第二章 平稳随机过程的谱分析

第二章平稳随机过程的谱分析本章要解决的问题：●随机信号是否也可以应用频域分析方法?●傅里叶变换能否应用于随机信号？●相关函数与功率谱的关系●功率谱的应用●采样定理●白噪声的定义2.1 随机过程的谱分析2.1.1 预备知识1、付氏变换:对于一个确定性时间信号x(t)，设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足狄利赫利条件（有限个极值，有限个断点，断点为有限值）且绝对可积，能量有限，则x(t)傅里叶变换存在。

即：满足上述三个条件的x(t)的傅里叶变换为：其反变换为：2、帕赛瓦等式由上面式子可以得到：——称为非周期性时间函数的帕塞瓦(Parseval)等式。

物理意义：若x(t)表示的是电压(或电流)，则上式左边代表x(t)在时间(-∞,∞)区间的总能量（单位阻抗）。

因此，等式右边的被积函数2)(ωXX表示了信号x(t)能量按频率分布的情况，故称2)(ωXX为能量谱密度。

2.1.2、随机过程的功率谱密度一个信号的付氏变换是否存在，需要满足三个条件，那么随机信号是否满足这三个条件从而存在付氏变换呢？随机信号持续时间无限长，因此，对于非0的样本函数，它的能量一般也是无限的，因此，其付氏变换不存在。

但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然可以利用博里叶变换这一工具。

为了将傅里叶变换方法应用于随机过程，必须对过程的样本函数做某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。

x(t):截取函数T图2.1 x(t)及其截取函数x(t)满足绝对可积条件。

因此，当x(t)为有限值时，裁取函数Tx(t)的傅里叶变换存在，有Tx(t)也应满足帕塞瓦等式，即：（注意积分区间和表达很明显，T式的变化）用2T 除上式等号的两端，可以得到等号两边取集合平均，可以得到:令∞→T ，再取极限，便可得到随机过程的平均功率。

交换求数学期望和积分的次序，可以得到：(注意这里由一条样本函数推广到更一般的随机过程，即下面式子对所有的样本函数均适用)ωωπd TT X E dt t XE TX T TT T 2]),([lim 21)]([21lim22⎰⎰∞∞-∞→-∞→=上式等号的左边表示的正是随机过程消耗在单位电阻上的平均功率（包含时间平均和统计平均），以后我们将简称它为随机过程的功率并记为Q 。

再看等式的右边，它当然也存在，并且等于Q 。

又因为2),(ωT XX非负，所以极限TT XE XT 2]),([lim2ω∞→必定存在，记为)(ωX S ：ωωπd S dt t XE TQ X TT T ⎰⎰∞∞--∞→==)(21)]([21lim2注意：（1）Q 为确定性值，不是随机变量（2）)(ωX S 为确定性实函数。

（见式）● 两个结论： 1．><=)]([2t X E A Q 式中，><>=<∞→.21lim.TA T表示时间平均。

它说明，随机过程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均来得到，即对于一般的随机过程（例如，非平稳随机过程）求平均功率，需要既求时间平均，又求统计平均。

显然， Q 不是随机变量。

若随机过程为平稳的，则)0()]([)]([22X R t X E t X E A Q ＝>=<=这是因为均方值与时间t 无关，其时间平均为它自身。

由于已经对2),(ωT XX求了数学期望，所以)(ωX S 不再具有随机性，它是ω的确定性函数。

● 功率谱密度：)(ωX S 描述了随机过程X(t)的功率在各个不同频率上的分布——称)(ωX S 为随机过程X(t)的功率谱密度。

● 对)(ωX S 在X(t)的整个频率范围内积分，便可得到X(t)的功率。

● 对于平稳随机过程，则有：⎰∞∞-=ωωπd S t X E X )(21)]([22.1.3、功率谱密度的性质证明：证明：因为2),(ωT XX进行了取模运算，这是ω的实函数，所以)(ωX S 也是ω的实函数，且为确定性实函数。

证明：因此：即：得：证明：对于平稳随机过程，有：⎰∞∞-=ωωπd S t X E X )(21)]([22.2 联合平稳随机过程的互功率谱密度2.2.1、互谱密度可由单个随机过程的功率谱密度的概念，以及相应的分析方法推广而来。

考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)， 它们的样本函数分别为)(t x 和)(t y ，定义两个截取函数()t x T 、()t y T 为：因为()t x T 、()t y T 都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。

在时间范围(-T ，T)内，两个随机过程的互功率)(T Q XY 为:（注意()t x T 、()t y T 为确定性函数，所以求平均功率只需取时间平均）由于()t x T 、()t y T 的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用，即:注意到上式中，)(t x 和)(t y 是任一样本函数，因此，具有随机性，取数学期望，并令∞→T ，得：])()(21[lim )]([lim dt t y t x TE Q T Q E TT T XY XY T ⎰-∞→∞→==＝]),(21[lim dt t t R TTT XYT ⎰-∞→＝ωωωπd TT X T XE Y XT 2)],(),([lim 21*⎰∞∞-∞→定义互功率谱密度为：得：同理，有：又知以上定义了互功率和互功率谱密度，并且导出了它们之间的关系。

2.2.2、互谱密度和互相关函数的关系平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为傅里叶变换，互相关函数与互谱密度之间也存在着类似关系。

定义：对于两个实随机过程X(t)、Y(t)，其互谱密度)(ωXY S 与互相关函数),(τ+t t R XY 之间的关系为若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有即：式中，><.A 表示时间平均。

显然：证明：略，参见自相关函数和功率谱密度关系的证明。

结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。

2.3.3、互谱密度的性质互功率谱密度和功率谱密度不同，它不再是频率ω的正的、实的和偶函数。

性质1：)()()(*ωωωYX YX XY S S S =-= 证明：⎰∞∞--=ττωωτd eR S j XY XY )()(＝⎰∞∞---ττωτd e R j YX )( 令ττ-=＝⎰∞∞-ττωτd eR j YX )(＝)(*ωYXS＝⎰∞∞---τττωd eR j YX )()(＝)(ω-YX S性质2：)(Re[)](Re[ωω-=XY XY S S ；)(Re[)](Re[ωω-=YX YX S S证明：式中Re[·]表示实部。

亦即互谱密度的实部为ω的偶函数。

ττωωτd eR S j XY XY ⎰∞∞--=)()(＝τωτωττd j R XY )]sin()[cos (⎰∞∞--+所以：τωττωd R S XYXY ⎰∞∞-=cos )()](Re[ 令ττ-=＝τωττd R XY⎰∞∞--cos )(＝)](Re[ω-XY S其它同理可证。

性质3：证明：类似性质2证明。

性质4：若X(t)与Y(t)正交，则有证明：若X(t)与Y(t)正交，则0),(),(2121==t t R t t R YX XY 所以，0)()(==ωωYX XY S S性质5：若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分别具有常数均值Xm 和Y m ,则证明：因为X(t)与Y(t)不相关，所以Y X m m t Y t X E =)]()([21ττωωτd eR S j XY XY ⎰∞∞--=)()(＝τωτd em m j YX ⎰∞∞--＝)(2ωδπY X m m （注意)(21ωπδ↔） 性质6：式中，A<∙>表示时间平均。

这给出了一般的随机过程（包含平稳）的互谱密度与互相关函数的关系式。

[例2.2] 设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数)(τXY R 为:求互谱密度)(ωXY S ,)(ωYX S 解：先求)(ωXY S ：再求)(ωYX S2.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系确定信号：x(t)↔ )(ωj X 。

随机信号：平稳随机过程的自相关函数↔功率谱密度。

1．定义：若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即：这一关系就是著名的维纳—辛钦定理、或称为维纳—辛钦公式。

2. 证明：下面就来推导这一关系式。

证明方法类似式的证明。

因为：由(3.1.14)式 2[(,)]()lim2XX T E XT S Tωω→∞= *1lim[(,)(,)]2XXT E XT XT Tωω→∞=＝1lim2T T→∞121122[()()]T T j t j t TTE X t edt X t e dt ωω---⎰⎰交换积分和数学期望顺序＝21()12121lim[()()]2T T j t t TTT E X t X t edt dt Tω----→∞⎰⎰＝⎰⎰----∞→-T T TT t t j X T dt dt et t R T21)(1212)(21limω设12t t -=τ，12t t u +=，则22ut τ+=，21τ-=u t所以：2121212121),(),(21=-=∂∂=u t t J τ t1t2-TT2T2Tu -2T τ-=T u 2τ+-=T u 2τ+=T u 2τ--=T u 2τ图2.2则du e R d TS j X TT T T X ωτττττω--+-∞→⎰⎰=)(21{21lim)(2022 })(210222du eR d j X TT T ωτττττ--+--⎰⎰+＝})(2121{lim 2222du eR d T j X TT T T T ωτττττ---+-∞→⎰⎰＝τττωτd eR T Tj X TTT --∞→⎰-)()2(21lim22＝τττωτd eR Tj X TTT --∞→⎰-)()21(lim22 （1）＝⎰∞∞--ττωτd eR j X )(－22lim)()2T j X TT R ed Tωττττ--→∞⎰(注意T ∞→,02→Tτ；且∞→τ时，0)(→τX R 。

因此，通常情况下，第二项为0＝⎰∞∞--ττωτd eR j X )(证毕。

推论：对于一般的随机过程X(t)，有：则平均功率为：ωωπd S dt t XE TX TT T ⎰⎰∞∞--∞→=)(21)]([21lim2（0＝τ）——时间平均加统计平均。

利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳—辛钦定理表示成：3．单边功率谱由于实平稳过程x(t)的自相关函数)(τX R 是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函数。