机械振动的概念 (1)
机械振动(1)
ω
=
∆Φ 2π
T
即得x2的曲线
若
∆φ < o 时
说明振动2比振动1落后，将x1曲线右移 ∆φ T 距离为 ∆ t = 即得x2的曲线 2π
19
四 简谐振动表示法-解析法 由给定振动系统， 可求出ω ； 1 取平衡位置为原点;
2
建立坐标,分析任一位置时物体受力;
d2x 3 写出动力学方程： + ω2x = 0 dt 2
*两个振动同频率、同一时刻间的相位差：
∆Φ = (ϕ 20 − ϕ 10 ) 初相位的差！
17
同一时刻两个同频率 的简谐振动相位差
∆Φ = ϕ 20 − ϕ 10
位 移 x
x2 x1
x 1 = A1 cos( ω t + ϕ 10 )
x 2 = A2 cos( ω t + ϕ 20 )
位 移 x
x1 x2
……
26
由初始条件求初相
初态一
o
ϕ
x
v=0
x = A
⇒ ϕ = 0
初态二
X=o
⇒ ϕ =
π
2
O
X
初态三
V=0
x = −A
⇒ ϕ = π
v
初态四
x=0
π 3π ⇒ ϕ = 或 − 2 2
27
水平谐振子 例1： 由初始条件求初相 ϕ ; k 1 由平衡位置右拉0.1m放手; x o 2 由平衡位置左推0.1m放手; 3 在A/2处给一个向右的速度; − 2 A 4 在 处给一个向左的速度。 2 分别求出初相。 ϕ =0 1 X0=0.1, v0=0 A=0.1 0 x x
ω
由给定初始条件 可求出A、ϕ; 已知 A、ϕ 、ω
机械振动基础
机械振动基础1. 引言机械振动是工程中一个重要的概念，在各种机械设备中都会出现振动现象。
了解机械振动的基础知识对于设计、分析和维护机械系统都至关重要。
本文将介绍机械振动的基本概念、分类以及振动分析的方法。
2. 机械振动的概念机械振动是指机械系统中物体在某一参考点附近以往复运动的方式进行振荡。
振动可由外力引起，也可由机械系统本身的结构、弹性特性或制动装置等因素引起。
机械振动可分为自由振动和受迫振动两种形式。
自由振动是指机械系统在无外力作用下，自身的动力系统引起的振动。
受迫振动是指机械系统在外力作用下，强制性地以某种频率进行振动。
3. 机械振动的分类根据振动的特性和产生机制，机械振动可分为以下几类：3.1 自由振动自由振动是机械系统在无外力作用下，由于初位置、初速度或初形状等因素引起的振动。
在自由振动中，机械系统会按照一定的频率（固有频率）和振幅进行振动，直至最终停止。
3.2 受迫振动受迫振动是机械系统在外力作用下进行的振动。
外力的作用可能是周期性的，也可能是随机的。
受迫振动的频率与外力的频率相同或有一定的关系。
3.3 维持振动维持振动是指机械系统中某个部件受到外力作用后，振动会持续存在，没有衰减的现象。
维持振动往往是由于机械系统的频率与外力频率非常接近或相同。
3.4 阻尼振动阻尼振动是指机械系统在振动过程中，由于能量的损耗而逐渐减小振幅的过程。
阻尼可以分为线性阻尼和非线性阻尼两种形式。
4. 振动分析方法为了对机械系统中的振动进行分析和评估，需要采用相应的振动分析方法。
以下是几种常用的振动分析方法：4.1 振动传感器振动传感器是用来检测机械系统中的振动信号的装置。
常用的振动传感器包括加速度传感器、速度传感器和位移传感器等。
这些传感器能够测量机械系统中的振动信号，并将其转化为电信号供后续分析。
4.2 频域分析频域分析是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
通过对振动信号进行傅里叶变换等数学处理，可以将振动信号转化为频谱图并分析其中的频率成分和幅值。
机械振动与周期知识点总结
机械振动与周期知识点总结机械振动是物体在某个平衡位置附近作周期性运动的现象，而周期则是振动运动中完成一个完整往复运动所需的时间。
在本文中，我们将探讨机械振动和周期的一些基本概念和相关知识点。
1. 机械振动的基本概念机械振动可以分为自由振动和受迫振动两种形式。
自由振动是指物体在没有外力作用下，由于其固有的弹性特性而发生的振动。
典型的自由振动包括弹簧振子和单摆的振动。
自由振动的重要特点是振动频率不变，而振幅则会逐渐减小，直至停止。
受迫振动则是指受到外界周期性作用力的物体发生的振动。
外界作用力的频率与物体固有频率相同或接近时，会出现共振现象。
共振是许多自然界和技术领域中常见的现象，如桥梁共振、音乐共振等。
2. 振动的描述与参数振动可以通过振动曲线来描述，振动曲线是物体振动的图像表示。
振动曲线通常以时间为横轴，物体的位移或其他相关物理量为纵轴。
振动曲线可以用正弦或余弦函数来表示。
振动的频率是指在单位时间内完成一个完整振动周期的次数，单位为赫兹（Hz）。
频率与周期之间的关系可以用公式频率=1/周期来表示。
振动的频率决定了振动的快慢。
振动的振幅则是指在振动过程中物体离开平衡位置的最大位移。
振幅的大小决定了振动的幅度大小。
另外，振动的周期与频率有着互逆的关系。
周期是指完成一个完整振动所需的时间，单位为秒（s）。
周期的倒数就是频率。
3. 振动的力学原理机械振动符合牛顿力学的基本原理，特别是牛顿第二定律和胡克定律。
牛顿第二定律表明，物体的加速度与作用在物体上的合力成正比，与物体的质量成反比。
对于振动而言，振动物体受到的合力由胡克定律给出。
胡克定律是一个描述弹簧力的基本定律，它表明弹簧的伸长或缩短与所受力成正比。
胡克定律可以用公式F=kx来表示，其中F为弹簧力，k为弹簧的弹性系数，x为伸长或缩短的位移。
结合牛顿第二定律和胡克定律，可以得到描述振动的运动方程。
对于简谐振动而言，振动位移与时间的关系可以用正弦或余弦函数来表示。
大学物理-机械振动
机械振动也会影响交通工具的舒适 度，如火车、汽车等在行驶过程中 产生的振动，会让乘客感到不适。
机械振动在工程中的应用
振动输送
利用振动原理实现物料的输送，如振动筛、振动输送机等。
振动破碎
利用振动产生的冲击力破碎硬物，如破碎机、振动磨等。
振动减震
在建筑、桥梁等工程中，采用减震措施来减小机械振动对结构的影 响，提高结构的稳定性和安全性。
感谢您的观看
THANKS
机械振动理论的发展可以追溯到 古代，如中国的编钟和古代乐器 的制作。
近代发展
随着物理学和工程学的发展，人 们对机械振动的认识不断深入， 应用范围也不断扩大。
未来展望
随着科技的不断进步，机械振动 在新能源、新材料、航空航天等 领域的应用前景将更加广阔。
02
机械振动的类型与模型
简谐振动
总结词
简谐振动是最基本的振动类型，其运动规律可以用正弦函数或余弦函数描述。
机械振动在科研中的应用
振动谱分析
01
通过对物质在不同频率下的振动响应进行分析，可以研究物质
的分子结构和性质。
振动控制
02
通过控制机械振动的参数，实现对机械系统性能的优化和控制，
如振动减震、振动隔离等。
振动实验
03
利用振动实验来研究机械系统的动态特性和响应，如振动台实
验、共振实验等。
05
机械振动的实验与测量
根据实验需求设定振动频率、幅度和波形等 参数。
启动实验
启动振动台和数据采集器，开始记录数据。
数据处理
将采集到的数据导入计算机，进行滤波、去 噪和整理，以便后续分析。
绘制图表
将处理后的数据绘制成图表，如时域波形图、 频谱图等，以便观察和分析。
机械振动的概念
机械振动的概念机械振动是指物体在受到外力作用下发生的周期性运动。
它是一种复杂的物理现象，在工程学、物理学、数学等领域都有广泛的应用。
机械振动的研究对于解决工程问题、提高设备性能以及深入理解物体的运动规律具有重要意义。
首先，我们可以通过观察一个简单的机械振动现象来了解它的概念。
假设有一个质量为m的物体，它通过一个弹簧与固定点相连接。
当这个物体受到外力作用时，它会相对于平衡位置发生振动。
这种振动可以是正弦函数的形式，也可以是其他复杂的波形。
物体在振动过程中，会在振幅达到最大值时向一个方向运动，然后在振幅达到最小值时向另一个方向运动。
这种周期性的运动就是机械振动。
机械振动的重要性在于它的广泛应用。
在机械工程中，振动是一个常见的问题。
例如，汽车发动机的不平衡力会导致汽车振动，影响乘坐舒适性和发动机寿命；建筑物受到地震或风力的作用时，也会发生振动，这需要对建筑物结构做出相应的设计和补强；在电子设备中，电动机的振动会影响设备的稳定性和寿命等等。
因此，了解和掌握机械振动的特性和原理，对于解决这些问题具有至关重要的意义。
对于机械振动的研究，主要包括振动的频率、振幅、相位和周期等几个基本概念。
振动的频率是指单位时间内振动的次数。
频率用赫兹（Hz）来表示，1 Hz代表1秒内振动一次。
振动的频率取决于物体的质量和弹性特性。
例如，弹簧的刚度越大，物体的频率越高；物体的质量越大，频率越低。
频率是描述振动特征的重要参数，它能够帮助我们了解物体的振动情况和特性。
振动的振幅是指物体运动的最大偏离量。
它表示了振动的强度，振幅越大，振动的能量也就越大。
振动的振幅可以通过测量物体相对于平衡位置的位置来确定。
例如，对于一个简单的弹簧振子，可以通过测量振子达到的最大位移来确定振幅。
振幅的大小对于振动的影响很大，它不仅决定了物体的振动幅度，还会影响到物体的能耗、寿命等。
因此，在设计和使用振动设备时，需要注意控制振动的振幅。
振动的相位是指物体在振动中的位置关系。
什么是机械振动？
什么是机械振动？各种⼯程机械与结构，⼤到航天飞机，⼩到微型马达，或多或少都存在振动问题，为了保证这些结构的可靠性，振动问题已成为⼯程技术领域⾥普通需要认真研究和解决的重要课题。
掌握振动理论已经成为⼯程技术⼈员正在进⾏产品或结构的动⼒学特性设计所必需的基本要求。
本⽂主要内容包括：1. 基本概念；2. 振动的分类；3. “输⼊-振动系统-输出”模型；4. 振动要解决的问题。
1基本概念振动是指机械或结构围绕其平衡位置作往复运动。
从⼴义上讲，表征运动的物理量作时⽽增⼤时⽽减⼩的反复变化，就可以称这种运动为振动。
如果变化的物理量是机械量或⼒学量，例如物体的位移、速度、加速度、应⼒及应变、噪声等，这种振动便称为机械振动。
相对⽽⾔，我们经常⽤位移、速度和加速度来描述机械振动，这些振动物理量有别于我们通常所说的位移、速度和加速度。
在这，以车辆的⾏驶加速度与振动加速度来说明⼆者的区别。
我们通常所说的振动加速度不是汽车⾏驶过程中的加速度。
当汽车原地不动时，发动机怠速，我们可以测量汽车不同位置的振动加速度，如⽅向盘、座椅导轨等处的振动加速度。
⽽此时汽车的⾏驶加速度却是零。
因此，通过这⼀点，我们可以明⽩了⼆者虽然都是加速度，但是有着本质的区别，我们通常所说的汽车振动加速度不是汽车⾏驶中的加速度。
实旨上，我们在《信号AC与DC的区别》⼀⽂中，已经解释过它们的区别了：车辆实际⾏驶的加速度对应是0Hz的速度，也就是DC部分，车体振动加速度是⾮零频信号，即AC部分，但是⾏驶的加速度并不是振动加速度的直流分量。
机械振动对于⼤多数的⼯业机械、⼯程结构及仪器等结构都是有害的，如共振会导致灾难性的事故，如⼤桥坍塌、结构疲劳断裂等。
例如，1940年美国tacoma⼤桥风毁事故，是⼀定流速的流体（风速19m/s）流经边墙时，产⽣了卡门涡街；卡门涡街后涡的交替发放，会在物体上产⽣垂直于流动⽅向的交变侧向⼒，迫使桥梁产⽣振动，当发放频率与桥梁结构的固有频率相耦合时，就会发⽣共振，造成⼤桥坍塌，如下⾯的视频所⽰。
机械振动机械波
机械振动机械波机械振动和机械波是物理学中重要的概念，涉及到了物体的振动和波动特性。
机械振动是指物体或系统在受到外界力的作用下发生的周期性或非周期性的振动运动，而机械波是指机械振动在介质中传播的能量传递过程。
机械振动有两个重要的参数，即振动周期和振幅。
振动周期是指一个完整的振动循环所需要的时间，通常用秒（s）表示。
振幅则是指振动的最大位移或最大速度，通常用米（m）来表示。
机械振动分为简谐振动和非简谐振动两种。
简谐振动是指当物体受到恢复力的作用后，其振动状态可以通过正弦或余弦函数来描述。
而非简谐振动则是指物体受到的恢复力不满足线性关系，振动状态无法通过简单的正弦或余弦函数来描述。
机械振动的运动可以通过振动方程来描述。
对于简谐振动而言，振动方程可以表示为x(t) = A * sin(ωt + φ)，其中x(t)是物体的位移，A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是相位差。
振动方程可以描述物体振动的位移、速度和加速度的关系，从而提供了对振动状态的全面了解。
机械波是机械振动在介质中传播的能量传递过程。
波动是由于介质中某一点的振动引起附近点的振动，从而传递能量。
机械波有两种主要类型，即横波和纵波。
横波是指波动的振动方向垂直于能量传播方向的波动，例如水波。
纵波则是指波动的振动方向与能量传播方向一致的波动，例如声波。
机械波的传播速度可以通过介质的性质和条件来确定。
对于弹性介质而言，传播速度可以表示为v = √(E/ρ)，其中v是波速，E是介质的杨氏模量，ρ是介质的密度。
不同介质的波速是不同的，比如在空气中，声速大约为343m/s，而在水中，水波的波速则约为1480m/s。
机械波的特性还包括波长和频率。
波长是指相邻两个振动峰或波谷之间的距离，通常用λ表示，单位是米。
频率是指在单位时间内波动中的相邻振动周期的个数，通常用赫兹（Hz）表示。
波长和频率之间有一个简单的关系，即v = λ * f，其中v是波速，λ是波长，f 是频率。
高二物理第九章机械振动第一、二、三节人教版知识精讲
高二物理第九章机械振动第一、二、三节人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：第九章 机械振动第一节 简谐振动 第二节振幅、周期和频率 第三节 简谐运动的图象二. 知识要点： 〔一〕简谐振动1. 机械振动的定义：物体在某一中心位置两侧所做的往复运动。
2. 回复力的概念：使物体回到平衡位置的力。
注意：回复力是根据力的效果来命名的，可以是各种性质的力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
3. 简谐运动概念：物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的力作用下的振动。
特征是：kx F -=；m kx a /-=。
〔特例：弹簧振子〕4. 简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律。
〔参看课本〕〔1〕振动中的位移x 都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置、大小为这两位置间的直线距离，在两个“端点〞最大，在平衡位置为零。
〔2〕加速度a 的变化与回F 的变化是一致的，在两个“端点〞最大，在平衡位置为零，方向总是指向平衡位置。
〔3〕速度大小v 与加速度a 的变化恰好相反，在两个“端点〞为零，在平衡位置最大。
除两个“端点〞外任一个位置的速度方向都有两种可能。
〔二〕振幅、周期、频率1. 振幅A 的概念：振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。
它是描述振动强弱的物理量。
2. 周期和频率的概念：振动的物体完成一次全振动所需的时间称为振动周期，单位是秒；单位时间内完成的全振动的次数称为振动频率，单位是赫兹。
周期和频率都是描述振动快慢的物理量。
注意：全振动是指物体先后两次运动状态．．．．．．．．〔位移和速度〕完全一样．．．．所经历的过程。
振动物体在一个全振动过程通过的路程等于4个振幅。
3. 周期和频率的关系：fT 1=4. 固有频率和固有周期：物体的振动频率，是由振动物体本身的性质决定的，与振幅的大小无关，所以叫固有频率。
振动周期也叫固有周期。
〔三〕简谐运动的图象 1. 简谐运动的图象：〔1〕作法：以横轴表示时间，纵轴表示位移，根据实际数据取单位，定标度，描点。
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第一章绪论1-1 机械振动的概念振动是一种特殊形式的运动，它是指物体在其平衡位置附近所做的往复运动。
如果振动物体是机械零件、部件、整个机器或机械结构，这种运动称为机械振动。
振动在大多数情况下是有害的。
由于振动，影响了仪器设备的工作性能；降低了机械加工的精度和粗糙度；机器在使用中承受交变载荷而导致构件的疲劳和磨损，以至破坏。
此外，由于振动而产生的环境噪声形成令人厌恶的公害，交通运载工具的振动恶化了乘载条件，这些都直接影响了人体的健康等等。
但机械振动也有可利用的一面，在很多工艺过程中，随着不同的工艺要求，出现了各种类型利用振动原理工作的机械设备，被用来完成各种工艺过程，如振动输送、振动筛选、振动研磨、振动抛光、振动沉桩等等。
这些都在生产实践中为改善劳动条件、提高劳动生产率等方面发挥了积极作用。
研究机械振动的目的就是要研究产生振动的原因和它的运动规律，振动对机器及人体的影响，进而防止与限制其危害，同时发挥其有益作用。
任何机器或结构物，由于具有弹性与质量，都可能发生振动。
研究振动问题时，通常把振动的机械或结构称为振动系统（简称振系）。
实际的振系往往是复杂的，影响振动的因素较多。
为了便于分析研究，根据问题的实际情况抓住主要因素，略去次要因素，将复杂的振系简化为一个力学模型，针对力学模型来处理问题。
振系的模型可分为两大类：离散系统（或称集中参数系统）与连续系统（或称分布参数系统），离散系统是由集中参数元件组成的，基本的集中参数元件有三种：质量、弹簧与阻尼器。
其中质量（包括转动惯量）只具有惯性；弹簧只具有弹性，其本身质量略去不计，弹性力只与变形的一次方成正比的弹簧称为线性弹簧；在振动问题中，各种阻力统称阻尼，阻尼器既不具有惯性，也不具有弹性，它是耗能元件，在有相对运动时产生阻力，其阻力与相对速度的一次方成正比的阻尼器称为线性阻尼器。
连续系统是由弹性元件组成的，典型的弹性元件有杆、梁、轴、板、壳等，弹性体的惯性、弹性与阻尼是连续分布的。
严格的说,实际系统都是连续系统，所谓离散系统仅是实际连续系统经简化而得的力学模型。
例如将质量较大、弹性较小的构件简化为不计弹性的集中质量；将振动过程中产生较大弹性变形而质量较小的构件，简化为不计质量的弹性元件；将构件中阻尼较大而惯性、弹性小的弹性体也可看成刚体。
这样就把分布参数的连续系统简化为集中参数的离散系统。
例如图1-1（a）所示的安装在混凝土基础上的机器，为了隔振的目的，在基础下面一般还有弹性衬垫，如果仅研究这一系统在铅垂方向的振动，在振动过程中弹性衬垫起着弹簧作用，机器与基础可看作一个刚体，起着质量的作用，衬垫本身的内摩擦以及基础与周围约束之间的摩擦起着阻尼的作用（阻尼用阻尼器表示，阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。
活塞上下运动时，油液从间隙中挤过，从而造成一定的阻尼）。
这样图1-1（a）所示的系统可简化为1-1（b）所示的力学模型。
又如图1-2中假想线表示的是一辆汽车，若研究的问题是汽车沿道路行驶时车体的上下运动与俯仰运动，则可简化为图中实线所示的刚性杆的平面运动这样一个力学模型。
其中弹簧代表轮胎及其悬挂系统的弹性，车体的惯性简化为平移质量及绕质心的转动惯量，轮胎及其悬挂系统的内摩擦以及地面的摩擦等起着阻尼作用，用阻尼器表示。
下面以最简单的力学模型（图1-1b，其中略去阻尼）为例来阐明物体如何在平衡位置附近作往复运动的过程。
当物体静止时，物体处于图1-3（a）所示的静平衡位置0-0，此时物体的重力与弹簧的弹性恢复力（此时弹簧有静变形）互相平衡，故合力为零，速度及加速度皆为零；当物体受到向下的冲击作用后，即向下运动，弹簧被进一步压缩，弹簧恢复力逐渐加大，合力的方向向上，使物体作减速运动。
当物体的速度减小到零，物体则运动到如图1-3（b）所示的最低位置，此时速度为零，由于合力的方向向上，使物体产生向上的加速度，物体即开始向上运动；当物体返回到如图1-3（c）所示的平衡位置时，其所受的合力又为零，但其速度不为零，由于惯性作用，物体继续向上运动；随着物体向上运动，弹簧逐渐伸长，弹簧恢复力逐渐变小，物体重力大于弹簧恢复力，合力的方向向下，故物体又作减速度运动。
当物体向上的速度减小到零时，物体即运动到如图1-3（d）所示的最高位置。
此后，物体即开始向下运动返回平衡位置；当物体返回到如图1-3（e）所示的平衡位置时，其所受合力又为零，由于惯性作用，物体继续向下运动。
这样，物体便在平衡位置附近来回往复运动。
从图1-3（a）到图1-3(e)这一往复运动过程称为完成一次振动。
从运动学的观点来看，机械振动是指机械系统的某些物理量（位移、速度、加速度），在某一数值附近随时间t的变化关系。
当振动物体经过某一确定的时间间隔之后继续重复前一时间间隔的运动过程，这种振动称为周期振动，如图1-4（a）所示。
往复一次所需的时间间隔T称为周期。
最简单的周期振动是简谐振动，可以用正弦或余弦函数加以描述，如图1-4（b）所示，如果没有一定的周期的振动，则称为非周期振动，如图1-4（c）所示。
1—2 振动的分类一个实际的振动系统，在外界激扰（亦称激励，可以是随时间变化的力、速度、加速度及位移）作用下，会呈现一定的振动响应（亦称反应，如位移、速度及加速度等）。
这种激扰就是系统的输入,响应就是系统的输出。
二者由系统的振动特性联系着,振动分析就是研究这三者间的相互关系。
为了便于分析研究问题,有必要对振动作如下的分类。
一．按系统的输入（振动原因）可分为：1.自由振动—系统受初始激扰或原有的外界激扰取消后，只依靠系统本身的弹性恢复力维持的振动。
2.强迫振动—系统受外界持续激扰作用下所产生的振动。
3.自激振动—激扰是由系统振动本身控制的，在适当的反馈作用下，系统会自动地激起的定幅振动。
二．按系统的输出（振动规律）可分为：1.简谐振动—能用一项正弦和余弦函数表达其运动规律的周期性振动。
2.非简谐振动—不能用一项正弦或余弦函数表达其运动规律的周期性振动。
3.瞬态振动—振动量为时间的非周期函数，通常只在一定的时间内存在。
4.随机振动—振动量不是时间的确定性函数，而只能用概率统计的方法来研究的非周期性振动。
三．按系统的自由度数可分为：1.单自由度系统振动—系统在振动过程中任何瞬时的几何位置只需要一个独立坐标就能确定的振动。
2.多自由度系统振动—系统在振动过程中任何瞬时的几何位置需要多个独立坐标才能确定的振动。
3.弹性连续体的振动—系统在振动过程中任何瞬时的几何位置需要无限多个独立坐标(位移函数)才能确定的振动,也称为无限自由度系统振动。
四. 按振动系统的结构参数的特性可分为：1.线性振动—系统的惯性力、阻尼力及弹性恢复力分别与加速度、速度及位移成线性关系，能用常系数线性微分方程描述的振动。
2.非线性振动—系数的阻尼力或弹性恢复力具有非线性性质，只能用非线性微分方程来描述。
五. 按振动位移的特征可分为：1.纵向振动—振动物体上的质点只作沿轴线方向的振动。
2.扭转振动—振动物体上的质点只作绕轴线转动的振动。
3.横向振动—振动物体上的质点只作垂直轴线方向的振动。
纵向振动与横向振动又可称为直线振动。
1—3 简谐振动的矢量表示法和复数表示法1.矢量表示法：简谐振动可以用旋转矢量在坐标轴上的投影来表示。
设有一模为A 的旋转矢量OA ，以匀角速度ω，由初始角为ϕ位置开始，逆时钟向旋转（见图1-5a ）。
则任一瞬时，这一旋转矢量在纵坐标轴上的投影表示一简谐振动（见图1-5b ）。
同样它在横坐标轴上的投影为一余弦函数，也表示一简谐振动。
旋转矢量的模就是简谐振动的振幅，而旋转角速度就是简谐振动的频率。
2.复数表示法：如图1-6所示，设P 为复平面上的一个点，连接P 与坐标原点，得一矢量OP ，称为复矢量。
设复矢量OP 的模为A ，它在实轴和虚轴上的投影分别为Acos θ和Asin θ，则复矢量OP 可表示为如下复数形式其中，复数Z 的模A 就是复矢量OP 的模，复数Z 的复角θ，（t ωθ=）就是复矢量OP 与实数轴的夹角。
上式表明，简谐函数可以用复数表示，复数的实部代表正弦函数，虚部代表余弦函数。
在具体应用复数对简谐振动进行计算时，可取复数的实部（或虚部）进行计算，其结果亦取复数的实部（或虚部），本书如无特殊说明时均取复数虚部进行计算。
根据欧拉公式 ,sin cos θθθi e i += 复数Z 可改写为,t i Ae Z ω=而其虚部对应的简谐振动为：式中 θi Ae A =，称为复振幅，-ϕ初相位角。
简谐振动的速度和加速度也可用复数表示为：将上述结果画在复平面上，这些矢量关系如图1-7所示。
可以看出，对复数Ae i ωε每求导一次，则相当于在它前面乘上一个i ω，而每乘上一个i ，就相当于把这个复数矢量逆时针旋转900。
这就给运算带来一定的方便。
1—4 振动问题及其解决方法,本课程的任务前面已经提到,振动分析就是研究激扰(输入)、响应（输出）和系统振动特性三者的关系，如图1-8所示。
不论是哪一类型振动问题，一般说来，无非是在激扰、响应及系统特性三者之中，已知二者求第三者。
从这个意义上说，工程振动分析所要解决的问题可归纳为下列几类：1.响应分析—这是在已知激扰与系统特性的情况下求系统的响应的问题，包括位移、速度、加速度和力的响应。
这为计算机器或结构的强度、刚度、允许的振动能量水平提供了依据。
2.环境预测—这是在已知系统特性与响应的情况下来确定系统的输入，以判别系统的环境特性。
3.系统识别—这是在已知激扰与响应的情况下来确定系统的特性。
后一种情况下，问题的另一种提法是：在一定激扰条件下，如何来设计系统的特性使得系统的响应满足指定的条件。
这就是系统设计。
实际的振动问题往往是错综复杂的，解决振动问题的方法，不外乎是理论分析和试验研究，二者是相辅相成的。
计算机的日益发展和普及，以及振动测试仪器的迅速发展和完善，为解决复杂的振动问题的理论分析和试验研究提出了强有力的工具与手段。
“机械振动”是范围相当宽广的一门学科，涉及到多方面的知识。
由于振动的基本理论在解决振动问题中的重要性。
本课程的任务力求突出基础内容,按振动力学的体系着重阐明机械振动的基础理论与分析方法,内容限于线性振动而不涉及更为深入的内容。
掌握本课程的内容将为进一步深入研究机械振动问题奠定必要的基础。