等比数列的前n项和(第二课时)

等比数列的前n 项和(第二课时)【学习目标】1．掌握等比数列与S n 有关的一些性质，能熟练运用这些性质解题．2．掌握可以转化为等差或等比数列的数列求和问题．3．会用等比数列的相关知识解决简单的实际应用问题．【学习障碍】1．由于对等比数列中各元素间的关系理解不够深刻，对等比数列的性质不够熟练，解题时找不到解决问题的“巧”办法．2．由于审视问题的高度不够，不会运用整体解决问题的策略．3．有些数列本身不是等差或等比数列，但可以转化为等差或等比数列．学生常常苦于找不到转化途径．4．由于阅读理解能力较差，不能运用等比数列知识将实际问题转化为数学问题．【学习策略】Ⅰ．学习导引1．求数列的前n 项和S n ，一般有以下几种方法：(1)直接转化为等差数列或等比数列求和问题；(2)用等差数列或等比数列求和的倒序相加或错位相减求S n ；(3)拆项求和；(4)对通项进行分解或组合，将原数列化成若干个容易求和的数列．2．数列应用题中常用的几个概念：(1)增长率：增加或提高的比值．(2)成本与利润：成本是指生产一种产品所需的全部费用，利润是指商品生产的盈利．(3)利率与存、贷款问题：利率是指利息和本金的比率；复利是指把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计利息；单利是指只按照本金计算利息．存款一般只计算单利，贷款在通常情况下不计算复利．3．等比数列的前n 项和公式的常见应用问题．(1)生产部门中有增长率的总产量问题．例如，第1年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为1＋r ．其中第n 年产量为a (1＋r )n －1，且过n 年后总产量为a ＋a (1＋r )＋a (1＋r )2…＋a (1＋r )n －1＝)1(1])1(1[r r a n +-+-．(2)银行部门中利息按复利计算问题．例如，一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利算，则每月的a 元过n 个月后便成为a (1＋r )n 元，因此第二年年初可取款a (1＋r )12＋a (1＋r )11＋a (1＋r )10＋…＋a (1＋r )＝)1(1])1(1)[1(12r r r a +-+-+(元)．Ⅱ．知识拓宽n 个连续整数的积或其倒数组成的数列，如， ①,431,321,211⋅⋅⋅…，)1(1+n n ，…； ②5431,4321,3211⋅⋅⋅⋅⋅⋅，…，)2)(1(1++n n n ，…； ③1·2，2·3，3·4，…，n (n ＋1)，…；④1·2·3，2·3·4，3·4·5，…，n (n ＋1)(n ＋2)，…；这些数列的特点是由n 个连续整数的积或其倒数所组成，因而要求它们前n 项和，可以有相同的思路． 对于数列①，每一项都可以拆成二项之差：4131431,3121321,211211-=⋅-=⋅-=⋅， …，111)1(1+-=+n n n n ． 利用裂项消项法，可得：431321211⋅+⋅+⋅＋…＋)1(1+n n ＝1－111+=+n n n ．对于数列②，每一项可拆成二项之差：5431),431321(214321),321211(213211⋅⋅⋅-⋅=⋅⋅⋅-⋅=⋅⋅ ＝),541431(21⋅-⋅…，].)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n利用裂项消项法，可得：+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅543143213211…＋)2)(1(1++n n n ＝)2)(1(4)3(])2)(1(121[21+++=++-n n n n n n 对于数列③，每一项可拆成二项之差：1·2＝31(1·2·3－0·1·2)2·3＝31(2·3·4－1·2·3)n (n ＋1)＝ 31［n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)］．利用裂项消项法，可得：1·2＋2·3＋3·4＋…＋n (n ＋1)＝ 31n (n ＋1)(n ＋2)．对于数列④，因为n (n ＋1)(n ＋2)＝41［n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)－(n －1)n (n ＋1)(n ＋2)］，拆项后，利用迭加法，可得：1·2·3＋2·3·4＋3·4·5＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)＝41n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)．利用上面的求和方法，可以对a n 为任意多个连续整数的和(或其倒数)的数列求前n 项的和，实际上，我们有求和公式：对于数列{a n }：a n ＝n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋k )，其前n 项和为S k ＝21+k n (n ＋1)…(n ＋k )(n ＋k ＋1)(k 为正整数)．对于数列{a n }：a n ＝)()2)(1(1k n n n n +⋅⋅⋅++，其前n 项和为S k ＝])()2)(1(13211[1k n n n k k +⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅⋅⋅(k 为正整数)利用这些公式，可以解决一系列通项为n 的多项式(或其倒数)的数列的求和问题．比如可求出：12＋22＋32＋…＋n 2＝61n (n ＋1)(2n ＋1)．Ⅲ．障碍分析1．怎样认识和理解等比数列元素之间的关系?我们可以通过等比数列的性质来认识和理解等比数列元素之间的关系．［例1］在等比数列{a n }中：若S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n ．解：∵S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，其中S n ＝48，S 2n ＝60，设x ＝S 3n －S 2n ，则(60－48)2＝48x ，解得x ＝3．∴S 3n －60＝3，S 3n ＝63．点评：本题运用了等比数列性质：若{a n }是公比为q 的等比数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等比数列，且该数列的公比为qk ．应该注意的是，当q ＜0时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…中的项的正负号是正负交替出现的；当q ＞0时，则决不会出现正负号交替的情况，可是均为正的，也可能均为负的．2．怎样解答数列求和问题？数列求和问题是热点问题．对于可以转化的数列，要本着先转化后求和的思路进行．［例2］求和：(1)(a ＋a 1)2＋(a 2＋21a )2＋…＋(a n ＋n a 1)2；(2)12－22＋32－42＋52－62＋…＋992－1002；(3)1×4＋3×7＋5×10＋…＋(2n －1)(3n ＋1)；(4)1＋3211211++++＋…＋n +⋅⋅⋅+++3211；解：(1)在a ＝±1时，S n ＝4n ；在a ≠±1时，S n ＝(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＋2n ＋(++4211a a …＋n a 21)＝2n ＋2211a a n --·(a 2＋n a 21)(2)S ＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)＝－(3＋7＋11＋…＋99)＝－5050．(3)研究通项a n ＝(2n －1)(3n ＋1)＝6n 2－n －1．∴原式＝6(12＋22＋32＋…＋n 2)－(1＋2＋3＋…＋n )－n＝6·61n (n ＋1)(2n ＋1)－21n (n ＋1)－n ＝21n (4n 2＋3n ＋1)(4)研究通项a n ＝)111(2)2(23211+-=+=+⋅⋅⋅+++n n n n n ，∴S n ＝2［1－12]111[2]111312121+=+-=+-+⋅⋅⋅+-+n n n n n 点评：第(1)(3)(4)题使用了拆项法．其中第(1)(3)题使用了通项拆解法，第(4)题使用了裂项相消法．第(2)题使用了并项法．通过拆项、并项，实现了新数列求和问题向熟悉数列求和问题的转化．3．怎样解答数列应用题？数列作为特殊的函数，在中学数学中占有相当重要的位置，涉及的实际应用问题广泛而多样．诸如圆钢堆垒、增减率、银行信贷、浓度匹配、养老保险等．解答数列应用题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立有等差(比)数列、递推数列的模型，再综合运用其他相关知识来解决问题．下面以分期付款的计算为例．［例3］家用电器一件，现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期一月，购买后一个月付款一次，再过一个月后又付款一次，等等，共付12次，即购买一年后付清．如果按月利率8‰每月复利一次计算，那么每期应付款多少？思路：各期所付的款以及各期所付的款到最后一次付款时所生的利息合计，应等于所购物品的现价以及这个现价到最后一次付款时所生的利息之和．解：设每期应付款x 元，那么到最后一次付款时(即购物一年后)，第1期付款及其利息之和为x ×1.00811(元)第2期付款及其所生利息之和为x ×1.00810(元)……第11期付款及其所生利息之和为x ×1.008(元)第12期付款及其所生利息之和为x (元)而所购电器的现价及其利息之和为2000×1.00812(元)由此可得x (1＋1.008＋1.0082＋…＋1.00811)＝2000×1.00812 ①根据等比数列求和公式，1＋1.008＋1.0082＋…＋1.00811＝1008.11008.112--因此，由①得x ＝2000×1.00812×1008.11008.112--，即x ≈175.46(元)答：每期应付款175.46元．点评：在日常生活中，商家为了促进商品销售，常常采用一次性付款或分期付款的方式，采用分期付款时又可以提供几种付款方案，供顾客选择，对于每一种分期付款方案应明确以下几点：(1)规定多长时间内付清全部款额；(2)在规定时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间内利息按复利计算．在选择分期付款方案时，必须计算出各种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于顾客比较，优化选择方案．分期付款问题中的数量关系是各期所付款的本利和＝商品现价的本利和．各项款项均按复利方式计算本利和．Ⅳ．思维拓展［例4］现有流量均为300 m 3/s 的两条河流A 、B 汇合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2 kg/m 3和0.2 kg/m 3．假设从汇合处开始，沿岸设有若干观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换100 m 3的水量，即从A 股流入B 股100 m 3水，经混合后，又从B 股流入A 股100 m 3水并混合．问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01 kg/m 3(不考虑泥沙沉淀)？如图3－8思路：两股河水的“不断混合”过程是一个无序的、逐步地掺和过程，我们是无法把它们绝对分开的，就我们的知识和能力是难以建立数学模型的．因而题中已经对实际问题进行了初步的抽象化处理，给出了一个有利于我们建立数学模型的雏形，即“混合效果相当于……”．这样就把无规则的混合变成了有步骤的混合．“含沙量”的问题也就能顺理成章地类比于“浓度”问题了，现在我们可以把A 、B 两股河水看作两个容器来分析问题，其混合过程如图3—9所示．图3—9解：设经过第k 个观测点处A 、B 两股河流的含沙量分别为a k kg/m 3和b k kg/m 3，则有a 1＝2 kg/m 3，b 1＝0.2 kg/m 3．a k ＝111114143300100400300100200-----+=⨯++k k k k k b a b a a ，b k ＝11114341400100300----+=+k k k k b a a b (k ≥2)．有a k －b k ＝21(a k －1－b k －1)，则{a k －b k }为等比数列，公比为21，首项为a 1－b 1＝1．8，因此，a k －b k ＝1.8×(21)k －1.依题意，有1.8×(21)k －1＜0.01，即(21)k －1＜1801．则k －1＞3010.04771.02112lg 3lg 2112lg 180lg ⨯++=++=≈7.4． 即k ＞8.4．故从第9个观测点开始，两股河流含沙量之差小于0.01 kg/m 3．点评：如何建立数学模型，既是解应用型开放题的难点，也是关键．解题时，一方面要联想实际情境，从中寻找数学影子，建立数学模型；另一方面要善于类比联想，使陌生的问题变成熟悉的容易解决的问题(如本例中把“含沙量”类比于“浓度问题”)；再就是要认真审题，准确理解题意．作为一数学题目，一般地都对实际问题进行了初步的数学处理．因而，解题的关键就在于准确地理解题意，也就是要抓住关键字词，透彻地理解其含义．(如本例中“不断混合”“含沙量”“混合效果相当于”等)题意理解清楚后，模型就不难建立了．Ⅴ．探究学习n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列：a 11 a 12 a 13 a 14 ……a 1na 21 a 22 a 23 a 24 ……a 2n………………………………………………………………a n 1 a n 2 a n 3 a n 4…… a nn其中每行的数成等差数列，每列的数成等比数列，且所有的公比都相等．若a 24＝1，a 42＝81，a 43＝163，求a 11＋a 22＋a 33＋…＋a nn 的值．答案：解：设数列a 11，a 22，…，a nn 的通项为a kk (1≤k ≤n )，由于第一行各数成等差数列，设数列{a 1k }的公差为d ，由于每一列的数成等比数列，设数列{a ik }(i ＝1，2，…n )的公比为q ，则a 1k ＝a 11＋(k －1)da kk ＝［a 11＋(k －1)d ］q k －1 依题设，可得a 24＝(a 11＋3d )q ＝1．a 42＝(a 11＋d )q 3＝81．a 43＝(a 11＋2d )q 3＝81＋dq 3＝163．解得a 11＝d ＝q ＝±21又n 2个数都是正数，∴a 11＝d ＝q ＝2∴a kk ＝k k2设S ＝a 11＋a 22＋…＋a nn ，则S ＝n n 21212212⨯+⋅⋅⋅+⨯+ 1322121)1(2122121+⋅+-+⋅⋅⋅+⨯+=n n n n S 两式相减得132212121212121+⋅-+⋅⋅⋅+++=n n n S ∴S ＝1＋n n n 221212112-+⋅⋅⋅++- ＝2－n n n 2211--．【同步达纲练习】一、选择题1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，如果S n ＝20，S 2n ＝80，则S 3n 等于A ．70B ．160C ．260D ．4202．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…前n 项和等于 A ．2n ＋1－n B ．2n ＋1－n －2 C ．2n －nD ．2n3．在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为A ．－4或1721B ．4或172C ．4D ．17214．若等比数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值等于A ．16B ．8C ．32D ．64二、填空题5．数列{a n }中，a 3和a 10是方程x 2－3x －5＝0的两根，若{a n }是等比数列，则a 6·a 7＝____________．6．5＋55＋555＋…＋个n 55⋅⋅⋅＝____________．7．等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N )，a 3·a 8＝9．则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 10＝____________．三、解答题8．一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．9．某林场原有森林木材量为a ，木材每年以25%的增长率生长，而每年砍伐的木材量为x ，为使第20年末木材存有量翻两番，求每年砍伐量x ．(取l g 2＝0.3)．参考答案【同步达纲练习】一、1．C 提示：由S n (S 3n －S 2n )＝(S 2n －S n )2得：20×(S 3n －80)＝602，∴S 3n ＝20602＋80＝260．2．B 提示：∵a n ＝2121--n＝2n －1∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋22＋…＋2n －n ＝21)21(2--n －n ＝2n ＋1－n －2．3．B 提示：设插入的两个数为x ，y ，根据题意：⎩⎨⎧+==20222x y y x 解得：⎩⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧==8422552211y x y x 或 ∴x ＋y 为4或1721．4．C 提示：S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，…是一等比数列，设为{b n }，又b 1＝2，公比q ＝448S S S -＝2∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝b 5＝b 1·q 4＝2×24＝32二、5．－5 提示：由题意：a 3·a 10＝－5，∴a 6·a 7＝a 3·a 10＝－5．6．815(10n ＋1－9n －10) 提示：原式＝95(9＋99＋999＋…＋ 个n 99⋅⋅⋅) ＝95［(10－1)＋(102－1)＋(103－1)＋…＋(10n －1)］ ＝95(10＋102＋103＋…＋10n －n ) ＝95(10110101--+n －n ) ＝815(10n ＋1－9n －10)7．10 提示：根据题意：a 1·a 10＝a 2·a 9＝a 3·a 8＝a 4·a 7＝a 5·a 6＝9∴原式＝log 3a 1·a 2·a 3…a 10＝log 395＝10三、8．设此数列有2n 项，首项为a 1，公比为q ；则项数为偶数的项仍成等比，首项为a 2，公比为q 2；项数为奇数的项也成等比，其首项为a 1，公比为q 2．②÷①得：q ＝2，2n ＝8．故此数列的项数为8，公比为2．9．各年木材存有量如下：11 / 11 第1年：a (1＋25%)－x ＝45a －x第2年：(45a －x )×45－x ＝a ·(45)2－x ·(1＋45)… … … …第20年：a (45)20－x ［1＋45＋(45)2＋…＋(45)19］＝a ·(45)20－x ·451)45(120-- ＝a ·(45)20＋4x －4x ·(45)20根据题意：a ·(45)20＋4x －4x ·(45)20＝4a解方程得：x ＝338a．。