第二节 复平面拓扑
复数与复平面ppt课件
来表 . 示 y zxiy
y
P(x,y)
z r
o
x
x
复数的模(或绝对值): 向量的长 z的 度模 称或 为,绝对值
记z为 rx2y2.
.
25
模的性质
x z, y z, zxy, zzz2z2. 三角不等式 (1 )z1 z2z1 z2;(2 )z1 z2z1z2. 复数的辐角:
在z0的情,况 以下 正实轴, 以 为表 始示 边
.
5
复变函数起源简介
在复数域内考虑问题往往比较方便, 例如, 一元 n 次方程a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_{n-1}x +a_n=0(a_0≠0), 其中a_0、a_1、⋯a_n 都是 复数, 在复数域内恒有解。这就是著名的代数 学基本定理, 它用复变函数来解决是非常简洁 的。又如, 在实数域内负数的对数无意义, 而在 复数域内我们就可以定义负数的对数。
z的向O量 P 为终边的角称 的为 弧 z的度 辐 ,数 角 记作Azrg. 当 z0时 , z0,而辐角 . 不
任何一 z0有 个无 复穷 数 . 多个辐
如果 1是其中一个 , 那 辐么 z角 的全部辐角
Ar zg12kπ(k为任意 ). 整数
.
26
辐角的主值
在 z ( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0
.
11
复变函数已成为我校的精品课程，其网址是：
:8070/fbhs/ 或 http://202.116.0.180/xjjpkc/2010/fbhs/
.
12
第一章 复数与复平面 第二章 复变函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数
第五章 留数 第六章 保形映射
平面结构的网络拓扑
平面结构的网络拓扑概述网络管理系统的网络拓扑图是网络管理系统中最为基础的部分，网络管理系统中大部分的功能都将通过拓扑图来进行体现，这是网络拓扑图在网管系统的重要地位表现。
网络拓扑图对网管系统的另外一个重要性在于它的适应性。
现在网络的建设并不都是很规范，同时又不同的厂商的设备、同一个厂商的设备有不同的型号、同一个型号的设备随着设备的升级，其操作系统的版本不一样，所能提供的信息也不一样，对于SNMP的支持程度也不一样。
这就为网络管理工作增加了很大难度，但借助网络拓扑图，网管人员就可直观的了解所有网络设备的状态。
将网管人员从机械、重复的手动监管中解放出来，并能够迅速地定位故障，避免了企业的重大损失。
网络拓扑展现方式网络拓扑图从表现形式上看，一种是类似树形的结构，一种是平面的结构。
从实践经验来看，平面拓扑是一个比较好的表现形式，它不仅仅可以涵盖树形结构，同时可以表现网状结构，更适合表现复杂的网络环境。
n树形结构网络拓扑图n平面结构网络拓扑图如下图，在图二中双击信息中心节点将会打开图三所示的信息中心子拓扑图。
通过此功能，可在平面结构网络拓扑图中展示网络的树形结构。
摩卡业务服务管理(Mocha BSM)平面网络拓扑的功能与亮点n支持主流协议、主流厂商的网络设备；n展现实时动态的、显示全局的网络拓扑图；n可以根据用户的网络，定制逻辑网络拓扑图；n支持网络拓扑导入、导出功能；n按节点类型分类查看各层网络拓扑图；n集成MIB Browser、Telnet等网络管理工具；n定制丰富的搜索条件，能够快速定位网络中的设备；n自动分析故障根本原因，故障告警升级处理；n实现网络服务器管理；n简单易用的图形界面，免客户端软件安装。
图一树形网络拓扑图图二摩卡业务服务管理(Mocha BSM)平面网络拓扑图图三摩卡业务服务管理(Mocha BSM)平面网络拓扑图Mocha BSM 4+1 介绍n三位一体的产品定位三位一体的解决方案摩卡软件是亚太区率先推出三位一体产品定位的软件提供商之一，三个定位包括了：n网络管理( Network Management System )—传统意义上的网络、系统、应用监控，满足了成长中企业的需要；n IT运维管理( IT Operations Management) —把监控上升至管理的层面，帮助企业规划、运维和改进IT系统。
拓扑学课件2
B T .
(iii)设T1 T,对任意 x AT1 A,则存在 U T，使得 且U x U , 由于 U T1 T，
AT1
A, 由条件(3)有
AT1 A U x .因此， A T. 因此我们证明了T 是
AT1
X的一个拓扑.
对每一点x X , 以 U x 记点x在拓扑空间(X, T )
A1 不满足定义2.1.1条件(3), A 2不满足定义2.1.1条件(2) 例2.1.4 有限补拓扑 设X是一个集合，首先注意，当我们考虑的问题 中的全集自明时，在求补集运算时我们并不每次 提起，因此在本例中，A的补集A即为X－A.令 Tf {U P( X ) | U c是X的一个有限子集} {}
上最粗的拓扑，离散拓扑 T =P (X)是X上最细的拓扑. 当然，同集合上不可比较的拓扑是存在的，例如 X {a, b, c}, T1 {{a},{a, b}, X , } ,T2 {{b}, {b, c}, X , } ，那么
T1 与 T2 就是X的两个不可比较的拓扑.
习 题 §2.1
T8 {{a},{b},{a, b}, X , }
T9 P ( X )
当然，通过对以上拓扑中a,b,c的不 同排列，我们在X上还可建立其它拓 扑结构.但是,并不是X的每个子集族 都是X的拓扑.
例如，下面的两个X的子集族就不是X的拓扑.
A1={{a},{b},X, }
A2={{a,b},{b,c},X, }
*
中的邻域系.下面证明U x U x .
*
(i)设 U U x , 由条件(4)可知存在 V U x使得
V U , 且对任意 y V 有 V U y , 因此 V T ,从
拓扑
莫比乌斯带是一种拓扑图形，什么是拓扑呢？拓扑所研究的是几何图形的一些性质，它们在图形被弯曲、拉 大、缩小或任意的变形下保持不变，只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点，又不产生新点。换句 话说，这种变换的条件是：在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻 近的点。这样的变换叫做拓扑变换。拓扑有一个形象说法——橡皮几何学。因为如果图形都是用橡皮做成的，就 能把许多图形进行拓扑变换。例如一个橡皮圈能变形成一个圆圈或一个方圈。但是一个橡皮圈不能由拓扑变换成 为一个阿拉伯数字8。因为不把圈上的两个点重合在一起，圈就不会变成8，“莫比乌斯带”正好满足了上述要求。 拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不再介绍。
应该指出，环面不具有这个性质。设想，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形， 对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。
直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合 性质也是拓扑性质。
我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯（1790～1868） 在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。
公元1858年，莫比乌斯发现：把一个扭转180°后再两头粘接起来的纸条具有魔术般的性质。因为，普通纸 带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面 （即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘！我们把这种由莫比乌斯发现的神奇的单面纸 带，称为“莫比乌斯带”。
复变函数第一张第二节(钟玉泉第三版)
,
特 （1）光滑曲线上的各点都有切线 点 （2）光滑曲线可以求长 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
y y
o
x
o
x
12
课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线?
z (a ) z (a ) z (b ) z (b ) z (a ) z (b ) z (a ) z (b )
记作:N(z0)
N(z0)={z | |z-z0|<}
0 z z0 所 z 0 的去心邻域 .
称由不等式 确定的点的集合为
记作：N0(z0)={z | 0<|z-z0|<}
2
定义1.2 聚点、外点、孤立点
设 E 为一平面点集 ( 不必属于 的无穷多点 E ), 如果对 , z 0 为 复平面中任意一点 z 0 的任意一个邻域 , 都有 E
(1) D是一个开集；
(2) D是连通的,就是说D中任何 两点都可以用完全属于D的一 条折线连结起来.
z1
D z2
D加上D的边界称为闭域。记为D＝D+D
6
说明
不包含边界！
C2
(1) 区域都是开的.
(2) 区域的边界可能是 由几条曲线和一些孤立 的点所组成的.
边界
z z
C3
C1
以上基 本概念 的图示
z z ( t ) x ( t ) iy ( t ). ( t )
z
C的复参数方程
起点z()
o
x
C的正向：起点终点
9
对于满足
t1 , t 2 的 t1 与 t 2 , 当
C
t 1 t 2 而有 z ( t 1 ) z ( t 2 ) 时 , 点 z ( t 1 ) 称为曲线 的重点 .
基础拓扑学知识点（简介拓扑知识）
基础拓扑学知识点（简介拓扑知识）日期：2022-07-08 20:181.简介拓扑知识拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支。
起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质（所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合）；现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。
由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。
在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，就拓扑已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。
现在，前者演化为一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。
后来，又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。
拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。
我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名都不大好理解，1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。
拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。
通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。
拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。
2.简单介绍一下拓扑学拓扑学是几何学的一个分支，主要研究图形在连续变换下不变的性质。
可参看百科的“拓扑”或“拓扑学”条目。
我下面引述的例子不多作解释，可以直接查到。
例如，Euler的七桥问题就是一个拓扑学的问题，因为把七桥连成路径，不论桥和路如何连续的变化，都不影响问题的结果，也就是说，这个问题研究的是一个连续变换下不变的性质。
又如，四色定理（地图可用四色着色）是一个拓扑学的问题，因为地图中的区域大小和具体形状在问题中并不重要，都可以连续的变化，不改变地图可以用四色着色这一性质。
所以，在拓扑学的观点下，圆和三角形的性质没有什么区别，轮胎和戒指的性质没有什么区别，因为它们都可以通过连续变换互相得到。
拓扑
拓扑学的早期历史1 拓扑学早期简史19世纪的若干发展结晶成几何的一个新分支，过去一个长时期中叫做位置分析（analysis situs），现在叫做拓扑（topology）．虽然“拓扑”两个字对一般人来讲比较陌生，但是在一般媒体，特别是学术期刊上还是常见它的身影，甚至在与数学关系不那么密切的生物学中，也能见到“拓扑”二字．20世纪最伟大的科学成就之一就是发现了DNA的双螺旋结构，而DNA中的一条链相对于另一条链的环绕数，就是一个重要的拓扑不变量．人体最重要的结构材料是蛋白质，而蛋白质是由氨基酸排列机来形成的，它也有类似的问题．人体中最重要的一类功能蛋白质就是酶，而生物化学家在20多年前已经鉴定出几种“拓扑异构酶”.至于物理学中，拓扑更是无处不在．量子场论中有拓扑场论；规范场论和弦论更是以拓扑学作为它的基础．当然，我们谈这些的目的只是为了说明拓扑学对大多数人来讲，虽然抽象难懂，虽然陌生，但是它非常非常重要．数学中许多科学也都抽象、难懂，可是最杰出的数学家中有相当的比例是拓扑学家：首届阿贝尔奖获得者塞尔，第二届阿贝尔奖获得者阿蒂亚都以他们在拓扑学方面的工作而著称，中国国家科学技术奖的首位获得者吴文俊前期的工作也是与拓扑学有关．这些事实说明一个道理：拓扑学是20世纪数学的主流．19世纪以前的几何学，用代数方法和分析方法来研究，对图形的性质研究得十分精细．但是在实际问题当中，许多问题无需那么精细或者根本达不到那么精细．例如，地球的形状说是球形，实际上有山有谷，坑坑洼洼，不是一个光滑的圆球．在电流产生的磁场中，沿着一条闭曲线的磁场强度的积分总等于零，只要曲线中没有电流存在．这个积分与闭曲线究竟是圆，还是椭圆，还是弯弯曲曲的闭曲线都没有关系，也就是说只与曲线的拓扑性质有关．所谓拓扑性质，就是几何图形在弯曲、变形、拉大、缩小下仍然保留的性质，只是在这种变形过程中原来不在一起的点不能粘在一起，原来在一起的点也不能断开，也就是图形变换前每点附近的点在变换后仍然在该点的附近．这种变换和它的逆变换都是连续的一一对应，称为同胚．在拓扑学中，一个图形和与它同胚的图形称为拓扑等价．拓扑学就是研究图形的拓扑性质，也就是图形在经过连续变换下，保持不变的性质，而不研究其他的几何性质．拓扑有一个通行的形象的外号，即橡皮几何学（rubber-sheet geometry），因为如果图形都是用橡皮做成的，就能把许多图形变形成同胚的图形．例如，一个橡皮圈能变形成一个圆周或一个方圈，它们同胚；但是一个橡皮圈和阿拉伯数字8这个图形不同胚，因为不把圈上的两个点熔化成一个点，圈就不会变成8．通常习惯于把图形都看作安放在一个包围它们的空间之中．从拓扑的目的来说，即使不能把包围一个图形的空间拓扑地变换成包围另一个图形的空间，这两个图形还能同胚．例如，取一长方形纸条，把它的两短边连接起来，就得到柱形式圆箍．如果采用另一个办法，先把一条短边扭转360°之后，再把它跟另一条短边连接起来，那么得到大就是一个扭转过的圆箍．这两个圆箍是同胚的．但是不能把这三位空间拓扑地变成自己，同时把第一个圆箍变成第二个圆箍．拓扑学的产生相传是哥尼斯堡的七座桥的问题引起的．哥尼斯堡是东普鲁士的首府，这座历史名城曾经产生过大哲学家康德和大数学家希尔伯特．流经哥尼斯堡的普列格尔（Pregel）河湾处，有两个岛和七座桥．（如图1）老乡们为了消遣，试图在一次连续的散步中走过所有这七座桥，但不准在任何一座上通过两次．Euler当时在圣彼得堡，听到了这个问题，在1735年找到了解答．它简化了这个问题的表示法，用点代表陆地，用线段或弧代表桥，得到图2．Euler于是把问题提成这样：能否一笔画出这个图；即用铅笔连续不断地一次画出这个图，在每一条弧都只准画一次这条件下，他证明了，对于上图，一笔画是不可能的；并且对于任何一组给定的点和弧，给出了能否一笔画出的判别条件．Euler对这个问题的解决演变出了多面体理论，得到了著名的欧拉公式．它也是拓扑学的第一个定理．这个定理的证明使我们看到了几何问题的一种更内涵的性质，即只要是在任何不致造成图形各部分断裂和折叠的变形下，这些性质依然被保留着．这种性质就是上面所说的拓扑性质．首先把拓扑学界定为研究这类性质的学科的是莱布尼茨．1679年他用位置几何来称呼它，但他并没有具体的结果．第一个实质性地反映拓扑性质的拓扑不变量是凸多面体的欧拉示性数，也就是任何凸多面体，顶点数－棱数＋面数＝2，这个公式被称为欧拉公式．实际上，在1752年欧拉发表这个公式的证明之前，笛卡尔在1620年也知道这个公式，莱布尼茨也有一份笛卡尔手稿的抄件，但到1860年才为数学史家知道．有些数学世家认为，阿基米德也可能知道这个公式，因为归根结底，古希腊对多面体有相当研究．不过，所有这些研究并没有涉及其拓扑不变性．因此，直到19世纪末，这个公式都在多面体的几何学框架中加以讨论．从历史观点看问题，此过程中，在认识上也曾取得许多进步：19世纪初把欧拉公式推广到非凸多面体，更重要的是，其后不久推广到有空的多面体，1863年莫比乌斯推广到任意可定向曲面，19世纪50年代起，推广到任意高维多面体多胞形．真正把拓扑意识带给数学的是黎曼．黎曼几乎可以代替庞加莱成为拓扑学的奠基人．他已经有比较明确的拓扑对象（可定向曲面）、重要的问题（分类这些曲面）以及处理问题的方法（横截方法），而且圆满的解决了这个问题，对于复分析和代数函数论（代数几何的前身）起着划时代的作用．只不过他画龙没有点睛，仅仅着眼于分析（无疑这是分析的一大成就），而没有推陈出新，扩大战果，建立一般流形的拓扑学，因此黎曼的隐藏在分析背后的拓扑学即使建成一个曲面的拓扑学也还需要许多数学家半个多世纪的补充工作．1895年，当时最伟大的数学家庞加莱发表他的主要论文《位置分析》，这篇论文连同其后发表的5篇补充共同构成组合拓扑学的主要骨架，从而宣告这门新学科的诞生．庞加莱创立的组合方法的有效性不容置疑，但是组合与拓扑之间还有一条鸿沟，组合方法的合法性有待证明．建立这个基础的是荷兰数学家捕捞威尔，在1909年到1913年短短5年间，他创立单纯逼近方法来证明拓扑不变性，其中特别证明维数的拓扑不变性，区域的拓扑不变性，并严格证明若当定理及其推广．2拓扑学与其它数学分支的关系拓扑学的最基本概念最早可以追溯到17世纪牛顿和莱布尼茨建立的微积分．所以拓扑学与数学分析有着一定的关系．抽象代数和拓扑学一起形成现代数学的基础，而泛函分析就显示出拓扑学（包括一般拓扑学）与抽象代数学交叉的产物，它的主要研究对象拓扑向量空间正是拓扑空间和向量空间相结合的产物．它的典型是例子是巴拿赫空间，即完备的赋范线形空间（向量具有长度）．因此可以说泛函分析是由拓扑学与抽象代数衍生过来的．欧拉在1735年解决的哥尼斯堡桥问题，被称为图论的开始，这类一笔画问题以及地图最小着色数（平面及球面上4种颜色足够，而在环面上至少要7种不同颜色）、图是否可嵌入在平面中的问题本质上是拓扑学的问题，但现在多归入图论范畴．可以说拓扑与图论这两门数学分支之间有交叉部分．拓扑学中的一个分支代数拓扑，是以同调理论为主线的．对于拓扑空间来说，同调是其最主要的拓扑不变量．因此，对于任意拓扑空间，如何定以及计算其同调群及上同调群是最根本的问题．由此可知，对于代数拓扑的研究还要利用到抽象代数的有关知识（如群、模、函子等部分的知识）．代数拓扑还与微分几何有着紧密的联系，陈省身在四十年代对于整体几何学的发展，便是通过建立微分几何与代数拓扑的联系而实现的．拓扑学中的陈示性类和它衍生的陈示性数、陈特征标等在整个数学中都起着重要的作用，特别是代数几何学、复解析几何学、K理论、微分几何学，乃至数论等，它几乎无处不在．除此之外，一般拓扑学是现代数学，特别是现代高维几何学、几何拓扑学以及现代分析的基础．3 拓扑学在学科外的应用拓扑学作为数学的一个分支对科学技术的许多领域都有着重大的影响，拓扑学也为它们向更深层次的发展起了很大的指导作用．由于拓扑学的发展而展开的关于流形全局性或整体性几何拓扑的研究，引进了各种示性类与示性数，它们已被应用于磁单极与基本粒子等物理学基本理论的研究中．当今化学正从定性科学向定量科学发展，拓扑学的发展及其向化学领域的渗透，为物质的结构性能关系的深入研究提供了一种有力的研究工具．其中的化学拓扑学就是用从数学学科里抽象出来的拓扑理论来研究化学里的一些基础问题，比如原子的空间排列，分子之间的结合作用力等，其要点是寻求分子结构的拓扑不变量，并用数字进行表征，得到拓扑指数，然后与化学性能相关联．如今，拓扑学对计算机网络也有很大影响．计算机网络的拓扑结构是引用拓扑学中研究与大小，形状无关的点，线关系的方法．把网络中的计算机和通信设备抽象为一个点，把传输介质抽象为一条线，由点和线组成的几何图形就是计算机网络的拓扑结构．网络的拓扑结构反映出网中个实体的结构关系，是建设计算机网络的第一步，是实现各种网络协议的基础，它对网络的性能，系统的可靠性与通信费用都有重大作用．拓扑学方法和“不动点定理”，也是现代经济学理论研究的重要工具．1983年度诺贝尔经济学奖获得者德布鲁教授论一般经济均衡的存在性，1994年度诺贝尔经济学奖获得者纳什教授论证博弈论纳什均衡的存在性，靠的都是拓扑方法和不动点定理．所以，要了解现代经济学的前沿发展，需要掌握拓扑学方法和不动点定理．此外，拓扑学本质上整体的讨论方式适应了经济学领域的要求，拓扑学的一些基本方法也在这些领域开拓了应用．拓扑学还应用到了地震灾害比较学中，去年的汶川地震与1976年的唐山地震几乎将这两个地区生命线系统完全损毁．为了评价在近场地震作用下的城镇生命线系统的“稳健性”，就可以采用地震灾害比较学中拓扑学原理,计算出两地公路网络相关评价参数来进行分析，从而建造出公路网络易损性最低的公路．总之，拓扑学已被应用到了科学以及生活的方方面面，为人类更好的生活作了很大贡献．4 我对拓扑学的认识拓扑学的研究对象是拓扑空间，其中最重要的一类对象是流形．研究拓扑学的主要目的就是研究流形的拓扑性质．两个流形的等价在拓扑的意义下是同胚．拓扑学的一个主要问题就是按照同胚对所有流形加以分类．对于代数拓扑而言，它主要研究的是复形的同调群的不变性（包括拓扑不变性、重分不变性、伦型不变性）、上同调群与下同调群的关系以及上同调环和流形的交环．为了研究同调群，代数拓扑在此之前做了很多准备并给了很多概念及定理，从而一步步向下进行，最后得出了同调群的不变性的结论．参考文献[1]莫里斯·克莱因.古今数学思想[M].上海:上海科学技术出版社,2002:260-268.[2]胡作玄.数学是什么[M].北京:北京大学出版社,2008:278-295.[3]胡作玄,邓明立.20世纪数学思想[M].济南:山东教育出版社,2001:359-378.[4]鲁又文.数学古今谈[M].天津:天津科学技术出版社,1984: 296-299.。
复变函数第一章2
简单闭曲线 C 的方向规定如下（左手法 则）：当观察者沿着 C 的某一方向前进时， C的 内部 I (C )总在观察者的左手边(即逆时针方向)， 则称此方向为 C 的正方向，此时另一个方向称 为 C 的负方向（即顺时针方向）.
图1.16（简单闭曲线的内部，外部和边界的方向的示意图）
（三）单连通区域与多连通区域 定义11 设 D 为平面上的区域，若对 D 内 任一条简单闭曲线 C ，总有 C 的内部 I (C ) 仍含 于 D ，则称 D 为单连通区域，否则称 D 为多连 通区域．
图1.17（单连通区域与多连通区域的示意图）
思考题: 请利用数学分析中的知识解释连续曲线和光滑 曲面的结论 定理1 （若当定理）任一条简单闭曲线 C 将 I (C) 、 E(C)三个点集，它们具 平面惟一地分成 C 、 有如下性质： （1）彼此不交； （2）I (C)是一个有界区域(称为 C 的内部)；
无穷远点与扩充复平面 定义1 我们约定复平面上有一个模为正无穷大，且其幅角 无意义的理想点，称为无穷远点， 其表示的理想复数称为 无穷大，均记为 ∞．复平面加上 ∞ 后称为扩充复平面(或扩 充复数集)，记为^ ∞ = ^ ∪ {∞}． 复数在球面上的 几何表示．
扩充复平面内的单连通区域的定义
在扩充复平面上，若 D为区域且满足对 D内任 一条简单闭曲线，总有其内部或者外部仍含 于 D ，则规定 D为扩充复平面上的单连通区域. 显然按此规定，任一条简单闭曲线的外部虽然 在复平面上是多连通的，但是在扩充的复平面 上是单连通的. 例7 易知，复平面 ^上简单闭曲线的内部 是单连通区域，而其外部在 ^ 中是多连通区 域，但在 ^ ∞中是仍是单连通的.
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若存在r 0，使得U (a, r ) E，那么 称为集E的内点；
如果对r 0, 集U (a, r ) E中既有属于E的点，又有
不属于E的点，则称a为E的边界点； 集E的全部边界点所组成的集，称为E的边界， 记为 E .
复变函数
集 E E 称为E 的闭包，记为 E.
若r 0, 使得U ( , r ) E {}，则称为E的孤立点。
复变函数
扩充复平面上区域的定义
1、不含无穷远点的区域的定义与上述定义相同； 2、而含无穷远点的区域是C上一个区域与无穷远点 的一个邻域的并集。 注意 加上无穷远点后，许多性质将有很多变化。
(2) 曲线
设已给
z z(t ),(a t b) (5.1)
其中Rez(t)和Imz(t)都是闭区间[a,b]上的连续函数。
(1 i) z (1 i) z 0
例2 集合 {z | 2 Re z 3} 为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为两 条直线：Re z 2
Re z 3
复变函数
例3 集合 {z | 2 arg( z i) 3} 为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线：
复变函数
简单、闭
简单、不闭
不简单、闭
不简单、不闭
复变函数 （3）若尔当定理 任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有
公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的
称为外区域。
外区域
内区域
复变函数 （4）（分段）光滑曲线
如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区间[a,b]上连续，并且有
连续的导函数，而在[a,b]上，其导函数恒不为零，则称
8
{z | |z a | r , z C}
记为： U (a, r ).
集{z|0<|z-a|<r}称为去掉圆心的圆盘
6
4
2
r
5
或去心邻域。
-10
-5
-2
复变函数
聚点、内点、边界点 设集E C, C.
如果r 0, 在点集 U ( , r ) E中有无穷多个点，
则称α为E的一个聚点或极限点；
复变函数
无穷远点的邻域 对一切r>0,在扩充复平面上，集合
{z || z | r, z C }
（即原点为中心的某圆周外部 ） 称为无穷远点的一个r邻域。
从而，我们可以定义无穷远点是某点集的聚点、 内点、边界点与孤立点及开集、闭集等概念。
复变函数 注解 1、复平面以∞为唯一的边界点； 2、扩充复平面以∞为内点，且它是唯一的无边界 的区域。集E，且是集E的聚点；
3、边界点不一定属于集E，也不一定是E的聚点； 4、孤立点是边界点但不是聚点.
复变函数 开集 集E中的点全部为内点，那么集合E 称为开集。 闭集 集E或者没有聚点，或者所有聚点都属于它； 称闭集。 注 任何集合的闭包一定是闭集.
{| z | 2}
而集合
{z | 2 | z | }
为多连通的无界区域， 其边界分别为：
{| z | 2} {}
复变函数
作业：P14 14 （3）（5）（9）
（6）扩充复平面上的单连通区域 如果区域D内任何简单闭曲线的内区域或外区域（含 无穷 远点）中每一点都属于D，则称D是单连通区域;
否则称D是多（复）连通区域。
复变函数
例1 集合
{z | (1 i) z (1 i) z 0}
x y 0
为一半平面，它是一个单连通无界区域，其边界为直线：
若r 0, 使得 E U (0, r )，那么集称为有界集；
否则称E为无界集。 复平面C上的有界闭集称为紧集。
复变函数
点集的例子 例1 圆盘U(a,r)是有界开集；闭圆盘是有界闭 集； 例2 集合{z||z-a|=r}是以为a心，r为半径的圆 周，它是圆盘U(a,r)和闭圆盘的边界。 例3 复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是 无界开集。 例4 集合E={z|0<|z-a|<r}是去掉圆心的圆盘。 圆心 a 为边界点，它是 E 边界的孤立点， 是集 合E的聚点。
arg( z i) 2 arg( z i) 3
例4 集合 {z | 2 | z i | 3} 为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆：
| z i | 2
| z i | 3
复变函数
例5 在扩充复平面上，集合
{z | 2 | z | }
为单连通的无界区域，其边界分别为：
复变函数
则集 z (t ) t a, b 称为一条连续曲线，记作z z (t ).
如果对[a,b]上任意不同两点t1及t2 ，但不同时是 [a,b]的端点， 若
z(t1 ) z(t2 )
那么（5.1 ）称为一条简单连续曲线，或若尔当
（Jordan）曲线。 即是一条除端点外不自交（无重点）的连续曲线。 若还有z(a)=z(b)，则称（5.1）为一条简单连续 闭曲线，或若尔当闭曲线。
2. 区域、曲线 (1) 区域
复平面C上的集合D，如果满足： （1）D是开集； （2）D中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成
复变函数
的折线连起来，而使这条折线上的所有点完全属于D。
则称D是一个区域。
如果区域D是有界集，则称它为有界区域； 否则为无界区域。
注：性质⑵称为连通性。
因此，区域就是连通的开集． 区域D内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域， 记作 D.
此曲线为一条光滑曲线。 有限条光滑曲线相衔接构成的一条曲线， 称为分段光滑曲线。
注解 一般把光滑曲线或分段光滑曲线简称曲线。
（5）单连通区域
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内任何简单闭曲线 所围成的内区域中每一点都属于D，则称D是单连通区域;
复变函数 否则称D是多（复）连通区域。
单连通区域
多连通区域
复变函数
第二节 复平面的拓扑
4. 初步概念
5. 区域、曲线
复变函数
1. 初步概念: 设 C, r (0, ).
a的r邻域 （点）集 邻域, 记作 U(a,r).
{z | |z a | r, z C} (4.1)
称为以a为中心，r为半径的圆盘,称为a 的一个邻域或r 以a为圆心，r为半径的闭圆盘定义为：