河北省衡水中学2017届高考数学复习备考课件
程序框图 二项式定理 三视图 函数与导数 偶函数 解析几何 线性规划
16
线性规划
解三角形
解三角形
函数
数列
题号 1 2
3 4 5
2016年
集合
复数 数列 几何概型 双曲线
2015年
复数
三角恒等变形
2014年
集合
复数
函数的性质
2013年 2012年
集合
复数 概率 双曲线 算法
集合
概率 复数 解析几 何 数列
2015各个小题考查的能力或数学思想一览表 题号 1 2015年 复数 考查的能力或者思想 运算求解能力
2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
三角恒等变形
简易逻辑 概率 双曲线 圆锥的体积 平面向量 三角函数图像 程序框图 二项式定理 三视图 函数与导数
运算求解能力
应用意识 数形结合 运算求解能力，应用能力和估算能力 数形结合 数形结合能力，逻辑推理能力 算法思想 数形结合，运算求解能力 空间想象能力 逻辑推理能力，运算求解能力
7
8 9 10 11 12 13 14 15 16
函数图像
不等式 程序框图 解析几何 立体几何
三角函数图像
数形结合思想，逻辑思维能力
函数思想 算法思想 运算求解能力、数形结合思想 空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力 逻辑推理能力、创新意识 数形结合思想 运算求解能力 运算求解能力 应用意识
向量 二项式定理 数列 线性规划
13
14 15 16
偶函数
解析几何 线性规划 解三角形
数形结合思想
运算求解能力 数形结合思想 运算求解能力
2016各个小题考查的能力或数学思想一览表 题号 1 2 3 4 5 6 2016年 集合 复数 数列 几何概型 双曲线 三视图 运算求解能力 运算求解能力 概率思想和应用意识 数形结合思想 空间想象能力 考查的能力或者思想
复 第二环节：高考真题的特点规律分析 数 ： 题数：1个 展 示 难度：属于基础题，都在前3个题之内。 运 考查的知识点： 算 求 复数的概念，共轭复数的概念，复数 解 相等，复数的几何意义，复数的四则运算， 能 力 复数的模的计算能力。 的 舞 考查的能力：运算求解能力 台
第三环节：运算求解能力是如何体现
猜想：14年出现的逻辑题，替代了一个立体几何
13年一个数列题替代了线性规划试题。
题号 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2016年 三视图 函数图像 不等式 程序框图 解析几何 立体几何 三角函数图 像 平面向量 二项式定理 数列 线性规划
2015年 圆锥的体积 偶函数
三角函数图像
二、16考题特点分析
4、综合性与创新性
第21题，第一问主要考察学生的分类讨论思 想，属于学生熟悉的题型，第二问需要学生有 较高综合分析能力，巧妙利用对称性结合单调 性，数形结合能够较快的分析出解题思路，从 而有较好的入手点。
三、近三年考点汇总
近三年理科考点汇总
近三年文科考点汇总
四、高考题真题研究
山的沉稳 水的灵动 2016年全国高考理科数学一卷遵循《课 程标准》基本理念，严格贯彻《2016年全国统 一高考考试大纲》基本要求，试卷兼顾了传承 和创新，重视考查学生的基本数学素养，全盘 兼顾知识点、思想方法与能力的考查，关注数 学的应用意识与创新意识，试卷从基础题、中 等题到难题梯度明显，有良好的区分度 。而 整份试卷多角度、多层次、全方位地考查了考 生的数学素养和能力，比较切合新课程的教学 实际。
数学源于生活和实践，数学知识是解决实 际问题的有力工具，16年的考试试题紧密结合 社会实际和考生的现实生活，体现了数学在解 决实际问题中的重要作用和应用价值，体现了 高考改革中加强应用性的特点。
二、16考题特点分析
2、联系实际，体现数学的工具性和应用性
第4题职员坐班车等待时间最少 第16题以高科技企业的材料费和用工的 合理搭配以求最大利润 第19题以企业中采购机器数量以求费用 最低作为决策依据作为命题背景
《考试大纲》对运算求解能力的要求是： （1）会根据法则、公式进行正确运算、 变形和数据处理， （2）能根据问题的条件，寻找与设计 合理、简捷的运算途径； （3）能根据要求对数据进行估计和近 似计算。
复 数 ： 展 示 运 算 求 解 能 力 的 舞 台
平 面 向 一、高考真题和大纲要求一致 量 ： 浑 二、高考真题的特点规律分析 然 天 三、考题如何考查数形结合思想 成 的 数 形 结 合
程序框图
立体几何 （补）
第二组基本模式是（6-9）： 算法，立体几何，三角或函数2个
题号
10 11 12
2016
解析几何 立体几何
三角函数图像
2015
解析几何 三视图 函数与导数
2014
解析几何 函数与导数 三视图
2013
解析几何 函数 数列
2012
函数图像 立体几何 函数图像
第三组基本模式是（10-12）： 解析几何，立体几何，函数与导数
复 第一环节：高考真题和大纲要求一致 数 ： 展 《考试大纲》复数的的要求 示 (1)复数的概念 运 ①理解复数的基本概念。 算 ②理解复数相等的充要条件。 求 ③了解复数的代数表示法及几何意义。 解 能 (2)复数的四则运算 力 ①会进行复数形式的四则运算。 的 ②了解复数代数形式的四则运算。 舞 台
能力
考 纲
知识
考 题
第一步：圈出研究范围
（一）近三年的课标卷试题——重点研究，找趋势
（二）近两年各地方卷试题——综合研究，找特征
（三）归类相同考点的试题——纵向研究，找变化
第二步：锁定研究内容
（一）试题结构：近几年课标1卷中各知识点分值 的变化知识点的变化 （二）重点知识：高频考点、主干知识 （三）考察特点：各考点的考查方式、规律， 考查的题型、方法，数学思想等 （四）评分标准：高考阅卷中的评分原则 （五）命题趋势：17年会如何考？
题号 13 14 15 16
2016 平面向量 二项式定理 数列 线性规划
2015 平面向量 二项式定理 线性规划 解三角形
2014 二项 线性规划 平面向量、 解三角形
2013 平面向量 数列 三角 函数
2012 平面向量 线性规划 概率 数列
第四组基本模式是（13-16）：
平面向量，二项式定理，数列，三角或数列各1个
2、平面向量：浑然天然的数形结合思想 3、三角函数：周期性独一无二核心标志 4、数 列：与合情推理演绎独特风景 5、函数导数：数学能力思想的集大成者 6、解析几何：多思考少计算的最佳代表
复 数 ： 展 示 运 算 求 解 能 力 的 舞 台
一、高考真题和大纲高度吻合 二、高考真题的特点规律分析
三、考题如何考查运算求能力
近5年新课标卷考点汇总表
题号 2016年 2015年 2014年 2013年 2012年
1
2 3 4
集合
复数 数列 几何概型
复数
三角恒等变形
集合
复数 函数的性质 双曲线
集合
复数 概率 双曲线
集合
概率 复数 解析几何
简易逻辑 概率
5
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
双曲线
三视图 函数图像 不等式 程序框图 解析几何 立体几何 三角函数图像 平面向量 二项式定理 数列
二、16考题特点分析
4、综合性与创新性
第12题，以三角函数知识为依托，结合三 角函数的零点及对称轴、单调区间、考查学生 对知识点的细节分析能力
第20题，第一问回归本质，需要学生基于椭 圆的基本定义进行探索分析，使用了简单的平面 几何知识（平行线分线段成比例定理），第二问 思路环环相扣，逻辑严密，侧重对常规题型的考 察，结合了弦长与面积的常规解法，计算量较大。
2013年 立体几何 数列 三视图 二项式 解析几何 函数 数列 向量 数列 三角 函数
2012年 算法 三视图 三角 双曲线 函数图像 立体几何 函数图像 平面向量 线性规划 概率 数列
程序框图 二项式定理 三视图 函数与导数 偶函数 解析几何 线性规划 解三角形
线性规划 解析几何 函数与导数 三视图 二项式 逻辑 平面向量、 解三角形
双曲线
圆锥的体积 平面向量
三角函数图像
概率
三角函数 程序框图 三角恒等变形 线性规划 解析几何 函数与导数 三视图 二项式 逻辑 平面向量
算法
立体几何 数列 三视图 二项式 解析几何 函数 数列 平面向量 数列 三角
数列
算法 三视图 三角 双曲线 函数图像 立体几何 函数图像 平面向量 线性规划 概率
二、16考题特点分析
3、注重能力，突出方法和思想
空间想象能力：6、11、19 运算求解能力：1、2、3、14、17、24 数据处理能力：9、16、19 推理论证能力：8、12、17、20、21
二、16考题特点分析
3、注重能力，突出方法和思想
数学思想方法是知识综合的统帅和纽带，是 综合能力的中心。近几年的数学试题均注重了考 查学生对数学思想方法的应用能力，今年也不例 外，对几种常见的数学思想方法考查的力度均有 所体现，这也体现了命题整体思路的稳定性。
复 数 ： 展 示 运 算 求 解 能 力 的 舞 台
年份 2016 2015 2014
2013
2012 2011 2010
序号 考查目标 2 考查复数的概念，复数的代数形式的恒等变形 和复数模的计算，考查运算求解能力 1 考查复数的概念，复数的代数形式的恒等变形 和复数模的计算，考查运算求解能力 1 考查复数的概念，复数的代数形式的恒等变形， 考查运算求解能力 2 考查复数有关的概念，复数的代数形式运算， 复数模的计算 3 考查复数有关的概念，复数的代数形式运算， 复数模的计算，命题的真假判断。 1 考查复数的概念，复数的代数形式的恒等变形， 考查运算求解能力 2 考查复数的有关概念，复数的代数形式的恒等 变形，考查运算求解能力
衡水课件：高考数学复习讲座 ppt
脑内投篮
Yao
•
一位心理学家曾做过这样的实验，把一些身 体状况基本相同的学生分成三组，进行不同方式 的投篮技巧训练： • 第一组学生坚持在20天内每天练习投篮，并 把第一天和最后的投篮成绩记录下来。中间练习 时，不提出任何要求，顺其自然。 • 第二组学生也记录下第一天和第二十天投篮 的成绩，但是在此期间不再做任何投篮练习。 • 第三组学生记录下第一天的投篮成绩，然后 每天花20分钟做想象中的投篮。如果投篮不中时， 他们便在想象中对此作相应的纠正。
所以四边形ACBE为正方形. 由PA⊥面ABCD得 ∠PEB=90° P E M 在Rt△PEB中 BE= 2 ，PB= 5 ，
A
BE 10 cos PBE . PB 5
B
D
C
AC与PB所成的角为 arccos
10
.
（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN. 在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB， ∴△AMC≌△BMC, ∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角. ∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC， 在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.
B.b 0且c 0, D.b 0且c 0.
y
x
0
1
2
• 中学数学中的数学思想方法定为三个层面： （1）一般的数学方法：如配方法，换元法， 消去法割补法，待定系数法，数学归纳法等。 （2）一般的逻辑方法：如综合法，分析法， 归纳法类比法，反证法等。 （3）数学的思想方法：如函数与方程的思想； 数形结合的思想；分类与整合的思想；转化 与化归的思想;特殊与一般的思想；有限与 无限的思想；或然与必然的思想等。
在等腰三角形AMC中， AC 2 AN· MC= 2 CM ( ) AC 2
最新2017届衡水中学高考复习策略备考会---看高三后期(衡水第一中学)-(共40张ppt)教学讲义
培优有法
细致管理
细致管理之持续激励 细致管理之唤醒梦想 细致管理之凝聚力量 细致管理之榜样引领 细致管理之自主管理 细致管理之班会动员
马静丽：13785839506
病历摘要
--病历分享
姓 名 蔡×× 性 别：男 年 龄： 84岁 籍 贯：天义 就诊时间：2014年11月21日 主 诉：体检发现血小板减少6月。 现病史：患者于6月前体检发现血小板减少，为 30×109/L, 当时考虑“药物相关血小板减少 症”，予患者停用“西洛他唑”，1月后复查 血常规血小板50×109/L, 后未再复查，10天前 患者出现偶有鼻衄，偶有“咳痰带血”，1天 前偶然发现左手瘀斑，遂就诊于我院门诊查血 常规血小板8×109/L。近期患者无发热，无牙 龈出血，无血尿血便，无头晕头痛，无腹痛腹 胀。
常怀感恩
家长视频鼓励
家长书信鼓励
家长QQ 鼓励
倍感欣慰
高考日爱心早餐
于细微处塑造人格 激励学生团结一心
激励学生心怀感恩
激励学生勇担责任
激励学生追求卓越
记得一位教育专家说过：人们在同一年龄对同一知识的学习能力是不一样的， 有早晚之分，也有快慢之分，从而形成自己的学习曲线，一个人如果在短时间 内提高成绩，并不是件难事，但要想改变一个人的行为习惯，改变一个人的思 想则是难上加难，所以在我们对学生的启蒙教育阶段，在学生形成人生观价值 观的过程中，一定要把德育工作放在首位，并且方方面面、时时刻刻的贯穿在 每一个孩子成长的过程中。
问题一
--病历分享
河北省衡水中学高2020届高2017级高三数学二轮复习课件配套课件讲义第1部分 专题5 第3讲
第一部分 专题五 第三讲A 组1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E 是C 1D 1的中点,则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为( B )A.120B.1010C.－1010D.－120【试题解析】 设正方体棱长为1,以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示,则D (0,0,0),E (0,12,1),A (1,0,0),C (0,1,0),所以DE →＝(0,12,1),AC →＝(－1,1,0),则cos 〈DE →,AC →〉＝DE →·AC →|DE →||AC →|＝1214＋1·2＝1010, 则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为1010. 2.已知AB →＝(1,5,－2),BC →＝(3,1,z ),若AB →⊥BC →,BP →＝(x －1,y ,－3),且BP ⊥平面ABC ,则实数x ,y ,z 分别为( B )A.337,－157,4 B.407,－157,4 C.407,－2,4 D.4,407,－15【试题解析】 AB →⊥BC →⇒AB →·BC →＝3＋5－2z ＝0, 所以z ＝4,又BP ⊥平面ABC , 所以BP →·AB →＝x －1＋5y ＋6＝0,① BP →·BC →＝3x －3＋y －3z ＝0,② 由①②得x ＝407,y ＝－157.3.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1,下列命题：①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2,②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0,③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角为60°,④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·A 1A →·AD →|,其中正确命题的序号是( B )A.①③B.①②C.①④D.①②④【试题解析】 如图所示：以点D 为坐标原点,以向量DA →,DC →,DD 1→所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,设棱长为1,则D (0,0,0),A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,1,0),A 1(1,0,1),B 1(1,1,1),C 1(0,1,1),D 1(0,0,1),对于①：A 1A →＝(0,0,－1),A 1D 1→＝(－1,0,0), A 1B 1→＝(0,1,0),所以A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→＝(－1,1,－1),(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3,而A 1B 1→2＝1,所以(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2.所以①正确；对于②：A 1C →＝(－1,1,－1),A 1A →＝(0,0,－1),A 1B 1→＝(0,1,0),所以A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0.所以②正确；对于③：AD 1→＝(－1,0,1),A 1B →＝(0,1,－1),AD 1→·A 1B →＝－1,cos 〈AD 1→,A 1B →〉＝AD 1→·A 1B →|AD 1→||A 1B →|＝－12×2＝－12,所以AD 1→与A 1B →的夹角为120°,所以③不正确；对于④：因为AB →·A 1A →＝0,所以④错误.故选B.4.在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AB ＝4,点D 在棱BB 1上,若BD ＝3,则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角的正切值为( D )A.235B.43C.54D.23913【试题解析】 如图,可得AD →·EB →＝(AB →＋BD →)·EB →＝AB →·EB →＝4×23×32＝12＝5×23×cos θ(θ为AD →与EB →的夹角),所以cos θ＝235,sin θ＝135,tan θ＝396,又因为BE ⊥平面AA 1C 1C ,所以所求角的正切值为23913. 5.在底面是直角梯形的四棱锥S －ABCD 中,∠ABC ＝90°,AD ∥BC ,SA ⊥平面ABCD ,SA ＝AB ＝BC ＝1,AD ＝12,则平面SCD 与平面SAB 所成锐二面角的余弦值是__63__.【试题解析】 如图所示建立空间直角坐标系,则依题意可知D (12,0,0),C (1,1,0),S (0,0,1),可知AD →＝(12,0,0)是平面SAB 的一个法向量.设平面SCD 的法向理n ＝(x ,y ,z ), 因为SD →＝(12,0,－1),DC →＝(12,1,0),所以n ·SD →＝0,n ·DC →＝0,可推出x 2－z ＝0,x 2＋y ＝0,令x ＝2,则有y ＝－1,z ＝1,所以n ＝(2,－1,1).设平面SCD 与平面SAB 所成的锐二面角为θ, 则cos θ＝|AD →·n ||AD →||n |＝12×2＋0×(－1)＋0×1(12)2·22＋(－1)2＋12＝63.6.已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等,M 是侧棱CC 1的中点,则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是__90°__.【试题解析】 延长A 1B 1至D ,使A 1B 1＝B 1D ,连接BD ,C 1D ,DM ,则AB 1∥BD ,∠MBD 就是直线AB 1和BM 所成的角.设三棱柱的各条棱长为2,则BM ＝5,BD ＝22,C 1D 2＝A 1D 2＋A 1C 21－2A 1D ·A 1C 1cos60°＝16＋4－2×4＝12.DM 2＝C 1D 2＋C 1M 2＝13,所以cos ∠DBM ＝BM 2＋BD 2－DM 22·BM ·BD＝0,所以∠DBM ＝90°.7.点P 是二面角α－AB －β棱上的一点,分别在平面α,β上引射线PM ,PN ,如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°,∠MPN ＝60°,那么二面角α－AB －β的大小为__90°__.【试题解析】 不妨设PM ＝a ,PN ＝b ,如图.作ME ⊥AB 于点E ,NF ⊥AB 于点F , 因为∠EPM ＝∠EPN ＝45°, 所以PE ＝22a ,PF ＝22b , 所以EM →·FN →＝(PM →－PE →)·(PN →－PF →) ＝PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF → ＝ab cos60°－a ×22b cos45°－22ab cos45°＋22a ×22b ＝ab 2－ab 2－ab 2＋ab2＝0, 所以EM →⊥FN →,所以二面角α－AB －β的大小为90°.8.如图,在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,A 1A ⊥底面ABCD ,底面四边形ABCD 为菱形,A 1A ＝AB ＝2,∠ABC ＝π3,E ,F 分别是BC ,A 1C 的中点.(1)求异面直线EF ,AD 所成角的余弦值；(2)点M 在线段A 1D 上,A 1MA 1D ＝λ.若CM ∥平面AEF ,,求实数λ的值.【试题解析】 (1)因为由题意知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱, A 1A ⊥平面ABCD .又AE ⊂平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD , 所以A 1A ⊥AE ,A 1A ⊥AD .在菱形ABCD 中,∠ABC ＝π3,则△ABC 是等边三角形,因为E 是BC 中点,所以BC ⊥AE . 因为BC ∥AD ,所以AE ⊥AD .故建立如图所示,以A 为原点,AE 为x 轴,AD 为y 轴,AA 1为z 轴的空间直角坐标系A －xyz .则A (0,0,0),C (3,1,0),D (0,2,0),A 1(0,0,2),E (3,0,0),F (32,12,1).AD →＝(0,2,0),EF →＝(－32,12,1),cos<AD →,EF →>＝AD →·EF →|AD →|·|EF →|＝121＋1＝24,所以异面直线EF ,AD 所成角的余弦值为24. (2)设M (x ,y ,z ),由于点M 在线段A 1D 上,且A 1MA 1D ＝λ,则(x ,y ,z －2)＝λ(0,2,－2).则M (0,2λ,2－2λ),CM →＝(－3,2λ－1,2－2λ). 设平面AEF 的一个法向量为n ＝(x 0,y 0,z 0). 因为AE →＝(3,0,0),AF →＝(32,12,1).由⎩⎪⎨⎪⎧3x 0＝0，32x 0＋12y 0＋z 0＝0，得x 0＝0,12y 0＋z 0＝0, 取y 0＝2,则z 0＝－1,则平面AEF 的一个法向量为n ＝(0,2,－1).由于CM ∥平面AEF ,则n ·CM →＝0,即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0,解得λ＝23.9.(2018·天津卷,17) 如图,AD ∥BC 且AD ＝2BC ,AD ⊥CD ,EG ∥AD 且EG ＝AD ,CD ∥FG 且CD ＝2FG ,DG ⊥平面ABCD ,DA ＝DC ＝DG ＝2.(1)若M 为CF 的中点,N 为EG 的中点,求证：MN ∥平面CDE . (2)求二面角E －BC －F 的正弦值.(3)若点P 在线段DG 上,且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°,求线段DP 的长. 【试题解析】 依题意,可以建立以D 为原点,分别以DA ―→,DC ―→,DG ―→的方向为x 轴,y轴,z轴的正方向的空间直角坐标系(如图),可得D (0,0,0),A (2,0,0),B (1,2,0),C (0,2,0),E (2,0,2),F (0,1,2),G (0,0,2),M (0,32,1),N (1,0,2).(1)依题意DC ―→＝(0,2,0),DE ―→＝(2,0,2).设n 0＝(x ,y ,z )为平面CDE 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧ n 0·DC ―→＝0，n 0·DE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x ＋2z ＝0，不妨令z ＝－1,可得n 0＝(1,0,－1). 又MN ―→＝(1,－32,1),可得MN ―→·n 0＝0,又因为直线MN ⊄平面CDE ,所以MN ∥平面CDE .(2)依题意,可得BC ―→＝(－1,0,0),BE ―→＝(1,－2,2),CF ―→＝(0,－1,2).设n ＝(x 1,y 1,z 1)为平面BCE 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BC ―→＝0，n ·BE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝0，x 1－2y 1＋2z 1＝0，不妨令z 1＝1,可得n ＝(0,1,1).设m ＝(x 2,y 2,z 2)为平面BCF 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC ―→＝0，m ·CF ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝0，－y 2＋2z 2＝0，不妨令z 2＝1,可得m ＝(0,2,1). 因此有cos 〈m ,n 〉＝m ·n |m ||n |＝31010,于是sin 〈m ,n 〉＝1010. 所以,二面角E －BC －F 的正弦值为1010.(3)设线段DP的长为h(h∈[0,2]),则点P的坐标为(0,0,h),可得BP―→＝(－1,－2,h). 易知,DC―→＝(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量,故|cos〈BP―→,DC―→〉|＝|BP―→·DC―→||BP―→||DC―→|＝2h2＋5,由题意,可得2h2＋5＝sin60°＝32,解得h＝33∈[0,2].所以线段DP的长为33.B组1.(2019·浙江卷,19)如图,已知三棱柱ABC－A1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC＝90°,∠BAC＝30°,A1A＝A1C＝AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.【试题解析】方法1：(1)证明：如图①,连接A1E.图①因为A1A＝A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E⊂平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC＝AC,所以A1E⊥平面ABC,则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB,∠ABC＝90°,故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.(2)解：如图①,取BC的中点G,连接EG,GF,则四边形EGF A1是平行四边形.由于A1E⊥平面ABC,故A1E⊥EG,所以平行四边形EGF A 1为矩形. 由(1)得BC ⊥平面EGF A 1, 则平面A 1BC ⊥平面EGF A 1,所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上. 连接A 1G 交EF 于点O ,则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角(或其补角). 不妨设AC ＝4,则在Rt △A 1EG 中,A 1E ＝23,EG ＝ 3. 由于O 为A 1G 的中点,故EO ＝OG ＝A 1G 2＝152,所以cos ∠EOG ＝EO 2＋OG 2－EG 22EO ·OG ＝35.因此,直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35.方法2：图②(1)证明：连接A 1E .因为A 1A ＝A 1C ,E 是AC 的中点,所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ,A 1E ⊂平面A 1ACC 1,平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC , 所以A 1E ⊥平面ABC .如图②,以点E 为原点,分别以射线EC ,EA 1为y ,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系E -xyz . 不妨设AC ＝4,则A 1(0,0,23),B (3,1,0),B 1(3,3,23),F 32,32,23,C (0,2,0). 因此,EF →＝⎝⎛⎭⎫32，32，23,BC →＝(－3,1,0).由EF →·BC →＝0,得EF ⊥BC .(2)解：设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ. 由(1)可得BC →＝(－3,1,0),A 1C →＝(0,2,－23). 设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ,y ,z ).由⎩⎪⎨⎪⎧BC →·n ＝0，A 1C →·n ＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，y －3z ＝0.取n ＝(1, 3,1),故sin θ＝|cos 〈EF →,n 〉|＝|EF →·n ||EF →|·|n |＝45,所以cos θ＝35.因此,直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35.2.(2018·全国卷Ⅰ,18)如图,四边形ABCD 为正方形,E ,F 分别为AD ,BC 的中点,以DF 为折痕把△DFC 折起,使点C 到达点P 的位置,且PF ⊥BF .(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD . (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.【试题解析】 (1)由已知可得,BF ⊥PF ,BF ⊥EF ,PF ∩EF ＝F , 所以BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ,所以平面PEF ⊥平面ABFD . (2)方法一：作PH ⊥EF ,垂足为H . 由(1)得,PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点,HF ―→的方向为y 轴正方向,设正方形ABCD 的边长为2,建立如图所示的空间直角坐标系H -xyz .由(1)可得,DE ⊥PE .又DP ＝2,DE ＝1,所以PE ＝ 3. 又PF ＝1,EF ＝2,故PE ⊥PF . 可得PH ＝32,EH ＝32.则H(0,0,0),P⎝⎛⎭⎫0，0，32,D⎝⎛⎭⎫－1，－32，0,DP―→＝⎝⎛⎭⎫1，32，32,HP―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32为平面ABFD的一个法向量.设DP与平面ABFD所成角为θ,则sinθ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪HP―→·DP―→|HP―→|·|DP―→|＝343＝34.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为34.方法二：因为PF⊥BF,BF∥ED,所以PF⊥ED.又PF⊥PD,ED∩DP＝D,所以PF⊥平面PED.所以PF⊥PE,设AB＝4,则EF＝4,PF＝2,所以PE＝2 3.过P作PH⊥EF交EF于H点,由平面PEF⊥平面ABFD,所以PH⊥平面ABFD,连接DH,则∠PDH即为直线DP与平面ABFD所成的角.由PE·PF＝EF·PH,所以PH＝23×24＝3,因为PD＝4,所以sin∠PDH＝PHPD＝34.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为34.3.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB＝2,CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE；【试题解析】 (1)设AC 与BD 交于点G ,因为EF ∥AG ,且EF ＝1,AG ＝12AC ＝1,所以四边形AGEF 为平行四边形.所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ,AF ⊄平面BDE ,所以AF ∥平面BDE .(2)因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直,且CE ⊥AC ,所以CE ⊥平面ABCD .如图以C 为原点,建立空间直角坐标系C －xyz .则C (0,0,0),A (2,2,0),D (2,0,0),E (0,0,1),B (0,2,0),F (22,22,1).所以CF →＝(22,22,1),BE →＝(0,－2,1),DE →＝(－2,0,1).所以CF →·BE →＝0－1＋1＝0,CF →·DE →＝－1＋0＋1＝0.所以CF ⊥BE ,CF ⊥DE ,所以CF ⊥平面BDE .又∵BE ∩DE ＝E ,BE 、DE ⊂平面BDE .(3)由(2)知,CF →＝(22,22,1)是平面BDE 的一个法向量,设平面ABE 的法向量n ＝(x ,y ,z ),则n ·BA →＝0,n ·BE →＝0.即⎩⎨⎧(x ，y ，z )·(2，0，0)＝0(x ，y ，z )·(0，－2，1)＝0 所以x ＝0,z ＝2y .令y ＝1,则z ＝ 2.所以n ＝(0,1,2),从而cos 〈n ,CF →〉＝n ·CF →|n ||CF →|＝32 因为二面角A －BE －D 为锐角,所以二面角A －BE －D 为π6. 4.(2018·北京卷,16)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CC 1⊥平面ABC ,D ,E ,F ,G 分别为AA 1,AC ,A 1C 1,BB 1的中点,AB ＝BC ＝5,AC ＝AA 1＝2.(1)求证：AC ⊥平面BEF .(3)证明：直线FG 与平面BCD 相交.【试题解析】 (1)因为CC 1⊥平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,所以CC 1⊥AC .在平行四边形A 1ACC 1中,E ,F 分别是AC ,A 1C 1的中点,所以EF ∥CC 1,所以AC ⊥EF .在△ABC 中,AB ＝BC ,E 是AC 的中点,所以AC ⊥BE .又因为AC ⊥EF ,BE ,EF ⊂平面BEF ,BE ∩EF ＝E ,所以AC ⊥平面BEF .(2)如图,建立空间直角坐标系E -xyz ,则E (0,0,0),A (1,0,0),B (0,2,0),C (－1,0,0),A 1(1,0,2),B 1(0,2,2),C 1(－1,0,2),D (1,0,1),F (0,0,2),G (0,2,1),显然EB ―→＝(0,2,0)是平面CDC 1的一个法向量,设m ＝(x ,y ,z )是平面BCD 的一个法向量,又BC ―→＝(－1,－2,0),BD ―→＝(1,－2,1),所以⎩⎪⎨⎪⎧－x －2y ＝0，x －2y ＋z ＝0，不妨取y ＝1,则x ＝－2,z ＝4, 所以平面BCD 的一个法向量为m ＝(－2,1,4),cos 〈EB ―→,m 〉＝EB ―→·m |EB ―→||m |＝0＋2×1＋02×(－2)2＋12＋42＝2121, 由图知,二面角B -CD -C 1为钝角,所以二面角B -CD -C 1的余弦值为－2121. (3)方法一：记CD ,EF 交点为I ,连接BI ,由(1)及已知,EF ∥CC 1,CC 1∥BB 1,所以EF ∥BB 1,直线BG 与直线FI 共面.又因为BG ＝12BB 1＝12AA 1＝A 1D ,A 1D <FI , 所以四边形BGFI 是梯形,直线FG 与直线BI 一定有交点,又因为BI ⊂平面BCD ,FG ⊄平面BCD ,所以直线FG 与平面BCD 相交.方法二：反证法.显然FG ⊄平面BCD ,假设FG ∥平面BCD ,下面推出矛盾. 记CD ,EF 交点为I ,连接BI ,因为FG ∥平面BCD ,平面BCD ∩平面BGFI ＝BI ,所以FG ∥BI .由(1)及已知,EF ∥CC 1,CC 1∥BB 1,所以EF ∥BB 1,即BG ∥FI ,所以四边形BGFI 是平行四边形,所以BG ＝FI .这与BG ＝12BB 1＝12AA 1＝A 1D <FI ,矛盾, 所以直线FG 与平面BCD 相交.。
2017版高考数学一轮总复习课件：第4章 三角函数、解三角形 第三节
(1)三角函数性质的讨论，可通过变形为 asin θ＋bcos θ＝
a2＋b2sin(θ＋φ)其中tan
φ＝ba的形式去讨论.这样的变形，主
要是 φ 角的确定.
(2)通过恒等变形，可以将较为复杂的函数形式转化为较为简单
的函数形式，有利于更好地讨论三角函数的性质，但要注意是
恒等变形，因为在某些情形下，变形会导致定义域的变化，从
π 3 ＝________.
解析
23sinπ3 －12cosπ3 ＝cos
π 6 sin
π3 －sin
ππ 6 cos 3
＝sinπ3 －π6 ＝sin π6 ＝12.
答案
1 2
第六页，编辑于星期六：十九点 五十三分。
(2)函数 f(x)＝2 3sin xcos x 的值域为________. 解析 f(x)＝2 3sin xcos x＝ 3sin 2x，则 f(x)值域为[－ 3， 3]. 答案 [－ 3， 3]
第二十四页，编辑于星期六：十九点 五十三分。
(1)f(x)最小正周期为 T＝2π 2 ＝π.
π
ππ
由－ 2 ＋2kπ≤2x＋ 6 ≤ 2 ＋2kπ，k∈Z.
π
π
得－ 3 ＋kπ≤x≤ 6 ＋kπ，k∈Z.
所以 f(x)的单调递增区间为－π3 ＋kπ，π6 ＋kπ(k∈Z).
第二十五页，编辑于星期六：十九点 五十三分。
第十七页，编辑于星期六：十九点 五十三分。
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－ β，β＝α＋ 2 β－α－2 β，α＝α＋ 2 β＋α－ 2 β，α－ 2 β＝α＋β2 －α2 ＋β等.
【例 1】 (1)(2016·五岳联考)若 sin x＋sinπ2＋x＝ 32，则
河北省衡水中学高2020届高2017级高三数学二轮复习课件配套课件讲义第1部分 专题1 第3讲
第一部分 专题一 第三讲A 组1.若a >b >0,c <d <0,则一定有( D ) A.a c >bd B.a c <b d C.a d >b cD.a d <b c【试题解析】 令a ＝3,b ＝2,c ＝－3,d ＝－2, 则a c ＝－1,bd ＝－1, 所以A,B 错误； a d ＝－32,b c ＝－23, 所以a d <b c,所以C 错误,故选D.2.(2019·湘潭模拟)已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0),则f (x )有( C )A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为－4D.最小值为－4【试题解析】 ∵x <0,∴1x <0,∴f (x )＝－[(－x )＋(－1x )]－2≤－2(－x )·(－1x)－2＝－4,当且仅当－x ＝－1x,即x ＝－1时,“＝”成立,故C 正确.3.(2019·温州中学模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( A )A.(－3,1)∪(3,＋∞)B.(－3,1)∪(2,＋∞)C.(－1,1)∪(3,＋∞)D.(－∞,－3)∪(1,3)【试题解析】 由题意得,f (1)＝3,所以f (x )>f (1)＝3,即f (x )>3,如果x <0,则x ＋6>3,可得－3<x <0；如果x ≥0,则x 2－4x ＋6>3,可得x >3或0≤x <1.综上,不等式的解集为(－3,1)∪(3,＋∞).故选A.4.已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ,不等式x 2＋x －6<0的解集为B ,不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ,则a ＋b ＝( D )A.1B.0C.－1D.－3【试题解析】 由题意得,不等式x 2－2x －3<0的解集A ＝(－1,3),不等式x 2＋x －6<0的解集B ＝(－3,2),所以A ∩B ＝(－1,2),即不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为(－1,2),所以a ＝－1,b ＝－2,所以a ＋b ＝－3.5.若x >y >0,m >n ,则下列不等式正确的是( D ) A.xm >ym B.x －m ≥y －n C.x n >y mD.x >xy【试题解析】 A 不正确,因为同向同正不等式相乘,不等号方向不变,m 可能为0或负数；B 不正确,因为同向不等式相减,不等号方向不确定；C 不正确,因为m ,n 的正负不确定.故选D.6.若变量x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( C )A.4B.9C.10D.12【试题解析】 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,设P (x ,y )为平面区域内任意一点,则x 2＋y 2表示|OP |2.显然,当点P 与点A 重合时,|OP |2取得最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝22x －3y ＝9,解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1,故A (3,－1).所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10.故选C.7.(文)若实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则w ＝y －1x ＋1的取值范围是( D )A.[－1,13]B.[－12,13]C.[－12,＋∞)D.[－12,1)【试题解析】 作出不等式组表示的平面区域如图所示.据题意,即求点M (x ,y )与点P (－1,1)连线斜率的取值范围.由图可知w min ＝1－0－1－1＝－12,w max <1,∴w ∈[－12,1).(理)已知O 是坐标原点,点A (－1,2),若点M (x ,y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2x ≤1y ≤2上的一个动点,则OA →·OM →的取值范围是( D )A.[－1,0]B.[0,1]C.[1,3]D.[1,4]【试题解析】 作出点M (x ,y )满足的平面区域,如图阴影部分所示,易知当点M 为点C (0,2)时,OA →·OM →取得最大值,即为(－1)×0＋2×2＝4,当点M 为点B (1,1)时,OA →·OM →取得最小值,即为(－1)×1＋2×1＝1,所以OA →·OM →的取值范围为[1,4],故选D.8.已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >13},则f (e x )>0的解集为( D )A.{x |x <－1或x >－ln3}B.{x |－1<x 或x >－ln3}C.{x |x >－ln3}D.{x |x <－ln3}【试题解析】 f (x )>0的解集为{x |－1<x <13},则由f (e x )>0得－1<e x <13,解得x <－ln3,即f (e x )>0的解集为{x |x <－ln3}.9.(2019·成都一诊)若关于x 的不等式x 2＋2ax ＋1≥0在[0,＋∞)上恒成立,则实数a 的取值范围为( B )A.(0,＋∞)B.[－1,＋∞)C.[－1,1]D.[0,＋∞)【试题解析】 解法一：当x ＝0时,不等式为1≥0恒成立；当x >0时,x 2＋2ax ＋1≥0⇒2ax ≥－(x 2＋1)⇒2a ≥－(x ＋1x ),又－(x ＋1x )≤－2,当且仅当x ＝1时取等号,所以2a ≥－2⇒a ≥－1,所以实数a 的取值范围为[－1,＋∞).解法二：设f (x )＝x 2＋2ax ＋1,函数图象的对称轴为直线x ＝－a . 当－a ≤0,即a ≥0时,f (0)＝1>0,所以当x ∈[0,＋∞)时,f (x )≥0恒成立；当－a >0,即a <0时,要使f (x )≥0在[0,＋∞)上恒成立,需f (－a )＝a 2－2a 2＋1＝－a 2＋1≥0,得－1≤a <0.综上,实数a 的取值范围为[－1,＋∞).10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,＋∞)上单调递增,若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1),则a 的取值范围是( C )A.[1,2]B.(0,12]C.[12,2] D.(0,2]【试题解析】 因为log 12a ＝－log 2a ,所以f (log 2a )＋f (log 12a )＝f (log 2a )＋f (－log 2a )＝2f (log 2a ),原不等式变为2f (log 2a )≤2f (1),即f (log 2a )≤f (1),又因为f (x )是定义在R 上的偶函数,且在[0,＋∞)上递增,所以|log 2a |≤1,即－1≤log 2a ≤1,解得12≤a ≤2,故选C.11.已知a >0,x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1,则a ＝( B )A.14 B.12 C.1D.2【试题解析】 画出可行域,如图所示.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得A (1,－2a ),则直线y ＝z －2x 过点A (1,－2a )时,z ＝2x ＋y 取最小值1,故2×1－2a ＝1,解得a ＝12.12.已知x∈(0,＋∞)时,不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立,则m的取值范围是(C)A.2－22<m<2＋22B.m<2C.m<2＋22D.m≥2＋2 2【试题解析】令t＝3x(t>1),则由已知得函数f(t)＝t2－mt＋m＋1的图象在t∈(1,＋∞)上恒在x轴的上方,则对于方程f(t)＝0,有Δ＝(－m)2－4(m＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，m2≤1，f(1)＝1－m＋m＋1≥0，解得m<2＋2 2.13.(2019·岳阳模拟)不等式3x－12－x≥1的解集为__{x|34≤x<2}__.【试题解析】不等式3x－12－x≥1可转化成3x－12－x－1≥0,即4x－32－x≥0,等价于⎩⎪⎨⎪⎧(4x－3)(x－2)≤0，2－x≠0，解得34≤x<2,故不等式的解集为{x|34≤x<2}.14.若x,y满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x－y≤0，x＋y≥0，y≤a，且z＝2x＋3y的最大值是5,则实数a的值为__1__.【试题解析】画出满足条件的可行域如图阴影部分所示,则当直线z＝2x＋3y过点A(a,a)时,z＝2x＋3y取得最大值5,所以5＝2a＋3a,解得a＝1.15.(2019·赣州六校高三期末联考)若点A(1,1)在直线2mx＋ny－2＝0上,其中mn>0,则1m＋1n 的最小值为__32＋2__.【试题解析】∵点A(1,1)在直线2mx＋ny－2＝0上,∴2m＋n＝2,∵1m＋1n＝(1m＋1n)2m＋n2＝12(2＋2mn＋nm＋1)≥12(3＋22mn·nm)＝32＋2,当且仅当2m n ＝nm ,即n ＝2m 时取等号,∴1m ＋1n 的最小值为32＋ 2. 16.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，若对任意的x ∈R ,不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立,则实数m 的取值范围是__(－∞,－14]∪[1,＋∞)__.【试题解析】 对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，当x ≤1时,f (x )＝－(x －12)2＋14≤14；当x >1时,f (x )＝log 13x <0.则函数f (x )的最大值为14.要使不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立,则m 2－34m ≥14恒成立,即m ≤－14或m ≥1.B 组1.下列不等式一定成立的是( C ) A.lg(x 2＋14)>lg x (x >0)B.sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π,k ∈Z ) C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【试题解析】 应用基本不等式：x ,y >0,x ＋y2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析,注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.当x >0时,x 2＋14≥2·x ·12＝x ,所以lg(x 2＋14)≥lg x (x >0),故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正、二定、三相等, 而当x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项B 不正确； 由基本不等式可知,选项C 正确；当x ＝0时,有1x 2＋1＝1,故选项D 不正确.2.已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ,c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心,则4b ＋1c 的最小值是( A )A.9B.8C.4D.2【试题解析】 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程, 得x 2＋(y －1)2＝6, 所以圆心为C (0,1).因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C , 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0,即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋bc ＋5.因为b ,c >0, 所以4c b ＋b c≥24c b ·bc＝4. 当且仅当4c b ＝bc 时等号成立.由此可得b ＝2c ,且b ＋c ＝1,即b ＝23,c ＝13时,4b ＋1c取得最小值9. 3.若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集,则实数a 的取值范围为( B ) A.(－2,65)B.[－2,65)C.[－2,65]D.[－2,65)∪{2}【试题解析】 当a 2－4＝0时,解得a ＝2或a ＝－2,当a ＝2时,不等式可化为4x －1≥0,解集不是空集,不符合题意；当a ＝－2时,不等式可化为－1≥0,此式不成立,解集为空集.当a 2－4≠0时,要使不等式的解集为空集,则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0，Δ＝(a ＋2)2＋4(a 2－4)<0，解得－2<a <65.综上,实数a 的取值范围为[－2,65),故选B.4.已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0. 若z ＝ax ＋y 的最大值为4,则a ＝( B )A. 3B. 2C. －2D. －3【试题解析】 由约束条件可画可行域如图,解得A (2,0),B (1,1).若过点A (2,0)时取最大值4,则a ＝2,验证符合条件；若过点B (1,1)时取最大值4,则a ＝3,而若a ＝3,则z ＝3x ＋y 最大值为6(此时A (2,0)是最大值点),不符合题意. (也可直接代入排除)5.若a ＝ln22,b ＝ln33,c ＝ln55,则( C )A.a <b <cB.c <b <aC.c <a <bD.b <a <c【试题解析】 易知a ,b ,c 均为正数, b a ＝2ln33ln2＝ln9ln8＝log 89>1,所以b >a ； a c ＝5ln22ln5＝ln32ln25＝log 2532>1, 所以a >c ,故b >a >c .6.某企业生产甲、乙两种新产品均需用A ,B 两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( D )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元【试题解析】 设企业每天生产甲产品x 吨、乙产品y 吨,每天获得的利润为z 万元,则有z ＝3x ＋4y ,由题意得x ,y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，不等式组表示的可行域是以O (0,0),A (4,0),B (2,3),C (0,4)为顶点的四边形及其内部.根据线性规划的有关知识,知当直线3x ＋4y －z ＝0过点B (2,3)时,z 取最大值18,故该企业每天可获得最大利润为18万元.7.若变量x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，2x －y ≥0，x ≤1，则点P (2x －y ,x ＋y )表示区域的面积为( D )A.34B.43 C.12D.1【试题解析】 令2x －y ＝a ,x ＋y ＝b , 解得⎩⎨⎧x ＝a ＋b 3，y ＝2b －a3，代入x ,y 的关系式得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1≤0，a ≥0，a ＋b －3≤0，画出不等式组表示的平面区域如图.易得阴影区域面积S ＝12×2×1＝1.8.已知a ,b 为非零实数,且a <b ,则下列命题成立的是( C ) A.a 2<b 2 B.a 2b <ab 2 C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b【试题解析】 由a <b <0得a 2>b 2,知A 不成立； 由a <b ,若ab <0则a 2b >ab 2,知B 不成立； 若a ＝1,b ＝2,则b a ＝2,a b ＝12,此时b a >ab,所以D 不成立；事实上,对于C,∵1ab 2－1a 2b ＝a －ba 2b 2<0,∴1ab 2<1a 2b成立. 9.若正数x ,y 满足x ＋3y ＝5xy ,则3x ＋4y 的最小值是( C ) A.245 B.285 C.5D.6【试题解析】 ∵x ＋3y ＝5xy ,∴1y ＋3x＝5,∵x >0,y >0,∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )·(3x ＋1y )＝15(3x y ＋12y x ＋9＋4)≥15(23x y ·12yx＋13)＝5, ∴3x ＋4y ≥5,当且仅当x ＝2y 时取等号, ∴3x ＋4y 的最小值是5,故选C.10.已知x ∈(0,π2),且函数f (x )＝1＋2sin 2x sin2x的最小值为b ,若函数g (x )＝⎩⎨⎧8x 2－6bx ＋4，0<x ≤π4，－1，π4<x <π2，则不等式g (x )≤1的解集为( B )A.(π4,π2)B.[34,π2) C.[34,32] D.(π4,32] 【试题解析】 依题意知,当x ∈(0,π2)时,f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x 2sin x cos x ＝12(3tan x ＋1tan x )≥3tan x ·1tan x＝3,当且仅当3tan x ＝1tan x ,即tan x ＝33,x ＝π6时取等号,因此b ＝3,不等式g (x )≤1等价于⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤π48x 2－63x ＋4≤1①,或π4<x <π2解①得34≤x ≤π4,因此不等式g (x )≤1的解集是[34,π4]∪(π4,π2)＝[34,π2). 11.已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12},则f (log 2x )>0的解集为{x |12【试题解析】 由题意知,一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12},因为f (log 2x )>0,所以－1<log 2x <12,即12<x < 2.12.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ≤0，x ＋1x ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值,则a 的取值范围为__(－∞,2]__.[解题提示] 根据分段函数的定义找出f (0)的表达形式,再利用f (0)是f (x )的最小值,求出a 的取值范围.【试题解析】 当x >0时,f (x )＝x ＋1x≥2,若f (0)是f (x )的最小值,则f (0)＝a ≤2.13.实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y ＋ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为__1或－2__. 【试题解析】 作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示,可知当a ＝1或－2时,z ＝y ＋ax 取得最大值的最优解不唯一.14.已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数且f (1)＝2,当x 1,x 2∈[－1,1],且x 1＋x 2≠0时,有f (x 1)＋f (x 2)x 1＋x 2>0,若f (x )≥m 2－2am －5对所有x ∈[－1,1],a ∈[－1,1]恒成立,则实数m 的取值范围是__[－1,1]__.【试题解析】 ∵f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数,∴当x 1,x 2∈[－1,1]且x 1＋x 2≠0时,f (x 1)＋f (x 2)x 1＋x 2>0等价于f (x 1)－f (－x 2)x 1－(－x 2)>0, ∴f (x )在[－1,1]上单调递增.∵f (1)＝2,∴f (x )min ＝f (－1)＝－f (1)＝－2.要使f (x )≥m 2－2am －5对所有x ∈[－1,1],a ∈[－1,1]恒成立,即－2≥m 2－2am －5对所有a ∈[－1,1]恒成立,∴m 2－2am －3≤0.设g (a )＝m 2－2am －3,则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3≤m ≤1，－1≤m ≤3.∴－1≤m ≤1. ∴实数m 的取值范围是[－1,1].。
河北省衡水中学高2020届高2017级高三数学二轮复习课件配套课件讲义第1部分 专题7 第1讲
第一部分 专题七 第一讲A 组1.利用系统抽样法从编号分别为1,2,3,…,80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本,如果抽出的产品中有一件产品的编号为13,则抽到产品的最大编号为( B )A.73B.78C.77D.76【试题解析】 样本的分段间隔为8016＝5,所以13号在第三组,则最大的编号为13＋(16－3)×5＝78.故选B.2.某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用,把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较,利用2×2列联表计算得K 2的观测值k ≈3.918.附表： P (K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过( B ) A.95% B.5% C.97.5%D.2.5%【试题解析】 由题意知观测值k 2≈3.918>3.841, 所以对照题中的附表得P (K 2≥k )＝0.05＝5%.3.(文)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( D )A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个【试题解析】 根据雷达图可知全年最低气温都在0 ℃以上,故A 正确；一月平均最高气温是6 ℃左右,平均最低气温2 ℃左右,七月平均最高气温22 ℃左右,平均最低气温13 ℃左右,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,B 正确；三月和十一月的平均最高气温都是10 ℃,三月和十一月的平均最高气温基本相同,C 正确；平均最高气温高于20 ℃的有七月和八月,故D 错误.(理)从某地高中男生中随机抽取100名同学,将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图),由直方图可知( C )A.估计体重的众数为50或60B.a ＝0.03C.学生体重在[50,60)有35人D.从这100名男生中随机抽取一人,体重在[60,80)的概率为13【试题解析】 根据频率分布直方图知,最高的小矩形对应的底边中点为50＋602＝55,所以估计众数为55,A 错误；根据频率和为1,计算(a ＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1,解得a ＝0.005,B 错误；体重在[50,60)内的频率是0.35,估计体重在[50,60)内的学生有100×0.35＝35人,C 正确；体重在[60,80)内的频率为0.3＋0.2＝0.5,用频率估计概率,知这100名男生中随机抽取一人,体重在[60,80)的概率为12,D 错误.4.(文)某厂生产A ,B ,C 三种型号的产品,产品数量之比为324,现用分层抽样的方法抽取一个样本容量为180的样本,则样本中B 型号的产品的数量为( B )A.20B.40C.60D.80【试题解析】 由分层抽样的定义知,B 型号产品应抽取180×23＋2＋4＝40件.(理)某全日制大学共有学生5 600人,其中专科生有1 300人,本科生有3 000人,研究生1 300人,现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况,抽取的样本为280人,则应在专科生,本科生与研究生这三类学生中分别抽取( A )A.65人,150人,65人B.30人,150人,100人C.93人,94人,93人D.80人,120人,80人【试题解析】 2805 600＝120,1 300×120＝65,3 000×120＝150, 故选A.5.(文)某电视传媒公司为了了解某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时间的频率分布直方图,其中收看时间分组区间是：[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60].将日均收看该类体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”,则图中x 的值为( A )A.0.01B.0.02C.0.03D.0.04【试题解析】 由题设可知(0.005＋x ＋0.012＋0.02＋0.025＋0.028)×10＝1,解得x ＝0.01,选A.(理)等差数列x 1,x 2,x 3,…,x 9的公差为1,若以上述数据x 1,x 2,x 3,…,x 9为样本,则此样本的方差为( A )A.203 B.103 C.60D.30【试题解析】 令等差数列为1,2,3…9,则样本的平均值x ＝5,∴s 2＝19[(1－5)2＋(2－5)2＋…＋(9－5)2]＝609＝203.6.如图是某学校一名篮球运动员在10场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这10场比赛中得分的中位数为__15__.0 5 8 9 1 2 4 6 6 921 4【试题解析】 把10中间两个为14与16,故中位数为14＋162＝15.7.已知一组数据x 1,x 2,…,x n 的方差为2,若数据ax 1＋b ,ax 2＋b ,…,ax n ＋b (a >0)的方差为8,则a 的值为__2__.【试题解析】 根据方差的性质可知,a 2×2＝8,故a ＝2.8.为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化繁殖情况,得如下实验数据,计算得回归方程为y ^＝0.85x －0.25.由以上信息,得到下表中c 的值为__6__.天数t (天) 3 4 5 6 7 繁殖个数y (千个)2.5344.5c【试题解析】 因为x ＝15(3＋4＋5＋6＋7)＝5,y ＝15(2.5＋3＋4＋4.5＋c )＝14＋c 5,所以这组数据的样本中心点是(5,14＋c 5),把样本中心点代入回归方程y ^＝0.85x －0.25,所以14＋c5＝0.85×5－0.25,所以c ＝6. 9.2019年8月22日金乡县首届“诚信文艺奖”评选暨2019“百姓大舞台”第一季大型才艺大赛决赛在红星美凯龙举行.在比赛现场,12名专业人士和12名观众代表分别组成评判小组A ,B ,给参赛选手打分,如图是两个评判组对同一选手打分的茎叶图.(1)求A 组数据的众数和极差,B 组数据的中位数；(2)对每一组计算用于衡量相似性的数值,回答：小组A 与小组B 哪一个更像是由专业人士组成的？并说明理由.【试题解析】 (1)由茎叶图可得：A 组数据的众数为47,极差为55－42＝13；B 组数据的中位数为55＋582＝56.5.(2)小组A 更像是由专业人士组成的.理由如下： 小组A ,B 数据的平均数分别为 x A ＝112×(42＋42＋44＋45＋46＋47＋47＋47＋49＋50＋50＋55)＝47, x B ＝112×(36＋42＋46＋47＋49＋55＋58＋62＋66＋68＋70＋73)＝56, 所以小组A ,B 数据的方差分别为s 2A＝112×[(42－47)2＋(42－47)2＋…＋(55－47)2]＝112×(25＋25＋9＋4＋1＋4＋9＋9＋64)＝12.5,s 2B ＝112×[(36－56)2＋(42－56)2＋…＋(73－56)2]＝112×(400＋196＋100＋81＋49＋1＋4＋36＋100＋144＋196＋289)＝133.因为s 2A <s 2B ,所以小组A 的成员的相似程度高.由于专业裁判给分更符合专业规则,相似程度应该更高,因此小组A 更像是由专业人士组成的.B 组1.《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热,某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛,班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号,小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号,其他学生得到“诗词爱好者”的称号,根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生,则抽选的学生中获得“诗词达人”称号的人数为( A )A.2 C.5D.6【试题解析】 由茎叶图可知,获“诗词达人”称号的有8人,据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽取10名学生,则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为n ,则n10＝840,∴n ＝2,故选A. 2.(文)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据：由表中数据,求得线性回归方程为y ^＝－4x ＋a .若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线左下方的概率为( B )A.16B.13C.12D.23【试题解析】 x ＝4＋5＋6＋7＋8＋96＝132,y ＝90＋84＋83＋80＋75＋686＝80,∵回归直线过点(132,80),∴a ＝106,∴y ^＝－4x ＋106,∴点(5,84),(9,68)在回归直线左下方,故所求概率P ＝26＝13.(理)关于统计数据的分析,有以下几个结论,其中正确的个数为( A )①利用残差进行回归分析时,若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内,则说明线性回归模型的拟合精度较高；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,期望与方差均没有变化；③调查剧院中观众观后感时,从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；④已知随机变量X 服从正态分布N (3,1),且P (2≤X ≤4)＝0.682 6,则P (X >4)等于0.158 7 ⑤某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人.为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人,则样本容量为15人.A.2B.3C.4D.5【试题解析】 ①④正确,②③⑤错误,⑤设样本容量为n ,则3501 500＝7n ,∴n ＝30,故⑤错.3.某班一次测试成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图,根据图中的信息可确定被抽测的人数及分数在[90,100]内的人数分别为( C )A.20,2B.24,4C.25,2D.25,4【试题解析】 由频率分布直方图可知,90～100的频率和50～60的频率相同,所以 90～100的人数为2,总人数为20.08＝25人,故选C. 4.某新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》节目的喜爱与性质是否有关系,随机调查了观看该节目的观众110名,得到如下的列联表：女男总计喜爱 40 20 60 不喜爱 20 30 50 总计6050110__0.01__的前提下(约有__99%__的把握)认为“喜爱该节目与否和性别有关”.参考附表：P (K 2≥k 0)0.050 0.010 0.001 k 03.8416.63510.828(参考公式：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ),其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )【试题解析】 分析列联表中数据,可得K 2的观测值k ＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.822>6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下(有99%的把握)认为“喜爱该节目与否和性别有关”.5.某班开展一次智力竞赛活动,共a ,b ,c 三个问题,其中题a 满分是20分,题b ,c 满分都是25分,每道题或者得满分,或者得0分.活动结果显示,全班同学每人至少答对一道题,有1名同学答对全部三道题,有15名同学答对其中两道题,答对题a 与题b 的人数之和为29,答对题a 与题c 的人数之和为25,答对题b 与题c 的人数之和为20,则该班同学中只答对一道题的人数是__4__；该班的平均成绩是__42__.【试题解析】 设x ,y ,z 分别是答对a ,b ,c 题的人数,则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝29，x ＋z ＝25，y ＋z ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝17，y ＝12，z ＝8，答对一道题的人数为(17＋12＋8)－3×1－2×15＝4,全班总人数为4＋15＋1＝20,全班总得分为17×20＋(12＋8)×25＝840,平均成绩为84020＝42.6.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位：kg),其频率分布直方图如下：(1)设A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg ”,估计A 的概率；(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量<50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法 新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较. 附：P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).【试题解析】 (1)旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62, 因此,事件A 的概率估计值为0.62. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量<50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法 62 38 新养殖法3466K 2＝200×(62×66－34×38)2100×100×96×104≈15.705.由于15.705>6.635,故有90%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg 到55 kg 之间,旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.7.(2019·山西省八校第一次联考)某电视厂家准备在元旦举行促销活动,现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出.广告费支出x (万元)和销售量y (万台)的数据如下：年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 广告费支出x 1 2 4 6 11 13 19 销售量y1.93.24.04.45.25.35.4(1)若用线性回归模型拟合y 与x 的关系,求出y 关于x 的线性回归方程；(2)若用y ＝c ＋d x 模型拟合y 与x 的关系,可得回归方程y ^＝1.63＋0.99x ,经计算线性回归模型和该模型的R 2分别约为0.75和0.88,请用R 2说明选择哪个回归模型更好；(3)已知利润z 与x ,y 的关系为z ＝200y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①广告费x ＝20时,销售量及利润的预报值是多少？ ②广告费x 为何值时,利润的预报值最大？(精确到0.01)参考公式：回归直线y ^＝a ^＋b ^x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝ni ＝1x i y i －n x yn i ＝1x 2i －nx2＝ni ＝1(x i －x )(y i －y )ni ＝1(x i －x )2,a ^＝y －b ^x . 参考数据：5≈2.24.【试题解析】 (1)∵x ＝8,y ＝4.2,7i ＝1x i y i ＝279.4,7i ＝1x 2i ＝708,∴b ^＝7i ＝1x i y i －7x y7i ＝1x 2i －7x2＝279.4－7×8×4.2708－7×82＝0.17,a ^＝y －b ^x ＝4.2－0.17×8＝2.84,∴y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.17x ＋2.84.(2)∵0.75<0.88且R 2越大,反映残差平方和越小,模型的拟合效果越好, ∴选用y ^＝1.63＋0.99x 更好. (3)由(2)知,①当x ＝20时,销售量的预报值y ^＝1.63＋0.9920≈6.07(万台), 利润的预报值z ＝200×(1.63＋0.9920)－20≈1 193.04(万元).②z ＝200(1.63＋0.99x )－x ＝－x ＋198x ＋326＝－(x )2＋198x ＋326＝－(x －99)2＋10 127,∴当x ＝99,即x ＝9 801时,利润的预报值最大, 故广告费为9 801万元时,利润的预报值最大.。
河北省衡水中学高2020届高2017级高三数学二轮复习课件配套课件讲义第1部分 专题6 第2讲
第一部分 专题六 第二讲A 组1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为()2，0,则C 的离心率为( C )A.13B.12C.22D.223【试题解析】 因为椭圆的一个焦点为(2,0),则c ＝2, 所以a 2＝b 2＋c 2＝8,a ＝22,所以离心率e ＝22. 2.一个焦点为(26,0)且与双曲线y 24－x 29＝1有相同渐近线的双曲线方程是( B )A.y 218－x 28＝1 B.x 218－y 28＝1 C.x 216－y 210＝1 D.y 216－x 210＝1 【试题解析】 设所求双曲线方程为y 24－x 29＝t (t ≠0),因为一个焦点为(26,0),所以|13t |＝26.又焦点在x 轴上,所以t ＝－2,即双曲线方程为x 218－y 28＝1.3.若双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0,b >0)和椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)有共同的焦点F 1,F 2,P 是两条曲线的一个交点,则|PF 1|·|PF 2|＝ ( D )A.m 2－a 2B.m －aC.12(m －a ) D.m －a【试题解析】 不妨设F 1,F 2分别为左、右焦点,P 在双曲线的右支上,由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ,|PF 1|－|PF 2|＝2a ,∴|PF 1|＝m ＋a ,|PF 2|＝m －a ,故|PF 1|·|PF 2|＝m －a .4.(文)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3,－4),则此双曲线的离心率为( D )A.73B.54C.43D.53【试题解析】 由题利用双曲线的渐近线经过点(3,－4),得到关于a ,b 的关系式,然后求出双曲线的离心率即可.因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3,－4),∴3b ＝4a ,∴9(c 2－a 2)＝16a 2,∴e ＝c a ＝53,故选D.(理)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点,四边形的ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为( D )A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 【试题解析】 根据圆和双曲线的对称性,可知四边形ABCD 为矩形.双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ,圆的方程为x 2＋y 2＝4,不妨设交点A 在第一象限,由y ＝b2x ,x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2,y A ＝2b 4＋b 2,故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ,解得b 2＝12, 故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1,故选D.5.已知圆(x －1)2＋y 2＝34的一条切线y ＝kx 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)有两个交点,则双曲线C 的离心率的取值范围是( D )A.(1,3)B.(1,2)C.(3,＋∞)D.(2,＋∞)【试题解析】 由题意,圆心到直线的距离d ＝|k |12＋k 2＝32, 所以k ＝±3,因为圆(x －1)2＋y 2＝34的一条切线y ＝kx 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)有两个交点, 所以b a >3,所以1＋b 2a2>4,所以e >2.6.已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的渐近线方程为y ＝±33x ,则其焦距为__4__.【试题解析】 由渐近线方程y ＝±33x ,可得1a ＝33,解得a ＝3,故c ＝(3)2＋1＝2,故焦距为4.7.已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1,右焦点为F 2,P 为双曲线右支上一点,则P A 1→·PF 2→的最小值为__－2__.【试题解析】 由已知得A 1(－1,0),F 2(2,0).设P (x ,y )(x ≥1),则P A 1→·PF 2→＝(－1－x ,－y )·(2－x ,－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5,则f (x )在[1,＋∞)上单调递增,所以当x ＝1时,函数f (x )取最小值,即P A 1→·PF 2→取最小值,最小值为－2.8.已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1,点M 与椭圆C 的焦点不重合.若M 关于椭圆C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在椭圆C 上,则|AN |＋|BN |＝__12__.【试题解析】 取MN 的中点G ,G 在椭圆C 上,因为点M 关于C 的焦点F 1,F 2的对称点分别为A ,B ,故有|GF 1|＝12|AN |,|GF 2|＝12|BN |,所以|AN |＋|BN |＝2(|GF |1＋|GF |2)＝4a ＝12.9.已知点M (22,233)在椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上,且点M 到两焦点的距离之和为4 3.(1)求椭圆G 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ,B 两点,以AB 为底作等腰三角形,顶点为P (－3,2),求△P AB 的面积.【试题解析】 (1)∵2a ＝43,∴a ＝2 3. 又点M (22,233)在椭圆上,∴23＋43b 2＝1,解得b 2＝4, ∴椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)(x 1<x 2),AB 的中点为E (x 0,y 0), 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4,y 0＝x 0＋m ＝m 4.∵AB 是等腰△P AB 的底边,∴PE ⊥AB . ∴PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1,解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0,解得x 1＝－3,x 2＝0, ∴y 1＝－1,y 2＝2,∴|AB |＝3 2.此时,点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322,∴△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.10.(文)(2018·全国卷Ⅰ,20)设抛物线C ：y 2＝2x ,点A ()2，0,B ()－2，0,过点A 的直线l 与C交于M ,N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程. (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .【试题解析】 (1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x ＝2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,－2). 所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线, 所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝2x ，得ky 2－2y －4k ＝0,可知y 1＋y 2＝2k ,y 1y 2＝－4.直线BM ,BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2).①将x 1＝y 1k ＋2,x 2＝y 2k ＋2及y 1＋y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k ＝－8＋8k ＝0.所以k BM ＋k BN ＝0,可知BM ,BN 的倾斜角互补, 所以∠ABM ＝∠ABN . 综上,∠ABM ＝∠ABN .(理)(2018·全国卷Ⅰ,19)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,点M 的坐标为()2，0.(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程. (2)设O 为坐标原点,证明：∠OMA ＝∠OMB . 【试题解析】 (1)由已知得F (1,0),l 的方程为x ＝1. 代入x 22＋y 2＝1可得,点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，22或⎝⎛⎭⎫1，－22.所以直线AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)当l 与x 轴重合时,∠OMA ＝∠OMB ＝0°. 当l 与x 轴垂直时,OM 为线段AB 的垂直平分线, 所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1＜2,x 2＜2,直线MA ,MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝kx 1－k ,y 2＝kx 2－k 得 k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k(x 1－2)(x 2－2).将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.所以,x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1,x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1. 则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k 2k 2＋1＝0.从而k MA ＋k MB ＝0,故MA ,MB 的倾斜角互补, 所以∠OMA ＝∠OMB . 综上,∠OMA ＝∠OMB .B 组1.若a >1,则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( C )A.(2,＋∞)B.(2,2 )C.(1,2)D.(1,2)【试题解析】 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a ,∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2. ∵a >1,∴0<1a 2<1,∴1<1＋1a 2<2,∴1<e < 2.故选C.2.已知O 为坐标原点,F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点,A ,B 分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( A )A.13B.12C.23D.34【试题解析】 方法一：设E (0,m ),则直线AE 的方程为－x a ＋ym ＝1,由题意可知M (－c ,m－mc a ),(0,m 2)和B (a,0)三点共线,则m －mc a －m 2－c ＝m 2－a,化简得a ＝3c ,则C 的离心率e ＝c a ＝13. 方法二：如图所示,由题意得A (－a,0),B (a,0),F (－c,0).由PF ⊥x 轴得P (－c ,b 2a ).设E (0,m ),又PF ∥OE ,得|MF ||OE |＝|AF ||AO |,则|MF |＝m (a －c )a.①又由OE ∥MF ,得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |,则|MF |＝m (a ＋c )2a.②由①②得a －c ＝12(a ＋c ),即a ＝3c ,所以e ＝c a ＝13.故选A.3.已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合,e 1,e 2分别为C 1,C 2的离心率,则( A )A.m >n 且e 1e 2>1B.m >n 且e 1e 2<1C.m <n 且e 1e 2>1D.m <n 且e 1e 2<1【试题解析】 由于m 2－1＝c 2,n 2＋1＝c 2,则m 2－n 2＝2,故m >n ,又(e 1e 2)2＝m 2－1m 2·n 2＋1n2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2>1,所以e 1e 2>1.故选A. 4.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知|AB |＝42,|DE |＝25,则C 的焦点到准线的距离为( B )A.2B.4C.6D.8【试题解析】 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0),圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42,|DE |＝25, 抛物线的准线方程为x ＝－p2,∴不妨设A (4p ,22),D (－p2,5).∵点A (4p ,22),D (－p2,5)在圆x 2＋y 2＝r 2上,∴⎩⎨⎧16p 2＋8＝r 2，p24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5,∴p ＝4(负值舍去). ∴C 的焦点到准线的距离为4.5.(文)已知M (x 0,y 0)是曲线C ：x 22－y ＝0上的一点,F 是曲线C 的焦点,过M 作x 轴的垂线,垂足为点N ,若MF →·MN →<0,则x 0的取值范围是( A )A.(－1,0)∪(0,1)B.(－1,0)C.(0,1)D.(－1,1)【试题解析】 由题意知曲线C 为抛物线,其方程为x 2＝2y ,所以F (0,12).根据题意,可知N (x 0,0),x 0≠0,MF →＝(－x 0,12－y 0),MN →＝(0,－y 0),所以MF →·MN →＝－y 0(12－y 0)<0,即0<y 0<12.因为点M在抛物线上,所以有0<x 202<12.又x 0≠0,解得－1<x 0<0或0<x 0<1.故选A.(理)已知椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为F ,P 是椭圆上一点,点A (0,23),当△APF 的周长最大时,△APF 的面积等于( B )A.1134B.2134C.114D.214【试题解析】 由椭圆x 29＋y 25＝1知a ＝3,b ＝5,c ＝a 2－b 2＝2,Rt △AOF 中,|OF |＝2,|OA |＝23,则|AF |＝4.设椭圆的左焦点为F 1,则△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2a －|PF 1|＝4＋6＋|P A |－|PF 1|≤10＋|AF 1|(当且仅当A ,P ,F 1三点共线,P 在线段AF 1的延长线上时取“＝”).此时直线AF 1的方程为x －2＋y23＝1,与椭圆的方程为5x 2＋9y 2－45＝0联立并整,得32y 2－203y －75＝0,解得y P ＝－538(正值舍去),则△APF 的周长最大时,S △APF ＝12|F 1F |·|y A －y P |＝12×4×|23＋538|＝2134.故选B.6.设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为【试题解析】 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0),由题意可知,将x ＝c 代入,解得,y ＝±b 2a ,则|AB |＝2b 2a,由|AB |＝2×2a ,则b 2＝2a 2,所以双曲线离心率e ＝ca＝1＋b 2a2＝ 3. 7.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ,B 两点,直线AF 2与椭圆的另一个交点为点C ,若S △ABC ＝3S △BCF 2,则椭圆的离心率为__55__.【试题解析】 如图所示：因为S △ABC ＝3S △BCF 2,所以|AF 2|＝2|F 2C |. A (－c ,b 2a ),直线AF 2的方程为y －0＝b 2a －0－c －c (x －c ),化为y ＝－b 22ac (x －c ),代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),可得(4c 2＋b 2)x 2－2cb 2x ＋b 2c 2－4a 2c 2＝0, 所以x C ·(－c )＝b 2c 2－4a 2c 24c 2＋b 2,解得x C ＝4a 2c －b 2c4c 2＋b 2.因为AF 2→＝2F 2C →,所以c －(－c )＝2(4a 2c －b 2c4c 2＋b 2－c ),化为a 2＝5c 2,解得e ＝55. 8.设F 1,F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点,过F 2的直线交椭圆于A ,B 两点,AF 1⊥AB且AF 1＝AB ,则椭圆C 的离心率为__6－3__.【试题解析】 设|AF 1|＝t ,则|AB |＝t ,|F 1B |＝2t ,由椭圆定义有|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ,所以|AF 1|＋|AB |＋|F 1B |＝4a , 化简得(2＋2)t ＝4a ,t ＝(4－22)a , 所以|AF 2|＝2a －t ＝(22－2)a . 在Rt △AF 1F 2中,|F 1F 2|2＝(2c )2,所以[(4－22)a ]2＋[(22－2)a ]2＝(2c )2, 所以(ca)2＝9－62＝(6－3)2,所以e ＝6－ 3.9.(2019·唐山五校联考)在直角坐标系xOy 中,长为2＋1的线段的两端点C ,D 分别在x 轴,y 轴上滑动,CP →＝2PD →.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ,B 两点,OM →＝OA →＋OB →,当点M 在曲线E 上时,求直线l 的方程.【试题解析】 (1)设C (m,0),D (0,n ),P (x ,y ), 由CP →＝2 PD →,得(x －m ,y )＝2(－x ,n －y ), 所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝(2＋1)x ，n ＝2＋12y ，由|CD →|＝2＋1,得m 2＋n 2＝(2＋1)2, 所以(2＋1)2x 2＋(2＋1)22y 2＝(2＋1)2, 整理,得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1. (2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由OM →＝OA →＋OB →, 知点M 的坐标为(x 1＋x 2,y 1＋y 2).易知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y ＝kx ＋1,代入曲线E 的方程,得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0,则x 1＋x 2＝－2kk 2＋2,所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M 在曲线E 上,知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)22＝1,即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1,解得k 2＝2. 此时直线l 的方程为y ＝±2x ＋1.10.(文)设F 1,F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点,过点F 1的直线交椭圆E于A ,B 两点,|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4,△ABF 2的周长为16,求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35,求椭圆E 的离心率.【试题解析】 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |及|AB |＝4得|AF 1|＝3,|F 1B |＝1, 又∵△ABF 2的周长为16,∴由椭圆定义可得4a ＝16,|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. ∴|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ,则k >0且|AF 1|＝3k ,|AB |＝4k , 由椭圆定义知,|AF 2|＝2a －3k ,|BF 2|＝2a －k , 在△ABF 2中,由余弦定理得,|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos ∠AF 2B , 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k ),∴(a ＋k )(a －3k )＝0,而a ＋k >0, ∴a ＝3k ,于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|,|BF 2|＝5k , ∴|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2, ∴F 2A ⊥AB ,F 2A ⊥AF 1, ∴△AF 1F 2是等腰直角三角形, 从而c ＝22a ,所以椭圆离心率为e ＝c a ＝22. (理)设点F 1(－c,0),F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的左、右焦点,P 为椭圆C 上任意一点,且PF 1→·PF 2→的最小值为0.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图,动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且仅有一个公共点,作F 1M ⊥l ,F 2N ⊥l 分别交直线l 于M ,N 两点,求四边形F 1MNF 2面积S 的最大值.【试题解析】 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式.(1)设P (x ,y ),则PF 1→＝(－c －x ,－y ),PF 2→＝(c －x ,－y ),∴PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2＝a 2－1a 2x 2＋1－c 2, x ∈[－a ,a ],由题意得,1－c 2＝0,c ＝1,则a 2＝2,∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)将直线l 的方程l ：y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程x 22＋y 2＝1中,得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0,由直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点知Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＝0,化简得：m 2＝2k 2＋1.设d 1＝|F 1M |＝|－k ＋m |k 2＋1,d 2＝|F 2N |＝|k ＋m |k 2＋1. ①当k ≠0时,设直线l 的倾斜角为θ,则|d 1－d 2|＝|MN |·|tan θ|,∴|MN |＝1|k |·|d 1－d 2|, ∴S ＝12·1|k |·|d 1－d 2|·(d 1＋d 2)＝2|m |k 2＋1＝4|m |m 2＋1＝4|m |＋1|m |, ∵m 2＝2k 2＋1,∴当k ≠0时,|m |>1,|m |＋1|m |>2, 即S <2.②当k ＝0时,四边形F 1MNF 2是矩形,此时S ＝2.∴四边形F 1MNF 2面积S 的最大值为2.。
河北省衡水中学高2020届高2017级高三数学二轮复习课件配套课件讲义第1部分 专题7 第2讲(文)
第一部分 专题七 第二讲(文)A 组1.在某次全国青运会火炬传递活动中,有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手.若从中任选2人,则选出的火炬手的编号相连的概率为( D )A.310 B.58 C.710D.25【试题解析】 由题意得从5人中选出2人,有10种不同的选法,其中满足2人编号相连的有(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),共4种不同的选法,所以所求概率为410＝25.故选D.2.(2018·全国卷Ⅲ,5)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( B )A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7【试题解析】 方法一：画Venn 图,如图设只用非现金支付(不用现金支付)的概率为x ,则0.45＋0.15＋x ＝1,解得x ＝0.4, 所以不用现金支付的概率为0.4.方法二：记“用现金支付”为事件A ,“用非现金支付”为事件B ,则“只用非现金支付(不用现金支付)”为事件B －(A ∩B ),由已知,P (A )＝0.45＋0.15＝0.6,P (A ∩B )＝0.15, 又P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B ) ＝0.6＋P (B )－0.15＝1,所以P (B )＝0.55,P (B －(A ∩B ))＝P (B )－P (A ∩B )＝0.55－0.15＝0.4.3.(2019·湖北五校联考)已知定义在区间[－3,3]上的函数f (x )＝2x ＋m 满足f (2)＝6,在[－3,3]上任取一个实数x ,则使得f (x )的值不小于4 概率为( B )A.16B.13C.12D.23【试题解析】 ∵f (2)＝6,∴22＋m ＝6,解得m ＝2.由f (x )≥4,得2x ＋2≥4,即x ≥1,而x ∈[－3,3],故根据几何概型的概率计算公式,得f (x )的值不小于4的概率P ＝26＝13.故选B.4.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( C )A.14B.12C.34D.78【试题解析】如图所示,设在通电后的4秒钟内,甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x ,y ,且x ,y 相互独立,由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，|x －y |≤2，所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x－y |≤2)＝S 正方形－2S △ABC S 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.5.(2019·石家庄质量检测)口袋中有形状和大小完全相同的五个球,编号分别为1,2,3,4,5,若从中一次随机摸出两个球,则摸出的两个球的编号之和大于6的概率为__25__.【试题解析】 一次摸出两个球,有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个可能结果,其中两个球编号之和大于6的有(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共4个可能结果,所以所求概率为410＝25.6.已知实数x ,y 满足|x |≤3,|y |≤2,则任取其中的一对实数x ,y ,使得x 2＋y 2≤4的概率为__π6__.【试题解析】 如图,在平面直角坐标系xOy 中,满足|x |≤3,|y |≤2的点在矩形ABCD 内(包括边界),使得x 2＋y 2≤4的点在图中圆O 内(包括边界).由题意知,S矩形ABCD＝4×6＝24,S圆O＝4π,故任取其中的一对实数x ,y ,使得x 2＋y 2≤4的概率P ＝S 圆O S 矩形ABCD ＝4π24＝π6.7.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,得到数据分组区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的人数分别为2,3,11,14,11,9.(1)估计该企业的职工对该部门评分不低于80分的概率；(2)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求这2人评分都在[40,50)的概率. 【试题解析】 (1)∵50名受访职工评分不低于80分的频率为11＋950＝0.4.∴该企业职工对该部门评分不低于80分的概率估计值为0.4. (2)受访职工评分在[50,60)的有3人,分别记为A 1,A 2,A 3. 受访职工评分在[40,50)的有2人,分别记为B 1,B 2.从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,分别是{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 2,A 3},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 3,B 1},{A 3,B 2},{B 1,B 2}.又所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即{B 1,B 2},故所求概率P ＝110.8.已知二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋2.(1)任取a ∈{1,2,3},b ∈{－1,1,2,3,4},记“f (x )在区间[1,＋∞)上是增函数”为事件A ,求A 发生的概率；(2)任取(a ,b )∈{(a ,b )|a ＋4b －6≤0,a >0,b >0},记“关于x 的方程f (x )＝0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B ,求B 发生的概率.【试题解析】 (1)因为a 有3种取法,b 有5种取法,则对应的函数有3×5＝15个. 因为函数f (x )的图象关于直线x ＝2b a 对称,若事件A 发生,则a >0且2ba ≤1.数对(a ,b )的取值为(1,－1),(2,－1),(2,1),(3,－1),(3,1)共5种. 所以P (A )＝515＝13.(2)集合{(a ,b )|a ＋4b －6≤0,a >0,b >0}对应的平面区域为Rt △AOB ,如图. 其中点A (6,0)B (0,32),则△AOB 的面积为12×32×6＝92.若事件B 发生,则f (1)<0,即a －4b ＋2<0. 所以事件B 对应的平面区域为△BCD .由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4b －6＝0，a －4b ＋2＝0，得交点坐标为D (2,1). 又C (0,12),则△BCD 的面积为12×(32－12)×2＝1.所以P (B )＝S △BCD S △AOB ＝29.B 组1.已知P 是△ABC 所在平面内一点,PB →＋PC →＋2P A →＝0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内,则黄豆落在△PBC 内的概率是( C )A.14B.13C.12D.23【试题解析】 如图所示,取边BC 上的中点D ,由PB →＋PC →＋2P A →＝0,得PB →＋PC →＝2AP →.又PB →＋PC →＝2PD →,故AP →＝PD →,即P 为AD 的中点,则S △ABC ＝2S △PBC ,根据几何概率的概率公式知,所求概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12,故选C.2.在区间[－π6,π2]上随机取一个数x ,则sin x ＋cos x ∈[1,2]的概率为( D )A.12B.13C.23D.34【试题解析】 sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4),由1≤2sin(x ＋π4)≤2,得22≤sin(x ＋π4)≤1,结合x ∈[－π6,π2]得0≤x ≤π2,所以所求概率为π2π2＋π6＝34.故选D.3.将一枚骰子先后抛掷两次,并记朝上的点数分别为m ,n ,m 为2或4时,m ＋n >5的概率为( D )A.227B.29C.13D.23【试题解析】 依题意得,先后抛掷两次骰子所得的点数对(m ,n )共有6×6＝36组,其中当m ＝2或4时,相应的点数对(m ,n )共有2×6＝12组.当m ＝2时,满足m ＋n >5,即n >3的点数对(m ,n )共有3组； 当m ＝4时,满足m ＋n >5,即n >1的点数对(m ,n )共有5组,因此所求的概率等于3＋512＝23,选D.4.从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1,x 2,…,x n ,y 1,y 2,…,y n ,构成n 个数对(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( C )A.4n mB.2n mC.4m nD.2m n【试题解析】 由题意得(x i ,y i )(i ＝1,2,…,n )在如图所示的正方形中,而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中,由几何概型概率计算公式知π41＝m n ,所以π＝4mn.5.曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1,其中m ,n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数,事件A 为“方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”,那么P (A )＝__512__.【试题解析】 试验中所含基本事件个数为36.若表示焦点在x 轴上的椭圆,则m >n ,有(2,1),(3,1),…,(6,5),共1＋2＋3＋4＋5＝15种情况,因此P (A )＝1536＝512.6.折纸已经成为开发少年儿童智力的一大重要工具和手段.已知在折叠“爱心”的过程中会产生如图所示的几何图形,其中四边形ABCD 为正方形,G 为线段BC 的中点,四边形AEFG 与四边形DGHI 也为正方形,连接EB ,CI ,则向多边形AEFGHID 中投掷一点,该点落在阴影部分内的概率为__13__.【试题解析】 设正方形ABCD 的边长为2,则由题意,多边形AEFGHID 的面积为S AGFE＋S DGHI ＋S △ADG ＝(5)2＋(5)2＋12×2×2＝12,阴影部分的面积为2×12×2×2＝4,所以向多边形AEFGHID 中投掷一点,该点落在阴影部分内的概率为412＝13.7.(2018·天津卷,15)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ,B ,C ,D ,E ,F ,G 表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M 发生的概率.【试题解析】 (1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ,B },{A ,C },{A ,D },{A ,E },{A ,F },{A ,G },{B ,C },{B ,D },{B ,E },{B ,F },{B ,G },{C ,D },{C ,E },{C ,F },{C ,G },{D ,E },{D ,F },{D ,G },{E ,F },{E ,G },{F ,G },共21种.②由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A ,B ,C ,来自乙年级的是D ,E ,来自丙年级的是F ,G ,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ,B },{A ,C },{B ,C },{D ,E },{F ,G },共5种.所以,事件M 发生的概率为P (M )＝521.8.(2019·太原三模)某校倡导为特困学生募捐,要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和所得捐款额情况,列表如下：售出水量x /箱 7 6 6 5 6 所得捐款额y /元165142148125150学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定：特困生综合考核前20名,获一等奖学金500元；综合考核在21～50名,获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金.(1)若x 与y 成线性相关,则某天售出9箱水时,预计所得捐款额为多少元？(2)假设甲、乙、丙三名学生均获奖,且各自获一等奖和二等奖的可能性相同,求三人获得奖学金之和不超过1 000元的概率.附：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^,其中b ^＝ni ＝1 (x i －x )(y i －y )ni ＝1(x i －x )2,a ^＝y －b ^x . 【试题解析】 (1)x ＝7＋6＋6＋5＋65＝6,y ＝165＋142＋148＋125＋1505＝146,b ^＝5i ＝1(x i －x )(y i －y )5i ＝1(x i－x )2＝19＋0＋0＋21＋01＋0＋0＋1＋0＝20. a ^＝y －b ^x ＝146－20×6＝26,∴y ^＝20x ＋26. 当x ＝9时,y ^＝20×9＋26＝206,即某天售出9箱水的预计所得捐款额是206元.(2)设事件A 1：甲获一等奖；事件A 2：甲获二等奖；事件B 1：乙获一等奖；事件B 2：乙获二等奖；事件C 1：丙获一等奖；事件C 2：丙获二等奖.则总事件为(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 2),(A 2,B 2,C 1),(A 2,B 2,C 2),共8种情况.甲、乙、丙三人获得奖金之和不超过1 000元的事件有(A 2,B 2,C 2)1种情况,则三人获得奖学金之和不超过1 000元的概率为18.。
【优化探究】2017届高三数学(理)高考二轮复习(书讲解课件)第一部分专题六第一讲算法、复数、推理与证明
运行第一次，x＝0，y＝1，不满足 x2＋y2≥36； 1 运行第二次，x＝ ，y＝2，不满足 x2＋y2≥36； 2 3 运行第三次，x＝ ，y＝6，满足 x2＋y2≥36， 2 3 输出 x＝ ，y＝6. 2
3 由于点2，6在直线 y＝4x 上，故选 C.
考点二
考点三
考点二
考点二
考点三
考点一
试题
解析
考点一
阅读程序框图，根据循环控制条件，逐步分析求解． 由程序框图知，初始值：n＝3，x＝2，v＝1，i＝2，
考点二
考点三
第一次执行：v＝4，i＝1； 第二次执行：v＝9，i＝0； 第三次执行：v＝18，i＝－1. 结束循环，输出当前 v 的值 18.故选 B.
考点一
考点一
考点一
试题
解析
2．(2016· 高考全国Ⅲ卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的 a ＝4，b＝6，那么输出的 n＝( B )
考点一
A．3 C．5
B．4 D．6
考点二
考点三
考点一
试题
解析
根据循环结构的特点，逐步运算，直到满足条件时输出结果． 程序运行如下：
考点一
开始 a＝4，b＝6，n＝0，s＝0. 第 1 次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1； 第 2 次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2； 第 3 次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3； 第 4 次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4. 此时，满足条件 s>16，退出循环，输出 n＝4.故选 B.
考点一
( B )
考点二
考点三
A．32 C．21
B．25 D．15
2017版高考数学一轮复习(通用版)课件
命题预测：1.以基本初等函数为载体，考查函数的图象、单调性、奇偶 性、周期性及数形结合的思想.2.以分段函数为载体与不等式交汇，考查对函数 性质的掌握及等价转化的思想意识.3.导数研究多项式函数、幂函数、分式函 数，以e为底的对数和指数函数的性质以及求参数等综合问题，重点考查学生的 函数与方程、等价转化及分类讨论的思想意识．
明考情| 洞察规律
5 年高考课标全国卷命题分析
年份及试卷 题号
考查要点
难度
10
分段函数求值、指数、对数运算
中
12 函数对称问题中的解析式求法、指对互化 高
2015 年卷Ⅰ 14
导数的几何意义、切线方程的求法
低
21
导函数的零点、导数与不等式
高
11
函数的图象及性质
低
12
函数的奇偶性、单调性的应用
高
13
∵f(x)的值域为[4，＋∞)， ∴当a>1时，3＋logax>3＋loga2≥4，∴loga2≥1， ∴1<a≤2；
当0<a<1时，3＋logax<3＋loga2，不合题意．
一确定的数 f(x)和它对应 唯一确定的元素 y 与之对应
称 f：A→B为从集合 A 到集 称 f：A→B为从集合 A 到集
名称
合 B 的一个函数
合 B 的一个映射
记法
函数 y＝f(x)，x∈A
映射：f：A→B
二、函数的三要素
自变量x {f(x)|x ∈A}
分析法列表法 图像法
[特别提醒] 同一函数的判断 在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同； 二是对应关系是否相同.
【答案】 (1)× (2)× (3) × (4) ×