(整理)常数项级数的审敛法

n 1

n 1

§ 11-2 常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

正项级数： U n U n 0

⑴

n 1

显然，部分和数列s n 单调增加：s 1 s 2

Sn . s n

1.收敛准则

定理1正项级数 U n 收敛部分数列S n 有界.

n 1

n

例1判别正项级数

亠的收敛性

定理2设 U n 和

V n 都是正项级数，且U n V . (n

n 1

n 1

则 U n 收敛；反之, n 1 若 U n 发散，则 V n 发散.

n 1 n 1 分析: V n

n 1

，贝U U n 的部分和 n 1 S n U 1 U 2 U n V 1 V 2 V n (n 1,2,

),

即S n 有界，由TH1知 U n 收敛。反之，设

n 1

U n 发散，则

n 1

V n n 1

必发散.因为若

V n 收敛，由上面已证结论知 U n 也收敛，与假设矛盾

n 1

1

解「

sin 2 22

22

1 1 I 2n

1 1 2

2

Sin 2n

1 1 1 2n

2 22

2n

1有上界 级数收敛

1,2,).若 V n 收敛,

n 1

2.比较审敛法

推论 设 U n 和 V n 都是正项级数，如果级数 V n 收敛，且存在自然数 N,使

n 1

n 1

kv n (k 0)成立，则级数 u n 收敛；如果级数 v n 发散，且当n N

n 1

n 1

分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数 k ，以及去掉级数前面的有限项不会 影响级数的收敛性.

注：比较审敛法的：必须有参考级数。常用：几何级数， p —级数(调级数)

例3判别下列级数的敛散性. 当n N 时有U n 时有 u n kv n (k 0)成立,则级数 U n 发散.

n 1

例2讨论p —级数

⑵的收敛性，其中常数p>0.

1，当n

则書

n

时,

1

丄，但调和级数发散，故级数(2)发散. n

有

1 n p

I

n 1

n p

2dx

x

(n

n p 1

n 2,3,

考虑级数

(n 1) 级数(3)的部分和

s

n

1 2卩

1

1 3p 1

1 =1 1

(n 1)p1 = (n 1)p 1

因S n 1 .故级数(3)收敛. 由推论 1知，级数⑶当p>1时收敛.

总之：p —级数(2)当

p 1时发散，当p>1时收敛.

(1).

n n 1

2

1 n 5n 2

U n

n

1

2 2^2

n 5n 2n 8n

丄发散，原级数发散 n 1 n

(2).

1 . 1 sin — n

〔 n 1 n 1 U n 原级数收敛

3. 比较审敛法的极限形式

定理3设 u n 和

n 1

V n 都是正项级数,

n 1

0 或 lim 土

n

V n

例4判别下列级数的敛散性.

4. 比值审敛法

能发散.（证略，可参考教材） 例5判别下列级数的敛散性:

(1)

3 n n lim U n 1 - 1,

级数收敛

n 13

n U n 3

⑵

n!

n

lim U n 1 lim n 1 级数发散

n 1 2

n U n

n 2

⑶

n 1 nx

n 1

x 0

lim U n 1 x

0 x 1收敛,

x 1 发散

x 1发散

n U n

5.根值审敛法----柯西判别法

(1)如果 lim u

n

n

V n

(0 I

）,且级

数

V n 收敛，则级数 U n 收敛;

n 1

n 1

1

(1) si n

n 1 n

.1 sin

lim n n 1

0,

丄发散 原级数发散

n 1 n

⑵ 2n

ta n

n 1

3

li m

n

1 2n

tan]

3n

n

2 3

n

2

收敛收敛

3

，且级数 V n 发散，则级数 U n 发散

n 1

n 1

(2)如果 lim

U n

n

V n 定理4设 u n 为正项级数，如果

n 1

lim 山 n

U n

则当

1级数收敛;

U n 1

1 (或 lim

n

U n

）时级数发散； 1时级数可能收敛也可