最新高考数学复习点拨-非线性回归问题
高考总复习二轮数学精品课件 专题4 概率与统计 培优拓展(七) 非线性回归问题
0.778
(2 )
(2 )(|2 )
0.2×0.8
P(A2|C)=
=
=
,
()
()
0.778
(3 )
(3 )(|3 )
0.6×0.75
P(A3|C)= () =
= 0.778 ,
()
因为 0.6×0.75>0.2×0.84>0.2×0.8,
所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.
率的估计值分别为80%和75%,试解决以下问题:
①现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个,求该航班准点放行的
概率;
②若2023年某航班在该机场准点放行,判断该航班飞往A地、B地、其他
地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大,说明你的理由.
附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线 v=α+βu 的斜率和截距
指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节,运行效率不
断提升.以下是根据近10年年份数xi与该机场飞往A地航班放行准点率
yi(i=1,2,…,10)(单位:%)的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到
的一些统计量的值.
x
y
2017.5
80.4
10
∑
t
1.5
其中 ti=ln(xi-2012), =
147.700
^
= − ≈-3.849,
=1
^
所以 w 关于 x 的经验回归方程为=-3.849+0.272x,
^
因此 y 关于 x 的非线性经验回归方程为 =e-3.849+0.272x.
本 课 结 束
2023年高考数学复习：非线性回归问题
通过变量间的相关关系对两个变量进行统计分析是数学的重要应 用，其中非线性回归问题具有十分重要的现实意义.
例 (2021·武汉模拟)近年来，明代著名医药学家李时珍的故乡黄冈市蕲 春县大力发展大健康产业，蕲艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主 要产业之一，已知蕲艾的株高y(单位：cm)与一定范围内的温度x(单位：℃) 有关，现收集了蕲艾的13组观测数据，得到如下的散点图： 现根据散点图利用 y＝a＋b x或 y ＝c＋dx建立 y 关于 x 的非线性回归 方程，令 s＝ x，t＝1x得到如下数据：
^
2 230.8－20＝2 210.8，所以z≤2 210.8，
当且仅当x＝20时等号成立， 所以当温度为20℃时蕲艾的利润最大.
能力 提升
非线性回归方程的求法 (1)根据原始数据作出散点图. (2)根据散点图，选择恰当的拟合函数. (3)作恰当变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程. (4)在(3)的基础上通过相应变换，即可得非线性回归方程.
解 先建立v关于x的线性回归方程. 由y＝eλx＋t，得ln y＝t＋λx，即v＝t＋λx.
12
xi－ x vi－ v
^ i＝1
由于λ＝
12
xi－ x 2
＝71740≈0.018，
i＝1
^
^
t＝ v －λ x ＝4.20－0.018×20＝3.84，
^
所以 v 关于 x 的线性回归方程为v＝0.02x＋3.84,
i＝1
14
(1)设(ui，yi)的相关系数为r1，(xi，vi)的相关系数为r2，请从相关系数的角 度，选择一个拟合程度更好的模型；
解 r1＝
12
ui－ u yi－ y
非线性回归分析的入门知识
非线性回归分析的入门知识在统计学和机器学习领域，回归分析是一种重要的数据分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。
在实际问题中，很多情况下自变量和因变量之间的关系并不是简单的线性关系，而是呈现出一种复杂的非线性关系。
因此，非线性回归分析就应运而生，用于描述和预测这种非线性关系。
本文将介绍非线性回归分析的入门知识，包括非线性回归模型的基本概念、常见的非线性回归模型以及参数估计方法等内容。
一、非线性回归模型的基本概念在回归分析中，线性回归模型是最简单和最常用的模型之一，其数学表达式为：$$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + ... + \beta_pX_p +\varepsilon$$其中，$Y$表示因变量，$X_1, X_2, ..., X_p$表示自变量，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_p$表示模型的参数，$\varepsilon$表示误差项。
线性回归模型的关键特点是因变量$Y$与自变量$X$之间呈线性关系。
而非线性回归模型则允许因变量$Y$与自变量$X$之间呈现非线性关系，其数学表达式可以是各种形式的非线性函数，例如指数函数、对数函数、多项式函数等。
一般来说，非线性回归模型可以表示为：$$Y = f(X, \beta) + \varepsilon$$其中，$f(X, \beta)$表示非线性函数，$\beta$表示模型的参数。
非线性回归模型的关键在于确定合适的非线性函数形式$f(X,\beta)$以及估计参数$\beta$。
二、常见的非线性回归模型1. 多项式回归模型多项式回归模型是一种简单且常见的非线性回归模型，其形式为： $$Y = \beta_0 + \beta_1X + \beta_2X^2 + ... + \beta_nX^n +\varepsilon$$其中，$X^2, X^3, ..., X^n$表示自变量$X$的高次项，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_n$表示模型的参数。
高考回归分析知识点
高考回归分析知识点回归分析是统计学中一种重要的分析方法，用于研究变量之间的关系和预测。
在高考数学中，回归分析也是一个重要的知识点。
本文将介绍高考中常见的回归分析知识点，并结合具体例子进行解析。
一、简单线性回归1. 定义：简单线性回归是指在研究两个变量之间关系时，其中一个变量为自变量，另一个变量为因变量，且二者之间存在线性关系的情况。
2. 公式：简单线性回归模型的数学表示为：Y = α + βX + ε，其中Y为因变量，X为自变量，α和β为常数，ε为误差项。
3. 参数估计：通过最小二乘法可以估计出回归系数α和β的值，从而建立回归方程。
示例：假设我们想研究学生的学习时间与考试分数之间的关系。
我们收集了一组数据，学习时间（自变量X）和考试分数（因变量Y）的数值如下：学习时间（小时）：[5, 10, 15, 20, 25, 30]考试分数（分数）：[60, 70, 75, 80, 85, 90]通过简单线性回归分析，我们可以建立回归方程为：Y = 55 + 0.75X，说明学习时间对考试分数有正向影响。
二、多元线性回归1. 定义：多元线性回归是指在研究多个自变量与一个因变量之间关系时的回归分析方法。
它可以用来探究多个因素对因变量的影响程度，并进行预测和解释。
2. 公式：多元线性回归模型的数学表示为：Y = α + β₁X₁ + β₂X₂+ ... + βₚXₚ + ε，其中Y为因变量，X₁、X₂、...、Xₚ为自变量，α和β₁、β₂、...、βₚ为常数，ε为误差项。
3. 参数估计：同样通过最小二乘法可以估计出回归系数α和β₁、β₂、...、βₚ的值，从而建立回归方程。
示例：我们想研究学生的考试分数与学习时间、家庭收入、家庭教育水平等因素之间的关系。
我们收集了一组数据，学习时间（自变量X₁）、家庭收入（自变量X₂）、家庭教育水平（自变量X₃）和考试分数（因变量Y）的数值如下：学习时间（小时）：[5, 10, 15, 20, 25, 30]家庭收入（万元）：[8, 10, 12, 15, 18, 20]家庭教育水平（年）：[10, 12, 14, 16, 18, 20]考试分数（分数）：[60, 70, 75, 80, 85, 90]通过多元线性回归分析，我们可以建立回归方程为：Y = 50 +0.7X₁ + 1.2X₂ + 1.5X₃，说明学习时间、家庭收入和家庭教育水平都对考试分数有正向影响。
高考数学非线性问题知识点
高考数学非线性问题知识点一、引言数学作为一门科学，一直以来都是高考的重要科目之一。
其中，数学的非线性问题是考生们普遍认为较为困难的部分。
本文将重点探讨高考数学非线性问题的知识点，帮助考生们更好地理解和应对这一部分内容。
二、什么是非线性问题在介绍高考数学非线性问题的知识点之前，我们先来了解一下什么是非线性问题。
非线性问题是指不能用线性关系式表达的数学问题。
与线性问题不同，非线性问题的解不再具有简单的直线关系，而是具有曲线、波动等复杂的特征。
三、非线性函数的性质1. 导数的变化在处理非线性问题时，我们需要掌握函数的导数变化对函数性质的影响。
例如，当函数的导数大于零时，函数是单调递增的；当函数的导数小于零时，函数是单调递减的。
这对于理解函数图像的变化以及解题非常重要。
2. 极值点的判定对于非线性函数，我们通常需要找到它的极值点。
极值点可以是函数的最大值或最小值。
判定极值点的方法之一是使用导数。
当函数的导数为零时，该点很可能是极值点。
然后，我们可以对导数的符号进行分析，进一步确认该点的性质。
四、非线性方程的求解除了处理非线性函数外，我们还需要掌握如何求解非线性方程。
求解非线性方程的方法有多种，常见的包括牛顿迭代法、二分法、试位法等。
1. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种有效的求解非线性方程的方法。
它通过不断逼近方程的根，直到满足所需的精度要求。
该方法需要利用函数的导数信息，因此在应用时需要先求出导数，并进行迭代计算。
2. 二分法二分法是一种简单却有效的求解非线性方程的方法。
它利用函数在连续区间上的中间值进行判断，然后不断地缩小区间范围，最终逼近方程的根。
该方法的优点在于不需要求导，适用范围广。
3. 试位法试位法是一种通过区间划分来求解非线性方程的方法。
它将方程的解所在的区间划分为若干段，然后通过函数值的符号变化来判断解所在的区间。
该方法的优点在于可以根据实际情况进行区间的调整，从而更快地逼近方程的根。
五、非线性几何问题的解析方法除了函数和方程的处理外，非线性几何问题也是高考数学中的重要内容。
2023年高考数学复习----回归分析规律方法与典型例题讲解
2023年高考数学复习----回归分析规律方法与典型例题讲解【规律方法】线性回归分析的原理、方法和步骤：（1）利用图表和数字特征可以对数据做简单的分析，但是用回归直线方程可以对数据的未来值进行预测．在选取数据观察的时候，要注意大量相对稳定的数据比不稳定的数据更有价值，近期的数据比过去久远的数据更有价值．（2）判断两组数据是否具有线性相关关系的方法：散点图，相关系数．（3）相关指数2R与相关系数r在含有一个解释变量的线性回归模型中是等价的量()22=，都是用来判断线性回归模型拟合效果好不好的量．R r（4）利用换元法，可以将一元非线性回归转化为线性回归．【典型例题】例1．（2022春·河南·高三信阳高中校联考期末）随着电池充电技术的逐渐成熟，以锂电池为动力的新一代无绳类电动工具以其轻巧便携､工作效率高､环保､可适应多种应用场景下的工作等优势，被广泛使用．在消费者便携无绳化需求与技术发展的双重驱动下，锂电类无绳电动工具及配套充电器市场有望持续扩大．某公司为适应市场并增强市场竞争力，逐年增加研发人员，使得整体研发创新能力持续提升，现对2017~2021年的研发人数作了相关统计，如下图：2017~2021年公司的研发人数情况（年份代码1~5分别对应2017~2021年）（1）根据条形统计图中数据，计算该公司研发人数y 与年份代码x 的相关系数r ，并由此判断其相关性的强弱；（2）试求出y 关于x 的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数．（结果取整数） 参考数据：()52155960i i y y=−=∑37.4≈．参考公式：相关系数()()niix x y y r −−=∑．线性回归方程的斜率()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==−−=−∑∑，截距ˆˆa y bx =−．附：【解析】（1）由条形统计图，得()11234535x =⨯++++=，2042202983964823205y ++++==，所以()()()()()()5222222123451i i x xx x x x x x x x x x =−=−+−+−+−+−∑()()()()()222221323334353=−+−+−+−+− 10=，()()()()()()()51211611000221762162732iii x x y y =−−=−⨯−+−⨯−+⨯−+⨯+⨯=∑．所以()()57320.982374iix x y y r −−===≈≈⨯∑．因为相关系数0.980.75r ≈>，所以y 与x 具有很强的线性相关关系，且为正相关．（2）()()()2515173273.ˆ210iiii i x x y y bx x ==−−===−∑∑， 所以320ˆˆ73.23100.4ay bx =−=−⨯=， 所以73ˆˆˆ.2100.4ybx a x =+=+． 由题意知，2023年对应的年份代码7x =， 当7x =时，73.ˆˆ27100.4612.8ˆybx a =+=⨯+=， 故预测2023年该公司的研发人数约为613人．例2.（2022春·广东·高三校联考阶段练习）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y 和平均温度x 有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．（1）根据散点图判断，y bx a =+与e dxy c =（其中e 2.718=为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y 关于x 的回归方程，（计算结果精确到0．01） （2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，假设该地每年平均温度达到28℃以上的概率为13．该地今后4年中至少有两年需要人工防治的概率．附：回归方程()1122211()()ˆˆˆˆˆˆˆ,,====−−−=+===−−−∑∑∑∑n niii ii i nniii i x x y y x y nxyybx a b ay bx x x xnx ． 【解析】（1）由散点图可以判断，e dxy c =适宜作为卵数y 关于温度x 的回归方程类型．对e dxy c =两边取自然对数，得ln ln y c dx =+，令ln ,ln ˆˆˆ,z y a c b d ===，则ˆˆˆz bxa =+， 由数据得21232527293133277x ++++++==，71736.6i ii x zxz =−=∑，()77222117112i i i i x x x x ==−=−=∑∑，所以717221736.6ˆ0.331127i i i i i x z xzbxx ==−==≈−∑∑， 3.60.3327 5.31ˆˆaz bx =−=−⨯=−， 所以z 关于x 的线性回归方程为ˆ0.33 5.31zx =−， 则y 关于x 的回归方程为0.33 5.31ˆe x y−=； （2）若今后4年中有X 年需要人工防治，且服从1(4,)3X，所以，今后4年中至少有两年需要人工防治的概率431421233111C 3338127P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 例3.．（2022·全国·模拟预测）住房和城乡建设部等六部门发布通知提出，到2025年，农村生活垃圾无害化处理水平明显提升．我国生活垃圾主要有填埋、焚烧与堆肥三种处理方式，随着我国垃圾处理结构的不断优化调整，焚烧处理逐渐成为市场主流．根据国家统计局公布的数据，对2013—2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y （单位：座）进行统计，得到如下表格：（1）由表中数据可知，可用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系，请用相关系数加以说明；（精确到0．01）（2）求出y 关于x 的线性回归方程，并预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；（3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用所求的线性回归方程预测吗？请简要说明理由．参考公式：相关系数()()niix x y y r −−=∑y bx a =+$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121nii i nii xx y yb xx==−−=−∑∑，a y bx =−$$．参考数据：812292i i y ==∑，821204ii x ==∑，821730348ii y ==∑，8112041i i i x y ==∑，2573328329=，10.2585.84≈．【解析】（1）由题意，12345678982x +++++++==，229257382y ==，相关系数()()8iix x y y r −−==∑88−∑i ix y x y9573120418−⨯⨯==17270.9820.585.84≈≈⨯，因为y 与x 的相关系数0.98r ≈，接近于1，所以y 与x 的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系； （2）由题意，()()()8811882221188iii ii i iii i x x y y x y x yb x x xx====−−−===−−∑∑∑∑957312041817272241.12814220484−⨯⨯=≈−⨯， 573941.12101.4622a y bx =−≈−⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为41.12101.46y x =+， 易知2022年对应的年份代码10x =，当10x =时，41.1210101.46512.66513y =⨯+=≈，所以预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数为513；（3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，不能用所求线性回归方程预测， 理由如下（说出一点即可）：①线性回归方程具有时效性，不能预测较远情况；②全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数有可能达到上限，一段时间内不再新建； ③受国家政策的影响，可能产生新的生活垃圾无害化处理方式．。
2024届高考二轮复习文科数学课件：巧转化速解非线性回归问题
=1
^
^
6.435
所以 =
≈2.12, =3.55-2.12×2.55≈-1.86,
3.035
所以模型 y=m
^
+n 的回归方程为 =2.12
-1.86.
6
2
(2) ∑ ( -) =(-2.65)2+(-1.55)2+0.652+0.352+1.652+1.552≈15.1,
=1
所以 r1=
r2=
5.55
2.2× 15.1
6.435
3.035× 15.1
≈
=
5.55
33.22
6.435
45.83
≈
≈
5.55
≈0.964,
5.76
6.435
≈0.951,
6.77
因为r1更接近1,所以模型y=2.52ln x-0.99的拟合效果更好,则次年2月净利
润为y≈2.52ln 14-0.99≈5.6(万元).
业情况进行调查统计,得到的数据如下:
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
6
月份x
净利润
0.9
2.0
4.2
y/万元
8
10
12
3.9
5.2
5.1
(1)设 μi=ln xi,vi= .试建立 y 关于 x 的非线性回归方程 y=aln x+b 和
y=m +n(保留 2 位小数);
(2)从相关系数的角度确定哪一个模型的拟合效果更好,并据此预测次年2
c=ln a,则μ=bv+c;
(2)指数曲线:y=aebx,两边取对数可得ln y=ln a+bx,令μ=ln y,c=ln a,则
新高考数学复习考点知识专题讲义33---非线性回归问题
新高考数学复习考点知识专题讲义第33讲 非线性回归问题通过变量间的相关关系对两个变量进行统计分析是数学的重要应用．其中非线性回归问题具有十分重要的现实意义．例二手车经销商小王对其所经营的A 型号二手汽车的使用年数x 与销售价格y (单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据：使用年数x 2 3 4 5 6 7 售价y 20 12 8 6.4 4.4 3 z ＝ln y3.002.482.081.861.481.10下面是z 关于x 的折线图：(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z 与x 的关系，请用相关系数加以说明； (2)求y 关于x 的回归方程，并预测当某辆A 型号二手车使用年数为9年时售价约为多少；(b ^，a ^小数点后保留两位有效数字)(3)基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年．参考公式：b ^＝i ＝1n (x i －x )(y i －y )i ＝1n (x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x ，r ＝i ＝1n (x i －x )(y i －y )i ＝1n (x i －x )2i ＝1n (y i －y )2.参考数据：∑i ＝16x i y i ＝187.4，∑i ＝16x i z i ＝47.64，∑i ＝16x 2i ＝139，i ＝16(x i －x )2＝4.18，i ＝16(y i －y )2＝13.96，i ＝16(z i －z )2＝1.53，ln1.46≈0.38，ln0.7118≈－0.34.解(1)由题意，知x ＝16×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5， z ＝16×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，又∑i ＝16x i z i ＝47.64，i ＝16(x i －x )2＝4.18，i ＝16(z i －z )2＝1.53，∴r ＝47.64－6×4.5×24.18×1.53＝－ 6.366.395 4≈－0.99，∴z 与x 的相关系数大约为－0.99，说明z 与x 的线性相关程度很高． (2)b ^＝47.64－6×4.5×2139－6×4.52＝－6.3617.5≈－0.36， ∴a ^＝z －b ^x ＝2＋0.36×4.5＝3.62， ∴z 与x 的线性回归方程是z ^＝－0.36x ＋3.62， 又z ＝ln y ，∴y 关于x 的回归方程是y ^＝e －0.36x ＋3.62. 令x ＝9，得y ^＝e －0.36×9＋3.62＝e 0.38， ∵ln 1.46≈0.38，∴y ^≈1.46.即预测当某辆A 型号二手车使用年数为9年时售价约为1.46万元． (3)当y ^≥0.711 8，即e －0.36x ＋3.62≥0.711 8＝e ln 0.711 8≈e －0.34时， 则有－0.36x ＋3.62≥－0.34，解得x ≤11，因此，预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年．非线性回归方程的求法(1)根据原始数据作出散点图． (2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．(3)作恰当变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程． (4)在(3)的基础上通过相应变换，即可得非线性回归方程．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，于是对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)的数据进行了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值．x y wi ＝18(x i －x )2i ＝18(w i －w )2i ＝18(x i －x )·(y i －y )i ＝18(w i －w )·(y i －y ) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469108.8注：表中w i ＝x i ，w ＝18 i ＝18w i .(1)根据散点图判断，y ^＝a ^＋b ^x 与y ^＝c ^＋d ^x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程模型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 之间的关系为z ^＝0.2y －x ，根据(2)的结果回答下列问题．①当年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？解(1)由散点图可以判断，y ^＝c ^＋d ^x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程模型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝i ＝18(w i －w )(y i －y )i ＝18(w i －w )2＝108.81.6＝68，c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值为 y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值为z ^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ^＝0.2×(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12，所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．。
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非线性回归问题
两个变量不呈线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型。
分析非线性回归问题的具体做法是： （1）若问题中已给出经验公式，这时可以将变量x 进行置换（换元），将变量的非线性关系转化为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决．
（2）若问题中没有给出经验公式，需要我们画出已知数据的散点图，通过与各种已知函数（如指数函数、对数函数、幂函数等）的图象作比较，选择一种与这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，将问题化为线性回归分析问题来解决． 下面举例说明非线性回归分析问题的解法．
例1 在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度y 与析出银的光学密度x 由公式
e b
x
y A =（b <0）表示，现测得实验数据如下：
试求对的回归方程．
分析：该例是一个非线性回归分析问题，由于题目中已给定了要求的曲线为e
b
x
y A =（b <0）类型，我们只要通过所给的11对样本数据求出A 和b ，即可确定x 与y 的相关关系的曲线方程．
解：由题意可知，对于给定的公式e b
x
y A =（b <0）两边取自然对数，得ln ln b y A x
=+． 与线性回归方程对照可以看出，只要取1
u x
=
，ln v y =，ln a A =，就有v a bu =+，这是v 对u 的线性回归直线方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数b 和a ． 题目中所给数据由变量置换1
u =
，ln v y =变为如表所示的数据：
由于｜r ｜=0.998>0.602，可知u 与v 具有很强的线性相关关系． 再求得0.146b =-，0.548a =，
∴v =0.5480.146u -，把u 和v 置换回来可得0.146
ln 0.548y x
=-
， ∴0.1460.1460.1460.5480.548
e
1.73x
x
x
y e
e
e
-
-
-
===，
∴回归曲线方程为0.1461.73e
x
y -
=．
点评：解决本题的思路是通过适当的变量置换把非线性回归方程转化为线性回归方程，
然后再套用线性回归分析的解题步骤．
（2）求出y 对x 的回归方程． 解析：（1）作出散点图如图1所示．
（2）由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线e bx
y c =（c ＞0）的周围，则
ln ln y bx c =+．
令ln ln z y a c ==，，则z bx a =+．
相应的散点图如图2． 从图2可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合．
由表中数据得到线性回归方程为0.69 1.115z x =+．因此 细菌的繁殖个数对温度的非线性回归方程为0.69 1.115e x y +=．
点评：通过作散点图看出，本题是一个非线性回归问题，通过变量置换转化为线性回归问题求解的．值得注意的是，本题的数据与回归曲线是拟合得相当好的，这表明确定性关系（如公式、函数关系式）和相关关系之间并没有一条不可逾越的鸿沟．由于有实验误差、测量误差等存在，变量之间的确定性关系往往通过相关关系表现出来；反过来，在有些问题中，可以研究相关关系来深入了解变量变化的内在规律，从而找到它们的确定性关系．。