2018春高中数学必修五课件：2.5 第1课时 等比数列的前n项和2 精品

解：{an}是等比数列，理由如下： a1＝S1＝a2－1，当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(a2n－1)－(a2n－2－1) ＝(a2－1)a2n－2， 此时，n＝1时，a1＝a2－1.
∴数列{an}的通项公式为an＝(a2－1)a2n－2(n∈N*)． 即数列{an}是首项为a2－1，公比为a2的等比数列． 方法点评：将已知条件Sn＝a2n－1与an＝Sn－Sn－1 结合起来 ，得到n≥2时的通项公式an＝(a2－1)a2n－2， 特别注意的是，n＝1时即a1＝a2－1能否统一到an＝(a2－ 1)·a2n－2中去，如果能统一起来，则数列{an}为等比数列， 否则数列{an}不是等比数列．
∴Sn＝1－21n－
n 2n＋1.
2．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．
解：(1)当
x＝1
时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝n
n＋1 2.
(2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn， xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1， ∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
(2)证明：当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)， 得aan－n 1＝－12，所以{an}是首项为－12，公比为－12 的等比数列．
误区解密 漏掉q＝1而导致错误
【例4】 在数列{an}中，an＝a2n－an(a≠0)求{an} 的前n项和Sn.
错解：Sn＝a1＋a2＋…＋an
0a＝1 综上 Sn＝n＋1－2－1n a＝－1
a211－－aa22n－a11－－aan a≠±1
课堂总结
1．等比数列的前 n＝na1；另一类是当 q≠1 时，Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq
2．在等比数列中的五个量Sn，n，a1，q，an中， 由前n项和公式结合通项公式，知道三个量便可求其余 的两个量，同时还可以利用前n项和公式解与之有关的 实际问题．
＝(a2＋a4＋…＋a2n)－(a＋a2＋…＋an)
＝a211－－aa22n－a11－－aan.
错因分析：等比数列求和，一定要注意公比是 否等于1，否则将导致错误．
正解：当 a＝1 时，an＝0， ∴Sn＝0 当 a＝－1 时，a2＝1，∴Sn＝n－a11－－aan ＝n＋1－2－1n. 当 a≠±1 时，Sn＝a211－－aa22n－a11－－aan
解法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，
得 q3＝18，从而 q＝12.
又 a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，
所以 a1＝8，
从而 S5＝a111－－qq5＝321. (3)因为 a2an－1＝a1an＝128， 所以，a1，an 是方程 x2－66x＋128＝0 的两根． 从而aa1n＝＝26，4 或aan1＝＝624，.
特别提示：(1)等比数列的前n项和的公式及通 项公式涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，只要知道其 中任意三个量，都可以通过建立方程(组)等手段求出 其余两个量，俗称“知三求二”．
(2)在应用公式求和时，应注意到公式的使用条 件为q≠1，当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.在 解含字母参数的等比数列求和问题时，应分别讨论
又 Sn＝a11－－aqnq＝126，
所以nq＝＝26，
或 q＝12， n＝6，
所以 q 为 2 或12.
方法点评：(1)这是一类基础题，要熟练应用等比 数列的通项公式及前n项和公式，运用方程的思想，解 决两个最基本的量：首项a1和公比q.在等比数列的求和 问题中，经常使用整体代换的思想．
(2)在使用等比数列的前n项和公式时，要注意讨 论公比q＝1和q≠1两种情况．
(3)
a2 n+1
＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，
n∈N*)⇔{an}是等比数列．
典例剖析
题型一 等比数列前n项和公式的基本运算
【例1】 在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求 S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.
q≠1与q＝1两种情况．
(3)等比数列前 n 项和公式的另一种形式是：
na1q＝1，
Sn＝a1－anq 1－q
q≠1.
2．等比数列的判定方法
(1)an＋1＝anq(an≠0，q是不为0的常数， n∈N*)⇔{an}为等比数列．
(2)an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an} 是等比数列．
3．错位相减法是数列求和的重要方法，必须理 解数列特征及掌握求和方法．
答案：3或－4
4．若一个等比数列的前 4 项的和为185，公比为12， 则其首项为________．
【解析】由题知a111－－12124＝185.所以 a1＝1. 答案：1
要点阐释
1．等比数列前n项和公式的推导
设等比数列a1，a2，a3，…，an，…它的前n项和是
Sn＝a1＋a2＋…＋an.
由等比数列的通项公式可将Sn写成
＝x11－－xxn－nxn＋1. ∴Sn＝x11－－xxn2－n1x－n＋x1.
nn＋1 综合所述，Sn＝x11－－2 xxn2－n1x－n＋x1
x＝1， x≠1且x≠0.
题型三 判断等比数列
【例3】 已知数列{an}的前n项和Sn＝a2n－1(a≠0，±1； n∈N*)，试判断{an}是否为等比数列，为什么？
答案：不一定，例如当a＝0时，数列就不是等 比数列．
预习测评
1．等比数列1，a，a2，a3，…的前n项和为( )
A．1＋a11－－aan－1
1－an B. 1－a
an＋1－1 C. a－1
D．以上皆错
【解析】要考虑到公比为1的情况，此时Sn＝n. 答案：D
2．数列{2n－1}的前99项和为
()
A．2100－1
2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和
1．记住等比数列的前n项和公式，能够利用公式 求等比数列的前n项和．
2．掌握前n项和公式的推导方法．
自学导引
1．在等比数列{an}中，若公比q＝1，则其前n项 和Sn＝________.
答案：na1 2．在等比数列{an}中，若公比q≠1，则其前n项和 Sn＝________＝________.
B．1－2100
C．299－1
D．1－299
【解析】a1＝1，q＝2， ∴S99＝1×11－－2299＝299－1. 答案：C
3．若等比数列{an}的前3项的和为13，首项为1， 则其公比为__________．
【解析】由题知11－－qq3＝13,1＋q＋q2＝13，q2＋q －12＝0，所以 q＝3 或 q＝－4.
答案：a111－－qqn
a1－anq 1－q
自主探究
1．等比数列的前n项和公式与函数有哪些关系？
答案：(1)当公比 q≠1 时，等比数列的前 n 项和公 式是 Sn＝a111－－qqn，它可以变形为 Sn＝－1－a1 q·qn＋1－a1 q， 设 A＝1－a1 q，上式可写成 Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常 数列的等比数列的前 n 项和 Sn 是由关于 n 的一个指数式 与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为 相反数．
3．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝13(an－1)(n∈N*)． (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列．
解：(1)由 S1＝13(a1－1)，得 a1＝13(a1－1)，
∴a1＝－12.又 S2＝13(a2－1)．即
a1＋a2＝13(a2－1)，得 a2＝14.
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．
(2)当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图 象是函数y＝－Aqx＋A图象上的一群孤立的点．当q ＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比 例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．
2．数列a，a2，a3，…，an，…一定是等比数列 吗？
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.
①
①式两边同乘以q得，
qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn.
②
①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，由此得q≠1时，
Sn＝a111－－qqn. ∵an＝a1qn－1，所以上式可化为 Sn＝a11－－aqnq.
当q＝1时，Sn＝na1. 以上的推导方法叫做“错位相减法”．这是中学数 学里比较重要的一种求和方法，要多用心体会．
解：(1)由题意知aa1111＋ ＋qq＋＝q320＝，155，
解得aq1＝＝55，
a1＝180， 或q＝－56’
从而
Sn＝14×5n＋1－54或
1 Sn＝
080×111－－56n.
a1＋a1q2＝10， (2)解法一：由题意知a1q3＋a1q5＝54，
a1＝8， 解得q＝12，
从而 S5＝a111－－qq5＝321.
若本例(1)中的条件不变，如何求{an}的通项公式？ 解：∵S2＝30，S3＝155，∴a3＝S3－S2＝125， 即 a1·q2＝125.∴a1＝1q225. 又∵a1＋a1q＝30， ∴1q225＋12q5＝30，即 6q2－25q－25＝0.
解得：aq1＝＝55，
a1＝180， 或q＝－56.
∴an＝5n 或 an＝180×－56n－1.
题型二 错位相减法求和
【例 2】 求12＋24＋38＋…＋2nn的和．
解：设 Sn＝12＋24＋38＋…＋2nn， 则12Sn＝14＋28＋136＋…＋2nn＋1，
两式相
减得：12Sn＝12＋14＋18＋…＋21n－
n 2n＋1
＝1211－－1221n－2nn＋1＝1－21n－2nn＋1，