第3章 平稳随机过程的谱分析
2.2.4 平稳随机过程的相关性分析
2 lim RX (τ ) = RX (∞) = mX
证明 : 当 τ → ∞ 时 , X (t )与 X (t + τ )不相关 , 则有 :
τ →∞
lim R X (τ ) = R X ( ∞ ) = lim E [ X ( t ) X ( t + τ )]
τ →∞
2 = lim { E [ X ( t )] ⋅ E [ X (t + τ )]} = m X
17
∞
样本函数x(t)的平均功率： 样本函数x(t)的平均功率： x(t)的平均功率
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T 1 1 ∞ 2 = lim ⋅ ∫−∞ XT (ω) dω T →∞ 2 T 2π 1 ∞ 1 2 = lim ∫−∞[T→∞ 2T XT (ω) ]dω 2π
∫
∞
−∞
xT ( t ) e
− jω t
dt =
∫
T
−T
x (t )e
− jω t
dt
1 xT (t ) = 2π
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T
∫
∞
−∞
X T (ω )e jωt dω
2
1 ∞ 2 ∫−∞[x(t)] dt = 2π ∫−∞ X (ω) dω
样本函数x(t)的功率谱密度， 样本函数x(t)的功率谱密度， x(t)的功率谱密度 简称样本的功率谱密度。 简称样本的功率谱密度。
x(t), w和 T (ω)取 于 验 结 , 都 有 定 随 性 X 决 试 的 果 带 一 的 机 .
例 : 已知平稳过程 X (t )的自相关函数为 : (1) R X (τ ) = 3e
通信专业中的一些重要公式
第一章 绪论 1.传码率B R即波型（码元）传输速率，每秒钟传输的码元速率。
常表示为B R ，单位为“波特（Baud ）”。
)(1Baud T R B =（1.1-1）式中：T 是每个码元占有的时间长度，单位是s 。
2.传信率b R ：即信息传输速率，指每秒钟传输的信息量。
常表示为b R ，单位是“比特/秒（bit/s 或bps ）”。
对于二进制码元，传码率和传信率数值相等，但单位不同。
对于多进制码元，两者不同，但可以通过下列公式进行转换。
)/(log 2s bit N R R B b ⋅= （1.1-2）式中：N 是进制数。
3.误码率e P是指错误接收的码元数在传送总码元数中所占的比例，或者更确切地说，误码率是码元在传输系统中被传错的概率。
即e P = 错误接收码元数目/传输码元总数目 （1.1-3） 4.误信率b P又称误比特率，是指错误接收的信息量在传送信息总量中所占的比例，或者说，它是码元的信息量在传输系统中被丢失的概率。
即b P = 错误接收比特数/传输总比特数 (1.1-4）5.信息量单个符号的信息量[])(1log )(log )(i a i a i x P x P x I =-= （1.2-2）6.熵（平均信息量）∑∑-==Xa Xx P x P x I x P X H )(log )()()()( （1.2-10）式中X 为离散信源符号集合，)(X H 的单位取决于对数底a 的取值，通常情况下取2=a ，这时，)(X H 的单位为bit /符号。
若离散信源X 中只有M 个符号，则上式又可以表示成下式∑=-=Mi i a i x P x P X H 1)(log )()( （1.2-11）7.连续信道连续信道的信道容量，由著名的香农（Shannon ）公式确定，其内容为：假设信道的带宽为)(Hz B ，信道输出的信号功率为)(W S ，输出的加性带限高斯白噪声功率为)(W N ，则该信道的信道容量为())/(/1log 2s bit N S B C += （1.3-26）若噪声的单边功率谱密度为0n ，则有噪声功率为B n N 0=，可得香农公式的另一种形式[])/()/(1log 02s bit B n S B C += （1.3-27）其中0称为信道容量的“三要素”。
通信原理辅导及习题解析
通信原理辅导及习题解析（第六版）第3章随机过程本章知识结构及内容小结[本章知识结构][知识要点与考点]1． 随机过程的基本概念 （1）随机过程的定义随机过程可从样本函数与随机变量两种角度定义。
第一，随机过程是所有样本函数的集合；第二，随机过程可以看作实在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
（2）随机过程的分布函数 ① n 维分布函数12121122(,,,;,,,){(),(),,()}n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤② n 维概率密度函数1212121212(,,,;,,,)(,,,;,,,),,,n n n n n n nF x x x t t t f x x x t t t x x x ∂=∂∂∂维数n 越大，对随机过程统计特征的描述就越充分。
（3）随机过程的数字特征 ① 均值（数学期望）1[()](,)()E t xf x t dx a t ξ∞-∞==⎰均值表示随机过程的样本函数曲线的摆动中心。
② 方差2222[()]{()[()]}[()]()()D t E t E t E t a t t ξξξξσ=-=-=方差表示随机过程在时刻t 相对于均值的偏离程度。
③自相关函数1212(,)[()()]R t t E t t ξξ=自相关函数目的是为了衡量在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。
④协方差函数1211221212(,){[()()][()()]}(,)()()B t t E t a t t a t R t t a t a t ξξ=--=-协方差函数对随机过程在任意两个时刻上的随机变量与各自均值的差值之间的相关联程度进行描述。
⑤互相关函数,1212(,)[()()]R t t E t t ξηξη=互相关函数用来衡量两个随机过程之间的相关程度。
2． 平稳随机过程 （1）定义 ①严平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的任意有限维分布函数与时间起点无关，则称为严平稳的，即：()()12121212,,,,,,,,,,n n n n n n f x x x t t t f x x x t t t =+∆+∆+∆②宽平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的均值为常数，自相关函数仅于时间间隔21t t τ=-有关，则称为宽平稳，即：()()()12, ,E t a R t t R ξτ==⎡⎤⎣⎦（2）各态历经性若随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可能状态，则称其是各态历经的，即随机过程的数字特征，可以由其任一实现(样本函数)的数字特征来代表。
随机信号分析(第3版)第三章 习题答案
Z (t )的均值: E[ Z (t )] = E[ A ⋅ X (t ) ⋅ Y (t )] = E[ A] ⋅ E[ X (t )] ⋅ E[Y (t )] = 2 E[ X (t )] ⋅ E[Y (t )]
2 mX = RX (∞) = lim
2 cos ω0τ = 0 → mX = 0 τ →∞ eτ
⎡ 2 1.3 0.4 __ ⎤ ⎢ __ 2 1.2 0.8⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0.4 1.2 __ 1.1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0.9 __ __ 2 ⎦ 3.12 解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性，得到： ⎛ 2 1.3 0.4 0.9 ⎞ ⎜ 1.3 2 1.2 0.8 ⎟ ⎟ C= ⎜ ⎜ 0.4 1.2 2 1.1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.9 0.8 1.1 2 ⎠ 3.13
= E[100 sin 2 (ω 0 t + θ ) ×100 sin 2 (ω 0 t + ω 0τ + θ ) ] = 2500 E[1 − cos(2ω 0τ ) − cos(4ω 0 t + 2ω 0τ + 4θ )] = 2500 E[1 − cos(2ω 0τ ) ] ∴ R Z (τ ) 仅与 τ 有关，且均值为常数，故 Y(t ) 是平稳过程。
3.6 给定随机过程 X ( t ) = A cos (ω 0t ) + B sin (ω 0t ) ，其中 ω 0 是常数， A 和 B 是 两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为 σ 2 。证明 X ( t ) 是广义平 稳而不是严格平稳的。 3.6 证明：Q m X (t ) = E[X(t )] = E[ A cos(ω 0 t ) + B sin(ω 0 t) ] = 0
随机过程分析
随机过程分析摘要随着科学的发展，数学在我们日常的通信体系中有着越来越重的地位，因为在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描述一个现象的不同量之间的关系,从最简单的加减乘除，到复杂的建模思想等等。
其中，随机过程作为数学的一个重要分支，更是在整个通信过程中发挥着不可小觑的作用。
如何全面的对随机信号进行系统和理论的分析是现在通信的关键，也是今后通信业能否取得巨大进步的关键。
关键字通信系统随机过程噪声通信中很多需要进行分析的信号都是随机信号。
随机变量、随机过程是随机分析的两个基本概念。
实际上很多通信中需要处理或者需要分析的信号都可以看成是一个随机变量，利用在系统中每次需要传送的信源数据流，就可以看成是一个随机变量。
例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。
也就是说把随某个参量而变化的随机变量统称为随机函数；把以时间t为参变量的随机函数称为随机过程。
随机过程包括随机信号和随进噪声。
如果信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全预知，这种信号就称为随机信号；在通信系统中不能预测的噪声就称为随机噪声。
下面对随机过程进行分析。
一、随机过程的统计特性1、数学期望:表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心，即均值2、方差:表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。
即均方值与均值平方之差。
3、自协方差函数和相关函数:衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。
（1）自协方差函数定义式中t1与t2是任意的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2得到的数学期望；用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。
（2）自相关函数用途：a 用来判断广义平稳；b 用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。
二、平稳随机过程1、定义（广义与狭义）：则称X(t)是平稳随机过程。
该平稳称为严格平稳，狭义平稳或严平稳。
广义平稳概念：若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，而其相关函数仅与τ有关，则称这个随机过程为广义平稳随机过程。
数据通信原理 第03章 随机过程(3.4)
h( )h( ) Ri ( )dd R0 ( )
上式表明,输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。 由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则 输出也是平稳的。
28
3、输出过程o(t)的功率谱密度 对下式进行傅里叶变换：
若 H f t yt 则系统 H 是非时变系统,否则是时变系统。
六、线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
et
de t dt
系统
系统
r t
dr t dt
et dt
t
r t dt
t
系统
E[ 0 (t )] a h( )d a H (0)
式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因
26
2、输出过程o(t)的自相关函数： 根据自相关函数的定义
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
f 1 t C1 C 1 f 1 t
f 2 t
f 1 t
C2
H
C 2 f 2 t
H f 1 t
C 1 H f 1 t
H
H C 1 f 1 t C 2 f 2 t
C1
f 2 t
H
H f 2 t
C2
C 2 H f 2 t
C 1 H f 1 t C 2 H f 2 t
若 H C1 f1 t C2 f 2 t C1 H f1 t C2 H f 2 t
随机过程5.4 平稳过程的谱分析简介
1) S(ω)为实值非负函数，即
S() S() 0.
2)又若{X(t), t∈R}是实过程, 则S(ω)是偶 函数. 证 1) S() lim 1 E[ F(,T ) 2 ] S() 0;
T 2T
2) 实平稳过程的相关函数是偶函数, 由(5) 式可得
S() R()e jd R()e jd
2T T
2 2T
成立.
上式两边求均值再取极限, 左端为
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
T
(4)
电子科技大学
称为平稳过程X(t) 的平均功率.
若(4)中的积分与求均值可交换顺序, 则
1
lim T 2T
T
E{
T
X (t )
2 }dt
E[
X (t )
注
RX
(
)
1
2
e
jt
dFX
(
),
R
称为平稳过程相关函数的谱展式.
定义5.4.1 称FX(ω)为过程{X(t),t∈T}的谱函
数，若存在SX (ω)，使
FX () SX (1 )d1, R
电子科技大学
称SX(ω)为过程的谱密度. 利用特征函数和分布函数之间的关系,可
S() R()e jd, (5)
R()
1 2ຫໍສະໝຸດ S ()ejd,(6)
平稳过程的相关函数与功率谱密度构成一
对Fourier变换.
注 (6) 式称为相关函数的谱分解式.
推论1 {X(t), t∈R}是平稳过程, 则其谱密 度S(ω) 满足
随机信号分析_第三章_平稳随机过程的谱分析
A RX (t , t ) e j d
说明如果A<RX(t,t+τ)>绝对可积，那自 相关函数的时间平均与功率谱密度是傅 里叶变换对。
对于平稳随机过程，由于： A<RX(t,t+τ)>＝ A<RX(τ)>＝ RX(τ) 所以: j S X ( ) RX ( )e d
S X ( ) R X ( )e
0
j
d
0
Ae e
j
d Ae
e
j
d
1 1 A[ ] j j 2 A 2 2
例3.4 P203 设随机相位信号X(t)＝Acos(ω0t+θ)， 其中A, ω0为常数； θ为随机相位，在（0， 2π）均匀分布。可以计算初其自相关函 数RX(τ)=[A2cos (ω0τ)]/2, 求X(t)的功率谱 密度。 解：引入δ函数。 1 1 j ()e d 2 2
3.2.1 功率谱密度的性质
1. 功率谱密度的非负性。即： SX(ω)>=0 2. 功率谱密度是ω的实函数。即： SX(ω)= SX(ω)
3. 对于实随机过程来讲，功率谱密度是ω 的偶函数。即： SX(ω)＝ SX(－ω) 4. 功率谱密度可积。即：
S X ( )d
3.2.2 谱分解定理
满足上述条件的x(t)的傅利叶变换为：
Fx ( ) x(t )e
jt
dt
称为x(t)的频谱。为一复数，有 Fx(ω)= Fx(-ω)
Fx(ω)的傅利叶反变换为：
1 x(t ) 2
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第3章 平稳随机过程的谱分析付里叶变换是处理确定性信号的有效工具，它信号的频域内分析处理信号，常常使分析工作大为简化。
对于随机信号，是否也可以应用频域分析方法？付里叶变换是否可引入随机信号中？3.1 随机过程的谱分析3.1.1 回顾：确定性信号的谱分析)(t f 是非周期实函数， )(t f 的付里叶变换存在的充要条件是：1．)(t f 在),(∞-∞上满足狄利赫利条件；2．)(t f 绝对可积：+∞<⎰+∞∞-dt t f )(3．若)(t f 代表信号，则)(t f 信号的总能量有限，即：+∞<⎰+∞∞-dt t f 2)()(t f 的付里叶变换为：⎰+∞∞--=dt e t f F t j ωω)()(付里叶逆变换为⎰+∞∞-=ωωπωd e F t f t j )(21)(重要等式：⎰⎰+∞∞-+∞∞-=ωωπd F dt t f 22)(21)(此等式称为帕塞瓦（Parseval ）等式，其物理意义是：等式左边信号在时域上的总能量，等式右边的2)(ωF 可认为是单位频带内的能量，总能量通过积分⎰+∞∞-ωωd F 2)(得到，称2)(ωF 等于为能谱密度。
3.1.2 随机过程的功率谱密度一、样本函数的平均功率问题1：由于付里叶变换是针对确定性函数进行的，在处理随机过程)(t X 时，取)(t X 的一个样本函数)(t x （在曲线族中取某一曲线）来进行付里叶分析。
问题2：随机过程)(t X 的样本函数)(t x 一般不满足付里叶变换的条件，它的总能量是无限的，需考虑平均功率。
若随机过程)(t X 的样本函数)(t x 满足+∞<=⎰-∞→TTT dt t x TW 2)(21limW 称为样本函数)(t x 的平均功率。
对于平稳过程，其样本函数的平均功率是有限的。
二、截取函数对于)(t X 的一个样本函数)(t x ，在)(t x 中截取长为T 2的一段，记为)(t x T，它满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥<=Tt T t t x t x T 0)()(称)(t x T为)(t x 的截取函数。
三、截取函数的付里叶变换 0>T ，取定后，)(t x T的付里叶变换一定存在：⎰⎰--+∞∞--==TTt j tj T T dt e t x dt et x X ωωω)()()(其付里叶逆变换为：⎰+∞∞-=ωωπωd e X t x t j T T )(21)(其帕塞瓦（Parseval ）等式为⎰⎰⎰+∞∞--+∞∞-==ωωπd X dt t x dt t x T TTT 222)(21)()(四、随机过程的平均功率说明：)(t x T与)(ωT X 具有随机性，因为)(t x 是)(t X 的一个样本，具有随机性，因此，)(t x T与)(ωT X 都是随机变量。
由⎰⎰+∞∞--=ωωπd X dt t x T TT22)(21)(⇔ ⎰⎰+∞∞--=ωωπd X Tdt t x TT TT22)(41)(21⇔])(41[])(21[22⎰⎰+∞∞--=ωωπd X TE dt t x TE T TT⇔⎰⎰∞+∞--=ωωπd TX E dt t x E T T TT2])([21])([2122⇔ ⎰⎰∞+∞-∞→-∞→==ωωπd TX E dt t x E T W T T TT T 2])([lim 21])([21lim 22称⎰-∞→=T T T dt t x E T W ])([21lim 2为随机过程)(t X 的平均功率。
记TX E S T T X2])([lim)(2ωω∞→=，称)(ωXS 为随机过程)(t X 的功率谱密度。
)(ωX S 描述了随机过程)(t X 的功率在各个频率分量上的分布。
3.1.3功率谱密度与复频率面拉谱拉斯变换回顾：在付里叶变换中，令ωj s =，便有变换为⎰+∞∞--=dt e t f s F t s )()(这便是有名的拉谱拉斯变换。
令ωσj s +=，用s 来代替ω，得)(s S X，s 是复频率。
应用复频率来表示平稳随机过程的功率谱密度，在某些实际应用中是很方便的。
取0=σ，)(s S X 便是由拉谱拉斯变换引伸出的频谱分析。
3.2 功率谱密度的性质 1．功率谱密度为非负函数，即：0)(≥ωX S2． 功率谱密度为ω的实函数。
3．功率谱密度为ω的偶函数：)()(ωω-=X X S S证明：4．功率谱函数可积∞<⎰∞∞-ωωd S X )(5．有理谱密度是实际应用中最觉常见的一类功率谱密度，自然界和工程实际应用中的有色噪声常常可用有理函数形式的功率谱密度来逼近。
这时，)(ωXS 可以表示为两个多项式之比，即2222222022222220)()(d d d c c c S S N N N M M M X ++++++++=----ωωωωωωω必须满足N M <。
3.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系定理：平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度之间构成付里叶变换对，即：设)(ωXS 是功率谱密度，)(τX R 是自相关函数，则有 ⎰+∞∞--=ττωωτd e R S j X X )()(⎰+∞∞-=ωωπτωτd e S R j X X )(21)(证明：TX E S T T X 2])([lim)(2ωω∞→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=*∞→T X X E T T T 2)()(lim ωω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰---∞→TTTTt j t j T dt e t X dt et X TE 221121)()(21lim ωω⎰⎰----∞→=T T t t j TTT dt dt e t X t X E T 21)(2112)]()([21lim ω⎰⎰----∞→=TT t t j TTX T dt dt e t t R T21)(2112),(21lim ω令1t t =， 12t t -=τ，则1dt dt =，τd dt =2{}⎰⎰-----∞→+=tT tT j TTX T X d e dt t t R T S ττωωτ),(21lim)(⎰⎰∞∞---∞→⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ττωτd e dt R T j TT XT )(21lim⎰∞∞--∞→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅=ττωτd e T R T j X T 2)(21lim⎰∞∞--=ττωτd e R j X )()(ωX S 与)(τX R 的相互关系反映了时域特性与频域特性之间的联系，是分析随机信号的一个最重要、最基本的公式：可以相互利用，使求解计算大大简化。
3.4 联合平稳随机过程的互谱密度1． 两个随机过程)(t X 、)(t Y 的截取函数设)(t x 、)(t y 分别为)(t X 与)(t Y 的样本函数，令：⎪⎩⎪⎨⎧≥<=Tt T t t x t x T 0)()(⎪⎩⎪⎨⎧≥<=Tt T t t y t y T 0)()()(t x T 、)(t y T 分别称为)(t x 与)(t y 的截取函数。
2． 截取函数的付里叶变换)(t x T 、)(t y T 的付里叶变换分别为⎰⎰--+∞∞--==TTt j tj T T dt e t x dt et x X ωωω)()()(⎰⎰--+∞∞--==TTt j tj T T dt e t y dt et yx Y ωωω)()()(付里叶逆变换分别为⎰+∞∞-=ωωπωd e X t x t j T T )(21)( ⎰+∞∞-=ωωπωd e Y t y t j T T )(21)(3． 样本函数互功率样本函数)(t x 与)(t y 的互功率定义为：⎰-∞→=TTT xy dt t y t x TW )()(21lim4． 帕塞瓦定理根据帕塞瓦定理，有⎰⎰∞∞-*∞∞-*=ωωωπd Y X dt t y t x T T T T)()(21)()(又，⎰⎰∞∞-*-=dt t y t x dt t y t x T T TT)()()()(所以，⎰⎰∞∞-*-=ωωωπd Y X dt t y t x T T TT)()(21)()(5． 两个随机过程的互功率由于)(t x 与)(t y 具有随机性，)(t x T 、)(t y T 也具有随机性，从而)(ωT X 、)(ωT Y 具有随机性。
为消除随机性，取：⎰⎰⎰-∞→-∞→-∞→===TT T TTT T T T XY dt t Y t X E Tdtt y t x E T dt t y t x T E W )]()([21lim )]()([21lim])()(21lim [称其为随机过程的互功率。
6． 互功率谱密度由帕塞瓦定理，有⎰⎰∞∞-*-=ωωωπd Y X dt t y t x T T TT )()(21)()(⎰⎰∞∞-*∞→-∞→==ωωωπd T Y X E dt t y t x T E W T T T TT T XY2)]()([lim 21])()(21[lim令：TY X E S T T T XY 2)]()([lim )(ωωω*∞→=称)(ωXY S 为互功率谱。
7． 平稳随机过程互相关与互功率谱的关系定理:互相关与互功率谱为一付里叶变换对，即：⎰+∞∞--=ττωωτd e R S j XY XY )()(⎰+∞∞-=ωωπτωτd e S R j XY XY )(21)(和⎰+∞∞--=ττωωτd e R S j YX YX )()(⎰+∞∞-=ωωπτωτd e S R j YX YX )(21)(8． 互功率谱密度的性质（1）)()()(ωωω*=-=YX YX XY S S S（2）若)(t X 与)(t Y 正交，则0)()(==ωωYX XY S S（3）若)(t X 与)(t Y 不相关，则)(2)()(ωδπωω⋅⋅⋅==Y X YX XY m m S S3.5 噪声与功率谱密度1． 理想白噪声若)(t N 是一个具有0均值的平稳过程，其功率谱密度均匀分布在),(+∞-∞的： 整个频率区间，即021)(N S N =ω0N 为一正实数，则称)(t N 为白噪声过程，简称白噪声。
2． 白噪声的时域分析由⎰+∞∞-=ωωπτωτd eS R j N N )(21)(及021)(N S N =ω，有)(21)(0τδτ⋅=N R N )(t N R 自相关系数为⎩⎨⎧===其他1)0()()(τττN N N R R r以上说明，白噪声在任两个相邻时刻（两个时刻不管多么邻近）的取值都是不相关的。
这说明白噪声过程随时间的起伏极快。
3． 白噪声在工程中的应用实际上，白噪声是不存在的。
在工程中，当所研究的随机过程通过某一系统时，若过程的功率谱密度在一个比系统带宽大得多的频率范围内近似均匀分布，就可以把它当作白噪声来处理。