三角形证明

三角形证明一、先来试一试1、已知：如图，ＡＮ⊥ＯＢ，ＢＭ⊥ＯＡ，垂足分别为Ｎ、Ｍ，ＯＭ＝ＯＮ，ＢＭ与ＡＮ相交于点Ｐ。

求证：ＰＭ＝ＰＮ二、定理的内容、用途1、全等三角形的性质内容：三角形全等的对应边相等、对应角相等。

用途：证明两个三角形中，两个角或两条线段相等。

注意：一定要“对应相等”；书写时对应顶点对应着写【典型例题】如图，△ABC中，∠C=90°， AC=BC，AD 平分∠CAB交BC 于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=12cm，则△DEB的周长为（）A、6cmB、8cmC、12cmD、24cm2、三角形全等的判定三边对应相等的两个三角形全等; （SSS）公理两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 ; （ASA）推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（ AAS）直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（HL）【典型例题】如图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根据是（）A、SASB、ASAC、AASD、SSS3、等腰三角形性质定理内容：等腰三角形的两个底角相等。

（等边对等角）推论：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

“三线合一”用途：证明同一个三角形中，两个角相等方法：经常作高、中线或角平分线等辅助线，利用三角形全等来证明【典型例题】如图，在△AB C 中，，点D 在AC 边上，且，则∠A的度数为（）A. 30°B. 36°C. 45°D. 70°【典型例题】如图所示，在等腰△ABC 中， AB=AC, ∠BAC=50°,∠BAC的平分线与AB 的中垂线交于点 O，点 C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠OEC的度数是 .4、等腰三角形的判定定理内容：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

（等角对等边）用途：同一个三角形中，证明两条边相等【典型例题】已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2 ＝2AB2．（1）求证：AB＝BC；（2）当BE⊥AD于E 时，试证明：BE＝AE＋CD扩展：在一个三角形中，较大的角所对的边较大，较小的角所对的边较小。

（大角对大边，小角对小边）试证明下5、等边三角形的性质定理内容：所有等腰三角形的性质等边三角形的三边相等，三角相等都是60°用途：同一个三角形中，两条边相等，两角相等【典型例题】如图，在等边△ABC中， F 是AB 的中点，EF⊥AC于E，若△ABC的边长为 10，则_________，_________.6、等边三角形的判定方法：定理：一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形定义：三边相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形有两个角为60°的三角形是等边三角形【典型例题】如图，在△ABC中， D 为AC 边上的一点，DE⊥AB于E，ED 的延长线交BC 的延长线于F，CD=CF，且∠F=30°，求证：△ABC是等边三角形。

7、直角三角形性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方用途：确定线段长度数量关系【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC的平分线，AD=20，求BC 的长。

8、直角三角形的判定定理内容：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形用途：证直角三角形或垂直关系【典型例题】若 c 5 a 3 (b 4)2 0 ，则以 a，b,c 为边的三角形是三角形9、线段垂直平分线的性质定理内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等．（外心）用途：证明两条线段相等【典型例题】如图，在△ABC中，AB 的垂直平分线交AC 于点D，交AB 于点E，如果 cm， cm，那么△的周长是（）A.6 cmC.8 cm10、线段垂直平分线的判定定理B.7 cm D.9 cm内容：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

用途：证直角三角形或垂直关系【典型例题】AB=AC,DB=DC,E 是AD 上一点，求证：BE=CE11、角平分线的性质定理内容：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．三角形的三个内角的角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

（内心）用途：证明两条线段相等【典型例题】如图，在△ABC中，，AM 平分∠， cm，则点M 到AB 的距离是12、角平分线的判定定理内容：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

用途：证明两个角相等【典型例题】如图，BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别是点E,F.BE,CF 交于点D，且BD=CD，求证：AD 平分∠BAC.锐角三角形三角形钝角三角形直角三角形交点性质三边垂直平分线交于三角形内一点交于三角形外一点交于斜边的中点到三角形三个顶点的距离相等(外心)三条角平分线交于三角形内一点到三角形三边的距离相等（内心）13、反证法内容：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。

用途：从正面证明有困难的证明题【典型例题】两条直线相交有且只有一个交点。

14、逆命题内容：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为另一个命题的互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

逆定理内容：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理。

这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

三、小试牛刀填空题1、如果等腰三角形的一个角是80°，那么顶角是度.2、等腰三角形的两个底角相等的逆命题是___．3、等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形周长分为15cm 和 12cm 的两部分，则底边长为____．4、如图，点 F、C 在线段BE 上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还须补充一个条件 .5、如图，点 D 在AB 上，点E 在AC 上，CD 与BE 相交于点O，且AD=AE，AB=AC。

若∠B=20°，则∠C=6、在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC 边上的中线AD=4cm，则∠ADC的度数是度.7、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC 的垂直平分线MN 与AB 交于D 点，则∠BCD的度数为 . .8、如图是 2002 年8 月在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，它是由 4 个相同的直角三角形拼和而成.若图中大小正方形的面积分别为 52cm2 和42cm2 ，则直角三角形的两条直角边的和是 cm.证明题1、已知：如图，在等边三角形 ABC 的AC 边上取中点D，BC 的延长线上取一点E，使 CE＝CD．求证：BD＝DE.2、求证：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么这两条边所对的角也不相等角也不相等如图，在四边形 平分∠ . 求证： .4、已知：如图，点 C 为线段 AB 上一点，△ACM、△CBN 是等边三角形，可以说明：△ACN≌△MCB，从而得到结论： BM=AN ．现要求：（1）将△ACM 绕 C 点按逆时针方向旋转 180°，使 A 点落在 CB 上．请对照原题图在下图中画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）．（2）在（1）所得到的图形中，结论“BM=AN 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）在（1）所得到的图形中，设 MA 的延长线与 BN 相交于 D 点，请你判断△ABD 与四边形 MDNC 的形状，并说明你的结论的正确性中， 3、 ，四、课后作业1、（2012 铜仁）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点 E 作MN∥BC交AB 于M，交AC 于N，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（）A．6B．7C．8D．92、（2012 孝感）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 平分∠ABC交AC 于点D，若AC=2，则AD 的长是（）3、（2011 安徽芜湖，6，4 分）如图，已知ABC△中，∠ABC=45°， F 是高AD 和BE 的交点，CD=4，则线段DF 的长度为（）4、（2013•雅安）如图，AB∥CD，AD 平分∠BAC，且∠C=80°，则∠D的度数为（）A50°B60°C70°D100°．．．．5、（2013•曲靖）如图，直线 AB、CD 相交于点O，若∠BOD=40°，OA 平分∠COE，则∠AOE=40° ．6、（2013•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC 于点M 和N，再分别以 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连结AP 并延长交BC 于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点 D 在AB 的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1： 3A．1B．2C．3D．4证明题2，一个三角形中不能有两个直角。

3、（2013•湘西州）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE 的长；（2）求△ADB 的面积．。