平稳过程的功率谱密度
常见平稳过程及相应谱密度计算过程
常见平稳过程及相应谱密度计算过程常见平稳过程及相应谱密度计算过程平稳过程是指随机过程的统计特性在时间推移下不发生变化的一类随机过程。
在许多工程和科学领域，平稳过程是非常常见的。
另外，谱密度也是在许多领域中用于分析信号和系统特性的重要工具。
在本文中，我们将介绍几种常见的平稳过程及对应的谱密度计算方法。
1.白噪声过程白噪声过程是指均值为零且具有常数功率谱密度的随机过程。
其谱密度为常数，表示该随机过程在所有频率上均有相同的能量分布，从而说明信号在所有频率上均匀分布。
其计算公式为：$$S_{xx}=N_0$$其中，$S_{xx}$是该过程的功率谱密度，$N_0$是噪声的谱密度。
2.布朗运动过程布朗运动是一种在物理学和金融学中常见的平稳过程。
它被定义为一个随机游走过程，其中每个步骤都是随机的，但总体趋势向前移动。
布朗运动可以用以下随机微分方程描述：$$dX_t=\mu dt+\sigma dW_t$$其中，$X_t$是在时间$t$的位置，$\mu$是平均漂移率，$\sigma$是扩散系数，$W_t$是布朗运动的随机因素。
布朗运动的功率谱密度为：$$S_{xx}=\frac{2\sigma^2}{\omega^2}$$其中，$\omega$是频率。
3.自回归过程自回归过程是一种用于时间序列分析的平稳过程。
它被描述为前一时间点的值与当前时间点的值之间的线性关系。
自回归过程可以表示为以下形式：$$X_t=\sum_{i=1}^{p}a_iX_{t-i}+e_t$$其中，$X_t$表示在时间$t$的值，$a_i$表示自回归系数，$e_t$是误差项。
自回归过程的功率谱密度可以用以下公式计算：$$S_{xx}=\frac{\sigma_e^2}{1-\sum_{i=1}^{p}a_i e^{-j\omega i}}$$其中，$\sigma_e^2$是误差项的方差。
4.滑动平均过程滑动平均过程是一种用于时间序列分析的平稳过程，它表示为随机误差项的加权和。
通信原理第七版功率谱密度计算公式
通信原理第七版功率谱密度计算公式功率谱密度（=power spectral/spectrum density）
计算方法有多种。
第一种是维纳辛钦定理(a.k.a Wiener-Khinchin theorem)，要求是广义平稳的随机过程，其功率谱密度和自相关函数是一对傅里叶变换。
离散写法类似。
第二种是帕斯瓦尔定理(Parseval's theorem)
其功率谱密度为一般实信号在时域频域积分的积分和自相关函数在=0的时候值是一样的，这个是常用性质之一。
功率谱密度计算公式：p=(g2/Hz)。
在物理学中，信号通常是波的形式表示，例如电磁波、随机振动或者声波。
当波的功率频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度。
物理学是研究物质运动最一般规律和物质基本结构的学科。
作为自然科学的带头学科，物理学研究大至宇宙，小至基本粒子等一切物质最基本的运动形式和规律，因此成为其他各自然科学学科的研究基础。
物理学的理论结构充分地运用数学作为自己的工作语言，以实验作为检验理论正确性的唯一标准，它是当今最精密的一门自然科学学科。
随机信号分析习题答案(部分)
1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。
解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()112f xd x k ∞-∞==⎰ 第②问{}()()()211221x x P x X x F x F xfx d x<≤=-=⎰ 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。
{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。
通信原理辅导及习题解析
通信原理辅导及习题解析（第六版）第3章随机过程本章知识结构及内容小结[本章知识结构][知识要点与考点]1． 随机过程的基本概念 （1）随机过程的定义随机过程可从样本函数与随机变量两种角度定义。
第一，随机过程是所有样本函数的集合；第二，随机过程可以看作实在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
（2）随机过程的分布函数 ① n 维分布函数12121122(,,,;,,,){(),(),,()}n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤② n 维概率密度函数1212121212(,,,;,,,)(,,,;,,,),,,n n n n n n nF x x x t t t f x x x t t t x x x ∂=∂∂∂维数n 越大，对随机过程统计特征的描述就越充分。
（3）随机过程的数字特征 ① 均值（数学期望）1[()](,)()E t xf x t dx a t ξ∞-∞==⎰均值表示随机过程的样本函数曲线的摆动中心。
② 方差2222[()]{()[()]}[()]()()D t E t E t E t a t t ξξξξσ=-=-=方差表示随机过程在时刻t 相对于均值的偏离程度。
③自相关函数1212(,)[()()]R t t E t t ξξ=自相关函数目的是为了衡量在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。
④协方差函数1211221212(,){[()()][()()]}(,)()()B t t E t a t t a t R t t a t a t ξξ=--=-协方差函数对随机过程在任意两个时刻上的随机变量与各自均值的差值之间的相关联程度进行描述。
⑤互相关函数,1212(,)[()()]R t t E t t ξηξη=互相关函数用来衡量两个随机过程之间的相关程度。
2． 平稳随机过程 （1）定义 ①严平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的任意有限维分布函数与时间起点无关，则称为严平稳的，即：()()12121212,,,,,,,,,,n n n n n n f x x x t t t f x x x t t t =+∆+∆+∆②宽平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的均值为常数，自相关函数仅于时间间隔21t t τ=-有关，则称为宽平稳，即：()()()12, ,E t a R t t R ξτ==⎡⎤⎣⎦（2）各态历经性若随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可能状态，则称其是各态历经的，即随机过程的数字特征，可以由其任一实现(样本函数)的数字特征来代表。
《通信原理》第六版_樊昌信、曹丽娜课后答案_第三章__随机过程[1]
![《通信原理》第六版_樊昌信、曹丽娜课后答案_第三章__随机过程[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/bce556e3b8f67c1cfad6b81c.png)
本章练习题：3-1．设是的高斯随机变量，试确定随机变量的概率密度函数,其中均为常数。
查看参考答案3-2．设一个随机过程可表示成式中，是一个离散随机变量，且试求及。
查看参考答案3-3．设随机过程,若与是彼此独立且均值为0、方差为的高斯随机变量，试求：（1）、（2）的一维分布密度函数；（3）和。
查看参考答案3-4．已知和是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为和，自相关函数分别为和。
（1）试求乘积的自相关函数。
（2）试求之和的自相关函数。
查看参考答案3-5．已知随机过程,其中，是广义平稳过程，且其自相关函数为=随机变量在（0，2）上服从均匀分布，它与彼此统计独立。
（1）证明是广义平稳的；（2）试画出自相关函数的波形；（3）试求功率谱密度及功率。
查看参考答案3-6．已知噪声的自相关函数为=（为常数）（1）试求其功率谱密度及功率；（2）试画出及的图形。
查看参考答案3-7．一个均值为，自相关函数为的平稳随机过程通过一个线性系统后的输出过程为(为延迟时间)（1）试画出该线性系统的框图；（2）试求的自相关函数和功率谱密度。
查看参考答案3-8. 一个中心频率为、带宽为的理想带通滤波器如图3-4所示。
假设输入是均值为零、功率谱密度为的高斯白噪声，试求：图3-4（1）滤波器输出噪声的自相关函数；（2）滤波器输出噪声的平均功率；（3）输出噪声的一维概率密度函数。
查看参考答案3-9. 一个RC低通滤波器如图3-5所示，假设输入是均值为零、功率谱密度为的高斯白噪声，试求：（1）输出噪声的功率谱密度和自相关函数；（2）输出噪声的一维概率密度函数。
图3-5查看参考答案3-10. 一个LR低通滤波器如图3-6所示，假设输入是均值为零、功率谱密度为的高斯白噪声，试求：（1）输出噪声的自相关函数；（2）输出噪声的方差。
图3-6查看参考答案3-11．设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为，脉冲幅度取的概率相等。
通信原理简答题答案2（个人整理）
通信原理简答题答案2（个⼈整理）第⼀章绪论1-2何谓数字信号？何谓模拟信号？两者的根本区别是什么？答：数字信号：电信号的参量值仅可能取有限个值。
模拟信号：电信号的参量取值连续。
两者的根本区别是携带信号的参量是连续取值还是离散取值。
1-3何谓数字通信？数字通信偶哪些优缺点？答：利⽤数字信号来传输信息的通信系统为数字通信系统。
优点：抗⼲扰能⼒强，⽆噪声积累传输差错可控；便于现代数字信号处理技术对数字信息进⾏处理、变换、储存；易于集成，使通信设备微型化，重量轻；易于加密处理，且保密性好。
缺点：⼀般需要较⼤的传输带宽；系统设备较复杂。
1-4 数字通信系统的⼀般模型中各组成部分的主要功能是什么？答：信源编码：提⾼信息传输的有效性（通过数字压缩技术降低码速率），完成A/D转换。
信道编码/译码：增强数字信号的抗⼲扰能⼒。
加密与解密：认为扰乱数字序列，加上密码。
数字调制与解调：把数字基带信号的频谱搬移到⾼频处，形成适合在信道中传输的带通信号。
同步：使收发两端的信号在时间上保持步调⼀致。
1-5 按调制⽅式，通信系统如何分类？答：基带传输系统和带通传输系统。
1-6 按传输信号的特征，通信系统如何分类？答：模拟通信系统和数字通信系统。
1-7 按传输信号的复⽤⽅式，通信系统如何分类？答：FDM,TDM,CDM。
1-8 单⼯、半双⼯及全双⼯通信⽅式是按什么标准分类的？解释他们的⼯作⽅式。
答：按照消息传递的⽅向与时间关系分类。
单⼯通信：消息只能单向传输。
半双⼯：通信双⽅都能收发消息，但不能同时进⾏收和发的⼯作⽅式。
全双⼯通信：通信双⽅可以同时收发消息。
1-9 按数字信号码元的排列顺序可分为哪两种通信⽅式？他们的适⽤场合及特点？答：分为并⾏传输和串⾏传输⽅式。
并⾏传输⼀般⽤于设备之间的近距离通信，如计算机和打印机之间的数据传输。
串⾏传输使⽤与远距离数据的传输。
1-10 通信系统的主要性能指标是什么？—答：有效性和可靠性。
1-11 衡量数字通信系统有效性和可靠性的性能指标有哪些？答：有效性：传输速率，频带利⽤率。
第四章 平稳随机过程的谱分析
1 2
S
X
(
)e
j
d
自相关函数和功率谱密度皆为偶函数
若随机过程X t是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数
jt
ddt
1
2
XX
()
x(t)e jt dtd
1
2
X
X
()X
* X
()d
1
2
X
X
()
2d
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖功率谱
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
P lim 1 T s(t) 2 dt T 2T T 其能谱不存在，而功率谱存在
持续时间无限长的信号一般能量无限
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖如何计算随机信号的平均功率？
2）时域计算方法
任一样本函数的平均功率为
W
lim
T
1 2T
T x2(t, )dt
T
随机过程的平均功率为
W
E[W
]
lim
T
1 2T
T E{X 2(t)}dt
T
若为各态历经过程：
W =W
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何计算随机信号的平均功率？
2020/5/20
6
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖傅立叶变换
则 x(t)的傅立叶变换为：
X () x(t)e jt dt
其反变换为：
x(t) 1 X ()e jt d
2
频谱密度存在的条件为：
频谱密度
x(t)dt
2020/5/即20 信号为绝对可积信号
包含：振幅谱 相位谱
求各样本函数功率谱密度的统计平均
随机过程5.4 平稳过程的谱分析简介
1) S(ω)为实值非负函数，即
S() S() 0.
2)又若{X(t), t∈R}是实过程, 则S(ω)是偶 函数. 证 1) S() lim 1 E[ F(,T ) 2 ] S() 0;
T 2T
2) 实平稳过程的相关函数是偶函数, 由(5) 式可得
S() R()e jd R()e jd
2T T
2 2T
成立.
上式两边求均值再取极限, 左端为
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
T
(4)
电子科技大学
称为平稳过程X(t) 的平均功率.
若(4)中的积分与求均值可交换顺序, 则
1
lim T 2T
T
E{
T
X (t )
2 }dt
E[
X (t )
注
RX
(
)
1
2
e
jt
dFX
(
),
R
称为平稳过程相关函数的谱展式.
定义5.4.1 称FX(ω)为过程{X(t),t∈T}的谱函
数，若存在SX (ω)，使
FX () SX (1 )d1, R
电子科技大学
称SX(ω)为过程的谱密度. 利用特征函数和分布函数之间的关系,可
S() R()e jd, (5)
R()
1 2ຫໍສະໝຸດ S ()ejd,(6)
平稳过程的相关函数与功率谱密度构成一
对Fourier变换.
注 (6) 式称为相关函数的谱分解式.
推论1 {X(t), t∈R}是平稳过程, 则其谱密 度S(ω) 满足
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
●
频率域分析方法的重要工具是 Fouier变换, • 能量 • 功率
几个物理概念
它可以确定时域与频域的转换关系.
●
为了在频域上描述平稳过程的统计特征，需要 研究相关函数的谱分析。为此要引入谱密度. 谱密度是在频域内研究平稳过程的重要指标. 数学上 它是相关函数的Fouier变换,它的物理
意义是功率谱密度.
2013/11/15
2 帕塞瓦尔等式
总能量的谱表示式
2
Fourier变换的性质
● 线性性质 ● 位移性质
F [ f1 (t ) f 2 (t )] F [ f1 (t )] F [ f 2 (t )]
[ x(t )] dt x(t )
1 2
E x 2 (t ) dt.
2013/11/15
功率信号： 0 lim
T
T
T
x 2 (t )dt
t2
E
t1
x 2 (t ) dt 称为x(t )在( - , +) 上的总能量。
5
显而易见，一个能量信号具有零平均功率，而一 个功率信号具有无限大能量。
2013/11/15 6
信号能量的解释：对于电信号，通常是电压或电流， 电压和电流在己知区间 (t1, t2) 内消耗在电阻R上的能 量为 2 t 2 U (t ) t2 E dt ; E RI 2 (t )dt. t1 t1 R
p
1 t2 2 x (t )dt t2 t1 t1
1 2T
R 1 时，上述两式具有相同形式。
1 2
Fx ( ) d
2
2 即 [ x (t )] dt
1 2
Fx ( ) d
能量谱密 度
10
2
x(t )在R上的总能量 2013/11/15
工程技术中，很多重要的时间函数总能量是无限 的，而且未必绝对可积，如三角函数。
二 平稳过程的功率谱密度 1.时间函数 x(t ) 的功率谱密度
1 2 E{ FX ( , T ) } 称为 X (t ) 的功率谱密度 2T
1 lim E{ T 2T
平均功率Q
E[ FX ( , T ) ] 1 d T X (t )dt} 2 Tlim 2T S X ( )
T 2
2
1 lim E{ T 2013/11/15 2T
1 平稳过程的功率谱密度
一 预备知识
1 付氏变换 设x(t)是时间t的非周期实函数，且 的非周期实函数 且x(t) 满足 • x(t )在( , )范围内满足狄利赫利条件 • x(t )绝对可积，即
it 则 x(t ) 的傅里叶变换为： Fx ( ) x(t )e dt
• x(t )过程的总能量有限，即
2013/11/15
x(t ) dt
2
断点为有限 值
(t ) E (eitX ) eitx f ( x)dx;
f ( x)
2013/11/15
7
1 2
(t )e itx dt.
8
山东大学控制学院
2
随机过程
a2 [1 cos(2 0 t 2 )]} 2 a2 a2 2 2 cos( 20 t 2 ) d 0 2 2 E{
a2 a2 sin( 2 0 t 2 ) 02 2 2 a2 a2 sin 20t 2
Q E[ X 2 (t )]
2
lim
T
S X ( ) RX ( )e i d
1 RX ( ) 2
2013/11/15
S X ( )ei d
21 2013/11/15
22
设 则 所以：
t 2 t1 u t 2 t1 u u t2 t1 2 2
1 Fx ( )eit d dt 2
Fx ( ) x(t )eit dtd
F [ f (t t0 )] e jt0 F [ f (t )]
1 2
Fx ( )Fx* ( ) d
(n) n ● 微分性质 F [ f (t )] ( j ) F [ f (t )]
●
时域分析法与频域分析法相互联系,且各有优 点,构成了研究平稳过程的两个重要分支.
2013/11/15 4
山东大学控制学院
1
随机过程
2013/11/15
1、能量信号
在区间(-∞，∞)内，能量为有限值的信号称为能量信 号，满足条件 2
2、功率信号
x (t )dt
有许多信号，如周期信号、随机信号等，它 们在区间(-∞，∞)内能量不是有限值在这种情 况下，研究信号的平均功率更为合适。
常数值
2013/11/15 17 2013/11/15 18
0t ) ，其中a和0 例：设随机过程 X (t ) a cos( ） 皆是实常数， 是服从（0， 2 上均匀分布的随 机变量，求随机过程 X (t ) 的平均功率。
解： E[ X 2 (t )] E[a 2 cos 2 ( 0 t )]
其反变换为：
x (t )
1 2
Fx ( )eit d
称 Fx ( ) 为 x(t )的频谱密度，也简称为频谱。
包含：振幅谱 相位
有限个极值 有限个断点
x(t ) dt
x(t ) Fx (谱 ) 称为傅里叶变换对。
注：概率密度与特征函数间的关系是傅里叶变换对。
易知，x(t )是满足绝对可积的。
2013/11/15 11 2013/11/15 12
山东大学控制学院
3
随机过程
2013/11/15
交换求极限和积分的次序
xT (t ) 的傅里叶变换存在 当x(t)为有限值时，
存在 非负
2
Fx ( , T ) xT (t )e
it
dt
x(t )e it dt
J 1 ( t1 , t 2 ) 2 ( , u) 1 2
u 2T
-ห้องสมุดไป่ตู้T
S X ( ) lim
T
2T 1 1 2T { d R ( )e i du 0 2T 2 X 2T
1 2 1 1 2 2
u 2T
2T 1 2T d 2T 2T 2T 1 2T (2T )RX ( )e i d lim T 2T 2T
T
T
X 2 (t )dt}定义为平稳过程X (t )的平均功率
15
称为平稳过程的平均功率的谱表示式 功率谱密度S X ( )通常也称为自谱密度或谱密度 它是从频率这个角度描述平稳过程的统计规律的最 主要的数字特征，其物理意义为过程的平均功率关 2013/11/15 16 于频率的分布；
S X ( )d
2T
RX ( )e i d lim 2T
应用截取函数 xT (t )
x (t ) 0 t T t T
X (t ) a cos(t ) b sin(t )
为了解决这个问题，我们通常转而去研究随机过程 在R上的平均功率，即
T
lim
1 2T
T
T
x 2 (t )dt
目的：利用傅氏变换给出平均功率的谱表示式
山东大学控制学院
4
随机过程
2013/11/15
两个结论：
1 Q E[ X (t )]
2
. lim
2
T
1 . 2T
S X ( ) 描述了随机过程X(t)的 功率谱密度： 功率在各个不同频率上的分布—— S X ( )称为 随机过程X(t)的功率谱密度。
若平稳
2
表示时间平均
S X ( ) lim Q 1 2T
T
1 E 2T
1 2 E T X (t )dt 4 T
2 FX ( , T ) d
1 2T
T
lim
1 2 E[ FX ( , T ) ]d 2T
令 T ，再取极限，交换求数学期望和积分的次序
Q E[ X (t )] E[ X (t )]＝RX (0)
2
对 S X ( ) 在X(t)的整个频率范围内积分， 便可得到X(t)的功率。 的功率 对于平稳随机过程，有：
E[ X 2 ( t )] 1 2
Q
1 2
S X ( ) d
S X ( )d
1 维纳—辛钦定理 若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对可 积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变 换，即：
2. 证明： S ( ) lim E[ FX ( , T ) ] X T 2T 1 lim E[ FX ( , T ) FX* ( ,T )] T 2T
T T 1 E[ X (t1)eit1dt1 X (t2 )eit2 dt2 ] T T 2T 1 T T lim E[ X (t1 ) X (t2 )]e i (t2 t1 ) dt1dt2 T 2T T T 1 T T lim RX (t2 t1 )e i ( t2 t1 ) dt1dt2 T 2T T T