(整理)常数项级数的审敛法

n 1n 1§ 11-2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数： U n U n 0⑴n 1显然，部分和数列s n 单调增加：s 1 s 2Sn . s n1.收敛准则定理1正项级数 U n 收敛部分数列S n 有界.n 1n例1判别正项级数亠的收敛性定理2设 U n 和V n 都是正项级数，且U n V . (nn 1n 1则 U n 收敛；反之, n 1 若 U n 发散，则 V n 发散.n 1 n 1 分析: V nn 1，贝U U n 的部分和 n 1 S n U 1 U 2 U n V 1 V 2 V n (n 1,2,),即S n 有界，由TH1知 U n 收敛。

反之，设n 1U n 发散，则n 1V n n 1必发散.因为若V n 收敛，由上面已证结论知 U n 也收敛，与假设矛盾n 11解「sin 2 22221 1 I 2n1 1 22Sin 2n1 1 1 2n2 222n1有上界 级数收敛1,2,).若 V n 收敛,n 12.比较审敛法推论 设 U n 和 V n 都是正项级数，如果级数 V n 收敛，且存在自然数 N,使n 1n 1kv n (k 0)成立，则级数 u n 收敛；如果级数 v n 发散，且当n Nn 1n 1分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数 k ，以及去掉级数前面的有限项不会 影响级数的收敛性.注：比较审敛法的：必须有参考级数。

常用：几何级数， p —级数(调级数)例3判别下列级数的敛散性. 当n N 时有U n 时有 u n kv n (k 0)成立,则级数 U n 发散.n 1例2讨论p —级数⑵的收敛性，其中常数p>0.1，当n则書n时,1丄，但调和级数发散，故级数(2)发散. n有1 n pIn 1n p2dxx(nn p 1n 2,3,考虑级数(n 1) 级数(3)的部分和sn1 2卩11 3p 11 =1 1(n 1)p1 = (n 1)p 1因S n 1 .故级数(3)收敛. 由推论 1知，级数⑶当p>1时收敛.总之：p —级数(2)当p 1时发散，当p>1时收敛.(1).n n 121 n 5n 2U nn12 2^2n 5n 2n 8n丄发散，原级数发散 n 1 n(2).1 . 1 sin — n〔 n 1 n 1 U n 原级数收敛3. 比较审敛法的极限形式定理3设 u n 和n 1V n 都是正项级数,n 10 或 lim 土nV n例4判别下列级数的敛散性.4. 比值审敛法能发散.（证略，可参考教材） 例5判别下列级数的敛散性:(1)3 n n lim U n 1 - 1,级数收敛n 13n U n 3⑵n!nlim U n 1 lim n 1 级数发散n 1 2n U nn 2⑶n 1 nxn 1x 0lim U n 1 x0 x 1收敛,x 1 发散x 1发散n U n5.根值审敛法----柯西判别法(1)如果 lim unnV n(0 I）,且级数V n 收敛，则级数 U n 收敛;n 1n 11(1) si nn 1 n.1 sinlim n n 10,丄发散 原级数发散n 1 n⑵ 2nta nn 13li mn1 2ntan]3nn2 3n2收敛收敛3，且级数 V n 发散，则级数 U n 发散n 1n 1(2)如果 limU nnV n 定理4设 u n 为正项级数，如果n 1lim 山 nU n则当1级数收敛;U n 11 (或 limnU n）时级数发散； 1时级数可能收敛也可例7判别下列级数的敛散性二、交错级数及其审敛法)；(2) limu n 0,n则级数收敛，且其和S U 1,其余项r n 的绝对值r交错级数：U 1 U 2 U 3U 4(4)U 1 U 2 U 3U 4,其中U i ,u都是正数.定理7（莱布尼兹定理）如累交错级数(1)n1U n 满足条件:n 1定理5设 U n 为正项级数，如果lim n U nn 1n,则当 1时级数收敛， 1（或Hm nU n）时级数发散， 例6判别下列级数的敛散性1时级数可能收敛也可能发散.（证略，可参考教材）nU n n11Zn-0(nnn）1,级数收敛—5‘n imn ,n 31,级数发散6根限审敛法（与p —级数作比较）定理6设 u n 为正项级数,n 1(1)如果 lim nu n l 0 或 lim nu nnn，则 U n 发散;n 1⑶如果p 1,而limn p u nl 0nU n 收敛。

(1 ) sinn 1 nlim nu n n li msin — n n(2) tan —2n 1 nlim n 2U nnlim tan 飞 n~2n分析：先证明Sn的极限存在,为此把S2n写成两种形式：S2n (U i U2) (U3 U4) (U2n 1 U2n)S2n U1 (U2 U3) (U4 U5) (U2n 2 U?n 1) U2n -根据条件(1)知所有括弧中的差非负的•由第一种形式可见S2n单调增，由第二种形式可见S2n U1 ，因单调有界数列必有极限，当n S2n趋于一个极限S，且lim s2n s u1.n再证明前2n 1项的和S2n+1的极限也是S,事实上, S2n 1 S2n U?.—由条件⑵知lim U2n 10 ,因此lim s2n 1n n”叫U2n1)S.由于lim S2n 1lim s2n n n S,故(1)n 1n 1U n收敛于和取后r n (u n 1 U n 2 ), r n U n1 U n 2上式右端是一个交错级数，它满足收敛的两个条件, 所以U n 1 .证毕.例8判别级数 d 的敛散性。

n 11 1解 U n -—— U n 1 (n 1,2n n 1所以它是收敛的，且其和S 1 0三、绝对收敛与条件收敛任意项级数： U 1 U 2 U 3 U 4 ，它的各项为任意实数绝对值级数： U n 为正项级数，如果 U n 收敛，则称级数 U n 绝对收敛;n 1n 1n 1如果级数 U n 收敛,而 U n 发散，则称 U n 条件收敛。

n 1n 1n 1)，lim U nnli m定理8 如果级数 U n 绝对收敛，则级数 U n 必定收敛.n 1n 1分析：1U n 收敛，令 V n -(U nU n ) (n 1,2,),显然 V .且n 12V n U n(n 1,2,).由比较审敛法知 V n 收敛，从而 2V n 也收敛.n 1n 1而 U n 2V n U n ,U n2V nU n ,所以 U n 收敛。

n 1n 1n 1n 1注意上述定理的逆定理并不成立.TH8说明,对 U n ,若用正项级数的审敛法判定|Un 收敛。

一般地，若 |山发n 1n 1n 1散不能断定 U n 也发散，但是若用比值审敛法或根值审敛法判定U n 发散，则可断n 1n 1定 U n 发散，因为从这两个审敛法的证明知，上述两种审敛法判定 U n 发散的依据n 1n 1是U n 不趋于0( n ),故 U n 发散。

n 1例9判别下列级数的敛散性：小结：本节介绍了常数项级数(五个定义)的审敛法，要熟练掌握比较审敛法、比值审敛 法、莱布尼兹判别法等(八个定理)，会利用级数收敛的必要条件判别发散级数2 1 练习.2七n 1 n1如(2绝对收敛n 1 n(1)n1条件收敛(1)(1)n1n 1n cos — 6 2n绝对收敛⑵(1)n1n 1n pp 0发散 0 p 1条件收敛 p 1绝对收敛2 Sir V(1) U n U n 1 (n 1,2,3,。