初中数学讲座-初中数学平面几何解题教学 (讲座稿)

图4
图5
类比探究：等腰直角三角形
拓展1 在任意△ABC中,F、G、M分别是AB、AC、BC的中点， 分别以AF、AG为边向外作正n边形（n为大于2的整数），如： 正三角形ADF，正三角形AGE（图6）；正方形AFDL，正方形 AGEO（图7）；正五边形AGEXY（图8）；‥ ‥， ∠EMD=y.
图6
★“图形与几何”学习的主要内容
1. 图形的性质：点、线、面、角 → 相交直线与平行线 → 三角 形 → 四边形 → 圆 → 尺规作图 → 定义、命题、定理。 2. 图形的变化：图形的轴对称→ 图形的旋转→ 图形的平移→ 图 形的相似 → 图形的投影。 3.图形与坐标：坐标与坐标的位置 → 坐标与图形的运动。


★平面几何传统的解题方法教学要求
沈文选老师归纳为(参阅《平面几何证明方法全书》哈尔滨工业大学
出版社2010年版)
1.掌握基本方法 分析法（综合法）；反证法（同一法）；面积法；割补法；代 数法；参数法（三角法）；几何变换法（合同变换（平移、轴 反射、旋转、中心对称等），相似变换（图形相似、位似变换、 位似旋转变换等），等积变换，反演变换等）；坐标法；向量 法；复数法；射影法；等等。 2.熟悉基本思路 ⑴.线段相等问题（如，三角形中等边对等角，全等三角形对应 边相等，圆中等弧（圆周角）对等弦，线段中垂线、垂径分弦 等性质，成比例线段的数量等）； ⑵.角相等问题（如：全等、相似多边形对应角相等，特殊多边 形（含等腰三角形、等腰梯形、平行四边形等）的性质，角平 分线定义，圆中角之间的关系，三角函数关系，几何变换（平 移、对称、旋转、相似、位似等））等；
★平面几何的改革是义务教育 数学新课改的焦点

谁看不起欧氏几何，谁就好比是从国外回来看不起自己的家 乡； 平面几何是唯一一门可以难倒世界上任何一位著名数学家的 初等数学课程； 教师应当追问平几的学科定位是什么？（更大视野即追问为 什么要学习数学？）平面几何的教育价值在哪？国际数学奥 林匹克（IMO）为什么一定要有一道平几题？当下初中平几 教学的基本问题（为什么要学？学什么？为什么要以解题为 核心？怎么学？怎么教？学得如何？）
解析：（1）EB=FD，理由如下.
因为以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作为等边三角形 ABF和ADE，所以AF=AE， ∠FAB= ∠EAD=60°.因为∠FAD= ∠BAD+∠FAB=90°+60°=150°，∠BAE=∠BAD+∠EAD=90° +60°=150°，所以∠FAD=∠BAE.在△AFD和△ABE中，AF=AE， ∠FAD =∠BAE，AD=AB，所以△AFD≌△AEB，所以EB=FD.
⑿.点的轨迹、作图问题。
3.善用基本性质
⑴.三角形中巧合点问题（如“五心”、费马点等） ⑵.几类三角形中的数量及位置关系问题（如：直角三角 含防腐 形，三角不等式等）； ⑶.四边形中的一些数量、位置关系； ⑷.与圆有关的一些问题； ⑸.与正多边形的关联问题。 思考：以上内容要求中可选哪些作为平几教学的素材？
图7
图8
（1）探究MD和ME的大小关系； （2）写出y与n之间的关系。 本题在例题的基础上以任意三角形为背景，但对原题作了进 一步变式处理，即借助三角形两边的一半为边向外作正n边形， 以此探究MD和ME的大小关系（相等）以及y与n之间的关系 360 , n为大于2的整数 （ y 180 ）.
★二道中考几何综合题的评析
图1 ①
图1 ②
图1 ①
பைடு நூலகம்图1 ②
解析：操作发现：①②③④ 数学思考：MD=ME，MD⊥ME
思路分析：在图4中，由于△ABD、△ACE均为等腰直角三角形， 可过点D、E分别作DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，根据等腰三角 形的“三线合一”，可知F、G分别为AB、AC的中点，DF= AB， 1 GE= 2AC.又因为M是BC的中点，连接MF，根据中位线定理可得 1 1 MF∥AC ，且MF= 2 AC=GE.连接MG，同理可得MG= 2 AB=DF，同 时由四边形AFMG为平行四边形，得∠MFA=∠MGA， 所以 ∠DFM= ∠MGE. 又MF=EG，DF=MG，所以△DFM≌△MGE （SAS），所以MD=ME。 由MG∥AB，得∠GMD=∠AHD，即∠EMG+∠DME=∠FDM+ ∠DFH=∠FDH+90°.由△DFM≌△MGE，可得∠FDM= ∠EMG， 所以∠DME= ∠DFH=90 °，故MD⊥ ME.
⑶. 直线平行问题（如：“三线八角”性质，平行线传递性，特殊 图形的线段（梯形、平行四边形、三角形中位线等），圆中夹等 弧且无交点的两弦性质等）； ⑷.直线垂直问题（…）；
⑸.共点线问题（…）；
⑹.线共点问题（…）； ⑺.点共圆问题（…）； ⑻.圆共点问题（…）； ⑼.几何定值、定位问题（…）； ⑽.几何极（最）值问题（…）； ⑾.几何不等式问题（…）；
n
拓展2 以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形 ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G.
图9
图10
（1）当四边形ABCD为正方形时（如图9），EB和FD的数量关 系是 （2）当四边形ABCD为矩形时（如图10），EB和FD具有怎样的 数量关系？请加以证明. （3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般四边形的变化过程中， ∠EGD是否发生变化？如果改变，请求出∠EGD的度数.
新课程下的初中平面几何解题教学
——以二道中考平几压轴题为例
★“课标”（2011）的相关要求



数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生 的抽象思维和推理能力，培养学生的创新意识和实践能力，促 进学生在情感上、态度与价值观方面的发展。 各学段中，安排了四个部分的内容：数与代数、图形与几何、 统计与概率、综合与实践。 推理能力的发展应贯穿于整个数学学习的过程中。推理是数学 的基本思维方式，也是人们学习和生活中使用的思维方式。推 理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出 发，凭借经验和直觉，经过归纳和类比等推断某些结果；演绎 推理是从已有事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则 （包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法 则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相 辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证 明结论。