专题十一—几何证明.docx
几何证明的基本方法
几何证明的基本方法几何证明是数学中一种重要的推理方法，通过运用几何知识和定理，以及逻辑推理，来说明几何问题的正确性。
在进行几何证明时，我们可以运用一些基本的方法和技巧，帮助我们更好地展示证明过程，并确保结论的准确性。
本文将介绍一些常用的几何证明的基本方法。
一、直接证明法直接证明法是最常用的几何证明方法之一。
它的基本思路是利用已知条件和几何定理，通过一系列逻辑推理，直接得出结论。
例如，现有一个三角形ABC，已知AB=AC，需要证明∠B=∠C。
我们可以通过以下步骤进行直接证明：1. 根据已知条件，得到AB=AC；2. 利用等边三角形的性质，得到∠B=∠C，并给出证明过程。
二、间接证明法间接证明法与直接证明法相反，它是通过排除一切其他可能性，间接证明出所要证明的结论。
这种方法常用于复杂且难以直接证明的几何问题。
例如，现有一个平行四边形ABCD，需要证明对角线AC与BD相等。
我们可以通过以下步骤进行间接证明：1. 假设对角线AC与BD不相等；2. 利用平行四边形的性质和已知条件，进行逻辑推理，得出AC与BD相等的结论；3. 排除了AC与BD不相等的可能性，证明结论成立。
三、反证法反证法是一种常用的几何证明方法，它通过假设所要证明的结论不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的真实性。
例如，现有一个直角三角形ABC，需要证明∠B=90度。
我们可以通过以下步骤进行反证法证明：1. 假设∠B不等于90度；2. 利用直角三角形的性质，通过逻辑推理得出∠B=90度；3. 得到矛盾的结论，推翻了假设，证明∠B=90度成立。
四、构造法构造法是利用几何工具，在已知条件下构造出满足某种要求的几何图形，从而推导出所要证明的结论。
例如，现有一个等边三角形ABC，需要证明三条边相等。
我们可以通过以下步骤进行构造法证明：1. 在AB、BC、CA之间分别用直尺和圆规作等边三角形ABC的三条边；2. 利用等边三角形的构造，得到三条边相等的结论。
几何定理证明范文
几何定理证明范文要证明几何定理，通常需要使用几何性质和已知条件，以及运用几何推理和数学推断等方法。
本文选取了三个较为经典的几何定理进行证明，分别是直角三角形的勾股定理、垂线定理和相交弦定理。
下面分别对这三个定理进行证明。
一、直角三角形的勾股定理直角三角形的勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边分别平方之和。
即若有一个直角三角形ABC，其中∠C=90°，则有AB²=AC²+BC²。
证明过程如下：设直角三角形ABC，其中∠C=90°。
连接AC和BC，延长AC到点D，使得CD=BC。
由于∠C=90°，则四边形ABCD是一个矩形。
根据矩形的性质，对角线互相平分。
即AC=BD，BC=AD。
根据勾股定理的推广形式，有AC²=AB²+BC²，以及BD²=AB²+AD²。
由于AC=BD，所以AB²+BC²=AB²+AD²。
消去AB²，得BC²=AD²。
因此，直角三角形的勾股定理得证。
二、垂线定理垂线定理是指在平面上，如果一直线段垂直于另一直线段，那么这两条直线段互相垂直。
即若有一直线段AB垂直于另一直线段CD，则有∠ABC=90°。
证明过程如下：设直线段AB垂直于CD，交于点M。
连接AM和BM。
根据垂线的性质，AM和BM分别垂直于CD，即∠CAM=90°和∠CBM=90°。
根据平行线的性质，互相平行的直线切割同一条直线时，所得的对应角相等。
因此，∠CAB=∠ACM=90°，即∠ABC=90°。
这样，垂线定理得证。
三、相交弦定理相交弦定理是指在一个圆内，两条相交弦的互补弦乘积相等。
即若有一圆内的两条弦AB和CD相交于点E，则有AE×EB=CE×ED。
数学认识几何证明
数学认识几何证明几何证明是数学中的重要部分，它要求我们通过逻辑推理和严密推导来证明或解释几何定理。
在进行几何证明时，我们需要正确运用已知的几何定理、公理和性质，以及运用数学推理方法，如演绎推理和归纳推理等。
本文将介绍几何证明的基本概念和常见的证明方法，并结合实例进行说明。
一、几何证明的基本概念几何证明是指通过推理和演绎，用严格的逻辑方法陈述和证明几何命题。
在几何证明中，我们需要合理组织思路，运用相关几何性质和已知定理来推导结论，以达到严密合理的证明目的。
几何证明的基本要素包括：1.已知条件：即已知的几何信息或性质，作为推导的起点。
2.目标结论：即需要证明的几何命题或结论。
3.推导步骤：通过逻辑推理和演绎，运用已知条件和几何性质，推导出目标结论的过程。
4.证明过程：将推导步骤用文字和符号进行详细陈述，使得逻辑关系清晰、推理合理。
在进行几何证明时，我们需要注意以下几点：1.从已知条件出发，逐步推导，每一步都要经过严密的推理。
2.不要跳过关键的步骤，任何一步都不能省略。
3.使用几何术语和符号，确保表述准确清晰。
4.用图示辅助，以便更好地理解和展示证明过程。
5.对于不同的几何证明，可以选择合适的证明方法，如直接证明法、间接证明法和反证法等。
二、几何证明的常见方法1.直接证明法直接证明法是最常用的证明方法，它通过从已知条件出发，一步步推导出目标结论。
这种证明方法严谨明确，逻辑性强。
在进行直接证明时，我们需要根据已知条件和几何性质，运用相关的推理方法，逐步推导出目标结论。
例如，下面是一个直接证明的例子：已知：AB ⊥ BC，∠ABC = 90°证明：AB² + BC² = AC²证明过程：1.连接AC，并延长AB到D；2.∵ AB ⊥ BC，∠ABC = 90°∴△ABC 和△ACD 相似（正弦定理）；3.设 AB = a，BC = b，AC = c；∴ AD = a + b；4.∵△ABC 和△ACD 相似∴ AB/AC = BC/AC = BC/AD = a/c = b/(a + b)；5.∴ a/c = b/(a + b)；∴ a（a + b）= bc；6.∴ a² + ab = bc；7.∴ a² + 2ab + b² = bc + 2ab + b²；∴ (a + b)² = AC²；8.∴ AB² + BC² = AC²；∴命题得证。
几何证明基本方法
几何证明基本方法几何证明是数学中的重要内容之一，通过几何证明可以验证几何关系和性质，推导出几何定理和命题。
在进行几何证明时，我们需要运用一些基本的方法和思维，下面将介绍几何证明的基本方法。
1. 相似三角形法相似三角形法是几何证明中常用的方法之一。
相似三角形的性质是指两个三角形对应角相等，对应边成比例。
通过借助相似三角形的性质，我们可以证明一些关于长度比例、角度大小和面积比例的问题。
在进行证明时，通常可以根据题目给出的条件，构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质得出结论。
2. 全等三角形法全等三角形法是几何证明中另一个常用的方法。
全等三角形的性质是指两个三角形的对应边和对应角都相等。
通过构造全等三角形，我们可以证明一些关于长度、角度和面积等性质的问题。
在进行证明时，通常可以根据已知条件，找出具有相同长度和角度的三角形，然后利用全等三角形的性质得出结论。
3. 反证法反证法是几何证明中常用的思维方法之一。
通过反证法，我们假设结论不成立，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明原结论成立。
在使用反证法时，通常需要根据题目给出的条件，推导出一个假设，然后通过逻辑推理推出矛盾的结论。
这种方法常用于证明几何定理和命题的唯一性。
4. 辅助线法辅助线法是几何证明中常用的构造方法之一。
通过合理地引入一些辅助线，可以改变几何图形的形状，使得证明过程更加简化和明晰。
在使用辅助线法时，通常需要根据题目给出的条件和要证明的结论，选择适当的辅助线进行构造，然后利用辅助线和已知条件之间的关系进行证明。
5. 平移法平移法是几何证明中一种常用的等面积证明方法。
通过在平面上进行平移，可以改变几何图形的位置，但不改变其形状和面积。
在使用平移法时，通常需要根据题目给出的条件和要证明的结论，选择适当的平移方向和距离，使得几何图形移动到有利于证明的位置，然后利用平移前后图形的关系进行证明。
综上所述，几何证明的基本方法包括相似三角形法、全等三角形法、反证法、辅助线法和平移法。
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几何定理证明：几何定理的证明
几何定理证明：几何定理的证明几何定理是数学中非常重要的一部分，它们是建立和推导几何关系的基础。
在几何学中，定理的证明是确保定理的正确性和可靠性的关键步骤。
本文将介绍几何定理的证明过程，并以几个典型的几何定理为例进行详细阐述。
一、直角三角形的勾股定理证明勾股定理是几何中最经典且重要的定理之一，它声称：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
该定理的证明可以通过几何方法或代数方法来展开。
几何方法证明：以直角三角形ABC为例，其中∠B为直角。
我们可以通过画图来证明勾股定理。
1. 以BC为边，作一个正方形BCDE。
2. 连接AC和AE。
3. 证明四边形ABED是一个平方。
4. 由于正方形的性质，我们可以得出AE和BD是相等的。
5. 观察三角形ACD和三角形ABC，它们的两个角分别相等，并且一边相等，所以它们是全等三角形。
6. 根据全等三角形的性质，我们可以得出AD和AB相等。
7. AD是直角边的平方，AB是斜边的平方，因此AD的平方加上AB的平方等于斜边AC的平方，从而证明了勾股定理。
代数方法证明：我们可以使用代数方法证明勾股定理。
设直角三角形ABC中，∠B为直角，AB=a，BC=b，AC=c。
根据直角三角形的定义，我们可以得到两个关系式：a² + b² = c²（1）tan(∠B) = a/b （2）将式（2）代入式（1），得到：a² + (a/tan(∠B))² = c²经过变形和化简，我们最终可以得到：(1 + tan²(∠B))a² = c²由于tan²(∠B) + 1 = sec²(∠B)（余切定理），所以我们可以进一步化简为：sec²(∠B) a² = c²最后，我们得到了勾股定理的形式。
二、等腰三角形底角定理证明等腰三角形是指两边相等的三角形。
在等腰三角形中，底角定理成立，即等腰三角形的底角是两个顶角的一半。
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D 几何证明题的技巧1.几何证明是平面几何中的一个重要问题，它有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2.掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）分析综合法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3.掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。
1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。
很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。
证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
例1. 已知：如图1 所示，∆ABC 中，∠C = 90︒，AC =BC，AD =DB，AE =CF 。
求证：DE＝DF AEC F B图1分析：由∆ABC 是等腰直角三角形可知，∠A =∠B = 45︒，由D 是AB 中点，可考虑连结CD，易得CD =AD ，∠DCF = 45︒。
从而不难发现∆DCF ≅∆DAE证明：连结CDAC =BC∴∠A =∠B∠ACB = 90︒，AD =DB∴CD =BD =AD，∠DCB =∠B =∠AAE =CF，∠A =∠DCB，AD =CD∴∆ADE ≅∆CDF∴DE =DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中EF2 3 1线或高是常用的辅助线。
初中数学几何证明
初中数学几何证明
证明1：三角形内角和为180度
设三角形ABC，需要证明∠A+∠B+∠C=180°。
证明：
我们可以通过以下步骤证明：
1.作射线AD，使其与边BC相交于点D。
2.作射线BE，使其与边AC相交于点E。
3.作射线CF，使其与边AB相交于点F。
4.连接线段AF、BD和CE。
根据构造可知，四边形ABCD是一个平行四边形，因此∠ADC=∠B。
同理，四边形ABCE是一个平行四边形，所以∠AEC=∠B。
根据共同顶点原理可知，∠ADC=∠AEC。
根据平行线与同位角定理，∠A+∠ADC+∠AEC=180°。
再观察三角形ABC，在三角形内部有一个三角形DEF，DEF与ABC有三个共顶点，即D、E、F。
根据共同顶点原理，可知∠ADC=∠B＋∠CDF和∠DEC=∠A＋∠ADB。
同时，根据平行线与同位角定理，可知∠B＋∠CDF＋∠A＋∠ADB=180°。
综上所述，∠A+∠B+∠C=180°。
证明2：三角形外角等于与之相对的内角之和
设三角形ABC，需要证明∠DAB=∠BCA+∠ACB。
证明：
我们可以通过以下步骤证明：
1.作射线AD，使其与边BC相交于点D。
2.连接线段BD和AC。
根据构造可知，△DAB和△DBC是共有一条边AB的两个三角形，同样的，根据作线得同位角平行线定理，我们可以得到∠DAB=∠DBC。
同理，∠ACB=∠BDC。
因此，∠DAB=∠BCA+∠ACB。
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辅导讲义基础概念回顾(一)全等三角形的判定定理：“SAS"： ________________________________________________________“ASA"：________________________________________________________“AAS"：________________________________________________________“SSS"：________________________________________________________“HL"：_______________________________________________________通过观察和探索发现全等的三角形和全等成立的相关要素1.(2015・常州)如图,在0ABCD中，ZBCD=120°,分别延长DC、BC到点E, F,使得△ BCE和厶CDF都是正三角形.(1)求证：AE=AF；(2)求ZEAF的度数.技巧：挖掘隐含条件，构造全等三角形证明线段等几何关系成立2.（2014*重庆）如图，AABC 中，ZBAC=90°, AB=AC, AD±BC,垂足是D, AE 平分ZBAD,交BC 于点E.在AABC 外有一点F,使FA丄AE, FC丄BC.（1）求证：BE=CF；（2）在AB±.取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME.求证：①ME丄BC；②DE=DN.3.（2015*重庆）如图1,在Z^ABC中，ZACB=90°, ZBAC=60°,点E是ZBAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点，DH丄AC,垂足为H,连接EF, HF.（1）如图1,若点H是AC的屮点，AC=2>/E，求AB, BD的长；（2）如图1,求证：HF=EF；（3）如图2,连接CF, CE.猜想：ACEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由.对全等判定的进一步探究4 （南京2015）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AASJ “SSST和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等"的情形进行研究.【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在厶ABC和厶DEF中，AC=DF, BC=EF, ZB=ZE,然后，对ZB 进行分类，可分为“ZB是直角、钝角、锐角"三种情况进行探究.【深入探究】第一种情况：当ZB是直角时，AABC^ADEF.（1 ）如图①，在厶ABC和厶DEF, AC=DF, BC=EF, ZB=ZE=90°,根据▲,可以知道RtAABC^RtADEF.第二种情况：当ZB是钝角时，AABC^ADEF・（2）如图②，在△ ABC 和Z\DEF, AC=DF, BC=EF, ZB=ZE,且ZB、ZE 都是钝角，求证：△ ABC竺△ DEF. 第三种情况：当ZB是锐角时，AABC和ADEF不一定全等.（3）在厶ABC和厶DEF, AC=DF, BC=EF, ZB=ZE,且ZB、ZE都是锐角，请你用尺规在图③屮作出ADEF,使△。
已尸和厶ABC不全等.（不写作法，保留作图痕迹）（4）ZB还要满足什么条件，就可以使厶ABC^ADEF?请直接写出结论：在厶ABC和ADEF中，AC=DF, BC=EF, ZB=ZE,且ZB、ZE 都是锐角，若▲,则厶ABC^ ADEF.基础概念回顾（二）：线段垂直平分线到线段的两端_____________ 到线段两端 ________________ 的点在垂直平分线上角的平分线上的点到相等，到____________ 相等的点在角平分线上等腰三角形三线合_：____________________________________________________________5.(2013年山东淄博4分)如图，AABC的周长为26,点D, E都在边BC ±, ZABC的平分线垂直于AE,垂足为Q, ZACB的平分线垂直于AD,垂足为P,若BO10,则PQ的长为【】35A- ? C. 3 D. 4技巧：注意角分线和等腰三角形的联系，可以通过角分线上的点到两边距离相等构造等腰，一般的还可以构造全等三角形6.(2011秋•武夷山市期末)在图1中，已知ZMAN=120。
，AC平分ZMAN・ZABC=ZADC=90%(1)求证：△ABC^A ADC；(2)求证：AD+AB=AC；(3)把题中的条件"ZABC=ZADC=90。
"改为ZABC+ZADC=180°,且DC=BC,如图2,其他条件不变,则(2)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.7.(2014年山东淄博9分)如图，四边形ABCD中，AC1BD交BD于点E,点F, M分别是AB, BC的中点，BN 平分ZABE 交AM 于点N, AB=AC=BD.连接MF, NF.(1)判断ABN/IN的形状，并证明你的结论；(2)判断△“尸“与厶BDC之间的关系，并说明理由.技巧：通过角平分线的性质构造全等关系8.（2006・北京）如图①，0P是ZAOB的平分线，请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在厶ABC屮，ZACB是直角，ZB=60°, AD、CE分另是ZBAC、ZBCA的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断并写出FE与FDZ间的数量关系；（2）如图③，在AABC中，如果ZACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.技巧：平行线间的角平分线构造等腰三角形，常用套路如上面的例2 （2014年重庆）9.（2013・南通）如图，在0ABCD中，AB=6cm, AD=9cm, ZBAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG1AE,垂足为G, BG=4迈cm,则EF+CF的长为__________________ cm.10・（2014年黑龙江绥化）如图，在矩形ABCD中，AD=V2 AB, ZBAD的平分线交BC于点E, DH丄AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论：®ZAED=ZCED；②OE=OD；③BH=HF； @BC - CF=2HE；⑤AB=HF,其中正确的有【】A. 2个B.3个C.4个D. 5个11. （2016・淄博）如图，已知△ ABC, AD平分ZBAC交BC于点D, BC的中点为M, ME〃AD,交BA的延长线于点E,交AC于点F.（1）求证：AE=AF；（2）求证：BE=i （AB+AC）.基础概念回顾（三）屮位线：_________________________________________________________中点在解题是一般有这么儿层意思：1,数量关系2,隐含中位线3,隐含直角三角形15.（2016＞德州）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边屮点所得的四边形叫中点四边形.（1）如图1,四边形ABCD +，点E, F, G, H分别为边AB, BC, CD, DA的中点.求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2,点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB, PC=PD, ZAPB=ZCPD,点E, F, G, H分别为边AB,BC, CD, DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）屮的条件，使ZAPB=ZCPD=90°,其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状.（不必证明）基础回顾（四）三角形的三心：三角形的内心是_______ 的交点，它具有的性质是______________________三角形的外心是_______ 的交点，它具有的性质是______________________三角形的重心是_______ 的交点，它具有的性质是______________________技巧：角平分线往往和等腰三角形三线合一结合起来，看到角分线要想到可以构造等腰16.(2015*北塘区一模)如图1,在平面直角坐标系中，已知点A (-6, 0),点B (0, 8)，点C在y轴上，将ZXOAB 沿直线AC对折，使点0落在边AB上的点D处.(1)求直线AB、AC的解析式.(2)如图2,过B作BE丄AC,垂足为E,若F为AB边上一动点，是否存在点F,使C为AEOF内心？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由.拓展：三角形的重心17.(2013年四川绵阳)我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质，如关于线段比.面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题：AO 2(1)若O是Z\ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明：—- =AD 3AQ 2(2)若AD是AABC的一条中线(如图2), O是AD ±一点，且满足—试判断O是ZXABC的重心吗？如果AD 3是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若0是AABC的重心，过0的一条直线分别与AB、AC相交于G、H （均不与AABC的顶点重合）（如图3）,SS四边形BCHG，S AAGH分别表示四边形BCHG和Z\AGH的面积，试探究⑴“曲心的最人值. S AAGII基础回顾（五）本段讨论三种特殊几何图形等边三角形：等边三角形的判定；等边三角形的边关系；等边三角形的边与血积的关系；等腰直角三角形等腰直角三角形与止方形的关系等腰直角三角形的边长与面积（图2）CE3）正方形正方形的判沱14. （2012湖北孝感3分）如图，在菱形ABCD中，ZA=60°, E、F分别是AB、AD的中点，DE、BF相交于点G, 连接BD、CG.给出以下结论，其中正确的有（）15. （2012广西贵港3分）如图，在菱形ABCD中，AB = BD,点E、F分别在BC、CD上，且BE = CF,连接BF、DE交于点M,延长DE至IJH使DE=BM,连接AM. AH。
则以下四个结论：①△BDF竺Z\DCE；17. (2014年广西柳州3分)如图，在ZkABC中，分别以AC, BC为边作等边Z\ACD和等边ZXBCE.设AACD、ABCE> AABC的面积分别是S I、S2> S3,现有如下结论：①Si： S2=AC2： BC2；®ZBGD=120°；②BG+DG=CG； ©ABDF^ACGB；④冲AB2.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个②ZBMD=120。