函数的表示法 第二课时

1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间； 分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、 值域的并集． 2．判断一个对应是不是映射，先看第一集合A： 看集合A中的每一个元素是否都有对应元素，若有， 再看对应元素是否唯一；至于集合B中的元素不作任 何要求．
• 作业：P25
3
f
3 32 13 － ＝1＋－ ＝ .所以 4 2 2
f
1 13 f ＝ . 4 2
(2)若 x≥0，由 x＋1＝2，得 x＝1； 1 1 1 若 x<0，由 ＝2，得 x＝± ，由于 >0，舍 x＝ |x| 2 2 1 1 ，所以 x＝－ . 2 2 1 故 x＝1 或－ . 2
误区解密
因忽视分段函数自变量的范围而出错
x2－1 f(x)＝ 2x＋1
【例 4】 已知函数 若 f(x)＝3，求 x 的值．
x≥0 ， x<0
错解：由x2－1＝3得x＝±2； 由2x＋1＝3，得x＝1，故x的值为2，－2或1. 错因分析：本题是一个分段函数问题，在解决 此类问题时，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义 域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函 数，而是一个函数，求值时不能忽视x的取值范围．
－x－x 当－2<x<0 时，f(x)＝1＋ ＝1－x， 2
1 ∴f(x)＝ 1－x
0≤x≤2 . －2<x<0
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
点评：1.对含有绝对值的函数，要作出其图象， 首先应根据绝对值的意义脱去绝对值符号，将函数 转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 2．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式 不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点 的实虚之分．
要点阐释
1．分段函数 (1)有些函数在它的定义域中，对于自变量x的 不同取值区间，对应关系也不同，这样的函数通常 称为分段函数，分段函数是一个函数，而不是几个 函数，其解析式是由几个不同的式子构成的，它们 合为一个整体表示一个函数． (2)画分段函数的图象时，一定要考虑区间端点 是否包含在内，若端点包含在内，则用实点“·”表示， 若端点不包含在内，则用虚点 “。” 表示．
②A中的不同元素允许对应B中的相同元素，即 映射允许“多对一”“一对一”，但不允许“一对多”． ③B中的元素允许A中无元素与之对应．
典例剖析
题型一 分段函数的图象
|x|－x 【例 1】 已知函数 f(x)＝1＋ (－2<x≤2)． 2
(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域． x－x 解：(1)当 0≤x≤2 时，f(x)＝1＋ ＝1； 2
答案：A
3．函数
2x， y＝ －4，
x>0 的定义域为________． x<0
2x， y＝ －4，
解析： 因为在解析式
x>0 中自 x<0
变量 x 的取值范围是 x<0 或 x>0， 所以函数的定义 域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
答案：(－∞，0)∪(0，＋∞)
4．已知A＝R，B＝[1，＋∞)，对应关系f： x→x2＋1，则A中元素1对应于B中的元素________， A中元素－1对应于B中的元素________，A中的元素 ________对应于B中元素1. 解析：x＝1时，x2＋1＝12＋1＝2；x＝－1时， x2＋1＝(－1)2＋1＝2；x2＋1＝1时，解得x＝0. 答案：2 2 0
【例 2】 (1)已知函数 则 f(f(1))＝________； (2)函数 ________.
－1≤x≤1 ， 1<x<5
x＋2，x≤－1 f(x)＝ 2 x ，－1<x<2
中，若 f(x)＝3，则 x＝
解析：(1)因为 1∈[－1,1]，所以 f(1)＝3×1＝3. 又 3∈(1,5)，所以 f(3)＝32－4×3＋6＝3.即 f(f(1))＝3. (2)若 x≤－1，由 x＋2＝3，得 x＝1>－1，舍去； 若－1<x<2，由 x2＝3，得 x＝± 3，由于－ 3<－ 1，舍去 x＝－ 3，故 x＝ 3.
正解：当x≥0时，由x2－1＝3，得x＝2 或x＝－2(舍去)；当x<0时，由2x＋1＝3，得x ＝1 (舍去)，故x＝2. 纠错心得：对于分段函数分为几部分应 看成一个整体才有意义，它的定义域应是各 部分x范围的并集，求某个自变量的函数值， 容易不看自变量的范围直接代入解析式而求 错解．
课堂总结
1 (1)A＝R， B＝{0,1}， 对应关系 f： x→y＝ 0
x≥0 ； x<0
1 (2)A＝Z，B＝Q，对应关系 f：x→y＝x；
(3)设A＝{矩形}，B＝{实数}，对应关系f：矩形 和它的面积对应． 解：(1)对于集合A中任意一个非负数在集合B中 都有唯一元素1与之对应，对于A中任意一个负数在 集合B中都有唯一元素0与之对应，所以这个对应是 映射． (2)集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对 应，故不是映射． (3)对于每一个矩形，它的面积是唯一确定的， 所以f是从集合A到集合B的映射．
预习测评
1．已知集合A＝{a，b}；B＝{0,1}，则下列对 应不是从A到B的映射的是 ( )
解析：A、B、D均满足映射定义，C不满 足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之 对应，且集合A中元素b在集合B中无唯一元素 与之对应． 答案：C
x－1 2． 已知 f(x)＝0 x＋1 值是
2．映射的概念 设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定 的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在 都有唯一 集合B中_________确定的元素y与之对应，那么就称 一个映射 对应f：A→B为从集合A到集合B的_________ ．
自主探究
函数与映射的主要联系和区别是什么？ 答：函数是一个特殊的映射，函数是非空数集 A到非空数集B的映射；而对于映射而言，A和B不一 定是数集．
1 0<x<1 x 1．作出函数 y＝ 的图象，并 x x≥1 求其值域． 1 解： 0<x<1 时， x的图象是双曲线的一部分． 当 y＝ 当x≥1时，图象为直线y＝x的 一部分． 如图所示，由此可知，值域 y∈[1，＋∞)．
题型二
分段函数求值
3x f(x)＝ 2 x －4x＋6
13 答案：(1) 4
1 (2)1 或－ 2
题型三 映射概念及应用 【例3】 判断下列对应是不是从集合A到集合B的 映射： (1)A＝N*，B＝N*，对应关系f：x→|x－3|； (2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应 关系f“作圆的内接矩形”； (3)A＝{高一· 一班的男生}，B＝{男生的身高}， 对应关系f：每个男生对应自己的身高；
(4)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，对应关系 f： 1 x→y＝ x. 2
解：(1)由于A中元素3在对应关系f作用下其与3的差 的绝对值为0，而0∉B，故不是映射． (2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何 一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映 射． (3)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都 有唯一一个元素与之对应，符合映射定义，是映射． 1 (4)是映射，因为 A 中每一个元素在 f：x→y＝ x 作 2
(3)写分段函数定义域时，区间端点应不重不 漏．
(4)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的 取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系． (5)求分段函数的定义域则是各段定义域的并集； 求分段函数的值域也是分别求出各段上的值域后取 并集；求分段函数最大(小)值则是分别在每段上求出 最大(小)值，然后取各段中的最大(小)值．
用下对应的元素构成的集合 C＝{y|0≤y≤1}⊆B， 符合映 射定义．
点评：给定两集合A，B及对应关系f，判断 是否是从集合A到集合B的映射，主要利用映射 的定义，用通俗的语言讲：A→B的对应有“多对 一”、“一对一”、“一对多”，前两种对应是A到B 的映射，而最后一种不是A到B的映射．
3．判断下列对应关系哪些是从集合A到集合B的映 射，哪些不是，为什么？
1.2.2
函数的表示法（二）
自学导引
1．分段函数 (1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量 x的不同取值范围，有着不同的_________的函数． 对应关系 (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别 并集 是各段函数的定义域、值域的_____；各段函数的定 义域的交集是空集． 分别作出每一段的 (3)作分段函数图象时，应_________________ 图象 ． _____
x>0 x＝0， x<0
则f
1 f 的 2
( 1 A. 2 3 D．－ 2
)
1 3 B．－ C. 2 2 1 1 1 ＝ －1＝－ ， 解析：∵f 2 2 2
∴f
1 1 1 1 f ＝f － ＝－ ＋1＝ . 2 2 2 2
答案：(1)3 (2) 3
点评：(1)给定自变量求函数值时，应根据自 变量所在的范围，利用相应的解析式直接求值； (2)若给函数值求自变量，应根据每一段的解 析式分别求解，但应注意要检验求得的值是否在 相应的自变量取值范围内．
2．(1)已知函数 ________；
x－2，|x|≤1 f(x)＝ 1＋x2，|x|>1
2．映射 (1)映射f：A→B是由非空集合A、B以及A到B的 对应关系f所确定的． (2)映射定义中的两个集合A、B是非空的，可以 是数集，也可以是点集或其他集合，A、B是有先后 次序的，A到B的映射与B到A的映射一般是截然不同 的，即f具有方向性． (3)映射f：A→B要求：对于集合A中的任何一个 元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样有： ①A中每一个元素都可以在B中找到一个且只有 一个元素和它对应．