概率论与数理统计基础知识
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
数学概率论与数理统计的基础知识
数学概率论与数理统计的基础知识概率论和数理统计是数学中的重要分支，它们研究了随机事件的发生规律以及通过对数据进行统计分析来了解事物的规律性。
本文将介绍数学概率论与数理统计的基础知识，帮助读者了解这两个领域的重要概念和方法。
一、概率论的基础知识1. 随机试验和样本空间随机试验是在相同条件下具有不确定性的实验，其结果不能事先预知。
样本空间是随机试验所有可能结果的集合。
2. 事件和概率事件是样本空间的子集，表示一些感兴趣的结果。
概率是事件发生的可能性大小的度量，介于0和1之间。
3. 古典概型古典概型是指具有有限样本空间且样本点等可能出现的随机试验。
在古典概型中，事件的概率可以通过样本点的数目来计算。
4. 条件概率条件概率是指事件B在另一个事件A已经发生的条件下发生的概率，表示为P(B|A)。
条件概率的计算可以使用“乘法规则”。
5. 独立事件事件A和B称为独立事件，如果事件A的发生不会对事件B的发生产生影响。
独立事件的概率计算可以使用“乘法规则”。
二、数理统计的基础知识1. 总体和样本总体是指研究对象的全体，而样本是从总体中选取的一部分个体。
统计学中，我们通常通过对样本的统计分析来推断总体的特征。
2. 随机变量和概率分布随机变量是取值具有随机性的变量，可以是离散的或连续的。
概率分布描述了随机变量各个取值的概率。
3. 参数和统计量参数是总体的特征指标，统计量是样本的特征指标。
通过样本统计量的计算，我们可以对总体参数进行估计。
4. 抽样分布和中心极限定理抽样分布是指统计量的分布，它反映了统计量的随机性。
中心极限定理表明，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
5. 置信区间和假设检验置信区间用于对总体参数进行估计，假设检验用于对总体参数的假设进行推断。
通过置信区间和假设检验，我们可以对统计结论进行推断和验证。
三、应用案例概率论和数理统计在各个领域都有广泛的应用。
例如，金融领域中的风险评估和投资决策，医学领域中的临床试验和流行病学研究，工程领域中的质量控制和可靠性分析等等。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结一、概率论知识点总结：1.随机事件：随机事件是指在一次试验中，可能发生也可能不发生的事件。
例如：掷硬币的结果、抽取扑克牌的花色等。
2.概率：概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。
概率的取值范围是[0,1]，表示事件发生的可能性大小，0表示不可能发生，1表示一定会发生。
3.古典概型：古典概型是指每种可能的结果发生的概率相等的情形。
例如：掷骰子的结果、抽取彩色球的颜色等。
4.随机变量：随机变量是用来描述试验结果的数值，它的取值是根据随机事件的结果确定的。
例如：掷骰子的点数、抽取扑克牌的点数等。
5.概率分布：随机变量的概率分布描述了每个取值发生的概率。
常见的概率分布有离散概率分布和连续概率分布，如二项分布、正态分布等。
6. 期望值：期望值是衡量随机变量取值的平均值。
对于离散型随机变量，期望值=E[X]=∑[xP(X=x)]；对于连续型随机变量，期望值=E[X]=∫[x f(x)dx]，其中f(x)为概率密度函数。
7. 方差：方差是衡量随机变量取值与期望值之间的偏离程度。
方差=Var(X)=E[(X-E[X])^2]。
8.独立性：两个随机事件或随机变量之间的独立性表示它们的发生与否或取值无关联。
独立性的判定通常通过联合概率、条件概率等来进行推导。
二、数理统计知识点总结：1.样本与总体：在统计学中，样本是指从总体中选取的具体观测数据。
总体是指要研究的对象的全部个体或事物的集合。
2.参数与统计量：参数是描述总体特征的数值，如总体均值、总体方差等。
统计量是根据样本计算得到的参数估计值，用来估计总体参数。
3.抽样方法：抽样方法是从总体中选取样本的方法，常见的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、整群抽样等。
4.统计分布：统计分布是指样本统计量的分布。
常见的统计分布有t分布、F分布、x^2分布等，其中t分布适用于小样本、F分布适用于方差比较、x^2分布适用于拟合优度检验等。
5.点估计与区间估计：点估计是以样本统计量为基础，估计总体参数的数值。
概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 A B 则称事件 B 包含事件 A ，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生A B {x x A或x B} 称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅当 A ，B 中至少有一个发生时，事件 A B 发生A B {x x A且x B} 称为事件 A 与事件 B 的积事件，指当A，B 同时发生时，事件A B 发生A—B {x x A且x B} 称为事件A 与事件 B 的差事件，指当且仅当 A 发生、B 不发生时，事件 A — B 发生A B ，则称事件 A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件 A 与事件 B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的A B S A B ，则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为且对立事件2．运算规则交换律 A B B A A B B A结合律(A B) C A (B C) ( A B)C A(B C)分配律 A （B C）(A B) ( A C)A (B C)(A B)( A C)—徳摩根律 A B A B A B A B§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件 A 发生的次数n称为事件AA 发生的频数，比值n nA 称为事件 A 发生的频率概率：设E是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率1．概率P( A)满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件 A 0 P( A) 1（2）规范性：对于必然事件S P (S) 11（3）可列可加性：设A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，有nn nP A k ) P( A) ( （n可kk 1 k 1以取）2．概率的一些重要性质：（i ）P( ) 0（ii ）若A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，则有n Pn n( （n可以取）A k ) P( A )kk 1 k 1（iii ）设A，B 是两个事件若 A B ，则P(B A) P( B) P( A) ，P( B) P(A) （iv）对于任意事件A，P(A) 1（v）P( A) 1 P(A) （逆事件的概率）（vi）对于任意事件A，B 有P(A B) P( A) P( B) P( A B)§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含k 个基本事件，即{e i } {e } {e }A ，里1 i i k] 2，k是，中某个不同的数，则有i1 i 2, ，i k 1,2 nP( A)j k1P { eij}knA包含的基本事件数S中基本事件的总数§5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且P( A) 0 ，称P( A B)P(B | A) 为事件 A 发生的条P(A)件下事件 B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点一、概率论知识点1.1 概率基本概念概率是研究事物变化规律的一门学科。
在概率学中，我们需要掌握一些基本概念：•随机试验：一种在相同条件下重复的可以观察到不同结果的试验。
•样本空间：随机试验所有可能结果的集合。
•事件：样本空间的子集。
•频率和概率：在大量重复实验中，某个事件出现的频率称为频率，其极限称为概率。
1.2 概率计算公式•加法公式：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)•乘法公式：P(A∩B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)•条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)•全概率公式：P(B) = Σi=1nP(Ai)P(B|Ai)•贝叶斯公式：P(Ai|B) = P(Ai)P(B|Ai)/Σj=1nP(Aj)P(B|Aj)1.3 随机变量和分布随机变量是用来描述随机试验结果的数学量。
离散型随机变量和连续型随机变量是概率论中两个重要的概念。
•离散型随机变量：在一个范围内，只有有限个或无限个可能值的随机变量。
•连续型随机变量：在一个范围内，有无限个可能值的随机变量。
概率分布是反映随机变量取值情况的概率规律，可分为离散型概率分布和连续型概率分布。
•离散型概率分布：包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
•连续型概率分布：包括正态分布、指数分布、卡方分布等。
1.4 常用概率分布概率论涉及到很多的分布，其中一些常用的分布如下：•二项分布•泊松分布•正态分布•均匀分布•指数分布1.5 统计推断在概率论中，统计推断是指根据样本数据来对总体进行参数估计和假设检验的方法。
统计推断主要涉及以下两个方面：•点估计：使用样本数据来推断总体参数的值。
•区间估计：使用样本数据来推断总体参数的一个区间。
二、数理统计知识点2.1 统计数据的描述为了更准确地描述数据，我们需要使用以下几个参数：•平均数：所有数据的和除以数据个数。
•中位数：将数据按大小排序，位于中间位置的数。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结概率论与数理统计是数学的一个重要分支，主要研究各种随机现象的规律性及其数值描述。
下面将对概率论与数理统计的一些重要知识点进行总结。
一、概率论知识点总结1. 随机事件与概率- 随机事件：指在一定条件下具有不确定性的事件。
- 概率：用来描述随机事件发生的可能性大小的数值。
2. 古典概型与几何概型- 古典概型：指随机试验中，所有基本事件的可能性相等的情况。
- 几何概型：指随机试验中，基本事件的可能性不完全相等，与图形的属性有关的情况。
3. 随机变量与概率分布- 随机变量：定义在样本空间上的函数，用来描述试验结果与数值之间的对应关系。
- 离散随机变量：取有限个或可列个数值的随机变量。
- 连续随机变量：取无限个数值的随机变量。
4. 期望与方差- 期望：反映随机变量平均取值的数值。
- 方差：反映随机变量取值偏离期望值的程度。
5. 大数定律与中心极限定理- 大数定律：指在独立重复试验中，随着试验次数增加，事件发生的频率趋近于其概率。
- 中心极限定理：指在独立随机变量之和的情况下，当随机变量数目趋于无穷时，这些随机变量之和的分布趋近于正态分布。
二、数理统计知识点总结1. 抽样与抽样分布- 抽样：指对总体进行有规则地选择一部分样本进行观察和研究的过程。
- 抽样分布：指用统计量对不同样本进行计算所得到的分布。
2. 参数估计与置信区间- 参数估计：根据样本推断总体的未知参数。
- 置信区间：对于总体参数估计的一个区间估计，用来表示这个参数的可能取值范围。
3. 假设检验与统计显著性- 假设检验：用来判断统计推断是否与已知事实相符。
- 统计显著性：基于样本数据，对总体或总体参数进行判断的一种方法。
4. 方差分析与回归分析- 方差分析：用来研究因素对于某一变量均值的影响程度。
- 回归分析：通过观察变量之间的关系，建立数学模型来描述两个或多个变量间的依赖关系。
5. 交叉表与卡方检验- 交叉表：将两个或多个变量的数据按照某种方式交叉排列而形成的表格。
概率论与数理统计基础知识
从集合的角度看
B
A
事件是由某些样本点所构成的一个集合．一个事件发 生，当且仅当属于该事件的样本点之一出现．由此可 见，样本空间Ω作为一个事件是必然事件，空集Ø作 为一个事件是不可能事件，仅含一个样本点的事件称 为基本事件．
2. 几点说明
⑴ 随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母
A, B, C,
基本事件 实例
由一个样本点组成的单点集.
“出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”.
必然事件 随机试验中必然会出现的结果. 实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 不可能事件 随机试验中不可能出现的结果. 实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件. 必然事件的对立面是不可能事件,不可能事 件的对立面是必然事件,它们互称为对立事件.
说明 1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查”、“观察”或 “测量” 等. 2. 随机试验通常用 E 来表示. 实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”.
分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行; (2) 试验的所有可能结果: 字面、花面; (3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现. 故为随机试验.
将下列事件均表示为样本空间的子集. (1) 试验 E2 中(将一枚硬币连抛三次，考虑正反 面出现的情况),随机事件: A＝“至少出现一个正面” B=“三 次出现同一面” C=“恰好出现一次正面” (2) 试验 E6 中(在一批灯泡中任取一只，测试其 寿命),D＝“灯泡寿命不超过1000小时”
(1)由S2= {HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT， TTH,TTT}； 故: A＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT， TTH}； B={HHH,TTT} C={HTT，THT，TTH} (2) D＝{x: x<1000(小时）}。
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概率论与数理统计知识点总结免费超详细版概率论与数理统计是一门研究随机现象数量规律的学科，它在众多领域都有着广泛的应用，如统计学、物理学、工程学、经济学等。
以下是对概率论与数理统计知识点的超详细总结。
一、随机事件与概率（一）随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
随机事件通常用大写字母 A、B、C 等来表示。
（二）样本空间样本空间是指随机试验的所有可能结果组成的集合，通常用Ω表示。
（三）事件的关系与运算1、包含关系：若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A，记作 A⊂B。
2、相等关系：若 A⊂B 且 B⊂A，则称事件 A 与事件 B 相等，记作A ＝ B。
3、并事件：事件 A 与事件 B 至少有一个发生的事件称为 A 与 B的并事件，记作 A∪B。
4、交事件：事件 A 与事件 B 同时发生的事件称为 A 与 B 的交事件，记作A∩B 或 AB。
5、互斥事件：若事件 A 与事件 B 不能同时发生，则称 A 与 B 为互斥事件，即 AB ＝∅。
6、对立事件：若事件 A 与事件 B 满足 A∪B ＝Ω 且 AB ＝∅，则称 A 与 B 为对立事件，记作 B ＝A。
（四）概率的定义与性质1、概率的古典定义：若随机试验的样本空间Ω只包含有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性相等，则事件 A 的概率为 P(A) ＝n(A) ／n(Ω) ，其中 n(A) 为事件 A 包含的基本事件个数，n(Ω) 为样本空间Ω包含的基本事件个数。
2、概率的统计定义：在大量重复试验中，事件 A 发生的频率稳定在某个常数 p 附近，则称 p 为事件 A 的概率，即 P(A) ＝ p 。
3、概率的公理化定义：设随机试验的样本空间为Ω，对于Ω中的每一个事件 A，都赋予一个实数 P(A)，如果满足以下三个条件：（1）非负性：0 ≤ P(A) ≤ 1 ；（2）规范性：P(Ω) ＝ 1 ；（3）可列可加性：对于两两互斥的事件 A1，A2，，有P(A1∪A2∪）＝ P(A1) ＋ P(A2) ＋，则称 P(A) 为事件 A 的概率。
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进行统计分析，通常是从母体中随机地选择一部分样品，称为子样（又称样本）。用它来代 表母体进行观察、研究、检验、分析，取得数据后加以整理，得出结论
例如，我们可将一个编号水泥看成是母体，每一包水泥看成是个体，通过随机取样（连续取 样或从20个以上不同部位取样），所取出的12kg检验样品可称为子样，通过检验分析，即可 判断该编号水泥（母体）的质量状况。
实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测量 误差”.
则 X 的取值范围为 (a, b) .
定义
设 E 是随机试验, 它的样本空间是 S {e}. 如 果对于每一个 e S , 有一个实数 X (e) 与之对应, 这样就得到一个定义在 S 上的单值实值函数 X (e), 称 X (e) 为随机变量.
如果事件A发生必然导致事件B发生，即A的每个样本点都是B的样本点，则称 B包含A，记作 A B ．从事件的集合表示看，事件B包含事件A就是样本空间的 子集B包含子集A 等对，任记何为事A件=AB，，总即有，AA与 B含有如相果同A 的 B样本，点同时B A ，则称事件A和事件B相
事件的互斥
如果事件A和B不可能同时发生，即A与B没有公共样本点，则称A与B是互斥 的（Mutually Exclusive）或互不相容的，换句话说，两个事件A与B互斥就是 样本空间两个子集A与B不相交
四、数据统计特征数
算术平均值 我们从总体抽了一个样本（子样），得到一批数据X1、X2、X3……Xn在处理这批数据时，经常
用算术平均值X来代表这个总体的平均水平。统计中称这个算术平均值为“样平均值”。 中位数 把数据按大小顺序排列，排在正中间的一个数即为中位数。当数据的个数n为奇数时，中位数就
是正中间的数值，当n为偶数时，则中位数为中间两个数的算术平均值。 极差R 极差就是数据中最大值和最小值的差，又称全距，用符号R表示。 R=Xmax-Xmin 式中 Xmax—数据中的最大值
随机变量的定义
实例1 抛掷骰子,观察出现的点数. 则有
S={1，2，3，4，5，6} 样本点本身就是数量（不需要数量转化） X (e) e 恒等变换
X (1) 1, X (2) 2, X (3) 3, X (4) 4, X (5) 5, X (6) 6,
且有
P{ X i} 1 , (i 1,2,3,4,5,6). 6
准确度与误差
准确度是分析结果与真实值相符合的程度，通过用误差的大小来表示。误差越小。分析结果的准 确度越高。
误差有两种表示方法：绝对误差和相对误差。绝对误差是测定值与真实值之差，相对误差是绝对 误差在真实值中所占的百分率，即
绝对值=测定值—真实值
绝对误差
相对误差= —————— X 100％
真实值
由于一般分析测定中误差的数值是相当小的，因此有时也用测定结果代替真实值，即相对误差 近视地等于绝对误差与测定结果之比，再乘以100％
绝对偏差 相对偏差=——————— X100％
算术平均值
误差的来源
根据误差的性质，可将误差分为两类。即系统误差和偶然误差。
系统误差
系统误差又称可定误差或可测误差。这是由于测定过程中某些经常性的原因所造成的误差， 它影响分析结果的准确度。
偶然误差
偶然误差又称非确定误差或随机误差。这是由一些难以控制的偶然因素所造成的误差，没有 一定的规律性。虽然操作者仔细操作，外界条件也尽量保持一直，但测得的一系列数据仍有差 别，并且所得数据误差的正负不定、大小不定。产生这类误差的原因常常难于觉察，可能是由 于室温、气压、温度等检验条件的偶然波动所引起；或是因使用的砝码偶然缺损，试剂质量或 浓度改变所造成；也可能由于个人一时辨别的差异使读书不一致。
有客观依据的估计，这个依据就是所谓的频率稳定性：当试验或观 察次数n较大时，事件A发生的频率Fn (A)会在某个确定的常数p附近摆 动，并渐趋稳定.
根据频率稳定性，我们可以对概率给出一个客观描述，这就是概
率的统计定义：一个事件A的概率 P(A) 就是该事件的频率稳定值p，
即 P(A) p
常见的数理统计方式
变异系数CV 用极差和标准偏差都只反映数据波动的绝对大小。
当测量单位不同或测量单位相同，但不同组的平均数相差很大时，用标准偏差来衡量离散程度 的大小是不合理的，必须用相对标准偏差（即变异系数）来表示离散程度。如在做水泥均匀性 试验时，就要求计算变异系数，通过变异系数就可以比较不同企业的水泥质量波动情况。
二、数据、计量值与计数值 数据
通过测试或调查母体所得的数字或符号记录，称为数据。 计量值
凡具有连续性或可以利用各种计量分析一起、量具测出的数据。如长度、质量、温度、化学 成分、强度等，多属于计量值数据。计量值也可以是整数，也可以是小数，具有连续性。 计数值 凡不能用测量工具和一起进行测量，而是用计数的方法得到的非连续性数据。如合格率，废品 个数等，数据计数值数据。计数值是不连续的、间断的，以离散状态出现。
或者 X(t, )是一个二元函数： 固定t，X(t, )是一个随机变量； (随机过程在t时刻的状态) 固定，X(t, )是一个实值函数； (随机过程的样本函数或 样本曲线、现实或轨道)
随机变量（random variable）：简单的随机现象，如某班一天 学生出勤人数，是静态的。
随机过程（stochastic process）：随机现象的动态变化过程。 动态的。如某一时期各个时刻的状态
随机变量的分类
(1)离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或 无限可列个, 叫做离散型随机变量. (2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充 满某个区间,叫做连续型随机变量.
随机过程的基本概念及分类
例1 用X(t)表示某手机在大年初一早上从8:00开始经过 t 时刻收 到的短信数。
例2 设质点Q在一直线上移动，每单位时间移动一次，且只能在整数 点上移动。用X(t)表示 t 时刻该质点所处的位置。
Xmin—数据中的最小值
标准偏差（子样S，母体O）
标准偏差是人们总结和推导出来的一个衡量总体分散程度的度量值，又称为均方根差。
其推导过程是：设有n个数据，先技术出算术平均值X，将总体中各个数据减去平均值，即得 离差。离差可能是正数，也可能是负数或零。如果将全部离差相加，其代数和将会为零。为此 先将各离差平方，计算出离差的平方和。并除以数据的个数n，则求得各离差平方的算是平均 值（即方差）。子样的标准偏差用S表示，母样的标准偏差用O表示。
减少系统误差的方法 选择合适的分析方法。这是减少系统误差的根本途径。对不同种类的试样应采取不同的分析 步骤， 防止不明成分的干扰。 采用对比检验方法。即用标样进行对比分析或用标准方法进行对比分析。
利用标准样来检查和校正分析结果消除系统误差的方法，在实际工作中应用得较为普遍。通 常应取用与分析样品的组成比较接近的标准样进行对比分析。 记录及计算上的错误等等。都会对检验结果带来严重影响，必须避免。但操作错误不是误差， 如果已发现错误的测定结果，应予剔除，不得报出或参加平均值的计算.
随机过程的定义
(, F, P)为一概率空间，T(, +)为参数集。若对任一tT，有一个定义在 (, F, P)随机变量X(t, )(或Xt ()), , 与之对应, 则称{X(t, ), tT}为随机过程 (Stochastic Processes)。简记{X(t), tT}(或{Xt , tT})(s.p.)。
事件的互逆
如果事件A和B中必有一个发生但又不可能同时发生，则称A与B是 互逆（Mutually Inverse）或对立的，称B为A的逆事件（或对立事
件），
事件间的运算
和事件
对事件A和B，定义它们的和事件为A B 和B中至少有一个发生”
=“A发生或B发生”=“A
积事件
定义事件与的积事件为 AB =“A和B同时发生”
五、定量分析中的误差
定量分析中，反省结果应具有一定的准确度，因为不准确的分析结果会导致产品报废，资源 浪费，甚至得出错误的结论。但是在分析过程中，即使是技术很熟练的人，用同一方法对同一 试样仔细地进行多次分析，也不能得到完全一致的分析结果，而是分析结果在一定的范围内波 动。这就是说，分析过程中误差是客观存在的。因此要善于判断分析结果的准确性，查出产生 误差的原因，进一步研究减小误差的方法，以不断提高分析结果的准确程度。
差事件
定义事件A与B的差事件为“A-B=A发生且B不发生”=“A与B 同 时发生”
随机事件的概率
一个事件的概率（记为）就是能刻画该事件发生的可能性大小的一
个数值.
在大量的重复试验或观察中，事件发生的可能性却可呈现出一定的统
计规律，并且随着试验或观察次数的增加，这种规律会表现得愈加 明显.
显然，在重复试验或观察中，要反映一个事件发生的可能性大
三、频数、频率与概率
随机变量是一种随着机会而改变其数值并且具有一定规律性的变量。
如测定水泥的强度，每一袋水泥的试验结果不可能完全相同，即使一袋水泥，抽取几组试样， 其试验结果也不可能完全一致，但是在一定的范围内波动，这是由于水泥的均匀性及试验误差 等因素的影响，使得每次试验结果都是一个随机变量。
频数、频率
随机试验：
每次试验究竟出现哪个结果不能事先肯定，则称其为一个随机试验，简称试 验，常用字母E表示. 样本点：.在概率论中，把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点(Sample Point)， 样本空间：把样本点的全体称为该试验的样本空间(Sample Space)，
事件间的关系
事件的包含与相等
测定的一组数据中某一数值重复出现的次数或在某一范围内数值重复出现的次数为频数。
频率为频数占数据总数的百分比。
概率
概率的统计定义，就是把概率理解为频率的稳定值；在条件基本相同的大量重复试验中，随 着试验总次数不断增加，频率总是在某一常数附近波动，相对地稳定下来，这就是频率的相对 稳定性。这个常数表现为该频率的相对稳定值，称为概率。