力学.第6章.振动_918208274(1)

第六章 振动
1
受迫振动（有阻尼） 受迫振动（有阻尼）— 共振 振动 自由振动 阻尼自由振动 无阻尼自由振动 无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由谐振动 简谐振动） （简谐振动） 本章重点： 本章重点：简谐振动
2
第六章 振动
§6.1 简谐振动 §6.2 简谐振动的合成 §6.3 谐振分析 §6.4 阻尼振动 §6.5 受迫振动
合成仍是同频率简谐振动 合成仍是同频率简谐振动
1
2
0
x = x1 + x 2 = A cos(ωt + )
振幅矢量
x2
A = A1 + A2
A cos = A1 cos 1 + A2 cos 2 满足： 满足： A sin = A1 sin 1 + A2 sin 2
19
ω
A2
A
A = A + A + 2 A1 A2 cos( )
k = 2 ρ gS
EP = 0
ρ
无损耗 E = const . ∴ 是简谐振动 角频率 ω =
k = m 2 gρ S m
14
【例】证明稳定平衡位置附近 的微振动是简谐振动。 的微振动是简谐振动。 证明： 证明：在 x = 0 附近将势能展开： 附近将势能展开：
m
0
x
d2 E p 2 dE p 1 1 x + ... x+ E p ( x ) = E p ( 0) + dx dx 2 1! 2! 0 0
2. 同方向不同频率，两振动合成 同方向不同频率， 为分析简单， 为分析简单，考虑振 x1 = A cos(ω1 t + ) 幅相同情况： 幅相同情况： x 2 = A cos(ω 2 t + )
对不同频两振动不重要， 对不同频两振动不重要， 不重要 通过选t零点可使 零点可使 通过选 零点可使=0 合成结果为非简谐振动： 合成结果为非简谐振动：
2π 3
2π 3
x
【例】x(t), v(t), a(t) 位相关系
解: x(t ) = A cos(ωt + )
a(t ) = (t ) = ω 2 A cos(ωt + + π ) x
A2
ω
v(t ) = x(t ) = ωA sin (ωt + ) = ωA cos(ωt + + π 2 )
x
t
ω2 ω1 x = x1 + x 2 = 2 A cos 2
ω2 + ω1 t cos t + 2
变化慢 变化快 重要特例： 而差值小， 重要特例：若 ω1、ω2 大，而差值小， 则合振动振幅时大时小，称为“拍”。 则合振动振幅时大时小，称为“
22
“拍”现象 拍
ω2
A2
20
【推论】n 个振幅相等、初相位依次相差常 推论】 个振幅相等、 量 δ 的简谐振动的合成。 的简谐振动的合成。 ω x1 = a cos(ωt ) A x 2 = a cos(ωt + δ ) δ ... δ x n = a cos[ωt + ( n 1)δ ] 0 a 同频率简谐振动： 合成仍是同频率简谐振动 合成仍是同频率简谐振动： x = Acos(ωt +) nδ sin 2 , = n 1δ A= a δ 2 sin 2 21
d2 E p >0 k = dx 2 0
fx
m EpBiblioteka fx0xdE p ( x ) d2 E p f x = dx = dx 2 x = kx 0
稳定平衡位置附近的微振动是简谐振动。 ∴ 稳定平衡位置附近的微振动是简谐振动。 例子：原子和分子的振动、固体晶格振动等。 例子：原子和分子的振动、固体晶格振动等。
合振动为线振动。 ▲ y x = 0, π ，合振动为线振动。 π 合振动为正椭圆 正椭圆。 ▲ y x = ± , 合振动为正椭圆。 2 且当 Ax = Ay 时, 为圆。 一般情况下，合振动为斜椭圆 斜椭圆。 ▲ 一般情况下，合振动为斜椭圆。
25
令 = y x
φ = 0, π
同频时, 两个谐振动的位相存在超前和落后关系。 同频时 两个谐振动的位相存在超前和落后关系。 为讨论超前问题规定： 为讨论超前问题规定： = 2 1 ∈ ( π , π )
> 0, 则振动x2 超前x1，相位差
< 0, 则振动x2落后x1，相位差
17
讨论两振动 两振动x 如图)的 【例】讨论两振动 1与x2(如图 的相位 如图 计算： 计算： = 2π 3 2π 3 + 2π = 2π 3 A1 ∴ x 2 超前 由图： 由图：直接得 = 2π 3 , x2 超前
3
§6.1 简谐振动
一. 简谐振动定义 物理量随时间按正弦或余弦变化的过程： 物理量随时间按正弦或余弦变化的过程：
x = A cos(ω t + )
— 简谐振动
x 可以是位移、电流、场强、温度 可以是位移、电流、场强、温度…
简谐振动是最简单、最基本的振动， ▲ 简谐振动是最简单、最基本的振动，可用 来研究复杂振动。 来研究复杂振动。 简谐振动是理想化模型， ▲ 简谐振动是理想化模型，许多实际的小幅 振动都可以看成简谐振动。 振动都可以看成简谐振动。
4
简谐振动的判据（针对机械振动） 二. 简谐振动的判据（针对机械振动） 1. 受力特征
F = kx
O
F
x
m
弹簧振子模型
x
F — 恢复力（弹性力或准弹性力） 恢复力（弹性力或准弹性力） k — 劲度系数或刚度系数 劲度系数或 2. 微分方程
2
m = Kx x
or + ω 2 x = 0 x
16
两个振动的相位差 两个振动的相位差
振动的相位 ψ (t ) ≡ ωt + , 初位相ψ (0 ) = φ
∈ ( π , π )
改变t的原点 改变初位相φ 改变 的原点 改变初位相
ψ = ψ 2 ψ 1
两个谐振动的位相差: 两个谐振动的位相差 同频率时简化为: 同频率时简化为
ψ = 2 1
27
y 6
7 0 (8) 1 x
y 相位领先，为右旋； 4 相位领先，为右旋； x 相位领先，为左旋。 相位领先，为左旋。
y y 0 -y
S
解： 方法一 ，分析受力（压强差） 分析受力（压强差） 恢复力 F = 2 ρgSy = ky
ρ
令
k = 2 ρgS = const .
∴ 是简谐振动 角频率 ω = k m = 2 gρS m
13
方法二， 方法二，分析能量
y y 0 -y
S
1 2 Ep = ( ρgSy ) y = ky 2
ω = (k m )1 2 = 4π
振动频率ν = ω (2π ) = 2 Hz
(1) x0 = 0 = A cos φ ∴φ = ± π 2 v0 = 0.628 = ωA sin φ 得φ = π 2 , A = 0.05m
∴ x (t ) = 0.05 cos(4πt + π 2 )
(2) x0 = 0.08 = A cos φ v0 = 0 = ωA sin φ得：
x0 = A 2
A t A t=0 x 参考圆
v0 > 0
ωt+
0
π
3
v0< 0
0 x0 A/2 x
x = A cos(ω t + )
π 答： = 3
x
v0> 0
用旋转矢量法研究振动的合成也很方便。 用旋转矢量法研究振动的合成也很方便。 12
已知： ， 【例】 已知：U 形管内液体质量为 m，密度为 ρ ，管的截面积为 S 。开始时，造成管两边液 开始时， 面有一定高度差，忽略管壁和液体间的摩擦。 面有一定高度差，忽略管壁和液体间的摩擦。 试判断液体柱振动的性质。 试判断液体柱振动的性质。
10
φ = 0, A = 0.08m ; ∴ x(t ) = 0.08 cos(4πt )
2. 振动曲线 x = A cos(ω t + )
mm m o A x x0 = A< A (伸长量) 伸长量 0< x 0
0
x A o -A -
= π/2
=0 ωt
>0
ωt+=2π π
11
3. 旋转矢量法 很方便。 用旋转矢量法定初相 很方便。 例：已知
2 1 2 2
2
0
x2
1
A 1
x x1 x
[
]
12
(其中 ≡ 2 1 ± 2π ) 其中
合振动的相位满足条件： 合振动的相位满足条件：
tan = ( A1 sin 1 + A2 sin 2 ) ( A1 cos 1 + A2 cos 2 )
重要特例： 重要特例： 同相 2 1 = ±2k π, A = A + A2 ( k = 0, 1, ...) 1 反相 2 1 = ±( 2k + 1) π, A =| A A | 1 2
ω
A 1
A
ω1 ≈ ω2 >>| ω1 ω2 |
振幅大小缓慢变化
ω1
0
x
ω ≈ ω1 ≈ ω 2
同向重合时， A1，A2 同向重合时， A = Amax = A1 + A2 反向重合时， A1，A2 反向重合时， A = Amin = | A1 A2 | 拍频 ν 拍 = | ν 1 ν 2 | 可用来测频率，或得到更低频的振动。 可用来测频率，或得到更低频的振动。
23
x1
ν1
t
x2