理科数列(自己整理的,很值得收藏)

考点一：所有数列都有的关系：与n n S a ⎪⎩⎪⎨⎧=≥-=-)1()2(11n S n S S a n n n ★已知数列{}n a 的前n 项和1322-+=n n S n ，则数列{}n a 的通项公式 ★已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S .则数列{}n a 的通项公式 考点二：等差数列的有关性质 （1）定义：)(1常数d a a n n =-+ （2）通项公式：d n a a n)1(1-+=＝d m n a m )(-+（3）前n 项和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=函数特征：形如n S =bn an+2的常数项为0的二次式★ 等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =★ 若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-= ，，，，则此数列的通项公式 ★★已知数列{}n a 是以2-为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，若7S 是数列{}n S 中的唯一最大项，则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是 （4）若q p n m +=+，那么qp n m a a a a +=+特殊地，若p nm 2=+，则p n m a a a 2=+★★设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于 ★★设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95S S = . ★★在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项 的 和等于（ ） A ．8 B ．13 C ．16 D ．26 （5）等差中项：2A=a+b; 112-++=n n na a a★★等差数列{n a }前n 项和为n S ，已知1m a -+-+1m a 2m a =0，21m S -=38,则m=____ ★★已知{}n a 为等差数列，,99,105642531=++=++a a a a a a ，则20a 等于 （6）{}n a 等差数列,则k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等差（7）等差数列中，求前n 项和最大(小)的方法：首项为正数的递减数列，求n S 最大，令0≥n a ，求出所有正数项 首项为负数的递增数列，求n S 最小，令0≤n a ，求出所有负数项★ ★已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是 考点三：等比数列的有关性质 （1）定义：)(1常数q a a nn =+★若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则5a = ；前8项的和8S = . （2）通项公式：11-=n nq a a ＝mn m qa -（3）前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠-=--==1qq -1 1)1(1q111q a a q q a na S n n n函数特征：形如A Aq S n n-=的关于n 的指数式★已知数列{}n a 的前n 项和5(n n S t t =+是实数），下列结论正确的是（ ）A ．t 为任意实数，{}n a 均是等比数列B ．当且仅当1t =-时，{}n a 是等比数列C ．当且仅当0t =时，{}n a 是等比数列D ．当且仅当5t =-时，{}n a 是等比数列 （4）若q p n m +=+，则q p n m a a a a =特殊地，若n m p+=2，则2pn m a a a =（5）等比中项：G 2= a b; 112+-=n n n a a a★★公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于 ( 6 )等比数列{}n a ,则k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等比数列 （q ≠－1或k 为奇数）★★★设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若 63S S =3 ，则 69SS = 考点四：求数列通项公式的四种常见类型（1）作差型★★已知n S 为数列{}n a 的前n 项和， )2,(23≥∈+=+n N n a S n n ，则{}n a 的通项公式 （2）叠乘叠加型★★已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，则数列{}n a 的通项公式 ★★★已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ⋅=2，则数列{}n a 的通项公式 （3）转换型（倒数转换或通过先求n S 再转换成n a ） ★★=+==+n n nn a a a a a ，写出数列的通项，已知数列满足：22111 （4）通过证明复合数列为等差等比数列，然后再转换 ★★★已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…． （Ⅰ）证明：数列1{1}na -是等比数列；（Ⅱ）求通项n a考点五：求数列前n 项和的四种常见类型 (1）分组求和特征：等比和等差的复合★数列通项n a n n +=2，求前n 项的和n S(2）倒序相加特征：数列的首尾相加是定值，项数不能判定奇偶，不能单纯的首尾相加 ★★函数)(x f 对任意的R x ∈都有21)1()(=-+x f x f （1）求)21(f 和)()1()1(N n n n f nf ∈-+的值 （2）化简：S=)1()1(...)2()1()0(f nn f n f n f f +-++++(3)裂项求和特征：分式呈现，且分母可以因式分解 ★★n b n =，求数列}1{1+n n b b 的前n 项和(4）错位相减特征：等差数列乘（或除）等比数列 ★★★若数列{}n a 满足：11=a ，且nnn a a a +=+11 （1）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和记为n S , 且n n b S -=2，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 的前n 项和n T ． 解：（1）由已知得n n n n a a a a =+++11∴1111=-+nn a a 则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1为等差数列， 且公差为1，11=a 所以na n 1=（2）n n b S -=2 11=∴bn n n n n n n b b b b S S b -=---=-=---111)2(2)2(21≥=∴-n b b n n则数列{}n b 是公比1,211==b q 的等比数列，所以1)21(-=n n b令1)21(-==n n n n n a b C ， 12)21()21(3)21(21-++⨯+⨯+=n n n T (1)n n n T )21()21(3)21(2)21(2132⨯++⨯+⨯+= …（2） （1）-（2）得：nn n n nn T 222)21()21()21(2112112+-=-++++=-1224-+-=n n nT考点六：数列不等式的证明如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k =-++； ③2211111()1211k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k-=<<=-++--；④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ；⑤11(1)!!(1)!n n n n =-++； ⑥2122(1)2(1)11n n n n n n n n n +-=<<=--+++-. 广东真题例1，（2012广东）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11221n n n S a ++=-+,*n N ∈,且123,5,a a a +成等差数列.(Ⅰ) 求1a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211132n a a a ++⋅⋅⋅+<. 解：(Ⅰ)因为11221n n n S a ++=-+,当1n =时,1223S a =-,即2123a a -=,当2n =时,2327S a =-,即321227a a a --=,又()21325a a a +=+ 联立上述三个式子可得11a =. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知25a = 当2n ≥时,由11221n n n S a ++=-+得1221n n n S a -=-+,两式相减整理得132n n n a a +=-,即11312222n n n na a ++=⋅+,即11311222n n n n a a ++⎛⎫+=⋅+ ⎪⎝⎭,又2121311222a a ⎛⎫+=⋅+ ⎪⎝⎭, 所以12n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为首项为113122a +=,公比为32的等比数列,所以133312222n nn na -⎛⎫⎛⎫+=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以32n nn a =-. (Ⅲ) 当1n =时,11312a =<显然成立,当2n =时,121113152a a +=+<显然成立. 当3n ≥时,32(12)2n n n n n a =-=+-12211122222n n n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅+- 122111222n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅ 2222(1)n C n n >⋅=-又因为2522(21)a =>⨯⨯-,所以2(1)n a n n n >-≥, 所以11111()2(1)21n a n n n n<=---所以12311111111111131(1)1(1)2234122n a a a a n n n ++++<+-+-++-=+-<- ., 例2，（2011•广东）设b ＞0，数列{a n }满足a 1=b ，a n =（n ≥2）．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）证明：对于一切正整数n ，a n ≤+1．解：（1）由题意知：，∴， 设，则设，则，当b=2时，，∴为首项是，公差是的等差数列．∴a n =2．当b ≠2时， 令，∴，∴，∴是等比数列．∴，又∵，∴，∴．综上可知：当b=2时，a n =2． 当b ≠2时，习题1，（2008•广东）设p ，q 为实数，α，β是方程x 2﹣px+q=0的两个实根，数列{x n }满足x 1=p ，x 2=p 2﹣q ，x n =px n ﹣1﹣qx n ﹣2（n=3，4，…）． （1）证明：α+β=p ，αβ=q ； （2）求数列{x n }的通项公式； （3）若p=1，，求{x n }的前n 项和S n ．2（2007•广东）已知函数f （x ）=x 2+x ﹣1，α，β是方程f （x ）=0的两个根（α＞β），f （x ）是f （x ）的导数，设a 1=1，（n=1，2，…）．（1）求α，β的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有a n ＞α； （3）记（n=1，2，…），求数列{b n }的前n 项和S n ．练习1，(2006 广东)已知公比为(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9，无穷等比数列{}2na 各项的和为815. (I)求数列{}n a 的首项1a 和公比q ；(II)对给定的(1,2,3,,)k k n = ，设()k T 是首项为k a ，公差为21k a -的等差数列，求(2)T 的前10项之和；(III)设i b 为数列()k T 的第i 项，12n n S b b b =+++ ，求n S ，并求正整数(1)m m >，使得limnmn S n →∞存在且不等于零.2，（2004 广东）已知角,,αβγ成公比为2的等比数列（[0,2]απ∈），s i n ,s i n ,s i n αβγ也成等比数列，求,,αβγ的值．3（2002 广东）设｛a n ｝为等差数列，｛b n ｝不等比数列，a 1= b 1=1，a 2＋a 4= b 3，b 2 b 4= a 3，分别求出｛a n ｝及｛b n ｝的前10项的和S 10及T 104，（2012 全国卷）函数f(x)=x 2-2x-3，定义数列{x n }如下：x 1=2，x n+1是过两点P （4,5）、Q n (x n ,f(x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标。