2023届山东省邹城市实验中学高一上数学期末监测试题含解析
2022-2023学年济宁市重点中学高一上数学期末教学质量检测模拟试题含解析
14．已知 a 0 且 a 1，b 0 且 b 1，函数 y ax2 3的图象过定点 A，A 在函数 f (x) ax logb (x 1) 的图象上，
且函数 f (x) 的反函数过点 B(17, 4) ，则 ab ______.
15．函数 f(x)＝
2x
1
＋
x
1
2
的定义域为____________
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是
0,
2
，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦
较好；若角的范围为
2
,
2
，选正弦较好
8、D
【解析】由函数 f x 有零点，可求得 1 ，由函数 f x 的值域 M [ 3 , ) 可求得 ω 19 ，综合二者即可
4
2
两边平方可得 a b 0 ，故 C 正确；D 选项：举特殊向量可知 D 错误.
【详解】A 选项：因为单位向量既有大小又有方向，但是单位向量方向不一定相同，故 A 错误；
B 选项：当 b 0 时， a / /b ， b / /c ，但 a 与 c 不一定共线，故 B 错误；
2
2
2
2
C 选项：对 a b a b 两边平方得， a b 2a b a b 2a b ，所以 a b 0 ，故 C 正确；
（1）求圆 M 的方程； （2）过点 D(3,1) 的直线 l 交圆 M 于 E ， F 两点. ①若弦长 EF 8，求直线 l 的方程； ②分别过点 E ， F 作圆 M 的切线，交于点 P ，判断点 P 在何种图形上运动，并说明理由.
参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分） 1、D 【解析】先求解选项中各函数的定义域，再判定各函数的单调性，可得选项.
山东省实验中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
＝
.
15．若 log4 (3a 4b) log2 ab ，则 a b 的最小值为
.
16．已知函数 f (x)
2
sin
2
x
π 4
，把
f
(x)
的图象向左平移
π 3
个单位长度，纵坐标不变，
可得到 g(x) 的图象，若 g x1 g x2 2 x2 x1 0 ，则 x1 x2 的最小值为
试卷第 1页，共 4页
8．已知函数
f
(x)
x2 4a, x 0,
loga
(x
1)
1,
x
0
(a
0, a
1)在
R
上单调递减，且关于
x
的方程
f (x) 2 x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（ ）
A．
0,
1 2
B．
1 4
,
1 2
C．
1 4
,
1 2
9 16
D．
1 4
山东省实验中学 2022-2023 学年高一上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．sin390°的值是（ ）
A．
1 2
B． 3 2
C． 3
2
D． 1 2
2．“函数 f (x) sin(2x ) 为偶函数”是“ ” 的（ ） 2
．
试卷第 2页，共 4页
四、解答题
17．已知集合 A x | x 2 5x 6 0 ，集合 B x | 6x 2 5x 1 0 ，集合
C x | x m x m 9 0 .
2022-2023学年山东济宁一中数学高一上期末教学质量检测试题含解析
17、（1）2；（2） .
【解析】（1）利用对数的运算性质即得；
（2）利用指数幂的运算法则运算即得.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
.
18、 (1)见解析；（2）见解析.
【解析】⑴根据函数奇偶性的定义判断并证明函数 的奇偶性；
13．设函数 （e为自然对数的底数，a为常数），若 为偶函数，则实数 ______；若对 ， 恒成立，则实数a的取值范围是______
14．设 为锐角，若 ，则 的值为_______.
15．若函数 在区间 上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_________.
16．已知 是定义域为R的奇函数，且当 时， ，则 的值是___________.
设 ，
则函数 在区间 上有两个不同的根，
等价于 在区间 上有两个不同的根，
由 得 ，
要使 区间 上有两个不同的根，
需满足 ，解得 ，
故答案为：
16、1
【解析】首先根据 时 的解析式求出 ，然后再根据函数的奇偶性即可求出答案.
【详解】因为当 时， ，所以 ，
又因为 是定义域为R的奇函数，所以 .
故答案为：1.
【详解】解：对于A，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错误；
对于B，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，
所以两个事件互斥而不对立，故B正确；
对于C，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错误；
【详解】已知圆与 轴, 轴均相切,由已知条件得 ,第 部分的面积是定值,所以 为定值,即 为定值,当直线绕着圆心C移动时,只有一个位置符合题意,即直线AB只有一条.
2023-2024学年山东省济宁市高一上学期期末数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年山东省济宁市高一上册期末数学模拟试题一、单选题1．已知集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则两者的交集为（）A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |x ≤3或x ≥4}D ．{x |2≤x <4}【正确答案】A【分析】直接利用交集的定义求解即可.【详解】集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则两者的交集为{x |2<x ≤3}故选：A.2．若幂函数()f x 的图象过点()2,4，则()3f 的值为（）A ．5B ．6C ．8D ．9【正确答案】D先求出幂函数的解析式，从而可求出()3f 的值【详解】解：设幂函数()f x x α=，因为幂函数()f x 的图象过点()2,4，所以24α=，解得2α=，所以()2f x x =，所以()2339f ==，故选：D 3．使不等式101x<<成立的一个充分不必要条件是（）.A ．102x <<B ．1x >C ．2x >D ．0x <【正确答案】C解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．【详解】解：不等式101x<<，∴011x x>⎧⎪⎨<⎪⎩，解得1x >，故不等式的解集为：(1,)+∞，则其一个充分不必要条件可以是2x >，故选：C ．本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．4．已知扇形的周长是6cm ，面积是22cm ，则扇形的中心角的弧度数是（）A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4【正确答案】C【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求出扇形所在圆半径，再借助弧长公式求解作答.【详解】设扇形所在圆半径为r ，则扇形弧长为62r -，依题意，1(62)22r r -=，解得2r =或1r =，所以扇形的中心角的弧度数是62621r r r -=-=或62624r r r-=-=.故选：C5．已知sin cos αα+=π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22cos sin αα-=（）A B ．C ．D 【正确答案】A【分析】原式平方可得12sin cos 4αα=，然后可求cos sin αα-的平方，结合α的范围即可求解.【详解】∵()215s 2in cos sin cos 4αααα=++=，∴12sin cos 4αα=，∵()213cos sin 12sin cos 144αααα-=-=-=，∴cos sin 2αα-=±，又∵π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴0sin cos αα<<∴cos sin αα-=.∴22cos sin αα-=()()cos sin cos sin =αααα+-4故选.A6．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间t 分钟后的温度T 满足()012tha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，h 称为半衰期，其中a T 是环境温度．若25aT =℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至55℃，大约还需要（参考数据：lg 30.48≈，lg 50.70≈，lg11 1.04≈）（）A ．3.5分钟B ．4.5分钟C ．5.5分钟D ．6.5分钟【正确答案】C【分析】根据已知条件代入公式计算可得1110211h⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解.【详解】解：由题意，25a T =℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得()11752580252h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以11501025511h⎛⎫== ⎪⎝⎭，又水温从75℃降至55℃，所以()1552575252h t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即13032505t h⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以11110322115tt t hh ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以10113lg3lg 3lg 50.480.75log 5.51051lg111 1.04lg 11t --===≈=--，所以水温从75℃降至55℃，大约还需要5.5分钟.故选：C.7．函数sin cos x xy x+=在区间[]2,2ππ-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C判断函数非奇非偶函数，排除选项A 、B ，在计算x π=-时的函数值可排除选项D ，进而可得正确选项.【详解】因为()sin cos x xf x x-+-=，()()f x f x -≠-且()()f x f x -≠，所以sin cos x xy x+=既不是奇函数也不是偶函数，排除选项A 、B ，因为()()()sin cos 10f πππππ-+---==<-，排除选项D ，故选：C思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.8．已知函数2()21x x af x -=+为奇函数，2()ln(+)g x x b =，若对任意12,x x R ∈，12()()f x g x ≤恒成立，则b 的取值范围为（）A ．(0,e]B ．(),e -∞C ．[e,)+∞D ．[e,0)-【正确答案】C【分析】根据奇函数求出1a =，进而求出()1f x <，然后结合题意可知要使对任意12,x x R ∈，12()()f x g x ≤恒成立，只需max min ()()f x g x ≤，进而结合复合函数的单调性求出()g x 的最小值，从而可求出结果.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，又()f x 为奇函数，∴1(0)011af -==+，解得1a =，∴21()21x x f x -=+，所以2122()112121x x x f x +-==-<++，要使对任意12,x x R ∈，12()()f x g x ≤恒成立，只需max min ()()f x g x ≤，显然0b >，由复合函数的单调性可知2()ln(+)g x x b =在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，又min ()ln()g x b =，∴ln()1b ≥，即e b ≥，故选：C 二、多选题9．设a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22a bc c >B ．a b>C ．33a b >D ．a c b c>【正确答案】AC【分析】A 选项，由不等式的基本性质求解；BD 选项，可举出反例；C 选项，作差法比较大小.【详解】因为a b >，2c 为分母，所以20c >，由不等式的基本性质可知：22a bc c >，A 正确；不妨设0,1a b ==-，满足a b >，但a b <，B 错误；()()()222332324b a b a ab b a a b b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为a b >，所以0a b ->，且223024b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭恒成立，所以()33223024b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故33a b >，C 正确；当0c =时，a c b c =，D 错误.故选：AC10．已知函数()cos 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线1124x π=对称C ．函数()f x 的图象关于点7,024π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【正确答案】BCD【分析】根据余弦函数的性质一一判断即可；【详解】解：因为()cos 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期22T ππ==，故A 错误；1cos 2cos 1111124224f ππππ⎛⎫⨯+=⎛⎫= ⎪⎝⎪⎭⎭=- ⎝，所以函数()f x 的图象关于直线1124x π=对称，故B 正确；2cos 2coscos 0122277244f πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎛⎫⨯+=-== ⎪⎪⎢⎥⎝⎝⎭⎣⎦⎝⎭，所以()f x 的图象关于点7,024π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故C 正确；若0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2,7121212x πππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+，因为cos y x =在[]0,π上单调递减，所以()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 正确；故选：BCD11．若函数()f x 满足：当[0,1]x ∈时，()f x 的值域为[]0,1，则称()f x 为局部0~1的函数，下列函数中是局部0~1的函数的是（）A ．1()2x f x-=B ．()f x =C ．2()1f x x =+D ．2()log (1)=+f x x 【正确答案】BD【分析】利用给定的定义，逐项分析函数的单调性，并求出函数值域判断作答.【详解】对于A ，1()2x f x -=在R 上是增函数，当[]0,1x ∈时，函数()f x 值域是1[,1]2，A 不是；对于B ，()f x ==32x 在[)0,∞+上单调递增，当[]0,1x ∈时，函数()f x 值域是[]0,1，B 是；对于C ，2()1f x x =+在(1,)-+∞上单调递减，当[]0,1x ∈时，函数()f x 值域是[]1,2，C 不是；对于D ，2()log (1)=+f x x 在(1,)-+∞上单调递增，当[]0,1x ∈时，函数()f x 值域是[]0,1，D 是．故选：BD12．已知函数221,0()|ln 2,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨-⎪⎩，若关于x 的方程()()R f x k k =∈有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为1234,,,x x x x ，则（）A ．01k <<B ．121x x +=-C ．23e ex <<D ．412340ex x x x <<【正确答案】ACD【分析】根据给定条件，探求出函数()f x 的性质，作出函数图象，把方程()f x k =有四个不同的实数解转化为函数()y f x =的图象与直线y k =有4个公共点求解作答.【详解】当0x <时，函数2(1)2f x x x =++在(,1)-∞-上递减，函数值集合为(0,)+∞，在(1,0)-上递增，函数值集合为(0,1)，当0x >时，函数()|ln 2|f x x =-在2(0,e )上递减，函数值集合为(0,)+∞，在2(e ,)+∞上递增，函数值集合为(0,)+∞，作出函数()y f x =的部分图象，如图，方程()f x k =有四个不同的实数解，等价于函数()y f x =的图象与直线y k =有4个公共点，观察图象知，当01k <<时，函数()y f x =的图象与直线y k =有4个公共点，即方程()f x k =有四个不同的实数解，A 正确；因为二次函数221y x x =++图象对称轴为=1x -，因此122x x +=-，B 不正确；当2(0,e )x ∈时，()2ln f x x =-，由()2ln f x x k =-=，01k <<，得2e e x <<，因此23e e x <<，C正确；当0x >时，234e e x x <<<，由34()()f x f x k ==，得342ln ln 2x x -=-，解得434e x x =，1210x x <-<<且122x x +=-，则212222(2)(1)1x x x x x =--=-++，有1201x x <<，所以412340e x x x x <<，D 正确.故选：ACD思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.三、填空题13．命题“0,4x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin cos x x <”的否定是______．【正确答案】00,4x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00sin cos x x ≥【分析】根据全称命题“(),x M p x ∀∈”的否定为特称命题“()00,x M p x ∃∈⌝”即可得结果.【详解】因为“sin cos x x <”的否定是“sin cos x x ≥”，∴“0,4x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin cos x x <”的否定是“00,4x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00sin cos x x ≥”，故00,4x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00sin cos x x ≥14．已知正实数x ，y 满足111x y+=，则4x y +最小值为______．【正确答案】9【分析】利用基本不等式的性质直接求解即可.【详解】 正数x ，y 满足：111x y+=，∴()114445529y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即2x y =，233x y ==，时“=”成立，故答案为.915．若函数()()22log 3f x x ax a =-+在区间[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______．【正确答案】1,22⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】根据复合函数单调性即可求得a 的取值范围.【详解】()()22log 3f x x ax a =-+在区间[)1,+∞上单调递增所以23x ax a -+在区间[)1,+∞上单调递增所以对称轴12ax =≤，解得2a ≤当1x =时，230x ax a -+>，解得12a >-a 的取值范围是1,22⎛⎤- ⎥⎝⎦故1,22⎛⎤- ⎥⎝⎦16．已知π3sin()34x -=，且π06x <<，则π2πsin()cos()63x x +-+的值为___________.【分析】利用换元法令π3t x =-，则结合诱导公式可得π2πsin()cos()2cos 63x x t +-+=，求cos t 的值注意符号的判断．【详解】令πππ,363t x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则ππ2π,π623x t x t +=-+=-∵π3sin()sin 34x t -==，则cos 4t =()π2ππsin cos sin cos π2cos 6322x x t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=---==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．四、解答题17．求值：（1）113231338⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（2）24log 32log 0.252lg 42lg5⋅++++【正确答案】（1）32-（2）1792【分析】（1）根据指数的运算法则化简求值即可（2）根据对数的运算法则及性质化简求值.【详解】（1）1103231338⎛⎫--+ ⎪⎝⎭13271()18=-+133312()12⨯=--+32=-（2）24log 32log 0.252lg 42lg5⋅++++421log 32221log ln 2lg 4lg 54e =++++-1281lg10022=-+++-1792=本题主要考查了指数运算，对数运算，属于中档题.18．从①“充分不必要条件”、②“必要不充分条件”两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并解答下列问题：已知集合1|2324xA x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，2}²440|R {B x x x m m =-+-≤∈,.(1)若m =3，求A B ⋃；(2)若存在正实数m ，使得“x ∈A ”是“x ∈B ”成立的，求正实数m 的取值范围.【正确答案】(1)[2,5]-；(2)条件选择，答案见解析.【分析】（1）把3m =代入，分别求出集合A ，B ，再利用并集的定义求解作答.（2）选①，由AB 列式求解即可；选②，由BA 列式求解作答.【详解】（1）依题意，25222x -≤≤，解得25x -≤≤，即[2,5]A =-，当3m =时，解不等式2450x x --≤得：15x -≤≤，即[1,5]B =-,所以[2,5]A B =-U .（2）选①，由（1）知，[2,5]A =-，0m >，解不等式2²440x x m -+-≤得：22m x m -≤≤+，即[2,2]B m m =-+，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”成立的充分不必要条件，则有AB ，于是得2225m m -<-⎧⎨+≥⎩或2225m m -≤-⎧⎨+>⎩，解得4m >或4m ≥，即有4m ≥，所以正实数m 的取值范围是4m ≥.选②，由（1）知，[2,5]A =-，0m >，解不等式2²440x x m -+-≤得：22m x m -≤≤+，即[2,2]B m m =-+，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”成立的必要不充分条件，则有BA ，于是得2225m m -<-<+≤或2225m m -≤-<+<，解得03m <≤或03m <<，即有03m <≤，所以正实数m 的取值范围是03m <≤.19．已知不等式2320ax x -+>的解集为{|<1x x 或}()>>1x b b ，(1)求a ，b 的值；(2)解关于x 的不等式2(2)20cx ac x -++<．【正确答案】(1)1,2a b ==(2)答案见解析【分析】（1）由题意知一元二次方程2320ax x -+=的解为121,x x b ==，再由韦达定理列出方程组，即可解出答案；（2）由题意知()2(2)22(1)0cx c x cx x -++=--<，讨论c 与0，2的大小关系，即可写出答案.【详解】（1）由题意知一元二次方程2320ax x -+=的解为121,x x b ==，且1b >，0∆>，由韦达定理有.12123+==1+=1,=22==x x b a a b x x b a ⇒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（2）由（1）知1,2a b ==，则原不等式等价于2(2)20cx c x -++<，因式分解得：()2(1)0cx x --<，当0c =时：不等式的解集为：{>1}x x ；当0c <时：不等式的解集为：2<x x c ⎧⎨⎩或}>1x ；当02c <<时：不等式的解集为：21<<x x c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；当=2c 时：不等式的解集为：∅；当2c >时：不等式的解集为：2<<1x x c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；20．研究发现，在40分钟的一节课中，注力指标p 与学生听课时间t （单位：分钟）之间的函数关系为()231646,014483log 5,1440t t t p t t ⎧-++<≤⎪=⎨⎪--<≤⎩.(1)在上课期间的前14分钟内（包括第14分钟），求注意力指标的最大值；(2)根据专家研究，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳，现有一节40分钟课，其核心内容为连续的25分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？【正确答案】(1)82；(2)不能.（1）014t <≤，216464p t t =-++，配方求出函数的对称轴，结合函数图像，即可求解；（2）求出80p >时，不等式解的区间，求出区间长度与25对比，即可得出结论.【详解】（1）014t <≤，2211646(12)8244p t t t =-++=--+，当12t =时，p 取最大值为82，在上课期间的前14分钟内（包括第14分钟），注意力指标的最大值为82；（2）由80p >得，()201411282804t t <≤⎧⎪⎨--+>⎪⎩或()3144083log 580t t <≤⎧⎨-->⎩整理得()2014128t t <≤⎧⎪⎨-<⎪⎩或()31440log 53t t <≤⎧⎨-<⎩，解得1214t -≤或1432t <<，80p >的解为1232t -<<，而32(122025--=+<，所以教师无法在学生学习效果均在最佳状态时，讲完核心内容.本题考查函数应用问题，考查函数的最值，以及解不等式，属于中档题.21．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称.(1)若()f x 的最小正周期为2π，求()f x 的解析式；(2)若4x π=-是()f x 的零点，且()f x 在75(,)189ππ上单调，求ω的取值集合.【正确答案】(1)()sin()4f x x π=+；(2){}1,3.【分析】（1）根据给定条件，利用正弦函数性质求出,ωϕ即可作答.（2）根据函数()f x 的零点，及图象的对称轴，求出ω的表达式，再结合单调性确定ω范围，讨论验证即可作答.【详解】（1）因()f x 的最小正周期为π，则22ππω=，解得1ω=，因()f x 的图象关于直线4x π=对称，有42k ππϕπ+=+，Z k ∈，而||2πϕ≤，则0k =，4πϕ=，所以函数()f x 的解析式是()sin()4f x x π=+.（2）因4x π=-为函数()f x 的零点，4x π=为函数()f x 图象的对称轴，则有14k πωϕπ-+=，42k ππωϕπ+=+，1Z ,k k ∈，因此()122k k ππωπ=-+，1)2(1k k ω=-+，又0ω>，于是得21,N n n ω=+∈，即ω为正奇数，因()f x 在75(,)189ππ上单调，则函数()f x 的周期2572()9183T ππππω=≥-=，解得06ω<≤，当5ω=时，154k πϕπ-+=，1k Z ∈，而||2πϕ≤，则4πϕ=，()sin(5)4f x x π=+，当75189x ππ<<时，79109536436x πππ<+<，显然5542x ππ+=，即75(,)189920x πππ=∈时，()f x 取得最大值，因此函数()f x 在75(,)189ππ上不单调，不符合题意，当3ω=时，134k πϕπ-+=，1k Z ∈，而||2πϕ≤，则4πϕ=-，()sin(3)4f x x π=-，当75189x ππ<<时，1117312412x πππ<-<，而11173(,)()121222ππππ⊆，因此函数()f x 在75(,)189ππ上单调，符合题意，当1ω=时，14k πϕπ-+=，1k Z ∈，而||2πϕ≤，则4πϕ=，()sin(4f x x π=+，当75189x ππ<<时，232936436x πππ<+<，而2329(,)(,)36362ππππ⊆，因此函数()f x 在75(,)189ππ上单调，符合题意，所以ω的取值集合是{}1,3.22．已知函数()()12log 2sin 1 3.f x x =+-(1)求f (x )的定义域；(2)若0,6x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，求f (x )的值域;(3)设R a ∈，函数()2232g x x a x a =--，[0,1]x ∈，若对于任意10,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的0[0,1]x ∈，使得()()01 g x f x =成立，求a 的取值范围.【正确答案】(1)7{|22,Z}66x k x k k ππππ-<<+∈；(2)[4,3]--；(3)53(,][1,]32-∞- .【分析】（1）由对数函数的意义，列出不等式，再求解作答.（2）求出函数2sin 1y x =+在[0,]6π上的值域，再结合对数函数单调性求解作答.（3）利用二次函数对称轴分类，结合（2）的结论列出不等式，求解作答.【详解】（1）函数12()log (2sin 1)3=+-f x x 有意义，有2sin 10x +>，即1sin 2x >-，解得722,Z 66k x k k ππππ-<<+∈，所以函数f (x )的定义域为7{|22,Z}66x k x k k ππππ-<<+∈.（2）当06x π≤≤时，10sin 2x ≤≤，则12sin 12x ≤+≤，121log (2sin 1)0x -≤+≤，4()3f x -≤≤-，所以f (x )的值域是[4,3]--.（3）由（2）知，1[0,]6x π∈，14()3f x -≤≤-，函数()2232g x x a x a =--图象对称轴232a x =，而[0,1]x ∈，当2312a ≤，即a (0)23g a =-≥-，因为任意10,6x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，总存在唯一的0[0,1]x ∈，使得()()01g x f x =成立，则必有2(1)1324g a a =--≤-，解得53a ≤-或1a ≥，显然无解，当2312a >，即3a <-或3a >时，函数()2232g x x a x a =--在[0,1]上单调递减，()()()10g g x g ≤≤，因为任意10,6x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，总存在唯一的0[0,1]x ∈，使得()()01g x f x =成立，则(0)3(1)4g g ≥-⎧⎨≤-⎩，于是得2231324a a a -≥-⎧⎨--≤-⎩，解得53a ≤-或312a ≤≤，满足a <a >，因此53a ≤-或312a ≤≤，所以a 的取值范围是53(,][1,]32-∞- .结论点睛：若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。
2023-2024学年山东省济宁市高一上学期期末质量检测数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年山东省济宁市高一上学期期末质量检测数学模拟试题一、单选题．．．．”是“)0a b -<1a b <+二、多选题三、填空题四、解答题(1)求t与x之间的关系式；(2)求y关于x的函数解析式；参考答案：1．C【分析】根据交集运算求解即可.【详解】由题意可得：.A B = {}3,1,1--故选：C.2．D【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.【详解】由题意可知：“，”的否定是“，”.x ∀∈R e 10x x --≥x ∃∈R e 10xx --<故选：D.3．A【分析】以0和1为中间值比较即可.【详解】因为，所以，22log 3log 21>=1a >因为，所以，33log 0.3log 10<=0b <因为，所以，0.20033-<<01c <<所以.a c b >>故选：A.4．B【分析】利用函数奇偶性的定义逐个选项分析即可.【详解】对于A ，令，，故，即()()sin g x y x f x ==+()()sin g x x f x -=--()()g x g x =--是奇函数，故A 错误，()g x 对于B ，令，而，故()()sin h x y x f x ==⋅()()()()sin (1)sin h x y x f x x f x h x -==-⋅-⋅=⋅=是偶函数，故B 正确，()h x 对于C ，令，，显然当时，不是偶()()cos m x y x f x ==+()()cos m x x f x -=-()0f x ≠()m x 函数，故C 错误，对于D ，令，而,故，即是奇函数，()()cos t x y x f x ==⋅()()cos t x x f x -=⋅-()()t x t x =--()t x 故D 错误.由图像得共有个交点，故有个零点，即C 正确.3()f x 3。
2024届山东省邹城市一中高一上数学期末学业质量监测模拟试题含解析
考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色 字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
【题目点拨】本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性 判断，考查函数图像的识别，属于基础题.
3、D
的 【解题分析】∵α∈
0,
2
，∴2α∈(0，π)．∵cos
α＝
1 3
，∴cos
2α＝2cos2α－1＝－
7 9
，
∴sin 2α＝
1－cos2 2＝ 4 2 9
，而
α，β∈
0,
2
，∴α＋β∈(0，π)，
故答案为： x .（答案不唯一）
13、 5 4
【解题分析】原函数化为
f
(x)
sin 2x
sin
x
cos x
，令 sin
x
cos
x
t
，将函数转化为
g(t)
t2
1
t
t
1 2
2
5 4
，
利用二次函数的性质求解.
C.若 a 4 ，则 g a 0
D.函数 g a 的最大值为 4
6．已知 a log2 3 ， b log3 4 ， c 2 ，则 a、b、c 的大小顺序为（）
A. a b c C. c b a
B. a c b
D. b c a
7．函数
f
x
Asin x
2023-2024学年山东省山东高一上学期期末数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年山东省山东高一上册期末数学模拟试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}3,4A =，{}2,4B =，则()U A B = ð（）A ．{}2,3,4B ．{}1,3,4,5C ．{}1,3,5D ．{}1,2,3,4,5【正确答案】B【分析】先求出{}1,3,5U B =ð，进而求出()U A B ⋃ð.【详解】{}1,3,5U B =ð，故()U A B = ð{}1,3,4,5故选：B 2．函数ln 4x y -=）A ．[]0,4B ．(]0,4C ．[)0,4D ．()0,4【正确答案】D【分析】根据对数的真数部分大于零，分母不等于零，被开方数不小于零列不等式求解.【详解】由已知4000x x ⎧->⎪≥⎨≠，解得04x <<，即函数ln 4x y -=()0,4故选：D.3．下列各式正确的是（）A 2=-B．=C 34()x y =+D ．2122n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】根据幂运算的规则逐项分析即可.【详解】对于A2==-，正确；对于B ，==，错误；对于C ()()133344x yx y =+≠+，错误；对于D ，222n n m m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，错误；故选：A.4．sin 600︒的值为（）A ．12-B ．12C ．D ．2【正确答案】C【分析】利用诱导公式求得正确答案.【详解】()sin 600sin 180360sin 602︒=︒⨯+︒=-︒=-.故选：C5．已知角θ的终边经过点()8,3P m --，且4cos 5θ=-，则实数m 的值是（）A ．12B ．932C ．12或12-D ．932或932-【正确答案】A【分析】利用三角函数的定义列方程求解即可.【详解】由三角函数的定义得cos θ405m =->解得12m =故选：A6．设a ，R b ∈，定义运算,,b a ba b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，则函数()sin cos f x x x =⊗的最大值是（）A ．1B ．2C ．12D ．0【正确答案】B【分析】根据给定的定义，求出函数()f x 的解析式，再求其最大值作答.【详解】当sin cos x x ≥时，522,Z 44k x k k ππππ+≤≤+∈，当sin cos x x <时，322,Z 44k x k k ππππ-<<+∈因为a ，R b ∈，定义运算,,b a ba b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，而()sin cos f x x x =⊗，因此3sin ,2244(),Z 5cos ,2244x k x k f x k x k x k ππππππππ⎧-<<+⎪⎪=∈⎨⎪+≤≤+⎪⎩，当322,Z 44k x k k ππππ-<<+∈时，1sin 2x -≤<，当522,Z 44k x k k ππππ+≤≤+∈时，1cos x -≤≤所以函数()f x的值域为[2-，最大值为2.故选：B7．已知某幂函数的图象经过点132,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则该幂函数的大致图象是（）A ．B ．C．D．【正确答案】D【分析】设幂函数为()f x x α=，根据函数过点132,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入求出α，即可得到函数解析式，再根据幂函数的性质判断即可.【详解】解：设幂函数为()f x x α=，由函数过点132,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1324α=，即5222α-=，所以52α=-，解得25α-=，所以()25f x x-=，则函数的定义域为{}|0x x ≠，且()()()2255f x x x f x ---=-==，故()25f x x -=为偶函数，且函数在()0,∞+上单调递减，则函数在(),0∞-上单调递增，故符合题意的为D ；故选：D8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x -为偶函数，且当01x <≤时，()2log 2f x x =，则()()20232022f f +=（）A ．2B ．1C ．1-D ．0【正确答案】C【分析】根据给定的条件，探讨函数()f x 的周期性，再结合函数解析式计算作答.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，且(0)0f =，又()1f x -为偶函数，则()()11[(1)](1)f x f x f x f x -=--=-+=-+，于是得(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，因此函数()f x 是周期为4的周期函数，当01x <≤时，()2log 2f x x =，则(2023)(45061)(1)(1)1f f f f =⨯-=-=-=-，(2022)(45052)(2)(0)0f f f f =⨯+==-=，所以()()202320221f f +=-.故选：C思路点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数()f x 为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)()()f x f x --＝或()()f x f x -＝是定义域上的恒等式．二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．钝角大于锐角B ．时间经过两个小时，时针转了60°C ．三角形的内角必是第一象限角或第二象限角D ．若α是第三象限角，则2α是第二象限角或第四象限角【正确答案】AD【分析】利用锐角、钝角范围判断A ；利用正负角的意义判断B ；利用象限角的意义判断CD 作答.【详解】对于A ，因为锐角1(0,2πα∈，钝角2(,)2παπ∈，因此钝角大于锐角，A 正确；对于B ，时间经过两个小时，时针转了60- ，B 不正确；对于C ，当三角形的一个内角为2π时，该角不是第一象限角，也不是第二象限角，C 不正确；对于D ，因为α是第三象限角，即22,Z 2k k k πππαπ-<<-∈，则,Z 224k k k παπππ-<<-∈，当k 为奇数时，2α是第二象限角，当k 为偶数时，2α是第四象限角，D 正确.故选：AD10．已知命题:p x ∃∈R ，210ax x -+=，若p 为真命题，则实数a 的值可以是（）A ．14-B ．0C ．14D ．12【正确答案】ABC【分析】根据条件，可知方程210ax x -+=有实根，分0a =和0a ≠两种情况，求出a 的范围，再结合选项得到a 的值即可.【详解】因为x ∃∈R ，210ax x -+=为真命题，所以方程210ax x -+=有实根.当0a =时，1x =符合题意；当0a ≠时，由方程210ax x -+=有实根，可得2(1)40a ∆=--≥，所以14a ≤.综上，实数a 的值可以是14-，0和14.故选:ABC.11．在斜三角形ABC 中，ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若tan A ，tan B 是方程23610x x -+=的两根，则下列说法正确的是（）A ．tan 3C =B ．ABC 是钝角三角形C ．sin cos B A <D ．cos sin B A<【正确答案】BC【分析】利用韦达定理得到tan tan A B +，tan tan A B ⋅，再根据两角和的正切公式求出()tan A B +，利用诱导公式求出tan C ，即可判断A 、B ，再利用诱导公式及正弦函数的性质判断C 、D.【详解】解：因为tan A ，tan B 是方程23610x x -+=的两根，所以tan tan 2A B +=，1tan tan 3A B ⋅=，所以tan 0A >，tan 0B >，则π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()tan tan 2tan 311tan tan 13A B A B A B ++===--，所以()()tan tan πtan 30C A B A B =-+=-+=-<⎡⎤⎣⎦，又()0,πC ∈，所以π,π2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即C 为钝角，则ABC 是钝角三角形，故A 错误，B 正确；因为π2A B +<，所以π2A B <-或π2B A <-，所以πsin sin 2A B ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则sin cos A B <，故D 错误；πsin sin 2B A ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，即sin cos B A <，故C 正确；故选：BC12．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O 的圆心在原点，若函数的图像将圆O 的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O 的一个“太极函数”，则（）A ．对于圆O ，其“太极函数”有1个B ．函数()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩是圆O 的一个“太极函数”C ．函数()33f x x x =-不是圆O 的“太极函数”D ．函数())ln f x x =+是圆O 的一个“太极函数”【正确答案】BD【分析】根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得答案.【详解】解：对于A 选项，圆O ，其“太极函数”不止1个，故错误；对于B 选项，由于函数()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，当0x ≥时，()()2f x x x f x -=-+=-，当0x <时，()()2f x x x f x +-==-，故()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩为奇函数，故根据对称性可知函数()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩为圆O 的一个“太极函数”，故正确；对于C 选项，函数定义域为R ，()()33f x x x f x -=-+=-，也是奇函数，故为圆O 的一个“太极函数”，故错误；对于D 选项，函数定义域为R ，()))()lnln ln x x f x f x ⎛⎫=-==--=-⎪⎭-，故为奇函数，故函数())lnf x x =是圆O 的一个“太极函数”，故正确.故选：BD 三、填空题13．已知扇形的圆心角为5π6，弧长为1，则此扇形的面积为______.【正确答案】35π【分析】先求出半径，再用扇形的面积公式计算即可.【详解】由已知扇形的半径为165π5π6=，则此扇形的面积为163125π5π⨯⨯=故答案为.35π14．已知1ln e a =，1e e b =，1sin ec =，其中e 为自然对数的底数，则实数a ，b ，c 用“>”连接的顺序为______.【正确答案】b c a>>【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数的性质及正弦函数的性质，结合“媒介”数比较大小作答.【详解】因为101e <<，则有1ln ln10e a =<=，10e e e 1b =>=，10sin 0sin sin1sin 1e 2π=<<<=，因此01a c b <<<<，所以b c a >>.故b c a>>15．已知()cos tan 3,090f x x x =︒<<︒，则()sin 40f ︒=______.【正确答案】【分析】由于sin 40cos50︒=︒，将50x =︒代入()cos tan 3f x x =计算即可.【详解】sin 40cos50︒=︒ ，令50x =︒得()cos 50tan1503f ︒=︒=-，即()sin 40f ︒=故16．后疫情时代，人们的健身需求更加多样化和个性化.某健身机构趁机推出线上服务，健身教练进入直播间变身网红，线上具有获客、运营、传播等便利，线下具有器械、场景丰富等优势，线上线下相互赋能，成功吸引新会员留住老会员.据机构统计，当直播间吸引粉丝量不低于2万人时，其线下销售健身卡的利润y （单位：万元）随粉丝量x （单位：万人）的变化情况如下表所示.根据表中数据，我们用函数模型()log a y x m b =++进行拟合，建立y 关于x 的函数解析式.请你按此模型估测，当直播间的粉丝量为33万人时，线下销售健身卡的利润大约为______万元.x （万人）359y （万元）4373103【正确答案】163##153【分析】根据给定的数表及函数模型，列出方程组，求出函数解析式即可求解作答.【详解】依题意，4log (3)37log (5)310log (9)3aa a mb m b m b ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，消去b 得，(3)50(5)90a m m a m m +=+>⎧⎨+=+>⎩，解得1,2m a =-=，则13b =，因此函数模型为21log (1)3y x =-+，当33x =时，163y =，所以线下销售健身卡的利润大约为163万元.故163四、解答题17．（1）求值：31log 20lg 42lg5π3+++-；（2）若3π2π2α<<+【正确答案】（1）3-；（2）2sin α-【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可；（2=同角三角函数的平方关系及三角函数值的符号进行整理化简.【详解】（1）331log 2log 20lg 42lg5π3lg 4lg 25133+++-=++-⨯lg1001322163=+-⨯=+-=-;（2）若3π2π2α<<，则1sin 0,0cos 1αα-<<<<，===1cos 1cos sin sin αααα-+=+1cos 1cos 2sin sin sin ααααα-+=+=---18．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，其最小正周期为2，若01x ≤≤时，()231x f x a =++，且满足()10f =.(1)当34x ≤≤时，求函数()f x 的解析式；(2)请判断函数()y f x =在[]3,4上的单调性（只判断不证明）.【正确答案】(1)()()231343812x x f x x ⨯=-≤≤+；(2)单调递增，理由见解析.【分析】（1）根据给定条件，求出a 值及函数()f x 在[1,0]-上的解析式，再利用周期求出当34x ≤≤时，()f x 的解析式作答.（2）利用指数函数、反比例函数的单调性，结合复合函数单调性判断作答.【详解】（1）因为01x ≤≤时，()231x f x a =++，且()10f =，则21(1)0312f a a =+=+=+，解得12a =-，有()21312xf x =-+，又函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，则当10x -≤≤时，01x ≤-≤，有()()21231312312x x x f x f x -⨯=-=-=-++，而函数()f x 的最小正周期为2，当34x ≤≤时，140x -≤-≤，()()4423123143123812x x x x f x f x --⨯⨯=-=-=-++，所以当34x ≤≤时，函数()f x 的解析式为()2313812x x f x ⨯=-+.（2）由（1）知，当34x ≤≤时，()231316238122381x x xf x ⨯=-=-++，因为函数381x u =+在[3,4]上单调递增，[]108,162u ∈，函数16232y u =-+在[]108,162u ∈上单调递增，所以函数()y f x =在[]3,4上单调递增.19．已知22ππα-<<，且满足______.请从以下三个条件中选择一个条件补充在前面的横线中，①sin 10α=-；②cos sin 5αα+=；③1tan 3α=-，然后作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)求cos sin αα-的值；(2)角β与角α均以x 轴的非负半轴为始边，若角β的终边与角α的终边关于x 轴对称，求sin cos sin cos ββββ+-的值.【正确答案】(1)条件选择见解析，5；(2)2-.【分析】（1）选①，利用同角正余弦平方和为1求出cos α计算作答；选②，利用cos sin αα±与sin cos αα的关系计算作答；选③，由正切求出正余弦值即可作答.（2）求出角β与角α的关系式，再利用诱导公式结合（1）的结论计算作答.【详解】（1）选①，因为22ππα-<<，sin 10α=，则cos 10α==，所以cos sin 5αα-=.选②，由cos sin αα+=212cos sin 5αα+=，解得32cos sin 05αα=-<，因为22ππα-<<，则cos 0α>，必有sin 0α<，所以cos sin αα-选③，因为22ππα-<<，1tan 03α=-<，则02πα-<<，cos 0α>，sin 0α<，由sin 1cos 3αα=-及22cos sin 1αα+=，解得sin 10α=-，cos 10α=，所以cos sin 5αα-=.（2）由（1）知，sin 10α=，cos 10α=，因为角β与角α均以x 轴的非负半轴为始边，若角β的终边与角α的终边关于x 轴对称，则有2,Z k k βαπ+=∈，即2,Z k k βπα=-∈，sin sin ,cos cos βαβα=-=，所以sin cos sin cos cos sin 2sin cos sin cos cos sin 5ββααααββαααα+-+-==-==----+.20．已知函数()2sin cos f x x x x =.(1)求函数()f x 的最小正周期T ；(2)求函数()f x 的最大值，并求出使该函数取得最大值时的自变量x 的值.【正确答案】(1)πT =(2)最大值12+，5ππ,Z 12x k k =+∈【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式变形化简，然后根据公式2πT ω=可得周期.（2）利用正弦函数的性质可得()f x 的最大值及取最大值时x 的值.【详解】（1）由已知())21πsin cos sin 21cos 2sin 22232f x x x x x x x ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；（2）由（1）()πsin 232f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭得∴函数()f x的最大值为1此时有ππ22π,Z 32x k k -=+∈，即5ππ,Z 12x k k =+∈.21．已知函数()tan 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭02πϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭图象的一个对称中心是,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)当5,22x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，求不等式()1f x ≥的解集；(2)已知()f m α=()01m <<，求tan α的值.【正确答案】(1)73{42x ππ-≤<-或3}42x ππ-≤<-(2)212m m -【分析】（1）根据函数()f x 的对称中心为(,0)2π，求出ϕ的值，再结合正切函数的性质解不等式()1f x ≥即可；（2）根据条件，求出tan 2α，再由二倍角的正切公式求出tan ϕ的值.【详解】（1）函数()tan 022x f x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,由,22x k k πϕ+=∈Z ,可得2,x k k πϕ=-∈Z ,则()f x 的对称中心为(2,0),k k πϕ-∈Z .因为()f x 的一个对称中心为(,0)2π，所以2,2k k ππϕ-=∈Z ,所以,24k k ππϕ=-∈Z .因为02πϕ-<<，所以4πϕ=-，所以()tan()24x f x π=-.由()1f x ≥，可得tan()124x π-≥，所以,42k x k k ππππ+≤<+∈Z .因为5,22x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以7342x ππ-≤<-或342x ππ-≤<-，所以不等式()1f x ≥的解集为73{42x ππ-≤<-或3}42x ππ-≤<-.（2）由（1）知，()tan()24x f x π=-，因为()(01)f m m α=<<，所以tan tan 24tan()241tan tan 24απαπαπ--=+=tan121tan 2m αα-=+，所以1tan 21m m α+=-，所以2222(1)2tan 112tan 211tan 121m m m m m m ααα+--===+⎛⎫-- ⎪-⎝⎭.22．已知函数()21x f x ax b+=+是定义域上的奇函数，且()12f -=-.(1)令函数()()g x f x m =-，若()g x 在()0,∞+上有两个零点，求实数m 的取值范围；(2)已知函数1z x x =+在(]0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，令()()2212h x x tf x x=+-，()0t <，若对1x ∀，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12154h x h x -≤，求实数t 的取值范围.【正确答案】(1)m>2；(2)302t -≤<.【分析】（1）根据给定条件，求出函数()f x 的解析式，再利用一元二次方程在()0,∞+上的实根分布求解作答.（2）求出()h x 的解析式，并用z 表示出，结合对勾函数、二次函数性质求出()h x 的最大、最小值，再列式求解作答.【详解】（1）因为函数()21x f x ax b+=+是定义域上的奇函数，且()12f -=-，有()1(1)2f f =--=，则2222b a a b ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=⎪+⎩，解得1,0a b ==，函数()211,0x f x x x x x +==+≠，显然())1(f x x f x x-=--=-，即函数()f x 是定义域(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，则1,0a b ==，()()1x m x g x f x m =-=+-，函数()g x 在()0,∞+上有两个零点，等价于方程210x mx -+=有两个不等的正根12,x x ，于是得21212Δ40010m x x m x x ⎧=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得m>2，所以实数m 的取值范围是m>2.（2）由（1）知2221111()2()()2()2h x x t x x t x x x x x=+-+=+-+-，而1z x x =+，当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数1z x x =+在1[,1]2上单调递减，在[1,2]上单调递增，5[2,]2z ∈函数222y z tz =--图象的对称轴0z t =<，因此函数222y z tz =--在5[2,]2z ∈上单调递增，则当2z =，即1x =时，min 42y t =-+，当52z =，即12x =或2x =时，max 1754y t =-+，从而当1x =时，min ()42h x t =-+，当12x =或2x =时，max 17()54h x t =-+，对1x∀，21,2 2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12154h x h x-≤，等价于max min15()()4h x h x-≤，即17155(42)44t t-+--+≤，解得32t≥-，而0t<，即有302t-≤<，所以实数t的取值范围是30 2t-≤<.思路点睛：含参数的二次函数在指定区间上的最值问题，按二次函数对称轴与区间的关系分类求解，再综合比较即可.。
2023届山东省新高一数学第一学期期末教学质量检测试题含解析
【解析】设 ，依题意有 ，故 .
16、
【解析】计算出一个弓形的面积，由题意可知，勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，利用弓形和正三角形的面积可求得结果.
【详解】由弧长公式可得 ，可得 ，
所以，由 和线段 所围成的弓形的面积为 ，
而勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，
因此，该勒洛三角形的面积为 .
13、① ② ③ ④
【解析】分别作出 ， 和 的函数 的图象，由图象即可判断① ② ③ ④的正确性，即可得正确答案.
【详解】
如上图分别为 ， 和 时函数 的图象，
对于①：当 时， ，
图象如图 关于原点对称，所以存在 使得函数 为奇函数，故①正确；
对于②：由三个图知当 时， ，当 时， ，所以函数 既无最大值也无最小值；故②正确；
∴a=1
故选B
【点睛】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
12、B
【解析】由题意把| | 两边平方，结合数量积的定义可得
【详解】| |＝1，| |＝2， 与 的夹角θ，
∴| |2 7，
∴12+2×1×2×cosθ+22＝7，
解得cosθ
故选：B
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
对于③：如图 和图 中存在实数 使得函数 图象与 没有交点，此时函数 没有零点，所以对任意实数 和 ，函数 总存在零点不成立；故③不正确
对于④：如图 ，对于任意给定的正实数 ，取 即可使函数 在区间 上单调递减，故④正确；
故答案为：① ② ④
【点睛】关键点点睛：本题解题 关键点是分段函数图象，涉及二次函数的图象，要讨论 ， 和 即明确分段区间，作出函数图象，数形结合可研究分段函数的性质.
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x
2 sin x, x 0
，
2 sin x, x 0
当 x 0 时，可得 1 sin x 1，所以 2 2 sin x 2 ，
当 x 0 时，可得 1 sin x 1，所以 2 2 sin x 2 ，
所以函数 f x 的最小值为 2 ，所以 A 不正确；
又由 f x 2 sin x 2 sin x f x ，所以函数 f x 为偶函数，所以 B 不正确；
【详解】
解得
，
又函数在 上单调递增，则 ， 故选：B
3、D
【解析】由题意，PE=BEcotθ1，PF=CFcotθ2，
∵BE=
1 2
CF，θ1=θ2，
∴PE= 1 PF 2
以 EF 所在直线为 x 轴，EF 的垂直平分线为 y 轴建立坐标系，
设 E（﹣ a ，0），F（ a ，0），P（x，y），则
1
log3 3x 2 有意义，需满足 log3(3x 2)
0=
log3
1,即{3x 3x
2 2
0 0
解得
2 3
x
1或x
1 ，所以
函数
y
log3
1
3x
2
的定义域为
2 3
，1
1，+
考点：求函数的定义域
【易错点睛】本题是求函数的定义域，注意分母不能为 0，同时本题又将对数的运算，交集等知识联系在一起，重点
考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全
面性．学生很容易忽略 3x 2 0 ，造成失误，注意在对数函数中，真数一定是正数，负数和零无意义
考点：求函数的定义域
9、D
【解析】先化简
f
(B)
4 sin
B cos2 ( 4
B) cos 2B 2
所以 AB 2 3 ，
所以这个弧田面积为 1 2 3 112 3 1 2 ，
2
2
故选：A
7、A
【解析】画出函数图像，分解因式得到 f x m f x 1 0 ， f x 1有一个解故
f x m 有两个解，根据图像得到答案.
【详解】画出函数
f
(x)
3sin
2x
6
的图像，如图所示：
A. f x 最小值为 0
B.函数 f x 为奇函数
C.函数 f x 是周期为 周期函数
D.函数 f x 在区间 ( 17 , 3 ) 上单调递减
72
6．《九章算术》中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积= 1 ×（弦×矢+矢 2 ）．弧田（如图 2
1）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为
21．已知函数 f x x2 4x a 3, a R .
（1）若函数 f x 在 , 上至少有一个零点，求 a 的取值范围；
（2）若函数 f x 在a, a 1 上 最大值为 3，求 a 的值.
的 22．已知函数 f (x) loga(x 2) loga(2 x),a 0 且 a 1.
14．已知函数 f x 2
3sin
2x
3
,
g
x
x
a
，若存在
x1,
x2
6
,
4
，使得
f（
x1
）＝g（
x
2
），则实数
a 的取值范围为___
15．已知函数 f x x2 px q 满足 f 1 f 2 0 ，则 f 1 ________.
16．函数 y lg(1 x) 的定义域为_____________________
C.
D.
3．如图，在等腰梯形 ABCD中， CD 2AB 2EF 2a ， E, F 分别是底边 AB,CD 的中点，把四边形 BEFC 沿直 线 EF 折起使得平面 BEFC 平面 ADFE .若动点 P 平面 ADFE ，设 PB, PC 与平面 ADFE 所成的角分别为 1,2 （1,2 均不为 0）.若1=2 ，则动点 P 的轨迹围成的图形的面积为
2
18．已知函数 f x loga x 1 ， g x loga 1 x a 0,且a 1 （1）求函数 F x f x g x 的定义域；
（2）试讨论关于 x 的不等式 f x g x 的解集
19．已知函数 f x x x a 为 R 上 奇函数
（1）求实数 a 的值；
,
3
B.
3 2
,
3
C.
3 2
,
3 2
D.
3 2
,
3
8．函数
y
log3
1
3x
2
的定义域为
A.
2 3
，
B. 1，
C.
2 3
，1
1，+
D.
2 3
，5 3
5 3
，+
9．已知 A, B,C 是 ABC 的三个内角，设 f (B) 4sin B cos2 ( B) cos 2B ，若 f B m 2 恒成立，则实数 m
0.20 1,
0.2
2
0
2 1
即 0 a 1,b 0,c 1，
b a c ，故选 B.
【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思
路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ,0,0,1,1, ）；二是利用函数的单调性直接
y f 2(x) (m 1) f (x) m f x m f x 1 0
当
f
x
1 时，即
f
(x)
3sin
2
x
6
1，有一个解；
则
f
x
m 有两个解，根据图像知：
m
3 2
,
3
故选： A
【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像，分解因式是解题的关键. 8、C
【解析】要使函数
y
解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 5、D
【解析】根据三角函数的性质，得到 f x 的最小值为 2 ，可判定 A 不正确；根据奇偶性的定义和三角函数的奇偶
性，可判定 C 不正确；举例可判定 C 不正确；根据三角函数的单调性，可判定 D 正确.
【详解】由题意，函数 f x
2 sin
（2）若不等式 f
sin2 x
f
t
2cos
x
0
对任意
x
π 3
,
7π 6
恒成立，求实数 t
的最小值
20．已知 f x 3 sin x cos x 3cos2 x 3 .
2
（1）若 f x
3 2
，
x
π 6
,
2π 3
，求
x
的值；
（2）若
x 0,
π 2
，求
f
x 的最大值和最小值.
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
【详解】①函数的定义域为 R ，且 f x x3 3 x ，
f x x3 3 x f x，则函数 f x 是奇函数；
②函数的定义域关于原点不对称，则函数 y 1 （ x 0 ）为非奇非偶函数；
x
③函数的定义域为 R ， f 0 0 1 1 0 ，则函数 y x3 1 不是奇函数；
4 sin
1 B
cos
2
B
cos 2B
2
1 2sin B ，因为 f B m 2 恒成立，所以 m f B 2恒成立，即 m 2sin B 1恒成立，所以 m 1 ，故选
D. 考点：三角函数二倍角公式、降次公式； 10、B 【解析】首先求出函数的定义域，再由函数的奇偶性定义即可求解.
2 ，半径为 2 米的弧田（如图 2），则这个弧田面积大约是（）平方米．（ 3
3 1.73 ，结果保留整数）
A.2
B.3
C.4
D.5
7．已知函数
f
(x)
3sin
2
x
6
，若函数
y
f
2(x) (m 1) f (x) m 在[0，π ] 上有 3 个零点，则 m 的取值范围 2
为（ ）
A.
3 2
因为 f ( ) 2 sin 1， f ( ) 2 sin( ) 1 ，所以 f ( ) f ( ) ，
4
4
4
4
4
4
所以 不是 f x 的周期，所以 C 不正确；
当 x 0 时， f x 2 sin x ， 2k x 2k , k Z ，
2
2
当 k 1时， 5 x 3 ，即函数 f x 在区间[ 5 , 3 ] 上单调递减，
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请将正确答案涂在答题卡上.）
1．已知平面 α 和直线 l，则 α 内至少有一条直线与 l（ ）
A.异面
B.相交
C.平行
D.垂直
2．已知指数函数
在 上单调递增，则 的值为（ ）
A.3
B.2
A. 1 a2 4