2020-2021全国中考数学锐角三角函数的综合中考真题汇总附答案解析
2020-2021全国中考数学锐角三角函数的综合中考真题汇总附答案解析
一、锐角三角函数
1．某地是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40o，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60o，5CBm＝,2.7CDm＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：400.64400.77400.84sincostan，，.21.41,31.73）
【答案】AB的长约为0.6m．
【解析】
【分析】
作BFCE于F，根据正弦的定义求出BF，利用余弦的定义求出CF，利用正切的定义求出DE，结合图形计算即可．
【详解】
解：作BFCE于F，
在RtBFC中，3.20BFBCsinBCF＝，
3.85CFBCcosBCF＝，
在RtADEE中，331.73tan3ABDEADE，
0.200.58BHBFHFAHEFCDDECF＝﹣＝，＝＝﹣＝
由勾股定理得，22BHAH0.6(m)AB，
答：AB的长约为0.6m．
【点睛】
考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
2．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．
(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；
(2) 求证：∠ACF=90°；
(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.
图1 图2
【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析
（2）证明见解析
（3）=2π
【解析】
试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH
（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明
（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长
试题解析：（1）BE=FH．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形 ∴∠B=90°，
∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°
又∵∠AEF=90° ∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°
∴∠HEF=∠BAE ∴ ∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF
∴△ABE≌△EHF（SAS）
∴BE=FH
(2)∵△ABE≌△EHF
∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"
∴CH=FH
∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°
∵AC是正方形对角线，∴ ∠ACD=45°
∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90° （3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形
△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°
过E作EN⊥AC于点N
Rt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=
Rt△ENA中，EN =
又∵∠EAF=45° ∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）
∴∠EAC=30°
∴AE=
Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8
AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°
=2π·4·（90°÷360°）=2π
考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数
3．如图，反比例函数 0kykx 的图象与正比例函数 2yx 的图象相交于A(1,a),B两点，点C在第四象限，CA∥y 轴，90ABC.
(1)求k的值及点B的坐标；
(2)求tanC的值.
【答案】（1）2k，1,2B；（2）2.
【解析】
【分析】（1）先根据点A在直线y=2x上，求得点A的坐标，再根据点A在反比例函数0kykx 的图象上，利用待定系数法求得k的值，再根据点A、B关于原点对称即可求得点B的坐标； （2）作BH⊥AC于H，设AC交x轴于点D，根据90ABC ， 90BHC ，可得CABH，再由已知可得AODABH，从而得CAOD，求出Ctan即可.
【详解】（1）∵点A(1，a)在2yx上，
∴a=2，∴A(1，2)，
把A(1，2)代入
kyx 得2k，
∵反比例函数0kykx 的图象与正比例函数 2yx 的图象交于A，B两点，
∴AB、 两点关于原点O中心对称，
∴12B，
；
（2）作BH⊥AC于H，设AC交x轴于点D，
∵90ABC ， 90BHC ，∴CABH，
∵CA∥y 轴，∴BH∥x轴，∴AODABH，∴CAOD，
∴AD22OD1tanCtanAOD.
【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，（2）小题求出∠C=∠AOD是关键.
4．问题探究：
（一）新知学习：
圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．
（二）问题解决：
已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M．
（1）若直径AB⊥CD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；
（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；
（3）若直径AB与CD相交成120°角． ①当点P运动到的中点P1时（如图二），求MN的长；
②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．
（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．
【答案】（1）证明见解析，直径OP=2；
（2）证明见解析，MN的长为定值，该定值为2；
（3）①MN=；②证明见解析；
（4）MN取得最大值2．
【解析】
试题分析：（1）如图一，易证∠PMO+∠PNO=180°，从而可得四边形PMON内接于圆，直径OP=2；
（2）如图一，易证四边形PMON是矩形，则有MN=OP=2，问题得以解决；
（3）①如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得∠COP1=∠BOP1=60°，根据圆内接四边形的对角互补可得∠MP1N=60°．根据角平分线的性质可得P1M=P1N，从而得到△P1MN是等边三角形，则有MN=P1M．然后在Rt△P1MO运用三角函数就可解决问题；②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，根据圆周角定理可得∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中运用三角函数可得：MN=QN•sin∠MQN，从而可得MN=OP•sin∠MQN，由此即可解决问题；
（4）由（3）②中已得结论MN=OP•sin∠MQN可知，当∠MQN=90°时，MN最大，问题得以解决．
试题解析：（1）如图一，
∵PM⊥OC，PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90°，∴∠PMO+∠PNO=180°，∴四边形PMON内接于圆，直径OP=2；
（2）如图一，
∵AB⊥OC，即∠BOC=90°，∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°，∴四边形PMON是矩形，
∴MN=OP=2，∴MN的长为定值，该定值为2； （3）①如图二，
∵P1是的中点，∠BOC=120°，∴∠COP1=∠BOP1=60°，∠MP1N=60°，∵P1M⊥OC，P1N⊥OB，∴P1M=P1N，∴△P1MN是等边三角形，∴MN=P1M．
∵P1M=OP1•sin∠MOP1=2×sin60°=，∴MN=；
②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，
交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，
则有∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，
在Rt△QMN中，sin∠MQN=，∴MN=QN•sin∠MQN，∴MN=OP•sin∠MQN=2×sin60°=2×=，∴MN是定值．
（4）由（3）②得MN=OP•sin∠MQN=2sin∠MQN．
当直径AB与CD相交成90°角时，∠MQN=180°﹣90°=90°，MN取得最大值2．
考点：圆的综合题．
5．在正方形ABCD中，BD是一条对角线.点P在射线CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH、PH.
（1）若点P在线CD上，如图1，
①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；
（2）若点P在线CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路.（可以不写出计算结果）
【答案】（1）①如图；②AH＝PH，AH⊥PH．证明见解析（2）或
【解析】
试题分析：（1）①如图（1）；②（1）法一：轴对称作法，判断：AH＝PH，AH⊥PH．连接CH，根据正方形的每条对角线平分一组对角得：△DHQ等腰Rt△，根据平移的性质得DP＝CQ，证得△HDP≌△△HQC，全等三角形的对应边相等得PH＝CH，等边对等角得∠HPC＝∠HCP，再结合BD是正方形的对称轴得出∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，∴AH＝PH且AH⊥PH．四点共圆作法，同上得：∠HPC＝∠DAH，∴A、D、P、H共向，∴∠AHP＝90°，∠APH＝∠ADH＝45°，∴△APH等腰Rt△．
（2）轴对称作法同（1）作HR⊥PC于R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°
∴∠DCH＝17°．设DP＝x，则.由代入HR，CR解方程即可得出x的值. 四点共圆作法，A、H、D、P共向，∴∠APD＝∠AHB＝62°，∴．
试题解析： （1）①
法一：轴对称作法，判断：AH＝PH，AH⊥PH
证：连接CH，得：△DHQ等腰Rt△，又∵DP＝CQ，∴△HDP≌△△HQC，∴PH＝CH，∠HPC＝∠HCP
BD为正方形ABCD对称轴，∴AH＝CH，∠DAH＝∠HCP，∴AH＝PH，∠DAH＝∠HPC，∴∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，∴AH＝PH且AH⊥PH．
法二：四点共圆作法，同上得：∠HPC＝∠DAH，∴A、D、P、H共向，∴∠AHP＝90°，∠APH＝∠ADH＝45°，∴△APH等腰Rt△．
2020-2021中考数学综合题专练∶直角三角形的边角关系附详细答案
2020-2021中考数学综合题专练∶直角三角形的边角关系附详细答案
一、直角三角形的边角关系
1．已知在平面直角坐标系中，点3,0,3,0,3,8ABC，以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交Ee于点D，连接OD.
（1）求证：直线OD是Ee的切线；
（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交Ee于点G，连接BG：
①当1an7tACF时，求所有F点的坐标 （直接写出）；
②求BGCF的最大值.
【答案】（1）见解析；（2）①143,031F，2(5,0)F；② BGCF的最大值为12.
【解析】
【分析】
（1）连接DE，证明∠EDO=90°即可；
（2）①分“F位于AB上”和“F位于BA的延长线上”结合相似三角形进行求解即可；
②作GMBC于点M，证明1~ANFABC，得12BGCF，从而得解.
【详解】
（1）证明：连接DE，则：
∵BC为直径
∴90BDC
∴90BDA
∵OAOB
∴ODOBOA
∴OBDODB
∵EBED
∴EBDEDB ∴EBDOBDEDBODB
即：EBOEDO
∵CBx轴
∴90EBO
∴90EDO
∴直线OD为Ee的切线.
（2）①如图1，当F位于AB上时：
∵1~ANFABC
∴11NFAFANABBCAC
∴设3ANx，则114,5NFxAFx
∴103CNCAANx
∴141tan1037FNxACFCNx，解得：1031x
∴150531AFx
1504333131OF
即143,031F
如图2，当F位于BA的延长线上时：
∵2~AMFABC
∴设3AMx，则224,5MFxAFx
∴103CMCAAMx
∴241tan1037FMxACFCMx
2020-2021全国中考数学锐角三角函数的综合中考真题分类汇总含详细答案
2020-2021全国中考数学锐角三角函数的综合中考真题分类汇总含详细答案
一、锐角三角函数
1．如图，某无人机于空中A处探测到目标BD、的俯角分别是30、60,此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行303m到达'A处.
（1）求之间的距离
（2）求从无人机'A上看目标的俯角的正切值.
【答案】（1）120米；（2）235.
【解析】
【分析】
（1）解直角三角形即可得到结论；
（2）过'A作'AEBC交BC的延长线于E，连接'AD，于是得到'60AEAC，
'30CEAA3，在Rt△ABC中，求得DC=33AC=203，然后根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，
在Rt△ABC中，AC=60m，
AB=sin30AC=6012=120（m）
（2）过'A作'AEBC交BC的延长线于E，连接'AD，
则'60AEAC， '30CEAA3，
在Rt△ABC中， AC=60m，∠ADC=60°，
DC=33AC=203
DE=503
tan∠A'AD= tan∠'ADC='AEDE=60503=235
答：从无人机'A上看目标D的俯角的正切值是235．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.
2．已知在平面直角坐标系中，点3,0,3,0,3,8ABC，以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交Ee于点D，连接OD.
（1）求证：直线OD是Ee的切线；
（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交Ee于点G，连接BG：
①当1an7tACF时，求所有F点的坐标 （直接写出）；
②求BGCF的最大值.
【答案】（1）见解析；（2）①143,031F，2(5,0)F；② BGCF的最大值为12.
【解析】
【分析】
2020-2021中考数学压轴题之锐角三角函数(中考题型整理,突破提升)含答案
2020-2021中考数学压轴题之锐角三角函数(中考题型整理,突破提升)含答案
一、锐角三角函数
1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．
【答案】．
【解析】
试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．
试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
2．在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，∠EMF=135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：
（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM；
（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=，AN=+1，则BM=
，CF= ．
【答案】（1）证明见解析（2）见解析（3）1，1+或1﹣
【解析】
【分析】
(1)由等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，可得BM=MN，∠BMN=135°，又∠EMF=135°，可证明的△BME≌△NMF，可得BE=NF，NC=NM=BM进而得出结论；
02填空题-2021中考数学真题知识点分类汇编-锐角三角形(含答案,29题)
02填空题-2021中考数学真题知识点分类汇编-锐角三角形（含答案，29题）
一．锐角三角函数的定义（共1小题）
1．（2021•湖州）如图，已知在Rt△ABC
中，∠ACB
＝90°，AC
＝1，AB
＝2，则sinB
的值
是 ．
二．特殊角的三角函数值（共1小题）
2．（2021•杭州）计算：sin30°＝ ．
三．解直角三角形（共6小题）
3．（2021•无锡）如图，在△ABC
中，AD
是高，E
是AB
上一点，CE
交AD
于点F
，且AD
：BD
：
CD
：FD
＝12：5：3：4，则sin∠BEC
的值是 ．
4．（2021•无锡）如图，△ABC
中，∠C
＝90°，tanB
＝3，MN
垂直平分AB
，AN
＝10，则BC
＝ ．
5．（2021•内江）已知，在△ABC
中，∠A
＝45°，AB
＝4，BC
＝5，则△ABC
的面积
为 ．
6．（2021•绵阳）在直角△ABC
中，∠C
＝90°，+＝，∠C
的角平分线交AB
于
点D
，且CD
＝2，斜边AB
的值是 ．
7．（2021•海南）如图，△ABC
的顶点B
、C
的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC
＝
90°，∠A
＝30°，则顶点A
的坐标是 ．
8．（2021•乐山）如图，已知点A
（4，3），点B
为直线y
＝﹣2上的一动点，点C
（0，n
），﹣
2＜n
＜3，AC
⊥BC
于点C
，连接AB
．若直线AB
与x
轴正半轴所夹的锐角为α，那么当
sinα的值最大时，n
的值为 ．
四．解直角三角形的应用（共6小题）
9．（2021•遵义）小明用一块含有60°（∠DAE
＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的
高度，示意图如图所示，若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB
为1.62m
，小明与树之
间的水平距离BC
为4m
，则这棵树的高度约为 m
．（结果精确到0.1m，参考数据：
≈1.73）
10．（2021•梧州）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A
到桥
的距离是40米，测得∠A
＝83°，则大桥BC
的长度是 米．（结果精确到1米）
（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）
2020-2021初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附解析(2)
2020-2021初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附解析(2)
一、选择题
1．“奔跑吧，兄弟！”节目组，预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需经A、B、C、D四地．如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向、在C地北偏西45°方向．C地在A地北偏东75°方向．且BD=BC=30m．从A地到D地的距离是（ ）
A．303m B．205m C．302m D．156m
【答案】D
【解析】
分析：过点D作DH垂直于AC，垂足为H，求出∠DAC的度数，判断出△BCD是等边三角形，再利用三角函数求出AB的长，从而得到AB+BC+CD的长．
详解：过点D作DH垂直于AC，垂足为H，由题意可知∠DAC=75°﹣30°=45°．∵△BCD是等边三角形，∴∠DBC=60°，BD=BC=CD=30m，∴DH=32×30=153，∴AD=2DH=156m．故从A地到D地的距离是156m．
故选D．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC上找一点B，取145ABDo，500BDm，55Do，要使A，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（ ）
A．500sin55mo B．500cos55mo C．500tan55mo D．500cos55mo 【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知利用∠D的余弦函数表示即可．
【详解】
在Rt△BDE中，cosD=DEBD，
∴DE=BD•cosD=500cos55°．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
3．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到达C处，在C处观察B地的俯角为，则AB两地之间的距离约为（ ）
2020-2021学年人教版九年级下册数学《第28章 锐角三角函数》单元测试卷(有答案)
2020-2021学年人教新版九年级下册数学《第28章 锐角三角函数》单元测试卷
一．选择题
1．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，那么sinA的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tanA＝，则BC的长为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．10
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanB＝，则锐角A满足（ ）
A．0°＜A＜30° B．30°＜A＜45° C．45°＜A＜60° D．60°＜A＜90°
4．若锐角A满足cosA＝，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子定成立的是（ ）
A．sinA＝sinB B．cosA＝cosB C．tanA＝tanB D．sinA＝cosB
6．如图为张小亮的答卷，每个小题判断正确得20分，他的得分应是（ ）
A．100分 B．80分 C．60分 D．40分
7．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是（ ）
A．（8，） B．（8，12） C．（6，） D．（6，10） 8．如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算sin52°，按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．秀秀和山山在水平的地面上放风筝，某一时刻两人的风筝正好都停在对方的正上方，即此时AC⊥AB，DB⊥AB，两人之间的距离AB为120米，若两人的风筝线与水平线的夹角分别为a和β，则两人放出的风筝线AD与BC的长度和为（忽略两人的身高与手臂长度）（ ）米．
A．120tanα+120tanβ B． +
C．120cosα+120cosβ D． +
10．如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，若坡面CD的长度为米，则斜坡AB的长度为（ ）
2020-2021全国中考数学锐角三角函数的综合中考真题汇总及详细答案
2020-2021全国中考数学锐角三角函数的综合中考真题汇总及详细答案
一、锐角三角函数
1．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．
（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；
（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）
（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）
【答案】（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截.
【解析】
【分析】
（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D、C、M在一条直线上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出CD．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程，解方程即可．
【详解】
（1）在ABC△中，180180375390ACBBBAC.
在RtABCV中，sinACBAB，所以3sin3725155ACAB（海里）.
答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里.
（2）过点C作CMAB，垂足为M，由题意易知，DCM、、在一条直线上.
在RtACMV中，4sin15125CMACCAM，3cos1595AMACCAM.
在RtADM△中，tanMDDAMAM，
所以tan7636MDAM.
2020-2021全国中考数学直角三角形的边角关系的综合中考真题分类汇总及答案解析
2020-2021全国中考数学直角三角形的边角关系的综合中考真题分类汇总及答案解析
一、直角三角形的边角关系
1．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．
（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；
（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；
②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）
【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．
【解析】
试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；
（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．
试题解析：（1）AE=CE．理由：
连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；
（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．
①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；
②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．
专题07 利用锐角三角函数解实际问题(教师版含解析) -2021年中考数学复习重难点与压轴题型训练
备战2021年中考复习重难点与压轴题型专项训练
专题07 利用锐角三角函数解实际问题
【专题训练】
一、解答题
1．(2020·江西中考真题)如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长AB=120mm，支撑板长CD=80mm，底座长DE=90mm，托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB=40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．(结果保留小数点后一位)
(1)若∠DCB=80°，∠CDE=60°，求点A到直线DE的距离；
(2)为了观看舒适，在(1)的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．(参考数据：sin400.643,cos400.766，tan400.839，sin26.60.448，cos26.60.894,tan26.60.500，31.732)
【答案】
(1)如图所示，过点A作AMDE，CNDE，CPAM，
则90CPMCMDCND,
∵120mmAB，40mmCB，
∵80mmAC，
又∵80DCB，60CDE，
∵100ACD，120CDM，
∵360909012060PCD，
∵1006040ACP,
∵sin40800.64351.44mmAPAC，
又∵60CDN,80mmCD，
∵3sin608040369.282CNCDmm，
∵69.2851.44120.72120.7AMmm．
∵点A到直线DE的距离是120.7mm．
(2)如图所示，
根据题意可得90DCE，40mmCB，80mmCD，
∵401tan802BCCDBDC，
∵26.6CDB，
2021年九年级中考数学 一轮复习：锐角三角函数及其应用(含答案)
2021中考数学 一轮复习：锐角三角函数及其应用
一、选择题
1. （2020·扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D.则sin∠ADC的值为
（ ）
A. 21313
B.
31313 C. 23 D. 32
2. 如图，点A,B,C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（ ）
A.62 B.2626 C.1326 D.1313
3. (2019•江苏苏州)如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为183m的地面上，若测角仪的高度为1.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30，则教学楼的高度是
30°CDAB
A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m
4. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是( )
A. 12 B. 1 C. 3 D. 2
5. (2019•湖南长沙•3分)如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是
A．303nmile B．60nmile
C．120nmile D．(30+303)nmile
6. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于
A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx
7. （2020•湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（ ）