《等比数列》第1课时教学设计

《等比数列》第1课时教学设计
●教学目标
知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导； 过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。

情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

●教学重点
等比数列的定义及通项公式
●教学难点
灵活应用定义式及通项公式解决相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
复习：等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）
等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。

课本P41页的4个例子：
①1，2，4，8，16，…
②1，12，14，18，116
，… ③1，20，220，320，420，…
④10000 1.0198⨯，210000 1.0198⨯，310000 1.0198⨯，410000 1.0198⨯，510000 1.0198⨯，……
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。

Ⅱ.讲授新课
1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1
-n n a a =q （q ≠0） 1︒“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)
｛n a ｝成等比数列⇔n
n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）
2︒ 隐含：任一项00≠≠q a n 且
“n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件．
3︒ q= 1时，{a n }为常数。

2.等比数列的通项公式1: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n
由等比数列的定义，有：
q a a 12=；
21123)(q a q q a q a a ===；
312134)(q a q q a q a a ===；
… … … … … … … )0(1111≠⋅⋅==--q a q a q a a n n n
3.等比数列的通项公式2: )0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系
等比数列与指数函数的关系：
等比数列｛n a ｝的通项公式)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ,它的图象是分布在曲线1x a y q q
=（q>0）上的一些孤立的点。

当10a >，q >1时，等比数列｛n a ｝是递增数列；
当10a <，01q <<，等比数列｛n a ｝是递增数列；
当10a >，01q <<时，等比数列｛n a ｝是递减数列；
当10a <，q >1时，等比数列｛n a ｝是递减数列；
当0q <时，等比数列｛n a ｝是摆动数列；当1q =时，等比数列｛n a ｝是常数列。

[范例讲解]
课本P57例1、例2、P58例3 解略。

Ⅲ.课堂练习
课本P59练习1、2
[补充练习]
2.（1） 一个等比数列的第9项是94，公比是－3
1，求它的第1项（答案：1a =2916）
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：1a =q
a 2=5, 4a =3a q =40） Ⅳ.课时小结
本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式．
Ⅴ.课后作业
课本P60习题A 组1、2题
●板书设计
●授后记
课题: §2.4等比数列
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法
过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。

情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

●教学重点
等比中项的理解与应用
●教学难点
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1
-n n a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(≠⋅⋅=-q a q a a m m n m n
3．｛n a ｝成等比数列⇔n
n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
Ⅱ.讲授新课
1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）
如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，则ab G ab G G
b a G ±=⇒=⇒=2， 反之，若G 2=ab ,则
G
b a G =，即a ,G ,b 成等比数列。

∴a ,G ,b 成等比数列⇔G 2=ab （a ·b ≠0） [范例讲解]
课本P58例4 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n+1项分别为：
n n n
n n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅.)()(211
2111211111q q q q b a q q b a b a b a n n
n n n n ==⋅⋅-++ 它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q 1q 2为公比的等比数列
拓展探究：
对于例4中的等比数列{n a }与{n b }，数列{n n
a b }也一定是等比数列吗？ 探究：设数列{n a }与{n b }的公比分别为12q q 和，令n n n a c b =，则111n n n a c b +++= 1
111112()()n n n n n n n n n n
a c
b a b q a
c a b q b +++++∴===，所以，数列{n n a b }也一定是等比数列。

课本P59的练习4
已知数列{n a }是等比数列，（1）2537a a a =是否成立？2519a a a =成立吗？为什
么？
（2）211(1)n n n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？
2(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？
结论：2．等比数列的性质：若m+n=p+k ，则k p n m a a a a =
在等比数列中，m+n=p+q ，k p n m a a a a ,,,有什么关系呢？ 由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a 11k 11 --⋅==k p p q a a q a a 221-+=⋅n m n m q a a a ，221-+=⋅k p k p q a a a 则k p n m a a a a = Ⅲ.课堂练习
课本P59-60的练习3、5 Ⅳ.课时小结
1、若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅
2、若{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，则{}n n b a ⋅、{n n a b }也是等比数列 Ⅴ.课后作业
课本P60习题2.4A 组的3、5题。