机械振动学
机械振动学_第二章单自由度振动系统
第二章单自由度系统振动§1-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。
(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。
此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。
[举例如下：]例如：(1)悬臂锤削镗杆；(2)外圆磨床的砂轮主轴；(3)安装在地上的床身等。
[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。
忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。
把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。
于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。
在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼器来表示。
阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。
汽车轮悬置系统等等。
[以上为工程实际中的振动系统]单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m 称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。
以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。
在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。
有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。
应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。
（牛顿运动定律）（达伦培尔原理）现取所有与坐标x 方向一致的力、速度和加速度为正，则：kx x C t P xm --= ωsin 0 (牛顿运动定律) （达伦培尔原理：在一个振动体上的所有各力的合力必等于零） （动静法分析：作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系）上式经整理得，t P kx x C xm ωsin 0=++ （2.1） 该式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。
机械振动学基础知识振动的幅值频率与周期的关系
机械振动学基础知识振动的幅值频率与周期的关系机械振动学是研究物体在受到外力作用时产生的振动运动的科学。
在机械振动学中，振动的幅值、频率和周期是三个重要的概念，它们之间存在着密切的关系，下面我们来详细了解一下振动的幅值、频率和周期之间的关系。
振动的幅值是描述振动的振幅大小的一个物理量。
通俗地说，振动的幅值就是振动过程中物体偏离平衡位置的最大距离。
在图像上表现为波峰和波谷之间的垂直距离。
振动的幅值通常用字母A表示，单位为米或厘米等长度单位。
振动的频率是描述振动的快慢程度的一个物理量。
频率的定义是单位时间内振动的周期数，通常用字母f表示，单位为赫兹（Hz）。
频率越高，表示单位时间内振动的周期数越多，振动的快慢程度越高。
振动的周期是描述振动完成一个完整往复运动所需的时间。
通俗地说，振动的周期就是振动过程中从一个极点到另一个极点所需的时间。
振动的周期通常用字母T表示，单位为秒或毫秒等时间单位。
振动的幅值、频率和周期之间存在着明确的数学关系。
根据振动的定义，振动的频率可以表示为频率等于1除以周期。
即 f = 1 / T。
根据振动的定义，振动的频率和周期是互为倒数的概念，它们之间呈现出倒数的关系。
另外，振动的幅值和频率之间也存在着一定的关系。
在机械振动学中，振动的幅值和频率之间的关系可以表示为振动的幅值等于振动的频率乘以振动的周期。
即 A = f * T。
从这个公式可以看出，振动的幅值和频率是通过振动的周期相互联系的。
综上所述，机械振动学中的振动的幅值、频率和周期之间存在着密切的关系。
振动的幅值、频率和周期是描述振动运动特征的重要物理量，它们之间的关系可以通过简单的数学公式来表示。
只有深入理解振动的幅值、频率和周期之间的关系，才能更好地掌握机械振动学的基础知识，更好地应用于实际工程中。
希望通过本文的介绍，读者能对振动的幅值、频率和周期有一个更清晰的认识。
机械振动学中的振动与温度分析
机械振动学中的振动与温度分析机械振动学是研究物体在受到外界激励时产生的振动现象的一门学科。
振动是物体在受到外力作用下，由平衡位置发生周期性变化的一种运动形式。
在振动系统中，温度是一个不可忽视的影响因素。
振动与温度之间存在着一定的关系，分析振动系统在不同温度条件下的振动特性对于设计和工程应用具有重要意义。
一、振动与温度的基本原理1. 振动原理振动是物体周围粒子的周期性运动，当一个物体受到外界激励时，会引起物体产生振动。
物体振动的频率、振幅、相位等参数取决于外力的频率和幅值。
振动系统可以分为自由振动和受迫振动两种情况。
2. 温度对振动的影响温度是物体内部微观粒子的平均热运动状态的表征。
在振动系统中，温度的变化会导致弹性模量、材料参数等发生变化，从而影响系统的振动特性。
温度升高会使振动系统的阻尼增加，频率降低，振幅减小。
二、振动系统中的温度效应1. 温度对弹性模量的影响在机械振动学中，弹性模量是描述材料刚度的重要参数。
随着温度的升高，晶格振动增强，使材料的弹性模量降低。
这种温度效应会影响振动系统的固有频率和阻尼特性。
2. 温度对结构热膨胀的影响温度变化会引起物体结构的热膨胀，导致系统的自然频率发生变化。
不同材料对温度的响应不同，需要在设计过程中考虑温度效应对振动的影响。
三、工程实践中的振动与温度分析1. 振动系统的温度补偿在工程实践中，振动系统的设计和分析需要考虑温度效应的影响。
通过对振动系统在不同温度条件下的测试和模拟分析，可以实现对系统的温度补偿，提高系统的性能稳定性。
2. 振动与温度的耦合效应振动与温度之间存在着复杂的耦合效应，在实际工程中需要综合考虑系统的振动特性和温度响应。
利用有限元分析等方法，可以对振动系统在不同温度下的响应进行模拟和优化。
在机械振动学中，振动与温度分析是一个综合考虑系统动态特性和温度效应的重要研究内容。
深入理解振动系统在不同温度条件下的振动特性，对于提高系统的稳定性和性能具有重要意义。
机械振动学基础知识振动系统的阻尼模态分析
机械振动学基础知识振动系统的阻尼模态分析机械振动学是研究物体在受到外力作用下产生的振动现象的学科，涉及到机械工程、土木工程、航空航天工程等领域。
振动系统的阻尼模态分析是机械振动学中一个重要的研究方向，通过对振动系统的阻尼特性和模态特性进行分析，可以更好地理解系统的振动行为，为系统的设计和优化提供理论支持。
阻尼是振动系统中的一种能量损耗机制，它通过阻尼器将系统振动能量转化为热能或其他形式的能量耗散出去。
振动系统的阻尼可以分为线性阻尼和非线性阻尼两种。
线性阻尼是指振动系统的阻尼力与速度成正比，常见于摩擦力和液体阻尼等。
非线性阻尼则是指振动系统的阻尼力与速度的平方或更高次幂相关，常见于气体阻尼和某些复杂系统中的耗能机制。
在振动系统的阻尼模态分析中，首先需要确定系统的动力学方程。
这通常是通过应用运动方程和力学平衡原理得到的，其中考虑了系统的质量、刚度、阻尼等因素。
然后可以通过对系统的特征值问题进行求解，得到系统的固有频率和模态形式。
在实际工程中，通常会采用数值模拟或实验测试的方法来确定系统的振动特性。
阻尼模态分析的结果可以帮助工程师深入了解系统的振动特性，包括固有频率、模态形式、阻尼比等参数。
通过分析这些参数，可以评估系统的稳定性、安全性和性能表现，为系统的设计和改进提供依据。
此外，阻尼模态分析还可以指导系统的故障诊断和故障分析，帮助工程师解决振动问题和改善系统的运行效果。
总的来说，机械振动学基础知识中的振动系统阻尼模态分析是一个复杂而重要的内容，它深刻影响着工程领域的发展和进步。
通过对振动系统阻尼特性和模态特性的研究，可以更好地理解系统的振动行为，提高系统的性能和可靠性，从而推动机械工程领域的发展。
机械振动学基础知识振动系统的阻尼比与振动响应
机械振动学基础知识振动系统的阻尼比与振动响应机械振动学是研究物体在受到外力作用时发生振动运动的学科。
在机械振动学中，振动系统的阻尼比是一个重要的物理量，它与振动系统的阻尼特性密切相关，影响着振动系统的动态响应。
本文将介绍振动系统的阻尼比与振动响应之间的关系，帮助读者深入理解机械振动学的基础知识。
1. 阻尼比的定义阻尼比是描述振动系统阻尼特性的重要参数，通常用ζ表示。
阻尼比的定义是振动系统的阻尼比与系统的固有频率之比，即ζ = c/(2√mk)，其中c为系统的阻尼系数，m为系统的质量，k为系统的刚度。
阻尼比的大小决定了振动系统的阻尼特性，分为无阻尼、临界阻尼和过阻尼三种情况。
2. 阻尼比对振动系统的影响阻尼比的大小对振动系统的动态响应有着重要的影响。
在阻尼比为零时，振动系统是无阻尼的，并且会出现共振现象，即系统的振动会无限增长。
在阻尼比为1时，系统处于临界阻尼状态，振动系统的响应速度最快，但是振幅最小。
而在阻尼比大于1时，系统处于过阻尼状态，振动会很快消减，系统会很快趋于平衡。
3. 阻尼比与振动响应阻尼比与振动响应之间存在着紧密的联系。
在实际工程中，振动系统的阻尼比需要根据系统的工作条件和要求来确定。
如果要求系统的振动响应快速衰减，可以选择较大的阻尼比；如果要求系统的振动稳定，可以选择较小的阻尼比。
综上所述，阻尼比是机械振动学中一个重要的参数，它影响着振动系统的动态响应。
通过合理选择阻尼比，可以使振动系统在工作过程中达到更好的性能和稳定性。
希望本文能帮助读者更好地理解振动系统的阻尼比与振动响应之间的关系，为工程实践提供参考依据。
机械振动学基础知识强迫振动的共振现象分析
机械振动学基础知识强迫振动的共振现象分析机械振动学是研究物体在受到外力作用下产生振动的学科，强迫振动是指物体在外力作用下产生振动，其中一个重要的现象就是共振。
共振是指在一定条件下，外力的频率与物体的固有频率相同或相近时，物体的振动幅度会出现显著增强的现象。
本文将从振动的基本概念入手，详细分析强迫振动的共振现象。
1. 振动的基本概念振动是指物体围绕静态平衡位置做周期性的往复运动。
在机械系统中，振动通常由质点系统、连续弹性系统或混合系统引起。
质点系统振动时，其动力学模型可用简谐振动方程描述；连续弹性系统则需要运用弹性力学理论和波动理论。
振动的主要参数包括振动的频率、振幅、相位和周期。
2. 强迫振动的特点当物体受到外力作用时，如果外力的频率与物体的固有频率相同或相近，就会出现强迫振动。
外力会引起系统振动，并在系统中储存和释放能量。
强迫振动的特点是振幅可随时间周期性变化，当外力频率接近系统的固有频率时，振幅达到极大值。
3. 共振现象的分析共振是强迫振动的一个重要现象，当外力频率等于系统固有频率时，共振现象最为显著。
共振会导致系统振幅呈指数级增长，可能引起系统失稳和破坏。
共振现象在实际工程中需要引起重视，设计中需考虑控制外力频率或调整系统固有频率以避免共振。
4. 共振现象的应用虽然共振现象可能带来负面影响，但在某些情况下也可以利用共振来实现特定的功能。
例如，共振现象在音响设备、机械传动系统和通信系统中有广泛应用。
利用共振可提高系统性能和效率，但需注意共振可能带来的危险性。
结语：机械振动学中的强迫振动和共振现象是一门重要的研究领域，对于了解和应用振动学知识具有重要意义。
了解振动的基本概念、强迫振动的特点以及共振现象的分析可以帮助工程师和科研人员更好地设计和优化机械系统，提高系统的效率和稳定性。
在实际工程应用中，需要谨慎对待共振现象，合理设计系统参数以避免共振带来的危害，同时可以利用共振现象来优化系统性能。
愿本文对读者对机械振动学基础知识和强迫振动的共振现象有所帮助。
机械振动学基础知识振动系统的振动信号处理方法
机械振动学基础知识振动系统的振动信号处理方法机械振动学是研究物体在受到外力作用时所表现出来的振动现象的学科。
在振动系统中，振动信号处理是非常重要的一环，它可以帮助我们更好地了解振动系统的性能和特性，为系统的设计和维护提供重要依据。
本文将介绍振动信号处理的方法及其在机械振动学中的应用。
1. 时域分析时域分析是最基本的信号处理方法之一，它通过对信号在时间轴上的变化进行观察和分析，来获取有关信号的信息。
在振动系统中，我们通常会采集到振动信号的波形，通过时域分析可以得到信号的幅值、频率、周期等特征参数，从而判断系统的运行状态和存在的问题。
2. 频域分析频域分析是将信号在频率域上进行分析的方法。
在机械振动学中，频域分析是非常重要的一种信号处理方法，因为振动信号往往包含了多种频率成分，通过频域分析可以将这些频率成分清晰地展现出来。
常用的频域分析方法包括傅里叶变换、功率谱密度分析、频谱分析等。
3. 频谱分析频谱分析是频域分析的一种重要形式，它可以将信号在频率轴上的能量分布清晰地表示出来。
在机械振动系统中，频谱分析可以帮助我们识别系统中存在的谐波成分、共振频率等信息，为系统的故障诊断和预防提供有力支持。
4. 转子动平衡技术转子动平衡技术是振动信号处理中的一种重要方法，通过对转子在运转时的振动信号进行处理，可以判断转子系统的不平衡情况，并进行相应的校正。
转子动平衡技术在机械工程中有着广泛的应用，可以有效降低机械设备的振动和噪声。
5. 振动传感器技术振动传感器是用于采集振动信号的一种重要设备，它可以将系统振动转化为电信号，并传输给信号处理系统进行分析。
振动传感器技术在机械振动学中有着重要的应用，可以帮助我们实时监测系统的振动情况，及时发现问题并进行处理。
总结：振动系统的振动信号处理是机械振动学中的重要领域，它可以通过时域分析、频域分析、频谱分析、转子动平衡技术和振动传感器技术等方法，来获取系统运行状态和特性的信息，为系统的设计、监测和维护提供支持。
机械振动学的发展历程
机械振动学的发展历程
机械振动学是研究物体在受到外力作用下所产生的振动现象的一门学科。
它涉及到力学、物理学、数学等多个领域，是现代工程领域中非常重要的一个学科。
下面将通过回顾机械振动学的发展历程，来探讨这门学科的起源、发展和应用。
1. 起源阶段
机械振动学的起源可以追溯到古代。
早在古希腊时期，人们就开始观察各种物体的振动现象，比如钟摆的摆动、弦乐器的共振等。
这些简单的振动现象为后来机械振动学的发展奠定了基础。
随着科学技术的进步，人们对振动现象进行了更深入的研究和探索，逐渐建立了机械振动学的理论体系。
2. 发展阶段
19世纪是机械振动学发展的重要阶段。
在这一时期，科学家们深入研究了弹性体的振动特性，并建立了弹性体振动的数学模型。
随后，随着电磁学、声学等学科的发展，机械振动学得到了更广泛的应用。
20世纪，随着计算机技术的进步，人们能够更准确地模拟和预测物体的振动行为，机械振动学取得了更大的进展。
3. 应用阶段
如今，机械振动学在工程领域扮演着至关重要的角色。
通过对机械系统进行振动分析，工程师们能够优化设计、提高性能、延长使用寿命。
在航天、汽车、船舶、建筑等领域，机械振动学都得到了广泛的
应用。
同时，机械振动学也为新材料、新技术的研发提供了重要的理论支持。
总结起来，机械振动学经历了起源、发展和应用的三个阶段，不断壮大和完善。
它在现代工程领域中有着广泛的应用和深远的影响，是推动科学技术发展的重要学科之一。
相信随着科学技术的不断进步，机械振动学将会取得更大的发展，为人类社会进步和发展做出更大的贡献。
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引言
为什么要研究单自由度系统的振动？
1. 单自由度系统的振动是进一步学习多自由度系统振动的基础。
2. 在工程上有许多振动系统可以简化为单自由度系统，用单自由度
系统的振动理论就可以得到满意的结果。 3. 单自由度系统的基本概念具有普遍意义。多自由度系统和无限自
由度系统的振动，在特殊的坐标系中考察时，显示出与单自由度
(t ) x
m
Fm
Fm mx(t )
振动系统的组成
3 阻尼元件 1 . 阻尼元件的意义和性质
x (t ) Fd
c
Fd c x
阻尼系数：使阻尼器产生单位速度所需施加的力，单位： N s/m
单自由度系统的振动方程
k
c
s
k
c
u
k (u s ) cu
o
m
mg
无阻尼单自由度系统的自由振动
2 初始扰动引起的自由振动
运动方程： 特征根：
mu(t ) ku(t ) 0
s1,2 in
通解：
u(t ) a1 cos nt a2 sin nt
u(0) u0 , u(0) u0
a1 u0 , a2
n
u0
u1 (t ) a1 sin(1t 1 ) u2 (t ) a2 sin(2t 2 )
设频率比为有理数
1 2
1 m 2 n
T2 m T1 n
u(t T0 ) u1 (t T0 ) u2 (t T0 )
记mT1 nT2 T0
u1 (t mT1 ) u2 (t nT2 )
s1 2 1 n
s2 2 1 n
特征方程有一对互异实根，故通解为：
u (t ) a1e
( 2 1)n t
a2 e
( 2 1)n t
有阻尼单自由度系统的自由振动
0.020 0.015
m=10 kg, k=1000 N/m u0 =0.02m, du(0)/dt =0m/s
u3
f
A
u2 k2 u3
A B
u1 k1 u1
f
C C
f
f
ke
1 u1 u2 f / k1
2 u2 u3 f / k2
1 1 1 2 f k1 k 2
1 f ke
1 1 1 ke k1 k2
振动系统的组成
2. 惯性元件 1 . 惯性元件的意义和性质
s1,2 n n 2 1
应用初始条件
得到通解
u(t ) e
nt
(a1 cos d t a2 sin d t )
u (0) u0 u (0) u0
(阻尼振动频率)
d n 1 2
u (t ) e
或：
nt
u0 nu0 sin d t u0 cos d t d
系统类似的性态。
引言
k
ke
m x
m x x
m x
y
振动系统的组成
m
简化 机床 混凝土 基础 弹性衬垫
k
c
图 将实际系统抽象为单自由度振动系统
振动系统的组成
弹性元件
k
m
k
振动系统
惯性元件
m
c
阻尼元件
c
弹性元件是提供振动的回复力，惯性元件是承载 运动的实体，阻尼在振动过程中消耗系统的能量 和吸收外界的能量。
振动系统的组成
弹簧的等效刚度系数
u2
f A
k1
u1
B f
u2
f
A
ke
B
u1
f
k2
f1 k1 (u1 u2 )
f2 k2 (u1 u2 )
f f1 f2 (k1 k2 )(u1 u2 ) f ke (u1 u2 )
ke k1 k2
振动系统的组成
1
s1,2 n
特征方程有一对相等实根，故通解：
u(t ) (a1 a2t )e
nt
有阻尼单自由度系统的自由振动
0.02 0.01
m=10 kg, k=1000 N/m, c=200 Ns/m u0 =0.02m, du(0)/dt =0.0 m/s u0 =0.02m, du(0)/dt =-0.5 m/s u0 =0.02m, du(0)/dt =-1.0 m/s
=1.05 =1.3 =1.5
u, m
0.010 0.005 0.000 0.0
1.0 1.5 2.0 t, s 图 质量块对初始位移的过阻尼响应
0.5
结论：过阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动。
有阻尼单自由度系统的自由振动
(2) 临界阻尼情况 ( 1)
s1,2 n n 2 1
1.自由运动微分方程的建立
k
c
o
ku
cu
m
u
牛顿第二定律： 自由运动方程：
u
m
mu cu ku
mu cu ku 0
有阻尼单自由度系统的自由振动
2 特征根
c k u u u0 m m
2 u 2nu n u 0
mu cu ku 0
运动微分方程 ② 能量方法： 系统的固有频率
Tmax Vmax
③ 等效质量和等效刚度法：
系统的固有频率
T
V
④ 静变形法：
等效质量 meq 等效刚度 keq
n
keq meq
equivalent 的前两个字母
第一章：单自由度系统的振动
有阻尼单自由度系统的自由振动
有阻尼单自由度系统的自由振动
n
k m
0
u0 v0
u0
m k
k
（振幅）
a
2 u0
(
n
)
2
m
k
v0
v0
(钢丝绳最大动张力)
v0
Td ka v0 mk
（钢丝绳总张力的最大值）
k0
T mg v0 mk
m
v0
无阻尼单自由度系统的自由振动
4 求单自由度无阻尼系统固有频率的几种方法
① 微分方程法：
u(t ) a sin(nt )
求导
u (t ) n a cos(nt ) n a sin(nt ) 2
求导
2 2 u(t ) n a sin(nt ) n a sin(nt )
速度与位移的“相位差是90度”意味着什么？
2
s1,2
k i in m
k n m
固有频率 单位：rad/s
特征方程
natrual 的第一个字母
k n m
对固有频率的正确理解：
① 固有频率仅取决于系统的刚度和质量；
固有频率
② 固有频率与初始条件和外力等外界因素无关，是系统的固有特性； 它与系统是否振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系
0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10 -0.15 -0.20 0
aent
u1
n = 10rad/s, = 4% u0 = 0.0m, du(0)/dt =2.0 m/s
u2
u3
t3
u4
t4
t5
u, m
u5
t1
t2
ae
nt
Td
1
Td
def
2
自由振动：
u (t ) u0 cos nt
n
u0
sin nt
无阻尼单自由度系统的自由振动
自由振动：
u(t ) a sin(nt )
振幅 频率 初相位
振幅：
u0 a u n
2 0
2
简谐运动的三要素
• • 简谐运动三要素
nu0 初相位： arctan 0 u
阻尼：阻碍物体运动，消耗系统能量的各种因素统称为阻尼。
阻尼的机理十分复杂，只靠物理学上的、力学上的定
理是不能得到实际系统的阻尼的。因此，阻尼往往通 过实验来确定。
阻尼既有有用的一面也有有害的一面：
有用的一面：消耗系统振动能量，减小振动幅值，增加系统的稳定性
有害的一面：增加运动阻力，降低运动速度
有阻尼单自由度系统的自由振动
第一章：单自由度系统的振动
无阻尼单自由度系统的自由振动
•正确理解固有频率的概念
•会求单自由度无阻尼系统的固有频率
无阻尼单自由度系统的自由振动
1. 固有频率概念的引出
k
mu(t ) ku(t ) 0
(ms2 k )u 0
u(t ) uest
m
图 无阻尼单自由度系统
ms k 0
d
2
n 1 2
Tn 1 2
自由振动曲线(欠阻尼)
2 t, s
3
4
阻尼振动周期
有阻尼单自由度系统的自由振动
④ 引入对数衰减率来描述振动衰减的快慢
0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10 -0.15 -0.20 0
aent
n = 10rad/s, = 4% u0 = 0.0m, du(0)/dt =2.0 m/s
f (t )
m