经济数学 CH7 动态最优化：最大值原理
最大值原理和极值原理
最大值原理和极值原理最大值原理和极值原理是微分学和数学分析中的两个基本原理，其中最大值原理指出了有界区间上的连续函数在该区间内达到最大值，而极值原理则更为广泛地描述了函数在一些区域内的最大值和最小值的存在性和一些相应的性质。
最大值原理（Maximum Value Principle）是最基本的实分析原理之一，它陈述了连续函数在有界区间上一定存在最大值。
具体而言，若函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且在该区间上不为常值函数，则f(x)在[a,b]上一定存在最大值。
最大值原理的直观解释是：在一个有限区间上有连续增减变化的函数，一定会有一个最大值，而这个最大值在这个区间上是唯一存在的。
最大值原理有着重要的应用，比如在最优化问题中，我们常常需要寻找函数在特定区域内的最大值。
最大值原理告诉我们，在一些有界区域内找最大值时，可以限定区域，从而避免不必要的计算，提高计算效率。
此外，最大值原理在物理学中也有广泛的应用，比如利用最大值原理可以证明最高点必定是压强最大的地方。
极值原理（Extreme Value Theorem）则是在更一般的情况下描述函数的极值。
极值原理指出，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么f(x)在该区间上至少存在一个最大值和一个最小值。
这个原理给出了一个非常重要的结论，即连续函数在有界、封闭区间上一定存在最大值和最小值。
需要注意的是，在开区间上的连续函数未必存在极值。
极值原理也有许多重要应用。
比如在微分学中，极值原理可以帮助我们确定函数的最大值和最小值，从而找到函数的拐点、驻点等重要信息。
在应用中常需要利用极值原理来证明一些性质，比如利用极值原理可以证明存在性定理。
此外，极值原理在微分方程的存在性和唯一性的证明中也有重要作用。
总的来说，最大值原理和极值原理是微分学和数学分析中的两个基本原理，它们描述了实函数的最大值和最小值在一些区间内的存在性，对于理解和证明函数的性质非常有帮助。
最新数学中的最优化问题知识讲解
首先介绍一下我们选这个课题的原因：1.数学是一门基础学科，学习数学可以培养我们思维的严谨性，对其他学科的学习有所帮助。
使我们遇到问题能够冷静思考，并提高探究能力。
2.我们的指导老师平易近人（这也是我们选此课题的一个重要原因之一）。
那么，什么是最优化问题呢？最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容。
通俗的讲，就是如何使得一件事情做到最好的问题。
比如，教师怎么达到最好的教学效果，商人如何获得最大的利润，穷学生每天如何吃饭花最少的钱等等。
当然要达到上面的目的都有一定的限制条件:教师的教学时间有限；商人不能偷工减料以次充好，不能不给工人少发工资等等；穷学生不能不考虑营养的平衡，食物的量应该足够等等。
在数学里，最优化问题还是一个求最大或最小值的问题，例子里讲到的限制条件就是数学里的约束条件。
问题的解决首先是建立一个在一定约束条件下相关变量（比如穷学生吃饭里，每种食物的单价，需要的分量）与所要追求的目标函数（所要花的饭钱）的模型，接下来就是求解使得模型取得极值时相关变量的值（选择哪几种食物，各吃多少分量）。
用我自己的一句话来概括，就是“走一条最简便、最高效率的路；用最短的时间，做最多的有用功。
”针对"商品销售最优化"这一环节，我们还设计了一份问卷调查,分析如下: 总体分析:商家最优化意识不够强,统筹思想有待提高,还未能将数学最优化很好的运用到生产实践中.我们遇到的困难是:1.所学的数学知识有局限性，还不够全面2.数据的整理、分析存在局限性3.小组的积极性还未能得到充分的调动我们的解决方法是:1.向指导老师请教2.进行全面的小组讨论3.寻求班级其他同学的帮助我们的一点心得：最优化问题不管是在提高自身思维能力方面，还是在平时生活处理问题．都是大有益处的．既然是研究,我们就该开动脑袋想,合作探讨必不可少.它的作用是巨大的:它使我学到了如何运用数学方法解决生活问题,实现方法最优化,计划最优化,过程最优化,结果最优化等等,不胜枚举.我们也取得优异的成就。
最优控制——最大值原理
最优控制——最大值原理最优控制问题是数学中的一个重要问题，研究如何在给定约束条件下使一个系统达到最优状态。
在数学的最优控制理论中，最大值原理是一种重要的工具和方法，被广泛应用于很多最优控制问题的求解中。
本文将详细介绍最优控制中的最大值原理及其应用。
最大值原理也称为哈密顿-雅可比-贝尔曼方程(hamilton-jacobi-bellman equation)，它是最优控制问题的一个基本性质。
最大值原理给出了在给定约束条件下系统状态的最优演化方程。
最大值原理的基本形式是哈密顿－雅可比－贝尔曼方程。
对于一个给定的最优控制问题，假设系统的演化满足一个偏微分方程，此方程将由状态变量、控制变量、时间变量以及一个哈密顿函数构成，具体形式如下：∂V/∂t + min(u) {H(x,u,t)+ ∇V⋅f(x,u,t)} = 0其中，V(x,t)是值函数(value function)，表示从状态x在时间t开始时，系统必须选择的最佳控制来最大化性能指标的期望值。
f(x,u,t)是状态方程(state equation)，描述系统状态的演化。
H(x,u,t)是哈密顿函数(Hamiltonian)，是一个将值函数、控制变量和状态方程综合起来的函数，它的作用是描述系统的动力学性质。
最大值原理的关键在于通过逐步迭代的方式求解值函数V(x,t)，找到使系统达到最优状态的最佳控制变量。
这一过程通常称为最优控制问题的动态规划(dynamic programming)。
最大值原理的主要应用涉及很多不同领域，例如经济学、工程学、生物学等。
在经济学中，最大值原理被广泛应用于决策理论、资产定价、宏观经济模型等领域。
在工程学中，最大值原理常用于控制系统设计、路径规划、优化问题等。
在生物学中，最大值原理被用于神经科学、生态学、生物系统动力学建模等。
最大值原理的应用还包括优化问题、最短路径问题、最优控制问题、反问题等。
它不仅可以用于求解连续问题，也可以用于离散问题。
第七章 最优控制：最大值原理
（7.39)
H
2
u
2
2 0
u (t )
的解是最大化 H
例1 最大化
满足 y y u 和 y (0 ) 1
V
1 0
u dt
2
y (1) 0
汉密尔顿函数： H u 2 ( y u )
0
H t , y
(T ) y T ( 0 ) y 0
的第一项对 求导，得：
T ( ) 0
(7.28)
H H q ( t ) dt H y q (t ) p (t ) u y
f (t , y , u ) H
以上两个方程右边相同，因此左边相等：
y
推导得到最大值 原理的条件之一
以上推导得到：
H ( t , y , u , ) y ( t ) dt ( T ) y
T 0
T
(0) y0
步骤3 推导新目标泛函 的另一种形式
推导得到最大值原 理的一般横截条件
第二节 其他终结条件
一般横截条件：
H t T T
(T ) y T 0
（7.30）
y
y Z
• 固定终结点的横截条件：
y (T ) y T
（T 和
y T 给定）
水平终结线的横截条件：
[ H ]t T 0
t
0
T
T2
T
动态最优化基础 重点汇总
xT ∗ 。所以
由于作到一产量只影响该期利润，问题（2）实际上是一系列的静态问题，即在 每一期选择当前产量使该期利润最大化。可有类似的 T 个一阶条件。各期的一 阶条件之间没有联系。
二、动态问题
具有动态性质的问题是，当前的产出不但影响到当前的利润，还影响到未 ．．．．． 来 的利润。 ．
1
max ∑ F (t , xt , xt −1 )
1 5⎡ ⎤ V [ y ] = ∫ ⎢3t + ( y′) 2 ⎥dt 1 ⎣ ⎦ st y (1) = 3 , y (5) = 7
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解：
F = 3t + ( y ) 2 ⇒ Fy = 0, Fy =
1 3 − − 1 1 ( y ) 2 , Fyy = ( y ) 2 , Fyy = Fty = 0 2 4
四、问题的不同形式
我们后面处理的动态优化问题都是连续的形式 （离散时间问题的处理都可用
2
拉格朗日方法） 。动态优化问题会因端点（起始点与终结点）不同而所有不同。 一般经济学中遇到的问题都可认为起始点设定，下面我们讨论不同终结点的变 形。图 1 表述的固定终结点的三条不同时间路径 A、B、C，目标函数是不同路 径的泛函。这个问题中，终结点已知，时间为 T，状态为 Z，即 x(T ) = z 。 （图 1、图 2、图 3、图 4 略） 图 2：垂直终结线（固定时间）问题；图 3：水平终结线，图 4：终结曲线。 图 2、3、4 中，终结点要自由一些。图 2 中终结的时间已限定，但状态可自 由变化；图 3 中相反；图 4 中时间与状态均未限定，但两者有一个约束条件
问题（3）与问题（2）不同，它的最优解的 T 个一阶条件不能分别确定， 而是要同时确定，也就是我们实际上要“一次性”确定一条最优路径 。每产出一 ．．．．．．．．．．．．． 路径对应一个利润（目标值） ，这种路径（而不是单个值）与到实数之间的映射 关系叫泛函 。在动态优化中，我们处理的问题的目标函数通常是泛函形式，称为 ．． 目标泛函 。 简而言之， 函数是值到值的对应关系， 而泛函是路径到值的对应关系。 ．．．．
数理经济学05-动态最优化基础
第四章 动态最优化基础§4.1 动态最优化的基本问题例：最短路问题图4.1给出了从城市A 到城市B 的路线图（省略了距离单位标注）。
现求一条从A 到B 的最短路线。
图4.1显然，为了从A 到B ，必须先逐步经过C1、C2、C3、C4等诸城市。
而在C1、C2、C3、C4，又都有多种选择。
而关键性的困难是当前的最优选择不一定是全局的最优。
这类问题也称为多阶段决策问题。
§4.2 动态最优化的基本概念阶段：将全过程分为若干个有相互联系的阶段，常用字母t 、k 表示；状态：系统在不同阶段性态。
一般来说，系统在一个阶段有多个状态。
系统在某一阶段的所有可能的状态构成的集合成为状态集，记为S k ；状态变量：表示系统状态的变量，记为s k 。
它与阶段有关；决策：在某一阶段的某一状态下，系统由该状态演变到下一阶段某一状态的选择。
在第k 阶段，处于状态s k 时的所有可能的决策集记为D k （s k ）；决策变量：描述决策的变量，它与阶段与系统在该阶段的状态有关。
在第k 阶段，处于状态s k 时的决策记为d k （s k ）；状态转移：从当前阶段的某一状态转移到下一阶段的某一状态。
状态转移方程：描述状态转移规律的数学方程。
它是当前状态变量与决策变量的函数，即) ,(1k k k k d s T s =+；策略：从起点到终点的每一阶段的决策所构成的决策序列，称为（全局）策略。
自某一阶段起，至终点的决策称为子策略，记为))(,),(()(11,n n k n k s d s d s p =。
指标（目标）函数：性能指标或效用指标，它用来评价决策的效果。
它可分为阶段指标与全局指标两类。
阶段指标是指衡量某一阶段在某一状态下的决策效果的指标。
它仅依赖当前状态和当前决策。
记为))(,(k k k k s d s v ；全局指标是指衡量整个全过程或自某一阶段起至终点的各阶段决策的总体效果的指标。
它是所有各阶段的状态和决策的函数，即动态最优化的主要问题是寻找一个策略，使全局指标最优。
动态优化与最优经济决策
动态优化与最优经济决策动态优化与最优经济决策是一种应用于经济领域的数学方法，旨在帮助决策者在不确定的环境下做出最优决策。
本文将介绍动态优化的基本原理，并讨论其在经济决策中的应用。
一、动态优化的基本原理动态优化是一种数学方法，用于解决在连续时间内做出一系列决策的问题。
它的基本原理是通过建立一个数学模型来描述系统在不同时间点的状态和决策变量之间的关系，并在给定一定的约束条件下，找到能够使某个目标函数达到最优值的决策序列。
动态优化主要分为离散时间动态优化和连续时间动态优化两种情况。
离散时间动态优化适用于系统状态和决策变量随时间离散变化的情况，而连续时间动态优化则适用于系统状态和决策变量连续变化的情况。
二、最优经济决策的概念最优经济决策是指在满足各种限制条件下，使经济目标函数达到最优值的一种决策方式。
经济决策的最优性可以根据所设定的目标函数来进行评估，常见的经济目标包括利润最大化、成本最小化和风险最小化等。
在实际经济决策中，由于存在着不确定性和动态性，决策者需要考虑未来的潜在风险和变化趋势。
动态优化的方法可以帮助决策者在这样的环境下做出最优决策。
三、动态优化在经济决策中的应用1. 投资组合优化投资组合优化是一种重要的经济决策问题，旨在寻找一个最佳的投资组合，以实现最大的收益或最小的风险。
动态优化可以考虑不同时间点的市场状况和风险偏好，从而在投资决策中灵活调整投资组合。
2. 生产规划与控制在生产规划与控制中，动态优化方法可以帮助企业在不同的资源约束下，有效地进行生产安排和资源分配。
通过对生产过程中的各种因素进行建模和优化，可以达到最佳的生产效益和成本效益。
3. 资源分配与调度资源分配与调度是企业日常运营中的重要决策问题。
动态优化方法可以根据不同时间点的需求和资源供给情况，合理地进行资源调配和调度，以实现最优的资源利用效率和生产效率。
4. 市场营销与定价在市场营销与定价中，动态优化可以帮助企业在不同的市场环境下，制定最佳的价格和销售策略。
动态规划依据的最优性原理
动态规划依据的最优性原理动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法，它依据的最优性原理是指一个最优策略的子策略也必然是最优的。
也就是说，如果一个问题的最优解可以通过子问题的最优解来构造，那么这个问题就具有最优子结构，可以使用动态规划来解决。
最优性原理是动态规划的核心思想之一，它是通过将原问题分解为若干个子问题，并且每个子问题的最优解都能构成原问题的最优解。
这种分解的方式可以大大减少问题的规模，从而提高问题的求解效率。
为了更好地理解最优性原理，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个背包问题，背包的容量为C，有n个物品，每个物品的重量分别为w1, w2, ..., wn，价值分别为v1, v2, ..., vn。
我们的目标是在不超过背包容量的情况下，选择一些物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。
我们可以使用动态规划来解决这个问题。
首先定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
然后我们可以根据最优性原理来推导dp数组的递推关系。
假设我们已经求解出了dp[i-1][j]，即在前i-1个物品中选择一些物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
那么对于第i个物品，我们有两种选择：放入背包中或者不放入背包中。
如果我们选择放入第i个物品，那么背包的容量就变为了j-wi，此时背包中物品的总价值就变为了dp[i-1][j-wi]+vi。
如果我们选择不放入第i个物品，那么背包中物品的总价值就保持不变，即为dp[i-1][j]。
因此，我们可以得到dp[i][j]的递推关系：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-wi]+vi, dp[i-1][j])根据这个递推关系，我们可以从dp[0][0]开始，逐步计算出dp[n][C]，即在前n 个物品中选择一些物品放入容量为C的背包中所能获得的最大价值。
最后，我们就可以通过回溯的方式，找到具体选择了哪些物品放入背包中，从而得到问题的最优解。
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最优化的一阶条件为: (1)H c e- t (1/ c）- =0和(2)H k ( k 1 ) 横截性条件为： lim[ () t ( k )] t 0
t
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如果令ρ=0.06，δ=0且α=0.3，那么这个系统就是以前研 究过的非线性系统。
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四、多变量的动态最优化
现在考虑一个具有n个控制变量和m个状态变量的 更一般的动态问题。选择控制变量最大化：
T
0
u[k1 (t ),..., km (t ); c1 (t ),..., cn (t ); t ]dt , 受约束于
0 0
是一个不变的贴现率，e t 是贴现因子。
在现值汉密尔顿函 数中，影子价格μ t H e u (k , c) g (k , c, t ) 表示以0时的效用单 位来衡量t时资本存 量的价值。 2016/10/31
构造现值汉密尔顿函数
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2、当期汉密尔顿函数 为了方便，有时也会从当期值价格（current-value price） 来重构这个问题。 当期值价格：以t时的效用单位来衡量t时的资本存量的价 格。 把现值汉密尔顿函数改写为： H=e-ρt[u(k,c)+q(t)g(k,c,t)] 其中，q(t)=μ· eρt，为当期影子价格。定义H*=Heρt为当期 汉密尔顿函数：H*=u(k,c)+q(t)g(k,c,t)
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五、离散模型的最大值原理
问题： max V (0) v(kt , ct )
t 0 T 1
约束条件：kt 1 kt f (kt , ct ); k0 a
离散汉密尔顿函数： H (kt , ct ) v(kt , ct ) t 1 f (kt , ct )
如果函数f(k,c,t)和g(k,c,t)是凹函数，那么 满足上述四个条件的（k*,c*）和λ*>0，是最 优化问题的极大值。 如果是凸函数，则是极小值。 经济学中的生产函数和效用函数都是严格凹函 数，因此满足充分条件。
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三、现值和当期汉密尔顿函数
1、现值汉密尔顿函数 在大多数经济模型中，目标函数被贴现到当前，即 0时期。 T T t v [ k ( t ), c ( t ), t ] dt e u[k (t ), c(t )]dt
最大化的一阶条件： H H 0, t 0,..., T 1和 ( t 1 t ), t 0,..., T 1 ct kt 横截性条件：T kT 0
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T c ,k 0
(t ) g k (t ), c(t ), t k k (0) k0 0 k (T ) e r (T )T 0
转移方程
初始条件
非蓬齐博弈
c(t)是控制变量，k(t)是状态变量。
F(0)是初始时刻的目标函数值。r(T)是在0和T期之间的平均贴现率。T 是终端计划时期，可以是有限的，也可以是无限的。 目标函数是瞬时幸福函数f(· )在0到T期的积分。幸福函数包括效用函数、 利润函数等。 转移方程表示控制变量的选择是如何影响状态变量的。 非蓬齐博弈表示在计划期结束时所选择的状态变量k(t)贴现后必须为非负。 这排除了连环借债或蓬齐(Ponzi)负债方法。
(t ) g 1[k (t ),..., k (t ); c (t ),..., c (t ); t ], k 1 1 m 1 n (t ) g 2 [k (t ),..., k (t ); c (t ),..., c (t ); t ], k
2 1 m 1 n
... (t ) g m [k (t ),..., k (t ); c (t ),..., c (t ); t ], k m 1 m 1 n k1 (0) 0,..., km (0) 0，给定初始条件 k1 (T ) 0,..., km (T ) 0.
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二、动态最优化求解步骤
1、构造汉密尔顿函数：幸福函数v(· )加拉格朗日乘数乘以转 移方程右边的函数。
H (k , c, t； ) f (k , c, t ) (t ) g (k , c, t )
μ被称为动态拉格朗日乘数或共态变量。表示影子价格， 即状态变量的边际价值。 2、汉密尔顿函数对控制变量的导数为零。
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一、典型问题
行为者选择或控制一些变量（被称为控制变 量），以便在一些约束的限制下最大化一个 目标函数。 这些约束是动态的，它们描述了以一组状态 变量表示的经济状态的持续演进。
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问题：
约束条 件：
max F (0) f k (t ), c(t ), t dt
H c 0
3、汉密尔顿函数对状态变量的导数等于负的乘子对时间的导 数。
H k
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该式常被称为欧拉 方程
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4、横截性条件
情形1：有限期界。计划期结束时的影子价格和状态变量之 积为零。
(T ) k (T ) 0
情形2：有贴现的无限期界。
lim (t ) k (t ) 0
t
情形3：没有贴现的无限期界。横截性条件为米歇尔条件。
lim H (t ) 0
t
具体求解：
根据第二步、第三步和转移方程可以得到控制变量c(t)和状 态变量k(t)的微分方程系统。为了使系统确定，需要两个边 界条件：初始条件和终端条件（横截性条件）。
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充分条件
t
取式（）的对数然后对时间求导，得到： 1 /c / (3) c 将这个结果代入到式（2），可以消除： / c k 1 (4) c 式(4)与转移方程一起组成了一个关于k 和c的非线性ODE系统。
/ c 0，由式（3）知： 当t趋于无穷，消费趋于稳态，c / 解微分方程得到： (0)e- t。 横截性条件可以表示为： lim[e- t k (t )] 0
根据现值汉密尔顿函数的一阶条件得到当期汉密尔顿的条件： H * H * ；q(T ) e T k (T ) 0 0； q q c k
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练习：拉姆齐模型
消费者选择消费c(t )和资本存量k(t)的路径以最大化效用 U(0)= e- t log(c)dt，受约束于 在该模型中，家庭既是消费者也
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建立汉密尔顿函数： H=u[k1 (t ),..., km (t ); c1 (t ),..., cn (t ); t ] i g i ()
i 1 m
最大值的一阶条件： H 0, i 1,..., n; ci H , i 1,..., m. ki 横截性条件：i (T ) ki (T ) 0, i 1,..., m.
当一国的资本发展变成了一 种赌博活动的副产品时，这项 活动可能是错误的。 —— 凯恩斯
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导论
古典数学家使用的动态问题的解法是变分法。 这种方法从两条途径得以一般化： 第一条是美国数学家贝尔曼在20世纪50年代所 发展的动态规划方法。主要适用于离散时间和 随机模型。 第二条是俄罗斯数学家庞特里亚金在50年代所 发展的最优控制的极大值原理。
0
(t ) [k (t )] c(t ) k (t ) k k (0) 1 lim[k (t )e r t ] 0
t
是生产者。生产函数为 Y=Kα(AL)β，α+β=1。家庭选 择消费使一生的效用最大化。效 用函数为对数形式。未来消费的 主观贴现率为ρ>0。 求解该家庭的最优消费路径。