2020年河北衡水中学理科数学高考模拟试卷(含答案)
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！
(2)求入的取值范围
功
成 x
解：
到 (1)由抛物线定义可得M(-c,-47 -h), :. 点M在抛物线 2=4by J:,
马 ✓3 :.c1 =4b(-7 -b), 4
即c 2 =7h-4h�(D
一
又由.:.= — 心 ，得c 2 = 3b 2, 将上式代入＠，得7b:=7b, 解得b = I , .". c = ,
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1
厂二=�言归丿 S!!.O忠 IOAIIOBI
2�_2
二厂 功 41111
4nt
2
+2+
— 1 4m 2
=2m+ — 1 2m
:2:
2'当目仅当m=1时等号成立
成
到 所以入的取伯范围为[2,+吩
21已知函数f(x) = x2 - ae x - 1.
(1)若f(x)有两个不同的极值点X1 , X2 , 求实数a的取值范围；
马 (2)在(l)的条件下，求证：
e-''+e·'0
>
4
一
a
雇(1)函数 f(x) =x2 - ae入 - 1'
考 ．寸(x) =2x - ae入，
守(x)有两个不同的极值点X1, X2,
高 习(x) =2.x - ae入'=O有两个根，
即a =尘 ， ex
您 即y=a与y=g(x) =坠－有两个交点， ex
则mm' = .x:V...2,.=.
— y1 =—I X1 X2 x1 16
= --1 , 4
所以n1' = -—41m-,
®
祝叶 一 设直线ON的方程为y = mx (m>O),
✓ y,= mx ,
x- =4y
解得x0 =4m,
所以jON!=
l+m
lxN l=4m五言了，
✓ 厂二 山＠可知，用
—一 1 4m
a2
:. a= 2,
2
考 所以仙线cl
X
的方程为—+
y
2
4
= 1,
曲线c2 的方程为x2 =4y
y=kx+ 1
高 (2)设直线MN的方程为y = kx+I, 由｛x- = 4y 消去Y挔理得x2 -4kx—4= 0,
您。 设M(x1 ,y1 ),N(x2 ,y2 ), 则X1X2 =-4,
设从=m,k �1 =n1',
代替m,
可得IOMI= 上 m
l+(-上)2 4m
I
X,11
I=9;
第14页
由｛勹'�I'解得x,: J.;,气，所以iOAi: 汇伈I: 2五 汇 ＇ 4
三 三 用 -i,;; 代替m, 可行1081: 1,./j
言 ✓I 1
1
4m 言�- I+
m
！
s 所以A,=�竺= IONIIOM仁
:.g'(x)
= 2 (1-x)
eX
'
祝当x<I时，g'(x) >O, 函数g (x)单调递增， 当x>l H寸，g'(x) <O, 函数g (x)单调递减，
:.g (x) mcu•=g (1) =乌
一 当X----> 一 动时，g Cx) ---->十心， 当X---->十心时，g (x) O,
第15页
✓)
2
2
20如图，椭圆吓兰 a +.bL2
=
l(a
>
h
>
0)的左右焦点分别为八，九，离心率为
—
2
,
过抛物线C2 :
x1
=4by住点J,
的直线交抛物线千M,N两点，当IM们＝－7 时，M 4
点在x轴上的射影为F;。连接NO,MO并延长分别交cl 于A,B两点，连接AB,
�
s LlOMN与LlOAR的曲积分别记为S"a,,JN禾11S!,OAB '设/4= 兰罕兰 !,OAB (l)求椭圆(_'\和抛物线C\的方程；
2020届河北省衡水中学高三高考押题理科数学试卷及答案
| 4 - x 22河北衡水中学 2020 年高考押题试卷理数试卷（一）第Ⅰ卷一、选择题：本题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A = {x ∈ Z 1≥ 0}， B = {x | ≤ 2x ≤ 4} ，则 A I B =（ ）x + 2 4A ． {x | -1 ≤ x ≤ 2}B ．{-1,0,1,2}C ． {-2, -1,0,1,2}D ．{0,1,2}2.已知 i 为虚数单位，若复数 z = 1 - ti1 + i在复平面内对应的点在第四象限，则 t 的取值范围为（ ）A ． [-1,1]B ． (-1,1)C ． (-∞, -1)3.下列函数中，既是偶函数，又在 (-∞,0) 内单调递增的为（）D ． (1,+∞)A. y = x 4 + 2 x B ． y = 2|x|C. y = 2 x - 2- x D ． y = log | x | -11 24.已知双曲线 C ： 1 x2 x2- y 2 = 1与双曲线 C：- y 2 = -1 ，给出下列说法，其中错误的是（ ） 2A.它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等5.在等比数列 {a } 中，“ a ， a 是方程 x 2 + 3x + 1 = 0 的两根”是“ a = ±1 ”的（）n 4128A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C.充要条件D ．既不充分也不必要条件6.执行如图的程序框图，则输出的 S 值为（）A.1009 B ．-1009 C.-1007 D ．10087.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πA．(-52B．a2+b2≥2ab(a>0,b>0)1ππ1π1+B．+1C．+D．+6312123438.已知函数f(x)=A s in(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)的部分图象如图所示，则函数g(x)=A c os(ϕx+ω)图象的一个对称中心可能为（）1111,0)B．(,0) C.(-,0)D．(-,0)26269.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，B C=b，则该图形可以完成的无字证明为（）A.a+b≥ab(a>0,b>0)2abC.≤ab(a>0,b>0)a+b D．a+b a2+b2≤22(a>0,b>0)10.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（）A．720B．768 C.810D．81611.焦点为F的抛物线C：y2=8x的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当|MA||MF|取得最大值时，f ( x) = ⎨ x 2 + 2g ( x) = ax + 1 ，对 ∀x ∈ [-2,0] ， ∃x ∈ [-2,1]，使得 g ( x ) = f ( x ) ，则实数 ,3 < x ≤ 4, ⎪A ． (-∞, - 1 14.已知实数 x ， y 满足不等式组 ⎨ x + 2 y - 5 ≥ 0, 且 z = 2 x - y 的最大值为 a ，则 ⎰ a cos 2 ⎪ y - 2 ≤ 0,直线 MA 的方程为（）A ． y = x + 2 或 y = - x - 2C. y = 2 x + 2 或 y = -2 x + 2B ． y = x + 2D ． y = -2 x + 212.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x + 2) = 2 f ( x ) ，且当 x ∈ [2,4] 时，⎧- x 2 + 4 x ,2 ≤ x ≤ 3, ⎪ 1 2 2 1⎩ xa 的取值范围为（）1) U[ , +∞)8 8B ． [- 1 1,0) U (0, ]4 8C. (0,8]1 1D ． (-∞, - ] U[ , +∞)4 8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题和第 23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.r r r r r r r13.已知 a = (1,λ ) ， b = (2,1) ，若向量 2a + b 与 c = (8,6) 共线，则 a 和 b 方向上的投影为．⎧ x - y - 2 ≤ 0,⎪ π ⎩0 x 2dx = ．15.在 ∆ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， b tan B + b tan A = -2c tan B ，且 a = 8 ， ∆ABC的面积为 4 3 ，则 b + c 的值为．16.已知球 O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心） A - BCD 的外接球， BC = 3 ，AB = 2 3 ，点 E 在线段 BD 上，且 BD = 3BE ，过点 E 作圆 O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知 (1+ x) + (1+ x)2 + (1+ x)3 + L + (1+ x)n 的展开式中 x 的系数恰好是数列 {a } 的前 n 项和 S .n n（1）求数列 {a } 的通项公式；n（2）数列{b}满足b=n n(22a nan-1)(2a n+1-1)，记数列{b}的前n项和为T，求证：T<1.n n n18.如图，点C在以AB为直径的圆O上，P A垂直与圆O所在平面，G为∆AOC的垂心.（1）求证：平面OPG⊥平面PAC；（2）若P A=AB=2A C=2，求二面角A-OP-G的余弦值.19.2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20.已知椭圆C：x2y240+=1(a>b>0)的长轴长为6，且椭圆C与圆M：(x-2)2+y2=的公共弦长a2b29为4103.（1）求椭圆C的方程.（2）过点P(0,2)作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得∆ADB为以AB为底边的等腰三角形.若存在，求出点D的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.21.已知函数f(x)=2ln x-2mx+x2(m>0).（1）讨论函数f(x)的单调性；23 ⎪ x =4 + 已知直线 l 的参数方程为 ⎨（2）当 m ≥ 3 2时，若函数 f ( x ) 的导函数 f '(x) 的图象与 x 轴交于 A ， B 两点，其横坐标分别为 x ，1x ( x < x ) ，线段 AB 的中点的横坐标为 x ，且 x ， x 恰为函数 h( x ) = ln x - cx 2 - bx 的零点，求证：212122( x - x )h '(x ) ≥ - + ln 2 . 1 2 0请考生在第 22、23 题中任选一题作答.并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分 .22.选修 4-4：坐标系与参数方程⎧ 2 ⎪ 2⎪ y = 2 t ⎪⎩ 2 t,（ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ = 4cos θ ，直线 l 与圆 C 交于 A ， B 两点.（1）求圆 C 的直角坐标方程及弦 AB 的长；（2）动点 P 在圆 C 上（不与 A ， B 重合），试求 ∆ABP 的面积的最大值.23. 选修 4-5：不等式选讲.已知函数 f ( x ) =| 2 x - 1| + | x + 1| .（1）求函数 f ( x ) 的值域 M ；（2）若 a ∈ M ，试比较 | a - 1| + | a + 1| ，3 7， - 2a 的大小.2a 2即S=122参考答案及解析理科数学（Ⅰ）一、选择题1-5:BBDDA6-10:BCCDB11、12：AD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.3514.3π15.4516.[2π,4π] 5三、解答题17.解：（1）(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+L+(1+x)n的展开式中x的系数为C1+C1+C1+L+C1=C2+C1+C1+L+C1=C2= 123n223n n+11n2+n，n 11n2+n，22所以当n≥2时，a=S-Sn n n-1=n；当n=1时，a=1也适合上式，1所以数列{a}的通项公式为a=n.n n（2）证明：b=n2n11=-(2n-1)(2n+1-1)2n-12n+1-1，所以Tn111111=1-+-+L+-=1-3372n-12n+1-12n+1-1，所以T<1.n18.解：（1）如图，延长OG交AC于点M.因为G为∆AOC的重心，所以M为AC的中点.因为O为AB的中点，所以OM//B C.因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC，所以OM⊥AC.因为P A⊥平面ABC，OM⊂平面ABC，所以P A⊥OM.又P A⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，P A I AC=A，所以OM⊥平面PAC.即OG⊥平面PAC，又OG⊂平面OPG，所以平面OPG⊥平面PAC.z 13 1 3 3 1 ⎧ 3⎪ n ⋅ O M = - x = 0, ⎪ 2⎪n r ⋅ O P r = - 3 x + 1 y + 2 z = 0,H = CH cos ∠HCB = 3H = CH sin ∠HCB = uuur r| CH ⋅ n | 设二面角 A - OP - G 的大小为 θ ，则 cos θ = uuu r r = =uuur uuur uuur（2）以点 C 为原点，CB ，CA ，AP 方向分别为 x ，y ，轴正方向建立空间直角坐标系 C - xyz ，则 C (0,0,0) ，A(0,1,0) ，B( 3,0,0) ，O( uuuur uuur , ,0) ，P(0,1,2) ，M (0, ,0) ，则 OM = (- ,0,0) ，OP = (- , , 2) .2 2 2 2 2 2r uuuur r平面 OPG 即为平面 OPM ，设平面OPM 的一个法向量为 n = ( x , y , z) ，则 ⎨ uuu ⎪⎩ 2 2r令 z = 1，得 n = (0, -4,1) .过点 C 作 CH ⊥ AB 于点 H ，由 P A ⊥ 平面 ABC ，易得 CH ⊥ P A ，又 P A I AB = A ，所以 CH ⊥ 平面 P AB ，uuur即 CH 为平面 P AO 的一个法向量.1 3在 Rt ∆ABC 中，由 AB = 2 A C ，得 ∠ABC = 30︒ ，则 ∠HCB = 60︒ ， CH = CB =2 2 .所以 x3 ， y4 4.uuur 所以 CH = (3 3, ,0) . 4 43 3 | 0 ⨯ -4 ⨯ + 1⨯ 0 | 4 4| CH | ⋅ | n | 3 9+ ⨯ 42 + 12 16 162 5117.19.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则P( A ) = C 3 3 = C 3 101 120，C2C17=3所以E(X)=0⨯1~B(3,3所以4得∆ADB为以AB为底边的等腰三角形，则DE⊥AB.由⎨x2y2得(8+9k2)x2+36kx-36=0，故⎪+所以两位顾客均享受到免单的概率为P=P(A)⋅P(A)=114400.（2）若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0，600，700，1000.P(X=0)=C33=C31017，P(X=600)=，120C34010P(X=700)=C1C237=C31021C3，P(X=1000)=7=40C310724，故X的分布列为，72171+600⨯+700⨯+1000⨯=764（元）.1204040246若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则Z=1000-200Y，由已知可得Y39)，故E(Y)=3⨯=，101010所以E(Z)=E(1000-200Y)=1000-200E(Y)=820（元）.因为E(X)<E(Z)，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.20.解：（1）由题意可得2a=6，所以a=3.由椭圆C与圆M：(x-2)2+y2=可得椭圆C经过点(2,±210)，340=1，解得b2=8.+99b2x2y2所以椭圆C的方程为+=1.98409410的公共弦长为，恰为圆M的直径，3（2）直线l的解析式为y=kx+2，设A(x,y),B(x,y)，AB的中点为E(x,y).假设存在点D(m,0)，使112200⎧y=kx+2,⎪=1,⎩989k 2 + 8 9k 2 + 8- 09k 2 + 8-18k k 9k + 8 < x <x + x =- 1 2 36k 9k 2 + 8，-18k 16所以 x = ， y = kx + 2 =0 0 0. 因为 DE ⊥ AB ，所以 k DE =- 1 k，161 即 =- ，- m9k 2 + 8所以 m = -2k -2 =9k 2 + 8 k.8当 k > 0 时， 9k + ≥ 2 9 ⨯ 8 = 12 2 ，k所以 -2 ≤ m < 0 ；12当 k < 0 时， 9k + 8 k≤ -12 2 ，所以 0 < m ≤ 2 12 .综上所述，在 x 轴上存在满足题目条件的点 E ，且点 D 的横坐标的取值范围为 [- 2 2,0) U (0, ] .12 122( x 2 - mx + 1)21. 解：（1）由于 f ( x ) = 2ln x - 2mx + x 2的定义域为 (0, +∞) ，则 f '(x) = .x对于方程 x 2 - mx + 1 = 0 ，其判别式 ∆ = m 2 - 4 .当 m 2 - 4 ≤ 0 ，即 0 < m ≤ 2 时， f '(x) ≥ 0 恒成立，故 f ( x ) 在 (0, +∞) 内单调递增.m ± m 2 - 4当 m 2 - 4 > 0 ，即 m > 2 ，方程 x 2 - mx + 1 = 0 恰有两个不相等是实根 x =，2m - m 2 - 4 m + m 2 - 4令 f '(x) > 0 ，得 0 < x < 或 x > ，此时 f ( x ) 单调递增；2 2m - m 2 - 4 m + m 2 - 4 令 f '(x) < 0 ，得 ，此时 f ( x ) 单调递减.2 2综上所述，当 0 < m ≤ 2 时， f ( x ) 在 (0, +∞) 内单调递增；当 m > 2 时， f ( x ) 在 ( m - m 2 - 4 m + m 2 - 4, )2 2xxx - xx x + x x - x 2 2 1 2 xt因为 m ≥ 3 2内单调递减，在 (0, m - m 2 - 4 m + m 2 - 4) ， ( , +∞) 内单调递增.2 22( x 2 - mx + 1)（2）由（1）知， f '(x) = ，所以 f '(x) 的两根 x ， x 即为方程 x 2 - mx + 1 = 0 的两根.因为1 2m ≥ 3 22，所以 ∆ = m 2 - 4 > 0 ， x + x = m ， x x = 1 .1 2 1 2又因为 x ， x 为 h( x ) = ln x - cx 2 - bx 的零点，1 2所以 ln x - cx 2 - bx = 0 ， ln x - c 2 - bx = 0 ，两式相减得 ln 1 11 2 22x1 - c( x - x )( x + x ) - b ( x - x ) = 0 ，得1 2 1 2 1 2 2x ln 1xb == c( x + x ) . 1 2 12而 h '(x) =1- 2cx - b ，所以xxln 11 2 x( x - x )h '(x ) = ( x - x )( - 2cx - b ) = ( x - x )[ - c( x + x ) -+ c( x + x )] 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 12 12x1 - 12( x - x ) x x= - ln 1 = 2 ⋅ 2 x + x x x 1 2 2 1 + 1 x2x - ln 1 .x 2令x1= t (0 < t < 1) ，由 ( x + x )2 = m 2 得 x 2 + x 2 + 2 x x 12121 22= m 2 ，因为 x x = 1 ，两边同时除以 x x ，得 t +1+ 2 = m 2 ，1 2 1 21 5 1 1，故 t + ≥ ，解得 0 < t ≤ 或 t ≥ 2 ，所以 0 < t ≤ .2 t 2 2 2设 G(t ) = 2 ⋅ t - 1 t + 1- ln t ，所以 G '(t ) =-(t - 1)2 t (t + 1)2 < 0 ，则 y = G(t ) 在 (0, 1 2] 上是减函数，所以 G(t ) min 1 2= G( ) = - + ln 2 ， 2 33 圆 C 的参数方程为 ⎨ （ θ 为参数），y = 2sin θ ,123. 解：（1） f ( x ) = ⎨2 - x, -1 ≤ x ≤ ,2 ⎪⎩ 2 2 2 2即 y = ( x - x )h '(x ) 的最小值为 - 1 2 0 2 3 + ln 2 .2所以 ( x - x )h '(x ) ≥ - + ln2 .1 2 0 22.解：（1）由 ρ = 4cos θ 得 ρ 2 = 4ρ cos θ ，所以 x 2 + y 2 - 4 x = 0 ，所以圆 C 的直角坐标方程为 ( x - 2)2 + y 2 = 4 .将直线 l 的参数方程代入圆 C : ( x - 2)2 + y 2 = 4 ，并整理得 t 2 + 2 2t = 0 ，解得 t = 0 ， t 1 2 = -2 2 .所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为 | t 1 - t |= 2 2 .2（2）直线 l 的普通方程为 x - y - 4 = 0 .⎧ x = 2 + 2cos θ ,⎩可设曲线 C 上的动点 P(2 + 2cos θ ,2sin θ ) ，则点 P 到直线 l 的距离d = | 2 + 2cos θ -2sin θ - 4 |2 2 + 2 .π π=| 2cos(θ + ) - 2 | ，当 cos(θ + ) = -1 时，d 取最大值，且 d 的最大值为4 4所以 S∆ABP 1 ≤ ⨯ 2 2 ⨯ (2 + 2) = 2 + 2 2 ，2即 ∆ABP 的面积的最大值为 2 + 2 .⎧⎪ -3x, x< -1,⎪⎪ ⎪⎪1 3x, x > .根据函数 f ( x ) 的单调性可知，当 x = 1 1 3时， f ( x ) = f ( ) = . min所以函数 f ( x ) 的值域 M 3 = [ , +∞) .23 3（2）因为 a ∈ M ，所以 a ≥ ，所以 0< 2 2a又 | a - 1| + | a + 1| = a - 1 + a + 1 = 2a ≥ 3 ， ≤ 1.所以a≥32，知a-1>0，4a-3>0，(a-1)(4a-3)37所以>0，所以>-2a，2a2a237所以|a-1|+|a+1|>>-2a.2a2。
河北省衡水中学2020届高考数学临考模拟试卷1(一)(含答案解析)
河北省衡水中学2020届高考数学临考模拟试卷1（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数3−4i1−2i的虚部为()A. −25B. 25C. 115D. 25i2.已知集合A={x|−1<x<2}，B={y|y=x2,x∈A}，则(∁R A)∩B=()A. ⌀B. [1,4)C. (2,4)D. [2,4)3.已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗=(2,3)，2a⃗−3b⃗ =(1,9)，则a⃗⋅b⃗ 的值为()A. −1B. 1C. −2D. 24.2020年是中国农历的鼠年，中国邮政为此发行了一枚名为“鼠兆丰年”的生肖鼠年邮票，两只大老鼠带着萌动可爱的小老鼠侧身远望，身边是寓意丰收的花生，表情欢喜、得意，寓意着鼠到福来的含义．该邮票的规格为36×36mm，为了估算图中3只老鼠图案的面积，现向该邮票内随机投掷200粒芝麻，已知恰有120粒芝麻落在老鼠图案内，据此可估计老鼠图案的面积大约为()A. 791mm2B. 778mm2C. 745mm2D. 700mm25.函数f(x)=x−sin|x|在x∈[−π,π]上的图象大致为()A. B.C. D.6.定义轴截面为正方形的圆柱为正圆柱．某正圆柱的一个轴截面是四边形ABCD，点P在母线BC上，且BP=2PC=4.一只蚂蚁从圆柱底部的A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P，则这只蚂蚁行走的最短路程为()A. 213B. √9π2+4C. √9π2+16D. 2√9π2+47.若sin(θ−π6)=2sin(θ+π3)，则tanθ=()A. −3√3B. 8−5√3C. 8+5√3D. −8−5√38.秤漏是南北朝时期发明的--种特殊类型的漏刻，它通过漏水的重量和体积来计算时间，即“漏水一斤，秤重一斤，时经一刻”(一斤水对应一“古刻”，相当于14.4分钟)，计时的精度还可以随着秤的精度的提高而提高．如图所示的程序框图为该秤漏的一个计时过程，若输出的t值为57.6，则判断框中应填入()A. i>6？B. i>8？C. i>10？D.i≤8？9.已知函数f(x)的图象可看作是由函数g(x)=sin2x的图象向右平移π8个单位长度得到的，则函数f(x)的一个单调递减区间为()A. (−π4,π4) B. (π4,7π8) C. (−π8,3π8) D. (−5π8,−π8)10.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F(−c,0)，圆F：(x+c)2+y2=c2与x轴的负半轴交于点A，与C的一条渐近线的一个交点为B(点B与原点O不重合)，若|AB|=4a，则C的离心率为()A. √2B. √3C. √5D. 2√511.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，(a+c)(sinA−sinC)+bsinB=asinB，b+2a=4，点D在边AB上，且AD=2DB，则线段CD长度的最小值为()A. 2√33B. 2√23C. 3D. 212.已知函数f(x)满足：①对任意0≤x1<x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0；②函数y=f(x+2)的图象关于点(−2,0)对称．若实数a，b满足f(a2+2b)≤−f(−b2−2a)，则当a∈[12,1]时，aa+b的取值范围为()A. [18,12] B. [14,12] C. [12,1] D. [2,4]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.第32届夏季奥运会将在日本东京举行，某校为此举办了主题为“奥运知识知多少”的知识竞赛，共有200名学生参加．竞赛过后，决定从这200名学生中抽取10名学生的竞赛成绩进行分析．现采用系统抽样的方法，将这200名学生从1开始进行编号，已知被抽取到的号码有176，则样本中所抽取到的最小号码为______．14.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若C的短轴长为4√6，且两个焦点恰好为长轴的2个相邻的五等分点，则此椭圆的标准方程为______．15.已知函数f(x)=x2−f′(1)⋅lnx，点P是曲线y=f(x)上任意一点，则点P到直线l：x−y−4=0的最小距离为______．16.以一个正多面体每条棱的中点为顶点，可以得到一个多面体，且该多面体是由一种或一种以上的正多边形构成的．如图(1)，以棱长为2的正四面体每条棱的中点为顶点，形成一个正多面体，则该正多面体外接球的表面积为______.如图(2)，以(1)形成的正多面体每条棱的中点为顶点，又可以形成一个多面体，则该多面体的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.2020年春季延期开学期间，为保证防控疫情期间中小学校“停课不停学”，各地教育行政部门、中小学及教育网站积极提供免费线上课程，为中小学生如期学习提供了便利条件．某教育网站针对高中学生的线上课程播出后，社会各界反响强烈．该网站为了解高中学生对他们的线上课程的满意程度，从收看该课程的高中学生中随机抽取了1000名学生对该线．上课程进行评分(满分100分)，并把相关的统计结果记录如表：评分分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数10020040025050(1)计算这1000名学生评分的中位数、平均数，根据样本估计总体的思想，若平均数低于70分，视为不满意，试判断高中学生对该线上课程是否满意？(2)为了解部分学生评分偏低的原因，该网站利用分层抽样的方法从评分为[50,60)，[60,70)的高中学生中抽取6人，再从中随机抽取2名学生进行详细调查，求这2名学生的评分来自不同评分分组的概率．18.在数列{a n}中，a1=8，a n+1−4=a n+3×4n．(1)求证：数列{a n−4n}为等差数列；(2)设b n=(−1)n a n，求数列{b n}的前n项和S n．19.如图，在四棱锥A−BCED中，BD⊥平面ABC，底面BCED为梯形，CE//BD，且AB=BC=AC=BD=2CE=2，点F为AD的中点．(1)求证：EF⊥平面ABD；(2)求点F到平面ABE的距离．)．20.设函数f(x)=6sinx−mx(0≤x≤π2(1)若f(x)为单调函数，求实数m的取值范围；(2)当m≤6时，证明：x3+f(x)≥0．21. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，点Q 在抛物线C 上，点P 的坐标为(1,12)，且满足OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +2FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)． (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且弦AB 的中点M 在直线y =2上，试求△OAB 的面积的最大值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：x −y −2=0，曲线C ：{x =2+2cosϕy =2sinϕ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 1与曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 2的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)，直线l 2与直线l 1交于点A ，与曲线C 交于点O 与点B ，求|OB||OA|的最大值．23. 已知函数f(x)=|2x −1|−|x +1|．(1)解不等式f(x)≤4；(2)记函数y =f(x)+3|x +1|的最小值为m ，正实数a ，b 满足a +b =m ，试求1a+1+4b+2的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵3−4i1−2i =(3−4i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=11+2i5，∴复数3−4i1−2i 的虚部为25．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：D解析：解：由题得，B={y|0≤y<4}，C R A=(−∞,−1]∪[2,+∞)，所以(C R A)∩B=[2,4)．故选：D．先根据二次函数的性质求得B，再结合补集的定义以及交集的运算即可求解结论．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3.答案：A解析：解：因为2a⃗−3b⃗ =(1,9)，所以3b⃗ =(4,6)−(1,9)=(3,−3)，所以b⃗ =(1,−1)，所以a⃗⋅b⃗ =(2,3)⋅(1,−1)=2−3=−1．故选：A．由平面向量的线性坐标运算可先求出b⃗ 的坐标，再根据平面向量数量积的坐标运算即可得解．本题考查平面向量的线性和数量积的坐标运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：根据题意可估计老鼠图案的面积大约是S≈120200×36×36≈777.6mm2，对照各选项，与777.6mm2最接近的是778mm2．故选：B．直接利用随机模拟试验方法求解．本题考查几何概型概率的求法，是基础题．5.答案：C解析：解：当x∈[0,π]时，f(x)=x−sinx，f′(x)=1−cosx≥0，则f(x)单调递增，排除D；当x∈[−π,0)时，f(x)=x+sinx，f′(x)=1+cosx≥0，则f(x)单调递增，排除B；因为f(−x)≠−f(x)且f(−x)≠f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数，排除A．故选：C．根据函数的奇偶性及单调性，利用排除法得解．本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．6.答案：C解析：解：将该圆柱沿母线AD剪开，得到其侧面展开图，如下图所示．设底面圆半径为r，则2r=BC=6，∴r=3，∴在侧面展开图中AB=πr=3π.在Rt△ABP中，AP=√AB2+BP2=√9π2+16．故选：C．将该圆柱沿母线AD剪开，得到其侧面展开图，设底面圆半径为r，求出r，通过求解三角形，推出结果．本题考查了圆柱的侧面展开图应用问题，是基础题．7.答案：D解析：本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求tan(θ−π6)=2，进而根据诱导公式即可求解．解：由sin(θ−π6)=2sin(θ+π3)，得sin(θ−π6)=2sin[π2+(θ−π6)]=2cos(θ−π6)，所以tan(θ−π6)=2，则tanθ=tan[(θ−π6)+π6]=2+√331−2√33=−8−5√3．故选：D．8.答案：B解析：解：由题意，模拟程序的运行，可得初始值L=0，t=0，i=1，进人循环，L=1，t=14.4，i=3；L=2，t=28.8，i=5；。
2020河北省衡水中学高三理数一模考试试卷(带解析)
2020河北省衡水中学高三理数一模考试试卷（带解析）一、单选题1.若复数满足，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.2.已知等差数列的前项和为，且，则（）A. 31B. 12C. 13D. 523.某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题。
甲：我不会证明。
乙：丙会证明。
丙：丁会证明。
丁：我不会证明。
根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁4.在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是A. （1）（2）B. （1）（3）C. （2）（4）D. （2）（3）5.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（）A. B. C. D.6.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.7.已知，点为斜边的中点，，，，则等于（）A. -14B. -9C. 9D. 148.已知函数的图象经过点，．当时，，记数列的前项和为，当时，的值为（）A. 7B. 6C. 5D. 49.若下图程序框图在输入时运行的结果为，点为抛物线上的一个动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（）A. B. C. 2 D.10.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.11.长方体中，，，，点是平面上的点，且满足，当长方体的体积最大时，线段的最小值是（）A. B. C. 8 D.12.已知实数，函数，若关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题13.定积分 ________．14.设变量满足不等式组，则的取值范围是________．15.已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使成立，则该椭圆的离心率的取值范围为________．16.用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，，10的因数有1，2，5，10，，那么________．三、解答题17.函数的部分图像如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．（1）求函数的解折式；（2）在中，角满足，且其外接圆的半径，求的面积的最大值．18.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求正四棱锥的高，使得二面角的余弦值是．19.某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.8元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．（ⅰ）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水量都超过12吨的概率；（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；（Ⅱ）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费（元）与月份的散点图，其拟合的线性回归方程是．若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．20.已知椭圆的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆的下顶点为，如图所示，点为直线上的一个动点，过椭圆的右焦点的直线垂直于，且与交于两点，与交于点，四边形和的面积分别为．求的最大值．21.已知函数，．（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在定义域上为单调增函数．①求最大整数值；②证明：．22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线过，倾斜角为．以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线与曲线交于、两点，且，求直线的斜率．23.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若不等式，对任意的实数恒成立，求实数的最小值．答案解析部分一、<b >单选题</b>1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】D8.【答案】D9.【答案】B10.【答案】B11.【答案】B12.【答案】B二、<b >填空题</b>13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【答案】三、<b >解答题</b>17.【答案】（1）解：由图知，解得∵∴，即由于，因此∴∴即函数的解析式为（2）解：∵∴∵，∴，即，∴或1（舍），由正弦定理得，解得由余弦定理得∴，（当且仅当等号成立）∴∴的面积最大值为18.【答案】证明：（Ⅰ）正三棱柱中，平面，所以，又，，所以平面，平面，所以平面平面．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，以为原点，，，方向为，，轴建立空间直角坐标系，设正四棱锥的高为，，则，，，，，，．设平面的一个法向量，则取，则，所以．设平面的一个法向量，则取，则，，所以．二面角的余弦值是，所以，解得．19.【答案】解：（Ⅰ）（ⅰ）由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为，因此这5户居民恰好3户居民的月用水量都超过12吨的概率为．（ⅱ）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下：月用水量（吨）价格 (元/吨)概率所以全市居民用水价格的期望吨．（Ⅱ）设李某2016年1～6月份的月用水费（元）与月份的对应点为，它们的平均值分别为，则，又点在直线上，所以，因此，所以7月份的水费为元．设居民月用水量为吨，相应的水费为元，则，即：当时，，所以李某7月份的用水吨数约为13吨．20.【答案】（1）解：因为在椭圆上，所以，又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为，所以，解得，所以椭圆的方程为（2）解：由（1）可知，设，则当时，，所以，直线的方程为，即，由得，则，，，又，所以，由，得，所以，所以，当，直线，，，，，所以当时，21.【答案】（1）解：当时，∴，又，∴，则所求切线方程为，即（2）解：由题意知，，若函数在定义域上为单调增函数，则恒成立．①先证明．设，则，则函数在上单调递减，在上单调递增，∴，即．同理可证∴，∴．当时，恒成立．当时，，即不恒成立．综上所述，的最大整数值为2．②由①知，，令，∴∴．由此可知，当时，．当时，，当时，，，当时，．累加得．又，∴．22.【答案】解：（Ⅰ）直线的参数方程为（为参数），由得∴曲线的直角坐标方程为．（Ⅱ）把，代入得．设两点对应的参数分别为与，则，，易知与异号又∵∴．消去与得，即23.【答案】（1）解：由题意，知不等式解集为由，得，所以，由，解得（2）解：不等式等价于，由题意知．因为，所以，即对任意都成立，则．而，当且仅当，即时等号成立，故，所以实数的最小值为4．。
河北省衡水中学2020届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试卷 Word版含答案
2019—2020学年度高三年级下学期第一次模拟考试数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡）1. 设复数11z i =+，21z i =-，则1211z z +=（ ） A. 1B. -1C. iD. i -2. 已知集合(){}|ln 1M x y x ==+，{}|x N y y e ==，则M N =（ ）A. ()1,0-B. ()1,-+∞C. ()0,+∞D. R3. 为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A. 甲的数据分析素养优于乙B. 乙的数据分析素养与数学建模素养相同C. 甲的六大素养整体水平优于乙D. 甲的六大素养中数学运算最强4. 若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，7cos 225α=，则sin 3sin 2απα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A. 34-B.34 C.43D. 43-5. 已知123,,x x x R ∈，123x x x <<，设1212x x y +=，2322x x y +=，3132x x y +=，1212y y z +=，2322y y z +=，3132y y z +=，若随机变量X ，Y ，Z 满足：()()()i i i P X x P Y y P Z z =====1(1,2,3)3i ==，则（ ） A. ()()()D X D Y D Z << B. ()()()D X D Y D Z >> C. ()()()D X D Z D Y <<D. ()()()D X D Z D Y >>6. 函数cos ln y x x =-⋅的图象可能是（ ）A. B . C. D.7. 标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的 4.1的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A. 4510a B. 91010a C. 45110a ⎛⎫⎪⎝⎭D. 910110a ⎛⎫⎪⎝⎭8. 已知1F ，2F 为椭圆C ：221(0)x y m m+=>的两个焦点，若C 上存在点M 满足12MF MF ⊥，则实数m 取值范围是（ ） A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. [)2,+∞C. [)10,2,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D. (]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭9. 已知函数()f x x ω=和()()0g x x ωω=>图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点，为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象（ ）A. 向左平移1个单位B. 向左平移2π个单位 C. 向右平移1个单位D. 向右平移2π个单位10. 已知函数()()2121f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则a =（ ） A.12B. -1C. 1±D. 12±11. 如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足12DP PB +=，则直线1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1,22⎡⎢⎣⎦D. 12⎡⎢⎣⎦12. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，P 为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M （异于P ，F ），与y 轴交于点N ，直线MB 与y 轴交于点H ，若3HN OH =-（O 为坐标原点），则C 的离心率为（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（共4题，每题5分）13. 已知平面向量a 与b 的夹角为45︒，()1,1a =-，1b =，则a b +=______.14. 在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，A 、B 、C 、D 四地新增疑似病例数据信息如下：A 地：中位数为2，极差为5；B 地：总体平均数为2，众数为2；C 地：总体平均数为1，总体方差大于0；D 地：总体平均数为2，总体方差为3.则以上四地中，一定符合没有发生大规模群体感染标志的所有选项是___________（填A 、B 、C 、D ） 15. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，且A 为锐角，则当2a bc 取得最小值时，a b c+的值为______.16. 在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动，若该正四面体的棱长为2，则OP 的取值范围是______.三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 如图，四棱锥S ABCD -中，二面角S AB D --为直二面角，E 为线段SB 的中点，3390DAB CBA ASB ABS ∠=∠=∠=∠=︒，1tan 2ASD ∠=，4AB =.（1）求证：平面DAE ⊥平面SBC ； （2）求二面角C AE D --的大小.18. 数列{}n a ，{}n b 定义如下：11a =，12b =，12n n n a a b +=+，12n n n b a b +=+. （1）求数列{}n n a b -的通项公式； （2）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.19. 已知抛物线1C ：()220x py p =>上的点到焦点的距离最小值为1.（1）求p 的值；（2）若点()00,P x y 在曲线2C ：2114y x =+上，且在曲线1C 上存在三点A ，B ，C ，使得四边形PABC为平行四边形.求三角形PAC 的面积S 的最小值. 20. 已知函数()()21x a e x f x x--=，且曲线()y f x =在()()2,2f 处的切线斜率为1.（1）求实数a 的值；（2）证明：当0x >时，()1f x >； （3）若数列{}n x 满足()1n x n ef x +=，且113x =，证明：211n x n e -<.21. 系统中每个元件正常工作的概率都是()01p p <<，各个元件正常工作的事件相互独立，如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作.系统正常工作的概率称为系统的可靠性. （1）某系统配置有21k -个元件，k 为正整数，求该系统正常工作概率k P 的表达式.（2）现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件，试讨论增加两个元件后，能否提高系统的可靠性. 选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 已知平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2211222x t y t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩（t 为参数，t R ∈），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()2sin 02ρθθπ=≤≤.（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）射线l 的极方程为()0,0θααπρ=≤≤≥，若射线l 与曲线1C ，2C 分别交于异于极点的A ，B 两点，且4OA OB =，求α的值. 23. 已知()22f x x x a =-++.（Ⅰ）当2a =时，求不等式()5f x >的解集；（Ⅱ）设不等式()21f x x ≤+的解集为B ，若[]3,6B ⊆，求a 的取值范围.答 案一、选择题（共12小题） 1-5：ACDBB 6-10：ACCAC11-12：AB1. A 解：12111111111(1)(1)i iz z i i i i -+++=+==+-+-.故选：A.2. C 解：∵{}|1M x x =>-，{}|0N y y =>，∴()0,M N =+∞，故选：C.3. D 解：甲乙的六大素养指标A ：甲的数据分析素养优于乙，故A 正确；B ：乙的数据分析优于数学建模素养相同；故B 正确；C ：甲的六大素养整体水平优于乙，故C 正确；D ：甲的六大素养中，直观想象，数据分析与逻辑推理能力最强，故D 错误.4. B 解：由题可得：222222cos sin 1tan 7cos 2cos sin 1tan 25ααααααα--===++，解得3tan 4α=±，因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3tan 4α=-，所以sin sin 3tan 3cos 4sin 2αααπαα==-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选：B. 5. B 解：()1231()3E X x x x =++，2331121()3222x x x x x x E Y +++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()()12313x x x E X =++=，122x x +，232x x +，312x x +距()E Y ，1x ，2x ，3x 较近，所以()()D X D Y >，同理()()D Y D Z >，故()()()D X D Y D Z >>，故选：B.6. A 解：因为cos ln y x x =-⋅为偶函数，定义域为{}|0x x ≠，故排队C ，D ； 当x π=时，ln 2y π=<，排除B ； 故选：A.7. C 解：由题意可得，假若视力4.9的视标边长为首项，则公比q = 4.1的视标边长为a ，故81a a q =，即451881101010a aa a q -===⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：C. 8. C 解：当焦点在x 轴上时，2a m =，21b =，1m >，当M 为上下顶点时，12F MF ∠最大， 因为120MF MF ⋅=坐标，122FMF π∠≥，14F MO π∠≥，所以1tan tan 14c F MO b π∠=≥=，即11≥，解得2m ≥； 当焦点在y 轴上时，21a =，2b m =，01m <<，当M 为左右顶点时，12F MF ∠最大，因为120MF MF ⋅=，122F MF π∠≥，14F MO π∠≥，所以1tan tan 14c F MO b π∠=≥=1≥，解得102m <≤，故选C.9. A 解：令()f x x ω=和()g x x ω=相等可得 sin cos tan 14x x x x k πωωωωπ=⇒=⇒=+，k Z ∈；∴可设连续三个交点的横坐标分别为：4πω，54πω，94πω；对应交点坐标为：,14A πω⎛⎫⎪⎝⎭，5,14B πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，9,14C πω⎛⎫⎪⎝⎭； ∵任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点； ∴B 到AC 的距离等于AC 的一半；即1922442πππωωω⎛⎫=⨯-⇒= ⎪⎝⎭；∴11()222f x x x x πωππ⎛⎫===- ⎪⎝⎭()11222x x πππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；∴需把()y f x =的图象向左平移1个单位得到1()2g x x x ωπ==的图象；故选：A.10. C 解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，所以22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩， 则()()()()()f x g x h x g x h x =++-()()()()()()2,2,g x g x h x h x g x h x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，由于()()g x x x a =+的图象恒过()0,0，(),0a -，()h x 的图象为开口向下， 且过()1,0-，()1,0的抛物线，且()f x 的最小值为0，结合图象可得1a -=或1a -=-，即有1a =±. 故选：C.12. B 解：不妨设P 在第二象限，FM m =，()()0,0H h h >， 由3HN OH =-知()0,2N h -，由AFM AON △△，得2m c ah a-=（1）， 由BOHBFM △△，得h am c a =+（2）， （1），（2）两式相乘得12c ac a-=+，即3c a =，离心率为3.故选：B.二、填空题（共4小题）13.14. AD 15.16. 1⎤⎦13. 解：根据题意，()1,1a =-，则2a =，又由a 与b 的夹角为45︒，1b =，则22222215a b a a b b +=+⋅+=++=，则5a b +=；故答案为：14. 解：该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.在A 地中，中位数为2，极差为5，257+=，每天新增疑似病例不会超过7人，所以A 地符合标准；在B 地中，总体平均数为2，众数为2，每天新增疑似病例可以超过7人，所以B 地不符合标准； 在C 地中，总体平均数为1，总体方差大于0，每天新增疑似病例可以超过7人，所以C 地不符合标准；在D 地中，总体平均数为2，总体方差为3.根据方差公式，如果存在大于7的数存在，那么方差大于3，所以D 地符合标准.故答案为：AD .15. 解：由3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，及正弦定理可得：23sin cos 3sin cos 5sin B C C B A +=， 可得：23sin()5sin B C A +=，由sin()sin 0B C A +=>，可得3sin 5A =，而A 是锐角， 所以4cos 5A =，则2222282cos 5a b c bc A b c bc =+-=+-， 则22222882825555b c bc a b c bc bc bc bc bc +-+==-≥-=，当且仅当b c =时，2a bc 取得最小值25， 故2225a b =，故5a =，所以a b c =+三、解答题（共2小题）17. 解：（1）∵二面角S AB D --为直二面角，∴平面SAB ⊥平面ABCD ， ∴90DAB ∠=︒，∴AD AB ⊥，∵平面ABCD平面SAB AB =，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面SAB ，又BS ⊂平面SAB ，∴AD BS ⊥，∵ASB ABS ∠=∠，∴AS AB =，又E 为BS 的中点，∴AE BS ⊥，又AD AE A =，∴BS ⊥平面DAE ，∵BS ⊂平面SBC ，∴平面DAE ⊥平面SBC .（2）如图，连接CA ，CE ，在平面ABS 内作AB 的垂线，建立空间直角坐标系A xyz -， ∵1tan 2ASD ∠=，∴2AD =，∴()0,0,0A ，()0,4,0B ，()0,4,2C，()2,0S -，)E，∴()0,4,2AC =，()3,1,0AE =，设平面CAE 的法向量为(),,n x y z =，则00n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即4200x z y +=⎧⎪+=，令1x =，则y =z =(1,3,2n =-是平面CAE 的一个法向量，∵SB ⊥平面DAE ，∴平面DAE 的一个法向量为()SB =-，∴21cos ,2n SB n SB n SB⋅-===-⋅，由图可知二面角C AE D --的平面角为锐角，故二面角C AE D --的大小为60︒.18. 解：（1）由12n n n a a b +=+和12n n n b a b +=+，两式相减得()11n n n n a b a b ++-=-+，又111a b -=-，则数列{}n n a b -成首项为-1，公比为-1的等比数列，则(1)n n n a b -=-.（2）两式相加得()113n n n n a b a b +++=+，则数列{}n n a b +成首项为3，公比为3的等比数列，则3nn n a b +=，所以3(1)2n nn a +-=，3(1)2n n n b --=.19. 解：（1）解析：设线法由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 故最小值应为()0,0，准线2p y =-，由题意可得12p=，解得2p =； （2）解析：设线法：设直线AC ：y kx b =+，当直线斜率k 不存在时，此时直线AC 为垂直x 轴的直线，与抛物线只有一个交点，故舍去. 点()00,P x y 在曲线2C ：2114y x =+上，故2044x y -=-，设()11,A x y ，()22,C x y ， 联立方程24y kx bx y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx b --=，124x x k +=，124x x b =-，故线段AC 的中点()22,2D k k b +， 若要满足四边形PABC 为平行四边形，则B ，P 关于点D 对称.则()2004,42B k x k b y -+-. 又点B 在抛物线1C 上，故满足方程()()22004442k x k b y -=+-，即()2000148kx b x y +=+①1212PAC S AC d x =⋅⋅=-△00kx b y =+-， 代入①得：2004S x y =-===当012k x =时，min 2S =.所以三角形PAC 的面积S的最小值2. （2）解析2：设点法设()11,A x y ，()22,C x y ，直线AC ：()121240x x x y x x +--=，点()00,P x y 在曲线2C ：2114y x =+上，故2044x y -=-，线段AC 中点221212,28x x x x D ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，若要满足四边形PABC 为平行四边形，则B ，P关于点D 对称，则22121200,4x x B x x x y ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭. 又点B 在抛物线1C 上，故满足方程：()22212012044x x y x x x ⎛⎫+-=+-⎪⎝⎭， 即()()2012120022x x x x x x y +=++ ①12PACS AC d =⋅⋅=△1222000014428x x x y x y -⋅=-=-2004x y=-32200416x y ≥-2=，所以三角形PAC 的面积S 的最小值为：2. 20.（1）解：由()21()x a e x f x x--=，得()32'()2xx a x e f x x⎡⎤-++⎣⎦=，则()'212af ==，即2a =； （2）证明：要证()1f x >，只需证21()102x h x e x x =--->， ()'1x h x e x =--，()''1x h x e =-，∵()0,x ∈+∞时，()''0h x >，∴()'1xh x e x =--在()0,+∞上单调递增，∴()()'1'00xh x e x h =-->=，则21()12x h x e x x =---在()0,+∞上单调递增. ∴()21()1002x h x e x x h =--->=成立.∴当0x >时，()1f x >； （3）证明：由（2）知，当0x >时，()1f x >，∵()1n x n ef x +=，∴()1ln n n x f x +=⎡⎤⎣⎦，设()()ln n n g x f x =⎡⎤⎣⎦，则()1n n x g x +=，∴()()()()()()121n n n x g x g g x gg x --====.要证：211n x n e -<，只需证112n nx e ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，∵113x =，∴11311x e e -=-，∵3327028e e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，∴1332e <，则1131112x e e -=-<；故只需证11112n nx x ee +-<-. ∵()0,n x ∈+∞，故只需证111122n n x x ee +-<-.即证()11122n x nf x e -<-.只需证当()0,n x ∈+∞时，()2211222022x x e x x x ϕ⎛⎫=-+++>⎪⎝⎭.()2'1222x x x e x x ϕ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，()212112''x x x e x ϕ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭， ()21310''2'x x x e x ϕ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，∴()''x ϕ在()0,+∞上单调递增，故()()21211''''002x x x e x ϕϕ⎛⎫+-+>=⎪⎝⎭=，∴()'x ϕ在()0,+∞上单调递增， 故()()2122'002'x x x x e x ϕϕ⎛⎫+-++>=⎪⎝⎭=，∴()x ϕ在()0,+∞上单调递增， 故()()22112220022x x x e x x ϕϕ⎛⎫-+++>⎪⎝==⎭.∴原不等式成立.21. 解：（1）21k -个元件中，恰好k 个正常工作的概率为121(1)k k k k C p p ---，恰好有1k +个元件正常工作的概率为11221(1)k k k k C p p ++---，……，恰好21k -个元件正常工作的概率为212121k k k C p ---，故212121(1)k ii k i k k i kP Cp p ----==-∑.（2）当有21k +个元件时，考虑前21k -个元件，为使系统正常工作，前21k -个元件中至少有1k -个元件正常工作.①前21k -个元件中恰有1k -个元件，它的概率为11221(1)k k k k C p p ++---，此时后两个必须同时正常工作，所以这种情况下系统正常工作的概率为11221(1)k k k k C pp p ----⋅.②前21k -个元件中恰好有k 个正常工作，它的概率为121(1)k k k k C p p ---，此时后两个元件至少有一个正常工作即可，所以这种情况下系统正常工作的概率为1221(1)1(1)k k k k C p p p --⎡⎤-⋅--⎣⎦.③前21k -个元件中至少有1k +个元件正常工作，它的概率为121(1)k k k k k P C p p ----，此时系统一定正常工作.故1121211212121(1)(1)1(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k P C p p p C p p p P C p p ----+---⎡⎤=-⋅+-⋅--+--⎣⎦. 所以1121211212121(1)(1)1(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k P P C p p p C p p p C p p ----+---⎡⎤-=-⋅+-⋅----⎣⎦()112221(1)(1)2k k k k p p C p p p p p p ---⎡⎤=--+--⎣⎦12121(1)(12)(1)(1)(21)k k k k k kk k p p C p p p p C p ---=---=--.故当12p =时，1k k P P +=，系统可靠性不变；当102p <<，1k k P P +<，系统可靠性降低，当112p <<，1k k P P +>，系统可靠性提高.22. 解：（1）曲线1C 的参数方程为2211222x t y t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩（t 为参数，t R ∈），转换为直角坐标方程为：22x y =，转换为极坐标方程为22cos 2sin ρθρθ=，整理得22sin cos θρθ=. （2）射线l 的极方程为()0,0θααπρ=≤≤≥，若射线l 与曲线1C ，2C 分别交于异于原点的A ，B 两点，所以22sin cos θρθθα⎧=⎪⎨⎪=⎩，故22sin cos A αρα=， 同理2sin ρθθα=⎧⎨=⎩，故2sin B ρα=，由于4OA OB =，所以22sin 8sin cos ααα=，所以24cos 1α=，所以3πα=或23π. 23. 解：（Ⅰ）当2a =时，()5f x >即2225x x -++>，当22(2)(2)5x x x <-⎧⎨--+>⎩，解得2x <-；当222(2)25x x x -≤≤⎧⎨-++>⎩，解得21x -≤<；当22(2)(2)5x x x >⎧⎨-++>⎩，解得73x >；故不等式()5f x >解集为7|13x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；（Ⅱ）若[]3,6B ⊆，则原不等式()21f x x ≤+在[]3,6上恒成立， 即2221x a x x ++-≤+，即()2122x a x x +≤+--，5x a +≤， ∴55x a -≤+≤，即55a x a --≤≤-，解得81a -≤≤-，故满足条件的a 的取值范围是[]8,1a ∈--.。
2020年河北省衡水中学高考(理科)数学考前密卷(一) (解析版)
2020年河北省衡水中学高考（理科）数学考前密卷一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣3x+2≤0}，B＝{x|log2x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|0≤x≤2} 2．已知z1、z2均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（）A．|z1|＝||＝B．若|z2|＝2，则z2的取值集合为{﹣2，2，﹣2i，2i}（i是虚数单位）C．若z12+z22＝0，则z1＝0或z2＝0D．z1+z2一定是实数3．已知正实数a，b满足，，则（）A．a＜b＜1B．1＜b＜a C．b＜1＜a D．1＜a＜b 4．2019年5月22日，具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市，江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）A．B．C．D．5．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，点，，则下列说法错误的是（）A．直线是f（x）图象的一条对称轴B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）在区间上单调递增D．f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x向左平移个单位而得到6．设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则＝（）A．B．2C．D．47．已知（1+）（1+x）6的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中x3的系数为（）A．26B．32C．38D．448．执行如图的程序框图，则输出的S是（）A．36B．45C．﹣36D．﹣459．数列{a n}满足a1∈Z，a n+1+a n＝2n+3，且其前n项和为S n．若S13＝a m，则正整数m＝（）A．99B．103C．107D．19810．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线右支于P，O两点，且PQ⊥PF1，若，则该双曲线离心率e＝（）A．B．C．D．11．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC均为边长为1的等边三角形，P，A，B，C四点在球O的球面上，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，则球O的表面积为（）A．B．2πC．5πD．12．已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则不等式的解集为（）A．（0，1）B．C．D．（1，4）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．若产品可以销售，则每件产品获科40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P（X≥﹣80）＝．14．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为．15．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，若不等式f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是．16．已知抛物线y2＝2px（p＞0），F为其焦点，l为其准线，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，A′，B′分别为A，B在l上的射线，M为A′B′的中点，给出下列命题：①A′F⊥B′F；②AM⊥BM；③A′F∥BM；④A′F与AM的交点在y轴上；⑤AB′与A′B交于原点．其中真命题的是．（写出所有真命题的序号）三、解答题（共5小题，满分60分）17．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，若a2是a1与a4的等比中项，a6＝12，a1b1＝a2b2＝1．（1）求a n，S n与T n；（2）若，求证：．18．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查．为此需要抽验960人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验．这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1．试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别为AA1、B1C 的中点．（1）证明：DE⊥平面BCC1B1；（2）已知B1C与平面BCD所成的角为30°，求二面角D﹣BC﹣B1的余弦值．20．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值为1．（1）求椭圆C的方程；（2）过F2且不垂直坐标轴的直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在一点N （n，0），使得|AN|：|BN|＝|AF2|：|BF2|，若存在，求出点N（n，0），若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）＝e2x﹣ax．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x＞0时，f（x）＞ax2+1，求a的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．直线l的极坐标方程为2ρcosθ﹣ρsinθ+m ＝0．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）已知l与C相切，求m的值．23．已知a＞0，b＞0，c＞0设函数f（x）＝|x﹣b|+|x+c|+a，x∈R．（1）若a＝b＝c＝2，求不等式f（x）＞7的解集；（2）若函数f（x）的最小值为2，证明：++≥（a+b+c）．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A＝{x|x2﹣3x+2≤0}，B＝{x|log2x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|0≤x≤2}解：A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，∴A∪B＝{x|0＜x≤2}．故选：C．2．已知z1、z2均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（）A．|z1|＝||＝B．若|z2|＝2，则z2的取值集合为{﹣2，2，﹣2i，2i}（i是虚数单位）C．若z12+z22＝0，则z1＝0或z2＝0D．z1+z2一定是实数解：A．不成立，例如取z1＝i；B．不成立，|z2|＝2，则z2＝2（cosθ+i sinθ），θ∈[0，2π）；C．不成立，例如取z1＝i，z2＝﹣i；D．设z1＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d∈R，则z1+z2＝（a+bi）（c﹣di）+（a﹣bi）（c+di）＝ac+bd+（bc﹣ad）i+ac﹣bd+（ad﹣bc）i＝2ac，因此是实数，正确．故选：D．3．已知正实数a，b满足，，则（）A．a＜b＜1B．1＜b＜a C．b＜1＜a D．1＜a＜b解：在同一坐标系中分别作出函数y＝，y＝及y＝log2x的图象如图：由图可知，1＜b＜a．故选：B．4．2019年5月22日，具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市，江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）A．B．C．D．解：现有4名高三学生进行去四个地方的总共有：4×4×4×4＝44种情况；再四个地方选出一个地方空出C41种情况；将剩下的三个地方进行四人选择，将四人中捆绑两人有C42种情况进行排列在三个位置有：A33种；则恰有一个地方未被选中的可能有：C41C42A33种；由古典概型的定义知：则恰有一个地方未被选中的概率为：＝故选：A．5．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，点，，则下列说法错误的是（）A．直线是f（x）图象的一条对称轴B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）在区间上单调递增D．f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x向左平移个单位而得到解：由题意可得：，由2sinφ＝，得sinφ＝，由0＜φ＜π，得φ＝或φ＝；又点在最高点的左侧，∴φ＝．由五点作图的第三点知，，即ω＝2．∴f（x）＝2sin（2x+）．由f（）＝2sin（）＝2，可知直线是f（x）图象的一条对称轴，故A正确；由周期公式可得T＝，故B正确；当x∈，2x+∈（），可知f（x）在区间上单调递增，故C正确；∵f（x）＝2sin（2x+）＝2sin2（x+），∴f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x向左平移个单位而得到，故D错误．故选：D．6．设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则＝（）A．B．2C．D．4解：设的夹角为θ，则cosθ＝＝﹣，∴sinθ＝，∴＝2×2×＝2．故选：B．7．已知（1+）（1+x）6的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中x3的系数为（）A．26B．32C．38D．44解：令x＝1，可得（1+）（1+x）6的展开式中各项系数的和为（1+a）•26＝256，∴a＝3，则（1+）（1+x）6的展开式中x3的系数为+3＝38，故选：C．8．执行如图的程序框图，则输出的S是（）A．36B．45C．﹣36D．﹣45解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝﹣12+22﹣32+…﹣72+82的值，由于S＝﹣12+22﹣32+…﹣72+82＝（22﹣12）+（42﹣32）+（62﹣52）+（82﹣72）＝3+7+11+15＝36．故选：A．9．数列{a n}满足a1∈Z，a n+1+a n＝2n+3，且其前n项和为S n．若S13＝a m，则正整数m＝（）A．99B．103C．107D．198解：由a n+1+a n＝2n+3，得a n+1﹣（n+1）﹣1＝﹣（a n﹣n﹣1），∴{a n﹣n﹣1}为等比数列，∴，∴，，∴S13＝a1+（a2+a3）+…+（a12+a13）＝a1+2×（2+4+…+12）+3×6＝a1+102，①m为奇数时，a1﹣2+m+1＝a1+102，m＝103；②m为偶数时，﹣（a1﹣2）+m+1＝a1+102，m＝2a1+99，∵a1∈Z，m＝2a1+99只能为奇数，∴m为偶数时，无解．综上所述，m＝103，故选：B．10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线右支于P，O两点，且PQ⊥PF1，若，则该双曲线离心率e＝（）A．B．C．D．解：设P，Q为双曲线右支上一点，由PQ⊥PF1，|PQ|＝|PF1|，在直角三角形PF1Q中，|QF1|＝＝|PF1|，由双曲线的定义可得：2a＝|PF1|﹣|PF2|＝|QF1|﹣|QF2|，由|PQ|＝|PF1|，即有|PF2|+|QF2|＝|PF1|，即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a＝|PF1|，∴（1﹣+）|PF1|＝4a，解得|PF1|＝．∴|PF2|＝|PF1|﹣2a＝，由勾股定理可得：2c＝|F1F2|＝＝，则e＝．故选：C．11．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC均为边长为1的等边三角形，P，A，B，C四点在球O的球面上，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，则球O的表面积为（）A．B．2πC．5πD．解：因为△ABC和△PBC为等边三角形，V＝h，而S一定，所以高最大值时，所以当面△PBC⊥面ABC时，三棱锥的体积最大，设两个外接圆的圆心分别为G，F，如图所示，过G，F分别作两个面的垂线，交于O，连接OP，OA，则OA＝OP为外接球的半径R，△OAG中，OA2＝OG2+AG2，而由题意OG＝EF＝＝，AG＝＝，所以OA2＝（）2+（）2＝，所以外接球的表面积S＝4πR2＝，故选：A．12．已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则不等式的解集为（）A．（0，1）B．C．D．（1，4）解：根据导数与单调性的关系可知，当f′（x）＜0时，函数单调递减，当f′（x）＞0，函数单调递增，结合图象可知，图象中实线为f′（x）的图象，虚线为f（x）的图象，由可得，0＜x＜1，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．若产品可以销售，则每件产品获科40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P（X≥﹣80）＝．解：由题意得该产品能销售的概率为（1﹣）（1﹣）＝，X的可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，设ξ表示一篇产品中可以销售的件数，ξ～B（4，），∴P（ξ＝k）＝，∴P（X＝﹣80）＝P（ξ＝2）＝＝，P（X＝40）＝P（ξ＝3）＝，P（X＝160）＝P（ξ＝4）＝＝，∴P（X≥﹣80）＝P（X＝﹣80）+P（X＝40）+P（X＝160）＝＝．故答案为：．14．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为π．解：已知＝sin2019x+cos2019x+cos2019x+sin2019x＝sin2019x+cos2019x＝2sin （2019x+），函数的最大值为A＝2，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x1）为最小值，f（x2）为最大值，∴|x1﹣x2|的最小值为•＝，∴A|x1﹣x2|＝2|x1﹣x2|的最小值为π，故答案为：π．15．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，若不等式f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是{a|a ≤2e﹣1}．解：令t＝f（x）﹣e x+x，所以f（x）＝e x﹣x+t，因为f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，故t为常数且f（t）＝e t＝e，所以，t＝1，f（x）＝e x﹣x+1，f′（x）＝e x﹣1因为f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，所以2e x≥（a+1）x对x∈（0，+∞）恒成立，即a+1对x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）＝，x＞0，则g′（x）＝，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，故当x＝1时，函数取得最小值g（1）＝2e，故a+1≤2e即a≤2e﹣1．故答案为：{a|a≤2e﹣1}．16．已知抛物线y2＝2px（p＞0），F为其焦点，l为其准线，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，A′，B′分别为A，B在l上的射线，M为A′B′的中点，给出下列命题：①A′F⊥B′F；②AM⊥BM；③A′F∥BM；④A′F与AM的交点在y轴上；⑤AB′与A′B交于原点．其中真命题的是①②③④⑤．（写出所有真命题的序号）解：①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A'A＝AF，B'B＝BF，因为A′、B′分别为A、B在l上的射影，所以A'F⊥B'F；②取AB中点C，则CM＝，∴AM⊥BM；③由②知，AM平分∠A′AF，∴A′F⊥AM，∵AM⊥BM，∴A'F∥BM；④取AB⊥x轴，则四边形AFMA′为矩形，则可知A'F与AM的交点在y轴上；⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB'A'为矩形，则可知AB'与A'B交于原点故答案为①②③④⑤．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，若a2是a1与a4的等比中项，a6＝12，a1b1＝a2b2＝1．（1）求a n，S n与T n；（2）若，求证：．【解答】（1）解：由题意得，，即，得a1＝d（d ≠0），由a6＝12，得a1＝d＝2．∴a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n，，由a1b1＝a2b2＝1，得，，∴；（2）证明：∵，由0＜＜1恒成立，∴c n＜＜＝，∴c1+c2+…+c n＜．18．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查．为此需要抽验960人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验．这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1．试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）．解：（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则q＝1﹣p．所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为q k，呈阳性反应的概率为1﹣q k．依题意可知X＝，1+所以X的分布列为：X1+P q k1﹣q k（2）方案②中．结合（1）知每个人的平均化验次数为：E（X）＝•q k+（1+）（1﹣q k）＝﹣q k+1．所以当k＝2时，E（X）＝﹣0.92+1＝0.69，此时960人需要化验的总次数为662次，k＝3时，E（X）＝﹣0.93+1≈0.6043，此时960人需要化验的总次数为580次，k＝4时，E（X）＝﹣0.94+1＝0.5939，此时960人需要化验的次数总为570次，即k＝2时化验次数最多，k＝3时次数居中，k＝4时化验次数最少．而采用方案①则需化验960次，故在这三种分组情况下，相比方案①，当k＝4时化验次数最多可以平均减少960﹣570＝390次．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别为AA1、B1C的中点．（1）证明：DE⊥平面BCC1B1；（2）已知B1C与平面BCD所成的角为30°，求二面角D﹣BC﹣B1的余弦值．【解答】（1）证明：以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A﹣xyz．设AB＝1，AD＝a，则B（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，0，2a），D（0，0，a），B1（1，0，2a），，，，．∵，，∴DE⊥BC，DE⊥B1C，又BC∩B1C＝C，∴DE⊥平面BCC1B1；（2）解：设平面BCD的法向量＝（x0，y0，z0），则，又，故，取x0＝1，得．∵B1C与平面BCD所成的角为30°，，∴|cos＜＞|＝，解得，∴．由（1）知平面BCB1的法向量，∴cos＜＞＝＝．∴二面角D﹣BC﹣B1的余弦值为．20．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值为1．（1）求椭圆C的方程；（2）过F2且不垂直坐标轴的直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在一点N （n，0），使得|AN|：|BN|＝|AF2|：|BF2|，若存在，求出点N（n，0），若不存在，说明理由．解：（1）由题意可得e＝＝，（S）max＝＝1，即bc＝1，又c2＝a2﹣b2，解得：a2＝2，b2＝1，所以椭圆的方程为：+y2＝1；（2）假设存在N（n，0）满足条件，由|AN|：|BN|＝|AF2|：|BF2|，可得AF2为∠ANB的角平分线，所以k AN+k BN＝0，由题意直线AB的斜率存在且不为0，由（1）可得右焦点F2（1，0），设直线AB的方程为x＝my+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线AB的方程与椭圆的方程联立：，整理可得：（2+m2）y2+2my﹣1＝0，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，k AN+k BN＝+＝＝＝0，所以2my1y2﹣（n+1）（y1+y2）＝＝0，即2mn＝0，因为m≠0，所以n＝0，即存在N（0，0）满足条件．21．已知函数f（x）＝e2x﹣ax．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x＞0时，f（x）＞ax2+1，求a的取值范围．解：（1）f′（x）＝2e2x﹣a，a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上递增，a＞0时，由f′（x）＝0得x＝ln，x∈（﹣∞，ln），f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，ln）上递减；x∈（ln，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（ln，+∞）上递增．（2）f（x）＝e2x﹣ax＞ax2+1变形为e2x﹣ax2﹣ax﹣1＞0，令g（x）＝e2x﹣ax2﹣ax﹣1，g′（x）＝2e2x﹣2ax﹣a，令g′（x）＝0，可得a＝，令h（x）＝，h′（x）＝，x＞0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴h（x）的值域是（2，+∞），当a≤2时，g′（x）＝0没有实根，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）＞g（0）＝0，符合题意，当a＞2时，g′（x）＝0有唯一实根x0，x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x0）上递减，g（x）＜g（0）＝0，不符题意，综上，a的取值范围是a≤2．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．直线l的极坐标方程为2ρcosθ﹣ρsinθ+m ＝0．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）已知l与C相切，求m的值．解：（1）因为，，两式相减，有4x2﹣2y2＝4，所以C的直角坐标方程为．直线l的极坐标方程为2ρcosθ﹣ρsinθ+m＝0．把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入上述方程可得：直线l的直角坐标方程为2x﹣y+m＝0．（2）联立l与C的方程，有，消y，得2x2+4mx+m2+2＝0，因为l与C相切，所以有△＝16m2﹣4×2（m2+2）＝8m2﹣16＝0，解得：．23．已知a＞0，b＞0，c＞0设函数f（x）＝|x﹣b|+|x+c|+a，x∈R．（1）若a＝b＝c＝2，求不等式f（x）＞7的解集；（2）若函数f（x）的最小值为2，证明：++≥（a+b+c）．解：（1）当a＝b＝c＝2时，f（x）＝|x﹣2|+|x+2|+2＝．∵f（x）＞7，∴或，∴或，∴不等式的解集为．（2）∵f（x）＝|x﹣b|+|x+c|+a≥|（x﹣b）﹣（x+c）|+a＝|b+c|+a＝b+c+a，∴f（x）min＝b+c+a＝2，∴＝≥，∴≥。
2020届河北省衡水中学新高考原创精准仿真试卷(五)理科数学
2020届河北省衡水中学新高考原创精准仿真试卷（五）理科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1、集合xN x A 3|{∈=≥}1，)1(log |{2+∈=x N x B ≤}1，A S ⊆，φ≠⋂B S ，则集合S 的个数为( )A ．0B ．2C ．4D ．8 2、如果复数iai+-21(R a ∈,i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a 的值为( ) A ．1B ．1-C ．3D ．3-3、已知向量)1,3(=a ,)3,3(-=b ,则向量b 在向量a 方向上的投影为( )A ．3-B ．3C ．1-D ．1 4、已知角α顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点),3(a A -，若点A 在抛物线241x y -=的准线上，则=αsin ( )A ．23- B． C ．－12D ．125、执行右边的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是 ( ) A ．5≤i B ．6≤i C ．7≤i D ．8≤i6、下列说法正确的是( )A. 设m 是实数，若方程12122=-+-my m x 表示双曲线，则2>m ．B.“q p ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的充分不必要条件．C. 命题“R x ∈∃，使得0322<++x x ”的否定是：“R x ∈∀，0322>++x x ”．D.命题“若0x 为()x f y =的极值点，则()00'=x f ”的逆命题是真命题． 7、如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是( ) A ．221x y x =--B ．2sin y x x =C ．ln xy x=D ．()22xy x x e =-8、如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为( ) A ．116 B ．316 C ．14 D ．13169、已知151x e dxn e =-⎰，其中 2.71e =…，e 为自然对数的底数，则在4(2)n x x--的展开式中2x 的系数是（ ）A ．240B ．80C ．80-D ．240-10、在ABC ∆中，三内角C B A ,,对应的边分别为c b a ,,，且3=a ，A B B C sin )cos 3(sin sin 3+=，BC 边上的高为h ，则h 的最大值为 ( )A ．21 B ．1 C ．23D ．211、已知三棱锥ABC P -的四个顶点都在半径为3的球面上，AC AB ⊥，则该三棱锥体积的最大值是( ) A ．332B ．316 C ．364 D ． 6412、设'()f x 为函数()f x 的导函数，且满足321()3,'()'(6)3f x x ax bx f x f x =-++=-+，若()6ln 3f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围是（ ）A ．[)66ln6,++∞B ．[)4ln 2,++∞C ．[)5ln5,++∞ D．)6⎡++∞⎣第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13、己知),(y x 满足10203x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩－＋≥＋－≥≤，则y x 2-的最大值为___________14、在平行四边形ABCD 中，已知 60,2,1=∠==BAD AD AB ，若2,==， 则=⋅_________15、已知双曲线C ：22221x y a b－＝)0,0(>>b a 的左右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，若a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为30，则双曲线C 的渐近线方程为__________16、已知正ABC ∆的顶点A 在平面α上，顶点,B C 在平面α的同一侧，D 为BC 的中点，若△ABC 在平面α上的射影是以A 为直角顶点的三角形，则直线AD 与平面α所成角的正弦值的范围是_______三、解答题 （本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本题满分12分） 已知数列{}n a 满足对任意的正整数,n k 都有2()n k n k n a a a n k +-+=>，且该数列前三项依次为112+x ，x 10，x12，又已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11=b ，=+1n b n S )1(≥n（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式;（2）令n n n b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18、（本题满分12分）已知三棱锥ABC P -中，ABC ∆为等腰直角三角形，，1==AC AB ,5==PC PB 设点E 为PA 的中点，点D 为AC 的中点， 点F 为PB 上一点，且FB PF 2=. （1）证明：//BD 平面CEF ；（2）若AC PA ⊥，求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．19、（本题满分12分） 在平面直角坐标系中，()()0,2,0,2B A -，且A B C ∆满足21tan tan =B A （1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）过()0,2-F 作直线MN 交轨迹E 于N M ,两点，若MAB ∆的面积是NAB ∆面积的2 倍，求直线MN 的方程．20、（本题满分12分） 随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入－个税起征点－专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用……等.其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元． 新个税政策的税率表部分内容如下：（1）现有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要赡养老人，除此之外，无其它专项附加扣除．请问李某月应缴纳的个税金额为多少？（2）为研究月薪为20000元的群体的纳税情况，现收集了某城市500 名的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，有一个孩子的有400人，没有孩子的有100人，有一个孩子的人中有300人需要赡养老人，没有孩子的人中有50人需要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除（受统计的500人中，任何两人均不在一个家庭）.若他们的月收入均为20000元，依据样本估计总体的思想，试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额X 的分布列与期望．21、（本题满分12分） 已知函数x e x x f x+-=)1()(2．（1）求)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,41上的最小值； （2）若x ae x f x g x --=)()(，当)(x g 有两个极值点)(,2121x x x x <时，总有)1)(2()(212++≤x e x t x eg ，求此时实数t 的值．选考题：共10分。
河北省衡水中学2020届高三年级模拟试题(一)(理数)
河北省衡水中学2020届高三年级模拟试题（一）数 学（理科）本试卷总分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5 mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数iiz -=12，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合}0)2)(2(|{≤+-=x x x A ，}0|{a x x B ≤<Z ∈=．若}2,1{=B A I ，则实数a 的取值范围是 A ．),2[+∞B ．),2(+∞C ．),1[+∞D ．),1(+∞3．2020年第1期深圳车牌摇号竞价指标共6 668个，某机构从参加这期车牌竞拍且报价在1～8万元的人员中，随机抽取了若干人的报价，得到的部分数据整理结果如下：报价区间（单位：万元）[)2,1[)3,2[)4,3频数103640则在这些竞拍人员中，报价不低于5万元的人数为 A ．30 B ．42 C ．54 D ．804．已知c b a >>，且0=++c b a ，则下列不等式一定成立的是A ．bc ab >B ．bc ac <C ．||||bc ab >D ．011>+ca5．设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+≤,0632,2,2y x x y x y 则y x z 2-=的最小值为A ．2-B ．4-C ．6-D ．8- 6．已知0<ab ，若函数x x x f cos sin )(+=在区间],[b a 上单调，则ab 的最小值是A ．42π-B ．1632π-C ．82π-D ．162π-7．某正方体的三视图中的侧视图如图所示，是由两个全等的长方形构成，则该正方体的体积为A ．8B ．23C ．4D ．228．已知数列}{n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，0>n a ，32=S ，154=S ．对任意的正整数n ，下列结论正确的是A ．122++=+n n n a a aB ．1+>n n a SC ．213++++>+n n n n a a a aD ．21++≥⋅n n n a a a9．已知四棱锥ABCD P -的所有棱长均相等，过其外一点且与直线PA 和BC 所成的角都是o60的 直线的条数是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．510．如图所示的44⨯正方形网格，可看成是横向、纵向各五条相等线段相交成的封闭图形，横向、纵向各取2条线段，则围成的封闭图形为正方形的概率为A ．101 B ．51 C ．103 D ．52 11．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点为F ，过F 作直线l 与两条渐近线交于B A ,两点，若OAB ∆为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则OAB ∆的面积为A ．2aB ．22aC ．22a 或2aD ．22a 或221a12．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 是正方形ABCD 的中心，线段EF 过点O ，且1==OF OE ，EF 绕着点O 旋转，M 为线段AB 上 的动点，则MF ME ⋅的最小值为A ．21- B ．22- C ．23- D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年河北省衡水中学高考数学一模试卷1 (含答案解析)
2020年河北省衡水中学高考数学一模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,1，2}，B ={y|y =x 2,x ∈A}，则A ∩B =( )A. {1}B. {1,2}C. {0,4}D. {−1,1，2}2. 若复数z =3ai1−2i (a <0)，其中i 为虚数单位，|z|=√5，则a 的值为( )A. −23B. −1C. −43D. −533. 已知双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的渐近线方程为√3x ±y =0，则b =( )A. 2√3B. √3C. √32D. 124. 某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A 或B 被选中的概率是( )A. 15B. 25C. 35D. 7105. 已知实数x ，y 满足不等式组{x >0y >0x +2y <4x +2y >2，则z =x 2+y 2的取值范围是( )A. (4,16)B. (45,4)C. (2,16)D. (45,16)6. 若函数f(x)={2x +2,x ≤0,2x −4,x >0,则f[f(1)]的值为( )A. −10B. 10C. −2D. 27. 阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为( )A. 21B. 58C. 141D. 3188. 已知tanα=2，则sinαsin(π2−α)=( )A. 25B. √25C. 23D. √239.已知函数f(x)=cosπ3x+2，若a=log217，b=(17)2，c=217，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为()A. f(a)<f(b)<f(c)B. f(c)<f(b)<f(a)C. f(b)<f(a)<f(c)D. f(a)<f(c)<f(b)10.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6=a8+6，则S7=()A. 49B. 42C. 35D. 2811.函数f(x)=12x−sinx在区间[0,π]上的最小值是()A. 5π12−√32B. π12−12C. π6−12D. π6−√3212.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=√10，P是y轴正半轴上一点，PF1交椭圆于点A，若AF2⊥PF1，且△APF2的内切圆半径为√22，则椭圆的离心率是()A. √54B. √53C. √510D. √154二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,√3)，向量a⃗，c⃗的夹角是π3，a⃗⋅c⃗=2，则|c⃗|等于______．14.已知等比数列{a n}的公比为3，其前n项和为S n，若S n=1+(λ+1)a n，则λ的值为________．15.如图所示几何体的三视图中，正视图与侧视图是全等的直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，其外接球体积为______．16.如果函数f(x)=lnx+ax2−2x有两个不同的极值点，那么实数a的范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）)17.设函数f(x)=1−2sin2x−cos(2x+π3(1)求函数f(x)的最小正周期；)=1，求△ABC面积的(2)△ABC的三边a，b，c所对的内角分别为A，B，C，若b=5，且f(B2最大值．18.某民调机构为了了解民众是否支持英国脱离欧盟，随机抽调了100名民众，他们的年龄的频数及支持英国脱离欧盟的人数分布如下表：年龄段18−24岁25−49岁50−64岁65岁及以上频数35202520支持脱欧的人数10101515(Ⅰ)由以上统计数据填下面列联表，并判断是否有99%的把握认为以50岁胃分界点对是否支持脱离欧盟的态度有差异；年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计支持“脱欧”人数不支持“脱欧”人数合计附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.010K0 1.3232.0722.7063.8415.0246.635(Ⅱ)若采用分层抽样的方式从18−64岁且支持英国脱离欧盟的民众中选出7人，再从这7人中随机选出2人，求这2人至少有1人年龄在18−24岁的概率．19.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BCC1B1是矩形，AB=A1B，N是B1C的中点，M是棱AA1上的点，且AA1⊥CM．(1)证明：MN//平面ABC；(2)若AB⊥A1B，求二面角A−CM−N的余弦值．20. 已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2=4y 上，P 在第一象限，如图．F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|PF|=3，求直线AB 的方程．21. 已知函数．(1)判断函数f (x )的单调性；(2)已知e 为自然对数的底数，若关于x 的不等式对恒成立，求a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为y 2=−4x ，以点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin(θ−π3)=√3，l 与x 轴交于点M ． (1)求直线l 的直角坐标方程，点M 的极坐标；(2)设l与C相交于A、B两点，求|AB|．23.已知f(x)=|x+1|+|x−2|(Ⅰ)已知关于x的不等式f(x)<2a−1有实数解，求实数a的取值范围；(Ⅱ)解不等式f(x)≥x2−2x．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由题意可得：B={1,4}，则A∩B={1}．故选：A．利用题意首先求得集合A，然后进行交集运算即可求得最终结果．本题考查了交集的运算法则，集合的表示方法等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．2.答案：D解析：【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的运算公式求得a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．【解答】解：∵z=3ai1−2i =3ai(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−6a+3ai5，∴|z|=√36a225+9a225=3√5|a|5=√5，又a<0，解得a=−53．故选：D．3.答案：A解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．利用双曲线方程以及渐近线方程求解b即可．【解答】解：双曲线x24−y2b2=1(b>0)的渐近线方程：bx±2y=0，因为双曲线x24−y2b2=1(b>0)的渐近线方程为√3x±y=0，所以b2=√3，解得b=2√3．故选A ．4.答案：D解析： 【分析】本题考查古典概型的计算，是基础题．基本事件总数n =C 52=10，A 或B 被选中的对立事件是A 和B 都没有被选中，由此能求出A 或B 被选中的概率． 【解答】解：某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人， 赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，基本事件总数n =C 52=10，A 或B 被选中的对立事件是A 和B 都没有被选中， 则A 或B 被选中的概率是P =1−C 32C 52=710．故选：D ．5.答案：D解析：解：由约束条件{x >0y >0x +2y <4x +2y >2作出可行域如图，z =x 2+y 2=(√(x −0)2+(y −0)2)2表示原点(0,0)到阴影区域的距离的平方， ∴z min 是原点(0,0)到x +2y −2=0的距离的平方，则z min =(√5)2=45，z max 是原点(0,0)到点(4,0)的距离的平方，则z max =42=16， ∴z 的取值范围是(45,16)， 故选：D ．由约束条件作出可行域，再由z =x 2+y 2的几何意义，即原点(0,0)到阴影区域的距离的平方求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．6.答案：C解析：【分析】本题考查分段函数的求值，属于基础题．【解答】解：因为f(1)=−2，所以f[f(1)]=f(−2)=−2．故选C．7.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得S=0，k=1不满足条件k>5，执行循环体，S=1，k=2不满足条件k>5，执行循环体，S=6，k=3不满足条件k>5，执行循环体，S=21，k=4不满足条件k>5，执行循环体，S=58，k=5不满足条件k>5，执行循环体，S=141，k=6满足条件k>5，退出循环，输出S的值为141．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.答案：A解析：【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．利用诱导公式化简sinαsin(π2−α)，将sinα⋅cosα变形为sinαcosαsin2α+cos2α，整理得tanαtan2α+1，即可求出答案．【解答】解：∵tanα=2，∴sinαsin(π2−α)=sinα⋅cosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=25，故选：A．9.答案：D解析：【分析】本题考查函数的奇偶性、单调性和周期性，指数函数的性质和对数函数的性质，比较大小，属于中档题．根据题意，进行求解即可．【解答】解：由f(x)=cosπ3x+2，可知函数f(x)的最小正周期为6，且函数f(x)为偶函数，在区间[0,3]上单调递减，∵a=log217=−log27，∴a∈(−3,−2)，−a∈(2,3)，∵b=(17)2，∴0<b<1，∵c=217，∴c∈(1,2)，因此f(a)<f(c)<f(b)，故选D．10.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列的性质，通项公式以及前n项和的求法，是基础题．由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a4，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，2a6=a8+6，∴2(a1+5d)=a1+7d+6，∴a1+3d=6，∴a4=6，∴S7=72(a1+a7)=7a4=42．故选B．解析：【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最小值，属于基础题．求出导数，分析单调性，即可求出结果．【解答】解：f′(x)=12−cosx，x∈[0,π]，当0≤x<π3时，f′(x)<0，故f(x)在[0,13π)上单调递减;当π3<x≤π时，f′(x)>0，故f(x)在(13π,π]上单调递增．∴当x=π3时，函数f(x)取最小值f(π3)=π6−√32．12.答案：B解析：【分析】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，属于中档题．由题意，直角三角形的内切圆半径r=√22，结合|F1F2|=√10，可得|AF1|2+|AF2|2=10，从而可求|AF1|+|AF2|=3√2=2a，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由题意，直角三角形PAF2的内切圆半径r=|PA|+|AF2|−|PF2|2=|PA|−|PF1|+|AF2|2=|AF2|−|AF1|2=√22，即|AF2|−|AF1|=√2，∵|F1F2|=√10，AF2⊥AF1，∴|AF1|2+|AF2|2=10，∴2|AF1||AF2|=8，∴(|AF1|+|AF2|)2=18，∴|AF1|+|AF2|=3√2=2a，∵|F1F2|=√10=2c，∴椭圆的离心率是e=ca =√103√2=√53．故选B．13.答案：2解析：本题考查了向量的坐标以及向量数量积的定义，求出a⃗的模是关键，属于基础题．由向量的坐标可求得向量的模再由向量数量积的定义即可得出答案．【解答】解：∵|a⃗|=√12+(√3)2=2，=2，又∵a⃗⋅c⃗=|a⃗|⋅|c⃗|⋅cosπ3=2，即：2×|c⃗|×12∴|c⃗|=2，故答案为2．14.答案：12解析：【分析】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和的应用，解题的关键是熟练掌握等比数列的通项公式，等比数列的前n项和的计算，根据已知及等比数列的通项公式，等比数列的前n项和的计算，求出λ的值．【解答】解：等比数列{a n}的公比为3，其前n项和为S n，若S n=1+(λ+1)a n，∴S n=−a1(1−3n)，a n=a1·3n−1，2∴λ=1．2．故答案为1215.答案：√6π解析：【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键．由三视图知几何体是一个三棱锥，其外接球可以看成是一个棱长为1的正方体的外接球，求出球的半径后，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，下图为该三棱锥的直观图，由图可知，该几何体的外接球，即为以PA，AB，AC为长宽高的长方体的外接球，∵PA=2，AB=AC=1，故外接球的直径2R=√22+12+12=√6，解得R=√62，故这个几何体的外接球的体积V=4π3×(√62)3=√6π，故答案为：√6π．16.答案：(0,12)解析：【分析】求出函数的导数，利用导函数有两个极值点，列出不等式求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力．【解答】解：函数f(x)=lnx+ax2−2x，函数的定义域：{x|x>0}，可得：f′(x)=1x +2ax−2=2ax2−2x+1x，函数f(x)=lnx+ax2−2x有两个不同的极值点，可得：2ax2−2x+1=0，有两个不相等的正实数根，可得a>0，并且△=4−8a>0，解得a∈(0,12).故答案为(0,12).17.答案：解：(1)∵cos2x=1−2sin2x，cos(2x−π3)=cosπ3cos2x−sinπ3sin2x=12cos2x−√32sin2x，∴f(x)=cos2x−(12cos2x−√32sin2x)=12cos2x+√32sin2x=sin(2x+π6)，因此，函数f(x)的最小正周期T=2π2=π；(2)∵f(x)=sin(2x+π6)，∴f(B2)=sin(B+π6)=1，又∵B∈(0,π)，可得B+π6∈(π6,7π6)，∴B+π6=π2，可得B=π3．因此，根据余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac =12，整理得：a2+c2−ac=b2=25．又∵根据基本不等式，得a2+c2≥2ac，∴ac≤a2+c2−ac=25，当且仅当a=c时，等号成立．由此可得：S△ABC=12ac⋅sinB≤252⋅√32=25√34，当a=c=5时，△ABC面积的最大值为25√34．解析：(1)根据二倍角公式、两角和与差的正余弦公式进行化简，可得f(x)=sin(2x+π6)，再利用三角函数的周期公式加以计算，可得f(x)的最小正周期；(2)由f(B2)=1得sin(B+π6)=1，结合B为三角形的内角算出B=π3.然后根据余弦定理与基本不等式，推出当且仅当a=c时，ac有最大值为25.由此利用三角形的面积公式，即可算出△ABC面积的最大值．本题将一个三角函数式进行化简，求函数的最小正周期并依此求三角形面积的最大值．着重考查了三角恒等变换公式、基本不等式、余弦定理与三角形的面积公式等知识，属于中档题．18.答案：解：(Ⅰ)K2=55×45×50×50≈9.091>6.635所以有99%的把握认为以50岁为分界点对是否支持脱离欧盟的态度有差异．(Ⅱ)18−24岁2人，25−49岁2人，50−64岁3人．记18−24岁的两人为A，B；25−49岁的两人为C，D；50−64岁的三人为E，F，G，则AB，AC，AD，AE，AF，AG，BC，BD，BE，BF，BG，CD，CE，CF，CG，DE，DF，DG，EF，EG，FG共21种，其中含有A或B的有11种．故P=1121．解析：本题考查独立性检验，考查概率的计算，考查学生的阅读与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)根据统计数据，可得2×2列联表，根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论；(Ⅱ)利用列举法确定基本事件的个数，即可得出这2人至少有1人年龄在18−24岁的概率．19.答案：证明：(1)如图1，三棱柱ABC−A1B1C1中，连结BM，∵BCC1B1是矩形，∴BC⊥BB1，∵AA1//BB1，∴AA1⊥BC，∵AA1⊥MC，BC∩MC=C，∴AA1⊥平面BCM，∴AA1⊥MB，∵AB=A1B，∴M是AA1中点，取BC中点P∴NP//MA，且NP=MA，∴四边形AMNP是平行四边形，∴MN//AP，∵MN ⊄平面ABC ，AP ⊂平面ABC ， ∴MN//平面ABC ．解：(2)∵AB ⊥A 1B ，∴△ABA 1是等腰直角三角形，设AB =√2a ， 则AA 1=2a ，BM =AM =a ，在Rt △ACM 中，AC =√2a ，∴MC =a ，在△BCM 中，CM 2+BM 2=2a 2=BC 2，∴MC ⊥BM ， 由(1)知MC ⊥AA 1，BM ⊥AA 1，如图2，以M 为坐标原点，MA 1，MB ，MC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则M(0,0，0)，C(0,0，a)，B 1(2a,a ，0)，∴N(a,a 2,a2)， MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a),MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a 2,a 2)， 设平面CMN 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{az =0ax +a 2y +a 2z =0，取x =1，得n⃗ =(1,−2,0)， 平面ACM 的法向量m ⃗⃗⃗ =(0,1，0)， 则cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−2√55， ∵二面角A −CM −N 的平面角是钝角， ∴二知识面角A −CM −N 的余弦值为−2√55．解析：(1)连结BM ，推导出BC ⊥BB 1，AA 1⊥BC ，从而AA 1⊥MC ，进而AA 1⊥平面BCM ，AA 1⊥MB ，推导出四边形AMNP 是平行四边形，从而MN//AP ，由此能证明MN//平面ABC ．(2)推导出△ABA 1是等腰直角三角形，设AB =√2a ，则AA 1=2a ，BM =AM =a ，推导出MC ⊥BM ，MC ⊥AA 1，BM ⊥AA 1，以M 为坐标原点，MA 1，MB ，MC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −CM −N 的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：由题意可知F 点为(0,1)，设P(x,y)，由|PF|=3，得y =2，∴x =2√2，即P(2√2,2)． 设M(x 0,y 0)，由PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 得(−2√2,−1)=3(x 0, y 0−1)． 得x 0=−2√23，y 0=23，即M(−2√23,23)，设A (x 1,y 1), B (x 2,y 2),因为M 为AB 的中点， 则x 1+x 22=−2√23, y 1+y 22=23,k AB =y 2−y1x 2−x 1=x 224−x 124x 2−x 1=x 2+x 14=−√23，∴AB 的方程为：y −23=−√23(x +2√23)， 整理得：3√2x +9y −2=0．解析：本题主要考查抛物线的几何性质，直线和抛物线的位置关系，直线方程的求法，考查计算能力，属于中档题．由题意可知|PF|=3，求得P 点坐标，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可求得M 点坐标，根据斜率公式求得直线AB 的斜率，代入即可求得AB 的方程．21.答案：解：(1)由题知f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=1−ax −1+a x 2=x 2−ax−(1+a)x 2=(x+1)[x−(a+1)]x 2，当a +1>0，即a >−1时，由f′(x)>0，得x >a +1，由f′(x)<0，得0<x <a +1， 所以f(x)在区间(0,a +1)内单调递减，在区间(a +1,+∞)内单调递增． 当a +1≤0，即a ≤−1时，f′(x)>0对∀x ∈(0,+∞)恒成立， 所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递增．综上所述，当a >−1时，f(x)在区间(0,a +1)内单调递减，在区间(a +1,+∞)内单调递增； 当a ≤−1时，f(x)在区间(0,+∞)内单调递增．对∀x ∈[1,e]恒成立，等价于对∀x ∈[1,e]恒成立，等价于f(x)≥0对∀x ∈[1,e]恒成立，等价于函数f(x)在区间[1,e]上的最小值f(x)min ≥0恒成立， 由(1)知当a +1≥e ，即a ≥e −1时，f(x)在区间[1,e]上单调递减，所以f(x)min =f(e)=e +1+a e−a ≥0， 解得a ≤e 2+1e−1.又e 2+1e−1>e −1，所以e −1≤a ≤e 2+1e−1．当a +1≤1，即a ≤0时，易知f(x)在区间[1,e]上单调递增， 所以f(x)min =f(1)=2+a ≥0，解得a ≥−2，所以−2≤a ≤0．当1<a +1<e ，即0<a <e −1时，易知f(x)在区间[1,a +1)内单调递减，在区间(a +1,e]上单调递增，所以f(x)min =f(a +1)=2+a −aln(a +1)．因为0<ln(a +1)<1，所以0<aln(a +1)<a ，所以f(a +1)>2，所以f(x)min ≥0对∀a ∈(0,e −1)恒成立．综上，a 的取值范围是[−2,e 2+1e−1].解析：本题考查由导数判断函数的单调性，由导数求函数的最值证明不等式恒成立，属于难题． (1)先求函数的定义域为(0,+∞)，分类讨论，再对参数进行分类讨论，利用导数的得函数的单调区间．(2)原不等式等价于f(x)≥0对恒成立，等价于函数f(x)在区间[1,e]上的最小值f(x)min ≥0恒成立，证得结论．22.答案：解：(1)由2ρsin(θ−π3)=√3，得，ρsinθ−√3ρcosθ=√3，y =√3x +√3， ∴l 的直角坐标方程y =√3x +√3． 令y =0得点M 的直角坐标为(−1,0)， 所以ρ=1，得，又∴点M 的极坐标为(1,π)． (2)由(1)知l 的倾斜角为π3，参数方程为{x =−1+12ty =√32t，(t 为参数)代入y 2=−4x ， 得3t 2+8t −16=0， ∴t 1+t 2=−83，t 1t 2=−163∴|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=163．解析：(1)根据互化公式可得直线l 的直角坐标方程和点M 的极坐标； (2)根据韦达定理和参数t 的几何意义可得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：(Ⅰ)f(x)=|x +1|+|x −2|，①当x ≤−1时，f(x)=−2x +1≥3； ②当−1<x ≤2时，f(x)=3． ③当x >2时，f(x)=2x −1>3． ∵关于x 的不等式f(x)<2a −1有实数解， ∴2a −1>3，∴a >2；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知当x≤−1时，f(x)=−2x+1≥x2−2x，解得x=−1；当−1<x≤2时，f(x)=3≥x2−2x，解得−1≤x≤3，∴−1<x≤2，当x>2时，f(x)=2x−1≥x2−2x，解得2−√3≤x≤2+√3，∴2<x≤2+√3，综上所述，不等式的解集为[−1,2+√3].解析：(Ⅰ)分类讨论求出函数的最小值，即可求实数a的取值范围；(Ⅱ)分类讨论解不等式即可．本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2020届河北省衡水中学高三高考押题理科数学试卷含答案
河北衡水中学2020年高考押题试卷理数试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数122z =--，则||z z +=（ ） A．122-- B．122i -+ C．122+ D．122- 2.集合2{|30}A x x x =-≤，{|lg(2)}B x y x ==-，则A B I =（ ）A ．{|02}x x ≤<B ．{|13}x x ≤<C ．{|23}x x <≤D ．{|02}x x <≤3.已知函数()cos()6f x x ωπω=-(0)ω>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 可由函数()cos 2g x π=的图象向左平移3π个单位而得 B 可由函数()cos 2g x π=的图象向右平移3π个单位而得C. 可由函数()cos 2g x π=的图象向左平移6π个单位而得D ．可由函数()cos 2g x π=的图象向右平移6π个单位而得4.已知实数x ，y 满足约束条件33,24,34120,y x y x x y ≥-⎧⎪≤+⎨⎪++≥⎩则2z x y =-的最大值为（ ）A.2 B ．3 C.4D ．55.一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于M ，若2AB AE =u u u r u u u r，3AD AF =u u u r u u u r ，AM AB AC λμ=-u u u u r u u u r u u u r (,)R λμ∈，则52μλ-=（ ）A ．12-B ．1 C.32D ．-36.在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(1,1)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若2~(,)X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=.（ ）A.906 B ．1359 C.2718 D.34137.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A ．808π+B ．804π+C ．808π-D ．804π- 8.已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是（ ）A ．2016?n ≤B ．2017?n ≤ C.2015?n < D ．2017?n < 9.已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E ξ=（ ） A.3 B ．72 C.185D ．4 10.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点00(2)()2pM x x >是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =3|MA ，若=2，则||AF =（ ） A ．32B ．1 C.2 D ．311.若定义在R 上的可导函数()f x 满足(1)1f =，且2'()1f x >，则当3[,]22x ππ∈-时，不等式23(2cos )2sin 22xf x >-的解集为（ ） A. 4(,)33ππ B ．4(,)33ππ- C.(0,)3π D ．(,)33ππ-12.已知0x 是方程222ln 0xx ex +=的实根，则关于实数0x 的判断正确的是（ ）A ．0ln 2x ≥B ．01x e< C.002ln 0x x += D ．002ln 0x e x += 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若26()baxx+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 ． 14.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b c bc =+-，16bc =，则ABC ∆的面积为 ．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B 两点，点)C ，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为 ． 16.已知下列命题：①命题“x R ∀∈，235x x +<”的否定是“x R ∃∈，235x x +<”； ②已知p ，q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝为真命题”；③“2015a >”是“2017a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题 其中，所有真命题的序号是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(2)(1)n n na n S n n +=+++，*n N ∈. （1）证明：数列{1}nS n+为等比数列； （2）求12n n T S S S =+++L .18.如图所示，四棱锥A BCDE -，已知平面BCDE ⊥平面ABC ，BE EC ⊥，6BC =，43AB =,30ABC ∠=︒.（1）求证：AC BE ⊥；（2）若二面角B AC E --为45︒，求直线AB 与平面ACE 所成角的正弦值.19.某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm ）频数分布表如表1、表2. 表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在[165,180)的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X 表示身高在[165,180)学生的人数，求X 的分布列及数学期望.20. ABC ∆中，O 是BC 的中点，||32BC =其周长为632+，若点T 在线段AO 上，且||2||AT TO =. （1）建立合适的平面直角坐标系，求点T 的轨迹E 的方程；（2）若M ，N 是射线OC 上不同的两点，||||1OM ON ⋅=，过点M 的直线与E 交于P ，Q ，直线QN 与E 交于另一点R ，证明：MPR ∆是等腰三角形.21. 已知函数2()xf x e x a =-+，x R ∈，曲线()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为y bx =. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）当x R ∈时，求证：2()f x x x ≥-+；（3）若()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1C ：2cos ρθ=，曲线2C ：(cos 4)cos ρρθθ=⋅+⋅.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C的参数方程为12,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求1C ，2C 的直角坐标方程；（2）C 与1C ，2C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为H ，I ，J ，K ，求||||||HI JK -的值. 23. 选修4-5：不等式选讲. 已知a ，b 为任意实数.（1）求证：42242264()a a b b ab a b ++≥+；（2）求函数4224()|2(16)|f x x a a b b =-+--332|(221)|x a b ab +-+-的最小值.参考答案及解析理科数学一、选择题1-5:CADBA 6-10:BBBBB 11、12：DC二、填空题13.2 14.② 三、解答题17.解：（1）因为11n n n a S S ++=-，所以1()(2)(1)n n n n S S n S n n +-=+++，即12(1)(1)n n nS n S n n +=+++，则1211n n S Sn n+=⨯++， 所以112(1)1n n S S n n ++=++，又1121S+=，故数列{1}n S n+为等比数列.（2）由（1）知111(1)221n nn S S n -+=+⋅=，所以2n n S n n =⋅-，故2(12222)(12)nn T n n =⨯+⨯++⋅-+++L L . 设212222nM n =⨯+⨯++⋅L ， 则231212222n M n +=⨯+⨯++⋅L ，所以212222n n M n +-=+++-⋅=L 11222n n n ++--⋅，所以1(1)22n M n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n nn n T n ++=-⋅+-.18.解：（1）ABC ∆中，应用余弦定理得222cos 2AB BC AC ABC AB BC+-∠=g 2=解得AC = 所以222AC BC AB +=， 所以ACBC ⊥.因为平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE I 平面ABC BC =，BC AC ⊥，所以AC ⊥平面BCDE ，又因为BE ⊂平面BCDE ， 所以AC BE ⊥.（2）由（1）AC ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ， 所以AC CE ⊥. 又因为BCAC ⊥，平面ACE I 平面ABC AC =，所以BCE ∠是平面EAC 与平面BAC 所成的二面角的平面角，即45BCE ∠=︒. 因为BE EC ⊥，AC BE ⊥， 所以BE ⊥平面ACE .所以BAE ∠是AB 与平面ACE 所成的角. 因为在Rt ACE ∆中，sin 4532BE BC =︒=，所以在Rt BAE ∆中，6sin BE BAE AB ∠==. 19.解：（1）设高一女学生人数为x ，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则7004030x x -=，解得300x =.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在[165,180)的人数为5141363142+++++=，样本容量为70.所以样本中该校学生身高在[165,180)的概率为423705=. 因此，可估计该校学生身高在[165,180)的概率为35.（3）由题意可得X 的可能取值为0，1，2.由表格可知，女生身高在[165,180)的概率为13，男生身高在[165,180)的概率为45. 所以412(0)(1)(1)5315P X ==-⨯-=，41419(1)(1)(1)535315P X ==-+-⨯=，414(2)5315P X ==⨯=.所以X 的分布列为：所以9417()012151515E X =+⨯+⨯=. 20.解：（1）以BC 所在直线为x 轴，O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则||||6||AB AC BC +=>， 所以点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆.所以26a =，232c =所以3a =，2c =， 所以22292ba c =-=， 所以点A 的轨迹方程为221(0)992x y y +=≠. 设(,)T x y ，点T 在线段AO 上，且||2||AT TO =，所以(3,3)A x y ，代入221992x y +=，整理可得点T 的轨迹E 的方程是221(0)12y x y +=≠. （2）证明：设(,0)(0)M m m >，由||||1OM ON ⋅=得1(,0)N m，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，33(,)R x y .由题意，直线QM 不与坐标轴平行，11QM y k x m =-，直线QM 的方程为11()y y x m x m=--.与椭圆方程联立，消去y ，得22211(12)2(1)m mx x m x x +---+222111(2)0mx x m x --=.所以2221111221212mx x m x x x m mx --=+-，同理222111131221212mx x m x x x x x m mx --==+-， 所以23x x =，或10x =. 当23x x =时，PR x ⊥轴.当10x =时，2221m x m =+，322212211()1mmx x m m⋅===++，PR x ⊥轴， 所以||||MP MR =， 所以MPR ∆是等腰三角形.21. 解：（1）根据题意，得'()2xf x e x =-，则'(0)1f b ==. 由切线方程可得切点坐标为(0,0)，将其代入()y f x =，得1a =-，故2()1x f x e x =--.（2）令2()()1xg x f x x x e x =+-=--. 由'()10xg x e =-=，得0x =，当(,0)x ∈-∞，'()0g x <，()y g x =单调递减； 当(0,)x ∈+∞，'()0g x >，()y g x =单调递增. 所以min ()(0)0g x g ==，所以2()f x x x ≥-+. （3）()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立等价于()f x k x>对任意的(0,)x ∈+∞恒成立. 令()()f x x x ϕ=，0x >，得2'()()'()xf x f x x xϕ-==22(2)(1)x x x e x e x x ----=2(1)(1)x x e x x ---. 由（2）可知，当(0,)x ∈+∞时，10xex -->恒成立，令'()0x ϕ>，得1x >；令'()0x ϕ<，得01x <<.所以()y x ϕ=的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，故min ()(1)2x e ϕϕ==-，所以min ()2k x e ϕ<=-.所以实数k 的取值范围为(,2)e -∞-.22.解：（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，所以1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=.由(cos 4)cos ρρθθ=⋅+⋅，得22sin4cos ρθρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =.（2）不妨设四点在C 上的排列顺序由下而上依次为H ，I ，J ，K ，它们对应的参数分别为，1234,,,t t t t ，如图.连接1C J ，则1C IJ ∆为正三角形，所以||1IJ =，故||||||||||||||HI JK HI IK IJ -=-+=1414|||||1||()1|t t t t -+=-++.把1 2,23 2x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x=，得23824t t=-，即238320t t+-=，故1483t t+=-，所以11||||||3HI JK-=.23. 解：（1）42242264()a ab b ab a b++-+=2222222()4()4a b ab a b a b+-++⋅=222(2)a b ab+-4()a b=-，因为4()0a b-≥，所以42242264()a ab b ab a b++≥+.（2）4224()|2(16)|f x x a a b b=-+--332|(221)|x a b ab+-+-=4224|2(16)|x a a b b-+--+ 33|22(221)|x a b ab-+-≥33|[22(221)]x a b ab-+--4224[2(16)]|x a a b b-+--=4|()1|1a b-+≥.即max()1f x=.。
2020年河北省衡水中学高考(理科)数学临考模拟试卷 (解析版)
2020年河北省衡水中学高考（理科）数学临考模拟试卷一、选择题（共12小题）.1．若复数z满足1+zi＝0，i是虚数单位，则z＝（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i2．集合，B＝{x|x2+x﹣6＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，2）∪（2，+∞）3．已知，，则tanα＝（）A．2B．C．1D．4．在边长为3，4，5的三角形内部任取一点P，则点P到三个顶点距离都大于1的概率为（）A．B．C．D．5．《吕氏春秋•音律篇》记载了利用“三分损益”制定关于“宫、商、角、徵、羽”五音的方法，以一段均匀的发声管为基数“宫”，然后将此发声管均分成三段，舍弃其中的一段保留二段，这就是“三分损一”，余下来的三分之二长度的发声管所发出的声音就是“徵”；将“徵”管均分成三份，再加上一份，即“徵”管长度的三分之四，这就是“三分益一”，于是就产生了“商”；“商”管保留分之二，“三分损一”，于是得出“羽”；羽管“三分益一”，即羽管的三分之四的长度，就是角”．如果按照三分损益律，基数“宫”发声管长度为1，则“羽”管的长度为（）A．B．C．D．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（）A．32B．36C．72D．807．在的展开式中，含项的系数等于（）A．98B．42C．﹣98D．﹣428．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．已知直四棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且BD＝DD1＝AC，则异面直线AD1与DC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．已知O为坐标原点，A、F分别是双曲线C：＝1，（a＞0，b＞0）的右顶点和右焦点，以OF为直径的圆与一条渐近线的交点为P（不与原点重合），若△OAP的面积S△OAP满足，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A：cos B：cos C＝6a：3b：2c，则cos C等于（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣ax恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[1，4）B．（﹣1，16）C．（﹣1，0]∪[1，16）D．{0}∪[1，4）二、填空题（共4小题）.13．若球O的球心到其内接长方体三个不同侧面的距离为1，2，3，则球O表面积为．14．已知圆x2+y2＝1与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，且坐标原点O是AC的中点，则p的值等于．15．函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，且f（x）与g（x）的图象关于点对称，那么ω的最小值等于．16．已知向量，，满足，，且，则的取值范围是．三、解答题：解答应写岀文字说眀、证明过程或演算步骤．17．已知各项均为正数的等比数列{a n}与等差数列{b n}满足a1＝b1＝2，a5＝b31＝32，记c n ＝，（n∈N*）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和T n．18．2020年2月，为防控新冠肺炎，各地中小学延期开学．某学校积极响应“停课不停学”政策，在甲、乙两班分别开展了H、G两种不同平台的线上教学尝试，经过一段时间的试用，从两班各随机调查了20个同学，得到了对两种线上平台的评价结果如表：评价结果差评一般好评甲班5人10人5人乙班2人8人10人（1）假设两个班级的评价相互独立，以事件发生频率作为相应事件发生的概率，若从甲乙两班中各随机抽取一名学生，求甲班学生的评价结果比乙班学生的评价结果“更好”的概率；（2）根据对两个班的调查，完成列联表，并判断能否有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关．差评好评或一般总计H平台G平台总计附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.82819．如图，在三棱锥D﹣ABC中，AB⊥BD，BC⊥CD，M，N分别是线段AD，BD的中点，MC＝1，，二面角D﹣BA﹣C的大小为60°．（1）证明：平面MNC⊥平面BCD；（2）求直线BM和平面MNC所成角的余弦值．20．已知椭圆左、右焦点分别为F1，F2，且满足离心率，，过原点O且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A（2，1），求△AMN面积的最大值．21．已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2（a为常数）在x＝1处的切线方程为y＝4x﹣．（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）若f（x1）+f（x2）＝1，求证：x1x2≤1．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：x﹣y﹣2＝0，曲线C：（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l1与曲线C的极坐标方程；（2）若直线l2的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），直线l2与直线l1交于点A，与曲线C交于点O与点B，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）记函数y＝f（x）+3|x+1|的最小值为m，正实数a，b满足a+b＝m，试求的最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．若复数z满足1+zi＝0，i是虚数单位，则z＝（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由1+zi＝0，得．故选：C．2．集合，B＝{x|x2+x﹣6＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，2）∪（2，+∞）【分析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：∵A＝（1，+∞），B＝（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞），∴A∪B＝（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故选：C．3．已知，，则tanα＝（）A．2B．C．1D．【分析】由已知利用诱导公式可求sinα的值，利用同角三角函数基本关系式，即可求解cosα，tanα的值．解：∵，，∴，∴tanα＝2．故选：A．4．在边长为3，4，5的三角形内部任取一点P，则点P到三个顶点距离都大于1的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，结合图形分析可得点P到三个顶点距离小于1的区域面积为三个扇形面积之和，求出其面积，计算三角形的面积，由几何概型公式计算可得答案．解：根据题意，在△ABC中，BC＝3，AB＝4，AC＝5，点P到三个顶点距离小于3的区域面积为三个扇形面积之和，即S＝×π＝，则点P到三个顶点距离都大于1的概率P＝；故选：B．5．《吕氏春秋•音律篇》记载了利用“三分损益”制定关于“宫、商、角、徵、羽”五音的方法，以一段均匀的发声管为基数“宫”，然后将此发声管均分成三段，舍弃其中的一段保留二段，这就是“三分损一”，余下来的三分之二长度的发声管所发出的声音就是“徵”；将“徵”管均分成三份，再加上一份，即“徵”管长度的三分之四，这就是“三分益一”，于是就产生了“商”；“商”管保留分之二，“三分损一”，于是得出“羽”；羽管“三分益一”，即羽管的三分之四的长度，就是角”．如果按照三分损益律，基数“宫”发声管长度为1，则“羽”管的长度为（）A．B．C．D．【分析】根据三分损益原理计算即可．解：按照三分损益原理，故选：A．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（）A．32B．36C．72D．80【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为两个长方体的组合体，其中每个长方体的底面是边长为2的正方形，高为4．则其表面积可求．解：由三视图还原原几何体如图，则其表面积为S＝（40﹣4）×2＝72．故选：C．7．在的展开式中，含项的系数等于（）A．98B．42C．﹣98D．﹣42【分析】先求出（﹣）8的通项公式，再分类求出含项的系数．解：∵（﹣）8的通项公式为T r+1＝••（﹣）r＝（﹣1）r••x，令﹣8＝﹣5得r＝2；令﹣4＝﹣2得r＝4；故选：D．8．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，利用对称性和函数值的对应性进行排除即可．解：由|x|﹣2≠0得x≠±2，f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，图象关于原点对称，可排除选项B、D，故选：A．9．已知直四棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且BD＝DD1＝AC，则异面直线AD1与DC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由，得∠DAC＝30°，求出∠DAB＝60°，推导出∠AD1G（或补角）即为异面直线AD1与DC1所成的角，由此能求出异面直线AD1与DC1所成角的余弦值．解：由，得∠DAC＝30°，所以∠DAB＝60°，所以AD＝DD1，．则∠AD1G（或补角）即为异面直线AD1与DC1所成的角，利用勾股定理求出，所以异面直线AD1与DC1所成角的余弦值为．故选：B．10．已知O为坐标原点，A、F分别是双曲线C：＝1，（a＞0，b＞0）的右顶点和右焦点，以OF为直径的圆与一条渐近线的交点为P（不与原点重合），若△OAP的面积S△OAP满足，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由，可得：，即，利用e＝即可求解．解：如图，可得OA＝a，OF＝c，∠OPF＝90°，tan，由，可得FP•FO cos∠POA＝×，∴，即可得，∴e4＝2，e＝．故选：D．11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A：cos B：cos C＝6a：3b：2c，则cos C等于（）A．B．C．D．【分析】由已知结合正弦定理进行化简后，再结合两角和的正切公式进行化简即可求解．解：由，利用正弦定理得，即6tan A＝3tan B＝2tan C，代入，所以．故选：D．12．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣ax恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[1，4）B．（﹣1，16）C．（﹣1，0]∪[1，16）D．{0}∪[1，4）【分析】易知x＝0是y＝f（x）﹣ax的一个零点，则f（x）＝ax有两个不为零的不同实根，即与y＝a的图象有两个不为零的不同交点，作出函数h（x）的图象，即可求出实数a的取值范围．解：（1）当x＝0时，y＝f（0）﹣0＝0，所以x＝0是y＝f（x）﹣ax的一个零点；即f（x）＝ax有两个不为零的不同实根，又h（x）＝＝，所以当x＜0时，h1′（x）＞0，h1（x）单调递增；令，x≥1，则，当x∈（3，+∞）时，h2′（x）＜0，h2（x）单调递减，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．若球O的球心到其内接长方体三个不同侧面的距离为1，2，3，则球O表面积为56π．【分析】由球的截面性质得出长方体的三条棱长，从而得球半径，可计算出面积．解：由题意长方体相邻的三条棱长为2，4，6，外接球直径等于长方体对角线，所以，故答案为：．14．已知圆x2+y2＝1与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，且坐标原点O是AC的中点，则p的值等于．【分析】设出A的坐标，代入圆的方程，求解P即可．解：圆x2+y2＝1与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D 两点，且坐标原点O是AC的中点，代入圆的方程，解得．故答案为：．15．函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，且f（x）与g（x）的图象关于点对称，那么ω的最小值等于6．【分析】由题意，利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，求得ω的最小值解：由图象平移规律，可知，由f（x）与g（x）的图象关于点对称，化简，得恒成立，所以正数ω的最小值为6，故答案为：6．16．已知向量，，满足，，且，则的取值范围是[﹣7，7]．【分析】将已知条件中的等式变形为，两边平方，再结合平面向量数量积的运算，化简整理后可推出+2+1≤+2+，即，从而得解．解：因为，所以，等式两边平方，得①．所以≤•，即+2+3≤25+2+25，所以．故答案为：[﹣6，7]．三、解答题：解答应写岀文字说眀、证明过程或演算步骤．17．已知各项均为正数的等比数列{a n}与等差数列{b n}满足a1＝b1＝2，a5＝b31＝32，记c n ＝，（n∈N*）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和．解：（1）因为{a n}各项为正数，设{a n}的公比为q，（q＞0），{b n}的公差为d，所以，b n＝n+1．所以＝．18．2020年2月，为防控新冠肺炎，各地中小学延期开学．某学校积极响应“停课不停学”政策，在甲、乙两班分别开展了H、G两种不同平台的线上教学尝试，经过一段时间的试用，从两班各随机调查了20个同学，得到了对两种线上平台的评价结果如表：评价结果差评一般好评甲班5人10人5人乙班2人8人10人（1）假设两个班级的评价相互独立，以事件发生频率作为相应事件发生的概率，若从甲乙两班中各随机抽取一名学生，求甲班学生的评价结果比乙班学生的评价结果“更好”的概率；（2）根据对两个班的调查，完成列联表，并判断能否有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关．差评好评或一般总计H平台G平台总计附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据相互独立事件的概率计算公式，即可求出对应的概率值；（2）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．解：（1）记A1表示事件：甲班抽取的学生评价结果为“好评”；A2表示事件：甲班抽取的学生评价结果为“一般”；B2表示事件：乙班抽取的学生评价结果为“差评”；因为两个班级的评价相互独立，所以．差评好评或一般总计H平台51520G平台21820总计73340计算得，所以没有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关．19．如图，在三棱锥D﹣ABC中，AB⊥BD，BC⊥CD，M，N分别是线段AD，BD的中点，MC＝1，，二面角D﹣BA﹣C的大小为60°．（1）证明：平面MNC⊥平面BCD；（2）求直线BM和平面MNC所成角的余弦值．【分析】（1）先计算出NC和MN的长度，再结合勾股定理可证得MN⊥NC；由中位线的性质可得MN∥AB，而AB⊥BD，故MN⊥BD；然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证．（2）根据二面角的定义可证得∠CBD为二面角D﹣BA﹣C的平面角，即∠CBD＝60°．法一：以B为原点，BC、BA为x、y轴，建立空间直角坐标系，逐一写出B、C、M、N的坐标，根据法向量的性质求得平面MNC的法向量，设直线BM和平面MNC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|，再利用同角三角函数的平方关系即可得解．法二：取CN的中点E，连接BE，由面面垂直的性质定理可证得BE⊥平面MNC，故∠BME为直线BM和平面MNC所成的角，在Rt△ABD中，求得sin∠BME，再利用同角三角函数的平方关系即可得解．【解答】（1）证明：在Rt△BCD中，N是斜边BD的中点，∴．∵M、N分别是AD、BD的中点，∴MN∥AB，，∵AB⊥BD，MN∥AB，∴MN⊥BD，∵MN⊂平面MNC，∴平面MNC⊥平面BCD．又AB⊥BD，∴∠CBD为二面角D﹣BA﹣C的平面角，即∠CBD＝60°，以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∴，，．设平面MNC的法向量，则，即，设直线BM和平面MNC所成角为θ，∵θ∈[0，]，故直线BM和平面MNC所成角的余弦值等于．又AB⊥BD，∴∠CBD为二面角D﹣BA﹣C的平面角，即∠CBD＝60°，又∵平面MNC⊥平面BCD，平面MNC∩平面BCD＝NC，∴∠BME即为直线BM和平面MNC所成的角．∴，故直线BM和平面MNC所成角的余弦值等于．20．已知椭圆左、右焦点分别为F1，F2，且满足离心率，，过原点O且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A（2，1），求△AMN面积的最大值．【分析】（1）利用椭圆的离心率以及焦距，求解c，a，然后求解b，得到椭圆方程．（2）设直线l的方程为y＝kx（k≠0），由，求出弦长MN，求出A到直线l的距离，推出三角形的面积的表达式，然后求解最大值即可．解：（1）由题意可知，，根据，得a＝4，b＝4，（2）设直线l的方程为y＝kx（k≠0），得，，＝．所以＝，当k＜0时，，当且仅当时，等号成立，所以S△AMN的最大值为．21．已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2（a为常数）在x＝1处的切线方程为y＝4x﹣．（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）若f（x1）+f（x2）＝1，求证：x1x2≤1．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求a，结合导数与单调性关系即可求解；（2）结合结论lnx≤x﹣1，构造函数g（x）＝f（x）+f（）﹣1，结合导数可得出f（x1），然后结合f（x1）+f（x2）＝1，及f（x）在（0，+∞）上单调性即可证明．解：（1），由题意可得，f′（5）＝3+2a＝4，解可得a＝，令m（x）＝lnx+x++4，则＝，故m（x）＝f′（x）＞f′（1）＞0恒成立，（2）设n（x）＝lnx﹣x+1，则，当x＝1时，n（x）取得最大值n（1）＝0，令g（x）＝f（x）+f（）﹣1＝（x+2）lnx+﹣（4+）lnx+，设h（x）＝（1+）lnx，则＝＞0，故当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）≥g（1）＝5，即f（x）+f（）﹣1≥0，当x＝1时等号成立，所以4﹣f（x2）≥1﹣f（）即f（x2）≤f（），所以x6≤，即x1x2≤7．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：x﹣y﹣2＝0，曲线C：（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l1与曲线C的极坐标方程；（2）若直线l2的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），直线l2与直线l1交于点A，与曲线C交于点O与点B，求的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用转换关系，把三角函数关系式的变换和函数的性质的应用求出结果．解：（1）因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以直线l1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ＝2，即．将x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入上式，得ρ2＝8ρcosθ．（2）因为直线l2：θ＝α，则A（ρ1，α），B（ρ4，α），所以＝．所以当时，取得最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）记函数y＝f（x）+3|x+1|的最小值为m，正实数a，b满足a+b＝m，试求的最小值．【分析】（1）利用零点分段．再分段解不等式即可；（2）利用绝对值不等式求解最小值为m，利用“乘1”法即可求解的最小值解：（1）依题意得f（x）＝，由不等式f（x）≤3；解得﹣2≤x≤﹣1，或，或．（2）由y＝f（x）+3|x+1|＝|7x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（5x+2）|＝3，即a+b＝3即当且仅当且a+b＝3，即a＝1，b＝2时取等号，所以的最小值为．。