了解极点和极线的性质和应用，可以阅读相关的数学文献和教材。
2.练习解一些更复杂的问题，以提高自己的解题能力。
3.参考一些优秀的数学解题视频和博客，获取更多的解题思路和方法。
圆锥曲线极坐标方程
2 ep 1 e co s
2 2
圆锥曲线的统一极坐标方程的应用
• .写出下列圆锥曲线统一的极坐标方程 : 2 2 • （1）
x
2
y
1
4
• （2）
3
y 4x
• 2. 已知椭圆
3 2 co s
，求：
• （1）椭圆左右顶点的极坐标；
• （2）椭圆上极角 3 为的点对应的极径；
2
y
2
1
5
4
• 的左焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交 于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB的 面积．
1 F P1
1 FP
2
1 FP3
• 为定值，并求此定值．
例题3：(2005年全国高考理改编) x y 1 已知F点为椭圆 2 的左 焦点.过F点的直线L与椭圆交于P、 Q两点，过F且与L1垂直的直线L2 交椭圆于M、N两点，求四边形 PMQN面积的最小值和最大值.
2 2
• 例题4：08年海南卷）过椭圆 x
圆锥曲线极坐标方程的应用
四川省阆中中学高2010级数学组
一、圆锥曲线的统一极坐标方程
ep 1 e co s
e 1
• 说明:1.圆是以左焦点为极点，抛物线是以焦点为极 点，而双曲线是以右焦点为极点，极轴方向与 轴同方向．
• 可以中心为极点建立极坐标系吗？ • 以原点为极点，极轴与轴同方向，可以用 直角坐标与极坐标的转化公式直接转化即 2 可．标准方程 x 2 转化为极坐 y 2 1 2 a b • 标方程
• （3）过左焦点，倾斜角
为的弦的长度.
3
• 例题2：(2007重庆理改编)如图，中心在原
高考之圆锥曲线篇】极坐标
大招四 极坐标秒解圆锥曲线3（原点篇） 在椭圆22
2210,0x y a b a b
+=>>（）中，O 是坐标原点，A 、B 是椭圆上两点，OA 、OB 的长度可以用极坐标表示，部分题目可以达到简化计算的目的。
令cos ,sin x y ρθρθ==，则222221
cos sin a b θθρ=+。
例1、设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于，两点，证明：点到直线
的距离为定值，并求弦长度的最小值. 例2已知椭圆
的长轴为4,且过点 (1)求椭圆C 的方程;
(2)设点O 为原点,若点P 在曲线C 上,点Q 在直线
上,且,试判断直线PQ 与圆的位置关系,并证明你的结论.
x 2y 23左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝23，设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是椭圆上不同两点，且这两点分别与坐标原点的连线的斜率之积为－14
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)求证：x 21＋x 22为定值，并求该定值．。
极坐标方程在圆锥曲线中的应用
极坐标方程在圆锥曲线中的应用作者：周震来源：《中学生数理化·学习研究》2017年第08期在圆锥曲线问题中，常出现的长度问题主要有两大类：一是与焦点有关，主要体现在过焦点的弦长、直线的倾斜角、焦准距等相关的问题；二是与原点有关的长度和角度问题。
这两类问题利用圆锥曲线常规解法往往运算量较大，学生通常比较害怕。
如果我们转换思路，合理利用曲线的极坐标方程来解，可以将繁琐复杂的计算简单化，提高解题速度和正确率。
下面通过具体例题来阐述圆锥曲线的极坐标解法。
在极坐标系中，以圆锥曲线的焦点F（椭圆为左焦点，双曲线为右焦点）为极点，对称轴为极轴建立极坐标系，离心率为e，焦点到准线的距离为p。
则圆锥曲线的极坐标方程为ρ=ep1-ecosθ。
当以原点为极点，Ox轴为极轴时，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的极坐标方程ρ2=a2b2b2cos2θ+a2sin2θ。
双曲线x2a2-y2b2=1的极坐标方程为ρ2=a2b2b2cos2θ-a2sin2θ。
抛物线y2=2px的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ。
圆心为（a，0），半径为a的圆的极坐标方程为ρ=2acosθ。
一、与焦点有关的问题例1已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）过椭圆的左焦点F作倾斜角为π3的直线交椭圆于A、B两点，且AF∶BF=2∶1，求椭圆的离心率。
分析：在极坐标系中，由于椭圆的极坐标方程是以左焦点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的坐标系，极径的长即为椭圆上的点到焦点的距离，所以可以利用极坐标方程来解决。
解：以椭圆的左焦点F为极点，Fx轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ=ep1-ecosθ。
则AF=ep1-12e，BF=ep1+12e。
因为AF∶BF=2∶1，所以ep1-12e∶ep1+12e=2∶1。
化简得e=23。
故所求椭圆的离心率为e=23。
运用极坐标方程解决与焦点弦长有关的问题可以简化计算量，提高解题速度和效率。
巧用极坐标揭秘圆锥曲线性质
性质１：过椭圆与＋昔＝１（口＞ｂ＞０）的焦点，作直线
Ｚ（斜率存在且不为０）交椭圆于Ａ，日两点，作直线ｚ的中垂线，交
菇轴于点Ⅳ，则而ＡＢ是疋但了２．
则有ｐ；＝蕊万２丽Ｏ，ｐ：２＝石万２丽０
因为ｄ２＝考％２ ２’所以÷＝了１＋虿Ｐ２
ｐｌ十
ｄ
本题第（２）问就可以用上面的定理来解决，而第（３）问则 把椭圆与双曲线有机地融合在一起，进一步衍变为一个相似问
题．类似变化问题在近几年各地的高考题中也都有出现，如０９ 年北京卷理１９，１０年陕西卷２０，有兴趣的读者可以用这些性质
我们也会得到如下美妙的结论．
（酗铲＝ｐ；＋厦＝２０‘磊磊忐＋石孑了≯１丽）
令ｍ＝４ｃｏｓ２０＋５ｓｉｎ２０，ｎ＝４ｓｉｎ２０＋５ｃｏｓ２０，由于ｍ＋ｒ／，＝
９．
推论２：已知椭圆鲁＋告＝１（口＞ｂ＞ｏ）上三点Ｐ，，Ｐ２，
所以Ａ铲＝２０（１ｍ＋÷）＝２０（１＋÷’可１（ｍ＋ｎ）＝
ｍ
乃 ｎ ｙ
Ｐ３，且ｏＰｌ，ＯＰ２，ｏＰ３互成１２００角，则去＋去＋壶为定值
三，上．上、
２、ｎ２’ｂ２
７‘
等（２＋詈＋詈）≥等
所以ＡＢ的最小值为箪．
规律探秘：如果我们将此例从特殊推广到一般，类比、拓 广、延伸，挖掘潜在条件，我们就会发现如下性质：
推论３：已知椭圆与＋告＝ｌ（口＞ｂ＞ｏ）上ｎ个点Ｐ，，Ｐ２，
…，Ｐｎ，且ｏＰ－，ｏＰ２，…，ＯＰｎ将周角０分成ｎ等分角，则壶＋
性质２：已知椭圆冬＋鲁＝ｌ（ａ＞ｂ＞ｏ），动直线ｚ交椭圆
巧用极坐标揭秘圆锥曲线性质
14. 【圆锥曲线篇】秒杀技巧极坐标1
先给大家总结几个圆锥曲线焦半径、焦点弦重要的性质。
性质 1：以圆锥曲线的焦点 p，(椭圆是左焦点、双曲线是右焦点)为极点，对称轴(椭圆是长轴，双曲线是实轴)
ep
b2
为 极 轴 ， 离 心 率 为 e ， 焦 点 到 相 应 准 线 的 距 离 为 p 。 则 AF
大招二 极坐标秒解圆锥曲线选择题
圆锥曲线是高考压轴题经常涉及和考查的对象，解决此类问题若使用常规解法，计算、化简都相当繁琐，运 用焦半径、焦点弦公式则会大大减少运算，非常巧妙，在解题中起到事半功倍的效果。而焦半径、焦点弦公式可 以用圆锥曲线的统一定义推导，圆锥曲线的统一定义把焦点、准线和离心率巧妙地联系在一起。
AF
在 y 轴左侧），则
．
FB
x2
例 7、已知双曲线 C：
a2
y2 b2
（1 a
0, b 0）的右焦点为 F，过点 F 作直线 l 垂直于一条渐近线于 M，交
另一条渐近线于 N，若 MF 2FN ，则 C 的离心率是
例 8、已知抛物线 y2=4x，焦点为 F，点 A（-3，0）． （1）过点 A 的直线与抛物线只有一个交点的直线有几条，并写出直线方程；
经过椭圆 B 点，求 AB 的长。
法 1：解：
的左焦点 作倾斜角为 60°的直线 ，直线 与椭圆相交于 A， 斜率
设 A（ ）,B（ ）
联立得： 化简得： 解得
, ,
∴
法 2：
AB
1
2ep e2 cos2
= a2
2ab2 c2 cos2
8 7
2
第 60 页例 6
极坐标求解圆锥曲线焦点弦问题
极坐标求解圆锥曲线焦点弦问题圆锥曲线是一种常见的二维曲线形式，它可以由圆锥的剖面所生成。
在数学中，我们经常遇到求解圆锥曲线焦点弦的问题。
首先，让我们回顾一下极坐标的基本概念。
极坐标是一种用极径和极角来描述平面上点位置的坐标系统。
对于圆锥曲线，我们可以使用极坐标来描述其形状和特性。
求解圆锥曲线焦点弦的问题是要找到圆锥曲线上两个焦点之间的弦的方程。
为了解决这个问题，我们可以按照以下步骤进行：1. 确定圆锥曲线方程：根据圆锥曲线的类型，如椭圆、双曲线或抛物线，确定其标准方程。
例如，对于椭圆，标准方程为 r = a(1 - e*cosθ)；对于双曲线，标准方程为r = a(1 + e*cosθ)；对于抛物线，标准方程为r = a(1 + cosθ) 或 r = a(1 - cosθ)。
2. 确定焦点坐标：通过曲线方程中的参数，计算出曲线的焦点坐标。
对于椭圆和双曲线，焦点坐标为 (ae, 0) 和 (-ae, 0)，其中 e 是离心率。
对于抛物线，焦点坐标为 (a/2, 0)。
3. 求解弦的方程：选择两个不同的点作为弦的端点，可以通过给定的焦点坐标和极径的差值来确定弦的长度。
然后，通过两点式或极坐标变换，推导出弦的方程。
在进行上述步骤时，应注意选择合适的曲线方程和坐标系，以确保结果的准确性和一致性。
此外，还应牢记圆锥曲线的性质和特点，以便在求解过程中进行验证和判断。
综上所述，通过极坐标求解圆锥曲线焦点弦问题需要确定圆锥曲线方程、焦点坐标和弦的方程。
这一过程涉及到数学知识和计算技巧，并需要合理地选择坐标系和参数值。
通过正确地应用这些步骤，我们可以准确地求解圆锥曲线焦点弦的问题。
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利用极坐标解题知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cos epe ρθ=则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线（3）1+sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编（1）二次曲线基本量之间的互求例1.（复旦自招）确定方程1053cos ρθ=-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。
解法一：310253331cos 1cos 55ρθθ⨯==--31053e P ∴==，2332555851015103383c a c a a b a c c c⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩52b ∴== 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，2554长轴长，短轴长解法二：转化为直角坐标（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A 、B 两点，求弦长。
解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，则弦长。
同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为（a 为长半轴，b 为短半轴，c 为半焦距） 结论：椭圆过焦点弦长公式：2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。
）若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1ac ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ 设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A 、B 两点，求弦长|AB|。
解：（1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A 、B 在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得整理可得，同理，则可求得弦长。
（2）当或时，如图3，直线l 与双曲线交点A 、B 在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得，整理可得，则因此焦点在x 轴的焦点弦长为同理可得焦点在y 轴上的焦点弦长公式其中a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距，为AB 的倾斜角。
3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1pp p MN =--+-=若抛物线与过焦点的直线相交于A 、B 两点，若的倾斜角为，求弦长|AB|？（图4）解：过A 、B 两点分别向x 轴作垂线为垂足，设，，则点A 的横坐标为，点B 横坐标为，由抛物线定义可得 即则同理的焦点弦长为的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为例2． 已知抛物线y 2=2px （p>0），过其焦点且斜率为k 的直线交抛物线于A ，B 两点，求AB 长.练习1：．过双曲线22x y -145=的右焦点，引倾斜角为3π的直线，交双曲线与A 、B 两点，求AB ｜｜解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系即得附录直角坐标系中的焦半径公式设P （x,y ）是圆锥曲线上的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2； 当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2； 3、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=. 利用弦长求面积例3．设过椭圆1162522=+y x 的右焦点的弦AB=8，求三角形AOB 的面积。
练习2．（08年卷）过椭圆22154x y +=的焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B两点，O 为坐标原点，求AOB ∆的面积．523cos ρθ=-12(,),(,)33A B ππρρπ+12||AB ρρ=+5580||723cos 23cos()33πππ=+=--+简解：首先极坐标方程中的焦点弦长公式222||1cos epAB e θ=-求弦长，然后利用公式B 1|B |||sin 2AO S A OF AFO ∆=∠直接得出答案。
练习3．(2005年全国高考理科)已知点F 为椭圆2212x y +=的左焦点.过点F 的直线1l 与椭圆交于P 、Q 两点，过F 且与1l 垂直的直线2l 交椭圆于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值和最大值.解析：以点F为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：ρ= 设直线1l 的倾斜角θ，则直线2l 的倾斜角为090θ+，由极坐标系中焦点弦长公式知：2||1cos 2PQ θ=-，202||1cos (90)1sin 22MN θθ==-+-用他们来表示四边形的面积1||||2S PQ MN =22111sin cos 24θθ=+2111sin 2216θ=+ 即求2111sin 2216θ+的最大值与最小值由三角知识易知：当sin 21θ=±时，面积取得最小值169；当sin 20θ=时，面积取得最大值2利用弦长公式解决常量问题例4．过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点F ，作倾斜角为60的直线l 交椭圆于A 、B两点，若FBFA 2=，求椭圆的离心率.简解：建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。
设椭圆的极坐标方程为θρcos 1e p e -=则00240cos 1,60cos 1e pe FB e p e FA -=-=， ∴21221ep e e p e +⋅=-，解得32=e ；练习4．求过椭圆23cos ρθ=-的左焦点，且倾斜角为4π的弦长AB 和左焦点到左准线的距离。
解：先将方程ρ=化为标准形式：2311cos 3ρθ=- 则离心率13e =，23ep =，2p ∴= 所以左焦点到左准线的距为2。
设125(,),(,)44A B ππρρ，代入极坐标方程，则弦长1222245173cos 3cos44AB ρρππ=+=+=-- （3）定值问题 例5. 抛物线22(0)y px p =>的一条焦点弦被焦点分为a,b 的两段，证明：11a b+定值。
解：以焦点F 为极点，以FX 轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为1cos pρθ=-，设(,),(,)A a B b θθπ+将A,B 两点代入极坐标方程，得,1cos 1cos()p pa b θθπ==--+则11a b+=1cos 1cos()p p θθπ--++=2p （定值）点睛：引申到椭圆和双曲线也是成立的。
推论：若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，则有epNF MF 211=+ 例6．经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB 和弦CD,求证11AB CD+为定值。
证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为θρcos 1e ep-=，又设()()112343A ,,B ,+,C ,+,D ,+22ππρθρπθρθρθ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则代入可得222||1cos ep AB e θ=-，222||1sin ep AB e θ=-则 2112-e =AB CD 2ep+ 注释。
此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。
注意使用的围。
推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。
需要以原点为极点建立极坐标方程。
推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。
例7．(2007理改编)中心在原点O 的椭圆2213627x y +=，点F 是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点123P ,P ,P 使0122331120P FP P FP P FP ===∠∠∠． 证明：213111FP FP FP ++为定值，并求此定值． 解析：以点F 为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：92cos ρθ=-，设点1P 对应的极角为θ，则点2P 与3P 对应的极角分别为0120θ+、0120θ-，1P 、2P 与3P 的极径就分别是1||FP =92cos θ-、2||FP = 092cos(120)θ-+与3||FP = 092cos(120)θ--，因此213111FP FP FP ++=002cos 2cos(120)2cos(120)999θθθ--+--++，而在三角函数的学习中，我们知道0cos cos(120)cos(120)0θθθ+++-=，因此21311123FP FP FP ++=为定值 点睛：极坐标分别表示1||FP 、2||FP 与3||FP ，这样一个角度对应一个极径．就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点．推广： 若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？例8．（2006全国联赛）椭圆1162522=+y x 的右焦点为F ，P 1，P 2，…，P 24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P 1是椭圆的右顶点，并且∠P 1FP 2=∠P 2FP 3=∠P 3FP 4=…=∠P 24FP 1.若这24个点到右焦点的距离的倒数和为S ，求S 的值．推广: 设123P P P P n 是椭圆上的n 个点，且123N FP ,FP ,FP FP 圆周角等分则n2i=1i1OP ∑也为定值 作业（2003年希望杯竞赛题）经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点1F 作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A ，B 两点，11||2||AF BF =． （1）求椭圆的离心率e ； （2）若15||4AB =，求椭圆方程。