2.5 等比数列的前n项和(第2课时)-【百强校】 高中数学必修五课件(共32张PPT)
项和，则：①在其前 2n 项中，SS偶奇＝q； ②在其前 2n＋1 项中，S 奇－S 偶＝a1－a2＋a3－a4＋…
－a2n＋a2n＋1＝a11＋－a－2n＋q1q＝a1＋1＋a2qn＋2(q≠－1).
类型一 等比数列前n项和公式的函数特征应用
例1 已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)， 求证：数列{an}为等比数列. 证明 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1； 当n＝1时，a1＝a－1，满足上式， ∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*. ∴aan＋n 1＝a， ∴数列{an}是等比数列.
A.24
√ B.12
C.18
D.22
解析 设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.
∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.
1234
解析 答案
课后作业
Sn
a1(1 qn ) 1q
a1 anq 1 q
,
q 1
na1,
q 1
知识点一 等比数列前n项和的函数特征
类比于等差数列前 n 项和公式的函数特征： Sn An 2 Bn ，
等比数列前 n 项和公式又有何特征呢？
反馈练习：等差数列{an}的前n项和为S n , 若S n n2 2n t,则t .
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
＝x11－－xxn－nxn＋1，
∴Sn＝x11－－xxn2－n1x－n＋x1.
nn＋ 2 1，x＝1，
综上可得，Sn＝x11－－xxn2－n1x－n＋x1，x≠1且x≠0.
(教材P62 1) an an1b an2b2 L abn1 bn an bn (a b, 且a,b不为0)
√A.－3
B.－13
C.3
1 D.3
解析 ∵a2＋a4＋a6＋a8＝a1q＋a3q＋a5q＋a7q
＝q(a1＋a3＋a5＋a7)
∴aa12＋ ＋aa34＋ ＋aa56＋ ＋aa78＝1q＝－3.
跟踪训练3 设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn} 是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1 ba2 ba3 … b＝a6 __1_2_6.
证明 方法一 设此等比数列的公比为q，首项为a1， 当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1， ∴S2n＋S22n＝n2a21＋4n2a21＝5n2a21， Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a21， ∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n). 当 q≠1 时，Sn＝1－a1q(1－qn)， S2n＝1－a1 q(1－q2n)，S3n＝1－a1 q(1－q3n)，
练习.等比数列{an}的前n项和为S n，公比为q, 且S3 , S9 , S6成等差数列, 求q3的值.
反思与感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形， 在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
知识点二 等比数列前n项和性质
梳理 等比数列{an}前n项和的三个常用性质 (1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn， S3n－S2n仍构成等比数列. (2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*). (3)若{an}是公比为 q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数
跟踪训练2 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
解 因为S2n≠2Sn，所以q≠1，
a111－－qqn＝48，
①
由已知得a111－－qq2n＝60，
②
②÷①得 1＋qn＝54，即 qn＝14.
③
将③代入①得1－a1 q＝64，
所以 S3n＝a111－－qq3n＝64×1－413＝63.
反思与感悟 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比不为1的 等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法.
跟踪训练4 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0).
nn＋1 解 当 x＝1 时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝ 2 ；
当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
人民教育出版社A版必修5
第二章 数列
§2.5 等比数列的前n项和（2）
教学目标
知识目标：1.理解等比数列前n项和公式的函数特征. 2.会用错位相减法求和.
能力目标：熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质 解题.
知识回顾
an a1qn1 amqnm
an qnm am
m n p q aman apaq
反馈练习：等差数列{an}的前n项和为S n , 若S 3 4, S6 6,则S12 .
练习：教材P58练习2 如果一个等比数列的前5项和等于10，前10项的和等于50， 那么它前15项的和等于多少？
命题角度2 不连续n项之和问题
例 3 已知等比数列{an}的公比 q＝－13，则aa12＋＋aa34＋＋aa56＋＋aa78等于
当q 1时
Sn
a1(1 qn ) 1 q
a1 （1 1q
qn）
Sn
k(1
qn)
知识点一 等比数列前n项和的函数特征
思考 若数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？ 若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－1呢？ 答案 当Sn＝2n－1时， an＝SS1n， －nS＝ n－11，，n≥2 ＝12， n－1n，＝n1≥，2 n∈N*是等比数列； 当Sn＝2n＋1－1时，
跟踪训练1 若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝－__13__. 解析 显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)， 又 Sn＝13·3n＋t，∴t＝－13.
类型二 等比数列前n项和的性质 命题角度 1 连续 n 项之和问题
例 2 已知等比数列前 n 项，前 2n 项，前 3n 项的和分别为 Sn，S2n，S3n， 求证：S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n).
∴S2n＋S22n＝1－a1 q2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]
＝1－a1 q2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n). 又 Sn(S2n＋S3n)＝1－a1 q2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)， ∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n). 方法二 根据等比数列的性质有 S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn， ∴S2n＋S22n＝S2n＋[Sn(1＋qn)]2＝S2n(2＋2qn＋q2n)， Sn(S2n＋S3n)＝S2n(2＋2qn＋q2n). ∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n).
an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2 ＝32，n，nn＝≥12， n∈N*不是等比数列.
知识点一 等比数列前n项和的函数特征
梳理 当公比 q≠1 时，设 A＝q－a11，等比数列的前 n 项和公式是 Sn＝
A(qn－1).即 Sn 是 n 的指数型函数.
当公比 q＝1 时，因为 a1≠0，所以 Sn＝na1，Sn 是 n 的正比例函数.
ab
达标检测
1.已知等比数列{an}的公比为2，且其前5项和为1，那么{an}的前10项和 等于
A.31
B.33 √
C.35
Hale Waihona Puke D.37解析 设{an}的公比为q，由题意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1， 则a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32， ∴S10＝1＋32＝33.
知识点二 等比数列前n项和性质 思考 若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn， S3n－S2n成等比数列吗？ 答案 设{an}的公比为q，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n都不为0， Sn＝a1＋a2＋…＋an， S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n ＝a1qn＋a2qn＋…＋anqn＝qnSn， S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n ＝an＋1qn＋an＋2qn＋…＋a2nqn ＝qn(S2n－Sn)， ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn.
1234
解析 答案
2.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn＝x·3n－1－16，则 x 的值为
A.13
B.－13
√C.12
D.－12
1234
解析 答案
解析 方法一 ∵Sn＝x·3n－1－16＝3x·3n－16， 由 Sn＝A(qn－1)，得3x＝16，∴x＝12，故选 C. 方法二 当 n＝1 时，a1＝S1＝x－16； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2， ∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2， 即 2x·3－1＝x－16，解得 x＝12.
1234
3.已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋bn＋c，等比数列{bn}的前n项和Tn ＝3n＋d，则向量a＝(c，d)的模为
√A.1
C. 3
B. 2 D.无法确定
解析 由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c＝0，d＝－1，
所以向量a＝(c，d)的模为1.
1234
解析 答案
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99 等于
解析
Q
ban 1 ban
b qan11 1
b1 qan 1
qan1an
2,
∴{ban}是首项为b2，公比为2的等比数列.
－a2n＋a2n＋1＝a11＋－a－2n＋q1q＝a1＋1＋a2qn＋2(q≠－1).
类型一 等比数列前n项和公式的函数特征应用
例1 已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)， 求证：数列{an}为等比数列. 证明 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1； 当n＝1时，a1＝a－1，满足上式， ∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*. ∴aan＋n 1＝a， ∴数列{an}是等比数列.
A.24
√ B.12
C.18
D.22
解析 设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.
∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.
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解析 答案
课后作业
Sn
a1(1 qn ) 1q
a1 anq 1 q
,
q 1
na1,
q 1
知识点一 等比数列前n项和的函数特征
类比于等差数列前 n 项和公式的函数特征： Sn An 2 Bn ，
等比数列前 n 项和公式又有何特征呢？
反馈练习：等差数列{an}的前n项和为S n , 若S n n2 2n t,则t .
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
＝x11－－xxn－nxn＋1，
∴Sn＝x11－－xxn2－n1x－n＋x1.
nn＋ 2 1，x＝1，
综上可得，Sn＝x11－－xxn2－n1x－n＋x1，x≠1且x≠0.
(教材P62 1) an an1b an2b2 L abn1 bn an bn (a b, 且a,b不为0)
√A.－3
B.－13
C.3
1 D.3
解析 ∵a2＋a4＋a6＋a8＝a1q＋a3q＋a5q＋a7q
＝q(a1＋a3＋a5＋a7)
∴aa12＋ ＋aa34＋ ＋aa56＋ ＋aa78＝1q＝－3.
跟踪训练3 设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn} 是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1 ba2 ba3 … b＝a6 __1_2_6.
证明 方法一 设此等比数列的公比为q，首项为a1， 当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1， ∴S2n＋S22n＝n2a21＋4n2a21＝5n2a21， Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a21， ∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n). 当 q≠1 时，Sn＝1－a1q(1－qn)， S2n＝1－a1 q(1－q2n)，S3n＝1－a1 q(1－q3n)，
练习.等比数列{an}的前n项和为S n，公比为q, 且S3 , S9 , S6成等差数列, 求q3的值.
反思与感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形， 在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
知识点二 等比数列前n项和性质
梳理 等比数列{an}前n项和的三个常用性质 (1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn， S3n－S2n仍构成等比数列. (2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*). (3)若{an}是公比为 q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数
跟踪训练2 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
解 因为S2n≠2Sn，所以q≠1，
a111－－qqn＝48，
①
由已知得a111－－qq2n＝60，
②
②÷①得 1＋qn＝54，即 qn＝14.
③
将③代入①得1－a1 q＝64，
所以 S3n＝a111－－qq3n＝64×1－413＝63.
反思与感悟 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比不为1的 等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法.
跟踪训练4 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0).
nn＋1 解 当 x＝1 时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝ 2 ；
当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
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第二章 数列
§2.5 等比数列的前n项和（2）
教学目标
知识目标：1.理解等比数列前n项和公式的函数特征. 2.会用错位相减法求和.
能力目标：熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质 解题.
知识回顾
an a1qn1 amqnm
an qnm am
m n p q aman apaq
反馈练习：等差数列{an}的前n项和为S n , 若S 3 4, S6 6,则S12 .
练习：教材P58练习2 如果一个等比数列的前5项和等于10，前10项的和等于50， 那么它前15项的和等于多少？
命题角度2 不连续n项之和问题
例 3 已知等比数列{an}的公比 q＝－13，则aa12＋＋aa34＋＋aa56＋＋aa78等于
当q 1时
Sn
a1(1 qn ) 1 q
a1 （1 1q
qn）
Sn
k(1
qn)
知识点一 等比数列前n项和的函数特征
思考 若数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？ 若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－1呢？ 答案 当Sn＝2n－1时， an＝SS1n， －nS＝ n－11，，n≥2 ＝12， n－1n，＝n1≥，2 n∈N*是等比数列； 当Sn＝2n＋1－1时，
跟踪训练1 若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝－__13__. 解析 显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)， 又 Sn＝13·3n＋t，∴t＝－13.
类型二 等比数列前n项和的性质 命题角度 1 连续 n 项之和问题
例 2 已知等比数列前 n 项，前 2n 项，前 3n 项的和分别为 Sn，S2n，S3n， 求证：S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n).
∴S2n＋S22n＝1－a1 q2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]
＝1－a1 q2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n). 又 Sn(S2n＋S3n)＝1－a1 q2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)， ∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n). 方法二 根据等比数列的性质有 S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn， ∴S2n＋S22n＝S2n＋[Sn(1＋qn)]2＝S2n(2＋2qn＋q2n)， Sn(S2n＋S3n)＝S2n(2＋2qn＋q2n). ∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n).
an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2 ＝32，n，nn＝≥12， n∈N*不是等比数列.
知识点一 等比数列前n项和的函数特征
梳理 当公比 q≠1 时，设 A＝q－a11，等比数列的前 n 项和公式是 Sn＝
A(qn－1).即 Sn 是 n 的指数型函数.
当公比 q＝1 时，因为 a1≠0，所以 Sn＝na1，Sn 是 n 的正比例函数.
ab
达标检测
1.已知等比数列{an}的公比为2，且其前5项和为1，那么{an}的前10项和 等于
A.31
B.33 √
C.35
Hale Waihona Puke D.37解析 设{an}的公比为q，由题意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1， 则a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32， ∴S10＝1＋32＝33.
知识点二 等比数列前n项和性质 思考 若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn， S3n－S2n成等比数列吗？ 答案 设{an}的公比为q，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n都不为0， Sn＝a1＋a2＋…＋an， S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n ＝a1qn＋a2qn＋…＋anqn＝qnSn， S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n ＝an＋1qn＋an＋2qn＋…＋a2nqn ＝qn(S2n－Sn)， ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn.
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解析 答案
2.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn＝x·3n－1－16，则 x 的值为
A.13
B.－13
√C.12
D.－12
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解析 答案
解析 方法一 ∵Sn＝x·3n－1－16＝3x·3n－16， 由 Sn＝A(qn－1)，得3x＝16，∴x＝12，故选 C. 方法二 当 n＝1 时，a1＝S1＝x－16； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2， ∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2， 即 2x·3－1＝x－16，解得 x＝12.
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3.已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋bn＋c，等比数列{bn}的前n项和Tn ＝3n＋d，则向量a＝(c，d)的模为
√A.1
C. 3
B. 2 D.无法确定
解析 由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c＝0，d＝－1，
所以向量a＝(c，d)的模为1.
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解析 答案
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99 等于
解析
Q
ban 1 ban
b qan11 1
b1 qan 1
qan1an
2,
∴{ban}是首项为b2，公比为2的等比数列.
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人教A版高中数学必修五课件2.5.2等比数列的前n项和
1 an 1 S n , 例2. 数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1， 3 求：（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式； （II）a2 a4 a6 a2 n 的值. 1 解：（II）由（I）可知 a2 , a4 , , a2 n 是首项为 ， 3 4 2 公比为 ( ) , 项数为n的等比数列， 3
当n 1 时，a1 1 也满足上式，
a n 3 (1 1n ) . 2 3
课后作业
1.习题2.5B组 2.《启迪》 2.5.2
证明：（1） a n 1 S n 1 S n , a n 1 n 2 S n ,
n
S n1 整理得 nS n1 2( n 1) S n , 即 n 1 2. Sn n Sn 故 { } 是以2为公比的等比数列.
n
( n 2) S n n( S n1 S n ) ，
a 2 a4 a6
a2 n
4 2n 1( ) 3 4 2n 1 3 [( ) 1]. 4 2 7 3 3 1( ) 3
例3 数列{an}的前n项和记为Sn，已知
a1 1, a n1 n 2 S n ( n 1,2,3 ). n
Sn （1）数列 { }是等比数列； ( 2) S n 1 4a n . n
例4 已知数列{an} 满足 a1 , a 2 a1 , a 3 a 2 , , a n a n1 ,
是首项为 1 ，公比为 1 的等比数列 . 3 （ 1 ）求a n 的表达式 ；
（2 ）设bn ( 2n 1)a n , 求 {bn }的前n项和 S n . n 1 1 1 ( n 2) a a 1 ( ) a 1 ， (1) 由已知得 1 解： n n 1 n 1 3 3 a n (a n a n1 ) (a n1 a n 2 ) (a 2 a1 ) a1 1 1 1 1 1 3 (1 1 ) ( n 2) n n 1 n 2 n 3 2 3 3 3 3 3
高中数学人教A版必修5课件：2.5 等比数列的前n项和
96 = ������1 · 2������ -1 . =
2
② ,
189 ①÷ ②,得 96
2������ -1
������-1
解得 2n=64,则 n=6.代入①,得 a1=3.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思 等比数列的前n项和公式中共有五个量:Sn,an,a1,q,n.“知三求 二”是常见题型,常用解方程组的方法求得,解方程组消元的策略是 将所得方程相除.
∴S3n=
(������2������ -������������ )2 ������������
+ ������2n=
(60-48)2 48
+ 60=63.
反思 此类问题的解题通法是先利用等比数列前n项和公式建立 方程组,求出a1和q,再求解;这种方法思路自然清晰,但有时运算较为 复杂.如果能联想相关性质,运用性质求解,可以提高解题速度,减少 解题时间.特别是在客观题解答中,有时能起到事半功倍之效.
【例1】 在等比数列{an}中,已知Sn=189,q=2,an=96,求a1和n. 分析:已知an,Sn,q,可列方程组求a1和n.
解:由 Sn=
������1 (1-������������ ) 及an=a1· qn-1, 1-������
������1 (1-2������ ) ① 得 189 = 1-2 ,
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 1】 在等比数列{an}中, (1)若 q=2,S4=1,求 S8; (2)若 a1+a3=10,a4+a6 = 4 , 求a4 和 S5.
5
解:(1)设首项为 a1,∵q=2,S4=1, ∴
2
② ,
189 ①÷ ②,得 96
2������ -1
������-1
解得 2n=64,则 n=6.代入①,得 a1=3.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思 等比数列的前n项和公式中共有五个量:Sn,an,a1,q,n.“知三求 二”是常见题型,常用解方程组的方法求得,解方程组消元的策略是 将所得方程相除.
∴S3n=
(������2������ -������������ )2 ������������
+ ������2n=
(60-48)2 48
+ 60=63.
反思 此类问题的解题通法是先利用等比数列前n项和公式建立 方程组,求出a1和q,再求解;这种方法思路自然清晰,但有时运算较为 复杂.如果能联想相关性质,运用性质求解,可以提高解题速度,减少 解题时间.特别是在客观题解答中,有时能起到事半功倍之效.
【例1】 在等比数列{an}中,已知Sn=189,q=2,an=96,求a1和n. 分析:已知an,Sn,q,可列方程组求a1和n.
解:由 Sn=
������1 (1-������������ ) 及an=a1· qn-1, 1-������
������1 (1-2������ ) ① 得 189 = 1-2 ,
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 1】 在等比数列{an}中, (1)若 q=2,S4=1,求 S8; (2)若 a1+a3=10,a4+a6 = 4 , 求a4 和 S5.
5
解:(1)设首项为 a1,∵q=2,S4=1, ∴
人教A版高中数学必修5课件：2.5等比数列的前n项和(共16张PPT)
课堂练习
练习1：已知等比数列an 中，an 96 ，q 2,
Sn 189 ，则n _________.
练习2： 等比数列 1 , 1 , 1 ,…, 的第5项到第10项 248
的和为______.
例题讲解
例2.已知等比数列 an 中，S3 7 ，S6 63,
求 a9.
解:
S6 63 9 2, q 1.
等比数列 {an},公比为 q ,它的前 n 项和 Sn a1 a2 a3 an1 an，
a2 a1q， a3 a2q， a4 a3q， an an1q，
a2a3 an q(a1 a2 a3 an1).
Sn a1 q(Sn an ). (1 q)Sn a1 anq.
方法拓展3
n为奇数，q 为－1时此 法不适用
a2 a3 an q，
a1 a2
an1
利用等 比定理
a2 a3 an q.
a1 a2 an1
即
Sn a1 Sn an
q.
(1q)Sn a1 anq.
例题讲解
例1.已知等比数列
an 中，a1
4
，q
1， 2
求：S10 .
1. 2
a1 1 q
qn，
令 a1 1 q
A，则Sn
A
A qn.
例题讲an1,的前n项和.
No (2)求和： Sn
1 2
2 4
3 4 8 16
n 2n
.
Image 设 an
n 2n
n
1 2n
，其中n为等差数列，
1 2n
为等比数列，公比为 1 ，利用错位相减法求和.
na1，q 1.
Sn
人教版高中数学必修5(A版) 2.5等比数列的前n项和 PPT课件
例3
某商场今年销售计算机5000台，如果平均每 年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么 从今起，大约几年可使总销售量达到30000台 (结果保留到个位)？
5000台 5000×(1+10%)=5000×1.1台 5000×(1+10%) ×(1+10%) 第2年产量为 第3年产量为
分析：第1年产量为
……
第n年产量为
n1
5000 1.12台
50001.1 台
则 n 年内的总产量为：
5 5 1.1 5 1.12 5 1.1n1 30000
例3
某商场今年销售计算机5000台，如果平均每 年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么 从今起，大约几年可使总销售量达到30000台 (结果保留到个位)？
答：约5年可以使总销售量量达到30000台
小结
1.已知 a1 , n, q 则
Sn
{
na 1,
a1 1 q n , 1 q
( q=1).
(q≠1).
( q=1). (q≠1).
已知 a1 , an , q 则
Sn
{
na 1,
a1 an q , 1 q
2.对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1两种情况。
, q 1 10% 1.1, Sn 30000 , 其中 a1 5000
n 5000 1 1 . 1 ∴ 30000 . 1 1.1
解：由题意,从第1年起,每年的销售量组成一个等比数列 an ,
即
1.1 1.6.
n
两边取常用 n lg1.1 lg1.6 对数，得 lg1.6 0.20 5 ( 年) ∴ n lg1.1 0.041
人教A版高中数学必修5课件：2.5等比数列的前n项和(共16张PPT)
例题讲解
例1.已知等比数列
a n 中，a1 4，q
1 2
，
求：S 10 .
课堂练习
练习1：已知等比数列a n 中，an 96，q 2,
Sn 189，则n_________.
练习2： 等比数列 1 , 1 , 1 ,… , 的第5项到第10项 248
的和为______.
例题讲解
例2.已知等比数列 a n 中，S3 7 ，S6 63,
回顾反思 我们学到了什么？
1.等比数列的前n项和公式； 2.公式的推导方法； 3.公式的简单应用——知三求二.
q≠1,q=1 分类讨论
有了这样一个公式, 我们可以解决哪些问题?
需注意什么?
Sn
a1
(1 qn 1 q
)
，q
1，或
na1，q 1.
Sn
a1 an 1 q
q
，q
1，
na1，q 1.
求a 9 .
解: S6 63 9 2, q 1.
S3 7
7 63
a1 (1 q 3 ) ， 1 q
a1 (1 q 6 ) ，
1 q
① ②
② 得 9 1 q3，
①
则 q2,a11.
a9a1q828256.
课堂练习
练习3：
已 知 在 等 比 数 列 a n 中 ， S 3 3 ,a 3 1 ,
则 S6 ______.
练习4：在等比数列{an}中，Sn=k－(
1 2
)n，则实
数k的值为（ B ） 1
3
解 （法 A）1： 2 a1（S1B）k 1 1 2,a（2CS）24 S1 （1 4D,a）3任S3意实S2数8 1，
人教A版高中数学必修五课件2.5.2等比数列前n项和
+a5
+
L
+a99
60,
则S100 ___9_0____ .
2.若某等比数列中前7项的和为48, 前14项的和为60,
则前21项的和为__6_3_.__
3.一个等比数列, 它的项数为偶数,全部各项和
是偶数项和的4倍,前3项之积为64.
求公比q及通项公式.
q
1 3
,
an
12
1 3
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
等比数列的前n项和（二）
复习
等比数列an的前n项和公式
a1
1 qn
a1 anq (q 1)
Sn 1 q
1 q
,
na1 q 1.
引入
1.求等比数列an的前n项和Sn
1 a1 3, q 3, n 6;
解 : 设此数列的公比为q,项数为2n.
则q= S偶 170 2.
S奇 85
又
Q
S奇
a1
1 q2n 1 q2
85,即11qq22n 85.
2n 8,即此数列共有8项.
例2:已知等比数列an,a1+a2 +a3+a4 =4,
a9 +a10 +a11+a12 =16,求a17 +a18 +a19 +a20的值.
推导过程:
1当q 1时, Sn na1,
Sk ka1, S2k Sk ka1, S3k S2k ka1,L
2当q 1时,
由性质1:Sn Sm qmSnm , S2k Sk qk Sk , S3k S2k qk Sk ,L
人教A版高中数学必修五课件2.5.1等比数列的前n项和(二).pptx
n lg1.6 0.20 5(年) lg1.1 0.041
答：约5年可以使总销售量量达到30000台。
例2.为了估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的
区域的面积X，把x轴上的区间[0，3]分成n等份，从各分点作
y 轴的平行线与函数图象相交，再从各交点向左作x轴的平行
线，构成(n-1)个矩形，下面的程序用来计算
解:根据题意 ,每年销售量比上一年增加的百分率
相同,所以,从今年起 ,每年销售量组成一个等比数
列 an,其中 a1 5000 , q 1 10% 1.1, Sn 30000 ,
5000(11.1n ) 30000 即 1.1n 1.6. 1 1.1
两边取对数，得 n lg1.1 lg1.6
这 (n-1)个矩形的面积的和S，请阅读程序，
回答下面的问题： SUM=0
（1）程序中的SUM、 AN分别表示什么，
为什么？
（2）请根据程序分别 计算出当n=6，11，
16时，各个矩形的
k=1 INPUT N WHILE k<=N-1
AN=(9-(k*3/N)^2)*3/N SUM=SUM+AN PRINT k,AN,SUM k=k+1
五、小结
1.等比数列前n项和的性质： 一般地，如果等比数列{an}的前n项和为Sn，则数列 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n ，…仍为等比数列. 公比为qn
2.解数列应用题的关键是：将实际问题抽象成数列模型 通常是等差数列或等比数列
六、作业
P61 A组 2、3
二、练习
1.若等比数列{an
}的公比qຫໍສະໝຸດ 1 3,且a1a3
L
a99
60,
则{an}的前100项和S100 ___8_0___
答：约5年可以使总销售量量达到30000台。
例2.为了估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的
区域的面积X，把x轴上的区间[0，3]分成n等份，从各分点作
y 轴的平行线与函数图象相交，再从各交点向左作x轴的平行
线，构成(n-1)个矩形，下面的程序用来计算
解:根据题意 ,每年销售量比上一年增加的百分率
相同,所以,从今年起 ,每年销售量组成一个等比数
列 an,其中 a1 5000 , q 1 10% 1.1, Sn 30000 ,
5000(11.1n ) 30000 即 1.1n 1.6. 1 1.1
两边取对数，得 n lg1.1 lg1.6
这 (n-1)个矩形的面积的和S，请阅读程序，
回答下面的问题： SUM=0
（1）程序中的SUM、 AN分别表示什么，
为什么？
（2）请根据程序分别 计算出当n=6，11，
16时，各个矩形的
k=1 INPUT N WHILE k<=N-1
AN=(9-(k*3/N)^2)*3/N SUM=SUM+AN PRINT k,AN,SUM k=k+1
五、小结
1.等比数列前n项和的性质： 一般地，如果等比数列{an}的前n项和为Sn，则数列 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n ，…仍为等比数列. 公比为qn
2.解数列应用题的关键是：将实际问题抽象成数列模型 通常是等差数列或等比数列
六、作业
P61 A组 2、3
二、练习
1.若等比数列{an
}的公比qຫໍສະໝຸດ 1 3,且a1a3
L
a99
60,
则{an}的前100项和S100 ___8_0___
2019_2020版高中数学第二章数列2.5.2等比数列前n项和的性质及应用课件新人教A版必修5
“×”. (1)若某一数列的前 n 项和为 Sn=4·3n-1-4,则其必为等比数列. ( )
(2)若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=2·13
������
+m,则 m=-2. (
)
(3)若{an}为等比数列,则 S5,S10,S15 仍然构成等比数列. ( ) (4)若 an 为等比数列,则 a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9 仍然构成等比数 列. ( )
C.210 D.520
(2)在数列{an}中,an+1=can(c为非零常数),且前n项和Sn=3n+k,则实数
k等于
.
解析(1)∵S2=20,S4-S2=40,∴S6-S4=80, ∴S6=S4+80=S2+40+80=140.
(2)依题意得k+1=0,所以k=-1.
答案(1)A (2)-1
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
∵年底付清欠款,∴A12=5 000×1.00812,
即 5 000×1.00812=x(1+1.0082+1.0084+…+1.00810),
∴x=1+1.00852+0010.0×018.40+0…81+2 1.00810≈880.8.
故小华每期付款金额约为 880.8 元.
反思感悟分期付款问题是典型的求等比数列前n项和的应用题,此 类题目的特点是:每期付款数相同,且每期间距相同.解决这类问题 有两种处理方法,如本题中方法一是按欠款数计算,由最后欠款为0 列出方程求解;而方法二是按付款数计算,由最后付清全部欠款列 方程求解.
高中数学人教版必修5课件：2.5等比数列的前n项和(共22张PPT)
解
类型5 分组求和法
把数列的每一项分成若干部分,并分别 的把具有相同特征的部分放到一起,使 其转化为前面的类型数列求和.
2.5等比数列 的前n项和
问题预习
问题1
问题2
首项、公比、项数分别为1，2， 64
问题3
两边同乘以2，即两边同乘以公比2,使原 数列的各项相应增加1次,两式相减时,就有许 多项可以抵消.这种方法称“错位相个数列中
是一个什么角色?
问题5 问题6
问题7 问题8
题型1
例1
解
例2
解1
解2
作业布置
课本P61 A组 1,2,3,4,5
题型2
例3
解1
解2
数列的求和方法的类型 类型1 公式法
公式法常与其它方法相结合使用,单独命题并不多见
类型2 错位相减法
例4
解
类型3 裂项相消法
例5
解
类型4 并项求和法
直接把求和的项按加法结合律两两结合(或三三 结合)求和 例6
类型5 分组求和法
把数列的每一项分成若干部分,并分别 的把具有相同特征的部分放到一起,使 其转化为前面的类型数列求和.
2.5等比数列 的前n项和
问题预习
问题1
问题2
首项、公比、项数分别为1，2， 64
问题3
两边同乘以2，即两边同乘以公比2,使原 数列的各项相应增加1次,两式相减时,就有许 多项可以抵消.这种方法称“错位相个数列中
是一个什么角色?
问题5 问题6
问题7 问题8
题型1
例1
解
例2
解1
解2
作业布置
课本P61 A组 1,2,3,4,5
题型2
例3
解1
解2
数列的求和方法的类型 类型1 公式法
公式法常与其它方法相结合使用,单独命题并不多见
类型2 错位相减法
例4
解
类型3 裂项相消法
例5
解
类型4 并项求和法
直接把求和的项按加法结合律两两结合(或三三 结合)求和 例6
2.5等比数列的前n项和课件(人教A版必修5)
探究点四
与等比数列前n项和有关的实际问题
解决等比数列的实际问题的关键是通过仔细审题，
将实际问题转化为数列问题，构造等比数列模型，分清 楚是与通项公式有关，还是与前n项和有关，然后列出算 式计算相应结果．
某企业年初有资金1 000万元，如果该企业经过 生产经营，每年资金增长率为50%，但每年年底都要扣 除消费资金x万元，余下的资金投入再生产．为实现5年 后，资金达到2 000万元(扣除消费资金后)，那么每年年
1 解：第1年投入800万元，第2年投入800×1－5万元，…， 1n－1 第n年投入800×1－5 万元， 1 1n－1 总投入an＝800＋800×1－5＋…＋800×1－5 ＝
[提示] 设出首项a1，公比q，列出方程组，利用整体思想 求出a1、q.
[解 ]
a11＋q＝30， (1)由题意知 2 a11＋q＋q ＝155，
a1＝5， 解得 q＝5
a ＝180， 1 或 5 q＝－ ， 6
5n 1 080[1－－ ] 6 1 n＋1 5 从而 Sn＝ ×5 － 或 Sn＝ . 4 4 11
*
2．求前n项和，通法通解是列方程组，求首项a1和公比q，
但用等比数列的性质，尤其是解决选择、填空题，显
得简捷易行．
等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，求S4.
[提示] 本题应用等比数列的性质求S4更简捷．
[解 ]
法一：∵S2＝7，S6＝91，易知q≠1，
a11＋q＝7， ∴a11－q6 ＝91. 1－q a11＋q1－q1＋q2＋q4 ∴ ＝91. 1－q ∴q4＋q2－12＝0.∴q2＝3. a11－q4 ∴S4＝ ＝a1(1＋q)(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28. 1－ q ∴S4＝28.