专题：探索如何分析相似几何证明
相似三角形证明技巧-专题
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础． 二、相似三角形 (1)三角形相似的条件： ① ；② ；③ .三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC.求证: BAAC AF AE例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？说明理由。
分析方法：1）先将积式______________2）______________（ “横定”还是“竖定”？ ）a)已知一角等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。
探索几何证明的奥秘认识证明的方法与技巧
探索几何证明的奥秘认识证明的方法与技巧几何证明是数学中一种重要的推理与论证方法，通过逻辑推理与几何性质的运用，证明几何命题的正确性。
在学习与应用几何证明的过程中，掌握一些有效的方法与技巧可以帮助我们更好地理解几何学的奥秘。
本文将探索几何证明的奥秘认识，介绍一些证明的方法与技巧。
一、直观法直观法是几何证明中最常见的方法之一。
它基于我们对几何图形的直观认识，通过观察几何图形的形状、长度、角度等特征，运用几何性质与运算关系，进行推理与证明。
例如，在证明一个三角形的等腰性质时，我们可以通过观察三角形的两边是否相等，同时利用几何公理及性质，推导出两个角度相等的结论，从而得证。
二、对偶法对偶法是一种较为抽象的证明方法，它基于几何图形中的对偶关系进行推理与证明。
对偶关系指的是，通过几何变换，将一个几何命题转化为另一个等价的几何命题，从而达到证明的目的。
例如，在证明平行四边形的性质时，我们可以将平行四边形利用对角线进行对偶，转化为证明两个三角形全等的命题。
通过对角线对某个平行四边形进行划分，再利用三角形的性质进行推导，最终得到平行四边形的性质。
三、间接法间接法是几何证明中一种常见的反证法。
它通过假设要证明的命题不成立，利用逻辑推理和几何性质的矛盾关系，推导出一个矛盾结论，从而证明原命题的正确性。
例如，在证明勾股定理时，我们可以假设存在一个三角形，它的三条边不满足勾股定理的条件。
然后，通过运用三角形的性质和勾股定理的性质，推导出一个矛盾结论，证明该三角形不存在，从而证明勾股定理的正确性。
四、数学归纳法数学归纳法是一种重要的证明方法，它适用于证明某类命题的通用性。
它的基本思想是，首先证明这类命题在某个特殊情况下成立，然后假设命题在某个特定情况下也成立，通过推理证明命题在下一个情况下也成立，如此循环，最终证明了命题的通用性。
例如，在证明等差数列的和公式时，可以通过数学归纳法来证明。
首先证明当n=1时，等差数列的和公式成立。
几何证明中的证明思路和方法
几何证明中的证明思路和方法几何证明是数学中一种重要的证明方法，它通过推理、逻辑、构造等手段来验证一定几何关系的成立。
在几何证明中，证明思路和方法起着关键的作用，它们决定了证明的有效性、准确性和简洁性。
下面是一份关于几何证明的证明思路和方法的详细介绍。
1.构造法：几何证明中常常使用构造法来推导和证明一定的几何关系。
构造法是利用几何图形的特性，通过构造新的图形来满足已知条件。
例如，构造法常用于证明等腰三角形、垂直角、平行线等性质。
构造法的关键在于正确选择构造的图形及其应用，有时还需要使用辅助线和辅助角来帮助证明。
2.反证法：反证法是一种常用的证明方法，它通过假设结论不成立，然后推导出矛盾的结论，进而证明原命题的正确性。
在几何证明中，反证法常常用于证明唯一性、存在性以及不能共线等问题。
反证法的关键是发现假设的矛盾点，通常通过运用排中律和角的性质进行推理，推导出与已知条件相矛盾的结论。
3.数学归纳法：数学归纳法是一种常用于证明一些性质在无限多个情况下均成立的方法。
在几何证明中，数学归纳法常常用于证明尺规作图的正确性、等边三角形、等角三角形等性质。
数学归纳法的关键是确定递推关系和归纳假设，通过证明基本情况和归纳步骤的正确性来证明任意情况的正确性。
4.合作法：合作法是一种证明方法，它通过将多个几何图形进行组合、分割和剖析，来验证一定的几何关系。
在几何证明中，合作法常常用于证明图形的相似性、全等性、比例关系等性质。
合作法的关键是找到合适的组合方式和性质应用，有时需要运用平行线的性质、辅助线的应用和三角形的性质。
5.合理化推理法：合理化推理法是一种通过指出问题中的明显特征，利用常识和直觉的思维方式，进行推理和证明的方法。
在几何证明中，合理化推理法常常通过利用对称性、垂直性、平行性等常识性质，进行思维和分析，从而推导出一定的几何关系。
合理化推理法的关键是准确把握问题中的主要特征和相关的性质，以及能够灵活运用常识和思维方式。
北师大版九年级数学上册说课稿：4.4探索三角形相似的条件
北师大版九年级数学上册说课稿：4.4 探索三角形相似的条件一. 教材分析《北师大版九年级数学上册》第四单元“相似三角形”的第四节“探索三角形相似的条件”是本单元的核心内容。
本节课主要让学生通过探究、归纳出三角形相似的判定方法，理解相似三角形的性质，为后续解决实际问题和进行几何证明打下基础。
教材从学生已知的图形出发，引导学生观察、思考、归纳，从而得出三角形相似的条件。
首先，通过两组三角形的图片，让学生直观地感受相似三角形的形状。
然后，引导学生通过测量三角形对应边的长度，比较对应角的大小，从而发现相似三角形的规律。
最后，通过几何图形的变换，让学生理解相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对三角形的相关概念有一定的了解。
但是，对于三角形相似的判定方法和性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会引导学生从直观的图片出发，通过实际操作、观察、思考，逐步理解和掌握相似三角形的判定方法和性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握三角形相似的判定方法，理解相似三角形的性质。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、归纳等过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形相似的判定方法，相似三角形的性质。
2.教学难点：对相似三角形性质的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等，引导学生主动参与、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何模型等辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入：通过两组相似三角形的图片，让学生直观地感受相似三角形的形状，引发学生的兴趣。
2.探究：引导学生观察、测量三角形对应边的长度，比较对应角的大小，从而发现相似三角形的规律。
3.归纳：学生进行小组讨论，归纳出三角形相似的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
几何证明技巧与证明方法分析
几何证明技巧与证明方法分析几何证明是数学中重要的一部分，它有助于我们理解几何规律和推理能力的培养。
在进行几何证明时，灵活运用一些技巧和方法可以更加高效地解决问题。
本文将对几何证明的技巧和方法进行分析，并探讨它们的应用。
一、几何证明的基本思路几何证明主要是通过推理和推断来证明一个几何命题的正确性。
在进行几何证明时，我们通常需要遵循以下的基本思路：1. 观察几何图形，找出其中的规律和特点；2. 运用已有的几何定理和性质进行推导；3. 运用合适的几何工具进行辅助绘图；4. 不断提取和运用已有的结论，逐步推进证明的过程。
二、几何证明的技巧1. 画辅助线画辅助线是解决几何证明问题常用的技巧之一。
通过画一条或多条辅助线，可以将原本复杂的几何图形转化为一些简单的几何形状，从而更容易进行推理和论证。
2. 利用相似性质几何中的相似性质是一个重要的工具，它可以帮助我们在证明过程中建立几何图形之间的关系。
利用相似性质，我们可以通过比较边长、角度大小等来推导出所需证明的结论。
3. 利用等角性质等角是指两个角度大小相等。
我们可以利用等角的性质，如同位角相等，对顶角相等等来进行推导和比较，从而达到几何证明的目的。
4. 运用纵横分割纵横分割是将几何图形按照某种规则进行分割的方法。
通过纵横分割，我们可以将几何图形转化为更简单的形状，从而更容易进行推理和论证。
5. 利用对称性质对称性质是几何证明中常用的技巧之一。
通过利用几何图形的对称性，我们可以推导出一些关于对称轴、对称点等的结论，进而推进整个证明的过程。
三、几何证明的方法1. 直接证明法直接证明法是指通过展示全部证明过程，逐步推导和论证，最终得到所需证明的结论。
这种方法比较直接，但有时候可能会比较冗长。
2. 反证法反证法是一种常用的证明方法，通过假设所需证明的结论不成立，然后推导出与已知事实相矛盾的结论，从而推翻最初的假设。
反证法可以避免直接证明过程的冗长，但需要注意推导的准确性和合理性。
北师大版九年级数学上册4.4探索三角形相似的条件教学设计
-学生在完成练习后，对照答案进行自我检查，找出错误原因，及时修正。
-教师组织课堂小结，让学生复述相似三角形的判定方法和应用，巩固所学知识。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生的审美观念，让学生体会相似三角形在几何图形中的美。
-教师引导学生通过几何画板或其他教具，观察相似三角形的特征，并总结规律。
-学生在小组内分享观察结果，讨论相似三角形的判定条件。
2.理论与实际结合：结合具体实例，让学生将相似三角形的性质应用于解决实际问题，提高学生解决问题的能力。
-教师设计具有实际背景的问题，指导学生运用相似三角形的性质进行求解。
-学生通过自主探究和小组合作，解决实际问题，体验数学知识在生活中的应用。
-教师引导学生发现相似三角形在自然界和生活中的应用，如建筑、艺术等，激发学生对几何美的追求。
2.培养学生合作交流的意识，增强团队协作能力。
-在小组合作活动中，学生学会倾听他人意见，表达自己的观点，共同解决问题。
3.增强学生的自信心，激发学习数学的兴趣。
-教师及时给予学生鼓励和肯定，让学生在解决实际问题的过程中感受到成功的喜悦，提高学习积极性。
2.提出问题：向学生提问：“你们觉得这些图形之间有什么联系？”、“如何判断两个三角形是否相似？”等问题，激发学生的思考，为新课的学习做好铺垫。
3.回顾相关知识：简要回顾全等三角形的判定方法，为学生学习相似三角形的判定方法打下基础。
（二）讲授新知
在这一环节，我将系统地讲解相似三角形的定义、判定方法及其应用：
-设计开放性问题和实际应用题，评价学生对相似三角形知识掌握的深度和广度。
几何证明的方法与技巧
几何证明的方法与技巧几何证明是数学中的重要部分，它要求我们运用几何知识和推理能力来论证、解释和证明一些几何命题。
在几何证明的过程中，方法与技巧起到了至关重要的作用。
本文将介绍一些常用的几何证明方法与技巧，帮助读者提升解题能力。
一、数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明方法，它通常用于证明具有递归关系的命题。
在几何证明中，数学归纳法同样适用。
例如，当我们需要证明一个关于三角形的性质对于所有三角形都成立时，可以采用数学归纳法。
首先，证明当三角形是某个基本形状（如等边三角形）时，该性质成立；然后，假设该性质对于一个具有n条边的三角形成立，再利用该性质证明对于一个具有n+1条边的三角形也成立。
通过这种逐步推理的方式，我们可以得出结论。
二、反证法反证法是一种常用的证明方法，在几何证明中也经常使用。
当我们需要证明一个命题时，可以先假设反命题成立，然后经过推理得出一个矛盾的结论，从而证明原命题成立。
在几何证明中，反证法可以用于证明两个线段不相等、两个角度不相等等情况。
通过推理可以得出，如果反命题成立，则会导致矛盾，从而证明原命题成立。
三、等价命题等价命题是一种常用的证明方法，它将一个需证明的命题转化为一个已知的等价命题，从而简化证明过程。
在几何证明中，等价命题常常用于证明两个图形的相似性或等量性。
通过找到两个图形之间的对应关系，并利用已知的几何性质证明它们之间的相似性或等量性，可以简化证明过程，提高解题效率。
四、引理法引理法是一种通过引入辅助命题来解决主命题的证明方法。
在几何证明中，我们经常会遇到一些复杂的命题，难以直接证明。
这时，可以通过引入一个辅助命题来推导主命题的证明。
辅助命题通常是一个中间结论，与主命题有关，但相对容易证明。
通过先证明这个辅助命题，再利用它来证明主命题，可以简化证明过程。
五、辅助线法辅助线法是一种通过引入辅助线来辅助证明的方法，常用于几何证明中。
当我们在几何证明过程中遇到复杂的图形时，往往可以通过引入一条或多条辅助线来得到更简单的结构，从而更容易进行推导和证明。
初中数学九年级下册苏科版6.4探索三角形相似的条件教学设计
引导学生探索相似三角形在其他领域的应用，如摄影、艺术、建筑等。通过拓展延伸，培养学生的数学兴趣和创新能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
在导入新课环节，教师首先向学生展示一组生活中的相似图形，如同一张照片放大前后的对比、建筑图纸的缩放等。通过这些实例，引导学生观察并思考相似图形在实际生活中的应用。接着，教师提出问题：“同学们，你们知道这些图形之间有什么共同特征吗？它们之间存在着怎样的关系？”激发学生的好奇心，为新课的学习做好铺垫。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握相似三角形的判定条件（AA、SAS、SSS），能够准确判断两个三角形是否相似。
2.学会运用相似三角形的性质进行几何证明，解决实际问题。
3.培养学生的几何直观和逻辑推理能力，提高解题技巧。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
通过展示生活中常见的相似图形，如照片放大缩小、建筑设计等，让学生感受相似三角形的应用价值，激发学生学习兴趣。
3.小组合作，探讨相似三角形在其他领域的应用，例如艺术、摄影、建筑等。每组完成一份报告，内容包括相似三角形的应用场景、判定条件、性质及解题方法等。报告要求图文并茂，条理清晰。
4.根据课堂学习，结合自己的学习体会，撰写一篇关于相似三角形判定和性质的学习心得，字数不限。要求学生从自己的角度出发，阐述对相似三角形的认识，以及在解题过程中的困惑和收获。
（五）总结归纳，500字
在总结归纳环节，教师首先引导学生回顾本节课所学的内容，包括相似三角形的判定条件、性质以及应用。通过提问、讨论等形式，让学生自主总结相似三角形的判定方法和解题技巧。
接着，教师对学生的总结进行补充和概括，强调相似三角形在实际生活中的应用价值，以及它在几何证明中的重要作用。最后，教师布置课后作业，要求学生在课后进一步巩固所学知识，为下一节课的学习做好准备。
苏科版数学九年级下册6.4《探索三角形相似的条件》说课稿
苏科版数学九年级下册6.4《探索三角形相似的条件》说课稿一. 教材分析苏科版数学九年级下册6.4《探索三角形相似的条件》这一节主要让学生理解并掌握三角形相似的判定方法。
在学习了相似图形的性质和判定方法之后，学生能够通过观察、操作、推理等过程，探索并证明两个三角形相似的条件。
教材通过丰富的素材，引导学生积极参与，培养学生的几何思维能力和推理能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了相似图形的概念，对图形的相似性有一定的认识。
但是，对于三角形相似的判定方法，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，通过引导他们观察、操作、推理，帮助他们理解和掌握三角形相似的条件。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解三角形相似的概念，掌握三角形相似的判定方法。
2.过程与方法目标：培养学生观察、操作、推理的能力，提高他们的几何思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极参与、合作交流的良好学习习惯。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形相似的概念，三角形相似的判定方法。
2.教学难点：三角形相似的判定方法的灵活运用，能够通过观察、操作、推理等过程，探索并证明两个三角形相似的条件。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、启发式教学法、合作交流法等，引导学生积极参与，培养他们的几何思维能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等教学辅助工具，直观展示三角形相似的判定过程，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习相似图形的性质，引导学生自然过渡到三角形相似的概念。
2.新课讲解：讲解三角形相似的概念，引导学生通过观察、操作、推理，探索并证明三角形相似的条件。
3.案例分析：分析一些具体的例子，让学生运用三角形相似的判定方法，巩固所学知识。
4.练习与拓展：布置一些练习题，让学生独立完成，检测他们对三角形相似的判定方法的掌握程度。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调三角形相似的判定方法的重要性和应用。
如何证明两个三角形相似
如何证明两个三角形相似在数学的世界里，三角形是一个非常基础且重要的图形。
而证明两个三角形相似，是我们解决许多几何问题的关键步骤。
那到底怎样才能证明两个三角形相似呢？让我们一起来探讨一下。
首先，我们得了解什么是相似三角形。
相似三角形指的是对应角相等，对应边成比例的三角形。
简单来说，如果两个三角形的形状相同，但大小不一定相同，那么它们就是相似三角形。
接下来，我们看看证明两个三角形相似的方法。
方法一：两角分别相等的两个三角形相似。
这是一个非常重要且常用的方法。
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角相等，那么这两个三角形相似。
比如说，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，如果角 A 等于角 D，角 B 等于角 E，那么这两个三角形就是相似的。
为什么呢？因为三角形的内角和是 180 度，当两个角分别相等时，第三个角必然也相等。
三个角都相等，三角形的形状就确定了，所以它们相似。
方法二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
假设在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB 与 DE 的比值等于 AC 与DF 的比值，并且角 A 等于角 D，那么这两个三角形相似。
这个方法的关键在于“夹角相等”。
因为如果两边成比例，但是夹角不相等，那么三角形的形状就会不同，也就不相似了。
方法三：三边成比例的两个三角形相似。
如果三角形 ABC 的三条边 AB、BC、AC 与三角形 DEF 的三条边DE、EF、DF 的比值都相等，那么这两个三角形相似。
这个方法比较直观地反映了三角形边的比例关系对相似性的决定作用。
为了更好地理解这些方法，我们通过几个例子来具体分析一下。
例 1：在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，角 A 等于 50 度，角 B 等于 60 度，角 D 等于 50 度，角 E 等于 60 度。
证明这两个三角形相似。
因为角 A 等于角 D 等于 50 度，角 B 等于角 E 等于 60 度，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，所以三角形ABC 相似于三角形DEF。
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例题1，如图，已知正方形ABCD ，点E 在CB 的延长线上，联结AE 、DE ，DE 与边AB 交于点F ，FG//BE 且与AE 交于点G ． （1）求证：GF=BF ；（2）在边BC 边上取点M ，使得BM=BE ，联结AM 交DE 于点O ．求证：FO·ED=OD·EF● 第（1）问思路● 第（2）问分析第一步：画图，根据题目要求，补全图像第二步：研究比例式，化乘积式为比例式，研究相似三角形从研究比例式开始！如果是相似三角形的一组比例线段，对其解读可以分成“横、纵”两条线索视角一：若"横"的两条线段是相似三角形中的"对应线段"，则"纵"的两条线段是同一个三角形中的两条线段，反之亦然！视角二：两个相似三角形中的"对应线段"若在同一直线上则属于“平行相似”（即普通的平行A 字型或平行八字型）；若不在同一直线上则不属于“平行相似”就本题而言首先"勾勒线段"（"勾勒线段"是研究比例的第一步！），发现四条线段全部在同一直线上，说明“”：① 这不是一组相似三角形的比例线段，需要“中间比”作为桥梁；② 大概率本题的对应线段属于"平行相似"第三步:寻找基本型沿着比例线段寻找"平行相似" ① EF:ED 属于两个A 字型！EF:ED=GF:AD=FB:DC② FO:OD 由于缺少平行线，不属于任何基本型！所以需要加平行线构造基本型，就本题论，笔者初步想到以下三种方案究竟选择哪一种呢？此时笔者认为应该研究“尚未使用的条件”，那条辅助线更能使得该条件发挥作用！显然右边的辅助线更适合发挥△AEM为等腰三角形的特征！易证：GF=FP，∴ FO:OD=FP:AD=GF:AD=EF:ED总结：研究相似三角形证明题应从“式”与“型”入手！（“式”指的是“比例式”、“型”指的是“基本型”）比例式1，通过“勾勒线段”确定证明对象 例题2，已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上，且OE ＝OB ，联结DE ． （1）求证：DE ⊥BE ；（2）如果OE⊥CD ，求证：BD·CE ＝CD·DE第（2）问分析先看竖：BD 、CD 属于△BCD 的两条边， DE 、CE 属于△DCE 的两条边，△BCD 与△DCE 显然不相似再看横：BD 、DE 属于△BDE 的两条边， CD 、CE 属于△DCE 的两条边， 它们皆是直角三角形，有相似的基础！红色部分是"直角三角形加斜边上的高"的基本图形，虽然该图形蕴含的"射影定理"从上海教学大纲中取消，但图形中有两组锐角相等（同角的余角相等），有三组相似三角形还是要熟练掌握的。
就本题论，∠CDE=∠OEB=∠OBE ，也就完成了证明△DCE ∽△BED 的最后拼图。
2，遇困境，需"转换线段"例题3，已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD ，∠BAF=∠DAE ，AE 与BD 交于点G 。
（1）求证：BE=DF ；（2）当DF:FC=AD:DF 时，求证：四边形BEFG 是平行四边形．第（2）问分析DF 、FC 是同一直线上的两条线段，AD 、DF 是△ADF 中的两条线段，完全"不搭"，怎么办？观察图中是否有线段与比例式中的四条线段之一相等，可作替换？通过观察，可发现可供调换的线段有以下两组：DF=BE 、AD=BC ，若调换AD 为BC ，则DF 与BC 既不是一个三角形中的两条边，更不在同一直线上，不可行；若调换DF 为BE ，则恰构成了平行八字型， 于是AD:BE=DG:GB=DF:FC ，∴GF∥BE 由于EF∥BD 易证，继而可证平行四边形3，横看成林侧成峰，成为转化枢纽的比例 例题4如图，已知：∠EAB=∠ECD ， 求证：△AEC ∽△EBD尤其要注意作为转换枢纽的"AE:EC=BE:ED"将AE 、BE 视为△ABE 的两边，则AE 、EC 为对应线段；将AE 、EC 视为△AEC 的两边，则AE 、BE 为对应线段，类似“有趣”的现象，笔者将其趣称为“横看成林侧成峰”。
有两点须注意： ①这个图形本身很重要（常被称为“蝴蝶型”），图中A 、C 、D 、B 四点共圆！由同弧所对圆周角相等，可得到多组等角（也可通过相似证明）② 例4也代表了一类相似证明题的一般模式：其中比例线段充当了转化枢纽的作用再举一例例题5如图，正方形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、BC 上，BM=BN ，BP⊥CM 于P ，联结PD 、PN （1）求证：△BPM ∽△BPC ； （2）求证：PN ⊥PD分析① 第二问欲证PN⊥PD，结合条件BP⊥MC，不难想到去证明∠BPN=∠DPC。
② 证明两个角相等的一般策略是放在一个三角形中证等腰或放在两个三角形中证相似（全等），现在显然可以考虑证△PBN∽△DPC。
③ 要证相似三角形需从寻找一组等角入手，不难发现∠DCM=∠CMB=∠PBC。
④ 由于本例是要通过相似证等角，也就不能考虑通过两组角对应相等证相似，证明的目标转向证明夹等角的两边对应成比例，即证“PB:BN=PC:DC”，其中BN=BM ，DC=BC ，转换线段后即证"PB:BM=PC:BC"，此比例线段可由第一问需证明的一组相似三角形中得到。
证明的脉络可表示为下图基本型和点、线段、弧甚至三角形（这些可称之为“基本元”）不同，在几何问题的分析中，组成一个几何问题的图形中最简单、最重要、最基本的，但又是具有特定性质的图形称为基本图形。
在对数以千计的几何问题进行图形剖析后，就会发现几何学科中的基本图形的数量是30多个，但就是这30多个基本图形的无限组合演绎出了一部能显现无穷变化的平面几何学。
基本图形分析法就是在几何学科中，根据问题的条件和结论，分析并找到组成这个几何问题的一个或若干个基本图形，再应用这些基本图形的性质，使问题得到解决的几何分析方法。
（摘自于徐方瞿著《透明的几何》）通过学习研究基本图形，可以形成思维的跳跃，然而我们要研究的基本图形需具备以下特点：（1）少而精；（2）应用广泛；（3）引导学生自我生成，以下是笔者心目中相似三角形基本图形图谱针对相似三角形证明问题，笔者准备重点介绍以下三组及图形1，平行与交错基本图形剖析笔者将①②称之为平行型，①为平行A 、②为平行八；将③④称之为交错型，③为交错A ，④为交错八。
平行型的特征在于相比的两条线段在同一直线上，交错型的特征在于相乘得两条线段在同一直线上。
需注意它们各自等角的应用条件。
例题6如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，联结BD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F ，求证：BC ·BE+BA ·BF=BD^2● 分析"BC ·BE"、"BA ·BF"分别是同一条直线上两条线段之积，然而图形中并没有现成的交错型，于是以考虑构造，分别过点A 、点C 做BD 的垂线，垂足分别为点M 、点N 。
（左图）由基本图形，可以迅速得到：BC ·BE=BN·BD,BA ·BF=BM·BD ， 由右图易知△AMD ≌△BNC ，继而得BM=ND ，∴ BN·BD+BM·BD=(BN+BM)·BD =(BN+ND)·BD=BD^22，共边共角型边共角型作为特殊的交错相似，有着更为广泛的应用，其主要性质概括如下 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥BC ，点M 在边BC 上，且∠MDB =∠ADB ，BD^2=AD·BC ． （1）求证：BM=CM ；（2）作BE ⊥DM ，垂足为点E ，并交CD 于点F ．求证：2AD·DM=DF·DC● 第（2）问分析① 本题首先碰到的问题是如何处理系数"2"，由于通过第1问已知DM 是Rt△BDC 斜边上的中线，所以首先可以转化2DM 为BC ， ② 根据条件"BD^2=AD·BC"，最终将本题需证明的结论转化为："BD^2=D F·DC"③ 根据“共边共角模型”，迅速得到证明对象是：∠C=∠DBF，由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，不难得到DM=MC ，从而得到∠C=∠MDC④ 根据"直角三角形斜边上的高"模型，迅速得到∠DBF=∠MDC，于是可得：∠DBF=∠C （后续可以自行证明之）33旋转型相似基本图形剖析①在△ABC中边BC上有一点D②做∠BAD=∠CAE，∠B=∠ACE，自然△ABD ∽△ACE，可称为△ABD旋转缩放到△ACE②连接DE，由AB:AC=AD:AE及BAC=∠DAE，可证△ABC∽△ADE，可把这组相似形象地称之为“旋转相似”③而后会有什么呢？会产生交错八④再往后呢？会产生交错A许多图形能形成一个整体贯通的体系，互相关联例题6如图所示，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是射线CB上的动点，点F是射线CD 上一点，且AF⊥AE，射线EF与对角线BD 交于点G，与射线AD交于点M．（1）当点E在线段BC上时，求证：△AEF ∽△ABD；（2）在（1）的条件下，联结AG，设BE=x，tan∠MAG=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；分析第一组相似：△ABE∽△ADF第二组相似：△ABD∽△AEF第三、四组相似：△AMG∽△FMD，△AMF∽△GMD，从而得到∠GAD=∠EFC解决问题：y=(4−x) 3+4x3数学的独特育人功能主要在培养学生的思维特别是逻辑思维上，要使学生学会思考，特别是学会“有逻辑地思考”，要示以学生思维之道。
（章建跃）。