19-20版 第2章 2.4 第1课时 等比数列

) D．2
C [设 2＋ 3和 2－ 3的等比中项为 a， 则 a2＝(2＋ 3)(2－ 3)＝1.即 a＝±1.]
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2．下列数列为等比数列的序号是________． ①2，22，3×22；②1a，a12，a13，a14，a15(a≠0)；③s－1，(s－1)2， (s－1)3，(s－1)4，(s－1)5；④0，0，0，0，0.
方法(易错点)．
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自主预习 探新知
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1．等比数列的概念 (1)文字语言：
如果一个数 列从第 _2_ 项起， 每 一项与它的 前一项的 比等于 _同__一__常_数__，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列 的_公_比__，公比通常用字母 q 表示(q≠0)．
(2)符号语言：
q 为公比．
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4．等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为 an＝aq1·qn，而 y＝aq1·qx(q≠1)是 一个不为 0 的常数aq1与指数函数 qx 的乘积，从图象上看，表示数列
{aq1·qn}中的各项的点是函数 y＝aq1·qx 的图象上的_孤_立__点．
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的等比中项．
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思路探究：(1)用定义求等比中项． (2)证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可． (1)A [由 an＝18·2n－1＝2n－4 知，a4＝1，a8＝24，所以 a4 与 a8 的等 比中项为±4.]
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(2)[证明] b 是 a，c 的等比中项，则 b2＝ac，且 a，b，c 均不为 零，
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1．等比数列的通项公式涉及 4 个量 a1，an，n，q，只要知道其 中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1 和 q 是等比数列的 基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
2．关于 a1 和 q 的求法通常有以下两种方法： (1)根据已知条件，建立关于 a1，q 的方程组，求出 a1，q 后再求 an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1，最后求 an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
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思考：当 G2＝ab 时，G 一定是 a，b 的等比中项吗？ [提示] 不一定，如数列 0，0，5 就不是等比数列．
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3．等比数列的通项公式 一 般 地 ， 对 于 等 比 数 列 {an} 的 第 n 项 an ， 有 公 式 an ＝
___a1_·_q_n－__1 ______．这就是等比数列{an}的通项公式，其中 a1 为首项，
第二章 数列
2.4 等比数列 第1课时 等比数列
学习目标
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核心素养
1.理解等比数列的定义(重 1.通过等比数列的通项公式及等
点). 比中项的学习及应用，体现了数学
2.掌握等比数列的通项公式 运算素养.
及其应用(重点、难点). 2.借助等比数列的判定与证明，培
3.熟练掌握等比数列的判定 养逻辑推理素养.
思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列 的通项公式．
[提示] 还可以用累乘法． 当 n>2 时，aan－n 1＝q，aann－ －12＝q，…，aa21＝q， ∴an＝a1·aa21·aa32…aann－ －12·aan－n 1＝a1·qn－1.
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1．2＋ 3和 2－ 3的等比中项是(
又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2， (ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2 ＝(a2＋b2)(b2＋c2)，即 ab＋bc 是 a2＋b2 与 b2＋c2 的等比中项．
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合作探究 提素养
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等比数列的通项公式及应用
【例 1】 在等比数列{an}中． (1)已知 a1＝3，q＝－2，求 a6； (2)已知 a3＝20，a6＝160，求 an.
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[解] (1)由等比数列的通项公式得， a6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为 q， 那么aa11qq25＝ ＝21060，， 解得qa＝ 1＝25，. 所以 an＝a1qn－1＝5×2n－1.
① ②
由② ①得q3＝4，从而q＝3 4，而a1q3＝2，
于是a1＝q23＝12， 所以an＝a1qn－1＝22n3－5.
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等比中项
【例 2】 (1)等比数列{an}中，a1＝18，q＝2，则 a4 与 a8 的等比
中项是( )
A．±4
B．4
C．±14
D．14
(2)已知 b 是 a，c 的等比中项，求证：ab＋bc 是 a2＋b2 与 b2＋c2
①
a5＝a4q＝a3q2＝a2q3＝a1q4＝14，
②
所以②÷①得 q3＝18，所以 q＝12.]
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4．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则 a7＝________．
－729 [由等比数列定义知aa76＝aa65＝aa54＝q. 所以 a5＝a4q＝27×(－3)＝－81， a6＝a5q＝－81×(－3)＝243， a7＝a6q＝243×(－3)＝－729.]
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1．在等比数列{an}中， (1)若它的前三项分别为 5，－15，45，求 a5； (2)若 a4＝2，a7＝8，求 an.
[解] (1)∵a5＝a1q4，而 a1＝5， q＝aa21＝－3，∴a5＝405.
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(2)因为aa47＝ ＝aa11qq36， ，所以aa11qq36＝＝28，，
aan＋n 1＝_q_(q 为常数，q≠0，n∈N*)．
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思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两 项的比”吗？
[提示] 不能．
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2．等比中项 (1)前提：三个数 a，G，b 成等比数列．
(2)结论：_G_叫做 a，b 的等比中项． (3)满足的关系式：G2＝_a_b__．
② [222≠3×2222，所以①不是等比数列；②是首项为1a，公比为1a的 等比数列；③中，当 s＝1 时，数列为 0，0，0，0，0，所以不是等 比数列；④显然不是等比数列．]
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3．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝14，则公比 q＝________．
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[由定义知aa21＝aa32＝aa43＝aa54＝q，则 a2＝a1q＝2，