手足口病型传染病的数学模型
数学建模之传染病模型
第五章 微 分 方 程 模 型如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型.§1 传 染 病 模 型建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题.考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为N ，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位.一. SI 模 型假设条件：1. 人群分为易感染者(Susceptible )和已感染者(Infective )两类人，简称为健康人和病人，在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作()t s 和()t i .2. 每个病人每天有效接触的平均人数是λ(常数)，λ称为日接触率，当病人与健康人有效接触时，使健康者受感染变为病人.试建立描述()t i 变化的数学模型.解： ()()1=+t i t s ()()N N t i N t s =+∴由假设2知，每个病人每天可使()t s λ个健康者变为病人，又由于病人数为()t i N ，∴每天共有()()t i N t s λ个健康人被感染.于是i s N λ就是病人数i N 的增加率，即有i s N dt di Nλ=………………………………………………(1) i s dtdi λ=∴ 而1=+i s .又记初始时刻(0=t )病人的比例为0i ，则()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=001i i i i dt di λ 这就是Logistic 模型，其解为 ()t e i t i λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=1111［结果分析］作出()t t i ~和i dt di ~的图形如下：1. 当21=i 时，dt di 取到最大值m dt di ⎪⎭⎫ ⎝⎛，此时刻为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-11ln 01i t m λ2. 当∞→t 时，1→i 即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）.二. SIS 模 型在前面假设1、2之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS 模型.假设1、2同SI 模型，增加假设:3. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为μ，称为日治愈率.病人治愈后成为易感染者（健康人）.显然μ1是这种传染病的平均传染期.解：在假设1、2、3之下，模型（1）修正为i N i Ns dtdi N μλ-= 于是 ()()⎪⎩⎪⎨⎧=--=001i i i i i dt di μλ解得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=--- ＝ －μλλμλμλλμλλμλ,1,11010i t e i t i t ［结果分析］1. 令μλσ=. 注意到λ和μ1的含义，可知σ是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数.()⎪⎩⎪⎨⎧-=∞ 011σi 11≤>σσ1-2. 接触数1=σ是一个阈值.当1≤σ时，病人比例()t i 越来越小，最终趋于零.当1>σ时，()t i 的增减性取决于0i 的大小，其极限值()σ11-=∞i .3. SI 模型是SIS 模型中0=μ的情形. 三. SIR 模 型大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者,也非病人,他们已经退出传染系统，此时模型的假设为1.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称为SIR 模型.三类人在总人数N 中占的比例分别记作()i s 、()t i 和()t r .1. 病人的日接解率为λ，日治愈率为μ（与SIS 模型相同），传染期接触数为μλσ＝.解：由假设1，有()()()1=++t r t i t s 0=++∴dtdr dt di dt ds 由假设2，得i N dt dr N μ= N i N i s dt di N μλ-= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==∴i i s dtdi i dt dr μλμ 又设()()()00,0,000===r i i s s 于是()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00s 0s ,0i i i s dt ds ii s dt di λμλ (2)我们在相平面上来讨论解的性质.相轨线的定义域为(){}1s ,0,0s ,s ≤+≥≥=i i i D 由(2)式消去dt ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-==0s s 01s 1s i i d di σ 这里 μλσ= 解得()000s s ln 1s -i s σ++=i ………………………………………(3) 在定义域D 内，(3)式表示的曲线即为相轨线..。
手足口病模型分析
手足口病模型分析康慧燕王玲娜陈姗姗周红娜胡佩佩（上海大学理学院）摘要:本文建立了一类带有出生和死亡的手足口病的SIR模型,计算了模型的阈R,通过数值模拟以及与近几年传染手口足病的儿童患病人数的拟合估计出值R都是大于1的，即疾病至少爆发模型中的参数。
而且近几年手口足病对应的一次，与数据显示的结果一致。
说明我们的模型是有效的。
关键字：传染病，SIR模型，阈值1 引言手足口病是由肠道病毒引起的传染病[1−6]，引发手足口病的肠道病毒有20多种，其中以柯萨奇病毒A16型（Cox A16）和肠道病毒71型（EV 71）最为常见。
此病多发生于5岁以下儿童，表现口痛、厌食、低热、手、足、口腔等部位出现小疱疹或小溃疡，目前缺乏有效的治疗药物.普通病例多为急性起病，并伴有发热、口痛、厌食等症状,口腔黏膜出现散在疱疹或溃疡，位于舌、颊黏膜及硬额等处为多，也可波及软腭，牙龈、扁桃体和咽部。
手、足、臀部、臂部、腿部出现斑丘疹，后转为疱疹，疱疹周围可有炎性红晕，疱内液体较少。
手足部较多，掌背面均有。
皮疹数少则几个多则几十个。
消退后不留痕迹，无色素沉着。
部分病例仅表现为皮疹或疱疹性咽峡炎。
多在一周内痊愈，预后良好。
部分病例皮疹表现不典型，如单一部位或仅表现为斑丘疹。
少数病例（尤其是小于3岁者）病情进展迅速，在发病1～5天左右出现脑膜炎、脑炎（以脑干脑炎最为凶险）、脑脊髓炎、肺水肿、循环障碍等，极少数病例病情危重，可致死亡，存活病例可留有后遗症。
其感染途径包括消化道，呼吸道及接触传播。
传播途径主要是有接触传播、接触病人接触过的毛巾、玩具等。
感染者分为染病者和隐性感染者，疾病流行期间，感染者是主要传染源，包括染病者、隐性感染者。
我国全国各地及世界上大部分地区都流行此病，并且我国不少地区都有死亡病例的报导。
1981年，我国在上海发现手足口病，很快北京、河北、天津、山东等省市均有报道。
1983年天津发生时，5月到10月五个月的时间里就有7000 病例；2年后又爆发了以托儿所及幼儿园为主的流行。
logistic微分方程模型在手足口病疫情预警研究中的应用
logistic微分方程模型在手足口病疫情预警研究中的应用随着全球化的加剧和人口的大规模流动，疾病的传播已经成为全球共同关注的话题。
手足口病是一种常见的传染病，近年来在我国的发病率越来越高，严重影响了儿童的健康和生活。
因此，针对手足口病的疫情预警研究变得尤为重要。
在疫情预警研究中，数学模型的应用已经成为主流。
其中，有一种被广泛应用的数学模型——logistic微分方程模型，可以有效地反映疾病的传播趋势和发展状态。
下面，我将从以下几个方面，阐述logistic微分方程模型在手足口病疫情预警研究中的应用。
第一步，建立logistic微分方程模型。
在手足口病疫情预警研究中，logistic微分方程模型可以被表述为：dS(t)/dt = -bSI(t)dI(t)/dt = bSI(t) - aI(t)其中，t表示时间变量，S(t)表示易感人群的人数，I(t) 表示感染人群的人数，a表示感染者的恢复速率，b表示疾病的传染率，也就是单位时间内每位感染者可以传染的人数。
第二步，求解logistic微分方程模型。
为了求解logistic微分方程模型，我们需要知道其初值条件，即初始易感人群和感染人群的人数。
通常情况下，我们可以通过历史数据来获取这些初值条件。
然后，我们可以利用该模型进行数值积分，得到感染人群和易感人群的变化趋势。
第三步，预测手足口病疫情。
通过对logistic微分方程模型的数值积分结果进行分析，我们可以预测手足口病的疫情走势。
具体来说，我们可以通过预测感染人群的数量来评估疫情的严重程度，并且可以在早期发现异常情况，从而及时采取措施进行防控。
第四步，优化模型精度。
在预测手足口病疫情时，精度是非常重要的。
为了优化模型的精度，我们可以根据实际情况，对数学模型进行适当的修正。
例如，我们可以加入控制因素来考虑政策措施对疫情的影响；同时，我们还可以使用更为复杂的数学模型对手足口病疫情进行更加全面和深入的预测。
传染病数学模型
传染病数学模型（二）引言：在传染病研究中，数学模型是一种重要的工具，通过模拟传染病的传播过程，可以帮助研究人员更好地了解病毒传播的规律，并提供有效的预测和控制策略。
本文将介绍传染病数学模型的相关理论及其应用。
概述：传染病数学模型是基于数学方程和模拟计算的方法，用于描述传染病在人群中的传播过程。
通过构建数学方程来描述人群中的感染者、易感者和康复者之间的相互作用，可以模拟传染病的传播动态，并为疫情的预测和控制提供有价值的信息。
正文：一、传染病数学模型的类型1. 动力学模型：描述传染病在时间上的变化规律，常用的动力学模型有SIR模型、SEIR模型等。
2. 空间模型：考虑传染病在空间上的传播，可以帮助研究人员更好地理解传染病的传播路径和空间分布规律。
3. 随机模型：考虑传染病传播的随机因素，可以更真实地反映传染病的传播过程。
4. 网络模型：基于网络结构，模拟人群之间的联系和传播路径，适用于研究社交网络中的传染病传播。
二、传染病数学模型的基本假设1. 平均场假设：假设人群中的每个个体都具有相同的特性和行为，且与其他个体的接触频率相同。
2. 免疫假设：假设人群中的康复者对传染病具有免疫力，不再感染。
3. 独立性假设：假设人群中的个体之间的相互作用是相互独立的，即每个个体的感染概率与其他个体无关。
4. 恒定人口假设：假设人口总数在模拟过程中保持恒定，不存在人口的出生和死亡。
三、传染病数学模型的参数和变量1. 基本再生数（R0）：描述传染病在易感人群中的传播能力，是评估传染病传播速度的重要指标。
2. 感染率（β）：描述感染者与易感者之间的传播强度，与传染病的传播速度密切相关。
3. 接触率（c）：描述人群中个体之间的接触频率，是传染病传播过程中的重要参数。
4. 感染周期（1/α）：描述传染病的潜伏期长度，即感染者从感染到出现症状的时间。
5. 恢复率（1/γ）：描述感染者康复的速度，与传染病的严重程度相关。
四、传染病数学模型的应用1. 疫情预测：通过建立传染病数学模型，可以预测疫情的发展趋势和高发区域，为公共卫生部门提供决策依据。
不同数学模型对手足口病发病的预测效果分析与比较
不同数学模型对手足口病发病的预测效果分析与比较曹飞;况荣华;李辉;刘明斌;戚京城;熊昌辉;陈宝;李譞超;黄鹏【期刊名称】《南昌大学学报（医学版）》【年(卷),期】2014(000)007【摘要】目的：探讨不同数学模型对手足口病发病的预测效果并进行比较，为手足口病的监测和预防提供依据。
方法收集南昌市2008-2012年手足口病疫情报告数据（以月为单位），分别应用曲线回归模型、单纯求和自回归滑动平均（ARIMA）模型、求和自回归滑动平均模型与多层感知神经网络（ARIMA-MLP）组合模型模拟手足口病的疫情变动轨迹，比较各模型的拟合效果，确定最优预测模型。
结果南昌市2008-2012年手足口病发病率逐年上升，并呈现明显的季节趋势。
对其发病趋势，3种模型均具有一定的预测能力，以 ARIMA-MLP组合模型对手足口病月发病率的拟合效果最好（R2＝0．908，MAE＝3．06）。
结论 ARIMA-MLP组合模型能够较好地拟合手足口病的发病趋势，对手足口病监测和预防具有一定意义。
%Objective To compare the efficacies of different mathematical models in the predic-tion of incidence trend of hand,foot and mouth disease,and to provide a scientific basis for the surveillance and prevention of hand,foot and mouth disease.Methods Epidemic data of hand,foot and mouth disease(2008-2012,Nanchang)were collected.The epidemic trajectory was simulated using curve regression model,autoregressive integrated moving average model (ARIMA ) and ARIMA-multilayer perception neural network model (ARIMA-MLP).The imitative effects the three models were compared to confirm optimal prediction model.ResultsThe incidence of hand, foot and mouth disease increased year by year and presented obvious seasonal trend between 2008 and 2012 in Nanchang.All the three models had certain abilities to predict the incidence trend of hand,foot and mouth disease,especially ARIMA-MLP(R2=0.908,MAE=3.06 ).Conclusion ARIMA-MLP model can simulate the epidemic traj ectory of hand,foot and mouth disease,and has a certain significance for the surveillance and prevention of hand,foot and mouth disease.【总页数】6页(P12-16,39)【作者】曹飞;况荣华;李辉;刘明斌;戚京城;熊昌辉;陈宝;李譞超;黄鹏【作者单位】南昌大学研究生院医学部2012级，南昌 330006;南昌大学期刊社，南昌 330006;南昌市疾病预防控制中心传染病防制科，南昌 330038;南昌市疾病预防控制中心科教信息科，南昌330038;南昌市疾病预防控制中心传染病防制科，南昌 330038;南昌市疾病预防控制中心科教信息科，南昌 330038;南昌大学研究生院医学部2012级，南昌 330006;南昌大学研究生院医学部2011 级，南昌330006;南昌大学公共卫生学院流行病学教研室，南昌 330006【正文语种】中文【中图分类】R181.2【相关文献】1.不同数学模型对手足口病发病的预测效果分析与比较 [J], 曹飞;况荣华;李辉;刘明斌;戚京城;熊昌辉;陈宝;李譞超;黄鹏;2.气象因素与数学模型相结合在庐江县手足口病特征分析及预测中的应用 [J], 张慧玲;洪光烈;张丹;琚娟娟3.气象因素与数学模型相结合在庐江县手足口病特征分析及预测中的应用 [J], 张慧玲; 洪光烈; 张丹; 琚娟娟4.不同疫苗覆盖场景下上海市和浙江省手足口病发病负担预测的动力学模型 [J], 李艺璇;王岳;王伟炳;陆一涵5.基于长短时记忆神经网络的手足口病发病趋势预测 [J], 马停停;冀天娇;杨冠羽;陈阳;许文波;刘宏图因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
传染病的数学模型(一)
传染病的数学模型（一）引言概述：传染病的数学模型是通过数学方法对传染病的传播过程进行建模和预测的一种方法。
它可以帮助我们理解传染病的传播规律、评估控制措施的有效性，从而指导公共卫生决策。
本文将从概念、数学模型建立、参数估计、应用案例和局限性五个方面阐述传染病的数学模型。
正文内容：一、概念1. 传染病传播过程的基本概念2. 数学模型在理解传染病传播规律中的作用3. 传染病传播的主要途径及其模型4. 传染病的基本流行病学指标5. 常见传染病的数学模型分类及特点二、数学模型建立1. 传染病传播的动力学模型建立过程2. 常见数学模型的基本方程及假设3. 数学模型的参数选择和数据需求4. 模型的数值解和模拟仿真方法5. 模型灵敏度分析和鲁棒性评估方法三、参数估计1. 传染病传播参数的基本概念和估计方法2. 基于数据的参数估计方法及其优缺点3. 遗传算法在参数估计中的应用4. 参数不确定性分析及其影响5. 基于多源数据的参数估计方法及其应用四、应用案例1. 传染病模型在疫情预测中的应用2. 传染病模型在控制措施评估中的应用3. 传染病模型在疫苗接种策略优化中的应用4. 传染病模型在早期预警系统中的应用5. 传染病模型在流行病学调查分析中的应用五、局限性1. 数学模型的假设和简化带来的局限性2. 数据不确定性对模型预测的影响3. 模型的敏感性和鲁棒性问题4. 非线性和时空不均匀性问题的处理5. 模型的外推和推广的合理性评价总结：传染病的数学模型在理解传染病传播规律、预测疫情发展趋势、评估防控措施等方面发挥着重要作用。
通过建立合理的数学模型并进行参数估计，我们能够更好地了解传染病的特点和传播规律，并以此为基础制定出合理的公共卫生决策。
然而，数学模型也存在一定的局限性，需要充分考虑数据不确定性、模型的假设简化以及非线性和时空不均匀性等问题。
因此，在使用传染病的数学模型时，我们需要谨慎并结合其他数据和方法进行综合分析。
ARIMA模型预测上海市手足口病发病趋势
ARIMA模型预测上海市手足口病发病趋势采用ARIMA模型建立上海市手足口病发病预测模型。
方法应用SPSS18.0软件对上海市2005-01/2010-06手足口病月发病率进行ARIMA模型建模拟合，并与实际发病率进行比较。
结果ARIMA(1,0,0)(0,1,0)12模型能很好地拟合既往时间段的发病序列，对2010-01/06的预测值符合上海市该病的发病率变动趋势。
2011和2012年上海市手预测足口病的年发病率分别为235.32/10万和294.59/10万。
结论ARIMA模型能够较好模拟上海市手足口病在时间序列上的变动趋势，并对未来2年该病发病情况进行预测。
手足口病（hand-foot-mouth disease，HFMD）是以婴幼儿发病为主、表现为发热和手、足、口腔等部位出现皮疹或疱疹的常见病及多发病，严重时可引起死亡，已成为危害儿童健康的重点传染病之一。
20世纪90年代后期，该病在亚太地区许多国家发生暴发，流行状况呈上升趋势[1-3]。
2005年，上海市开始对该疾病进行监测和报告，研究采用时间序列分析法中的求和自回归滑动平均模型（auto regressive integrated moving average，ARIMA）上海市的手足口病进行预测，为上海市的手足口病的防制工作提供科学依据。
1 材料与方法1.1 资料来源数据为2005-01/2010-06上海市手足口病报告病例数，数据来自国家传染病疾病报告管理系统（2008-05手足口病被纳入国家法定传染病管理）。
2005-2010年各年的上海市常住人口数来源于上海市统计局。
1.2 方法利用SPSS18.0统计软件中ARIMA模型分析方法，通过数据处理及模型识别、模型参数估计、模型检验和产生预测4个步骤，对上海市6年的手足口病月发病率时间序列进行分析。
首先利用2005-01/2009-12的发病率数据进行建模，用2010-01/06的数据验证模型预测的外推效果，最后再用模型对2011年和2012年的发病率进行预测。
数学建模——传染病模型_2022年学习资料
数学模型-模型2-di-dt-=2i1-iLogistic模型-i0=。-it=-1/2-io-tm-t= ,m,dildt最大-人n--tm~传染病高潮到来时刻-t>00→i>1?-2日接触率↓→tm↑-病人可以 愈！-0①
数学模型-模型3-传染病无免疫性一病人治愈成-为健康人，健康人可再次被感染-SIS模型-增加假设-3病人每 治愈的比例为4-4~日治愈率-建模W[it+△t-it]=Wstit△t-uWit△t-di-=2i1-i-入~日接触率-dt-i0=i。-1/μ ~感染期-6-、一个感染期内每个病人的-有效接触人数，称为接触数
数学模型-模型4-传染病有免疫性—病人治愈-SIR模型-后即移出感染系统，称移出者-假设-1总人数N不变， 人、健康人和移-出者的比例分别为it,t,rt-2病人的日接触率2，日治愈率山-接触数σ =入/4-建模-s +it+rt=1-需建立it,St,rt的两个方程-00①
数学模型-模型4-SIR模型-W[it+△t-it]=2Wstit△t-uWit△t-W[st+△t-st =-2Nstit△t-di-E见si-i-=-si-dr-人Z-i0=io,s0=So,i0=0-00①
数学模型-传染病模型-问题-·描述传染病的传播过程-·分析受感染人数的变化规律-·预报传染病高潮到来的时刻 ·预防传染病蔓延的手段-·按照传播过程的一般规律，-用机理分析方法建立模型-00①
数学模型-模型1-已感染人数（病人）t-假设-每个病人每天有效接触-足以使人致病人数为入-建模-it+△t it=入it△t-di-:i-dt-it=ie"-i0-io-0t→00→i→00？-若有效接触的是病人， 必须区分已感染者（病-则不能使病人数增加-人和未感染者（健康人）
数学建模——传染病模型
数学建模——传染病模型数学建模——传染病模型关键词：数学建模，传染病模型，预测，疫情，发展一、引言传染病模型是数学建模中的一个重要领域，旨在通过数学方法描述和预测传染病的发展趋势。
通过建立传染病模型，我们可以了解疾病传播的机制，评估各种干预措施的效果，并为制定有效的防控策略提供决策支持。
二、传染病模型概述传染病模型是基于生物学、流行病学和数学理论建立的，主要考虑个体之间的接触方式和疾病传播的动态过程。
基本的传染病模型通常假设人群由易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）三类组成。
通过分析这三类人群的数量变化，可以揭示疾病传播的规律。
常见的传染病模型包括 SIR 模型、SEIR 模型等。
SIR 模型假设人群分为易感者（S）、感染者（I）和康复者（R），其中感染者与易感者接触后将传染疾病，感染后将进入康复阶段。
SEIR 模型则在 SIR 模型的基础上增加了潜伏期（E），即感染者并非立即变为易感者，而是进入潜伏期，一段时间后才具有传染性。
三、建模方法与步骤1、建立数学模型：根据传染病的基本假设，列出描述疾病传播的微分方程，确定变量及其含义。
2、参数估计：根据历史数据或实验结果，估计模型中的参数值。
这些参数包括感染率、恢复率、潜伏期等。
3、模型求解：通过求解微分方程，得到易感者、感染者和康复者的数量变化情况。
4、模型检验：将模型的预测结果与实际数据进行比较，检验模型的准确性和可靠性。
四、案例分析以某个地区的流感疫情为例，通过建立 SIR 模型预测疫情的发展趋势。
首先，根据历史数据估计模型的参数值，包括感染率和恢复率等。
然后，通过求解微分方程得到易感者、感染者和康复者的数量变化情况。
根据预测结果，可以评估各种干预措施的效果，如隔离、疫苗接种等。
通过比较预测结果与实际数据的差异，可以不断修正和完善模型，提高预测精度。
五、结论传染病模型是数学建模中的一个重要领域，通过建立数学模型描述和预测传染病的发展趋势。
数学建模1
手足口病的传播模拟队员：周瑜牛发周宋杰祥手足口病的传播模拟摘要：手足口病（Hand foot and mouth disease HFMD ）是一种儿童传染病，近年来，手足口病已在世界许多国家流行。
与一般传染性疾病不同的是，手足口病仅仅只在儿童之间传播，而儿童的生活轨迹和普通人有明显的差异。
所以对待手足口病的传播模拟，不能直接使用SIR 模型。
通过调查资料得到手足口病的传染特征，手足口病多发生于5岁以下儿童，患病治愈后具有一定的免疫力。
我们假设手足口病只在5岁以下儿童直接传播，根据儿童的活动区域（小区、公园、幼儿园），将1到5岁的儿童分为三类来考虑，即1岁的儿童为一类，其活动区域为小区；2-3岁的儿童为一类，其活动区域有小区、公园；4-5岁的儿童为一类，其活动区域有小区、公园、幼儿园。
为了简化问题，我们考虑一个居住N 名1-5岁儿童的区域，每个年龄的人数均为N 51名，假设每个病人每天在每个公共场所有效接触为λ人。
然后用三个节点来表示这三类儿童，根据他们的活动区域建立儿童之间的接触网络。
用每一个儿童一天的无重复有效接触人数来表示这三类节点的平均度数。
通过分析计算我们得到：1岁儿童节点的平均度数为：λ；2—3岁儿童节点的平均度数为：λλNN -2；4—5岁儿童节点的平均度数为：λλλ222451312N N N +-。
利用问题一的结果，我们结合SIR 模型，将1—5岁的儿童分为健康儿童（S ）、患者（I ）、移出者（R ）。
这样结合按照年龄的划分，我们就将1—5岁的儿童分为9类。
根据它们之间的关系，我们建立模型一。
经过分析，我们得出了，无论患病者的初值如何即开始患病的人数是多少，最终患者人数都会变为0结论。
潜伏期是指从病原体侵入人体起,至开始出现临床症状为止的时期，在这段时期，疾病仍然具有传染性。
根据这一特性，我们将1—5岁儿童分为健康儿童（S ）和患者（I ）两类。
建立手足口病在潜伏期的传播模型。
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少有些 差别 ， 根据病 原体 的种 类 大致是 一定 的 ． 足 口病 的潜伏 期约 为 ２～７天 ． 一类 型传 染病 还 有 但 手 这
一
个特点 ： 成人等群体也感染病毒 ， 但抵抗力较强 ， 明显症状 ， 无 成为隐性感染者 ， 是传染病传播 的重要
伏期 的疾病 ， 现实 中许多传染病感染后都存在一个潜伏期 （ 即传染后在 尚未发病之前具有一个潜伏阶 段 ）且 在潜伏期 内就 已经具 有 了对 外 的传染 性 ． 以 ， ， 所 在建模 研 究 中考 虑 具有潜 伏期 的传 染病 模 型具有 更实际的意义 ． 关于传染病传播 的数学模型研究是从 Ｅ ’ｏ（８９ 开始的 ， ｎ ｋ １８ ） 作为奠基性的工作是 １２ ９７ 年 Ｋ ｒａ 和 Ｍ ｋｎｒｋ ｅ ｃ ｍ ｋ ｃｅｄ ｃ 的工作． ｉ 他们利用动力学的方法建立 了 Ｓ Ｉ Ｒ传染病模型， 并对其传播规律和流 行趋 势进 行 了研 究 ．
第 ７卷第 ４期
２０ ０ ８年 １ 月 １
淮 阴师范学 院学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ ＡＹ ＮＴ Ａ Ｈ Ｒ Ｏ Ｌ Ｇ （ Ａ Ｕ Ａ ＣＥ Ｃ ＤＴ Ｏ ） Ｏ Ｒ Ａ ＦＨＵ ＩＩ Ｅ Ｃ Ｅ ＳＣ Ｌ Ｅ Ｅ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＳ ＩＮ Ｅ Ｅ ＩＩ Ｎ
最近 在我 国安 徽阜 阳等 地 区 出现 的手 足 口病 （ ａｄ ｆ ｔ ｎ ｏｔ ｄｓａｅ Ｆ Ｈ ｎ ，ｏ ｄｍ ｕ ｉ ｓ，Ｈ ＭＤ）是 由肠道 病 毒 ｏａ ｈ ｅ ， 引起 的传染 病 ， 过人 群 间的密 切接 触传 染 ，多发 生 于 婴 幼儿 ， 通 可引起 手 、 、 足 口腔 等部 位 的疱 疹 ， 别 个
２８ ６
淮阴师范学 院学报 （ 自然科学 版）
第７ 卷
乏交叉保护力， 因此 ， 人群可反复感染发病 ， 成人大多已通过 隐性感染获得相应抗体 ， 因此 ， 手足 口病的 患者主要为学龄前儿童 ， 尤以 ≤ ３ 岁年龄组发病率最高 ． 我们将潜伏类分为两类 ， ： 。 即 Ｅ 为潜伏类 中的
Ｖ０ ． Ｎｏ． １７ ４ Ｎｏ ｖ．２ ０ ０８
手足 口病 型传染病 的数学模型
黄 娜 ，陈学华
２ ３０ ） ２ ３０ （ 淮阴师范学院 数学系 ，江苏 淮安
摘
要 ： 传染 病流 行 区 内的人群分 成 ５类 ， 据人群 之 间的变化 机制 ， 用 动力 学 方 法建 立 将 根 应
中图 分类号 ：Ｏ ７ ． １５ １ 文 献标 识码 ： Ａ 文 章编 号 ：６ １６ ７ （０ ８ ０ ２ ７０ １７ —８６ ２ ０ ）４０ ６ ．３
０ 引言
传染病是 由原微生物（ 病毒 、 立克次体 、 细菌 、 螺旋体等 ） 和寄生虫 （ 原虫或蠕虫） 感染人体后 产生
的有传染 性 的疾病 … ． 虽然科 技 在不 断发展 ， 疾病 总 是威 胁 着 人们 的生 命 ， 其是 高 传 染性 且 具 有潜 但 尤
到感染者（ 病毒携带而未发病者 ） ．
Ｑ类 ：病愈类 ， 病治 愈但 没有 免疫力 ， 感病 者接 触后仍 容 易受 到感染 ． 指 与
人群对引起手足 口病的肠道病毒普遍易感 ， 感染后可获得免疫力 ． 由于不同病原型别感染后抗体缺
收 稿 日期 ： ０ ８０－８ ２０ ． ０ ９
作者简介 ： 黄娜 （ ８ ．， ， １ ６ ）女 江苏泰兴人 ， ９ 专业方 向为数学教育
了含 有 潜伏期 且在 潜伏 期 、 病 期和病 愈 期 内均具 有传 染 性 的手足 口病 型传染 病 的数 学模 型 ． 发 并在 建和 稳定 性 ， 同时得 出 了阈值定 理 ． 关键 词 ： 染病 ； 传 潜伏 期 ；手足 口病 ；平衡 点 ；稳定 性
Ｓ ： 类 感染 类 ， 未得 病者 ， 与感病 者接 触后 容 易受到感 染 （ 常而 可 以被 感染 ） 指 但 正 ．
Ｉ ： 类 染病 类 ， 指染 上传染 病 的人 ． 文 中特指 染病 的小 孩 ． 本 Ｒ类 ： 出类 ， 因患病 而被 隔离 ， 因病 愈 而 具有 免 疫 力 的人 ， 们 即非感 病 者 ， 移 指 或 他 也非 易 感 者 ， 实
非学龄 前儿 童人员 ， 为潜伏类 中的学龄前 儿童 ， 中 Ｅ ＝ Ｅ， Ｅ 其 ＋Ｅ ．
假 设在 时间 ｔ 各类 人群 的人 口密度是 Ｓ ｔ 、 （ ） Ｅ （ ） ， ｔ 、 ｔ 和 Ｑ（ ） 并进一 步约定 ： （ ） 。 ｔ 、 ｔ 、 （ ） Ｒ（ ） ｔ， 卢为
＝ ＝Ｏ ｏ 为潜 ＝ 接触数 ； Ｐ 、 Ｐ 、 Ｐ 分别 为潜 伏期类 （）Ｅ （） ｔ 、 ｔ 和染 病类 ，ｔ 的传 染率 ， Ｐ Ｐ＝＋Ｐ ； 。ｃ （） 令 ＝ 。 Ｃ ，
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伏 类 Ｅ 、 为染病 类 的 比例 ；，为恢 复率 ， Ｅ 成 ） ， 即染病 类 为病愈 类 的比例 ；，也 为恢 复 率 ， ） 即染 病类 为 移
际上他们已经退 出了传染病系统 ． 些文献 对 具有潜 伏期 的传 染病 增加 了潜 伏类 臼 ． ］本文 将手 足 口病流 行范 围 内的人群 分成 五类 ：
一
Ｅ类 ： 潜伏 类 ， 于潜伏 期 阶段 的成员 的全 体 ， 未被 迁 出 、 未 被 收治 、 与感 病 者接 触后 容 易 受 处 指 也 但
途径 ． 本文针对手足 口 型传染病 的传播特点建立具有潜伏期且在潜伏期 和染病期 内具有传染性的数 病 学 模型 ． 了讨 论 方便 ， 为 我们 不考 虑人 群 的迁移及 出生与死 亡 的情况 ．
１ 模 型 的 建 立
目前 常用 的传 染病模 型 ， 通常 将传 染病 流行 范 围 内的人 群 分为 以下 三类 ： ２ ］