第二章2.4第1课时等比数列的概念及通项公式

2. 4等比数列第1课时等比数列的概念及通项公式1•通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用. 2•掌握等比中项的概念并会应用. 3•掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.预冃案*自建迸习j 研读• M •営试新知提炼1.等比数列的定义(1) 从第2项起条件(2) 每一项与它的前一项的比等于同一个常数结论这个数列就叫做等比数列有关概念这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q M 0)表示2•等比数列的通项公式门―1a n = aq 1.3. 等比中项若a、G、b成等比数列，称G为a, b的等比中项且G= ± ab.■自我尝试‘1•判断(正确的打“V”，错误的打“x”)(1) 数列1,—1, 1, - 1，…是等比数列.()(2) 若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列. ()⑶等比数列的首项不能为零，但公比可以为零. ()(4) 常数列一定为等比数列.()(5) 任何两个数都有等比中项. ()答案：(1)2 (2) x⑶x ⑷x ⑸x2.等比数列{a n} 中, a1 = 2, q = 3,贝U a n 等于（）A. 6B. 3x 2n—13. 4与9的等比中项为()A . 6B . - 6=1,C . 2 x 3n —1 D . 6n答案：CA . 6B . - 6=1,C . i6D . 36 答案：C 11 14. 等比数列一10-而，一而0,…的公比为 -------------------- . 1 答案：105. ______________________________________________ 在等比数列｛a n ｝中，已知a n = 4n 3,贝V a 1 = _____________________________________________ , q = ________1答案：1 4探究案讲练互普探究点一等比数列的通项公式H 在等比数列｛a n ｝中， (1) a 4 = 2, a 7= 8,求 a n .(2) a 2 + a 5= 18, a 3+ a 6= 9, a n = 1，求 n. a 4= ag 3,［解］(1)因为6 a 7= a 1q , a 1q 3= 2,① 所以a 1q 6= 8,②②3， 由①，得43= 4,从而q = - 4,而a 1q 3= 2,n — 1又a n = 1，所以32 x 即 26-n = 20,故 n = 6.方祛归纳于是a 1 = q 3=M2' 2n -5所以 a n = a 1q n -1 = 2 3a 2 + a 5= a 〔q + a 1q 4 = 18, ①⑵因为25② 1由①，得q =P 从而a 1 = 32.等比数列通项公式的求法a i 和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.关于 a i 和q的求法通常有以下两种方法：⑴根据已知条件，建立关于a i , q 的方程组，求出a i , q 后再求a n ，这是常规方法.(2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求a i ,最后求a n ,这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.”i.在等比数列｛a n ｝中，(1) 已知 a i = 3, q = — 2，求 a 6； (2) 已知 a 3= 20, a 6 = i60，求 a n ； …9i 2十(3) 已知 a i = 8〉a n = 3, q = 3,求 n.解：⑴由等比数列的通项公式，得a 6= 3 X (— 2)6— i = — 96.⑵设等比数列的公比为 q ,a i q 2= 20,由已知可得a i q 5= i60,q= 2,解得a i = 5.所以 a n = a i q n — i = 5X 2n — i . ⑶由 a n = a i q n —i ,3，得 n = 4.探究点二等比数列的判定■- 在数列｛a n ｝中，若a n >0,且a n +i = 2a n + 3(n € N *).证明：数列｛a n + 3｝是等比数列.［证明］法一：因为a n >0, 所以 a n + 3>0.i 9得 3=8 Xn — i又因为a n+1= 2a n+ 3,a n +1 + 3 2a n+ 3+ 3 2 (a n + 3)所以= = =2.a n + 3 a n+ 3 a n + 3所以数列｛ a n+ 3｝是首项为a i + 3，公比为2的等比数列. 法二：因为a n>0, 所以a n+ 3>0.又因为a n+1= 2a n+ 3,所以a n+ 2= 4a n+ 9.所以(a n+ 2+ 3)(a n + 3) = (4a n+ 12)(a n+ 3)=(2a n+ 6)2=(a n+1+ 3)2.即a n+ 3, a n +1 + 3, a n+2+ 3 成等比数列，所以数列｛a n+ 3｝是等比数列.Rm貝*本例的条件不变，若a1 = 2,求数列｛a n｝的通项公式.解：由数列｛a n + 3｝是等比数列，当a1= 2 时，a1 + 3 = 5,所以数列｛a n+ 3｝是首项为5,公比q= 2的等比数列，所以a n+ 3 = 5 x 2n-1,即a n= 5 x —1—3.方注归期等比数列的三种判定方法(1)定义法探究点三等比中项及其应用方祛归抽已知等比数列中的相邻三项 a n — 1 , a n , a n + 1,则a n 是a n — 1与a n + 1的等比中项, a n -1 a n +1,运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程，同时等比中项常起到桥梁作用, 要认真感悟和领会."!" '||［3.(1)如果一1, a , b , c,— 9 成等比数列，那么()a n + 1—=q(q 为常数且q z 0)等价于｛a n ｝是等比数列. a n (2)等比中项法a n +1 = a n a n + 2(n € N *且a n 丸)等价于｛a n ｝是等比数列. (3)通项公式法a n = a 1q n —1(a 1^0且q z 0)等价于｛a n ｝是等比数列.1”2.已知数列｛a n ｝是首项为2，公差为一1的等差数列，令b n = 1，求证数列｛b n ｝是等比数列，并求其通项公式.解：由已知得，a n = 2+ (n — 1)x (— 1) = 3— n ,1 3-( n + 1)b n + 1 2 故 = ~b n 1 3—n23 — ( n + 1) — 3+ n所以数列｛ b n ｝是等比数列. 因为b 1= 114,所以 b n =X 2n —1 = 2n ― 3［解］由题意知 3 b 2, b ，243, c 这五个数成等比数列，求 32a ,b ,c 的值.23b2= — 2243 X—亦 3ab = — 2 27 27所以b = ±8•当b =—时，2 10243 3 初/曰bc =—五=—2 ，解得 c =3 6 =2 ，2，解得2 a =3 ；27 2同理，当 b =— "8■时，a =— 3, 3 c =—2综上所述，a , b , c 的值分别为2 27 3, 8 ,2 — 27 3, —8，A . b = 3, ac = 9 B. b =— 3, ac = 9 C. b = 3, ac =— 9 D. b =— 3, ac =— 9⑵已知等比数列｛a n ｝的前三项依次为 a — 1, a +1, a + 4,贝U a n = _________解析：(1)因为 b 2= (— 1)x (— 9) = 9, 且b 与首项—1同号， 所以b =— 3，且a , c 必同号. 所以 ac = b 2= 9.⑵由已知可得(a + 1)2= (a — 1)(a + 4), 解得 a = 5,所以 a 1= 4, a 2= 6,所以a n = 4 x 31. 等比数列定义的再认识(1)每一项与它的前一项的比是同一个常数， 是具有任意性的，但须注意是从“第2项”⑵从“第2项”起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，强调的是“同一个”.(3)对于公比q ,要注意它是每一项与它前一项的比，次序不能颠倒，q 不为零.⑷各项不为零的常数列既是等差数列，又是等比数列. 2. 等比数列的通项公式(1)已知首项a 1和公比q ,可以确定一个等比数列.⑵在公式a n = a 1q n 1中有a n , a 1, q , n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量.⑶等比数列｛a n ｝的通项公式的推导所以a 2a 12'答案：(1)B3 n — 1(2)4 x 3起.法一：（迭代法） 根据等比数列的定义，有2n — 2 n —1a n = a n -i q = a n — 2q 2=^= a 2q 2= a i q 1 法二：（累乘法） 根据等比数列的定义，可以得到把以上n -1个等式左右两边分别相乘，得 a 2 a 3 a 4 a i a 2 a 3即 an = q n —1, a i 所以 a n = a 1q n -1.3. 等比中项的理解（1） 当a , b 同号时，a , b 的等比中项有两个；当 a , b 异号时，没有等比中项.（2） 在一个等比数列中， 从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后 一项的等比中项.（3） “a , G , b 成等比数列”等价于“ G 2= ab ”（a , b 均不为0），可以用它来判断或证明 三数是否成等比数列.当堂检测 ♦1•数列｛a n ｝的通项公式是a n = 5x 3n ，则此数列是（ ）A •公比为3的等比数列B •公比为5的等比数列C .首项为5的等比数列D .公差为3的等差数列 解析：选A.因为a n = 5x 3n , 所以 a n -1= 5x 3n -1（n 》2）, 所以当n > 2时，—匹=3.a n - 1由等比数列的定义知，｛a n ｝是公比为3的等比数列. 2.在首项a 1= 1，公比q = 2的等比数列｛a n ｝中，当a n = 64时，序号n 等于（）a 2 ar q ， a 3 a 4 ar q ，aT q ，a na n -1q ,a n a n -1n -1A. 4B. 5C. 6解析：选 D.因为a n= a i q—1,所以 1 x 2n-1= 64,即1= 26，得 n— 1 = 6,解得n = 7.3. (2015高考广东卷)若三个正数a, b, c成等比数列，其中a = 5+ 2丁6, c= 5—2.6,则b= ________ .解析：因为a, b, c成等比数列，所以b2= a c= (5 + 2 '6) (5 — 2 .：6)= 1.又b>0,所以b= 1.答案：14•求下列各等比数列的通项公式：(1) a1 = —2, a3= —8;(2) a1 = 5，且2a n+1 = —3a n.解：(1)因为a3= a1q2,所以q2= 4,所以q= ±2.当q = 2 时，a n= (—2) x 2n—1= —2n;当q = — 2 时，a n= ( —2)x (—2)n—1= (—2)n.a n+1 3(2)因为q= "a^ =—2，又a1 = 5,3 n—1 所以a n= 5 x — 2.应用案巩固提升丄［A 基础达标］1. 若｛a n｝为等比数列，且2a4= a6 —a5，则公比是()A. 0 B . 1 或一2D . —1或一2解析：选 C.由已知得2a1q3= a1q5—ag4,得2= q2—q,所以q=—1或q = 2.2. 在等比数列｛a n｝中，a n>0，且a i+ a2= 1, a3+ a4= 9，贝U a4+ a5 的值为()A. 16B. 27C. 36D. 81解析：选 B.由a3+ a4= q2(a1 + a2)= 9,所以q2= 9,又a n>0,所以q= 3.a4+ a5= q(a3 +a4）= 3X 9 = 27.3. 彳，是等比数列4,2, 4, 2 2,…的（）A .第10项B .第11项C.第12项 D .第13项解析：选B.由题意可知q=痣二乎，令¥= 4返x普，所以土= 32=扌210，故n— 1 = 10,即n= 11.4. 在数列｛a n｝中，a1= 1,点（a n, a n+1）在直线y= 2x上，贝U a4的值为（）A . 7B . 8C. 9D. 16解析：选B.因为点（a n, a n+1）在直线y= 2x上,所以a n+1= 2a n.因为a1= 1丰0,所以a n丸,所以｛a n｝是首项为1,公比为2的等比数列，所以a4= 1 x 23= 8.5. 一个数分别加上20, 50, 100后得到的三个数成等比数列，其公比为（）5 4A・3 %3 1CQ DQ解析：选A.设这个数为x,则(50+ x)2= (20 + x) (100 + x).解得x= 25,所以这三个数为45, 75, 125,75 5公比q为45= 36.右一1, 2, a, b成等比数列，则a + b=解析：根据题意有=身=b，解得a=—4, b= 8,—1 2 a所以a+ b= (-4) + 8 = 4.答案：47•下面各数列一定是等比数列的是(填序号).①一1, —2, —4, —8;② 1 , 2, 3, 4;1111③x, x, x, x；④a,評評尹解析：根据等比数列的定义，①④是等比数列，②不是等比数列，③中x可能为0,故③不一定是等比数列.答案：①④1 r,&在等比数列｛a n｝中，若a4= 27, q= —3，贝卩a6= ,a n =1解析：因为a4= a1q3= a1 —3 = 27,所以a1= —36,所以a6= a1q5= —36x=36x 3 = 3,n- 11a n=—36X—1= (—1)n37—n答案：3 (—1)n37 —n16 a3=—4，且公比为正数.9.已知数列｛a n｝为等比数列，首项a1=—9,(1)写出此等比数列的通项公式a n;⑵—20丁是否为｛a n｝中的项？若是，是第几项？若不是，请说明理由.解：(1)设公比为q(q>0),由a3= a i q2,得一4 =—£q2,3解得q=3,16 3 n—1所以a n=—— X 2 .n —1人16、/ 3 1 81⑵令—-X 2 = —204= —7,3 n—1819 3 6得2 =乎X 16= 3，解得n = 7.1故—204是｛a n｝中的第7项.10.已知数列｛a n｝的前n项和为S n,对一切正整数n,点(n, S n)都在函数f(x)= 2x+ 2—4的图象上.求证：数列｛a n｝是等比数列.证明：由题意得S n = 2n+ 2—4,4, n=1,S1, n = 1, 所以a n=S n—S n—1, n》22n+ 1, n》2.又a i= 4 也符合a n= zZln G N*, n》2),所以a n= 2n+ 1(n € N ),a n +1 2n+ 2因为百=产=2，所以数列｛a n｝是等比数列.[B 能力提升]1. 已知数列｛a n｝，下列选项正确的是()A .若a2= 4n, n € N*，则｛a n｝为等比数列B. 若a n a n+2= a n+1, n € N*，则｛a n｝为等比数列C. 若a m a n= 2m n, m, n €N*，则｛a n｝为等比数列D .若a n a n+ 3= a n+ 1a n+ 2, n€ N*，则｛ a n｝为等比数列解析：选C•由a2= 4n知|a n| = 2n，则数列｛a n｝不一定是等比数列；对于 B , D选项，满足条件的数列中可以存在为零的项，所以数列｛a n｝不一定是等比数列；对于C选项，由a m a na n + 1=2m+n知，a m a n+ 1= 2m+ n+ S两式相除得石 =2(n € N ),故数列｛a n｝是等比数列.故选C.12. ___________________________________________________________________ 已知等比数列｛a n｝中，a i= 1,且a i, 2玄3, 2a2成等比数列，则a n = _____________________ 解析：设等比数列｛a n｝的公比为q,贝U a2= q, a3 = q2.1因为a i, §a3, 2a2成等比数列，1所以4q4= 2q,解得q= 2,所以an= 2n—I答案：2n_13. 已知数列｛a n｝的前n项和S n= 2a n + 1.(1)求证：｛a n｝是等比数列，并求出其通项公式；⑵设b n= a n+ 1+ 2a n,求证：数列｛b n｝是等比数列.解：(1)因为S= 2a n+ 1,所以S n+1= 2a n+1+ 1,S n + 1 —S n = a n+ 1 = (2a n + 1 + 1) —(2a n+ 1) = 2a n+ 1 —2a n,所以a n+ 1 = 2a n①，由已知及①式可知a n M O.a n+1所以由丁 = 2，知｛a n｝是等比数列.a n由a1= S1= 2a1 + 1,得a1=—1，所以a n = —2n—1.⑵证明：由(1)知，a n= —2n—1,所以b n= a n+1+ 2a n=—2n—2X 2n—1=—2X 2n=—2n +1= —4X 2n —1.所以数列｛b n｝是等比数列.4. (选做题)已知等比数列｛a n｝中，a1 = 1,公比为q,且b n= a n+1—a n.(1)判断数列｛b n｝是否为等比数列？说明理由；⑵求数列｛b n｝的通项公式.解：⑴因为等比数列｛a n｝中，a i= 1, 公比为q，所以a n = 1 x q n—1= q n一1, 若q = 1 ,贝y a n=1 , b n = a n+ 1 —a n= 0,所以数列｛b n｝是各项均为0的常数列,不是等比数列.若q丰1,由于b n+ 1a n+2—a n+1 q n+1—q nb n - =a n+1—a n = q n—q n-1q n(q —1)=q,q n —1(q —1)所以数列｛ b n｝是首项为b1= a2—a1= q —1，公比为q的等比数列.⑵由(1)可知，当q = 1时，b n= 0；当q 工 1 时，b n= (q —1)q n—1。