八年级数学下册第四章因式分解4.2提公因式法一课一练基础闯关(新版)北师大版
新北师大版八年级数学下册《四章因式分解2.提公因式法公因式为多项式的提公司因式法》教案_2
4.2提公因式法第1课时提单项式因式分解导学案学习目标：1.经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式的公因式。
2.会用提取公因式法进行因式分解。
预习案：1、什么叫分解因式？2、整式乘法与分解因式之间的关系。
3、分析下列计算是整式乘法中的哪一种并求出结果：4、阅读教材P95～96内容问题1：多项式ma +mb +mc 有哪几项？问题2：每一项的因式都分别有哪些？问题3：这些项中有没有公共的因式，若有，公共的因式是什么？观察下列各式的结构有什么共同特点？①ax-ay ② ma +mb+mc③ 2πR + 2πr 归纳：多项式中都含有的，叫做这个多项式各项的公因式. 自学反馈：确定下列各多项式中的公因式1) a c+ b c 2)3 x2 +9xy 3) a 2 b – 2a b 2 + ab 4) 4xy2-6xy+8x 3y5、多项式中的公因式是如何确定的？探究案：例：找公因式： 3x 2y 2– 6xy 3 2 x2+ 6 x 3跟踪训练1：写出下列多项式各项的公因式：归纳总结：如果一个多项式的各项含有，那么就可以把这个提出来，从而将多项式化成两个因式的形式，这种因式分解的方法叫做．3(2)x 7(3)x x 24(637)x x x 22(8121)ab a b b c 872x 222axy y x a 32224x x x 233642a b a b ab例1 ：将下列各式分解因式：例2 ：把9x 2－6xy+3xz 分解因式. 3a 2-9ab 用提公因式法分解因式的步骤跟踪训练2：把下列各式分解因式：例3：小颖解的有误吗？把8a 3b 2 –12ab 3 c + ab 分解因式.解：8 a 3b 2 –12ab 3c + ab= ab ·8a 2b - ab ·12b 2 c +ab ·１= ab(8a 2b - 12b 2c)跟踪训练3：把下列各式分解因式：例4：因式分解– 24x 3–12x 2+28x 跟踪训练4：把下列各式分解因式：5、提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？5、现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：你认为他们的解法正确吗？试说明理由。
201x版八年级数学下册 第四章 因式分解 4.3 公式法一课一练 基础闯关 201x北师大版
公式法一课一练·基础闯关题组运用平方差公式因式分解1.下列各式中,能用平方差公式因式分解的是( )A.x2+xB.x2+8x+16C.x2+4D.x2-1【解析】选D.A.符号相同,且第二项不是平方项,不能用平方差公式分解;B.有三项,不能用平方差公式分解;C.符号相同,不能用平方差公式分解;D.两项,符号相反,且两项都是平方项能用平方差公式分解.【方法技巧】适用平方差公式的特点(1)必须可以看作二项式.(2)这两项的绝对值都必须是完全平方的形式.(3)这两项的符号相反.2.分解因式:16-x2= ( )A.(4-x)(4+x)B.(x-4)(x+4)C.(8+x)(8-x)D.(4-x)2【解析】选A.16-x2=(4-x)(4+x).3.当n为整数时,(2n+1)2-(2n-1)2是( )世纪金榜导学号10164095 A.3的倍数 B.5的倍数C.6的倍数D.8的倍数【解析】选D.(2n+1)2-(2n-1)2=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=4n·2=8n,是8的倍数.4.若(a-b-2)2+|a+b+3|=0,则a2-b2的值是( )A.-1B.1C.6D.-6【解析】选D.∵(a-b-2)2+|a+b+3|=0,∴a-b=2,a+b=-3,∴a2-b2=(a+b)(a-b)=-3×2=-6.5.(xx·衢州中考)如图,从边长为(a+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形,剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠无缝隙),则拼成的长方形的另一边长是__________.【解析】拼成的长方形的面积为:(a+3)2-32=(a+3+3)(a+3-3)=a(a+6),∵拼成的长方形一边长为a,∴另一边长是a+6.答案:a+6题组运用完全平方公式因式分解1.下列各式不可以用完全平方公式因式分解的是( )A.a2-2ab+b2B.4m2-2m+C.9-6y+y2D.x2-2xy-y2【解析】选D.∵a2-2ab+b2=(a-b)2,∴选项A可以用完全平方公式因式分解.∵4m2-2m+=,∴选项B可以用完全平方公式因式分解.∵9-6y+y2=(3-y)2,∴选项C可以用完全平方公式因式分解.∵x2-2xy-y2其中有两项不能写成平方和的形式,∴选项D不可以用完全平方公式因式分解.【方法技巧】适用完全平方公式的特点(1)是一个三项式.(2)三项中有两项是两式的平方和,另一项是这两式乘积的2倍.2.已知正方形的面积是(16-8x+x2)cm2(x>4cm),则正方形的周长是世纪金榜导学号10164096( )A.(4-x)cmB.(x-4)cmC.(16-4x)cmD.(4x-16)cm【解析】选D.∵16-8x+x2=(4-x)2,x>4cm,∴正方形的边长为(x-4)cm,∴正方形的周长为:4(x-4)=(4x-16)cm.3.(xx·白银中考)分解因式:x2-2x+1=__________.【解析】x2-2x+1=(x-1)2.答案:(x-1)24.(xx·苏州中考)因式分解:4a2-4a+1=__________.【解析】4a2-4a+1=(2a-1)2.答案:(2a-1)25.若多项式4x2+1加上一个单项式后,能成为一个整式的完全平方式,则加上的单项式可以是________.(填上一个你认为正确的即可)【解析】添加的方法有5种,添加4x,得4x2+1+4x=(2x+1)2;添加-4x,得4x2+1-4x=(2x-1)2;添加4x4,得4x2+1+4x4=(2x2+1)2;添加-4x2,得4x2+1-4x2=12;添加-1,得4x2+1-1=(2x)2.答案:4x(不唯一)6.已知x2+2(k-3)x+16是一个完全平方式,求k的值.世纪金榜导学号10164097【解析】因为x2+2(k-3)x+16是一个完全平方式,则x2+2(k-3)x+16=x2±2·x·4+42=x2±8x+42,所以2(k-3)=±8,所以k=7或-1.题组综合运用多种方法进行因式分解1.下列因式分解正确的是( )A.x2+9=(x+3)2B.a2+2a+4=(a+2)2C.a3-4a2=a2(a-4)D.1-4x2=(1+4x)(1-4)【解析】选C.A.原式不能分解,错误;B.原式不能分解,错误;C.原式=a2(a-4),正确;D.原式=(1+2x)(1-2x),错误.2.把代数式3x3-12x2+12x分解因式,结果正确的是( )A.3x(x2-4x+4)B.3x(x-4)2C.3x(x+2)(x-2)D.3x(x-2)2【解析】选D.3x3-12x2+12x=3x(x2-4x+4)=3x(x-2)2.3.已知m+n=6,m-n=-4,则代数式(m2+n2-25)2-4m2n2的值是________. 世纪金榜导学号10164098【解析】∵m+n=6,m-n=-4,∴m2+n2+2mn=36,m2+n2-2mn=16,∴36-2mn=16+2mn,解得:mn=5,则m2+n2=26,故(m2+n2-25)2-4m2n2=(26-25)2-4×52=-99.答案:-99【一题多解】∵m+n=6,m-n=-4,∴(m2+n2-25)2-4m2n2=(m2+n2-25+2mn)(m2+n2-25-2mn)=[(m+n)2-25][(m-n)2-25]=(36-25)(16-25)=11×(-9)=-99.答案:-994.(xx·东营中考)分解因式:-2x2y+16xy-32y=__________.【解析】-2x2y+16xy-32y=-2y(x2-8x+16)=-2y(x-4)2.答案:-2y(x-4)2已知a+b=5,ab=3,求a3b+2a2b2+ab3的值.世纪金榜导学号10164099【解析】∵a+b=5,ab=3,∴a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=3×52=75.【母题变式】[变式一]已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足a2+b2-6a-14b+58=0.(1)求a,b的值.(2)求△ABC的周长的最小值.【解析】(1)∵a2+b2-6a-14b+58=(a2-6a+9)+(b2-14b+49)=(a-3)2+(b-7)2=0,∴a-3=0,b-7=0,解得a=3,b=7.(2)∵a,b,c是△ABC的三边长,∴b-a<c<a+b,即4<c<10,要使△ABC的周长最小只需使得边长c最小,又∵c是正整数,∴c的最小值是5,∴△ABC周长的最小值为3+5+7=15.[变式二]若△ABC的三边长a,b,c,满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,请你判断△ABC的形状.【解析】∵a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0,a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0,∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,∴a=b=c,∴△ABC为等边三角形.[变式]已知在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断三角形ABC的形状.【解析】a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0,原式可化为(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0,即a=5,b=12,c=13(a,b,c都是正的),而52+122=132符合勾股定理的逆定理,故该三角形是直角三角形.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
北师大版八年级数学(下)第四章 因式分解 第2节 提公因式法(一)
第四章 因式分解
4.2 提公因式法（一）
温故知新
一、因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种
变形叫做把这个多项式因式分解. 二、整式乘法与分解因式之间的关系.
互为逆运算
公因式的定义
多项式ab＋bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2＋x 呢？多项式mb2＋nb－b呢？ 公因式的定义：
3.把多项式 3ax2+6axy+30ay2 分解因式，结果为
．
解：原式＝3a（x2+2xy+10y2），故答案为：3a（x2+2xy+10y2）
4.分解因式：﹣2x2+18x2y﹣4xy2
解：﹣2x2+18x2y﹣4xy2＝﹣2x（x﹣9xy+2y2）；
5. 已知 ab＝﹣3，a+b＝5，则 10+a2b+ab2＝
．
解：原式＝a（a2+b3﹣2a2b）故答案为：a（a2+b3﹣2a2b）
例 4：分解因式：﹣12x3﹣6x2﹣9x.
解：﹣12x3﹣6x2﹣9x＝﹣3x（4x2+2x+3）．故答案为：（4x2+2x+3）．
练习：因式分解：﹣6nm3+4n2m﹣2nm
解：﹣6nm3+4n2m﹣2nm＝﹣2nm（3m2﹣2n+1）．
字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂；
提公因式法因式分解
(1)多项式2x2＋6x3中各项的公因式是什么？ (2)你能尝试将多项式2x2＋6x3因式分解吗？与同伴交流.
如果一个多项式的各项含有公因式，就可以把这 个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式 的乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.
4.2 提公因式法 北师大版数学八年级下册同步练习(含解析)
第四章 因式分解2 提公因式法基础过关全练知识点1 公因式1.下列各个多项式的各项中,有公因式的是( )A.x 2-9y 2B.x 2-3x +5C.a 3+b 3D.a 3b -ab 2+ab2.(2021河北邢台威县期末)将12m 2n +6mn 用提公因式法分解因式,应提取的公因式是( )A.6mB.m 2nC.6mnD.12mn3.(2022重庆沙坪坝期中)把多项式x 2y 5-xy n z 因式分解时,提取的公因式是xy 5,则n 的值可能为( )A.6B.4C.3D.2知识点2 提公因式法分解因式4.(2022辽宁葫芦岛兴城期末)多项式m 2-4m 分解因式的结果是 ( )A.m (m -4)B.(m +2)(m -2)C.m (m +2)(m -2)D.(m -2)25.(2020陕西西安碑林月考)如果多项式15abc +15ab 2-a 2bc 各项的一个因式是15ab ,那么另一个因式是 ( )A.c -b +5acB.c +b -5acC.15acD.-15ac 6.(2022河北石家庄二模)计算(-2)2 021+(-2)2 022的结果是 ( )A.22 021B.-2C.-22 021D.-17.下列各式成立的是()A.-x-y=-(x-y)B.y-x=x-yC.(x-y)2=(y-x)2D.(x-y)3=(y-x)38.(2022陕西西安碑林期中)把5(a-b)+m(b-a)提公因式后,一个因式是(a-b),则另一个因式是()A.5-mB.5+mC.m-5D.-m-59.(2022山东潍坊潍城一模)将多项式(a-1)2-a+1因式分解,结果正确的是() A.a-1 B.(a-1)(a-2)C.(a-1)2D.(a+1)(a-1)10.【新独家原创】村委会计划在半山腰打一口井,既能方便植树造林改变环境,也能方便居民用水,他们计划造一个长方形水槽便于存水,如图,长和宽分别为a、b的长方形水槽的周长为68,面积为280,则a2b+ab2的值为.11.若9a2(x-y)+3a(x-y)2=m(3a+x-y),则m=.12.因式分解:4(x-y)3-6(y-x)2=.13.把下列各式因式分解:(1)-18m2n+27mn2-9mn;(2)2x m y n+1-4x m+1y n-1;(3)6a(a-b)2-3(a-b);(4)a(x-2)(x+2)-a(2-x)2;(5)3(m-n)3-6m(n-m)2.能力提升全练14.(2022四川眉山中考,13,)分解因式:2x2-8x=.15.(2022山西省实验中学期中,21,)分解因式:6m-3m2=.16.(2022重庆南开中学期中,14,)若mn=3,n-m=2,则mn2-m2n=.17.(2022辽宁本溪期中,13,)计算:4.3×202.2+7.6×202.2-1.9×202.2=.18.(2022辽宁本溪期中,21,)因式分解:(1)-24x3+12x2-28x;(2)6(m-n)3-12(m-n)2.19.(2022江西萍乡湘东期中,15,)因式分解:(1)a(m-n)+b(n-m);(2)(a-3)2+2a-6.素养探究全练20.【应用意识】阅读理解:把多项式am+an+bm+bn分解因式.解法一:am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).解法二:am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b).(1)分解因式:m2x-3m+mnx-3n;(2)已知a,b,c为△ABC的三边长,且a3-a2b+5ac-5bc=0,试判断△ABC的形状.答案全解全析基础过关全练1.D D 选项中,各项的公因式是ab.2.C 12m 2n +6mn 中,各项的公因式是6mn.故选C .3.A 把多项式x 2y 5-xy n z 因式分解时,提取的公因式是xy 5,则n ≥5,故选A .4.A m 2-4m =m (m -4),故选A .5.B 15abc +15ab 2-a 2bc =15ab (c +b -5ac ), 故另一个因式为c +b -5ac.故选B.6.A (-2)2 021+(-2)2 022=(-2)2 021×(1-2)=22 021.故选A .7.C -(x -y )=-x +y ,故A 不成立;y -x =-(x -y ),故B 不成立;(x -y )2=[-(y -x )]2=(y -x )2,故C 成立;(x -y )3=[-(y -x )]3=-(y -x )3,故D 不成立.故选C .8.A 原式=5(a -b )-m (a -b )=(a -b )(5-m ),∴另一个因式是5-m ,故选A .9.B (a -1)2-a +1=(a -1)2-(a -1)=(a -1)(a -1-1)=(a -1)(a -2).故选B .10.答案 9 520解析 由已知得2(a +b )=68,ab =280,∴a +b =34,∴a 2b +ab 2=ab (a +b )=280×34=9 520.11.答案3a(x-y)解析∵9a2(x-y)+3a(x-y)2=3a(x-y)(3a+x-y)=m(3a+x-y),∴m=3a(x-y).12.答案2(x-y)2(2x-2y-3)解析4(x-y)3-6(y-x)2=4(x-y)3-6(x-y)2=2(x-y)2(2x-2y-3).13.解析(1)-18m2n+27mn2-9mn=-9mn(2m-3n+1).(2)2x m y n+1-4x m+1y n-1=2x m y n-1(y2-2x).(3)6a(a-b)2-3(a-b)=3(a-b)[2a(a-b)-1]=3(a-b)(2a2-2ab-1).(4)a(x-2)(x+2)-a(2-x)2=a(x-2)(x+2)-a(x-2)2=a(x-2)[(x+2)-(x-2)]=4a(x-2).(5)3(m-n)3-6m(n-m)2=3(m-n)3-6m(m-n)2=3(m-n)2(m-n-2m)=3(m-n)2(-m-n)=-3(m-n)2(m+n).能力提升全练14.答案2x(x-4)解析直接提取公因式2x.15.答案3m(2-m)解析6m-3m2=3m(2-m).16.答案 6解析∵mn=3,n-m=2,∴mn2-m2n=mn(n-m)=3×2=6.17.答案 2 022解析4.3×202.2+7.6×202.2-1.9×202.2=202.2×(4.3+7.6-1.9)=202.2×10=2 022.18.解析(1)原式=-4x(6x2-3x+7).(2)原式=6(m-n)2(m-n-2).19.解析(1)原式=a(m-n)-b(m-n)=(a-b)(m-n).(2)原式=(a-3)2+2(a-3)=(a-3)(a-3+2)=(a-3)(a-1).素养探究全练20.解析(1)原式=m(mx-3)+n(mx-3)=(mx-3)(m+n).(2)∵a3-a2b+5ac-5bc=0,∴a2(a-b)+5c(a-b)=0,∴(a-b)(a2+5c)=0,∵a,b,c为△ABC的三边长,∴a2+5c≠0,∴a-b=0,∴a=b,∴△ABC是等腰三角形.。
2019版八年级数学下册第四章因式分解4.2提公因式法一课一练基础闯关新版北师大版
提公因式法一课一练·基础闯关题组公因式1.多项式12ab3c+8a3b的各项公因式是( )A.4ab2B.4abcC.2ab2D.4ab【解析】选D.系数的最大公约数是4,相同字母的最低指数次幂是ab,∴多项式12ab3c+8a3b的各项的公因式为4ab.2.下列多项式能用提取公因式法分解因式的是( )A.x2-yB.x2+2xC.x2-y2D.x2-xy+y2【解析】选B.公因式为x,x2+2x=x(x+2).3.下列各组代数式中,没有公因式的是( )A.5m(a-b)和b-aB.(a+b)2和-a-bC.mx+y和x+yD.-a2+ab和a2b-ab2【解析】选C.A.b-a=-(a-b),因此公因式为(a-b).B.-a-b=-(a+b),因此公因式为(a+b).C.mx+y和x+y没有相同的因式.D. -a2+ab=-(a2-ab)=-a(a-b);a2b-ab2=ab(a-b),因此公因式为a(a-b).4.下列说法中正确的是( )A.多项式mx2-mx+2中各项的公因式是mB.多项式7a3+14b各项没有公因式C.x2+y2和x+y的公因式是x+yD.多项式10x2y3-5y3+15xy2各项的公因式是5y2【解析】选D.选项A中,多项式的第三项不含m,故m不是公因式,故A错误;选项B中,多项式7a3+14b有公因式7,故B错误;选项C中,因为x2+y2≠(x+y)2,故C错误;选项D正确.5.多项式8x m y n-1-12x3m y n的公因式是____________.世纪金榜导学号10164092 【解析】系数的最大公约数是4,相同字母及相同字母的最低指数次幂是x m y n-1,所以多项式8x m y n-1-12x3m y n的公因式是4x m y n-1.答案:4x m y n-16.指出下列各式中的公因式.(1)15x3y3,5x2y,-20x2y3.(2)(x-y)(x-z),(y-x)(y+z),(y-x)2.【解析】公因式的系数是各项系数的最大公因数,所含字母应是各项中相同字母的最低次幂的积.(1)5x2y (2)x-y或y-x题组提公因式法分解因式1.下列从左边到右边的变形错误的是( )A.(y-x)2=(x-y)2B.-a-b=-(a+b)C.(a-b)3=-(b-a)3D.-m+n=-(m+n)【解析】选D.因为-m+n=-(m-n),故D错误.2.计算(-2)100+(-2)99的结果是()A.2B.-2C.-299D.299【解析】选D.原式=(-2)99[(-2)+1]=-(-2)99=299.【一题多解】选D.原式=2100-299=299(2-1)=2993.若ab=-3,a-2b=5,则a2b-2ab2的值是( )A.-15B.15C.2D.-8【解析】选A.∵ab=-3,a-2b=5,a2b-2ab2=ab(a-2b)=-3×5=-15.4.(2017·盐城中考)分解因式a2b-a的结果为__________.【解析】a2b-a=a(ab-1).答案:a(ab-1)5.(2017·潍坊中考)因式分解:x2-2x+(x-2)=__________.世纪金榜导学号10164093 【解析】原式=x(x-2)+(x-2)=(x-2)(x+1).答案:(x-2)(x+1)6.小明在把3a3m+6a2m-12am因式分解的过程中,解答步骤如下:3a3m+6a2m-12am=ma·3a2+ma·6a-ma·12=ma(3a2+6a-12),你认为小明的解答正确吗?若不正确,请你写出正确的解题过程. 世纪金榜导学号10164094【解析】不正确,公因式提取的不正确.3a3m+6a2m-12am=3ma·a2+3ma·2a-3ma·4=3ma(a2+2a-4).7.把下列各式因式分解(1)5x5y3-7x4y3.(2)-14abc-7ab+49ab2c.(3)2x2(x-y)+6x(y-x).(4)(a-b)2-am+bm.【解析】(1)5x5y3-7x4y3=x4y3(5x-7).(2)-14abc-7ab+49ab2c=-7ab(2c+1-7bc).(3)2x2(x-y)+6x(y-x)=2x2(x-y)-6x(x-y)=2x(x-y)(x-3).(4)(a-b)2-am+bm=(a-b)2-m(a-b)=(a-b)(a-b-m).因式分解:(y-x)(a-b-c)+(x-y)(b-a-c). 【解析】原式=(y-x)(a-b-c)-(y-x)(b-a-c) =(y-x)(a-b-c-b+a+c)=2(y-x)(a-b).【母题变式】[变式一]因式分解:6(m-n)2-12(n-m).【解析】原式=6(m-n)2+12(m-n)=6(m-n)[(m-n)+2]=6(m-n)(m-n+2).[变式二]因式分解:2(a-3)2-a+3.【解析】2(a-3)2-a+3=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)(2a-7).[变式三]因式分解:6(x-y)3-4(y-x)2.【解析】6(x-y)3-4(y-x)2=6(x-y)3-4(x-y)2=2(x-y)2[3(x-y)-2]=2(x-y)2(3x-3y-2).。
北师大版八年级数学下册第四章-分解因式-(基础+提高)
第四章分解因式考点一：分解因式的概念1、下列变形中，从左向右是因式分解的是（）A．x2﹣9+6x=（x+3）（x﹣3）+6x B．x2﹣8x+16=(x﹣4）2C．（x﹣1)2=x2﹣2x+1D．x2+1=x（x+）考点二:因式分解1、下列分解因式中，正确的个数为（）x2+2xy+x=x(x2+2y)；x2+4x+4=（x+2）2；—x2+y2=（x+y）（x—y)A．3个B．2个C．1个D．0个2、下列多项式中,能运用公式法进行因式分解的是（）A．a2+b2B．x2+9 C．m2﹣n2D．x2+2xy+4y23、小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y,x+y，a+b，x2﹣y2,a2﹣b2分别对应下列六个字:昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是( ）A．我爱美B．宜晶游C．爱我宜昌D．美我宜昌4、若分解因式x2＋mx－24＝（x＋3)(x＋n)，则m的值为。
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），另一个因式为。
5、甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b,分解结果为（x+2）(x+4）；乙看错了a,分解结果为（x+1）(x+9），则a+b=_______6、因式分解9a2（x－y）＋4b2(y－x) x2＋2xy＋y2－4(m+1）（m﹣9)+8m．x2+4xy﹣5y24x2+4xy+y2﹣4x﹣2y﹣3．考点三：利用因式分解计算1、2016×2016﹣2016×2015﹣2015×2014+2015×2015的值为（)。
A．1 B．﹣1 C．4032 D．40312、3（4+1）（42+1）（44+1）+13、考点四：利用因式分解化简求值1、已知xy=8,x﹣y=2，求代数式x3y﹣x2y2+xy3的值为．2、a+1+a(a+1）+a（a+1)2+……+a（a+1)2014= ．3、已知a2+b2+4a﹣2b+5=0，则的值为（）A．3 B．C．﹣3 D．4、已知x2+x-1=0，则代数式x3+2x2+2014= .5、化简求值：（2x－1）2（3x＋2）＋（2x－1)（3x＋2）2－x（1－2x)(3x＋2)，其中x＝1.考点五：利用因式分解证明整除问题1、能被下列数整除的是( )A．3B．5C．7D．92、已知58－1能被20-—30之间的两个整数整除,则这两个整数是 .3、如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字,与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如：自然数12321，从最高位到个位排出的一串数字是：1，2，3，2,1,从个位到最高排出的一串数字仍是:1，2，3,2，1，因此12321是一个“和谐数”．再如:22，545,3883，34543，…,都是“和谐数"．（1)请你直接写出3个四位“和谐数"；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数"，设其个位上的数字为x（,x为自然数)，十位上的数字为y,求y与x的函数关系式．考点六：利用因式分解解决几何问题1、若、、为的三边长,且满足，，则的形状是( )A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形2、设是一个直角三角形两条直角边的长,且，则这个直角三角形的斜边长为．3、已知a、b、c为△ABC三边的长．（1）求证：a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．(2)当a2+2b2+c2=2b(a+c）时，试判断△ABC的形状．4、已知是△ABC的三边长，是△ABC的最短边且满足，求的范围。
北师大版八年级数学下册4.2提公因式法(1)
(2) a 2 x2 y axy2
(3) 4 x 2 2 x 2 x 3
(4) 6a b 4a b 2ab
2 3 3
精讲精练
用提公因式法分解因式
基础达标
用提公因式法分解因式：
1
8 x 2 xy
A组:(2) (3) (4)
2
4m 3 6m 2 2m
B组:(1) (2) (4)
（7）
x 2 y 2 1 x 2 y 2
学习目标
1.理解并掌握公因式； 2.会找多项式的公因式； 3.会用提公因式法分解因式。
猜一猜
1.合作猜想下列各多项式的公因式？
（1） a c+ b c
（2）3 x2 +9xy
（3）4xy2-6xy+8x3y 我们把多项式各项都含有的相同因式， 叫做这个多项式的公因式。 2.小组合作讨论多项式中的公因式如何找？
找公因式的方法（或步骤）
1.定系数。 所有系数的最大公约数。
2.定字母。 各项中都含有的相同的字母。
3.定字母的指数。 各项中相同字母指数最 低的指数。
例: 找 2 x2+ 6 x3
的公因式。
定系数
2
定字母
x
2 定指数
所以，公因式是 2 x2
练一练
找出下列多项式各项的公因式： (1) 8 x 72
3.若ab＝2，a－b＝-1，则代数式a2b－ab2的值等于 ____。
课堂小结
1.什么是公因式 2.找公因式的方法。 3.用提公因式法分解因式的步骤。 4.用提公因式法分解因式应注意的问题。
第四章
因式分解
4.2 提公因式法（1）
2019版八年级数学下册第四章因式分解4.3公式法一课一练基础闯关(新版)北师大版
公式法一课一练·基础闯关题组运用平方差公式因式分解1.下列各式中,能用平方差公式因式分解的是( )A.x2+xB.x2+8x+16C.x2+4D.x2-1【解析】选 D.A.符号相同,且第二项不是平方项,不能用平方差公式分解;B.有三项,不能用平方差公式分解;C.符号相同,不能用平方差公式分解;D.两项,符号相反,且两项都是平方项能用平方差公式分解.【方法技巧】适用平方差公式的特点(1)必须可以看作二项式.(2)这两项的绝对值都必须是完全平方的形式.(3)这两项的符号相反.2.分解因式:16-x2= ( )A.(4-x)(4+x)B.(x-4)(x+4)C.(8+x)(8-x)D.(4-x)2【解析】选A.16-x2=(4-x)(4+x).3.当n为整数时,(2n+1)2-(2n-1)2是( )世纪金榜导学号10164095 A.3的倍数 B.5的倍数C.6的倍数D.8的倍数【解析】选D.(2n+1)2-(2n-1)2=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=4n·2=8n,是8的倍数.4.若(a-b-2)2+|a+b+3|=0,则a2-b2的值是( )A.-1B.1C.6D.-6【解析】选D.∵(a-b-2)2+|a+b+3|=0,∴a-b=2,a+b=-3,∴a2-b2=(a+b)(a-b)=-3×2=-6.5.(2017·衢州中考)如图,从边长为(a+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形,剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠无缝隙),则拼成的长方形的另一边长是__________.【解析】拼成的长方形的面积为:(a+3)2-32=(a+3+3)(a+3-3)=a(a+6),∵拼成的长方形一边长为a,∴另一边长是a+6.答案:a+6题组运用完全平方公式因式分解1.下列各式不可以用完全平方公式因式分解的是( )A.a2-2ab+b2B.4m2-2m+C.9-6y+y2D.x2-2xy-y2【解析】选D.∵a2-2ab+b2=(a-b)2,∴选项A可以用完全平方公式因式分解.∵4m2-2m+=,∴选项B可以用完全平方公式因式分解.∵9-6y+y2=(3-y)2,∴选项C可以用完全平方公式因式分解.∵x2-2xy-y2其中有两项不能写成平方和的形式,∴选项D不可以用完全平方公式因式分解.【方法技巧】适用完全平方公式的特点(1)是一个三项式.(2)三项中有两项是两式的平方和,另一项是这两式乘积的2倍.2.已知正方形的面积是(16-8x+x2)cm2(x>4cm),则正方形的周长是世纪金榜导学号10164096( )A.(4-x)cmB.(x-4)cmC.(16-4x)cmD.(4x-16)cm【解析】选D.∵16-8x+x2=(4-x)2,x>4cm,∴正方形的边长为(x-4)cm,∴正方形的周长为:4(x-4)=(4x-16)cm.3.(2017·白银中考)分解因式:x2-2x+1=__________.【解析】x2-2x+1=(x-1)2.答案:(x-1)24.(2017·苏州中考)因式分解:4a2-4a+1=__________.【解析】4a2-4a+1=(2a-1)2.答案:(2a-1)25.若多项式4x2+1加上一个单项式后,能成为一个整式的完全平方式,则加上的单项式可以是________.(填上一个你认为正确的即可)【解析】添加的方法有5种,添加4x,得4x2+1+4x=(2x+1)2;添加-4x,得4x2+1-4x=(2x-1)2;添加4x4,得4x2+1+4x4=(2x2+1)2;添加-4x2,得4x2+1-4x2=12;添加-1,得4x2+1-1=(2x)2.答案:4x(不唯一)6.已知x2+2(k-3)x+16是一个完全平方式,求k的值.世纪金榜导学号10164097 【解析】因为x2+2(k-3)x+16是一个完全平方式,则x2+2(k-3)x+16=x2±2·x·4+42=x2±8x+42,所以2(k-3)=±8,所以k=7或-1.题组综合运用多种方法进行因式分解1.下列因式分解正确的是( )A.x2+9=(x+3)2B.a2+2a+4=(a+2)2C.a3-4a2=a2(a-4)D.1-4x2=(1+4x)(1-4)【解析】选C.A.原式不能分解,错误;B.原式不能分解,错误;C.原式=a2(a-4),正确;D.原式=(1+2x)(1-2x),错误.2.把代数式3x3-12x2+12x分解因式,结果正确的是( )A.3x(x2-4x+4)B.3x(x-4)2C.3x(x+2)(x-2)D.3x(x-2)2【解析】选D.3x3-12x2+12x=3x(x2-4x+4)=3x(x-2)2.3.已知m+n=6,m-n=-4,则代数式(m2+n2-25)2-4m2n2的值是________. 世纪金榜导学号10164098 【解析】∵m+n=6,m-n=-4,∴m2+n2+2mn=36,m2+n2-2mn=16,∴36-2mn=16+2mn,解得:mn=5,则m2+n2=26,故(m2+n2-25)2-4m2n2=(26-25)2-4×52=-99.答案:-99【一题多解】∵m+n=6,m-n=-4,∴(m2+n2-25)2-4m2n2=(m2+n2-25+2mn)(m2+n2-25-2mn)=[(m+n)2-25][(m-n)2-25]=(36-25)(16-25)=11×(-9)=-99.答案:-994.(2017·东营中考)分解因式:-2x2y+16xy-32y=__________.【解析】-2x2y+16xy-32y=-2y(x2-8x+16)=-2y(x-4)2.答案:-2y(x-4)2已知a+b=5,ab=3,求a3b+2a2b2+ab3的值.世纪金榜导学号10164099 【解析】∵a+b=5,ab=3,∴a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=3×52=75.【母题变式】[变式一]已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足a2+b2-6a-14b+58=0.(1)求a,b的值.(2)求△ABC的周长的最小值.【解析】(1)∵a2+b2-6a-14b+58=(a2-6a+9)+(b2-14b+49)=(a-3)2+(b-7)2=0,∴a-3=0,b-7=0,解得a=3,b=7.(2)∵a,b,c是△ABC的三边长,∴b-a<c<a+b,即4<c<10,要使△ABC的周长最小只需使得边长c最小,又∵c是正整数,∴c的最小值是5,∴△ABC周长的最小值为3+5+7=15.[变式二]若△ABC的三边长a,b,c,满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,请你判断△ABC的形状.【解析】∵a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0,a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0,∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,∴a=b=c,∴△ABC为等边三角形.[变式]已知在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断三角形ABC的形状.【解析】a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0,原式可化为(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0,即a=5,b=12,c=13(a,b,c都是正的),而52+122=132符合勾股定理的逆定理,故该三角形是直角三角形.。
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提公因式法
一课一练·基础闯关
题组公因式
1.多项式12ab3c+8a3b的各项公因式是( )
A.4ab2
B.4abc
C.2ab2
D.4ab
【解析】选D.系数的最大公约数是4,相同字母的最低指数次幂是ab,∴多项式12ab3c+8a3b的各项的公因式为4ab.
2.下列多项式能用提取公因式法分解因式的是( )
A.x2-y
B.x2+2x
C.x2-y2
D.x2-xy+y2
【解析】选B.公因式为x,x2+2x=x(x+2).
3.下列各组代数式中,没有公因式的是( )
A.5m(a-b)和b-a
B.(a+b)2和-a-b
C.mx+y和x+y
D.-a2+ab和a2b-ab2
【解析】选C.A.b-a=-(a-b),因此公因式为(a-b).B.-a-b=-(a+b),因此公因式为(a+b).C.mx+y和x+y没有相同的因式.D. -a2+ab=-(a2-ab)=-a(a-b); a2b-ab2=ab(a-b),因此公因式为a(a-b).
4.下列说法中正确的是( )
A.多项式mx2-mx+2中各项的公因式是m
B.多项式7a3+14b各项没有公因式
C.x2+y2和x+y的公因式是x+y
D.多项式10x2y3-5y3+15xy2各项的公因式是5y2
【解析】选D.选项A中,多项式的第三项不含m,故m不是公因式,故A错误;选项B中,多项式7a3+14b有公因式7,故B错误;选项C中,因为x2+y2≠(x+y)2,故C错误;选项D正确.
5.多项式8x m y n-1-12x3m y n的公因式是____________.
世纪金榜导学号10164092 【解析】系数的最大公约数是4,
相同字母及相同字母的最低指数次幂是x m y n-1,
所以多项式8x m y n-1-12x3m y n的公因式是4x m y n-1.
答案:4x m y n-1
6.指出下列各式中的公因式.
(1)15x3y3,5x2y,-20x2y3.
(2)(x-y)(x-z),(y-x)(y+z),(y-x)2.
【解析】公因式的系数是各项系数的最大公因数,所含字母应是各项中相同字母的最低次幂的积.
(1)5x2y (2)x-y或y-x
题组提公因式法分解因式
1.下列从左边到右边的变形错误的是( )
A.(y-x)2=(x-y)2
B.-a-b=-(a+b)
C.(a-b)3=-(b-a)3
D.-m+n=-(m+n)
【解析】选D.因为-m+n=-(m-n),故D错误.
2.计算(-2)100+(-2)99的结果是( )
A.2
B.-2
C.-299
D.299
【解析】选D.原式=(-2)99[(-2)+1]=-(-2)99=299.
【一题多解】选D.原式=2100-299=299(2-1)=299
3.若ab=-3,a-2b=5,则a2b-2ab2的值是( )
A.-15
B.15
C.2
D.-8
【解析】选A.∵ab=-3,a-2b=5,
a2b-2ab2=ab(a-2b)=-3×5=-15.
4.(2017·盐城中考)分解因式a2b-a的结果为__________.
【解析】a2b-a=a(ab-1).
答案:a(ab-1)
5.(2017·潍坊中考)因式分解:x2-2x+(x-2)=__________.
世纪金榜导学号10164093 【解析】原式=x(x-2)+(x-2)=(x-2)(x+1).
答案:(x-2)(x+1)
6.小明在把3a3m+6a2m-12am因式分解的过程中,解答步骤如下:
3a3m+6a2m-12am
=ma·3a2+ma·6a-ma·12
=ma(3a2+6a-12),
你认为小明的解答正确吗?若不正确,请你写出正确的解题过程. 世纪金榜导学号10164094
【解析】不正确,公因式提取的不正确.
3a3m+6a2m-12am
=3ma·a2+3ma·2a-3ma·4
=3ma(a2+2a-4).
7.把下列各式因式分解
(1)5x5y3-7x4y3.
(2)-14abc-7ab+49ab2c.
(3)2x2(x-y)+6x(y-x).
(4)(a-b)2-am+bm.
【解析】(1)5x5y3-7x4y3=x4y3(5x-7).
(2)-14abc-7ab+49ab2c=-7ab(2c+1-7bc).
(3)2x2(x-y)+6x(y-x)
=2x2(x-y)-6x(x-y)=2x(x-y)(x-3).
(4)(a-b)2-am+bm=(a-b)2-m(a-b)
=(a-b)(a-b-m).
因式分解:(y-x)(a-b-c)+(x-y)(b-a-c).
【解析】原式=(y-x)(a-b-c)-(y-x)(b-a-c) =(y-x)(a-b-c-b+a+c)
=2(y-x)(a-b).
【母题变式】
[变式一]因式分解:6(m-n)2-12(n-m).
【解析】原式=6(m-n)2+12(m-n)
=6(m-n)[(m-n)+2]
=6(m-n)(m-n+2).
[变式二]因式分解:2(a-3)2-a+3.
【解析】2(a-3)2-a+3
=2(a-3)2-(a-3)
=(a-3)(2a-7).
[变式三]因式分解:6(x-y)3-4(y-x)2.
【解析】6(x-y)3-4(y-x)2
=6(x-y)3-4(x-y)2
=2(x-y)2[3(x-y)-2]
=2(x-y)2(3x-3y-2).。