概率与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计概率论与数理统计是现代数学中非常重要的分支之一，它们在自然科学、社会科学，以及工程技术等领域都有广泛的应用。
在生物学，物理学，化学等领域，常常需要采用概率论和数理统计的方法，来研究和分析现象。
这篇文章将要探讨概率论和数理统计的一些基本概念和方法，并介绍它们在现实生活中的应用。
一、概率论概率论是一门研究随机现象及其规律的数学学科。
它的基本思想是通过建立数学模型，来描述随机事件的概率分布及其规律。
随机事件指某一次试验中可能发生或不发生的事情，例如掷骰子、抛硬币、抽扑克牌等，这些事件的结果是随机的，因此需要采用概率论的方法来研究。
1.概率和概率分布概率是指某一事件发生的可能性，用一个数值来表示。
在概率论中，对于某一特定随机事件，概率的大小常常用P(A)来表示，其中A是这个事件。
例如，抛一枚硬币，正面朝上的概率是0.5，用数学语言可以表示为P(正面)=0.5，反面朝上的概率也是0.5，即P(反面)=0.5。
概率分布是指某个随机事件的各种结果的概率分布情况。
在一次试验中，随机事件可能会有多个结果，即样本空间。
概率分布用来描述每个结果的概率大小。
例如，抛一枚硬币的样本空间是{正面，反面}，正面和反面各占1/2的概率。
2.条件概率和独立事件条件概率是指在已知某个事件发生的情况下，某个随机事件会发生的概率。
条件概率的计算方法一般采用贝叶斯公式，例如给定事件A，以及事件B，P(A|B)表示在B发生的情况下，A 发生的概率，则条件概率可以表示为：P(A|B) = P(AB)/P(B)其中AB表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
独立事件是指某个随机事件的发生不会对另一个随机事件的发生产生影响。
如果事件A、B是独立事件，则可以表示为P(A|B) = P(A)，P(B|A) = P(B)，即A和B的概率相互独立，并不受对方的影响。
3.期望值和方差期望值是统计学中一个非常重要的概念，用来描述一个随机变量的总体平均数。
概率论与数理统计(完整版)
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
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二、几何定义:
定义若对于一随机试验 ,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个 ,且具有非 零的 ,有限的几何度量 ,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
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(二) 随机事件
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
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§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率论与数理统计
第一章 概率论的基本概念 前言
1. 确定性现象和不确定性现象. 2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在 大量重复试验中其结果又具有统计规律性. 3. 概率与数理统计的广泛应用.
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§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况. E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
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「 ef(x) w0,其中 0，则称随机变量X 服从参数为X 的分布函数为1xe， xF(x)'0,x<0。
记住积分公式：x ne xdx n!指数分布的指数分布如果二维随机向量(X, Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称为离散型随机(1)联合分离散型布设=(X，Y)的所有可能取值为(X i,y j)(i,j 1,2,)，且事件{ =(X i,y j)}的概率为P ij,,称P{(X,Y) (X i,y j)} P j(i,j 1,2,)为=(X，Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。
联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：这里P ij具有下面两个性质(1)P ij>0 (i,j=1,2,…)；(2)P j 1.i j(1)大数定律X 切比雪夫大数定律设随机变量冶，X2,…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D (X i) <C(i=1,2,…),则对于任意的正数£，有limnPLx,丄n i 1 n° E(X i)i 11特殊情形: 若X1，X2，…具有相同的数学期望 E (X)=「则上式成为lim Pn1n X i大数定辛钦大数定律1.设卩是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数£，有limn伯努利大数定律说明，当试验次数小，即limn这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。
很大时，事件1.A发生的频率与概率有较大判别的可能性很0.设X1, X2,…，Xi，…是相互独立同分布的随机变量序列，且 E ( X n) =g，则对于任意的正数£有lim Pn1 nX in i 11.(2)中心极限定理2X N(,)n 格定理设随机变量X1，X2，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：E(X k) ,D(X k) 0(k 1,2, )，则随机变量的分布函数F n(x)对任意的实数X，Y nnX k nk 1X k nlim F n(x) limn n此定理也称为独立同分布的中心极限定理。
概率论与数理统计教程
1.1 随机事件和样本空间
一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系
一、随机试验
1.必然现象（确定） 2.偶然现象（不确定）随机
说明： 1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 ,
其数量关系无法用函数加以描述. 2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,
1、包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 则称事件 B 包含事件 A,记作B A 或 A B.
特别地 若事件A包含事件B,而且事件B包含 事件A, 则称事件A与事件B相等,记作 A=B.
2.两事件的和与并
“二事件 A, B至少发生一个”也是一个事件, 称为事件 A 与事件B的和事件.记作A B，显然 A B {e | e A或e B}.
若事件 A 、B 满足 A B 且 AB .
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记
作 A.
事件间的运算规律
设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律 A B B A, AB BA. ( AB)C A(BC).
(2) 结合律 ( A B) C A (B C),
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数。 试验中,骰子“出现1点”, “出现2 点”, … ,“出现6点”, “点数不大于4”, “点 数为偶数” 等都为随机事件.
五、随机事件的关系及运算
（1）、随机事件间的关系
设试验 E 的样本空间为 , 而 A, B, Ak (k 1,2,)是 的子集.
推广：
N元情形
n
推广 称 Ak 为n个事件 A1, A2 ,, An 的积事件,
k 1
即A1, A2 ,, An同时发生;
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（1）排列组合公式
Pmn
m!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
(m n)!
C
n m
m!
从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
n!(m n)!
（2）加法和乘法原理
（3）一些常见排列 （4）随机试验和随机事
件
（5）基本事件、样本空 间和事件
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事
A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。
（6）事件的关系与运算
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB 或者 AB ，
它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=?，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不
它们是 的子集。 为必然事件，?为不可能事件。
不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率 为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系：
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）： A B 如果同时有 A B ， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。
P(X=xk)=pk，k=1,2,…，
则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
X
| x1, x2,, xk,
概率论与数理统计完整ppt课件
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
概率论与数理统计
概率论与数理统计本篇笔记内容主要整理自笔者的教材——《概率论与数理统计》（第四版），作者为盛骤、试式千、潘承毅等人 ，高等教育出版社出版。
一、概率论的基本概念1. 什么是概率？描述性定义：随机事件A发生的可能性的大小的度量（非负值），称为事件A发生的概率。
公理化定义：在随机试验的样本空间的每一个事件A，都对应一个实数值P(A)，如果函数P( · )满足下列条件：非负性：规范性：S是必然事件，有P(S) = 1;可列可加性：设A1,A2,...,是两两不相容的事件（即i≠j时，AiAj = ∅），有P(A1∪A2∪...∪An） = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)不相容事件的并的概率 等于 这些事件的概率的和。
2. 古典概型有什么特点？随机试验的样本空间只包含有限个元素；随机试验中的每个基本事件发生的可能性都相同。
3. 几何概型有什么特点？样本空间 是一个可度量的有界区域；有无限个基本事件，每个基本事件发生的可能性都一样，即样本点落入 的某一个可度量子区域S可能性与S的几何度量成正比，而与S的位置及形状无关。
4. 什么是条件概率？在已知事件A发生的情况下事件B发生的概率为条件概率P（A|B）,公式有5. 什么是全概率公式？有一些时候事件B的概率不容易直接求，可以通过计算给B在各个条件下Ai发生的概率P(B| · )，来研究B发生的概率。
6. 什么是贝叶斯公式？解释一下“先验”和“后验”的概念（按照课本的思路）通过已知信息B来修正A发生的概率（即后验概率），可以通过先验概率P(A)以及AB之间的关系来研究。
举个例子：假设由多年的统计数据可以知道某种疾病的发病率，有一种检测试剂的准确率为99%，即=99%，同时有=5%会误报（检测没有病的病人为阳性），可以通过全概率公式计算试剂表现为阳性的概率。
根据这些信息，就可以计算一个病人在这种试剂检测为阳性的情况下患病的概率7. 什么叫做事件相互独立？P(AB) = P(A)P(B)即一个事件的发生，不会影响另一个事件的发生。
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)eik则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。
在概率论中，样本空间和随机事件是基本概念。
如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作A⊂B。
当A和B中至少有一个发生时，称A∪B为事件A和事件B的和事件。
当A和B同时发生时，称A∩B为事件A和事件B的积事件。
当A发生、B不发生时，称A-B为事件A和事件B的差事件。
如果A和B互不相容，即A∩B=∅，则称A和B是互不相容的，或互斥的，基本事件是两两互不相容的。
如果A∪B=S且A∩B=∅，则称事件A和事件B互为逆事件，又称事件A和事件B互为对立事件。
在概率论中，还有一些运算规则。
交换律指A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律指(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；分配律指A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；德摩根律指A∪B=A∩B，A∩B=A∪B。
频率与概率是概率论的重要概念。
在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值nAn称为事件A发生的频率。
概率指对于随机试验E的每一事件A赋予一个实数P(A)，称为事件的概率。
概率P(A)满足非负性，即对于每一个事件A，0≤P(A)≤1；规范性，即对于必然事件S，P(S)=1；可列可加性，即设A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则有P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞）。
概率还有一些重要性质，包括P(∅)=0，P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞），如果A⊂B，则P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤1，P(A)=1-P(A')，以及P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
等可能概型又称为古典概型，是指试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同。
如果事件A 包含k个基本事件，即A={e1}∪{e2}∪…∪{ek}，则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。
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概率，亦称“或然率”，它是反映随机事件出现的可能性（likelihood)大小。
随机事件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，从一批有正品和次品的商品中，随意抽取一件，“抽得的是正品”就是一个随机事件。
设对某一随机现象进行了n次试验与观察，其中A事件出现了m次，即其出现的频率为m/n。
经过大量反复试验，常有m/n越来越接近于某个确定的常数（此论断证明详见伯努利大数定律）。
该常数即为事件A出现的概率，常用P (A) 表示。
数理统计是数学的一个分支，分为描述统计和推断统计。
它以概率论为基础，研究大量随机现象的统计规律性。
描述统计的任务是搜集资料，进行整理、分组，编制次数分配表，绘制次数分配曲线，计算各种特征指标，以描述资料分布的集中趋势、离中趋势和次数分布的偏斜度等。
推断统计是在描述统计的基础上，根据样本资料归纳出的规律性，对总体进行推断和预测。
需要熟练的运用重积分才能学概率论，而重积分又是高等数学中比较高级的东西，也就是说要把《高等数学》基本上完全掌握才行。
高中知识加高等数学中的微积分就可以解决。
还涉及一些和函数有关基本概念，连续，单调性，之后看教材就可以自学了，主要是抓住模型，和常用分布等。
概率与统计的一些概念和简单的方法，早期主要用于赌博和人口统计模型。
随着人类的社会实践，人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性。