等比数列前n项和第二课时

2 n ( n−1) 综上，当 a = 1 时，原式 = n − (1+ 2 +L+ n) = − 2 a (1− an ) n ( n +1) 当 a ≠ 1 时，原式 = − 1− a 2
a ≠ 1且a ≠ 0
原式
1− a
公式的实际应用
某商场今年销售计算机5000台.如果平均每 例3.某商场今年销售计算机 某商场今年销售计算机 台 如果平均每 年的销售量比上一年的销售量增加10％， ％，那么从 年的销售量比上一年的销售量增加 ％，那么从 今年起，大约几年可使总销售量达到30000台 今年起，大约几年可使总销售量达到 台 结果保留到个位）？ （结果保留到个位）？
知三求二
类比推理，归纳性质
如果一个等比数列前5项的和等于 例4.如果一个等比数列前 项的和等于 ，前10项的和 如果一个等比数列前 项的和等于10， 项的和 等于50，求它的前15项的和 项的和. 等于 ，求它的前 项的和 项和为 解：设该等比数列的首项为 a1 ，公比为 q ，前n项和为 Sn
S 此时， 当 q = 1 时， 5 = 5a1 ⇒ 10 = 5a1 ⇒ a1 = 2 此时，S10 = 10a1 = 20 ≠ 50 故 q ≠1 a1 (1 − q 5 ) a1 (1 − q10 ) S10 = = 50 ∴ S5 = 1 − q = 10 1− q
问题5：怎样理解“ 问题 ：怎样理解“平均每年的销售量比上一年的销售量 增加10％ 增加 ％”？ 如果把每年的销售量看成一个数列， 如果把每年的销售量看成一个数列，则这个数列 是一个等比数列. 是一个等比数列
某商场今年销售计算机5000台.如果平均每年的销售量 例3.某商场今年销售计算机 某商场今年销售计算机 台 如果平均每年的销售量 比上一年的销售量增加10％，那么从今年起， ％，那么从今年起 比上一年的销售量增加 ％，那么从今年起，大约几年可 使总销售量达到30000台（结果保留到个位）？ 使总销售量达到 台 结果保留到个位）？ 解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同. 所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列{an } 其中 a1 = 5000, q = 1 + 10％ = 1.1, Sn = 30000 于是得到
例2.求和： a − 1) + a 2 − 2 + L a n − n (
(

)
(
)
( a −1) + ( a2 − 2) +L+ ( an − n) = ( a + a2 +L+ an ) − (1+ 2 +L+ n) 解： n ( n +1) 分组求和 （1）当 a = 0时， 原式 = − (1+ 2 +L+ n) = − 2 n ( n−1) （2）当 a = 1 时， 原式 = n − (1+ 2 +L+ n) = − 2 n a (1− a ) n ( n +1) （3）当 时， = −
复习回顾
等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起 项起， 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与 它的前一项的比都等于同一个常数， 它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列 叫做等比数列. 叫做等比数列 an = a1q n −1 = am q n − m 等比数列的通项公式
na1 , ( q = 1) S n = a (1 − q n ) a − a q 等比数列的前n项和公式 等比数列的前 项和公式 1 = 1 n , ( q ≠ 1) 1− q 1− q
问题1：第一个正方形的边长和第二个正方形的边长有 什么关系？你能发现规律吗？ 设这10个正方形的边长构成数列{an }，则数列 {an }是等比数列 问题2：第一个正方形的面积和第二个正方形的面积有 什么关系？你能发现规律吗？ 设这10个正方形的面积构成数列{bn }，则数列 {bn }是等比数列 问题3：怎样求这10个正方形的面积之和？ 这10个正方形的面积之和就是数列 {bn }的前10项的和.
∴ Sn , S2 n − Sn , S3n − S2 n ,L 是等比数列
如果一个等比数列前5项的和等于 例4.如果一个等比数列前 项的和等于 ，前10项的和 如果一个等比数列前 项的和等于10， 项的和 等于50，求它的前15项的和 项的和. 等于 ，求它的前 项的和 另解： 另解：∵ S5 , S10 − S5 , S15 − S10 也成等比数列 而 S5 = 10, S10 − S5 = 50 − 10 = 40 402 ∴ S15 − S10 = 10 = 160 ∴ S15 = S5 + ( S10 − S5 ) + ( S15 − S10 ) = 10 + 40 + 160 = 210 项的和与前3项的和的比等 练：已知一个等比数列前6项的和与前 项的和的比等 已知一个等比数列前 项的和与前 项的和与前12项的和的比 于3，求前 项的和与前 项的和的比 (1: 5 ) ，求前6项的和与前 项的和的比.
如图，画一个边长为 的正方形， 如图，画一个边长为2cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连 的正方形 得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了10个正方形 个正方形.求 得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了 个正方形 求： （1）第5个正方形的边长； ） 个正方形的边长； 个正方形的边长 个正方形的面积； （2）第10个正方形的面积； ） 个正方形的面积 个正方形的面积之和. （3）这10个正方形的面积之和 ） 个正方形的面积之和
这五个量中，知三求二； 在 a1 , q, an , n, Sn 这五个量中，知三求二； 运用等比数列求和公式的时候， 运用等比数列求和公式的时候，一定要对公比是否为 1进行检查，注意分类讨论； 进行检查， 进行检查 注意分类讨论； 在解决实际问题的时候， 在解决实际问题的时候，注意根据题目的意思建立等 比数列的模型，转化为能用公式解决的问题； 比数列的模型，转化为能用公式解决的问题； 等比数列与等差数列有很多的性质可以类比
普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5
2.5 等比数列的前n项和 等比数列的前n （第二课时）
华师一附中 李继林
一、实例探究
如图，画一个边长为2cm的正方形，再将这 的正方形， 例1. 如图，画一个边长为 的正方形 个正方形各边的中点相连得到第二个正方形， 个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依 此类推，这样一共画了10个正方形 个正方形.求 此类推，这样一共画了 个正方形 求： （1）第5个正方形的边长； ） 个正方形的边长； 个正方形的边长 个正方形的面积； （2）第10个正方形的面积； ） 个正方形的面积 个正方形的面积之和. （3）这10个正方形的面积之和 ） 个正方形的面积之和
作业
完成习题2.5A组，其中第5题为选做题 组 其中第 题为选做题 完成习题 尝试类比等差数列和等比数列的性质
解：（1）设这10个正方形的边长构成数列 {an } ，
2 则数列{an } 是等比数列， 且 a1 = 2, q = 4 24 2 1 ∴第五个正方形的边长 a5 = a1q = 2 × = 2 2 （2）设这10个正方形的面积构成数列 {bn }，且 bn = an 2 1 b1 = a12 = 4, q′ = q 2 = 则数列 {bn }是等比数列，且 2 9 1 ∴第10个正方形的面积 b10 = b1q′9 = 4 × = 1 2 128 （3）这10个正方形的面积之和即数列 {bn } 的前10项之和
思考
问题8：在公差为 项和， 问题 ：在公差为d的等差数列{an }中， n 为其前 项和，则 S 为其前n项和
S n , S 2 n − S n , S3n − S 2 n ,L 也成等差数列， 公差 d ′ 为多少？ 也成等差数列， 为多少？
等比数列的类似结论呢？ 等比数列的类似结论呢？
小结
S10 = b1 (1 − q ′1 0 ) 1 − q′
10 1 4 1 − 2 = 1 1− 2

10 1 = 8 × 1 − 2
1023 = 128
公式再应用
例2.求和： a − 1) + ( a 2 − 2 ) + L + ( a n − n ) ( 问题4：能看成等比数列的前 项和吗 项和吗？ 问题 ：能看成等比数列的前n项和吗？ 等比数列中不能有“0”这样的项； 这样的项； 等比数列中不能有“ 这样的项 等比数列的前n项和公式需要对公比 是否等于1进行 项和公式需要对公比q是否等于 等比数列的前 项和公式需要对公比 是否等于 进行 分类讨论. 分类讨论
a1 (1 − q n ) 1− q an +1 (1 − q n ) S 2 n − S n = an +1 + an + 2 + L + a2 n= 1− q a2 n +1 (1 − q n ) S3n − S 2 n = a2 n +1 + a2 n + 2 + L + a3n = 1− q 2 ∵ an +1 = a1 ⋅ a2 n +1 ∴ Sn , S2 n − Sn , S3n − S2 n 是等比数列
n = 30000 整理得：1.1 = 1.6 1 − 1.1 lg1.6 两边取对数，得 n lg1.1 = lg1.6 即 n = lg1.1 a1 , q, an , n, Sn 0.202 ≈5 （年） n≈ 由计算器算得 0.041
5000 (1 − 1.1n )
答：大约5年可使总销售量达到30000台
1 − q10 两式相除得： 两式相除得： 5 = 5 ⇒ 1 + q5 = 5 ⇒ q5 = 4 1− q