等比数列1

*), 求 a . 4.已知数列 {an} 中, a1=1, an+1= 1 a +1( n N n 2 n 解法二 由解法一知 an-an-1=21-n, 又 an= 1 2 an-1+1, 消去 an-1 得 an=2-21-n.
1 (a +), 则 =-2. 解法三 ∵ an= 1 a +1, 令 a + = n 2 n-1 2 n-1 ∴ an-2= 1 2 (an-1-2). 1 ∴{an-2} 是以 a1-2=-1 为首项, 公比为 2 的等比数列. ∴an-2=-( 1)n-1. 2 即 an=2-21-n.
*), 求 a . 5.已知数列 {an} 中, a1=1, an+1= 1 a +1( n N n 2 n *), 解法一 ∵an+1= 1 a +1( n N 2 n 1 a +1. ∴an= 1 a +1, a = n-1 2 n-2 2 n-1 两式相减得: an-an-1= 1 2 (an-1-an-2) 1 ∴{an-an-1} 是以 a2-a1= 1 为首项 , 公比为 2 的等比数列. 2 1 )n-2=( 1 )n-1. ∴an-an-1= 1 ( 2 2 2 ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) 1 )2+…+( 1 )n-1 =1+ 1 +( 2 2 2 =2-21-n. 即 an=2-21-n.
n 2n
3n
7.单调性 a1>0, a1<0, q>1, 或 0<q<1, {an} 是递增数列; a1>0, a1<0, 0<q<1, 或 q>1, {an} 是递减数列; q=1 {an} 是常数列; q<0 {an} 是摆动数列. 8.若数列 {an} 是等差数列, 则 {ban } 是等比数列; 若数列 {an} 是正项等比数列, 则 {logban} 是等差数列.
3.前 n 项和公式
na1 (q=1); Sn= a1-anq a1(1-qn) 1-q = 1-q (q≠1).
二、等比数列的性质
1.首尾项性质: 有穷等比数列中, 与首末两项距离相等的两 项积相等, 即: a1an=a2an-1=a3an-2= … . 特别地, 若项数为奇数, 还等于中间项的平方, 即: a1an=a2an-1=a3an-2= … =a中2 .
设数列 xn 满足 lg xn1 1 lg xn n N ,
１或３／４
若x1 x2 x100 100,
则lg( x101 x102 , 4.数列 {an} 的前 n 项和记为 Sn, 已知 a1=1, an+1= nn n Sn 3,…), 证明: (1)数列 { } 是等比数列 n +2 S , n+2 证: (1)∵an+1=Sn+1-Sn, 又 an+1= nn n ∴Sn+1-Sn= n Sn, ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn). 整理得 nSn+1=2(n+1)Sn. Sn+1 Sn ∴ n+1 =2 n . Sn ∴{ n } 是以 1 为首项, 2 为公比的等比数列.
考纲要求: 1理解等差数列的概念,掌握等差数 列的通项公式.掌握等差数列的性 质。 2理解等比数列的概念,掌握等比数 列的通项公式.掌握等比数列的性 质。
一、概念与公式
1.定义 an+1 若数列 {an} 满足: an =q(常数), 则称 {an} 为等比数列. 2.通项公式 an=a1qn-1=amqn-m .
作业布置 1名师课堂训练篇第67页第 1,2,3,4,5,6,7,8题 2名师课堂训练篇第68页第10题
练习1 若数列2,ａ，8成等差数列则ａ= ５
若数列2,ａ，8成等比数列则ａ= 若数列2,ａ，ｂ，8成等差数列则 ａ= ４ ｂ= ６ 若数列2,ａ，ｂ，１６成等比数列 则ａ= ４ ｂ= ８
4
• 练习２在等差数列｛ an｝中若 a3 10, 且 a3 , a7 , a10 成等比数列 则公差ｄ＝ ０或－５／８ 则公比ｑ＝ 练习３
三、判断、证明方法
1.定义法;
2.通项公式法; 3.等比中项法.
等比数列
• 例3:在等比数列{an }中, • (1)已知 a1 3, q 2, 求a6 • (2) a3 20, a6 160, 求 an 画图比较 数列an 5 2
40 32 24 16 8 0 1 2 3 4 n
2.若 p+q=r+s(p、q、r、s∈N*), 则 apaq=aras . 特别地, 若 m+n=2p, 则 aman=ap2 . 3.等比中项 如果在两个数 a、b 中间插入一个数 G, 使 a、G、b 成等比 数列, 则 G 叫做 a 与 b 的等比中项.
G= ab . 4.若数列 {an} 是等比数列, m, p, n 成等差数列, 则 am, ap, an 成等比数列. 5.顺次 n 项和性质 若 {an} 是公比为 q 的等比数列, 则 k a , a , a 也成等 =1 k k=n+1 k k=2n+1 k 比数列, 且公比为 qn. an 6.若数列 {an}, {bn} 是等比数列, 则数列 {anbn}, { } 也是等 bn 比数列.
n1
答案： a6 96
an 5 2n1
与函数y 5 2x 1 异同
y 40 32 24 16 8 0 1 2 3 4 x
an
等比数列性质及应用
等比数列定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比 都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列 通项公式为 an a1q n1