极坐标圆锥曲线问题
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法圆锥曲线问题，是指如何确定不同角度下的圆锥曲线的形状、大小及相关属性。
这个问题涉及到广泛的数学知识，包括平面几何、代数学和微积分等。
为了解决这个问题，数学家们开发了多种方法，下面将对其中的几种方法作简单介绍。
一、解析法解析法是最常用的一种方法，它将圆锥曲线的方程引入坐标系中，从而可以用代数学方法进行计算。
解析法的优势在于能够精确地求解各种属性，包括曲线的焦点、直线渐近线、曲率及曲率半径等，这些都可以用代数形式表示。
此外，解析法还可以通过运用矢量和以及微积分技巧推导出其他相关公式。
二、几何法几何法是以几何图形为基础的一种方法，它适合于解决圆锥曲线上的几何问题，比如确定曲线的顶点、焦点、渐近线和曲率半径等。
几何法的优势在于容易理解，能够直观地显示出曲线的形状和大小，不需要对各种数学公式有深入的了解。
但是几何法对于精确计算曲线各种属性并不适用，这需要应用代数方法。
三、极坐标法极坐标法也是一种解析方法，与解析法不同的是，它将圆锥曲线的方程表示为极坐标下的形式。
这种方法的优势在于能够更容易地描述曲线的轮廓，而且可以确定曲线的对称中心。
但是极坐标法也存在一定的不足之处，主要体现在它对于计算曲线各种属性的难度较大。
四、参数法参数法是一种特殊形式的解析法，它将曲线的坐标表示为参数方程的形式。
这种方法可以应用于计算曲线上某一点的切线和法线、弧长、曲率等，是解决某些问题的有效方法。
但是参数法也存在一些不足之处，例如在一些问题中，参数方程的计算和理解较为复杂。
总之，以上几种解决圆锥曲线问题的方法各有所长，可以灵活地应用于不同的问题和情况。
在实际应用中，一些情况下也会综合应用多种方法进行解决，以获得更为全面的结果。
圆锥曲线解题技巧之五利用曲线的极坐标方程解题
圆锥曲线解题技巧之五利用曲线的极坐标方程解题圆锥曲线解题技巧之五：利用曲线的极坐标方程解题在解决圆锥曲线相关问题时，我们经常使用的解题技巧之一就是利用曲线的极坐标方程。
这种方法能够帮助我们更加简洁地描述和解决问题，为我们解答一些复杂的几何问题提供了便利。
本文将介绍如何利用曲线的极坐标方程解题，并通过实例加深理解。
一、什么是极坐标方程在介绍如何利用极坐标方程解题之前，我们先来了解一下什么是极坐标方程。
极坐标方程是一种用极坐标表示的函数方程。
在平面直角坐标系中，我们通常用x和y坐标来描述点的位置，而在极坐标系中，我们用极径和极角来确定点的位置。
极径是点到原点的距离，而极角则是极径与x轴正半轴之间的夹角。
二、利用极坐标方程解题的步骤1. 确定曲线的极坐标方程首先，我们需要确定所给曲线的极坐标方程。
根据不同类型的圆锥曲线，它们的极坐标方程也会有所不同。
例如，椭圆的极坐标方程为r = aε / (1 + εcosθ)，其中a为主轴长，ε为偏心率，θ为极角。
2. 利用极坐标方程解题一旦确定了曲线的极坐标方程，我们就可以利用该方程进行解题。
根据所给的问题，使用极坐标方程来确定所求的未知量，并进行计算。
在这个过程中，我们可以运用一些基本的数学技巧和公式，如加减乘除、因式分解、平方差公式等，来求解方程，并得出所需要的答案。
3. 检验解答的合理性在解题的过程中，我们需要时刻注意检验解答的合理性。
首先，我们可以将所求点的坐标代入极坐标方程中，看是否满足等式。
其次，我们可以将所求点的坐标代入原始问题中，看是否满足题目的要求。
只有在这两方面都满足的情况下，我们才能确定所求的答案是正确的。
三、实例分析为了更好地理解如何利用曲线的极坐标方程解题，我们以一个实例进行分析。
假设有一个椭圆，其极坐标方程为r = 2 / (1+cosθ)。
现在需要求解该椭圆上的点P的坐标。
首先，我们已经确定了椭圆的极坐标方程为r = 2 / (1+cosθ)。
引入极坐标解决圆锥曲线焦半径问题
引入极坐标解决圆锥曲线焦半径问题作者：胡建国来源：《数学教学通讯·中等教育》2014年第10期摘要：在人教A版选修4-4《坐标系与参数方程》中，只介绍了直线、圆的极坐标方程，没有介绍圆锥曲线的极坐标方程.实际上，对于圆锥曲线的焦半径或者焦点弦问题，引入极坐标，会大大简化计算过程. 本文通过几道例题来介绍这种方法以及分析这种方法的优势.关键词：圆锥曲线；焦半径；极坐标系方程高中数学教材通过几个例题，实际上给出了圆锥曲线的统一定义：与一个定点和一条定直线的距离的比为常数e的点的轨迹，当01时，轨迹是双曲线. 我们可以利用这个统一定义，得到圆锥曲线的极坐标方程.以椭圆为例，介绍极坐标方程的推导过程.如图1，以左焦点F1为极点，沿长轴方向为极轴，建立极坐标系.设点M（ρ，θ）是椭圆上任意一点，则=e，把左焦点到左准线的距离记为p，则=e，整理得：ρ=，此方程为椭圆的极坐标方程.图1例题1 已知椭圆C：+=1，过点F1（-2，0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A，B 和D，E，求AB+DE的最小值.解法一：设直线AB的方程为x=ty-2，设点A（x1，y1），B（x2，y1），由x=ty-2，+=1得（t2+2）y2-4ty-4=0，故y1+y2=，y1·y2=，得AB=y1-y2=·=；同理可得DE=，所以AB+DE=+=12≥12·=.当且仅当t2+2=2t2+1，即t=±1时取到“=”号. 另外，当直线AB的方程为y=0时，AB=4，DE=2，此时，AB+DE=6. 综上，由解法二：以F1为极点，沿长轴方向为极轴，建立极坐标系，得到椭圆的极坐标方程为：ρ=.设B（ρ，θ），θ∈[0，2π]，则AB=AF1+BF1=+=，DE=DF1+EF1=+=，所以：AB+DE=+==≥=，即AB+DE的最小值为.对比上述两种解法，我们可以发现，第一种解法不仅要分情况讨论，另外计算量也很大，尤其是求最值的部分需要较好的数学功底；第二种解法过程简洁，不需要分情况讨论，而且求最值的问题转化为三角函数的最值问题.显然，在椭圆的焦点弦问题中，引入极坐标能极大地提高解题效率.例题2 已知C1：y2=4x，C2：+=1，过F（1，0）点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与C1相交于A，B，l2与C2相交于C，D，求四边形ACBD面积的取值范围.解：以F为极点，沿椭圆长轴方向为极轴，建立极坐标系. 由椭圆的直角坐标系方程+=1得到椭圆的极坐标方程为ρ=，则CD=CF+DF=+=. 由抛物线的直角坐标系方程y2=4x得到其极坐标方程为ρ=.AB=BF+AF=+=SACBD=AB·CD=··=≥8，所以四边形ACBD面积的取值范围是[8，+∞）.例题3 试证明：过双曲线C：-=1的一个焦点F作两条相互垂直的弦分别交双曲线于AB 和CD，则+=.证明：以右焦点F2为极点，沿实轴方向为极轴，建立极坐标系，得到双曲线的极坐标方程为：ρ=，记t=-a，则AB=+=，CD=+=+=，+=+===，所以，命题得证.。
用极坐标解决圆锥曲线焦点弦问题
、
基础 知识
，
．
・
・ ．
在教 材 中 ， 圆锥 曲线 统一 的极坐 标方程 （ 如图 １ ） 是如 下定义 ： 过焦 点 ，作相 应准 线 的垂 线 ￡ ， 垂足 为 ， 以焦点 Ｆ为 极点 ， Ｆ Ｋ的 反 向延 长线 为极 轴 ， 建立 极 坐 标 系 ， 从 而 得 到 圆 锥 曲线 统 一 的 极
坐标 方程 ：
，．
ｂ＝ １， ｃ＝
， 口＝
以椭 圆 的右焦点 为极 点 、 轴 的负半 轴 为极 轴 ， 建 立 如 图 ３所 示 的极坐 标 系 ， 则椭 圆 的极坐 标方程 是 ｐ １
推广 １ ： Ｐ＝
， 当 ０＜ｅ ＜１ 时， 方 程 表 示 极 点在 右 焦 点
：
极径 ； ３ 、 ① 因为椭 圆 、 双 曲线 Ｐ＝ 的几何 意义 ， 所 以 的极 坐标方 Ｃ
Ｌ２
等 ＝ １ （ ａ ＞ ｂ ＞ ０ ） 的 离 心 率 为 字 ， 椭 圆 与 轴 交 于
２ ２
程可 以变 形 为 Ｐ＝ —
两点Ａ （ ａ ， ０ ） 、 Ｂ （ 一 ａ ， ０ ） ， 过 点 Ｃ的直线 ｌ 与椭 圆交于另 一点 Ｄ， 并 与 轴交 于点 Ｐ， 直线 Ａ Ｃ与直线 Ｂ Ｄ交 于点 Ｑ。 ； ② 因 为 ｅ的特 殊 性 ， 所 以抛 物 线 的 极 （ １ ） 当直线 Ｚ 过椭 圆右 焦点 时 ， 求线 段 Ｃ Ｄ的长 ； （ ２ ） （ 略） 。 解： ‘ ・ ‘ 过点 ｃ （ ｏ ， １ ） 的椭 圆 ＋ ＝ ｌ （ ｎ＞ ６ ＞ ０ ） 的离 心率 为
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圆锥曲线的极点与极线问题
圆锥曲线的极点与极线问题圆锥曲线的极点与极线问题导言圆锥曲线是数学中的一个重要分支，其所涵盖的概念和性质有着深远的研究价值。
其中，圆锥曲线的极点与极线问题是一个具有特殊意义的主题。
在本文中，我将以深度和广度的方式来探讨圆锥曲线的极点与极线，希望能够使读者对这一问题有全面、深刻和灵活的理解。
一、圆锥曲线的基本定义与性质1.1 什么是圆锥曲线圆锥曲线是由一个平面与一个平行于它的不相交的直线切割圆锥所得到的曲线。
根据切割的方式和角度不同，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
1.2 圆锥曲线的焦点与离心率圆锥曲线的焦点是指在其上的特殊点，其具有特殊的几何性质。
离心率是一个衡量圆锥曲线形状的参数，也是圆锥曲线性质的重要指标。
二、极点与极线的基本概念2.1 极点的定义与性质在平面上给定一个圆锥曲线，其直角坐标系中的原点O被称为该圆锥曲线的极点。
极点在圆锥曲线的研究中具有重要的地位，它与曲线的各种性质密切相关。
2.2 极线的定义与性质对于圆锥曲线上的任意一点P，以极点为中心，作直线OP，称为圆锥曲线的极线。
极线是一个与极点相关的直线，它与曲线的位置和特性有着密切的联系。
三、不同类型曲线的极点与极线问题3.1 椭圆的极点与极线对于椭圆，其极点为原点O，极线为过原点O的直线。
椭圆的极点处于其主轴的中点位置，其极线是关于两个焦点的对称直线。
3.2 双曲线的极点与极线对于双曲线，其极点为原点O，极线为过原点O的渐近线。
双曲线的极点处于离心率之间的位置，其极线是关于两个焦点的渐近线。
3.3 抛物线的极点与极线对于抛物线，其极点为其焦点，极线为过焦点的直线。
抛物线的极点位于抛物线的顶点位置，其极线是关于焦点的直线。
四、个人观点与理解圆锥曲线的极点与极线问题是一个十分有趣且具有挑战性的数学问题。
通过研究圆锥曲线的极点与极线，我们能够更深入地理解曲线的性质和特性。
极点是曲线的重要几何特征，它能够从不同的角度揭示出曲线的各种性质。
圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)
锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程）圆锥曲线的焦点弦问题是高老命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有老察。
由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。
本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！ ?定理已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴（或平行于坐标轴）, 焦点为F,设倾斜角为G的直线/经过F,且与圆锥曲线交于A、B两点，记圆锥曲线的离心率为e,通径长为H,则（1）当焦点在X轴上时，弦AB的长IABI= —；11 - COS^ a I（2）当焦点在丫轴上叭弦AB的长而推论：（I）B点在X轴上,当ASB在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时,IABI= —上一十l-f COSJ a 当AX B不在双曲线的一支上时，IABI= — ;当圆锥曲线是抛物线时,<?" COS fc iZ-IHIABI=一 .SiIr a⑵焦点在y轴上,当入B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时9∖AB∖=一竺十1一0°sin" a当A、B不在双曲线的一支上时，IABI= — ;当圆锥曲线是抛物线时, L SHr α-lIABl=cos* a典题妙解F面以部分高老题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1 (06文第21题)已知椭圆+ * = 抛物线。
-加)2=2Z (P >0), 旦G、G的公共弦AB过椭圆Cl的右焦点.(I)当AB丄X轴时，求p, m的值，并判断抛物线C?的焦点是否在亶线AB上；4(II)若P =-且抛物线G的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程・L V*例2 （07全国I文第22题）已知椭圆y + -= 1的左.右焦点分别为耳，过件的直线交椭圆于B. D两点，过耳的直线交椭圆于A・C两点，旦AC丄BD f垂足为P・■ ■⑴ 设P点的坐标为（心，儿），证明：牛+ *^v1.⑵求四边形ABCD的面积的最小值.例3 (08全国I理第21题文第22题)双曲线的中心为原点6 焦点在X上，两条渐近线厶于入B两点.已知IMI、分别为厶、I2,经过右焦点F垂直于片的直线分别交厶、IABk IoRl成等荃数列，且丽与臥同向.(I )求双曲线的离心率；(II)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.金指点睛21.已知斜率为1的直线/过椭圆⅛+ A∙2 = 1的上焦点F交椭圆于A. B两点，则4IABl= ___________ .22・过双曲线X--—= 1的左焦点F作倾斜角为7的吉线/交双曲线于AX B两点，则30IABl= __________ .3.已知椭圆x1+2y2-2 = 0,过左焦点F作宜线/交A、B两点，O为坐标原点，求AAOB的最大面积.4.已知抛物线Γ=4∕ΛV (/; >0),弦AB过焦点F,设IABl=加，AAOB的面积为S,求证：存为定值•5. （05全国Il文第22题）F、Q、MX N四点都在椭圆，+冷=1上，F为椭圓在y轴正半轴上的焦点•已知丽与甩共线，丽与丽共线■且亦・MF = O四边形PQMN的面积的最大值和最小值.6. (07文第22题)如图,倾斜角为α的直线经过抛物线y2 = 8.v的焦点F,且与抛物线交于A、B两点.(I )求抛物线的焦点F的坐标及准线/的方程；(Il)若Q为锐角,作线段AB的垂直平分线m交.v轴于点P,证^lFPl-IFPICoS2σ 为定值，并求此定值.iVf ,.专业7•点M与点F(0,2)的距离比它到直线/: y + 3 = 0的距离小1.(1)求点M的轨迹方程；⑵ 经过点F且互相垂直的两条亶线与轨迹相交于Aj B; CX D.求四边形ACBD的最小面积・8.已知双曲线的左右焦点F I、F2与椭圆y+y2 =1的焦点相同，且以抛物线V2= -2Λ∙的准线为其中一条准线.(1)求双曲线的方程；(2)若经过焦点F2且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A、B; C、D.求四边形ACBD 的面积的最小值•参考答案:Y e- Oik- C 证明：设双曲线方程为庐"。
利用直角坐标系和极坐标系解圆锥曲线问题
利用直角坐标系和极坐标系解圆锥曲线问题在数学中，圆锥曲线是指由平面与一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）之间的点所构成的曲线。
利用直角坐标系和极坐标系可以方便地解决圆锥曲线问题。
下面将介绍如何利用这两种坐标系来解决该问题。
1. 直角坐标系解圆锥曲线问题在直角坐标系中，可以用方程的形式描述圆锥曲线。
常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
1.1 椭圆椭圆是一个有限点的几何图形，其特点是到两个焦点的距离之和为常数。
在直角坐标系中，椭圆的方程可表示为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中，(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半长轴。
1.2 双曲线双曲线是一个无限点的几何图形，其特点是到两个焦点的距离之差为常数。
在直角坐标系中，双曲线的方程可表示为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1或者(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = -1其中，(h, k)为双曲线的中心坐标，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的半长轴。
1.3 抛物线抛物线是一个有限点的几何图形，其特点是到焦点和到准线的距离相等。
在直角坐标系中，抛物线的方程可表示为：y = ax² + bx + c其中，a、b和c为常数，决定了抛物线的形状和位置。
2. 极坐标系解圆锥曲线问题在极坐标系中，可以用方程的形式描述圆锥曲线。
常见的圆锥曲线包括极坐标方程、参数方程和极径方程。
2.1 极坐标方程极坐标方程是通过指定极径和极角来定义圆锥曲线。
在极坐标系中，圆锥曲线的极坐标方程可以表示为：r = f(θ)，其中r为极径，θ为极角。
2.2 参数方程参数方程是通过引入一个或多个参数来定义圆锥曲线。
在极坐标系中，圆锥曲线的参数方程可以表示为：x = f(t)，y = g(t)其中t为参数。
极坐标方程在圆锥曲线中的应用
极坐标方程在圆锥曲线中的应用作者：周震来源：《中学生数理化·学习研究》2017年第08期在圆锥曲线问题中，常出现的长度问题主要有两大类：一是与焦点有关，主要体现在过焦点的弦长、直线的倾斜角、焦准距等相关的问题；二是与原点有关的长度和角度问题。
这两类问题利用圆锥曲线常规解法往往运算量较大，学生通常比较害怕。
如果我们转换思路，合理利用曲线的极坐标方程来解，可以将繁琐复杂的计算简单化，提高解题速度和正确率。
下面通过具体例题来阐述圆锥曲线的极坐标解法。
在极坐标系中，以圆锥曲线的焦点F（椭圆为左焦点，双曲线为右焦点）为极点，对称轴为极轴建立极坐标系，离心率为e，焦点到准线的距离为p。
则圆锥曲线的极坐标方程为ρ=ep1-ecosθ。
当以原点为极点，Ox轴为极轴时，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的极坐标方程ρ2=a2b2b2cos2θ+a2sin2θ。
双曲线x2a2-y2b2=1的极坐标方程为ρ2=a2b2b2cos2θ-a2sin2θ。
抛物线y2=2px的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ。
圆心为（a，0），半径为a的圆的极坐标方程为ρ=2acosθ。
一、与焦点有关的问题例1已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）过椭圆的左焦点F作倾斜角为π3的直线交椭圆于A、B两点，且AF∶BF=2∶1，求椭圆的离心率。
分析：在极坐标系中，由于椭圆的极坐标方程是以左焦点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的坐标系，极径的长即为椭圆上的点到焦点的距离，所以可以利用极坐标方程来解决。
解：以椭圆的左焦点F为极点，Fx轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ=ep1-ecosθ。
则AF=ep1-12e，BF=ep1+12e。
因为AF∶BF=2∶1，所以ep1-12e∶ep1+12e=2∶1。
化简得e=23。
故所求椭圆的离心率为e=23。
运用极坐标方程解决与焦点弦长有关的问题可以简化计算量，提高解题速度和效率。
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极坐标秒杀圆锥曲线问题一、适用题型二、基本理论：（一）极坐标系、在平面内取一定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），如图对于平面内任意一点M，用ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
极坐标为ρ,θ的点M，可表示为M (,)ρθ。
（二）圆锥曲线的统一极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点F)的距离和一条定直线(准线L)的距离的比等于常数e 的点的轨迹。
建立以焦点F 为极点，x 轴正方向为极轴的极坐标系，其统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（成为标准极坐标方程）。
（1）当0＜e＜1时，方程表示椭圆；定点F 是椭圆的左焦点，定直线L 是它的左准线。
（2）e=1时，方程表示开口向右的抛物线.（3）e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点F 是它的右焦点，定直线L 是它的右准线。
（若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线）其中：（i）ρ是动点到极点的距离（ρ＞0），θ表示极径与极轴正方向的夹角。
（ii）e 表示圆锥曲线的离心率，c e a=。
（iii）p 表示焦点到准线的距离。
由焦点与准线的不同位置关系，从而建立不同的极坐标，利用圆锥曲线定义可得其统一极坐标方程为：推广1：1+cos epe ρθ=（1）0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆（2）e=1时时，方程表示开口向左的抛物线（3）e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线推广2：1-sin ep e ρθ=（1）0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆（2）e=1时，方程表示开口向上的抛物线（3）e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线推广3：1+sin ep e ρθ=（1）0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆（2）e=1时，方程表示开口向下的抛物线（3）e＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线（三）常用性质（1）对于圆锥曲线的标准极坐标方程θρcos 1e ep-=，则与之对应的直角坐标方程为：()22221x c y a b++=，当（0<e<1时）；()22221x c y a b++=，当（e>1时,R ρ∈）；22()y p x c =+(当e=1时)（2）记圆锥曲线的统一方程1-sin epe ρθ=，有公式1：2(0)()a ρρπ=+公式2：2(0)()c ρρπ=-公式3：22(0)()b ρρπ= 其中2a 表示椭圆长轴与双曲线实轴长，2b 表示椭圆短轴与双曲线虚轴长，2c 表示焦距。
（3）由圆锥曲线的标准极坐标方程。
易求得过焦点且倾斜角为θ的弦AB 的长度为2221cos epAB e θ=-。
i）、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.ii)、双曲线中，若M、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=；若M、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ.iii)、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1pp p MN =--+-=附录直角坐标系中的焦半径公式设P（x,y）是圆锥曲线上的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2；当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2；3、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=.三、典型例题（1）二次曲线基本量之间的互求例1、椭圆的极坐标方程532cos ρθ=-，那么它的短轴长是_______答案：25解析：短轴长5522(0)()22532cos 032cos b ρρππ===-- .例2、椭圆的极坐标方程为532cos ρθ=-，则它的短轴的两个端点的极坐标为_______答案：5(2,),2,33M N ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：2(0)()4a ρρπ=+=，2(0)()2c ρρπ=-=，由图可知1cos 23c a πθθ==⇒=所以端点5(2,),2,33M N ππ⎛⎫⎪⎝⎭。
例3、求椭圆62cos ρθ=-的长轴与短轴之长。
答案：长轴长28a =，短轴长243b =解析：法一：166212cos 1cos 2ρθθ⨯==-- 166212cos 1cos 2ρθθ⨯==-- 162e ∴==，p 2221422326c a a b a c c a c c⎧=⎪=⎧⎪∴⇒⇒=-=⎨⎨=⎩⎪-=⎪⎩长轴长28a =，短轴长243b =法二：当0θ=时，ac ρ=+；当θπ=时，a cρ=-22642342a c ab ac a c c +==⎧⎧∴⇒⇒=-=⎨⎨-==⎩⎩长轴长28a =，短轴长243b =例4、确定方程1053cos ρθ=-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。
答案：31554e =离心率，焦距，2554长轴长，短轴长解析：法一：310253331cos 1cos 55ρθθ⨯==--31053e P ∴==，2332555851015103383c a c a a b a c c c ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩2225155()()882b ∴=-=31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，2554长轴长，短轴长法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。
根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。
点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。
下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。
（2）圆锥曲线弦长问题i）直接求弦长：例5、过双曲线22x y -145=的右焦点，引倾斜角为3π的直线，交双曲线与A、B 两点，求AB ｜｜答案：807解析：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系即得523cos ρθ=-所以12(,),(,)33A B ππρρπ+又由12||AB ρρ=+得5580||723cos23cos()33πππ=+=--+注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。
点拨：由于椭圆,抛物线的弦的两个端点极径均为正值,所以弦长都是12ρρ+;对于两个端点都在双曲线右支上的弦,其端点极径均为正值,所以弦长也是12ρρ+;对于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦,其端点极径一个为正值一个为负值,所以弦长是12ρρ+或12()ρρ-+，为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用12ρρ+例6、等轴双曲线长轴为2，过其右有焦点，引倾斜角为6π的直线，交双曲线于A,B 两点，求AB 答案：4解析：12(,),(,)66A B ππρπρ+-112cos ρθ=-12||AB ρρ=+11||12cos 12cos()66πππ=+-+--（）22||42626=+=+-ii）利用弦长求面积例7、（08年海南卷）过椭圆22154x y +=的焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B 两点，O 为坐标原点，求AOB ∆的面积．答案：259解析：法一：首先极坐标方程中的焦点弦长公式222||1cos epAB e θ=-求弦长，然后利用公式B 1|B |||sin 2AO S A OF AFO ∆=∠直接得出答案。
法二：用公式1||||sin 2AOF S AF OF AFO ∆=∠计算一个三角形面积，同理计算另一个三角形面积，然后求和．建立极坐标系，因为点A 对应极角θ，且1cos 5θ=，易求点A 对应的极径||AF ，||OF 即为半焦距，sin AFO ∠=25例8、(2005年全国高考理科)已知点F 为椭圆2212x y +=的左焦点.过点F 的直线1l 与椭圆交于P 、Q 两点，过F 且与1l 垂直的直线2l 交椭圆于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值和最大值.答案：面积取得最小值169；面积取得最大值2解析：以点F 为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：2221cos 2ρθ=-设直线1l 的倾斜角θ，则直线2l 的倾斜角为090θ+，由极坐标系中焦点弦长公式知：22||11cos 2PQ θ=-，20222||111cos (90)1sin 22MN θθ==-+-用他们来表示四边形的面积1||||2S PQ MN =22111sin cos 24θθ=+ 2111sin 2216θ=+即求2111sin 2216θ+的最大值与最小值由三角知识易知：当sin 21θ=±时，面积取得最小值169；当sin 20θ=时，面积取得最大值2iii)利用弦长公式解决常量问题例9、过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点F，作倾斜角为60的直线l 交椭圆于A、B两点，若FBF A 2=，求椭圆的离心率.答案：32=e 解析：建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。
设椭圆的极坐标方程为θρcos 1e p e -=则00240cos 1,60cos 1e pe FB e p e F A -=-=，∴21221e p e e p e +⋅=-，解得32=e ；例10、求过椭圆23cos ρθ=-的左焦点，且倾斜角为4π的弦长AB 和左焦点到左准线的距离。
答案：弦长AB 为2417，左焦点到左准线的距为2解：先将方程ρ=化为标准形式：2311cos 3ρθ=-则离心率13e =，23ep =，2p ∴=所以左焦点到左准线的距为2。
设125(,),(,)44A B ππρρ，代入极坐标方程，则弦长1222245173cos3cos44AB ρρππ=+=+=--（3）定值问题例11、抛物线22(0)y px p =>的一条焦点弦被焦点分为a,b 的两段，证明：11a b+定值。
证明：以焦点F 为极点，以FX 轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为1cos pρθ=-，设(,),(,)A aB b θθπ+将A,B 两点代入极坐标方程，得,1cos 1cos()p pa b θθπ==--+则11a b +=1cos 1cos()p p θθπ--++=2p（定值）点拨：引申到椭圆和双曲线也是成立的。